curs_002_et_variab.doc
TRANSCRIPT
Ethan Frome
14control statistic i fiabilitate15
CURS 2
VARIABILE ALEATOARE2.1. Variabile aleatoare
Se consider un sistem complet de evenimente S = (E1 , E 2 , E 3 ,.. E n) , ale unui cmp finit. Evenimentele E1 , E 2 , E 3 ,.. E n sunt evenimente elementare i ntr-o experien apare unul singur, deci aceste evenimente verific condiiile:
EMBED Equation.3 (2.1)
EMBED Equation.3 (2.2)
dac . Dac se noteaz probabilitatea de realizare a evenimentului rezult:
EMBED Equation.3 (2.3)
sau: .
Definiie Se numete variabil aleatoare aplicaia:
EMBED Equation.3 (2.4)
Valoarea variabilei aleatoare X corespunztoare evenimentului se noteaz .
Probabilitatea de realizare a evenimentului Ek este , deci , care se poate enuna astfel: probabilitatea ca variabila aleatoare X s ia valoarea este . Se mai poate spune c are loc evenimentul cu probabilitatea .
Dac variabila aleatoare este definit pe o mulime cel mult numrabil variabila aleatoare se numete discret.
Definiie Dac X este o variabil aleatoare discret se numete repartiie a variabilei aleatoare X ansamblul format din valorile variabilei X i probabilitile evenimentelor corespunztoare. Se noteaz:
EMBED Equation.3 (2.5)
sau:
EMBED Equation.3 (2.6)
unde:
EMBED Equation.3 (2.7)
Funcia se numete funcie de probabilitate.
Exemplu: Aruncarea unui zar reprezint o variabil aleatoare.
EMBED Equation.3 (2.8)
sau:
EMBED Equation.3 (2.9)
n acest caz funcia de probabilitate este constant iar variabila aleatoare are o distribuie uniform.
Repartiia unei variabile aleatoare discrete caracterizeaz variabila.
2.2. Operaii cu variabile aleatoare
a. Produsul dintre o constant real i o variabila aleatoare
EMBED Equation.3 (2.10)
b. Adunarea variabilelor aleatoare
Fie variabilele aleatoare :
EMBED Equation.3 (2.11)
Suma variabilelor aleatoare X i Y este:
EMBED Equation.3 (2.12)
unde pij este probabilitatea realizrii simultane a evenimentelor X= xi i Y= yi sau pij=P(X= xi i Y= yi).
2.3. Valoarea medie a unei variabile aleatoare
Prin definiie valoarea medie a unei variabile aleatoare X este:
EMBED Equation.3 (2.13)
De exemplu, pentru variabila aleatoare din (2.8) media este:
EMBED Equation.3 (2.14)
2.4. Relaia dintre media unei variabile aleatoare X i media valorilor observate
Presupunem c n cele n experimente variabila X a luat de m1 ori valoarea x1, de m2 ori valoarea x2, de m3 ori valoarea x3 .a.m.d, astfel nct
Suma tuturor valorilor luate de variabila aleatoare X este:
EMBED Equation.3 (2.15)
iar media aritmetic a acestor valori este:
EMBED Equation.3 (2.16)
Dac numrul de experimente este mare frecvena relativ se apropie de probabilitate, deci se poate scrie:
EMBED Equation.3 (2.17)
Dac se nlocuiesc n (2.13) frecventele relative prin probabilitile corespunztoare rezult:
EMBED Equation.3 (2.18)
Concluzie
Media variabilei aleatoare X este aproximativ egal cu media aritmetic a valorilor observate ale variabilei aleatoare X. 2.5. Proprietile mediei
1. Media unei constante a este egal cu a.
EMBED Equation.3 (2.19)
Constanta poate fi considerat ca o variabil aleatoare discret care ia o singur valoare a cu probabilitatea p=1.
EMBED Equation.3 (2.20)
2. Media produsului dintre o constant a i o variabil aleatoare este egal cu produsul dintre constant i media variabilei aleatoare X.
EMBED Equation.3 (2.21)
EMBED Equation.3 (2.22)
3. Media sumei a dou variabile aleatoare este egal cu suma mediilor celor dou variabile aleatoare.
EMBED Equation.3 (2.23)
Demonstraia se va face ntr-un caz particular. Fie variabilele aleatoare :
EMBED Equation.3 (2.24)
EMBED Equation.3
(2.25)
Demonstraie
Evenimentul care const n aceea c variabila aleatoare X ia valoarea x1, eveniment a crui probabilitate este p1 este reuniunea evenimentelor incompatibile , , . Probabilitile celor 3 evenimente fiind din teorema de adunare a probabilitilor rezult: . Analog se demonstreaz , , .
4. Media produsului a dou variabile aleatoare este egal cu produsul mediilor celor dou variabile aleatoare.
EMBED Equation.3 (2.26)
Demonstraia se va face ntr-un caz particular. Fie variabilele aleatoare din relaia (2.24) . Produsul acestor variabile aleatoare este:
EMBED Equation.3 (2.27)
EMBED Equation.3 (2.28)
Variabilele aleatoare X i Y sunt independente, atunci exist relaia: . Rezult:
EMBED Equation.3
(2.29)
2.6. Abaterea variabilei aleatoare
Fie X o variabil aleatoare i M(X) media sa. Se numete abaterea variabilei aleatoare X variabila aleatoare:
EMBED Equation.3 (2.30)
Valoarea medie a abaterii este:
EMBED Equation.3 (2.31)
Pentru a msura mprtierea valorilor variabilei aleatoare fa de media sa nu se poate utiliza valoarea medie a abaterii deoarece aceasta este ntotdeauna nul.
Din aceast cauz, ca o msur a mprtierii valorilor variabilei aleatoare fa de media sa, se utilizeaz dispersia care este valoarea medie a ptratului abaterii.
EMBED Equation.3 (2.32)
Deci dispersia unei variabile aleatoare este egal cu diferena dintre media ptratului valorii aleatoare i ptratul mediei variabilei aleatoare.
2.7. Proprietile dispersiei
1. Dispersia unei constante este egal cu zero.
EMBED Equation.3 (2.33)
Proprietatea este intuitiv ntruct o mrime constant nu are nici o mprtiere.
2. Dispersia produsului dintre o constant i o variabil aleatoare X este egal cu produsul dintre ptratul constantei i dispersia variabilei aleatoare X.
EMBED Equation.3 (2.34)
3. Dispersia sumei a dou variabile aleatoare este egal cu suma dispersiilor variabilelor aleatoare.
EMBED Equation.3 (2.35)
Consecin: Dispersia sumei dintre o constant a i o variabil aleatore X este egal cu dispersia variabilei aleatoare X.
EMBED Equation.3 (2.36)
_1160497025.unknown
_1160500838.unknown
_1162219504.unknown
_1163261007.unknown
_1163440938.unknown
_1168357848.unknown
_1168357959.unknown
_1303556759.unknown
_1303556784.unknown
_1303556937.unknown
_1168358238.unknown
_1168358343.unknown
_1168358137.unknown
_1168357896.unknown
_1165811043.unknown
_1167726242.unknown
_1163484316.unknown
_1163484370.unknown
_1163441725.unknown
_1163261668.unknown
_1163436672.unknown
_1163437453.unknown
_1163262249.unknown
_1163261303.unknown
_1163261479.unknown
_1163261116.unknown
_1163259137.unknown
_1163259412.unknown
_1163259557.unknown
_1163259597.unknown
_1163259507.unknown
_1163259244.unknown
_1163259045.unknown
_1163259109.unknown
_1162221646.unknown
_1161061554.unknown
_1161062463.unknown
_1161068141.unknown
_1161072780.unknown
_1161063327.unknown
_1161062362.unknown
_1160501466.unknown
_1160501704.unknown
_1160501204.unknown
_1160499945.unknown
_1160500296.unknown
_1160500372.unknown
_1160500415.unknown
_1160500316.unknown
_1160500135.unknown
_1160500192.unknown
_1160500008.unknown
_1160497496.unknown
_1160497642.unknown
_1160497770.unknown
_1160497538.unknown
_1160497331.unknown
_1160497446.unknown
_1160497240.unknown
_1160496799.unknown