ecuaţii în z - clasa a vi-a - prof. stan...

Ecuaţii în Z - Clasa a VI-a - Prof. Stan Adrian –

1

SCOALA CU CLASELE I-VIII, POTOCENI, COMUNA MĂRĂCINENI


2

Ecuaţii în Z

Încă de acum 2000 de ani înaintea erei noastre, egiptenii dovedeau vaste cunoştinţe matematice pe care le aplicau problemelor practice de măsurare a pământului ca urmare a inundaţiilor produse de Nil, dar şi în multe alte probleme pe care le puneau în ecuaţii şi care s-au găsit rezolvate pe papirusul Rhind al scribului Ahmes, papirus păstrat astăzi la British Museum din Londra. Alături de matematica chineză care conţine foarte multe exemple de folosire a ecuaţiilor, şi ştiinţa arabă a jucat un rol fundamental în dezvoltarea teoriei ecuaţiilor, teorie ce a fundamentat ştiinţa numită algebră, denumire introdusă după numele matematicianului Al - Horezmi (sau Al-Khwarizmi) cel care a realizat un tratat despre al - jabr(restaurarea) înţelegând prin aceasta etapa de separare a termenilor şi respectiv al - muqabala(comparaţie) ce presupunea etapa de reducere a termenilor asemănători. Matematicianul arab a conceput această nouă disciplină, algebra, care se referă la calculul cu necunoscute, pentru aplicaţiile sale la mărimi geometrice şi la numere în domeniul practic al schimburilor comerciale, al moştenirilor sau al măsurării terenurilor, enumerând o serie de ecuaţii canonice de gradul întâi şi de gradul al doilea, toate prezentate sub formă de fraze, aşa cum apăreau de altfel în toate scrierile de atunci, fără a recurge la o scriere simbolică. Alţi matematicieni arabi care si-au adus contribuţia de dezvoltarea teoriei ecuaţiilor au fost Abu Kamil, al – Karaji, Omar Khayyam, al – Kashi, aceştia trecând la un sistem de numeraţie zecimal în care numerele pozitive folosite de ei erau reprezentate de diverse simboluri. De abia în anul 1202 şi în Europa, Fibonacci(1170 - 1240) introduce denumirea pentru numărul zero, precum şi sistemul de numeraţie zecimal arab, scriere ce a învăţat-o cât a călătorit în nordul Africii prin mijlocul civilizaţiei arabe. Tot prin opera sa „ Liber Abaci” sunt introduse pentru prima dată şi numerele negative, acestea fiind interpretate ca datorii.

Definiţie: Se numeşte ecuaţie, o expresie algebrică cu una sau mai multe necunoscute şi în care apare o singură dată semnul egal.Exemplu: 3x+8=2 este o ecuaţie cu necunoscuta x.

Definiţie: Un număr este soluţie a unei ecuaţii dacă înlocuind pe x cu , obţinem o propoziţie adevărată.De exemplu, pentru = -2 se obţine -6+8=2, (Adevărat), rezultă că -2 este soluţie a ecuaţiei date.Definiţie: Se numesc ecuaţii echivalente, ecuaţiile care admit aceeaşi mulţime de soluţii.De obicei se notează cu S mulţimea soluţiilor unei ecuaţii.Exemplu: Ecuaţiile 3x+8=2 şi x+4=2 sunt echivalente deoarece au aceeaşi soluţie, şi anume x= -2.Definiţie. Se numeşte domeniu al unei ecuaţii , mulţimea în care ecuaţia admite soluţii. Dacă soluţiile unei ecuaţii nu sunt din domeniu, atunci spunem că ecuaţia nu are soluţii în acel domeniu.De exemplu, ecuaţia 3x+8=2, având soluţia x= -2, spunem că nu are soluţii în mulţimea N, deoarece

N 2 , dar are soluţie în Z.A rezolva o ecuaţie înseamnă a determina mulţimea soluţiilor acesteia dintr-o mulţime dată. Pentru aceasta, se transformă ecuaţia dată în ecuaţii echivalente prin trecerea dintr-un membru al ecuaţiei în celălalt, al unuia sau a mai multor termeni, trecere însoţită de schimbarea semnului termenului respectiv, sau prin înmulţiri sau împărţiri ai ambilor membri ai ecuaţiei cu acelaşi număr.


3

Ecuaţii de forma ax+b=0.

Schema de rezolvarea ecuaţiei a·x+b=0 în Z, Zba ,

Fie ., Zba

a

bxbxaabxa 0,0 .

Utilizarea balanţelor în rezolvarea de ecuaţii:1. Balanţa următoare este în echilibru. Ea are pe un taler patru cutii de aceeaşi greutate, iar pe celălalt taler o greutate de 10 kg şi două greutăţi fiecare de câte 1 kg. a) Scrieţi expresia algebrică ce modelează această situaţie;b) Aflaţi masa fiecărei cutii.Rezolvare: a) Notăm cu x masa fiecărei cutii, atunci se obţine următoarea ecuaţie: 4x=10+2b) Rezolvarea ecuaţiei Pentru a afla masa fiecărei cutii trebuie rezolvată ecuaţia: 4x=12, de unde rezultă x=12:4=3 kg


4

2. Să se rezolve ecuaţia 4x+2=x+5.

4x+2 =x+5

4x+2-2=x+5-2

4x-x=3

3x=3, x=1

Aplicaţii

1.Să se rezolve în Z ecuaţiile: a) 5x+12=27.

33

5:155

1227125

S

x

x

x

b) 4x+8= 12 4x=4 x=1c) 3x+7=19 3x=12 x=4d) 2x+4-3(3x+4)=2-5(x-2) 2x+4-9x-12=2-5x+10 (Desfacerea parantezelor) 2x-9x+5x=2+10-4+12 (Separarea termenilor – cei cu x în stânga , cei fără x în dreapta) -2x=20 (Calculul între termenii asemenea)

x=-10 (Rezolvarea ecuaţiei după formula ax=ba

bx )


5

e) 2(x-4)+6 =10 2x-8+6=10 2x= 12 x=6f) x+3(2-x)=5(x-3) x+6-3x=5x-15 x-3x-5x= -15-6 -7x = -21 x=3 g) -3(2x-5)+7x-9= -5x-2(9-3x)+24 -6x+15 +7x-9= -5x-18+6x+24 -6x+7x+5x-6x=24-18-15+9 0=0 rezultă că ecuaţia are o infinitate de soluţii. S=Z

2. Să se rezolve în N ecuaţiile: a) 4x+16=12.

ØØ1

4:44

1612164

Ssauxx

x

x

, ecuaţia nu are soluţie în N.

b. 5x+6=31 5x=31-6 5x=25 x=5; c. (x-1)(x-2)(x-3)=0 x-1=0 sau x-2=0 sau x-3=0 x 3,2,1

3. Rezolvati in N ecuatiile:)a 85 x )b 1262 x )c 1543 x )d 5934 x

)e 2:8 x )f 426 x )g 32:5:3:2 x

)h 32:4:5:62 x )i 25876:54321 x)j 57 x )k 462 x )l 24)5(2 x

Răspunsuri: a) 4; b) 3; c) 9; d) 2; e) 4; f) Ø; g) 92; h) 63; i) 1; j) Ø; k) Ø; l) 4.

4. Rezolvaţi în Z ecuaţiile:a) 6x-8=4 b) 3x-19=2c) 3(x-2)-9=6d) (x-9)(x+2)=0; e) (x-5)(x+3)=0f) (x+5)(x+4)(x+3)=0 g) 5(x+3)-2(3x+4)=4h) 5(2x-1)-3(4x-5)=-3x+11i) 3(x+2)-2(1-x)=4x+5j) 2(4x-5)+3(x+2)=5(2x-6)k) 3[2(x-3)-5]-4(x-9)=x+5l) -3(2x-5)+7x-9=-5x-2(9-3x)+24; m) 015)]7(3[258 x

n) 56)]7(8[910 x ;

0) .8765:4321 x

p) xx 1)2(:)]43(26[31812r) (x-1)+(x-2)+(x-3)+…..+(x-100)=50;

Răspunsuri: a) 2; b) 7; c) 7; d) -2, 9; e) -3, 5; f) -3, -4, -5; g) 3; h) 1; i) 1; j) -26; k) 2; l) o infinitate de soluţii, S= Z ; m) 4; n) 1; o) 31 ; p) 1; r) 51.


6

Ecuaţii cu modul.

Fie .Za axaax 0, yxyx

5. Să se rezolve ecuaţiile în Z:

a) 6;666 Sxx ;

b) 10;101010 Sxx ;

c) 000 Sxx

d) 7;14343 Sxx

e) 1;11565656 Sxxx

f) 354 x ecuaţia nu are soluţie; S=Ø

g) 2263243

3

223243423423

Sxxx

Zxxxxx

h) 3;303,0620362 Sxxxxx ;

i) )6;2(6;206,0240624 Syxyxyx

j) xx 4 . Se pune condiţia ca x să fie pozitiv întrucât modul este un număr pozitiv; Atunci,

xxxx 44 Øx şi

2;2424 Sxxxx

k) 464 xx .

Se explicitează mai întâi modulele:

4,4

4,44

xx

xxx ;

6,6

6,66

xx

xxx .

Se realizează tabelul valorilor în care se trec pe primul rând în ordine crescătoare soluţiile

ecuaţiilor .06;04 xx Pe rândurile următoare se trec modulele explicitate:

Astfel, pentru 4x -x+4-x+6=4, de unde rezultă că x=3. Pentru 64 x x-4-x+6=4, de unde rezultă că 2=4 ceea ce înseamnă că ecuaţia nu are soluţii între 4 şi 6; Pentru 6x x-4+x-6=4, 2x=14, x=7. Aşadar, soluţiile sunt x=3 şi x=7.6. Să se rezolve ecuaţiile în Z:


7

a) 864 x b) 213 x ; c) 063 x ; d) 15105 x ;

e) 05153 xx ; f) 42332 xx ; g) ;932 xx h) 153 xx ;

i) xx 62 ; j) 154 xx ; k) xx 182 ; l) 833 xx ;

m) 536 xx ; n) ;522 xx o) ;8933 xx p) ;6424 xx

q) ;6512 x

Răspunsuri: a) Ø; b) Ø; c) – 2; d) 1;5 ; e) 5; f) Ø; g) 6;4 ; h) 1;3 ; i) 6;2 ; j) -2;

k) 7;3 ; l) 4;4 ; m) 7;2 ; n) 7;1;3 ; o) 7;5;1;1 ; p) 14;2;2 ; q) 6;5

7. Să se rezolve în numere întregi ecuaţiile:a) ;522322 5 xxx

b) ;622642 6 xxx

c) ;14255525 86283 xxx

d) ;8866 xx

e) .4737)3(781)931()3(567)3()3()3( 421 xxxxxx

f) .31255532201255322 ysix yxyx

8. Să se rezolve în numere întregi ecuaţiile:a) 2x=128; b) 2562 6 x ; c) ;9872 x d) ;10245 x e) x5=75 ; f) ;64512 64512 xg) 10241024=3232x; h) ;448222 21 xxx i) ;525)5()5()5( 21 xxx

17345133 8323) xj 05)3() 2 yxk l) ;0497644 yx

m) ;0255575 3 yx n) ;0)129636()813( 22 yx

o) 0)17557(12558118 24 zyx ;

p) (2x-16)2+(5y-125)2=0; q) (1+5+52+53+….+5100)x=5101-5;r) [1+(1+2+22+23+……..+22005+22006)]x=(21005)2:23 ;

Răspunsuri: a) 2; b) 2; c) 2; d) 4; e) 7; f) 12; g) 64; h) 6; i) 2; j) 3; k) 5;3 ; l) 2;3 ; m) 2;0 ; n) 2;4 ;

o) 2;3;0 ; p) 3;4 ; q) 4; r) 1.

9. Să se rezolve în ZxZ ecuaţiile: a) 5 yx ;Cum )5()1(515 rezultă următoarele posibilităţi x=1 şi y=5 sau x=5 şi y=1 sau x= -1 şi

y= -5 sau x= -5 şi y= -1. )1;5(),5;1(),1;5(),5;1( S .

b) (x-1)(y+2)=3 x-1=1 si y+2=3 sau x-1=3 si y+2=1 sau x-1=-1 si y+2=-3 sau x-1= -3 si y+2=-1 de unde rezultă )3;2(),5;0(),1;4(),1;2(),( yx

c) xy-3x+y=3; Se grupează convenabil termenii pentru a putea da factor comun şi a obţine un produs de termeni:


8

xy-3x+y-3=0 sau x(y-3)+y-3=0 de unde rezultă că (x+1)(y-3)=0. Aşadar x=-1 şi y=3. )3;1(S

d) x+y=xy;Ecuaţia dată este echivalentă cu xy-x-y+1=1 sau (x-1)(y-1)=1. Deoarece )1()1(111x-1=1 şi y-1=1 cu x=2, y=2 sau x-1= -1 şi y-1= -1 cu x=0, y=0. )2;2(),0;0(S

e) (2x-1)(y+5)=3; f) (x+1)(y+3)=4; g) (x-3)(y+4)= -7; h) 3622 yyxi) x2+6x+5=0; j) xy+3x-y=8; k) xy-5x+y=5; l) xy-7x+y=7; m) x2-3x-130=0;n) x2-5x-150=0; o) x2-2x-143=0;

Răspunsuri: e) )6;1(),8;0(,4;2(),2;1( S ; f) )5;3(),1;1(,2;3(),1;0( S ;

g) )3;4(),11;4( S ; h) )2;6(),1;37(S ; i) 5;1 S ;

j) )8;0(),4;4(),2;2(),2;6( S ; k) )5;1(S ; l) )7;1(S ; m) 13;10S ;

n) 15;10S ; o) 13;11S ;


9

NUMELE ŞI PRENUMELE:......................................................................... DATA:...................

NOTA: .....................................

SUBIECTUL 1. (2 puncte) Mulţimea soluţiilor ecuaţiilor ....... este ............... :

0,75p a) 4x+7=3;

S

0,75p b) 532 x

S

0,5p c) -3(2x-5)+7x-9 = - 5x-2(9-3x)+24

S

SUBIECTUL 2. (1 punct) Încercuiţi răspunsul corect: Dintre ecuaţiile următoare, sunt echivalente ecuaţiile..................:

1p a) 3(x-5)+4=7; b) 4(x-3)=8; c) 0122 x ; d) 2x+5=18. A) a) şi b); B) b) şi c); C) a) şi c); D) c) şi d) .

SUBIECTUL 3. (2 puncte) Asociaţi fiecărei ecuaţii din coloana A soluţia corectă din coloana B cu ajutorul săgeţilor

A B

0,5p a) 2x-6= 64 1) 0 a) →

0,5p b) 423 x 2) 12 b) →

0,5p c) 3(2-x)-4(x+3)=1 3) -1 c) →

0,5p d) 06136 4 x 4) 2 d) →

5) -2

SUBIECTUL 4. (1 punct) Încercuiţi răspunsul corect, A - adevărat sau F- fals: 0,5p a) Ecuaţia x2+16=0 nu are soluţii în Z; A ; F

0,5p b) Numărul -3 este soluţie a ecuaţiei ;522 xx A ; F

SUBIECTUL 5. (2 puncte) Să se rezolve în numere întregi ecuaţiile: 1p a) 7(2x-5) – [5(7x-2)-2(5x-7)]= -72; 1p b) (x-6)(y+3)= -5.

Instrucţiuni: Toate subiectele sunt obligatorii; Timp de lucru : 30 min Se acordă 2 puncte din oficiu;

Test la matematicăClasa a VI-a ECUAŢII Profesor:


10

Probleme propuse şi rezolvate

1. Să se rezolve în Z ecuaţia: x-2006 x-2007 x-2008 7 - 7 - 7 = 2009Rezolvare :Ecuatia dată este echivalentă cu: 7x-2008( 72 – 7 - 1)=2009=> 7x-2008 ·41=41·49=> 7x-2008=72=> x-2008=2=>x=2010

2. Determinaţi numărul natural x din egalitatea:

a) .3:9381:33 25432510 x

b) 1000....3020105)5(:1255 3726 x

Rezolvare: a) .43:433:43 25252525 xxxb) 2:)101100(10505)100....4321(10505 xx Rezultă: x=100.

3. Să se rezolve în ZxZ ecuaţia : xy + x - 4y = 2007

Rezolvare : Ecuaţia dată este echivalentă cu (x-4) (y+1) = 2003

x-4=1 şi y+1=2003 x=5, y=2002 sau x-4=2003 şi y+1=1 x=2007, y=0 sau x-4= -1 şi y+1= -2003 x=3, y= -2004 sau x-4= -2003 şi y+1= -1 x- -1999, y= -2

4. Să se determine numerele întregi x,y dacă x2+xy-2x-2y=3.Rezolvare:Ecuaţia dată este echivalentă cu (x+y)(x-2)=3x+y=1 şi x-2=3 x=5, y=-4;x+y=3 şi x-2=1 x=3, y=-2;x+y=-1 şi x-2=-3x=-1,y=0; x+y=-3 şi x-2=-1x=1,y=-4.

5. Să se rezolve în numere naturale, ecuaţia: xy-5=3x+2y-13.

Rezolvare:xy-5=3x+2y-13 xy-3x=2y-13+5

x(y-3)=2y-8

3,3

22

3

2)3(2

3

82yN

yy

y

y

yx 23 Dy

y-3=1y=4; x=0;y-3=-1y=2; x=4;y-3=2y=5; x=1;y-3=-2y=1; x=3.


11

6. Să se rezolve în NxNxN ecuaţia: 1926484 zyx

Rezolvare:

Cum

7. Să se rezolve în numere întregi pozitive ecuaţia :3x+5y2=189.Rezolvare:Cum 3x şi 189 se divid cu 3 5y2 e divizibil cu 3 y=3a 3x+5·9a2=189 3 x+15 a2=63 x=3 b 3 b+15 a2=63 3 b+5 a2=21 b=21, a=0 x=63, y=0 b=1 , a=2 x=3, y=6.

8. Să se rezolve ecuaţia în ZxZ:2xy-9y2=12;Rezolvare:

Din ecuaţia dată se scoate

y

yx

2

433

2

numărătorul este obligatoriu un multiplu de 2, prin

urmare notăm y=2k, *Zk . Rezultă:

kyk

kx

kyk

kx

2

)1

3(3

24

4123

2

, Cum k

1trebuie să fie

număr întreg rezultă

12,2

12,21

xy

xyk .

9. Să se rezolve ecuaţia în ZxZ: xy-(x+y)=2020.Rezolvare: Ecuaţia dată este echivalentă cu xy-x-y+1=2021 sau (x-1)(y-1)=2021;Cum 2021= 4743 rezultă următoarele posibilităţi:

)44;48()48;44(48471

44431sau

yy

xx

sau

)42;46()46;42(46471

42431

sauyy

xx.

10. Să se rezolve ecuaţia în ZxZ: x2y+x2-4=0;Rezolvare:

Ecuaţia dată se poate scrie sub forma: x2(y+1)=4 de unde y+1=2

4

x; Cum

4;14;144

1 222

xxxNx

Ny . Se obţin astfel soluţiile:

)0;2(),0;2(),3;1(),3;1( S .

32222:32222 66636266632 zyxzyx

1066

2063

3062166

zz

yy

xxz

,162 x

163 y

ecuaţii în z - clasa a vi-a - prof. stan...

Documents