Elemente de teoria elasticitățiiTeoria elasticității are ca obiect determinarea stării de  tensiune  şi deformații  într‐un corp realizat dintr‐un material la care se cunosc caracteristicile elastice, dacă se cunosc fie forțele exterioare, fie forma deformată sub acțiunea forțelor.

Studiul corpurilor deformabile la scară microscopică, pentru obținerea comportării acestuia este dificil de abordat. Este posibil să se studieze corpurile la scară macroscopică, pe baza unor legi matematice şi fizice a mediului considerat continuu care este verificată de comportarea experimentală a solidului deformabil.În cazul în comportarea materialului solidului deformabil (forță‐deformație sau tensiune‐deformație specifică) este descrisă de o relație liniară (elastică) atunci se discută de teoria elasticității. Dacă, însă, comportarea materialului este în domeniul plastic atunci se discută de teoria plasticității.Deformațiile  elementelor  de  rezistență  (solidului  deformabil)  sunt  foarte  mici  drept urmare ecuațiile de echilibru se scriu pentru structura nedeformată.

Întrucât  în  domeniul  tehnic  se  utilizează  o  mare  varietate  de  structuri  de rezistenţă, studierea modului de comportare a acestora se realizează prin utilizarea unor modele fizice care au caracteristici comune pentru un mare număr de structuri. Adoptarea modelului fizic pentru o anumită structură de rezistenţă se realizează pe baza unor ipoteze simplificatoare, care nu trebuie să  introducă erori mari şi care trebuie să respecte caracteristicile de bază ale structurii de rezistenţă.

Având adoptat modelul fizic al structurii se pot elabora ecuaţiile matematice care să descrie atât modelul fizic cât şi modul de comportare a structurii, atunci când aceasta este solicitată cu  o  anumită  încărcare.    Prin  adoptarea  pentru  o  anumită  structură  de  rezistenţă  a modelului  fizic  şi  a  relaţiilor  de  calcul  se  obţine  modelul  de  calcul  pentru  structura respectivă.

Modelul fizic al structurii de rezistență cuprinde următoarele componente:

• elemente  structurale,  sunt  acele  elemente  geometrice  care  formează  structura  de rezistență. Acestea pot fi clasificate după caracteristicile geometrice în:

‐ bară, grindă, tijă, arbore, toate aceste componente au o dimensiune mult mai mare decât celelalte două;‐ placă, membrană, toate aceste componente au o dimensiunie mult mai mică decât celelalte două;‐ blocul, masivul, au toate dimensiunile comparabile ca mărime.

• elemente care caracterizează schematizarea sarcinilor, prin care sarcinile se pot defini atât  în  raport  cu modul de acțiune  în  timp  cât  şi după  suprafața pe  care acționează.  În această categorie se pot enumera :

‐ sarcini permanente, care acționează fără întrerupere cu o intensitate constantă în timp;‐ sarcini excepționale, care se datoresc unor evenimente excepționale cum ar fi: exploziile, cutremurele;‐ sarcini temporare, a căror  intensitate variază  în timp, după o anumită  lege de variație, sau aleatoriu;‐ sarcini concentrate sau sarcini uniform distribuite.

• elemente de  legătură ale structurii, prin care se  realizează  legătura dintre elementele structurii  şi  dintre  structură  şi  elementele  din  exterior. După  numărul  posibilităților  de mişcare  (gradelor  de  libertate)  anulate  si  după modul  lor  de  anulare,  se  poate  face  o clasificare a elementelor de  legătură. Din numărul mare al posibilităților de  legătură ale unei structuri de rezistență se port enumera următoarele variante mai des utilizate :

‐ reazemul simplu (sau reazemul mobil), care suprimă un grad de libertate;‐ articulația  (sau  reazemul  fix),  care  suprimă  două  grade  de  libertate  pentru structurile plane şi trei grade de libertate pentru structurile spațiale;‐ încastrarea, care suprimă trei grade de libertate pentru structurile plane şi şase grade de libertate pentru structurile spațiale;‐ legături  elastice,  prin  care  forțele  de  legătură  sunt  în  dependență  cu deplasările din legături, după o anumită relație (de obicei liniară);‐ legături unisens,  care  se manifestă  atunci  când  există  tendința  de  deplasare într‐un anumit sens pe o direcție dată.

Toate  aceste  legături  amintite mai  sus,  sunt  legături  prin  care  se  anulează  în  totalitate gradul de libertate după o anumită direcție

Pentru a evidenţia aceste ecuaţii se  izolează din modelul fizic un element  infinit mic, care este delimitat de plane paralele cu planele de coordonate între care distanţa este dx, dy şi dz conform figurii de mai jos.

Modelul matematic al structurii de rezistență cuprinde următoarele componente:

Elementul  de  volum  astfel  obținut  este acționat de:‐ tensiunile normale şi tangențiale care sunt 

variabile în lungul axelor de coordonate;‐ forțele masice datorate greutății proprii;‐ forțele  de  inerție,  în  cazul  în  care  corpul 

are o mişcare,  la care accelerația este diferită de zero.

Scriind  ecuațiile  de  echilibru  al  forțelor  ce acționează  pe  acest  element  de  volum  în lungul axei Ox se obține următoarea expresie:

2

2zx

zxzxyx

yxyxx

xxt

udzdydxdzdydxXdxdydz

zdxdydzdxdy

ydzdxdzdydx

xdzdy

∂∂

⋅⋅⋅ρ=⋅⋅⋅+⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂τ∂

+τ−⋅⋅τ+⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

+τ−⋅⋅τ+⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂σ∂

+σ+⋅⋅σ− ρ

După reducerea termenilor se va obține ecuația: 2

2zxyxx

t

uX

zyx ∂δ

ρ=+∂τ∂

−∂τ∂

−∂σ∂

ρ

Ecuațiile de echilibru  static sau dinamic.

În ecuația anterioară,  reprezintă greutatea elementului de volum, iar ρX

2

2

t

u

∂∂

ρ reprezintă forțele de inerție care acționează asupra elementului de volum

Dacă se neglijează masa elementului de volum, structura se consideră în repaos sau mişcare rectilinie uniformă, se va obține:

0zyxzxyxx =

∂τ∂

−∂τ∂

−∂σ∂

0zxyzyxyy =∂τ∂

−∂τ∂

−∂σ∂

0yxzyzxzz =

∂τ∂

−∂τ∂

−∂σ∂

Care, scrise sub o formă matriceală, arată astfel:

{ }0

x0

yz00

xx00

y0

0zy

00x

zx

yz

xy

z

y

x

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

τττσσσ

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

−∂∂

ρX

[ ] { } { }0L =σ⋅

[ ]L{ }σ

Ecuația matriceală anterioară, se poate scrie sub o formă redusă, astfel:

unde: este un operator diferențial;

este vectorul tensiunilor.

În  figura alăturată este  reprezentată o  secțiune prin  elementul  de  volum  infinit mic  cu  planul înclinat  ABC,  împreună  cu  starea  de  tensiune aferentă.  Ecuațiile  de  echilibru  static  se determină pentru elementul din această  figură. Pentru  exemplificare  se  prezintă  ecuația  de proiecții pe axa Ox. 

Ecuațiile de echilibru static

În  mod  similar  se  obțin şi  celelalte  ecuații  de proiecții,  astfel  că  ecuațiile  de  echilibru  static pentru acest caz vor avea următoarea formă:

0SSSSp0F OBAzxOACyxOBCxABCxx =⋅τ−⋅τ−⋅σ−⋅⇒=∑

xzxyxx pnm =⋅τ+⋅τ+⋅σ

yzyyxy pnm =⋅τ+⋅σ+⋅τ

zzyzxz pnm =⋅σ+⋅τ+⋅τ

Aceste ecuaţii se determină pe cale experimentală şi exprimă legătura între deformaţiile specifice şi tensiuni. Ecuaţiile  au la bază legea lui Hooke.

Ecuațiile  constitutive 

Sub formă matriceală, ecuaţiile anterioare se pot scrie astfel:

ε⋅=σ E

xyxyxvx GG2 γ⋅=τε⋅+ε⋅λ=σ

yzyzyvy GG2 γ⋅=τε⋅+ε⋅λ=σ

zxzxzvz GG2 γ⋅=τε⋅+ε⋅λ=σ

( ) ( )μ−⋅μ+μ⋅

=μ−μ⋅

=λ211

E21

G2

( ) ( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

γγγεεε

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

μ−

μ−

μ−μ−μμ

μμ−μμμμ−

⋅μ+⋅μ−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

τττσσσ

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

221

00000

0221

0000

00221

000

0001

0001

0001

121E

Pentru starea spațială de tensiune vom avea:

în care:

este constanta lui Lamé.

în care [E]  este matricea de elasticitate.{ } [ ] { }ε⋅=σ E

Sub formă restrânsă relația anterioară devine:

Sub formămatriceală, aceste relații devin:

Dacă se exprimă deformațiile specifice în funcție de tensiuni vom putea scrie:

( )[ ]GE

1 xyxyzyxx

τ=γσ+σν−σ⋅=ε

( )[ ]GE

1 yzyzxzyy

τ=γσ+σν−σ⋅=ε

( )[ ]GE

1 zxzxyxzz

τ=γσ+σν−σ⋅=ε

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

τττσσσ

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

μ+μ+

μ+μ−μ−

μ−μ−μ−μ−

⋅=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

γγγεεε

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

E1

{ } [ ] { }σ⋅=ε C

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

μ−μ

μ⋅

μ−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

xy

y

x

2

xy

y

x

21

00

01

01

1

E

Pentru starea plană de tensiune se poate scrie:

Sub formă condensată vom putea scrie:

Elementul  de  rezistență,  care  este  parte  a  unei  structuri,  se  deformează  sub  acțiunea sarcinilor  direct  aplicate  şi  a  forțelor  din  legături.  Datorită  deformațiilor  produse  la elementul de  rezistență, punctele  sale materiale  se vor deplasa provocând  în acest  caz o modificare  a  configurației  sale  geometrice.  Astfel,  dacă  se  consideră  trei  puncte  care delimitează  două  segmente  de  dreaptă  perpendiculare  între  ele  şi  care  sunt  cuprinse  în planul xOy conform figurii alăturate.

Ecuațiile de compatibilitate 

xu

X ∂∂

=εyv

y ∂∂

=εzw

z ∂∂

=ε

xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γxw

zu

xz∂

+∂∂

=γyw

zv

yz ∂∂

+∂∂

=γ

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂γ∂∂∂γ∂∂∂γ∂

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεεε

εε

zx

zy

yx

z

y

x

0

0

0

xz2

yz2

xy2

2

2

2

2

2

2

xz

yz

xy

Scrise sub formămatriceală ecuațiile de mai sus,  vor avea forma următoare:

În cazul în care cele trei puncte vor avea deplasări după cele trei direcții paralele cu axele de coordonate Ox, Oy şi Oz notate cu u, v şi respectiv w, vom avea în acest caz: