evaluarea incertitudinii de masurare

5/8/2018 Evaluarea Incertitudinii de Masurare - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/evaluarea-incertitudinii-de-masurare 1/29

(NOTE DE CURS)

Evaluarea şi exprimarea incertitudinii de măsurare

În toate domeniile legate de certificarea calităţii şi de acreditarealaboratoarelor de încercare şi a celor de etalonare, în metrologia ştiinţifică, în ceaindustrială şi în cea legală, în standardizare, precum şi în alte sectoare de activitatea fost introdus şi generalizat conceptul de incertitudine de măsurare, ca parametruesenţial al calităţii unei măsur ări. Făr ă specificarea incertitudinii de măsurare,evaluat şi exprimat după reguli convenite, rezultatul comunicat al măsur ării nu estecredibil şi poate fi complet inutilizabil pentru beneficiarul său.

Cele ce urmează constituie o prezentare a stadiului actual al modului deevaluare şi exprimare a incertitudinii de măsurare, bazată în mare parte pe ghidulISO consacrat acestui subiect,1 preluat şi ca standard român2, ulterior înlocuit cu unstandard european3

Scurt istoric

Aşa cum utilizarea aproape universală a Sistemului Internaţional de unităţi(SI) a conferit coerenţă tuturor măsur ărilor în ştiinţă şi în tehnologie, un consensmondial asupra evaluării şi exprimării incertitudinii de măsurare poate conduce lacompatibilitatea imediată şi la interpretarea adecvată a semnificaţiei unui spectruvast de rezultate ale măsur ărilor în cercetare, inginerie, comer ţ, industrie şilegislaţie. În epoca actuală a pieţii mondiale, devine imperativ ca metoda deevaluare şi exprimare a incertitudinii să fie uniformă în întreaga lume, astfel camăsur ările executate în ţări diferite să fie uşor de comparat.

În 1977, recunoscând lipsa unui consens internaţional în exprimareaincertitudinii de măsurare, autoritatea mondială supremă în metrologie, ComitetulInternaţional de Măsuri şi Greutăţi (CIPM), a cerut Biroului Internaţional de

1 Guide to the expression of uncertainty in measurement. JCGM (ISO, BIPM, IEC, IFCC,

ILAC, IUPAP, IUPAC), ISO, Geneva, 1993, 1995, 2008 2 Standard Român SR 13434: Ghid pentru evaluarea şi exprimarea incertitudinii de

măsurare. ASRO, Bucureşti, 1999 3 Standard Român SR ENV 13005: Ghid pentru exprimarea incertitudinii de măsurare.ASRO, Bucureşti, 2003



Măsuri şi Greutăţi (BIPM) să se ocupe de rezolvarea acestei probleme, împreună culaboratoarele naţionale de metrologie şi să elaboreze o recomandare.

BIPM a formulat un chestionar detaliat cuprinzând întrebări privitoare lasubiect şi l-a distribuit către 32 de laboratoare metrologice naţionale interesate; aufost primite r ăspunsuri de la 21 de laboratoare. Aproape toţi au fost de părere că este important să se ajungă la o procedur ă acceptată internaţional pentruexprimarea incertitudinii de măsurare şi pentru combinarea componentelor individuale de incertitudine într-o singur ă incertitudine totală. Nu s-a desprins însă nici o concluzie cu privire la metoda care va trebui utilizată. Atunci BIPM aconvocat un grup de lucru format din exper ţi de la 11 laboratoare naţionale(Working Group on the Statement of Uncertainties, WGSU), care a elaboratRecomandarea INC-1 (1980): Exprimarea Incertitudinilor Experimentale.Recomandarea a fost adoptată de către CIPM în octombrie 1981 şi reconfirmată în1986. Textul acestei recomandări fiind de o importanţă deosebită pentru evoluţiaulterioar ă a chestiunii, el este redat în întregime în această anexă.

Concomitent, s-a hotărât elaborarea unui ghid detaliat, bazat pe recomandareagrupului de lucru (care este o scurtă prezentare şi nu o prescripţie detaliată). CIPMa însărcinat Organizaţia Internaţională de Standardizare (ISO) cu alcătuirea acestuighid, pentru a ţine seama mai bine şi de interesele industriei şi comer ţului.Responsabilitatea elabor ării a fost dată Grupului Consultativ Tehnic al ISO pentruMetrologie (ISO Technical Advisory Group on Metrology), care a colaborat cuîncă şase organizaţii internaţionale: Comisia Electrotehnică Internaţională (IEC),Comitetul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi (CIPM), Organizatia Internaţională

de Metrologie Legală (OIML), Uniunea Internaţională de Chimie Pur ă şi Aplicată (IUPAC), Uniunea Internaţională de Fizică Pur ă şi Aplicată (IUPAP) şi FederaţiaInternaţională de Chimie Clinică (IFCC). Un grup de lucru constituit în acest scop(ISO/TAG4/WG3), compus din exper ţi desemnaţi de BIPM, IEC, ISO şi OIML, aelaborat lucrarea "Ghid pentru exprimarea incertitudinii de măsurare", care

prevede reguli de evaluare şi exprimare a incertitudinii de măsurare pentru a fiutilizate în standardizare, etalonare, încercări, acreditarea de laboratoare şi serviciimetrologice.

Ghidul, apărut pe parcursul a peste şase ani în mai multe versiuni preliminareşi în 1993 sub formă definitivă, constituie o lucrare de referinţă în domeniu, de

peste 120 de pagini, prezentând detaliat principiile şi procedurile recomandate,însoţite de numeroase explicaţii, note şi exemple care lămuresc cele mai multe

situaţii practice posibile. Consensul larg prin care a fost adoptat acest document i-aconferit un gir puternic în faţa unor organisme regionale şi naţionale destandardizare, care nu au întârziat să publice noi îndreptare şi proceduri, în acordaproape deplin cu ghidul ISO.

Dintre acestea, se distinge ghidul publicat de Western European CalibrationCooperation (WECC, în prezent înglobat în EAL), cu caracter strict aplicativ,

practic.



Mai pot fi citate: standardul german DIN 1319, partea a 4-a; ghidul "NISTTechnical Note 1297"; documentul NIS 3003 al NAMAS. În prezent există unnumăr mare de documente similare elaborate sau în curs de elaborare, inspirate dinGhidul ISO citat mai sus, dar în general cu caracter mai aplicativ, destinateutilizării cât mai largi. Ele stabilesc principii şi reguli generale pentru evaluarea şiexprimarea incertitudinii de măsurare, care pot fi urmate la diferite niveluri deexactitate şi în multe domenii – de la platforma industrială pînă la cercetărilefundamentale – cu implicaţii în:

• menţinerea controlului calităţii şi asigur ării calităţii în producţie;• respectarea şi impunerea legislaţiei şi a reglementărilor;• efectuarea de cercetare fundamentală, cercetare aplicativă şi dezvoltare, în

ştiinţă şi în inginerie;• etalonarea etaloanelor şi a aparatelor şi efectuarea de încercări în cadrul

sistemelor naţionale de măsur ări, în vederea asigur ării trasabilităţii la etaloanelenaţionale;

• dezvoltarea, menţinerea şi compararea etaloanelor de referinţă naţionale şiinternaţionale, inclusiv a materialelor de referinţă.

Incertitudinea de măsurare

In prezent este larg recunoscut faptul că, după ce toate componentelecunoscute sau asumate au fost evaluate şi corecţiile corespunzătoare au fostaplicate, r ămâne totuşi o incertitudine asupra corectitudinii rezultatului declarat,

adică o îndoială privitoare la cât de bine reprezintă acest rezultat valoarea mărimiimăsurate.Când se raportează rezultatul măsur ării unei mărimi fizice, este obligatoriu să

se dea o oarecare indicaţie cantitativă asupra calităţii rezultatului, astfel ca cei careîl utilizează să poată aprecia încrederea în acesta. Făr ă o asemenea indicaţie,rezultatele măsur ărilor nu pot fi comparate, nici între ele şi nici cu valorile dereferinţă date într-o specificaţie sau într-un standard. De aceea, este necesar să existe o procedur ă bine elaborată, uşor de înţeles şi general acceptată pentrucaracterizarea calităţii rezultatului unei măsur ări, adică pentru a evalua şi a exprimaincertitudinea sa.

Conceptul de incertitudine ca un atribut certificabil este relativ nou în istoriamăsur ărilor, în schimb eroarea şi analiza erorilor fac parte de mult timp din practica

ştiinţei măsur ărilor sau a metrologiei. Trebuie acordată o mare atenţie deosebiriidintre termenii "eroare" şi "incertitudine". Ei nu sunt nicidecum sinonimi, ci denotă concepte cu desăvâr şire diferite; ei nu trebuie confundaţi între ei sau utilizaţi greşit.

Cuvântul "incertitudine" înseamnă "îndoială" şi astfel într-un sens larg"incertitudinea de măsurare" înseamnă dubiu cu privire la validitatea rezultatuluiunei măsur ări. Termenul "incertitudine" este folosit atât pentru acest conceptgeneral, cât şi pentru a desemna acele mărimi specifice care dau măsurilecantitative ale conceptului, cum ar fi de exemplu abaterea standard.



Definiţia formală a termenului "incertitudine de măsurare", aşa cum este dată în Ghidul ISO, precum şi în actualul "Vocabular internaţional de termenifundamentali şi generali în metrologie" (VIM), este următoarea:

Incertitudine (de mă surare): parametru asociat cu rezultatul măsur ării, carecaracterizează dispersia valorilor ce pot fi atribuite în mod rezonabil măsurandului.

Parametrul la care se face referire poate fi, de exemplu, o abatere standard(sau un multiplu anumit al acesteia), sau semilărgimea unui interval având un nivelde încredere dat.

Aşa cum se arată în Ghidul ISO, această definiţie a incertitudinii de măsurareeste o definiţie operaţională, care se refer ă la rezultatul măsur ării şi laincertitudinea sa evaluată; în ea s-a evitat utilizarea conceptului de valoareadevărată. Ea este însă compatibilă cu alte concepte ale incertitudinii de măsurare,ca de exemplu:

- o estimaţie caracterizând intervalul de valori în interiorul căruia se găseştevaloarea adevărată a măsurandului (VIM, editia a 1-a, 1984);

- o măsur ă a erorii posibile în valoarea estimată a măsurandului, dată derezultatul măsur ării.

În mod obişnuit, incertitudinea de măsurare este definită printr-un intervalcentrat pe estimaţia x a valorii măsurandului, care reprezintă în acelaşi timprezultatul raportat al măsur ării. Incertitudinea U este astfel definită ca rezultatulmăsur ării să fie prezentat prin expresia simplă, simetrică, x ± U . În figura 1 suntilustrate aceste mărimi.

2U (plaja de incertitudine)

(rezultatul

raportat al

måsurårii)

(valoarea

adevåratå)

U U

x x _

(eroarea)e

Fig. 26. Reprezentare grafică a incertitudinii asociate rezultatului măsur ării,

împreună cu valoarea (adevărată) şi eroarea

Metoda ideală pentru evaluarea şi exprimarea incertitudinii rezultatuluiunei măsur ări ar trebui să fie:



• universal ă : metoda ar trebui să fie aplicabilă tuturor tipurilor de măsur ări şituturor tipurilor de date de intrare utilizate în măsur ări. Mărimea efectivă utilizată pentru exprimarea incertitudinii ar trebui să fie:

• consistent ă intern: ar trebui să fie direct derivabilă din componentele carecontribuie la ea, şi, de asemenea, independentă de modul în care acestecomponente sunt grupate, precum şi de descompunerea componentelor însubcomponente;

• transferabil ă : este necesar ca incertitudinea evaluată pentru un anumitrezultat să poată fi folosită ca o componentă în evaluarea incertitudinii uneialte măsur ări în care primul rezultat este utilizat.Evaluarea şi exprimarea incertitudinii de măsurare au un spectru larg de

aplicaţii, astfel:• efectuarea de cercetări fundamentale, cercetări aplicative şi de dezvoltare,în ştiinţă şi în inginerie;

• etalonarea etaloanelor şi a mijloacelor de măsurare şi efectuarea deîncercări în cadrul unui sistem naţional de măsur ări, în vederea realizăriitrasabilităţii la etaloanele naţionale;

• dezvoltarea, menţinerea şi compararea etaloanelor de referinţă naţionale şiinternaţionale ale unităţilor mărimilor fizice, inclusiv a materialelor dereferinţă;

• menţinerea controlului calităţii şi asigur ării calităţii în producţie;• respectarea şi impunerea legislaţiei şi a reglementărilor.

5.3.1 Erori, corecţii, incertitudine

În general, o măsurare este afectată de imperfecţiuni care dau naştere uneierori în rezultatul măsur ării. Tradiţional, se consider ă că o eroare are două componente şi anume o componentă aleatorie şi una sistematică.

Este de presupus că eroarea aleatorie îşi are originea în variaţia imprevizibilă sau stochastică temporală şi spaţială a mărimilor de influenţă. Efectele unor asemenea variaţii, numite de aici înainte efecte aleatorii, produc variaţii înobservaţiile repetate ale măsurandului. Eroarea aleatorie a unui rezultat demăsurare nu poate fi compensată prin vreo corecţie, dar în general poate fi redusă crescând numărul de observaţii: media statistică a sa sau media teoretică a sa estenulă.

Eroarea sistematică , ca şi eroarea aleatorie, nu poate fi eliminată, dar demulte ori poate fi micşorată. Dacă o eroare sistematică provine dintr-un efectidentificat al unei mărimi de influenţă asupra rezultatului măsur ării, ceea ce se

poate numi în general efect sistematic, efectul poate fi cuantificat, şi dacă acestaeste semnificativ ca mărime în raport cu exactitatea cerută în măsurare, se poateaplica o corecţie sau un factor de corecţie.

Incertitudinea unei corecţii aplicate unui rezultat al măsur ării în vedereacompensării unui efect sistematic nu este o eroare sistematică, ci reprezintă măsura



incertitudinii rezultatului datorată cunoaşterii incomplete a valorii necesare acorecţiei. Eroarea provenită din compensarea imperfectă a efectului sistematic nu

poate fi cunoscută exact; termenii “eroare” şi “incertitudine” trebuie utilizaţi corectşi în acest caz, f ăcându-se distincţia cuvenită între ei.

Se presupune că rezultatul unei măsur ări a fost corectat faţă de toate efectelesistematice identificate şi că s-a încercat prin toate mijloacele identificarea acestor efecte.

De exemplu, dacă se aplică o corecţie datorată impedanţei finite a unuivoltmetru utilizat pentru determinarea căderii de tensiune (măsurandul) la borneleunui rezistor de impedanţă mare (în vederea reducerii efectului sistematic asuprarezultatului provenit din efectul de sarcină al voltmetrului), valorile impedanţelor voltmetrului şi rezistorului, care sunt utilizate pentru estimarea valorii corecţiei şicare sunt obţinute din alte măsur ări, sunt ele înseşi incerte. Aceste incertitudini suntfolosite pentru evaluarea componentei incertitudinii de determinare a căderii detensiune provenită de la corecţie şi, în acest fel, de la efectul sistematic datoratimpedanţei finite a voltmetrului.

Un alt exemplu: deseori mijloacele şi sistemele de măsurare sunt ajustate sauetalonate utilizând etaloane şi materiale de referinţă, în vederea eliminării efectelor sistematice; cu toate acestea, trebuie să se ţină seama de incertitudinile asociateacestor etaloane şi materiale (deci efectele sistematice nu se pot elimina complet, cidoar micşora).

Incertitudinea rezultatului unei măsur ări reflectă lipsa cunoaşterii exacte avalorii măsurandului. Rezultatul unei măsur ări corectat pentru efecte sistematice

identificate este încă numai un estimator al valorii măsurandului datorită incertitudinii cauzate de efecte aleatorii şi corectării imperfecte a efectelor sistematice.

In practică există multe surse posibile de incertitudine într-o măsurare, careinclud:

a) definiţia incompletă a măsurandului;

b) realizarea imperfectă a definiţiei măsurandului;

c) eşantionarea nereprezentativă;

d) cunoaşterea neadecvată a efectelor condiţiilor de mediu asupra măsur ăriisau măsurarea imperfectă a condiţiilor de mediu;

e) eroare de justeţe personală la citirea mijloacelor de măsurare analogice;

f) rezoluţia finită a mijlocului de măsurare sau pragul de discriminare;

g) valori inexacte ale etaloanelor şi materialelor de referinţă;

h) valori inexacte ale constantelor şi altor parametri obţinuţi din surse externeşi folosiţi în algoritmul reducerii datelor;



i) aproximaţii şi presupuneri incorporate în metoda şi procedura demăsurare;

j) variaţii în observaţiile repetate ale măsurandului în condiţii aparent identice.

Aceste surse nu sunt în mod necesar independente, iar unele din sursele de laa) la i) pot contribui la sursa menţionată la j).

Evaluarea incertitudinii de măsurare

Recomandarea INC-1 (1980) a Grupului de Lucru pentru ExprimareaIncertitudinilor clasifică componentele incertitudinii în două categorii, pe baza

metodei lor de evaluare, incertitudini de tip A şi incertitudini de tip B. Acestecategorii se refer ă la incertitudine şi nu sunt sinonime cu "aleatoriu" respectiv"sistematic". De exemplu, incertitudinea corecţiei unui efect sistematic identificat

poate fi obţinută uneori pe baza evaluării de tip A, iar alteori pe baza unei evaluăride tip B, la fel cu incertitudinea ce caracterizează un efect aleatoriu.

Varianţa estimată u2 ce caracterizează o componentă a incertitudinii obţinută printr-o evaluare de tip A este calculată dintr-o serie de observaţii repetate şi nueste altceva decât varianţa obişnuită estimată statistic, s

2. Prin urmare abaterea

standard estimată u, r ădăcina pătrată a lui u2, este u º s şi este numită, pentrucomoditate, incertitudine standard de tip A. Pentru o componentă a incertitudiniiobţinută printr-o evaluare de tip B, varianţa estimată u

2 este calculată folosindinformaţii disponibile, altele decât cele rezultate din evaluarea statistică a unor măsur ări repetate, iar abaterea standard u astfel evaluată, este denumită incertitudine standard de tip B.

Deci o incertitudine standard de tip A se obţine cu ajutorul unei funcţii dedensitate de probabilitate dedusă dintr-o repartiţie de frecvenţe observate, în timpce o incertitudine standard de tip B se obţine dintr-o funcţie de densitate de

probabilitate presupusă teoretic pe baza încrederii acordate apariţiei unuieveniment (numită frecvent şi probabilitate subiectivă). Ambele utilizează interpretări egal valabile ale probabilităţii.

Scopul clasificării în tip A şi tip B este să indice cele două modalităţi deevaluare a componentelor incertitudinii şi se face numai pentru a uşura tratarea

problemei; clasificarea nu caută să indice vreo diferenţă în natura componentelor

rezultate din cele două tipuri de evaluare. Ambele tipuri de evaluare se bazează perepartiţii de probabilitate şi componentele de incertitudine provenite din amândouă sunt exprimate cantitativ prin varianţe sau abateri standard.

Pentru a satisface nevoile unor aplicaţii industriale şi comerciale, ca şi unelecerinţe în domeniul sănătăţii şi securităţii, se poate calcula o incertitudine extinsă U obţinută prin multiplicarea incertitudinii standard compuse uc cu un factor deextindere k . Scopul introducerii incertitudinii extinse U este să furnizeze uninterval în jurul rezultatului măsur ării care este de aşteptat să cuprindă o fracţiunemare a distribuţiei valorilor ce pot fi atribuite rezonabil măsurandului. Alegerea



factorului k , care este uzual între 2 şi 3, se bazează pe probabilitatea de acoperiresau nivelul de încredere dorit pentru interval.

Evaluarea incertitudinii standard

Modelarea mă sur ă rii

În cele mai multe cazuri măsurandul Y nu este măsurat direct, ci se determină din N alte mărimi X 1, X 2, ..., X N prin relaţia funcţională

Y = f(X 1 , X 2 , ..., X N ) (1)

O estimaţie a măsurandului Y , notată cu y, se obţine din ecuaţia (1), pe bazaestimaţiilor x1 , x2 , x3 ,..., x N ale celor N mărimi de intrare X 1, X 2, ..., X N . Astfel,estimaţia de ieşire y, care reprezintă rezultatul măsur ării, este dată de

y = f ( x1, x2, ... , x N ) (2)

Abaterea standard estimată asociată cu estimaţia de ieşire sau rezultatulmăsur ării y, denumită incertitudine standard compusă şi notată cu uc( y), sedetermină pe baza abaterilor standard estimate ale fiecărei estimaţii de intrare xi,numite incertitudini standard şi notate cu u( xi).

EXEMPLU - Dacă o tensiune V este aplicată la bornele unui rezistor dependentde temperatur ă, care are rezistenţa Ro la o temperatur ă dată t o şi un coeficient liniar de temperatur ă a al rezistenţei, puterea P (măsurandul) disipată de rezistor la

temperatura t depinde de V, Ro, α şi t după formula:

P = f (V, Ro ,α ,t ) = V 2 /Ro [1 + α (t - t o)]

Evaluarea de tip A a incertitudinii standard

În cele mai multe cazuri estimaţia cea mai bună μ q a mediei (teoretice) a uneimărimi q ce variază aleatoriu (o variabilă aleatorie), pentru care se dispune de n observaţii independente qk obţinute în condiţii identice de măsurare, este mediaaritmetică sau media q a celor n observaţii:

11

n

k

k

q qn == ∑ (3)

Astfel, pentru o mărime de intrare X i estimată din n observaţii repetate

independente X i,k , media aritmetică i X obţinută din (3) este cea care se foloseşte

drept estimaţie de intrare în ecuaţia (2), în vederea determinării rezultatuluimăsur ării y. Restul estimaţiilor de intrare, care nu sunt evaluate din observaţiirepetate, trebuie obţinute prin alte metode, aşa cum se va ar ăta mai departe.



Observaţiile individuale qk difer ă între ele ca valoare datorită variaţiilor întâmplătoare ale mărimilor de influenţă, sau efectelor aleatorii. Variaţiaexperimentală a observaţiilor care estimează varianţa σ

2 a distribuţiei de probabilitate a lui q este dată de

2 2

1

11

(( ) )n

k k

k

q qn

q=

−−= ∑ (4)

Estimaţia varianţei s2 (qk ) şi r ădăcina sa pătrată pozitivă s(qk

) numită abatere

standard experimental ă caracterizează variabilitatea valorilor observate qk saudispersia lor în jurul mediei q .

Estimaţia cea mai bună a lui ( )2 2q nσ σ = , varianţa mediei, este dată de2

2 ( )( ) k

q s q

n= (5)

Varianţa experimentală a mediei s2( q ) şi abaterea standard experimental ă a

mediei, s( q ), egală cu radicalul pozitiv al lui s2( q ) , exprimă cantitativ cât de bine

estimează q speranţa matematică a lui μ q şi fiecare poate fi folosită drept măsur ă aincertitudinii lui q .

Astfel, pentru o mărime de intrare X i determinată pe baza a n observaţiirepetate independente X i,k , incertitudinea standard u(xi ) a estimaţiei ei xi = X i esteu(X i ) = s(X i ), cu varianţa s

2(X i ) calculată conform ecuaţiei (5). Pentru

convenienţă, u2(X i ) = s2(X i ) şi u(X i ) = s(X i ), se numesc varian ţ a de tip A şiincertitudinea standard de tip A.

În figura 2 este ilustrată grafic evaluarea incertitudinii standard a unei mărimide intrare din observaţii repetate, pe un exemplu în care numărul măsur ărilor esten = 20. Sunt reprezentaţi parametrii repartiţiei teoretice (media sau expectaţia μ x şiabaterea standard s) şi estimările lor [media aritmetică experi-mentală x şiabaterea standard experimentală s( xk )], precum şi incertitudinea de tip A (abatereastandard experimentală a mediei) s( x ).



(a)

(b)

X _

µ x µ x - σ

µ x + σ

X _

+ s(X) _

X _

- s(X) _

X _

+ s(X k ) X _

- s(X k )

D e n s i t a t e d e p r o b a b i l i t a t e

N u m å r d e o b

s e r v a þ i i

X

X

Fig. 2. Ilustrare grafică a evaluării incertitudinii standard din obsevaţii repetate(evaluare de tip A): (a) funcţia de repartiţie, presupusă normală; (b) histograma an = 20 observaţii repetate. Sunt reprezentaţi parametrii repartiţiei teoretice (mediasau expectaţia μ x şi abaterea standard s) şi estimările lor [media aritmetică experi-

mentală şi abaterea standard experimentală s( xk )], precum şi incertitudinea de tipA (abaterea standard experimentală a mediei) s( )

Evaluarea de tip B a incertitudinii standard



Pentru o estimaţie xi a unei mărimi de intrare X i care nu a fost obţinută pe bazaunui şir de observaţii repetate, varianţa u

2(xi ) sau incertitudinea standard u(xi )

estimată asociată poate fi evaluată prin apreciere ştiinţifică bazată pe toateinformaţiile de care se dispune asupra posibilei variabilităţi a lui X i. Ansamblul deinformaţii poate include:

- date măsurate anterior;- experienţă sau cunoştinţe generale privitoare la comportarea şi proprietăţile

materialelor şi aparatelor;- specificaţii ale producătorului;- date furnizate în certificate de etalonare sau alte certificate;- incertitudini atribuite datelor de referinţă luate din manuale.Pentru convenienţă, u

2( xi) şi u( xi) evaluate pe această cale sunt numite uneorivarianţa de tip B şi respectiv incertitudinea standard de tip B.

In alte cazuri este posibil doar să se evalueze limite (superioar ă şi inferioar ă) pentru X i, în particular afirmând că "probabilitatea ca X i să se afle în intervalul de laa- la a+ pentru toate cazurile practice este egală cu unitatea, iar probabilitatea ca X i să se afle în afara intervalului este nulă". Dacă nu există nici o informaţie specifică despre valorile posibile ale lui X i din interiorul intervalului, se poate presupunenumai că fiecare valoare din interval este egal probabilă (distribuţie uniformă saurectangular ă a valorilor posibile). Atunci xi , speranţa matematică a lui X i, estemijlocul intervalului, xi =(a+ – a-) /2 cu varianţa

u2( xi) = (a+ – a-)/12 (6)Dacă diferenţa dintre cele două limite a+ – a- se notează cu 2a, atunci

ecuaţia (6) devineu2( xi) = a2/3 (7)Utilizarea corespunzătoare a ansamblului de informaţii disponibile pentru o

evaluare de tip B a incertitudinii standard necesită o viziune bazată pe experienţă şicunoştinţe generale, şi este o deprindere care se învaţă în practică. Trebuie observatcă o evaluare de tip B a incertitudinii standard poate fi la fel de demnă de încredereca şi o evaluare de tip A, mai ales în situaţia unei măsur ări în care evaluarea de tipA se bazează pe un număr relativ mic de observaţii statistic independente.

EXEMPLU - Intr-un certificat de etalonare se menţionează că masa unuietalon de masă din oţel inoxidabil m s având valoarea nominală de un kilogram este1 000,000 325 g şi că "incertitudinea acestei valori este de 240 μg, la nivelul de treiabateri standard". In acest caz, incertitudinea standard a etalonului de masă este

simplu u(m s ) = (240 μg)/3 = 80 μg. Aceasta corespunde unei incertitudini standardrelative u(m s )/m s de 80x10-9. Varianţa estimată este u

2(m s ) = (80 μg)2 = 6,4×102 g2

.

Incertitudinea specificată a lui xi poate fi dată ca un interval de nivel deîncredere 90 %, 95 % sau 99 % şi nu ca un multiplu al abaterii standard ca mai sus.Dacă nu se indică altfel, se poate presupune că s-a folosit o distribu ţ ie normal ă

pentru calculul incertitudinii şi incertitudinea standard a lui xi poate fi regăsită prinîmpăr ţirea incertitudinii date ca interval cu factorul corespunzător valabil pentru



distribuţia normală. Factorii ce corespund celor trei niveluri de încrederemenţionate mai sus sunt: 1,64; 1,96 şi 2,58 (a se vedea tabelul nr.1).

În tabelul nr.1 este dată valoarea factorului de extindere k p care generează uninterval corespunzător nivelului de încredere p în cazul unei distribuţii normale.

Tabelul nr.1

Nivelul de încredere p %

Factorul de extindere k p

68,27 190 1,64595 1,96095,45 2

99 2,57699,73 3

EXEMPLU. Într-un certificat de etalonare se afirmă că rezistenţa unui rezistor etalon R s având valoarea nominală de zece ohmi este 10,000 742 Ω + 129 μΩ la23 oC şi că "incertitudinea specificată de 129 µ Ω defineşte un interval avândnivelul de încredere de 99 procente". Incertitudinea standard a rezistorului poate filuată ca u(R s ) = (129 μΩ )/2,58 = 50 μΩ , ceea ce corespunde incertitudiniistandard relative u(R s )/ R s de 5,0×10

-6. Varianţa estimată este u2(R s ) = (50 μΩ )2 =

2,5×10-9 Ω 2.

ALTE EXEMPLE1. Într-un manual este dată valoarea coeficientului de dilatare termică

liniar ă a cuprului pur la 20 oC, α 20(Cu), ca fiind egală cu 16,52×10-6 oC

-1 şi se

afirmă simplu că "eroarea acestei valori nu depăşeşte 0,40×10-6 oC

-1". Bazat pe

această informaţie limitată, este rezonabil să se admită că valoarea lui α 20(Cu) estecuprinsă, cu probabilitate egală, în intervalul 16,12×10-6 oC-1 şi 16,92×10-6 oC-1, şică este foarte puţin probabil ca α 20(Cu) să se afle în afara acestui interval. Varianţaacestei distribuţii dreptunghiulare simetrice a valorilor posibile ale lui α 20 (Cu), cusemilărgimea a = 0,40×10-6 oC

-1, rezultă, din ecuaţia (5.7),

u2( α

20) = (0,40×10

-6 oC-1

)2 / 3 = 53,3×10

-15 oC-2

,

iar incertitudinea standard este:

u( α 20 ) = (0,40×10

-6 oC-1)/ 3 = 0,23×10

-6 oC-1

.

2. Specificaţiile unui fabricant pentru un voltmetru digital precizează că întreun an şi doi ani de la etalonarea aparatului incertitudinea acestuia în gama de 1 Veste de 14×10-6 din valoarea indicată plus 2×10-6 din valoarea gamei (domeniului).Se consider ă că aparatul este utilizat la 20 de luni după etalonare pentru a măsura odiferenţă de potenţial U , în gama de 1 V, iar media aritmetică a unui număr de



observaţii repetate independente ale lui U este 0,928 571 VU = cu o

incertitudine standard de tip A u(U ) = 12 μV. Incertitudinea standard conform cuspecificaţiile fabricantului poate fi determinată printr-o evaluare de tip B admiţândcă incertitudinea specificată prevede limite simetrice pentru o corecţie aditivă a lui

U , adică ∆U , cu media teoretică egală cu zero şi cu o egală probabilitate de a seafla oriunde în interiorul limitelor. Semilărgimea a a distribuţiei dreptunghiulare

simetrice a valorilor lui ∆U este a = (14×10-6)×(0,928 571 V) + (2×10-6) ×(1V) =

15 μV, iar din ecuaţia (7.7) rezultă că u2(∆U ) = 75 μV şi u(∆U ) = 8,7 μV.Estimaţia valorii măsurandului U , notată pentru simplificare cu acelaşi simbol U ,

este U = U +∆

U = 0,928 571 V ± 15μ

V. Incertitudinea standard compusă aacestei estimaţii poate fi obţinută prin compunerea incertitudinii standard de tip A a

lui U , egală cu 12 μV, cu incertitudinea standard de tip B a lui ∆U , egală cu 8,7μV.

Determinarea incertitudinii standard compuse

(a) M ă rimi de intrare necorelate

Aici este tratat mai întâi cazul în care toate mărimile de intrare suntindependente.

Incertitudinea standard a lui y, unde y este estimaţia măsurandului Y şi astfelrezultatul măsur ării, se obţine combinând în mod adecvat incertitudinile standardale estimaţiilor de intrare, x1, x2, ... , x N . Această incertitudine standard compusă aestimaţiei y se notează cu uc( y).

Incertitudinea standard compusă uc( y) este r ădăcina pătrată pozitivă avarianţei compuse uc

2( y), care este dată de

( )2

2 2

1

( ) N

c i

i i

f u x

xu y

=

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

= ∑ (8)

unde f este funcţia din ecuaţia (1). Fiecare u( xi) este o incertitudine standardevaluată după cum s-a ar ătat mai sus, printr-o evaluare de tip A sau printr-oevaluare de tip B. Incertitudinea standard combinată uc( y) este o abatere standardestimată şi caracterizează dispersia valorilor care pot fi rezonabil atribuitemăsurandului Y .

Ecuaţia (8) şi corespondenta ei pentru mărimi de intrare corelate, (11), ambele bazate pe o aproximare printr-o serie Taylor de ordinul întâi a lui Y = f (X 1 , X 2 ,... X N ), exprimă ceea ce se numeşte în general legea de propagare a

incertitudinii.Derivatele par ţiale / i f x∂ ∂ din ecuaţia (5.10) caracterizează “sensibilitatea”

lui y faţă de variaţia fiecărui xi şi se numesc coeficien ţ i de sensibilitate. Cu notaţia:



i

i

f c ∂

∂ = (5.11)

ecuaţia (5.10) se mai scrie:

( ) ( )2 2 2

1

N

C i i

i

u y c u x=

= ∑

Dacă Y este de forma 1 21 2 ... N p p p

N Y cX X X = şi exponenţii pi sunt numere

pozitive sau negative cunoscute ce au incertitudini neglijabile, varianţa compusă exprimată de ecuaţia (8) poate fi dată sub forma

(a)

(b)

µ x

µ x



X

X

a+

a+

a-

a-

µ x - a / 3

µ - a / 6

µ x + a / 3

µ + a / 6

a

a

1 / 2 a

1 / a

a

a

Fig. 3. Ilustrare grafică a evaluării incertitudinii standard pe baza unei repartiţii apriorice

(evaluare de tip B):(a) repartiţie dreptunghiular ă (echiprobabilă); (b) repartiţie triunghiular ă. Sunt reprezentate

media μ x şi abaterea standard a3½ (pentru repartiţia dreptunghiular ă) şi respectiv a6½ (pentru repartiţia triunghiular ă)



( ) ( ) 22

1

N i ic

i i

p u xu y

y x=

⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ (9)

Aceasta este o formă mai simplă decât (8), foarte frecvent folosită în practică,în care varianţa compusă uc

2(y) este înlocuită prin varian ţ a compusă relativă [uc(y)/ y]2 şi varianţa estimată u

2(xi ) a fiecărei estimaţii de intrare prin varian ţ a

relativă estimată [u(xi )/xi]2.

Dacă fiecare pi este +1 sau -1, ecuaţia (9) devine

( ) ( )22

1

N ic

i i

u xu y

y x=

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ∑ (10)

care arată că în acest caz special varianţa compusă relativă asociată cu estimaţia y este simplu egală cu suma varianţelor relative estimate asociate cu estimaţiile deintrare xi.

(b) M ă rimi corelateEcuaţia (8) şi cele deduse din ea, ca (9) şi (10), sunt valabile numai dacă

mărimile de intrare X i sunt independente şi necorelate. Dacă vreunele dintremărimile X i sunt corelate semnificativ, corelaţiile trebuie luate în considerare.

Când mărimile de intrare sunt corelate, expresia potrivită pentru varianţacombinată uc

2(y) a rezultatului măsur ării este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 2

1 1 1

2 N N N

C i i i j i j i j

i i j

u y c u x c c u x u x r x x−

= = =

= +∑ ∑∑ (11)

unde xi şi x j sunt estimaţiile lui X i şi X j iar u(xi, x j) = u(x j, xi) este covarianţa estimată asociată cu xi şi x j. Gradul de corelaţie între xi şi x j este caracterizat de coeficientul

de corelaţie:

( )cov ,i ji j

i j

i ji j

xu(x ,x )r(x ,x )

u(x )u(x ) x

σ σ = = (12)

unde r(xi , x j ) = r ( x j, xi) şi -1 £ r ( xi, x j) £ +1. Dacă estimaţiile xi şi x j suntindependente, r(xi , x j ) = 0 şi o variaţie a unuia nu implică o variaţie a celuilalt.

În funcţie de coeficienţii de corelaţie, care se interpretează mai direct decâtcovarianţele, termenul de covarianţă al ecuaţiei (11) poate fi scris astfel:

1

1 1

2 ( ) ( ) ( , ) N N

i j i

f f u x u x r x x

i j i j x xi j

∂ ∂

∂ ∂

−

= = +∑ ∑ (13)

Prin urmare, ecuaţia (11) poate fi pusă şi sub forma



1

2 22

1 1 1

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( , ) N N N

c i i i j i j i ji i j i

u y c u x c c u x u x r x x−

= = = +

= +∑ ∑ ∑

(14)In cazul special în care toate estimaţiile de intrare sunt corelate, cu coeficienţii

de corelaţie r(xi ,x j ) = + 1, ecuaţia (16) se reduce la

( ) ( ) ( )22

2

1 1

N N

C i i i

i i i

f u y c u x u x

x

∂

∂ = =

⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ (15)

Incertitudinea standard combinată uc(y) este în acest caz chiar suma liniar ă atermenilor reprezentând variaţia estimaţiei de iesire y generată de incertitudinea

standard a fiecarei estimaţii de intrare xi .Intre două mărimi de intrare poate exista totdeauna o corelaţie semnificativă

dacă se foloseşte acelaşi aparat de măsurat, acelaşi etalon sau aceeaşi mărime dereferinţă în determinarea lor. De pildă, dacă pentru aplicarea corecţiei detemperatur ă la estimarea a două mărimi de intrare X i şi X i se foloseşte acelaşitermometru, cele două mărimi de intrare pot fi corelate semnificativ. În schimb,dacă X i şi X j din acest exemplu sunt redefinite ca mărimi necorectate, iar mărimilecare definesc curba de etalonare a termometrului sunt adăugate ca mărimi deintrare suplimentare cu incertitudini standard independente, corelaţia dintre X i şi

X j va fi eliminată.Corelaţiile între mărimile de intrare nu pot fi ignorate dacă există şi sunt

semnificative. Covarianţele asociate trebuie evaluate experimental dacă e posibil, prin varierea mărimilor de intrare sau folosind toată informaţia de care se dispunedespre variabilitatea corelată a mărimilor în chestiune. Evaluarea de tip B acovarianţei necesită abilitate bazată pe experienţă şi cunoştinţe generale, în specialatunci când se estimează gradul de corelaţie între mărimi de intrare ce apare carezultat al efectelor mărimilor de influenţă comune, cum ar fi temperatura mediuluiambiant, presiunea atmosferică şi umiditatea. Din fericire însă, în multe cazuriefectele unor asemenea influenţe au o interdependenţă neglijabilă şi mărimile deintrare afectate pot fi presupuse necorelate. Totuşi, dacă ele nu pot fi consideratenecorelate, corelaţiile în sine pot fi evitate dacă influenţele comune sunt introduseca mărimi de intrare independente suplimentare (aşa cum s-a exemplificat mai sus).

EXEMPLU. Zece rezistoare, fiecare având rezistenţa nominală Ri

= 1000Ω, sunt etalonate, cu o incertitudine de comparare neglijabilă, în funcţie de acelaşirezistor etalon R s de 1000 Ω, caracterizat, conform certificatului său de etalonare,

printr-o incertitudine standard u(R s) = 100 mΩ. Rezistoarele sunt legate în serie cuconductoare de rezistenţă neglijabilă, pentru a se obţine o rezistenţă de referinţă Rref

cu valoarea nominală de 10 k Ω. Astfel Rref = f(Ri ) =10

1i

i

R=∑ . Întrucât r(xi , x j ) = r(Ri ,

R j ) = + 1 pentru fiecare pereche de rezistoare, este aplicabilă ecuaţia (5.16).



Deoarece pentru fiecare rezistor i ref i f/ x R / R 1∂ ∂ ∂ ∂ = = , iar u(xi) = u(Ri) = u(R s),

ecuaţia respectivă dă pentru incertitudinea standard compusă a lui Rref ,

( )10

110 (100 m ) 1 sc ref

i )( u R u R

=∑= = × Ω = Ω .

Rezultatul ( ) ( )

110 2

2

1

0,32C ref S

i

u R u R=

⎡ ⎤= = Ω⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ care s-ar obţine din

ecuaţia (5.10) este incorect, deoarece el nu ţine seama de faptul că toate valorileetalonate ale celor zece rezistoare sunt corelate.

Determinarea incertitudinii extinse

Recomandarea INC-1 (1980) a Grupului de lucru pentru exprimareaincertitudinilor prevede folosirea incertitudinii standard combinate uc(y) ca un

parametru ce exprimă cantitativ incertitudinea rezultatului unei măsur ări. Cu toatecă uc(y) poate fi folosit universal pentru exprimarea incertitudinii unui rezultat demăsurare, în anumite aplicaţii comerciale, industriale şi normative, precum şi îndomeniul sănătăţii şi securităţii este, deseori, nevoie să se dispună de un indicator al incertitudinii care ofer ă un interval în jurul rezultatului măsur ării care este de

aşteptat să cuprindă o mare parte a repartiţiei valorilor ce pot fi rezonabil atribuitemăsurandului.

Incertitudinea extinsă

Această măsur ă adiţională de incertitudine, care satisface cerinţa de a oferi un"interval de încredere" relativ mare, este denumită incertitudine extinsă (numită anterior şi incertitudine globală) şi se notează cu U . Incertitudinea extinsă U seobţine înmulţind incertitudinea standard combinată uc( y) cu un factor de extinderek :

U = k uc(y) (16)

Astfel, rezultatul unei măsur ări se exprimă convenabil ca Y = y ± U , ceea ce seinterpretează astfel: cea mai bună estimaţie a măsurandului Y este y iar intervaluldefinit de y – U şi y + U este un interval care este de aşteptat să cuprindă o mare

parte a repartiţiei valorilor ce pot fi rezonabil atribuite lui Y . Un asemenea intervaleste, de asemenea, exprimat ca y – U < Y < y + U .

Intervalul U poate fi interpretat ca definind un interval în jurul rezultatuluimăsur ării care cuprinde o fracţiune mare p a repartiţiei de probabilitatecaracterizată de rezultatul măsur ării şi de incertitudinea standard compusă a sa,unde p este probabilitatea de acoperire sau nivelul de încredere al intervalului.



De câte ori este posibil, nivelul de încredere p asociat cu intervalul definit deU trebuie estimat şi raportat. Trebuie însă recunoscut că multiplicarea lui uc(y) cu oconstantă nu ofer ă vreo informaţie nouă, el prezintă doar aceeaşi informaţiedisponibilă sub o altă formă. Pe de altă parte, trebuie de asemenea recunoscut că înmulte cazuri nivelul de încredere p (în special pentru valori ale lui p apropiate de 1)este destul de incert, nu numai din cauza cunoaşterii limitate a repartiţiei de

probabilitate caracterizate prin y şi uc(y) (mai ales în por ţiunile extreme), dar şi dincauza incertitudinii lui uc(y) în sine.

Alegerea factorului de extindere

Valoarea factorului de extindere k este aleasă pe baza nivelului de încrederedorit pentru intervalul de la y – U la y + U . În general, k este cuprins între 2 şi 3.Pentru aplicaţii speciale însă factorul de extindere poate fi în afara acestui interval.O oarecare experienţă şi cunoaşterea bună a utilizărilor posibile ale rezultatuluimăsur ării pot facilita alegerea unei valori potrivite a lui k .

Recomandarea INC-1 (1980) nu specifică cum trebuie stabilită relaţia dintre k şi p. O metodă mai simplă este deseori adecvată în situaţii în care repartiţia de

probabilitate caracterizată prin y şi uc(y) este apropiată de cea normală şi numărulde grade de libertate efectiv al lui uc(y) este destul de mare. In acest caz, caresurvine deseori în practică, se poate admite că luând k = 2 intervalul va aveanivelul de încredere de aproximativ 95%, iar luând k = 3 intervalul va avea nivelulde încredere de aproximativ 99%.

Multe lucr ări normative, ghiduri şi proceduri adoptate în ultimul timp pe plannaţional şi internaţional recomandă – pentru simplificare – valoarea k = 2 f ăr ă condiţionări sau limitări.

Exprimarea incertitudinii

In general, pe măsur ă ce se urcă în ierarhia măsur ărilor, sunt necesare din ceîn ce mai multe detalii despre modul în care s-a obţinut un rezultat al măsur ării şi s-a determinat incertitudinea lui. Cu toate acestea, la orice nivel al acestei ierarhii,incluzând comer ţul, ingineria în industrie, etalonări la niveluri inferioare, cercetareşi dezvoltare industrială, cercetare academică, laboratoare industriale de etalonare,laboratoare naţionale de etaloane şi BIPM, toate informaţiile necesare pentru

reevaluarea măsur ării trebuie să fie disponibile pentru cei care pot avea nevoie deele. La niveluri inferioare ale lanţului ierarhic al măsur ărilor, cea mai mare parte ainformaţiei necesare este de obicei furnizată prin rapoarte de etalonare şi deîncercare publicate, specificaţii de încercare, certificate de etalonare şi de încercare,manuale de pregătire, standarde internaţionale, standarde naţionale şi reglementărilocale.

In comer ţ şi în industrie se fac zilnic un număr mare de măsur ări f ăr ă vreoraportare explicită a incertitudinii. Totuşi, multe din aceste măsur ări sunt efectuate



cu aparate etalonate periodic sau care sunt sub incidenţa metrologiei legale. Dacă aparatele satisfac cerinţele prescripţiilor şi ale normelor existente, incertitudinileindicaţiilor lor pot fi preluate din aceste specificaţii sau documente normative.

În general, cantitatea de informaţie necesar ă pentru documentarea temeinică aunui rezultat de măsurare depinde de destinaţia acestuia. În acest scop, în cazulmăsur ărilor de importanţă mare (în cercetare, determinări de constante fizice,etaloane naţionale, etc.) este necesar:

a) să se descrie clar metodele folosite pentru estimarea rezultatului măsur ăriişi a incertitudinii sale, din observaţiile experimentale şi din datele de intrare;

b) să se enumere toate componentele incertitudinii şi să se documentezecomplet cum a fost evaluată fiecare;

c) să se prezinte analiza datelor în aşa fel încât fiecare pas important să poată fi urmărit uşor şi calculul rezultatului raportat să se poată reface în caz de nevoie,în mod independent;

d) să se dea toate corecţiile semnificative şi constantele utilizate, precum şisursele acestora.

În practică, se întâlnesc două moduri distincte de consemnare a incertitudiniide măsurare: prin incertitudinea standard combinată uc(y), sau prin incertitudineaextinsă U .

(i) Dacă mă sura incertitudinii este incertitudinea standard combinat ă , uc(y),este necesar:

a) să se dea o descriere completă a definirii măsurandului Y ; b) să se dea estimatia y a măsurandului şi incertitudinea standard compusă a

sa uc(y); unităţile lui y şi ale lui uc(y);c) să se includă şi incertitudinea standard combinată relativă uc(y)/| y|, y ≠ 0,atunci când este cazul.

Când măsura incertitudinii este uc(y), este de preferat ca rezultatul numeric almăsur ării să fie formulat într-unul din următoarele patru feluri posibile, pentru aevita confuziile (în exemplul care urmează, mărimea a cărei valoare este raportată se consider ă a fi masa unui etalon de valoare 100 g; cuvintele dintre paranteze potfi omise, pentru simplificare, dacă uc este definit în altă parte a documentului deraportare a rezultatului):

1) "m s = 100,021 47 g cu (incertitudinea standard) uc = 0,35 mg."

2) "m s = 100,021 47(35) g, unde numărul între paranteze este valoarea

numerică a (incertitudinii standard combinate) uc, exprimată în cifre deacelaşi rang cu ultimele cifre ale rezultatului dat."

3) "m s = 100,021 47(0,00 35) g, unde numărul între paranteze estevaloarea numerică a (incertitudinii standard combinate) uc exprimată înaceleaşi unităţi ca şi rezultatul dat."

4) "m s = (100,002 47 ± 0 000 35) g, unde numărul după semnul ± estevaloarea numerică a (incertitudinii standard combinate) uc şi nu un intervalde încredere."



Trebuie observat că formatul ± poate da naştere la confuzii, deoarece el a fostutilizat tradiţional pentru a indica un interval corespunzător unui nivel de încredereînalt şi astfel ar putea fi interpretat ca semnificând o incertitudine extinsă. Deaceea, menţiunea de la 4) este necesar ă, pentru a preveni o asemenea confuzie sau,mai bine, formularea 4) trebuie evitată.

(ii) Când mă sura incertitudinii este incertitudinea extinsă U = k uc, trebuie date:

a) definiţia completă a măsurandului Y ; b) rezultatul sub forma y = Y ± U , cu indicarea unităţilor lui y şi U ;c) incertitudinea extinsă relativă U /| y|, y ≠ 0, când este cazul;d) valoarea lui k utilizată la obţinerea lui U [sau, pentru comoditatea

utilizatorului rezultatului, incluse atît k cât şi uc(y)];

e) nivelul de încredere aproximativ asociat cu intervalul y ± U , menţionândcum a fost determinat.

Sumar al procedurii de evaluare şi exprimare a incertitudinii

Paşii de urmat pentru evaluarea şi exprimarea incertitudinii rezultatului uneimăsur ări, conform ghidului ISO, pot fi rezumaţi după cum urmează.

1 Se exprimă matematic relaţia dintre măsurandul Y şi mărimile de intrare X i de care depinde acesta: Y = f ( X 1, X 2, ... , X N ). Funcţia f trebuie să conţină toatemărimile, inclusiv corecţiile şi factorii de corecţie, care pot contribui semnificativla incertitudinea rezultatului măsur ării.

2 Se determină xi, valoarea estimată a mărimii de intrare X i , fie pe bazaanalizei statistice a unei serii de observaţii, fie prin alte mijloace.

3 Se evalueaza incertitudinea standard u(xi) a fiecărei estimaţii de intrare xi.Pentru aceasta, se face o analiză statistică a unor serii de observaţii (evaluare de tip

A a incertitudinii standard ), şi respectiv se estimează abaterile standard alemărimilor xi prin alte mijloace, pe baza altor informaţii disponibile (evaluare de tip

B a incertitudinii standard ).4 Se evaluează covarianţele asociate cu acele estimaţii între care există

corelaţii semnificative.5 Se calculează rezultatul măsur ării, adică estimaţia y a măsurandului Y , pe

baza relaţiei funcţionale f , utilizând pentru mărimile de intrare X i estimaţiile xi

obţinute la pasul 2 de mai sus.6 Se determină incertitudinea standard compusă uc(y) a rezultatului măsur ării y, din incertitudinile standard asociate şi eventualele covarianţe asociateestimaţiilor de intrare.

7 Dacă este necesar să se dea o incertitudine extinsă U , al cărei scop este să ofere un interval între y – U şi y+U care este de aşteptat să cuprindă o fracţiunemare a repartiţiei valorilor ce pot fi rezonabil atribuite măsurandului Y , semultiplică incertitudinea standard compusă uc(y) cu un factor de extindere k , având



valori tipice între 2 şi 3, pentru a se obţine U = k uc(y). Valoarea lui k se alege pe baza nivelului de încredere dorit al intervalului.

8 Se raportează rezultatul măsur ării y împreună cu incertitudinea standardcombinată a sa uc(y) sau cu incertitudinea extinsă U, utilizând unul din formatelerecomandate.

Exemplu recapitulativ

Un aparat etalon de referinţă este etalonat la valoarea nominală 20 diviziuni(div), folosindu-se un etalon secundar. Pentru etalonare se efectuează 10 măsur ări,în condiţii practic identice, obţinându-se următoarele indicaţii ale etalonuluisecundar (în div):

Tabelul 1

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 20,07 20,08 20,08 20,03 20,04 20,01 20,01 20,08 20,07 20,03

Distribuţia valorilor măsurandului este omogenă şi nu există valori aberante.Cunoscute:1. valorile indicate de etalon sunt date cu o incertitudine de 0,03 div;2. influenţa temperaturii introduce o incertitudine de 0,04 div;3. incertitudinea de măsurare a două din caracteristicile comune ale

etaloanelor, care se găsesc în corelaţie, coeficientul de corelaţie fiind +1, este (pentru fiecare din caracteristici) egală cu 0,02 div (toate incertitudinile sunt date lanivel de 1σ ).

Se vor determina:a) corecţia etalonului în punctul etalonat;

b) eroarea de repetabilitate pentru un nivel de încredere P = 95 %;,c) incertitudinea compusă de etalonare;d) rezultatul etalonării etalonului de referinţă.

Determinarea parametrilor şi s x:

Tabelul 2

i xi (div) xi – x ( xi – x )2

1

2

3

20,07

20,08

20,08

0,02

0,03

0,03

0,0004

0,0009

0,0009



45

6

7

8

9

10

20,0320,04

20,01

20,01

20,08

20,07

20,03

-0,02-0,01

-0,04

-0,04

0,03

0,02

-0,02

0,00040,0001

0,0016

0,0016

0,0009

0,0004

0,0004

Σ xi =200,5 Σ( xi – x ) = 0 Σ( xi – x )2 = 0,0076

= 200,5/10 = 20,05 div s x = 0,029 » 0,03 div

( )2

1 0,00760,03 div

9 9

n

i

i x

x x

s =

−= = =

∑

a) Eroarea sistematică de indicaţie a etalonului de referinţă este:∆ xet.sec = 20 - 20,05 = - 0,05 div

Corecţia etalonului de referinţă este: cet.sec = - ∆ xet.sec = 0,05 div b) Eroarea de repetabilitate este:

±2 s x = ±2 ×0,03 = ±0,06 div.c) Incertitudinea compusă uc este dată de relaţia:

uc2 = uA

2 + uB2

unde: uA este incertitudinea standard de tip AuB, incertitudinea standard de tip B.

Incertitudinea standard de tip A este:

A

0,030,01div

10 x

un

s= = = =

Incertitudinea standard de tip B este:6

2B

1

( ) 2i i ij i j

i

u f r σ σ σ σ =

= = +∑

unde σ i sunt abateri standard la nivel de 1σ σ = σ din certificatul etalonului secundar = 0,03 divσ

2 = 0,0009



σ 2 = σ influenţa temperaturii = 0,04 divσ 2

2 = 0,0016 σ 3 = σ prima variabilă corelată = 0,02 divσ 3

2 = 0,0004σ 4 = σ a doua variabilă corelată = 0,02 divσ 4

2 = 0,0004

42

B 3,4 3 41

2i

i

u r σ σ σ =

= +∑

( )4

B1

0,0009 0,0016 0,0004 0,0004 2 0,02 0,02 0,06 divi

u=

= + + + + × × =∑

Incertitudinea compusă de etalonare este:

2 2 2 2A B 0,01 0,06 0,06 divcu u u= + = + =

Rezultatul etalonării este:

x = 20,00 + 0,05 ± 0,06 = (20,05 ± 0,06) div



Bibliografie

[1] Guide to the expression of uncertainty in measurement , ISO / BIPM / IEC /IFCC / ISO / IUPAC / IUPAP / OIML, ediţia a I-a, 1993

[2] CIPM (1980), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 48, C1-C30;BIPM (1980), Rapport BIPM-80/3, Report on the BIPM enquiry on error

statements, Bur. Intl. Poids et Mesures (Sèvres, France)

[3] Kaarls, R. (1981), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49.Metrologia 17, 73-74

[4] CIPM (1981), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, 8-9, 26 ;Giacomo, P. (1982), Metrologia 18, 43-44

[5] CIPM (1986), BIPM Proc.-Verb. Com.Int. Poids et Mesures 54, 14, 35;Giacomo, P. (1982), Metrologia 24, 49-50

[6] Guidelines for the expression of the uncertainty of measurement in

calibrations, WECC Document 19-1990

[7] Grundbegriffe der Messtechnik . Behandlung von Unsicherheiten bei der Auswertung von Messungen. Deutsche Norm DIN 1319, Teil 4, Berlin, 1985

[8] Taylor, B. N., Kuyatt, C. E., Guidelines for evaluating and expressing theuncertainty of NIST measurement results, NIST Technical Note 1297, 1994Edition

[9] The expression of uncertainty and confidence in measurements, NIS 3003,Edition 7, NAMAS, 1991

[10] International vocabulary of basic and general terms în metrology, ediţia aII-a, ISO, 1993 (versiunea în limba română: SR 13 251, Vocabular interna ţ ional

de termeni fundamentali şi generali în metrologie, ediţia a I-a, 1995)



Recomandarea INC - 1 (1980)

Exprimarea incertitudinilor experimentale

1. Incertitudinea rezultatului unei măsur ări cuprinde, în general, mai multecomponente care pot fi grupate în două categorii, în funcţie de metoda utilizată

pentru a estima valoarea lor numerică:

A. cele care sunt evaluate cu ajutorul metodelor statistice,

B. cele care sunt evaluate prin alte mijloace.

Nu există întotdeauna o corespondenţă simplă între clasificarea în categoriileA sau B şi caracterul "aleatoriu" sau "sistematic" utilizat anterior pentru a clasificaincertitudinile. Termenul "incertitudine sistematică" poate duce la confuzii şitrebuie evitat.

Orice raportare detaliată a incertitudinii trebuie să conţină o listă completă acomponentelor şi să indice la fiecare dintre ele metoda utilizată pentru obţinereavalorii ei numerice.

2. Componentele din categoria A sunt caracterizate prin varianţele estimate

si2

(sau "abaterile standard" estimate si) şi numărul de grade de libertate νi. După caz, trebuie date şi covarianţele.

3. Componentele din categoria B trebuie să fie caracterizate prin mărimile u j2

care pot fi considerate ca aproximaţii ale varianţelor corespunzătoare, a căror existenţă este admisă. Mărimile u j

2 pot fi tratate ca varianţe, iar mărimile u j caabateri standard. După caz, covarianţele trebuie tratate similar.

4. Incertitudinea combinată trebuie caracterizată prin valoarea numerică obţinută aplicînd metoda uzuală de combinare a varianţelor. Incertitudineacombinată şi componentele sale trebuie exprimate sub formă de "abateri standard".

5. Dacă, pentru utilizări particulare, este necesar ca incertitudinea combinată să fie multiplicată cu un factor, în scopul obţinerii unei incertitudini globale(extinse, n.n.), valoarea numerică a acestui factor trebuie întotdeauna dată.



Cu privire la măsurand, valoare (adevărată), eroare, incertitudine

Procesul de mă surare

Măsurarea poate fi privită ca un proces în care intervin, ca elemente esenţiale(figura 4):

• obiectul supus măsur ării (pe scurt, obiect ), şi• aparatul de măsurat, instalaţia sau sistemul de măsurare (pe scurt, aparat ).

Mărimi de influenţă

O b iec t s u p u s măs u r ă r i i Aparat

de măsurat Interacţiune

Metodă de măsurare

Procedur ă de măsurareMăs u r a n d Rezultat a l

măsur ării Fig. 4. Elementele esenţiale care intervin în procesul de măsurare

Aparatul şi obiectul se află într-o interacţiune, în urma căreia se produce untransfer de energie şi un transfer de informaţie, numită informaţie de măsurare.

Procesul de măsurare este caracterizat prin metoda de măsurare şi prin procedura de măsurare.

Obiectul are mai multe proprietăţi fizice (sau chimice), descrise prin mărimifizice (chimice). Una din acestea constituie mă surandul (mărimea de măsurat).

Aparatul furnizează (direct sau indirect) rezultatul măsur ării, care reprezintă oestimare (aproximare) a valorii (adevărate a) măsurandului.

Întregul proces de măsurare se desf ăşoar ă în prezenţa influenţei unor factoriexteriori (proveniţi de la mediul ambiant, de la obiect sau chiar de la aparat), caregenerează mă rimi de influen ţă .



Acest tablou prezintă importanţă deoarece el sugerează cel mai bine principalele surse ale incertitudinii de măsurare: obiectul, aparatul, interacţiuneaobiect-aparat, metoda (procedeul) de măsurare şi mărimile de influenţă.

M ă surandul Primul pas în efectuarea unei măsur ări este specificarea măsurandului,

împreună cu toate condiţiile de măsurare şi cu mărimile de influenţă. De exemplu,la măsurarea diametrului unei piese cilindrice trebuie precizată, pe lângă condiţiilede mediu care pot avea o influenţă (în primul rând, tremperatura), şi orientareadiametrului măsurat (deoarece secţiunea nu este perfect circular ă), sau eventualtrebuie menţionat că se cere diametrul mediu. Desigur, o definire completă amăsurandului este, riguros vorbind, imposibilă. Cu cât măsurandul este maiincomplet definit, cu atât incertitudinea rezultatului va putea fi afectată mai mult decomponentele provenite de aici.

În mod ideal, mărimea măsurată corespunde integral definiţiei măsurandului.Deseori, însă, ceea ce se măsoar ă nu coincide cu mărimea ideală, ci este doar oaproximare a acesteia.

Rezultatul mă sur ă riiUn rezultat brut al măsur ării trebuie să fie corectat, ţinând seama de toate

influenţele cunoscute şi determinate. În felul acesta se ajunge la cea mai bună estimare a valorii măsurandului. Ea este însă în continuare imperfectă, în principaldin următoarele motive: (a) corecţiile aplicate au ele însele anumite incertitudini,

datorite necunoaşterii exacte a valorii mărimilor de influenţă şi a coeficienţilor desensibilitate respectivi; (b) pot exista şi alte efecte sistematice neevaluate şi decinecorectate; (c) rezultatul este influenţat şi de efecte aleatoii, care nu pot ficorectate. La acestea se adaugă şi incertitudinea datorită definirii incomplete amăsurandului, aşa cum s-a ar ătat mai sus.

Valoare "adevă rat ă ", eroareÎn ghidul ISO se accentuează că valoarea "adevărată" a unui măsurand este un

concept idealizat şi se recomandă ca el să nu fie folosit. Nu pot fi cunoscute decâtestimaţii ale acestei valori.

Prin urmare, nici eroarea (de măsurare) nu poate fi cunoscută, ci doar evaluată. În general, trebuie f ăcută distincţie clar ă între "eroare" şi "incertitudine".

Utilizarea în practică a conceptului de "eroare" este justificată numai în anumitesituaţii bine precizate. Astfel, se întâmplă frecvent, în special în metrologia legală,ca un mijloc de măsurare să fie comparat cu un etalon, în aşa fel încâtincertitudinile asociate etalonului şi procedurii de comparaţie să fie neglijabile faţă de exactitatea cerută pentru caracterizarea obiectului testat (de exemplu, laverificarea unei balanţe comerciale cu ajutorul unei greutăti etalon). În asemeneacazuri, întrucât incertitudinile componente care intervin sunt destul de mici pentru



a putea fi ignorate, se poate considera că prin această măsurare se determină eroarea aparatului testat.

IncertitudineAşa cum s-a mai subliniat, valorile exacte ale contribuţiilor erorilor la

rezultatul unei măsur ări sunt necunoscute şi incognoscibile. În schimb,incertitudinile asociate efectelor aleatorii şi celor sistematice, care dau naştereerorilor, pot fi evaluate.

Incertitudinea unei măsur ări poate fi privită ca expresie a faptului că, pentruun măsurand dat şi un rezultat al măsur ării obţinut, există nu una ci o infinitate devalori dispersate în jurul rezultatului – compatibile cu toate observaţiile şi datele deintrare ale măsur ării – care pot fi atribuite cu diferite grade de credibilitatemăsurandului.

Ilustrare grafică În figura 5 sunt reprezentate câteva din ideile discutate aici. Prima coloană

conţine mărimile mai importante care intervin în cursul evaluării şi exprimăriiincertitudinii de măsurare. În a doua coloană sunt reprezentate grafic (dar nu lascar ă) valorile observate şi respectiv atribuite în diferite etape ale evaluării, precumşi unele valori idealizate (incognoscibile). În a treia coloană sunt figurate (tot f ăr ă arespecta o scar ă), prin segmente, varianţele (pătratele incertitudinilor standard)rezultate în aceleaşi etape; se observă că varianţele corespunzătoare unor efectecumulative se însumează (în ipoteza că efectele sunt necorelate).



M ă r i m e a V a l o a r e a Va r i a n a

g ) V a l o r i a l e m ă s u r a n d u l u i d a t o r i t e d e f i n i r i i s a l e i n c o m p l e t e ( n e c u n o s c u t e )

h ) R e z u l t a t u l f i n a l a l m ă s u r ă r i i

(obse r v a i e i n d i v i d u a l ă )

(me d i a a r i t m e t i c ă )

(nu i n c l u d e v a r i a n a datorit ă d e f i n i r i i i n c o m p l e t e

a mă s u r a n d u l u i )

Fig. 5. Ilustrare grafică a valorilor măsurate, valorii (adevărate), erorii şiincertitudinii

evaluarea incertitudinii de masurare

Documents