distributia_termoelectronilor.pdf

7/23/2019 Distributia_termoelectronilor.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/distributiatermoelectronilorpdf 1/7

EMISIA TERMOELECTRICĂ ŞI DISTRIBUŢIA TERMOELECTRONILOR

DUPĂ VITEZĂ

În cele mai multe metale, atomii sunt aranjaţi în reţele cristaline. Distanţadintre atomi, sau mai exact, dintre ionii pozitivi care formează reţeaua, este aproapeegală cu diametrul atomilor neutri. Din această cauză, între electronii de valenţă ai

atomilor vecini apar for ţe de interacţiune puternice, astfel încât legătura dintre aceştielectroni şi restul atomilor slă beşte. Astfel, reţeaua atomică, în cazul metalelor, este, defapt, o reţea ionică. Se admite că totul se petrece ca şi cum electronii de valenţă s-armişca liber printre ionii reţelei, la fel cum se mişcă atomii unui gaz într-un corp poros.

Iniţial, gazului electronic i s-a aplicat teoria cinetică a gazelor, cu distribuţiadupă viteze dată de legea lui Maxwell. Însă, din punct de vedere al mecanicii cuantice,mişcarea electronilor liberi difer ă de cea considerată în teoria clasică, prin faptul că energia electronilor poate avea numai o serie de valori discrete, adică este cuantificată.Aceste valori ale energiei electronilor din cristal pot fi reprezentate printr-un sistem denivele al căror număr pentru un cristal de dimensiuni obişnuite este extrem de mare,astfel încât nivelele vecine sunt situate foarte aproape unul de celălalt (fig. 12.1).

W F

=qV e

Fig. 12.1

În conformitate cu principiul lui Pauli,

pe un nivel energetic nu se pot afla maimult de doi electroni, care se deosebesc

prin orientarea momentelor lor cinetice

proprii (momente de spin). Se ştie că proiecţia momentului cinetic de spin alelectronului pe o direcţie privilegiată este cuantificată, ± sħ, unde numărul

cuantic de spin s=1/2. Deci numărulmaxim de electroni aflaţi pe acelaşi nivel energetic poate fi 2, ale căror momente despin sunt orientate antiparalel.

Să presupunem că gazul electronic se găseşte la temperatura de zero absolut.După teoria clasică ar urma ca toţi electronii să fie în starea cu energie minimă, adică în repaus. Însă conform teoriei cuantice, nu pot exista decât câte doi electroni pe unnivel energetic, având spinul opus, astfel că electronii se vor distribui pe niveleenergetice din ce în ce mai înalte, până la nivelul Fermi, W F .

În fizica corpului solid s-a stabilit că unui cristal format din N atomimonovalenţi şi deci N electroni liberi, îi corespund N nivele energetice pentru gazulelectronic. Având în vedere cele de mai sus, rezultă că pentru T=0 K cei N electroni



liberi vor ocupa câte doi un nivel energetic, astfel că la această temperatur ă numărulnivelelor ocupate va fi N / 2.

W W F

)(W f 1

2

1

1/2

Fig. 12.2

Func ţ ia Fermi-Dirac de distribuţie după energie a electronilor din metal(probabilitatea de ocupare), pentru T=0K,este reprezentată prin linia frântă notată cu 1, din figura 12.2, care arată că toatenivelele cu energii W<W F sunt completatecu electroni în mod identic (câte doielectroni de spin opus pe fiecare nivel),iar cele cu energie W >W F sunt complet

libere. Pentru T ≠ 0K, probabilitatea deocupare a unui nivel variază conformcurbei 2 din fig. 12.2, astfel că, din cei N electroni, un număr dN se vor afla în stări cuenergia cuprinsă între W şi dW , conform relaţiei

dW

e

W C

N

dN

kT

W W F −

+

=

1

(1)

unde nivelul energetic W F se numeşte nivelul Fermi şi reprezintă nivelul cel mai înaltde energie ocupat de electroni la T = 0 K, k este constanta lui Boltzmann iar C este oconstantă ce depinde de volumul cristalului.

Odată cu creşterea temperaturii, datorită energiei suplimentare dobândite peseama energiei termice, un număr destul de mare de electroni liberi păr ăsesc niveleledin vecinătatea nivelului Fermi, trecând pe nivele superioare. Dacă energia cinetică aunor electroni devine mai mare decât lucrul de ieşire: ,eV q A ⋅= (fig.12.1), unde V e

este adâncimea gropii de potenţial iar q este sarcina elementar ă, aceşti electroni vor păr ăsi metalul.

La temperatura camerei, numai o parte neînsemnată a electronilor din metal auo energie cinetică suficientă, astfel încât să poată efectua lucrul de ieşire A, pentru a

păr ăsi metalul.Dacă însă metalul (de exemplu, catodul unei diode cu vid) se aduce la otemperatur ă destul de înaltă, se produce o emisie puternică de electroni din metal.Acest fenomen se numeşte emisie termoelectronică. Pe măsur ă ce temperaturametalului creşte, un număr tot mai mare de electroni este capabil să învingă bariera de

potenţial V e şi să ajungă la suprafaţa metalului.

Dacă se aplică o tensiune electrică acceleratoare între catodul şi anodul uneidiode cu vid, termoelectronii emişi de catod sunt antrenaţi spre anod, formând curentulelectric. Dacă câmpul de accelerare este suficient de puternic, toţi electronii extraşi prinemisie termoelectronică vor ajunge la anod participând la producerea curentuluielectric. Se ajunge la fenomenul de satura ţ ie, iar intensitatea curentului de saturaţiedepinde esenţial de temperatura metalului. Relaţia dintre curentul de emisie lasaturaţie, şi temperatura metalului emiţător este dată de legea Richardson - Dushman:



,exp2⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅=⋅=

kT

AT aqn I (2)

în care :T – temperatura absolută a metalului emiţător; a – o constantă, aproape aceeaşi pentru toate metalele pure;

A – lucrul mecanic de ieşire;n – numărul de electroni emişi în unitatea de timp de către suprafaţa metalului încălzit;q – sarcina elementar ă (1,6·10-19 C).

Energiile cinetice, deci şi vitezele, celor n electroni care păr ăsesc suprafaţa

metalică sunt foarte diferite, adică există o distribu ţ ie a termoelectronilor după viteze.În prezenta lucrare ne propunem să stabilim distribuţia după criteriul viteză aelectronilor ce păr ăsesc metalul prin emisie termoelectronică, folosind metoda

poten ţ ialului de frânare. Gazul electronic emis de catod poate fi considerat, într-o primă aproximaţie, ca un gaz ideal de particule clasice (de masă m şi sarcină -q), care,la echilibru termodinamic, se supune satisf ăcător distribuţiei Maxwell după viteze.

Suprafaţa metalică emiţătoare de electroni este catodul unei diode cu electrozicilindrici, montată ca în figura 12.3. Circuitul de încălzire al catodului asigur ă treitemperaturi de lucru în funcţie de poziţia scurtcircuitoarelor C 1 şi C 2. Sursa de tensiuneanodică alimentează circuitul anodic prin potenţiometrul P .

Tensiunea şi curentul anodic pot fi măsurate cu voltmetrul V şimiliampermetrul A. Dacă tensiunea anodică este nulă, se constată un curent în

circuitul anodic, curent care se datorează electronilor ce păr ăsesc metalul cu energiicinetice suficient de mari.

0 I

Aplicând o tensiune de frânare crescătoare, vom constata micşorareacorespunzătoare a curentului anodic. Această scădere a curentului anodic se datorează frânării termoelectronilor de către câmpul electric:

- pentru câmpuri de frânare mici vor fi opriţi electronii de viteze mici, curentulanodic fiind constituit din electroni cu viteze mari;

- pentru câmpuri de frânare mari vor ajunge la anod numai electronii de vitezefoarte mari etc.

Un câmp de frânare creat de tensiunea U va opri toţi electronii care au viteza v dată de:

.2

2qU mv ≤ (3)



Egalitatea din relaţia (3) arată că viteza unui termoelectron care abia mai

ajunge la anod este propor ţională cu .U Pe această observaţie se bazează metoda destabilire a distribuţiei termoelectronilor după criteriul viteză.

A

VP

R 1 R 2

C2C1

_

+ ~

220 V

Fig. 12.3

Dioda are anodul şi catodul sub formă de cilindri concentrici, în care razacatodului este mică astfel încât acesta poate fi considerat practic filiform. Consider ămcă emisia termoelectronilor este izotropă, adică aceştia sunt emişi la fel în orice direcţieradială. Neglijând mişcarea electronilor de-a lungul axei electrozilor, atunci distribuţiadupă viteze a termoelectronilor poate fi considerată ca o distribu ţ ie Maxwell .

Probabilitatea elementar ă de a găsi un termoelectron cu viteza cuprinsă înintervalul (v, v+dv) este dată de legea de distribuţie a lui Maxwell după modululvitezei:

,24

222

32

dvvekT

m

N

dN kT

mv

t ⋅⋅⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⋅=

−

π

π

(4)

în care N t este numărul total de termoelectroni emişi cu viteze în intervalul (0, +∞).Pentru a evidenţia această distribuţie vom căuta unele mărimi macroscopice

măsurabile, care să fie propor ţionale cu N , respectiv cu v.Definiţia intensităţii curentului anodic:



,, I N t

q N

t

Q I ≈⇒

Δ

⋅=

Δ= (5)

precum şi relaţia:

,,2

2

U vqU mv

≈⇒= (6)

ne conduc la ideea că examinarea distribuţiei:

,)( dvv f N

dN

t

= (7)

este echivalentă cu examinarea distribuţiei:

),()( U d U f I

dI

t

= (8)

unde reprezintă intensitatea curentului care ar fi fost produs de toţi electronii dacă

viteza lor ar fi în intervalul (0, +∞).t I

Intensitatea curentului anodic elementar determinat de electronii care au vitezacuprinsă în intervalul (v, v+dv) este:

),()()( U d U f I dvv f t

N q

t

dN qdI t

t =Δ

=Δ

⋅= (9)

iar intensitatea curentului anodic produs de toţi termoelectronii cu viteza U m

qv

2≥

este:

( ) ( ) ( )( )

( )∫ ∫∞ ∞

−

==

U m

qU

m

q

kT

qU

t t U Ud e I

qkT

U d U f I U I

2 22

3

/

4

π

π (10)

Relaţia de mai sus reprezintă, de fapt, o funcţie de forma:

),( U F I = (11)

deoarece integrala depinde de limita inferioar ă, deci de acea valoare a lui U careasigur ă egalitatea din relaţia (3). Ea reprezintă dependenţa curentului anodic faţă de

valorile U ale tensiunii de frânare între anod şi catod.

Derivând relaţia (10) în raport cu variabila U obţinem:



( ) ( ).

/

4

2

3U e I

qkT U d

dI kT

qU

t ⋅⋅⋅= −

π

π

(12)

Dacă această relaţie este verificată, înseamnă că termoelectronii emişi de catodse supun distribuţiei Maxwell.

Se observă că funcţia de distribuţie de mai sus prezintă un maxim pentruvaloarea:

.q

kT U M = (13)

În scopul verificării distribuţiei Maxwell se efectuează următoarele operaţii:

1. Se aplică cu ajutorul potenţiometrului P tensiuni de frânare între catod şianod, înregistrându-se valorile I şi U în tabelul nr.1.

2. Se reprezintă grafic )( U f I = (fig. 12.4).

3. Având în vedere că I este propor ţional cu numărul de electroni ce str ă bat

circuitul în unitatea de timp, iar U este o mărime propor ţională cu o anumită viteză

a termoelectronilor, se va împăr ţi axa vitezelor ( )U în intervale egale ( )U Δ şi se

vor nota variaţiile corespunzătoare I Δ în tabelul nr.2. Valorile I Δ sunt propor ţionalecu numărul de electroni care au viteza cuprinsă în intervalul (v, v+Δv), corespunzător

variaţiei tensiunii de frânare reflectată în intervalul ( U , U + ( )U Δ ).

4. Se reprezintă grafic valorile I Δ în funcţie

de .U Trebuie observat

că variaţiile I Δ sunt propor ţionale cu raportul

I Δ / )U Δ , pentru

intervale

I

Δ I

U U Δ

) .const Δ U = .

În acelaşi timp, dacă se

alege intervalul ( )U Δ din

ce în ce mai mic, raportul

I Δ / )U Δ tinde laderivata (12), care la rândulsău, conform relaţiei (8),este propor ţională cu funcţiade distribuţie

)(~)( f

Fig. 12.4

v f U . Prin

urmare, ultimul grafic obţinut reprezintă chiar graficul funcţiei de distribuţie Maxwell.



5. Din grafic se determină valoarea U M corespunzătoare maximului, din relaţia(13) se calculează temperatura T a filamentului iar viteza cea mai probabilă v p seobţine ţinând seama de (6).

Tabelul nr.1 Tabelul nr.2

)(div

I Δ

Întrebări

1. Ce valoare are spinul electronului ?2. Cum se enunţă principiul lui Pauli ?3. Ce reprezintă nivelul Fermi ?

4. Ce este emisia termoelectronică ? Care este deosebirea dintre efectulfotoelectric şi emisia termoelectronică ?5. Cărei legi de distribuţie i se supun electronii liberi din metal? Dar

termoelectronii emişi din metal? Scrieţi expresiile acestor legi.6. Cum se aplică tensiunea anodică pe diodă ? Despre ce fel de polarizare este

vorba ?7. De ce este nevoie să trecem de la perechea de variabile (v, N ) la perechea

de variabile ( I U , ) ?

8. Verificaţi relaţia (12) din punct de vedere dimensional.9. Deduceţi relaţia (13).

10. Deduceţi formula pentru a calcula viteza cea mai probabilă v p a

termoelectronilor.Bibliografie

1. Damian I., Popov D., Fizică - teme experimentale -, Ed. Politehnica,Timişoara, 2002.2. Luminosu I., Fizică – teme experimentale - Ed. Politehnica, Timişoara, 2009.3. C. Marcu, I. Mhalca, D. Mihai lovici , I. Damian, R. Baea, M.Cristea, Lucrari de

laborator Fizică , 1981.

U

(V 21

))(div

I U U

(V) 21 )(V

distributia_termoelectronilor.pdf

Documents