1

Teoria cinetica a plasmei

• teoria fluidelor este o descriere simplista a plasmei • consideram pentru o descriere adecvata a unor fenomene ale plasmei introducerea functiei de distributie pe viteze pentru fiecare specie • functia de distributie pe viteze a fiecarei specii este Maxwelliana cu temperatura T • una din problemele importante in modelul statistic este aceea de a ne face accesibile valorile medii (macroscopice) ale diferitelor marimi care caracterizeaza comportarea ansamblului de particule microscopice •conceptul de baza al acestei teorii este functia de distributie fi (r,v,t) pentru fiecare din diferitele specii i de particule

• functii de distributie non-Maxwelliene, diferite, dar daca aria de sub curbe este aceeasi teoria fluidelor nu face nici o deosebire

2

vdrdtFdNrv33 ⋅⋅= ),,( vr

rdtnvdtFrddNr333 ),(),,( rvr

v

== ∫

∫=v

vdtvrFtrn 3),,(),(

),,(),(),,( tftntF vrrvr ⋅=

13 =∫v

v vdtrf ),,(

unde F(r,v,t) este functia de distributie care determina numarul de particule dintr-un interval dat de coordonate si viteze la un moment dat

• functiile de distributie pot fi introduse in plasma pentru fiecare tip de particule (electroni, ioni, neutri)

concentratia

unde f(r,v,t) se numeste functia de distributie pe viteze si conditia de normare pe spatiul vitezelor este

defineste numarul de particule pe cm3(m3) cu vitezele in intervalul v, v+dv care se gasesc intr-un punct dat r la timpul t

• concentratia este o functie de patru variabile n = n (r, t) • numarul mediu de particule din spatiul sase-dimensional este

(1)

(2)

(3)

(4)

3

∫ ∫=y zv v

zyxx dvdvtvftvf ),,(),,( rr ∫∞

∞−

=1xxx dvtvf ),,(r

dvddvvd ⋅⋅⋅= ϕθθsin23

∫ ∫ ⋅⋅=θ ϕ

ϕθϑ ddvtftvfv sin),,(),,( 2vrr

2

2mvK =

mvdvdK =

),,( trKfdvf Kv =

mKf

mvff vv

K 2==

• functia de distributie unidimensionala, care determina numarul relativ de particule care au o componenta a vitezei in intervalul vx, vx+dvx

si conditia de normare

• functia de distributie pentru toate vitezele, trecand in coordonate sferice in spatiul vitezelor si integrand dupa toate coordonatele unghiulare

),,(),,( tvfvtvfv rr 24 ⋅= π• daca f(r,v,t) este izotropa

Functia de distributie dupa energie

(5)

(6)

(7)

4

• cunoscand functia de distributie este posibila medierea asupra oricarei valori

∫=α

αααααv

vdtftgtg 3),,(),,(),,( rvrvrv

Ω= dvvdfnvdfndQ pp )()( ))((),,( αββαβββαααβααβ σθ 33vv

• g este cantitatea care depinde de viteza particulelor si fα este functia de distributie pe viteze a acestor particule • functia de distributie determina si rata proceselor implicate in ciocniri: schimbul de energie si impuls, excitare, ionizare, recombinare • numarul de ciocnire binare dintre particulele α cu vitezele intre vα, vα+dvα si particulele β cu vitezele intre vβ, vβ+dvβ in unitatea de volum si unitatea de timp poate fi scris

• numarul total de ciocniri pe unitatea de timp si in unitatea de volum este

)()(

)( )( )(

)()( βσ ααβαββααββαβααββααβ

α β

vsvnndvdvdffvnndQ ppp =Ω= ∫ ∫ ∫Ωv v

33

(8)

(9)

(10)

5

0 x

y

z

vxdt

dy

dz dx

• fluxul de particule care intra in volum in directia axei x prin aria dydz, toate particulele care vin din vxdt vor trece prin aceasta arie • numarul particulelor este egal cu produsul densitatii particulelor nfd3v si volumul marginit de aria dydz si inaltimea vxdt este (nfvx)xdtd3vdydz • numarul particulelor care ies din volum prin aria dydz este obtinut in acelasi mod insa trebuie determinate la punctul x+dx, ca (nfvx)x+dxdtd3vdydz

fluxul de particule in directia x prin aria dydz

• functia de distributie a particulelor incarcate ale plasmei F = nf reprezinta concentratia particulelor in spatiul 6-dimensional, si reprezinta concentratia in fiecare element de volum • modificari ale concentratiei particulelor pot apare din cauza aparitiei particulelor noi si disparitiei lor ca rezultat al ionizarii, recombinarii si de asemenea datorita faptului elementul volum care apare in spatiul 6-dimensional nu-l anuleaza pe cel ce iese

Ecuatiile cinetice

6

( ) ( ) ( )[ ] vrddtdx

nfvvdydzdtdnfvnfvvrddtd

tnf x

dxxxxxx

33333 )(

∂∂

−=−=

∂∂

+

( )xnfv

xnfv

tnf

xx

x ∂∂

−=∂

∂−=

∂∂ )()(

grad(nf)znfv

ynfv

xnfv

tnf zyx

r

⋅=∂∂

−∂

∂−

∂∂

−=

∂∂ v)()()()(

(11)

7

• numarul de particule in elementul de volum rdr, vdv datorita modificarii vitezei

0

axdt

dvy

dvz dvx

vx

vy

vz

• fluxul de particule din elementul de volum din spatiul vitezelor care trece prin aria dvydvz

• numarul total de particule din elementul de volum d3r este egal cu nd3r

• numarul total de particule care intra in elementul de volum prin aria dvydvz este

(nfax)vydtd3rdvydvz

• numarul particulelor care parasesc elementul de volum din cauza schimbarii vitezei se

obtine in mod asemanator dar pentru o viteza vx+dvx si este (nfax)vx+dvxdtd3rdvydvz

8

[ ] )()(

,

nfgradmZe

tnf

vHE

BvE ×+−=

∂∂

)()()()()( nfvnfa

vnfa

vnfa

tnf

zz

yy

xx

vvgrad⋅−=

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=

∂∂ a

[ ]( )BvEa ×+= ZeZem1

)()()()(z

zy

yx

xv

nfav

nfav

nfavt

nf∂∂

−∂∂

−∂∂

−=

∂∂

vrddtdv

nfavrddtd

tnf

x

x

vx

3333

∂

∂−=

∂∂ )()(

• in camp magnetic

(12)

(13)

(14)

9

• campurile electrice si magnetice care actioneaza asupra fiecarei particule consta in campuri externe ale plasmei si campuri induse de toate celelalte particule • fortele de interactie se pot imparti in doua clase - prima este asociata cu miscarea colectiva - interactia particulelor unele cu altele care poate fi redusa la ciocniri (ciocnirile elastice si inelastice ale electronilor cu neutrii) • efectul acestor ciocniri poate modifica traiectoria particulelor si poate modifica vitezele particulelor • toate ciocnirile elastice si inelastice care produc ionizari, recombinari pot conduce la modificarea numarului de particule din voulmul 6-dimensional • aceasta variatie in elementul de volum rdr, vdv datorita ciocnirilor se scrie

vr 33 ddtnfδ

δ )( (15)

10

• ecuatia Boltzmann poate fi scrisa pentru fiecare tip de particule (electroni, ioni si particule neutre) • pentru a stabili forma particulara a ecuatiei este necesara determinarea campurilor E si B precum si a termenului de ciocnire • campurile E si B pot fi induse nu numai de sursele externe dar si de sarcinile si curentii creati de particulele incarcate ale plasmei

[ ] tnfnfgrad

mZenfgrad

tnf

v δδ )()()()(

=×+

++

∂∂ BvEv

ECUATIA BOLTZMANN

[ ] tnfnfgrad

tnf

v δδ )()()(

+×+

−=

∂∂ BvEv

mZe-)grad( nf

• adaugam expresia (15) la ecuatia (11) si la (14) si obtinem

(16)

11

Functia de distributie in plasmele de echilibru

• intr-un sistem inchis in absenta fortelor externe, starea de echilibru este omogena spatial

• in stare stationara, termenul de ciocnire este egal cu zero • daca se considera ciocnirile elastice, atunci termenul de ciocnire este

)(ln)(ln)(ln)(ln ''ββααββαα vfvfvfvf +=+

• egalitatea inseamna ca suma logaritmilor functiilor de distributie ramane neschimbata in timpul ciocnirilor

(4)

)()()()( ''ββααββαα vfvfvfvf = (3)

∑ ∑ ∫ ∫Ω

=Ω−=β β

βαβαββαβαβααβ

β

σ)( )(

'' )(v

e vddvffffnnS 03 (2)

tfn

tfn

δδ αααα )()(

=∂

∂ (1)

12

Tcucb

ucbucb

zz

yy

xx

//

//

1==

=

=

• suma logaritmilor functiilor de distributie pentru orice pereche de particule ramane neschimbata daca coeficientii a, bk si c sunt aceeasi pentru toate particulele

)(' 222

2 zyx bbbc

maa ++−= α

[ ]

−−=

−+−+−−= 2222

22)(exp)()()(exp uv

kTmAuvuvuv

kTmAf zzyyxx

αααα

αα

(6)

−+

−+

−−=

=−+++=

222

2

2

2

cbv

cb

vcbvmca

vcmvmbvmbvmbaf

zz

yy

xx

zzyyxx

αααα

ααααααααα

'

ln

(5)

13

• din conditia de normare ∫ =v

v 13vdtrf ),,(

αα

α πξξmkTd

mkTdvuv

kTm

kkk22

222 =−=

−− ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

)exp()(exp 23

2

/

=

kTmAπ

α

)()()()( zzyyxxkk vfvfvfvf αααα =

−−

= 2

21

22)(exp)(

/

kkkk uvkT

mkT

mvf ααα

α π(9)

−−

= 2

23

22)(exp)(

/

uvv ααα

αα π kTm

kTmf distributia Maxwell

(8)

∫ ∫ ∫ ∫ =

−−=

−−

v

uvuvx y zv v v

zyx dvdvdvkT

mAvdkT

mA 122

232 )(exp)(exp αα (7)

14

• parametrii u si T care apar in distribuita de mai sus definesc viteza medie si energia media a particulelor • valoarea medie a unei componente a vitezei este

∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=−=

=

−−

−

=−=

−

2

22222

22

22212

2

kTdkT

dvkT

uvmuvmkT

mdvvfuvmuvmk

kkkkkkkkk

kk

ξξξπ

αααααα

)exp(

)(exp)()()()( /

• deoarece viteza vectoriala u este aceeasi pentru particule tuturor speciilor, determina miscarea plasmei ca un intreg

• suma lor pe toate directiile este

kTuumuvmk

kk

23

22

22

=−

=− ∑ )()( ααααα (11)

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=−=

−−

== k

kakkakakakakkakk ududvuv

kTmv

kTmdvvfvv ξξ

ππαα

α )exp()(exp)(/

2221

22

(10)

15

• efectul ciocnirilor inelastice asupra functiei de distributie intr-o plasma de echilibru • folosind ecuatia (5)

jj

j

vmE α

ααα ε+=

2

2

12

32

=

−−

− ∫∑ vd

kTm

TA

vj

j )(expexp uvα

ε

123123

22

−−

−

=

−

= ∑∑

j

jj

j

j

kTg

kTm

kTkTmA

εεππ

αα expexp *//

)()(),( jfvfjvf jv αα = (14)

−

−−=

TmAjf jαα

αααα

εexp)(exp),(

2

2uvv (13)

jj cvmcvmacEvmajvf ααα

αααααααα ε−−+=−+=2

2

bb),(ln (12)

16

• si in cazul ciocnirilor inelastice distributia pe viteze ramane Maxwell • in acelasi timp ciocnirile inelastice conduc la o distributie de echilibru pe diferite stari interne ale atomilor si ionilor • daca functia de distributie este stationara, atunci ecuatia cinetica este (in absenta fortelor externe) pentru orice specie de particule

introducand in ecuatia de sus

0=+⋅ )()( nfgradm

ngradf vFv• in absenta ciocnirilor

−

=

kTmv

kTmf

22

223

exp)(/

πv (17)

tnfnfgrad

mFnfgradv v δ

δ )()()( =+⋅ (16)

∑∑ −

−=

−

−=

lll

j

ll

jj kTg

kTkT

kTf

)/exp()/exp(

)/exp()/exp(

* εε

εε distributia Boltzmann

(15)

17

)(rF gradU−=

011=+ )()( Ugrad

kTngrad

n

0=⋅⋅⋅−⋅⋅ FvvkTnfngradf )(

introducand

de demonstrat!!!!!!

• unde n0 este concentratia particulelor la U = 0 • distributia Boltzmann-Maxwell

−=

kTUnn )(exp r

0 (18)