evaluarea incertitudinii de masurare. note de curs

5/6/2018 Evaluarea Incertitudinii de Masurare. Note de Curs - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/evaluarea-incertitudinii-de-masurare-note-de-curs 1/19

Sonia Gaiţă - INM Ianuarie 2005

Elemente de bază în

evaluarea incertitudinii demăsurare

Sonia Gaiţă

Institutul Naţional de MetrologieLaboratorul Termometrie



Sonia Gaiţă – INM Ianuarie 2005

Subiecte Concepte şi termeni

Modelarea măsur ării Evaluarea de tip A

Evaluarea de tip B Evaluarea incertitudinii standard compuse

Bilanţul incertitudinii

Evaluarea incertitudinii extinse




Incertitudinea de măsurare (I) Guide to the Expression of Uncertainty in

Measurement (ISO-GUM). Ghid internaţional – 16 ani de dezvoltare şi

revizuire de către 7 organiza

ţii:

ISO, BIPM, IEC, OIML, IUPAP, IUPAC, IFCC

Asigur ă compatibilitatea între laboratoarele deetalonare din întreaga lume

SR 13 434 - Ghid pentru evaluarea şi

exprimarea incertitudinii de măsurare




Incertitudinea de măsurare (II)

Ce este incertitudinea de măsurare?Parametru asociat cu rezultatul unei

măsur ări, care caracterizează dispersia

valorilor ce pot fi atribuite, în modrezonabil, măsurandului

Cum apare incertitudinea de măsurare?

De ce este importantă ?




Modelarea măsur ării

Se defineşte măsurandul sau mărimea de ieşire, Y –mărimea supusă măsur ării

Se determină modelul matematic al măsur ării întremăsurand şi cele N mărimi de intrare, X 1, X 2, …, X N :

Y = f ( X 1, X 2, …, X N ) (1)

Valorile mărimilor de intrare sunt denumite estimaţiide intrare şi sunt notate cu x 1, x 2, …, x N .

Rezultatul măsur ării, y, denumit estimaţie de ieşire,se obţine din ecuaţia (1):

y = f ( x 1, x 2, …, x N ). (2) Exemplu:

R = R 0 [ 1 + α (t - t 0)].

P = f (V, R 0, α, t ) = V 2/R = V 2 / { R 0 [ 1 + α ( t –t 0 )]}


http://slidepdf.com/reader/full/evaluarea-incertitudinii-de-masurare-note-de-curs 6/19Sonia Gaiţă – INM Ianuarie 2005

Evaluarea incertitudinii standard u ( x i )

Metodă de evaluare de Tip A Metodă de evaluare bazată pe analiza statistică a

unei serii de n observaţii repetate şi independente

Metodă de evaluare de Tip B

Metodă de evaluare bazată pe alte metode decâtanaliza statistică a şirurilor de observaţii

ISO 3534-1:1993, Statistics - Vocabulary and

symbols - Part 1: Probability and general statistical terms [Statisticã- Vocabular şi simboluri. Partea 1:Probabilitate şi termeni statistici generali],International Organization for Standardization

(Geneva, Switzerland).



Termeni statistici

Rezultatul măsur ării trebuie perceput ca o distribuţiea valorilor posibile ce pot fi atribuite măsurandului:

Variabilă aleatoare Distribuţie de probabilitate a unei variabile aleatoare

Parametrii distribuţiei de probabilitate:

Media teoretică:

Abaterea standard:

σ = √ σ2, unde σ2 este varianţa variabilei aleatoare. Varianţa:

( ) x x x df µ t

∫ − x x f µ x x σ t d)()()( 22



Distribuţii de probabilitate Distribuţie normală Distribuţie dreptunghiular ă Distribuţie triunghiular ă



Incertitudine standard Incertitudinea standard este incertitudinea rezultatului

unei măsur ări exprimată printr-o abatere standard se defineşte ca r ădăcina pătrată a varianţei estimate.

Incertitudinea de măsurare asociată cu estimaţia deintrare, x i , este denumită incertitudine standard şieste notată cu u ( x i ).

Incertitudinea standard de Tip A se obţine printr-o evaluare de Tip A se calculează pe baza unui şir de observaţii repetate este abatere standard estimată statistic s

Incertitudinea standard de Tip B se obţine printr-o evaluare de Tip B se defineşte ca estimaţia abaterii standard obţinute dintr-o

distribuţie de probabilitate presupusã



Evaluarea de Tip A

Mărimea de intrare, X i şi n observaţiirepetate şi independente X i,k

Estimaţia de intrare x i este mediaaritmetică:

Incertitudinea standard u ( x i ) asociată lui x i este abaterea standard experimentală amediei:

∑==

n

k k i i i X

n X x

1 ,

1

2 /1

1

2, )(

)1(

1)()(

−

−∑=

n

k

i k i i i X X nn

X s x u



Evaluarea de Tip B

Informaţii relevante disponibile rezultate ale unor măsur ări anterioare;

experienţă sau cunoştinţe generale referitoare lacomportarea şi caracteristicile materialelor şimijloacelor de măsurare utilizate;

specificaţii ale fabricanţilor de mijloace demăsurare;

date specificate în certificate de etalonare sau alte

certificate; incertitudine atribuită valorilor de referinţă

preluate din lucr ări şi manuale.



Exemple de evaluări de Tip B (I)

Incertitudine obţinută din-o sursă externă Multiplu al unei abateri standard

incertitudinea standard u(x i ) este egală cu câtul dintrevaloarea menţionată şi factorul de multiplicare

Interval corespunzător unui nivel de încrederede 95 % sau 99 % se presupune că a fost folosită o distribuţie normală

incertitudinea standard u(x i ) este egală cu câtul dintreincertitudinea specificată şi factorul corespunzător pentrudistribuţia normală: 1,960 sau 2,576



Exemple de evaluări de Tip B (II)

Incertitudine obţinută dintr-o distribuţie de

probabilitate subiectivă Distribuţie dreptunghiular ă

probabilitatea ca valorile lui X i sã se afle între limitainferioar ă a

-şi superioar ă a

+

este egală cu 1

u(x i ) = a/√3, unde a = (a+ - a-)/2

Distribuţie triunghiular ă Valorile apropiate de centru sunt mai probabile decât

cele apropiate de limite

u(x i ) = a/√6, unde a = (a+ - a-)/2



Incertitudinea standard compusă u c(y )

Mărimi de intrare corelate Incertitudinea standard compusă a estimaţiei de

ieşire este r ădăcina pătrată a varianţei compuseestimate u c2(y ):

Legea de propagare a incertitudinii, în care ∂f/ ∂ x

i

= c i

– coeficienţi de sensibilitate u i (y) = c i u(x i ) – contribuţia la incertitudinea standard

compusă u ( x i , x j ) – covarianţa estimată

( ) ( ) ( ) j i

N

i

N

j i i

N

i c u

f f u

f y u x x

x x x

x , j=i ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∑ ∑

−

= =+

=

1

1 12

1

2

2 2



Incertitudinea standard compusă u c(y )

Mărimi de intrare necorelate

Exemplu: Ecuaţia de măsurare:Y = a1 X 1 + a2 X 2 + ... + aN X N

Rezultatul măsur ării:y = a1 x 1 + a2 x 2 + ... + aN x N Incertitudinea standard compusă:

u 2

c(y ) = a

1

2 u 2( x 1 ) + a

2

2 u 2( x 2 ) + ... + a

N

2 u 2( x N )

( ) ( )i N

i c uf y u x

x 22

1

2 ∑

=

=i ∂

∂



Bilanţul incertitudinii

uuc c (y)(y)y y Y Y

u u N N ((y y ))c c

N N u u (( x x N N )) x x NN X X NN

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

u u 22 ((y y ))c c 22u u (( x x 22)) x x 2 2 X X 22

u u 11 ((y y ))c c 11u u (( x x 11)) x x 11 X X

11

ContribuContribuţţia laia la

incertitudineaincertitudinea

standardstandard

compusăcompusăuui i ((y y ) =) = c c i i uu(( x x

i i ))

CoeficientulCoeficientul

dede

sensibilitatesensibilitate

c c i i

DistribuDistribuţţia deia de

probabilitateprobabilitateIncertitudineaIncertitudinea

standardstandard

uu(( x x i i ))

EstimaEstimaţţiaia

x x i i

MărimeaMărimea

X X i i



Incertitudinea extinsă

Incertitudinea extinsă U se obţine înmulţindincertitudinea standard compusă u c (y ) cu un

factor de extindere k :U = k u c (y ) .

În general, k este cuprins între 2 şi 3. Pentru o distribuţie de probabilitate

aproximativ normală:

când k = 2, intervalul y ± U are un nivel de încredere de aproximativ 95 % când k = 3, intervalul y ± U are un nivel de

încredere de aproximativ 99 %.




Procedura de evaluare Se stabileşte funcţia de modelare:

Y = f ( X 1, X 2, …, X N ). Se determină estimaţiile de intrare x i . Se evaluează incertitudinea standard u(xi), printr-o

evaluare de Tip A sau de Tip B, după caz.

Se evaluează covarianţele asociate cu toateestimaţiile de intrare care sunt corelate. Se calculează rezultatul măsur ării y.

Se determină incertitudinea standard compusă u c (y ). Dacã este necesar, se determină incertitudinea

extinsă U. Se raportează rezultatul măsur ării:

y ± u c (y ) sau y ± U.



Sonia Gaiţă - INM Ianuarie 2005

“Evaluarea incertitudinii nu este

niciodatã o misiune de rutinã şi nici ooperaţie pur matematicã; aceastadepinde de cunoaşterea temeinicã a

naturii mãsurandului şi a mãsurãrii.Calitatea şi utilitatea incertitudinii

stabilite pentru rezultatul unei mãsurãridepind, în ultimã instanţã, de analizacriticã, de onestitatea intelectualã şi decompetenţa profesionalã a celor cecontribuie la evaluarea ei.”

evaluarea incertitudinii de masurare. note de curs

Documents