CURS 1 - RMOM NOIUNI DE REZISTENA MATERIALELOR CAPITOLUL 1 NOIUNI INTRODUCTIVE 1.1 GeneralitiRezistena materialelor este o tiin inginereasc, desprins n timp din cadrul mecanicii, care se ocup cu dimensionarea pieselor de maini sau a construciilor, i cu verificarea unor piese, a cror dimensiuni sunt cunoscute, pentru a vedea dac acestea rezist sau nu la sarcinile aplicate. n practic corpurile nu sunt perfect rigide, ci, acestea se deformeaz sub aciunea sarcinilor la care sunt supuse. Dac deformaiile produse sub aciunea acestor sarcini depesc anumite valori, exist riscul apariiei ruperii acestor corpuri. Spre deosebire de alte tiine rezistena materialelor studiaz comportamentul corpurilor care se deformeaz, n vederea determinrii limitelor de solicitare la care pot fi supuse.

1.2 Clasificarea corpurilor n rezistena materialelorRezistena materialelor mparte corpurile studiate, n funcie de raportul dintre principalele lor dimensiuni, n mai multe grupe. Corpuri, la care una dintre dimensiuni este mare n raport cu celelalte dou, numite i bare. Barele pot fi: - drepte - curbe: - n plan - n spaiu

Sunt caracterizate de: - axa barei (axa longitudinal); - seciunea barei (seciunea transversal, perpendicular pe axa barei) care poate avea diverse forme (circular, ptrat, n form de L, de T, de U etc). Exemple de bare: grinzi, arbori, stlpi, etc. Corpuri, care au dou dintre dimensiuni (lungimea i limea) mari fa de a treia (grosimea), numite i plci. Plcile pot fi: - plane (suprafaa median este plan) - curbe (suprafaa median este curb) Sunt caracterizate de: - forma i dimensiunile suprafeei mediane; - grosime (msurat perpendicular pe suprafaa median. 1

Exemple de plci: vase, tuburi, membrane, etc.

Corpuri masive, la care lungimea limea i grosimea sunt de acelai ordin de mrime. Exemple de corpuri masive: bile, corpuri de rostogolire pentru rulmeni, tuburi cu perei groi, etc.

1.3 Fore exterioareOrganele de maini n momentul folosirii sunt supuse unor fore ce acioneaz asupra lor din exterior. Aceste fore sunt denumite fore exterioare i se pot clasifica astfel: dup locul unde se aplic forele exterioare: o de suprafa acioneaz la suprafaa corpului i provin din contactul cu alte corpuri (se numesc de obicei sarcini); o de volum acioneaz n toate punctele corpului i provin din greutatea proprie, inerie, cmpuri magnetice, etc. dup modul cum sunt distribuite pe suprafa: o sarcini concentrate sunt aplicate prin intermediul unei suprafee de dimensiuni foarte mici; o sarcini distribuite sunt aplicate continuu pe o anumit lungime sau suprafa a corpului. dup modul n care sunt aplicate forele exterioare: o statice aplicarea se face de la valoarea zero la cea de lucru, care se menine constant sau sufer variaii nensemnate n timp mai lung; o dinamice rezult din aplicarea brusc a unei sarcini asupra corpului (oc), din variaia periodic n timp a valorii forelor aplicate (fore de oboseal), din micarea corpului (fore de inerie).

1.4 Fore interioareForele interioare, sau eforturile, sunt fore suplimentare care caut s restabileasc echilibrul corpului asupra cruia acioneaz fore exterioare. Proprietatea de baz a forelor interioare const n aceea c, pe aceeai linie de aciune, fiecrei fore i corespunde o alta egal ca valoare, dar de sens contrar. Existena forelor interioare se poate pune n eviden prin metoda seciunilor. Se consider o bar, figura 1a, asupra creia acioneaz sistemul de fore F 1; F2; F3; i F4 care este n echilibru. Dac secionm bara printr-un plan perpendicular, pe axa de simetrie, aceasta separ n dou tronsoane (I) i (II). n acest caz cele dou tronsoane ale barei nu mai sunt n echilibru. Pentru tronsonul (I) trebuie introdus o for R i un cuplu M care s compenseze forele F2 i F3 nlturate (figura 1b). R i M poart denumirea de fore interioare, sau fore n seciune , sau eforturi. Dac se analizeaz tronsonul (II), se constat c asupra sa trebuie s se aplice, n seciune, eforturile R i M, egale i de sens contrar cu cele aplicate tronsonului analizat mai nainte. n acest caz R i M compenseaz forele F1 i F4 nlturate. Eforturile R i M se consider aplicate n centrul de greutate al seciunii barei i se pot calcula din condiiile de echilibru ale tronsonului asupra cruia ele acioneaz. Eforturile R i M se pot descompune dup dou direcii perpendiculare, una n lungul axei de simetrie a barei, i cea de a doua cuprins n planul transversal al seciunii. Astfel deosebim: N fora normal (fora axial), componenta forei R n lungul axei de 2

simetrie a barei, care produce solicitarea de ntindere sau compresiune; T fora tietoare, componenta forei R coninut n planul seciunii, care produce solicitarea de forfecare sau de tiere; Mt moment de rsucire, componenta momentului M n lungul axei de simetrie al barei, care produce solicitarea de rsucire (torsiune); Mi moment ncovoietor, componenta momentului M n planul seciunii, care produce solicitarea de ncovoiere.

a

bFig. 1 Bar ncrcat de un sistem de fore, secionat de un plan perpendicular pe axa de simetrie a bara ncrcat de sistemul de fore; b bara separat n tronsoane de planul perpendicular pe axa de simetrie (planul seciunii). I; II tronsoane; F1, F2, F3, F4 - fore exterioare; G centrul de greutate al seciunii; FR; M fore interioare (eforturi); N fora normal; T fora tietoare; Mt moment de rsucire; Mi moment ncovoietor

Fiecare dintre componentele eforturilor R i M prezentate mai sus, produc, aa cum s-a specificat, o anumit solicitare denumit solicitare simpl. 3

Dou sau mai multe solicitri simple dau natere unei solicitri compuse. Concentrarea eforturilor N, T, Mt i Mi n centrul de greutate al seciunii, se consider o reprezentare convenional simpl. n mod normal forele interioare se exercit pe toate elementele de suprafa ale seciunii.

1.5 Eforturi unitare (tensiuni)Dac considerm un element din suprafaa seciunii, dA, suficient de mic, (figura 2) atunci fora interioar, dF, de la nivelul acestuia lucreaz cu intensitate constant. Raportul, dF/dA, reprezint intensitatea medie a forei interioare pe elementul de suprafa, dA, i poart denumirea de efort unitar sau tensiune. p= dF [Pa] dA (1.1)

unde: - p = efort unitar, [Pa]; - dF = fora interioar, [N]; - dA = element de suprafa, [m2]. Efortul unitar este pe aceeai direcie cu fora interioar (dF).

Fig. 2 Modul de descompunere a efortului unitar

Unitatea de msur a efortului unitar este Newton pe metru ptrat (N/m 2), sau Pascal (Pa), dar se mai utilizeaz i decaNewton pe centimetru ptrat (daN/cm2). Efortul unitar (p) poate fi descompus n dou componente, dup dou direcii, i anume: o component, pe direcie normal la seciune, care va purta denumirea de efort unitar normal (); o component, pe direcie coninut n planul seciunii, care va purta denumirea de efort unitar tangenial ( ); Efortul unitar normal (), reprezint un efect de ntindere sau de compresiune exercitat de ctre partea din corp nlturat asupra celei rmase, iar efortul unitar tangenial ( ) unul de tiere (forfecare). Se observ din figur c: p = 2 + 2 [Pa] (1.2)

1.6 Deformaii i deplasriSub efectul forelor exterioare, la care sunt supuse, corpurile se deformeaz mai mult sau mai puin, n funcie de modul n care acioneaz aceste fore asupra lor, de natura materialului din care sunt confecionate, precum i de dimensiunile constructive. 4

Aceast deformaie presupune de fapt o modificare a formei corpurilor, o modificare a poziiei punctelor care l alctuiesc.

1.6.1 DeplasriDrumul parcurs de un punct al unui corp supus deformrii, se numete deplasare. n figura 3, n urma aciunii forei F, punctul C trece n punctul C, n timp ce reazemele A i B rmn fixe. n acest caz se spune c distana CC reprezint deplasarea punctului C sub aciunea forei F.Fig. 3 Deplasarea unui punct sub aciunea unei fore

Analiznd modul de deformare a unui corp, se observ c exist dou tipuri de deplasri: deplasri liniare; deplasri unghiulare. Deplasarea liniar a unui punct, figura 4a, reprezint diferena dintre poziiile ocupate de un punct oarecare, (X), nainte de deformare i dup deformare, (X). Deplasarea unghiular, figura 4b, reprezint rotirea dintre segmentul de dreapt determinat de dou puncte oarecare (YY) ale unui corp, nainte de deformare i segmentul de dreapt ce conine aceleai puncte dup deformare (ZZ).

a

b

Fig. 4 Tipuri de deplasri a deplasare liniar a unui punct; b deplasare unghiular a unui segment

5

CURS 2 RMOM 1.6.2 DeformaiiSub aciunea forelor exterioare corpurile se deformeaz ajungnd s aib o nou form, diferit de cea iniial. Dac n timpul aciunii forelor exterioare, eforturile unitare se ncadreaz sub o anumit valoare, considerat ca limit, atunci deformaiile nregistrate sunt mici i elastice. n momentul n care aciunea forelor exterioare nceteaz, deformaiile dispar, iar corpul revine la forma iniial Considernd c orice corp, care se deformeaz, este compus dintr-un numr mare de elemente geometrice elementare, sub form de paralelipiped dreptunghic, atunci acestea, n urma deformrii, i vor modifica volumul. Un astfel de element geometric elementar, sufer lungiri sau scurtri ale laturilor i modificri ale valorii unghiurilor dintre muchii (iniial 90o). n concluzie se poate spune c deformaia poate fi: liniar (variaia lungimii unui element liniar ce aparine unui corp supus deformrii); unghiular denumit i lunecare (valoarea unghiului cu care se modific unghiul drept dintre dou fee ce au o latur comun) Starea de deformare a corpurilor supuse aciunii forelor exterioare este precizat de mrimi specifice: alungire; contracie transversal; lunecarea specific.

1.6.2.1 Alungirea (deformaia specific)Presupunem c o bar este tras de ambele capete cu o anumit for (bar solicitat la ntindere, figura 5). Sub aciunea forei bara prezint o deformaie liniar elastic, denumit lungire (l). Aceasta reprezint diferena dintre valoarea lungimii iniiale i a celei finale a barei.

Fig. 5 Deformarea la ntindere a unei bare drepte li lungimea iniial; lf lungimea final; l lungirea barei; x, y puncte care delimiteaz unitatea de lungime a barei; x, y poziia punctelor x i y dup deformarea barei; - alungirea specific a barei

l = l f l iunde:

[m]

(1.3)

6

- li = - lf =

lungimea nainte de aplicarea forelor (F), [m]; lungimea dup aplicarea forelor (F), [m];

Aa cum se observ din figura 5, unitatea de lungime a barei (1 cm, ntre punctele x i y) crete cu o anumit valoare care poart denumirea de deformaie specific, sau lungire specific, sau alungire (). Alungirea reprezint raportul dintre deformaia liniar, l, (lungire), i lungimea iniial a elementului liniar (xy).

=

l l f li = li li

(1.4)

Dac bara din exemplul precedent este supus la compresiune, atunci (l) poart denumirea de scurtare, iar () de scurtare specific.

1.5.2 Contracia transversaln cazul n care bara este solicitat la ntindere (fig. 5) se observ c alungirea acesteia se produce odat cu micorarea dimensiunilor transversale. Conturul desenat cu linie continu reprezint bara nainte de aplicarea forelor, iar conturul desenat cu linie ntrerupt reprezint bara n timpul n care exist solicitarea de ntindere. Contracia transversal (t) se calculeaz cu formula:

t = unde: -= -=

(1.5)

coeficent de contracie transversal (n literatura de specialitate se gsete tabelat); alungirea.

Dac bara este supus la compresiune, atunci forele exterioare, duc la scurtarea barei, ceea ce are ca efect mrirea diametrului acesteia n raport cu cel iniial. Relaia (2.5) rmne valabil i n acest caz, dar cu semnul schimbat.

1.5.3 Lunecarea specificLunecarea specific este o deformaie unghiular, n cazul creia elementul geometric elementar, sub form de paralelipiped dreptunghic, devine un paralelipiped oblic (fig. 6). Pentru simplificare paralelipipedul dreptunghic are laturile egale, deci este un cub. Suprafaa BCFG, a paralelipipedului din figur, alunec n poziia BCFG. n acest fel ntre latura DC i DC se va forma un unghiul ( ). De asemenea latura BC, se va deplasa n noua poziie BC, aflat la distana, a, fa de cea iniial. Determinarea lunecrii specifice se face cu ajutorul unghiului ( ), figura 6, care arat abaterea acestuia fa de un unghi de 90o.

=unde: - a = -a =

a a

(1.6)

deplasarea din punctul C n C, [m]; latura paralelipipedului, [m].

1.6 Relaia dintre tensiuni i deformaii; Curba caracteristic; Legea lui Hooke7

ntre eforturile unitare i deformaiile specifice, exist anumite relaii care se determin pe cale experimental, pe baza unor ncercri. ncercarea de baz pentru metale este cea la ntindere. Pentru aceasta, o epruvet (figura 7), a crei form i dimensiuni sunt standardizate, este supus la ntindere pe o main special pentru ncercri. Deformaiile epruvetei sunt foarte mici i se msoar prin metode specifice. Lungimea iniial (l0) se msoar ntre cele dou repere (A i B), atunci cnd epruveta nu este supus la ntindere. n timpul ncercrii se aplic o for de ntindere care crete lent pn se produce ruperea epruvetei. Variaia lungirii epruvetei funcie de fora de ntindere se reprezint ca n diagrama din figura 8.

Fig. 6 Lunecarea specific a latura cubului; a deplasarea din punctul C n C; - lunecarea specific; - efort unitar tangenial.

innd cont c alungirea () este:

=

l l0 F [Pa] A0

(2.7)

i c efortul unitar normal () este:

=unde: -F = - A0 =

(2.8)

fora cu care se acioneaz asupra epruvetei [N]; suprafaa iniial a seciunii epruvetei [m2].

atunci se poate trasa diagrama alungirii funcie de efortul unitar care se mai numete i curba caracteristic a materialului, figura 9.

8

Fig. 7 Epruvet F fora de ntindere; A, B - repere

Fig. 8 Variaia lungirii epruvetei, funcie de fora de ntindere

Fig. 9 Curba caracteristic r rezistena la rupere; c limita de curgere; e limita de elasticitate; p limita de proporionalitate; r - alungirea specific la rupere; A punct care reprezint limita de proporionalitate; B - punct care reprezint limita de elasticitate; C - punct care reprezint limita de curgere; D - punct care reprezint limita zonei de curgere; E punct n care efortul unitar atinge valoarea maxim; F - punct care reprezint ruperea epruvetei.

Se disting mai multe poriuni pe aceast curb, i anume: poriunea OA denumit i zona de proporionalitate, este o linie dreapt, eforturile unitare fiind proporionale cu deformaiile specifice:

= E [Pa]unde:

(1.9)

9

-= - E= -=

efortul unitar normal [Pa]; modul de elasticitate (modulul lui Young) [Pa]; Alungirea.

Relaia (1.9) poart denumirea de legea lui Hooke, care reprezint o lege fundamental n teoria elasticitii. Punctul A reprezint limita de proporionalitate. Punctul B reprezint limita de elasticitate (e). Pn la aceast limit materialul se comport elastic. Dup ndeprtarea forei, epruveta revine la dimensiunile iniiale. n realitate materialele nu sunt perfect elastice, ceea ce face ca n calcule s se utilizeze limita de elasticitate tehnic (0,01 = e), care reprezint valoarea efortului unitar cruia i corespunde o alungire permanent (dup descrcarea epruvetei) de 0,01%.

10

CURS 3 RMOM Continuare - Relaia dintre tensiuni i deformaii; Curba caracteristic; Legea lui Hooke Poriunea BC poart denumirea de domeniu plastic. Pe aceast poriune, dup ndeprtarea sarcinilor care o solicit, epruveta rmne cu o deformaie permanent. Punctul C reprezint limita de curgere (c), adic valoarea efortului unitar la care alungirea epruvetei crete, dei sarcina se menine constant (materialul curge). Poriunea CD reprezint zona de curgere i este aproape orizontal. Valoarea efortului unitar corespunztor acestei zone este (c) (se mai noteaz Re). Poriunea CD nu apare la toate materialele. Pentru materialele care nu au palierul CD se definete limita de curgere tehnic sau remanent (0,2 sau Rr0,2), care reprezint valoarea efortului unitar cruia dup descrcarea epruvetei i corespunde o alungire permanent cu 0,2%. Poriunea DE reprezint zona de ntrire. Pe aceast poriune eforturile unitare cresc din nou. Punctul E reprezint punctul n care se atinge valoarea maxim a efortului unitar (max), numit rezisten la rupere (r sau R).

m ax =

Fm ax =r = R A0

[Pa]

(1.10)

n momentul cnd sarcina ajunge aproape de Fmax, la nivelul epruvetei apare o gtuire care evolueaz pn la apariia ruperii. Poriunea EF n care eforturile unitare scad. Dup apariia gtuirii se constat c fora aplicat epruvetei se micoreaz. Pentru aprecierea proprietilor mecanice ale unui material este necesar s se cunoasc alungirea i gtuirea la rupere. Limita de proporionalitate, limita de elasticitate (e), limita de curgere (c), rezistena la rupere (r sau R), alungirea la rupere (r), gtuirea la rupere (Z), se numesc caracteristici mecanice ale materialului. Curba OF prezentat, n figura 9, cu linie nentrerupt, reprezint curba convenional, deoarece fora F s-a raportat la aria iniial a seciunii epruvetei (A0), ca i cum aceasta ar rmne constant. Caracteristica real este reprezentat punctat, i are aceast alur deoarece efortul unitar crete continuu pn la ruperea epruvetei. Se observ c pn la depirea zonei de curgere cele dou curbe coincid, aceasta fiind i zona de interes pentru aplicaiile tehnice. Nu toate materialele au curba caracteristic care s respecte legea lui Hooke. Factorii care determin sau influeneaz caracteristicile mecanice ale 11

materialelor sunt: natura materialului, modul de solicitare (ntindere, compresiune, rsucire), temperatura (caracteristicile mecanice ale materialelor se determin n general la 20oC), timpul ct acioneaz forele exterioare, viteza de aplicare a forelor exterioare, tehnologia de fabricaie (dac este turnat sau laminat).

1.7 Rezistene admisibile; coeficieni de sigurann tehnic pentru ca o pies s nu sufere deformaii permanente, sau chiar s se rup, este necesar ca eforturile unitare care apar n aceasta s aib o valoare mai mic dect rezistena admisibil. Conform definiiei, date de literatura de specialitate, rezistena admisibil este valoarea convenional, aleas n calcul pe baza practicii, pentru efortul unitar maxim, care se poate produce ntr-o pies, n condiii date de material i solicitare. Rezistenele admisibile se noteaz a sau a, i se pot calcula cu relaiile urmtoare:

a =

lim c

[Pa] [Pa]

(1.11) (1.12)

a =unde: - lim; lim = - c i c =

lim c'

reprezint efortul unitar ce caracterizeaz starea limit a solicitrii la care este supus piesa (de exemplu c; r; r). se numesc coeficieni de siguran; deci:

c=

lim a

(1.13)

Valorile rezistenelor admisibile sau ale coeficienilor de siguran se stabilesc innd cont de anumii factori: natura materialului; precizia cu care se evalueaz sarcinile; tratamente termice; felul solicitrii; temperatura; etc. n calculele de dimensionare, rezistena admisibil este considerat ca o constant, pe cnd la cele de verificare aceasta reprezint o limit superioar ( efortul unitar efectiv este mai mic cel mult egal cu rezistena admisibil).

CAP. 2. TINDEREA I COMPRESIUNEA 2.1 Fora axial; Diagrame de fore axialentinderea sau compresiunea unei bare se realizeaz n momentul n care asupra acesteia acioneaz fore dirijate n lungul axei (figura10). b a 12

Fig. 10 Bar asupra creia acioneaz fore dispuse n lungul axei a ntindere; b - compresiune

n primul caz (figura 10a), forele sunt orientate spre exterior deci apare fenomenul de ntindere, iar n al doilea caz (figura 10b), forele sunt orientate spre interior i apare compresiunea. n orice seciune transversal fora axial N este egal cu fora F din capt (figura 11). Acesta se consider pozitiv n cazul n care bara este ntins i negativ dac o comprim

I

II

III

Fig. 11 Bar supus la ntindere I modul de aplicare a forelor exterioare; II; III modul de aplicare a forei axiale. a, b tronsoane; xy seciune transversal, F for exterioar; N fora axial.

n cazul n care pe direcia axei barei se aplic mai multe fore este necesar s se traseze diagrama forelor axiale (figura 12). Aceasta indic seciunile periculoase n care forele sunt maxime.

Fig. 12 Diagrama forelor axiale

Dup cum rezult din figura 12, conform ecuaiei de echilibru

F = 0 R = 3F 2 F 2 F + 3F = 2 F

[N]

(2.1)

Pentru reprezentarea diagramei se traseaz o ax, paralel cu axa de simetrie a barei i de aceeai lungime cu aceasta. Trasarea diagramei se ncepe de la unul din capetele barei. Prima for ntlnit este considerat pozitiv, dac contribuie la ntinderea barei i negativ dac contribuie la comprimarea acesteia. Celelalte fore care apar se raporteaz la sensul primei fore luate n calcul. Se consider c fora este constant ntre seciunile de aplicare a dou fore alturate i are o discontinuitate n dreptul fiecrei fore, egal cu valoarea acesteia. Fora axial ntr-o seciune oarecare este egal cu suma proieciilor pe axa barei a tuturor forelor situate de o parte a seciunii. Forele pozitive se reprezint deasupra axei diagramei, iar cele negative sub aceasta. n figura 12 pe tronsonul AB, fora are valoarea 3F, pe tronsonul BC fora este egal cu 3F 2F = F, pe tronsonul CD fora va fi egal cu 3F2F2F = -F, iar pe 13

tronsonul DE fora va fi 3F2F2F+3F = 2F.

2.2 Eforturi unitare la solicitarea de ntindere sau compresiuneAdmind valabil ipoteza lui Bernoulli, rezult c eforturile unitare care sunt proporionale cu alungirile (legea lui Hooke) sunt distribuite uniform pe seciune. Eforturile unitare sunt orientate perpendicular pe seciune deci se ncadreaz n grupa celor normale (). N a = [Pa] (2.2) A unde: - N= fora axial din seciune [N]; - A = suprafaa seciunii [m2]. Dac formula este folosit pentru dimensionare (cnd se dorete s se cunoasc aria seciunii necesare a piesei - Anec) atunci:

Anec =

N [m2] a

(2.3)

unde: - a = efortul unitar admisibil [Pa]. Dac formula este folosit pentru verificare, cunoscndu-se fora N i seciunea efectiv Aef, se compar efortul unitar efectiv ef cu cel admisibil a.

ef =

N a [Pa] Aef

(2.4)

Dac se dorete determinarea forei capabile sau admisibile Ncap, pe care o poate suporta o bar cu seciunea cunoscut (Aef) i care s nu depeasc o rezisten admisibil (a), atunci:

N cap = a Aef N efunde: Nef = fora efectiv [Pa].

[Pa]

(2.5)

14

CURS 4 RMOM 2.3 Deformaii i deplasri la barele drepte solicitate la ntindereDac eforturile unitare dintr-o bar dreapt, cu seciune constant, supus la ntindere, se ncadreaz sub limita de elasticitate, atunci, conform legii lui Hooke:

= E =

[Pa]

(2.9)

nlocuind efortul unitar () cu relaia:

N [Pa] A

(2.2)

i alungirea () cu relaia:

=unde:

l l

(2.4)

- l = lungirea barei [m]; - l = lungimea barei [m]. atunci:

N l [Pa] = E A lLungirea total a barei va fi:

(2.6)

l =

N l = l [m] EA

(2.7)

Produsul EA poart denumirea de modul de rigiditate la solicitarea axial, sau rigiditatea la ntindere sau compresiune a barei. Relaia poate fi folosit pentru dimensionare, verificare, sau pentru determinarea forei capabile. Pentru dimensionare: Anec = ..... [m2] Pentru verificare: lef =......la [m] Pentru determinarea forei capabile: Ncap = ....... Nef [N] (2.10) 15 (2.9) (2.8)

Dac fora axial i modific valoarea n lungul unei bare cu seciune constant n calculele de dimensionare i verificare se va utiliza valoarea maxim a forei.

2.4 Seciune brut, seciune net, seciune periculoasn practic se utilizeaz piese a cror seciune nu se menine constant, pe toat lungimea. Aceste modificri de seciune se datoreaz unor decupri, degajri, guri care se practic n piesele respective. Dac se analizeaz cazul unei platbande utilizate pentru o asamblare nedemontabil, prin nituire, se observ c n dreptul niturilor, seciunile din aceasta se micoreaz, figura 13.

Fig. 13 Seciunea brut, seciunile nete i seciunea periculoas ntr-o pies paralelipipedic Ab seciunea brut; An1 , seciunea net ce nglobeaz o singur gaur; An2 seciunea net ce nglobeaz dou guri (denumit i seciune periculoas); b limea piesei; g grosimea piesei; d diametrul gurilor.

Seciunea Ab se numete seciune brut

Ab = b g

[m2]

(2.11)

unde: - b = limea platbandei [m]; - g = grosimea platbandei [m]. Seciunile din dreptul gurilor (cu diametrul d), se numesc seciuni nete (An1 i An2):

An1 = ( b d ) g

[m2] (2.13) Se spune c seciunea n dreptul gurilor este slbit. Seciunea transversal cu valoarea cea mai mic, a ariei, An2 se numete seciune periculoas. Aceast seciune se ia n considerare n calculele de rezisten.

An 2 = ( b 2d ) g

[m2]

(2.12)

2.5 Bare de egal rezistenBara vertical cu lungime mare, cu seciune constant, nu reprezint o soluie economic. Pentru ca materialul s fie utilizat raional, se apeleaz la bare de egal rezisten la care, oricare dintre seciunile acestora sunt la fel solicitate, eforturile unitare avnd aceeai valoare egal cu rezistena admisibil. 16

Fig. 14 Bare de egal rezisten a form teoretic; b form de con; c din tronsoane.

Forma teoretic pentru astfel de bare este reprezentat n figura 14a . Practic astfel de bare sunt greu de realizat i se adopt soluiile sub form de trunchi, figura 14b, de con sau din tronsoane, figura 14c.

3.6 Probleme static nedeterminate de ntindere i compresiunen practic apar cazuri cnd eforturile unitare la ntindere sau compresiune nu se pot determina numai cu ajutorul ecuaiilor de echilibru ale solidului rigid, cea ce face ca acestea s fie considerate static nedeterminate. Pentru rezolvarea lor este necesar s se in cont de modul n care se produc deformaiile sub aciunea eforturilor de determinat. O problem de tipul static nedeterminat se rezolv urmrind anumite etape i anume: stabilirea eforturilor care urmeaz s fie determinate; scrierea ecuaiilor de echilibru ale solidului rigid; scrierea ecuaiilor suplimentare, care mpreun cu ecuaiile de echilibru trebuie s permit determinarea tuturor eforturilor necunoscute.

3.6.1 Calculul sistemelor de bare coaxiale cu seciune neomogenn categoria barelor cu seciuni neomogene, sunt incluse acelea care au seciunea alctuit din dou sau mai multe materiale (de exemplu bare din oel i aluminiu). n figura 15 sunt reprezentate dou piese cilindrice, din materiale diferite, supuse la compresiune. Se consider c fora F se distribuie la cei doi cilindri:

F = F1 + F2unde:

[N]

(2.14)

- F1 = fora distribuit la cilindrul 1, [N]; - F2 = fora distribuit la cilindrul 2, [N] Ecuaia ns nu poate oferi soluia determinrii forelor F1 i F2, rezultnd o problem de tipul static nedeterminat. Mai este necesar o ecuaie i se va lua n considerare, pentru aceasta, scurtarea produs la nivelul celor doi cilindri. Scurtarea va fi:

l =

(2.15) unde: - l = lungimea pieselor [m]; - E1 i E2 = modulele de elasticitate ale celor dou materiale [Pa]; 17

F1 l F l = 2 E1 A1 E 2 A2 [m]

- A1 i A2 = seciunile celor dou bare [m2] Se va obine un sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute, cu ajutorul cruia se vor afla forele F1 i F2. Pentru aflarea eforturilor unitare se utilizeaz relaiile:

1 =

F1 A1

[Pa]

(2.16)

i

2 =

F2 [Pa] A2

(2.17)

Fig. 15 Ansamblu de piese cilindrice coaxiale supuse la compresiune 1; 2 piese; F for; l lungimea pieselor; l - scurtarea pieselor.

2.6.2 Eforturi unitare produse de variaia de temperaturDac o bar, ce se poate dilata liber, este supus unei nclziri uniforme, atunci aceasta se va lungi cu o anumit valoare. Alungirea barei n acest caz va fi:

l = l t = l (t f t 0 )

[m]

(2.18)

unde: - = coeficent de dilatare termic liniar, [oC-1] ; - l = lungimea barei, [m]; - tf = temperatura final la care este nclzit bara, [oC]; - t0 = temperatura barei nainte de nclzire, [oC]; Dac se consider c bara are la capete reazeme fixe i este nclzit, ea are tendina s se lungeasc i s mping cele dou reazeme (A i B, figura 16), care se vor opune cu o for F. Reazemele fiind fixe, bara se comport ca i cum ar fi comprimat de fora F. Lungimea barei rmne n acest caz aceeai i dup nclzirea ei. Se poate considera c lungirea barei produs prin dilatare termic (dac bara ar fi la un capt liber), este egal cu scurtarea produs de compresiunea acesteia datorit forelor ce apar n reazeme.

l d = lc

(2.19)

unde: - ld = lungirea barei produs prin dilatare termic, [m]; - lc =scurtarea barei produs de forele care apar n reazeme, [m];

18

Fig. 16 Forele din reazeme pentru o bar nclzit, ncastrat la ambele capete. F fora; l lungimea barei; A; B punte care marcheaz reazemele fixe.

Dar:

l d = l ( t f t 0 )F l E A [m]

[m]

(2.20)

i

l c =

(2.21)

Din cele dou relaii rezult :

F l = l (t f t 0 ) EADar:

(2.22)

F = A

[Pa]

(2.23)

Rezult c efortul unitar datorat mpiedicrii dilatrii () va fi:

= E (t f t 0 )

[Pa]

(2.24)

Se observ c este dependent de natura materialului i de diferena de temperatur i nu de dimensiunile barei. Dac la captul barei exist un joc j (rost de dilataie), cunoscut, figura 17, atunci:Fig. 17 Bar ncastrat prevzut cu rost de dilataie j rost de dilataie; l lungimea barei.

l d l c = j l ( t f t 0 )

F l = j EA [m]

(2.25)

Cu ajutorul formulei (2.25) se determin fora F. Dac F este negativ rezult c lungirea barei are o valoare mai mic dect a rostului de dilataie i nu se vor produce eforturi unitare datorate variaiei de temperatur. Pot exista cazuri, n practic, cnd bara este realizat din tronsoane cu seciuni diferite i chiar din materiale diferite, figura 18. i n acest caz:

19

Fig. 18 Bar cu tronsoane de seciuni i lungimi diferite, ncastrat la ambele capete 1; 2; 3 tronsoane; F for de comprimare; l1 ; l2 , l3 lungimile tronsoanelor

l d = l cunde:

(2.19)

l d = ( 1 l1 + 2 l 2 + 3 l3 ) ( t f t 0 )

[m]

(2.26)

i

l l l2 lc = F 1 + + 3 [m] A E A E A3 E3 2 2 1 1

(2.27)

n care: - 1, 2, 3 = coeficienii de dilatare termic liniar ai tronsoanelor respective, [oC-1] ; - l1, l2, l3 = lungimile tronsoanelor, [m]; - A1, A2, A3 = ariile seciunilor tronsoanelor, [m2]; - E1, E2, E3 = modulele de elasticitate ale materialului tronsoanelor, [Pa]. Eforturile unitare vor fi:

1 =

F A1

[Pa]

(2.28)

Se nlocuiete valoarea forei din obinut din egalarea relaiilor (2.26) i (2.27) Similar se determin 2 i 3.

20

CURS 5 RMOM 2.6.3 Calculul barelor dublu articulateSe consider o bar dublu articulat la ambele capete, cu seciune constant i material omogen, solicitate de o for axial n punctul B, figura 19. Ca urmare n reazem apar reaciunile R1 i R2.

Fig. 19 Bar dublu articulat solicitat de o for axial R1 ; R2 reaciuni; F for axial; A; B; C puncte de aplicaie a reaciunilor i a forei; l lungimea barei; x distana dintre punctele A i B; y distana dintre punctele B i C.

Conform ecuaiei de echilibru:

R1 F + R2 = 0 R1 + R2 = F [N] (2.29)Problema este de tipul static nedeterminat. Pentru rezolvare se apeleaz la o a doua relaie care ia n considerare deformaiile barei. Lungimea barei rmne neschimbat i dup aplicarea sarcinii F. n acest sens:

l = 0dar:

(2.30)

l = x + y [m]rezult:

(2.31)

21

x + y = 0n care: - x = lungirea pe poriunea x;

(2.32)

x =

unde: NAB = fora axial pe tronsonul AB, [Pa]; x = lungimea poriunii x [m]; E = modulul de elasticitate [Pa]; A = seciunea barei [m2]; - y = scurtarea pe poriunea y,

N AB x R x x = 1 [m] EA EA

(2.33)

y =

unde: NBC = fora axial pe tronsonul BC, [Pa]; y = lungimea poriunii y [m]; Din relaiile (3.35), (3.36) i (3.37) rezult:

N BC y ( R F ) y [m] y = 1 E A E A

(2.34)

y R1 x ( R1 F ) y + = 0 R1 x + ( R1 F ) y = 0 R1 = F [N] l EA EAnlocuind n relaia

(2.35)

x (2.36) l Metoda este aplicabil pentru orice numr de fore i pentru cazul cnd rigiditatea se schimb pe diferite intervale ale barei. R1 + R2 = F R2 = F

CAPITOLUL 4 FORFECAREA 4.1 Definiie; Eforturi unitareSolicitarea de forfecare, asupra unei bare, are loc atunci, cnd asupra acesteia acioneaz dou fore egale i de sens contrar, perpendiculare pe axa barei, situate la o distan foarte mic una de alta, i care lucreaz asemenea unui foarfece (figura 21).Fig. 21 solicitare de forfecare

Solicitarea de forfecare mai este cunoscut i sub denumirea de tiere. Forfecarea este nsoit i de alte solicitri, ncovoiere, ntindere sau compresiune, al cror efect este ns neglijabil. n calculul solicitrii la forfecare se admite ipoteza simplificatoare, conform creia, eforturile unitare tangeniale se repartizeaz uniform pe seciune. Efortul unitar la forfecare, f, este: 22

f =unde:

T A

[Pa]

(4.1)

- T = fora tietoare, [N]; - A = seciunea barei, [m2]. Relaia este satisfctoare pentru piesele de dimensiuni mici. Cu ajutorul formulei (4.1) se pot deduce formulele pentru: dimensionare

Anec =n care:

Tef

fa

[m2]

(4.2)

- Anec = seciunea necesar, [m2]; - Tef = fora tietoare efectiv, [N]; - fa = rezistena admisibil la forfecare [Pa]. Se accept (0,5...0,8)a. verificare

fa =

fef =unde:

Tef Aef

fa

[Pa]

(4.3)

- Aef = seciunea efectiv, [m2]. determinarea forei tietoare capabile, Tcap

Tcap = Aef faTr = Aef fr

[N]

(4.4)

Similar se calculeaz fora de rupere la forfecare, Tr. [N] (4.5) unde:

- fr = rezistena la rupere la forfecare [Pa].

n practic solicitarea de forfecare este ntlnit la asamblrile realizate prin nituire sau sudare, la unele asamblri cu uruburi, la cele cu boluri, tifturi, sau pene, la tierea tablelor.

4.2 Relaia dintre eforturi unitare i deformaii specificeSub aciunea forei tietoare bara se deformeaz, ca n figura 22, producndu-se o deformaie unghiular. Unghiul este denumit lunecare specific, iar valoarea sa este proporional cu eforturile unitare tangeniale dup legea lui Hooke.

f = G

[Pa]

(4.6)

n care: - G = modul de elasticitate transversal [Pa]. Deplasarea x fa de poziia iniial a barei este: 23

unde:

= x xf

[m]

(4.7)

- x = distana dintre forele tietoare, [m]. innd seama de legea lui Hooke

=i

Gx x

(4.8)

=

(4.9)

din cele dou relaii rezult:

x = x

fG

[m]

(4.10)

Introducnd n formula (4.10), relaia (4.1) rezult c:

x =

T x

Se observ similitudini cu solicitrile de ntindere sau compresiune.Fig. 22 Deformaia unghiular a unei bare supuse la forfecare T for tietoare; - efort unitar tangenial; x deplasarea fa de poziia iniial; x distana dintre forele tietoare; - lunecarea specific

G A

[m]

(4.11)

CAP. 5 MOMENTE STATICE, MOMENTE DE INERIE I MODULE DE REZISTENPentru calculul solicitrilor prezentate anterior (ntindere, compresiune, forfecare) se apeleaz la aria seciunii piesei. Exist i alte tipuri de solicitri, ncovoiere, rsucire, n calculul crora intervin alte caracteristici geometrice ale seciunii: momente statice, momente de inerie, module de rezisten.

5.1 Momente staticePentru a nelege ce reprezint momentul static al unei suprafee, n figura 23 este prezentat o seciune printr-un corp oarecare. n figur s-a ales un sistem de axe de coordonate y0z. Axa x este considerat n lungul corpului, fiind perpendicular pe planul y0z. S-a notat cu G centrul de greutate al suprafeei i cu dA un element de suprafa oarecare. Coordonatele centrului de greutate sunt zG i yG, iar ale elementului de suprafa (dA) sunt z i y. Prin definiie momentul static al unei suprafee n raport cu o ax, de exemplu 0z, este dat de relaia: 24

S z = y dA [m3]A

(5.1)

iar n raport cu axa 0y:

S y = z dA [m3]A

(5.2)

Cunoscndu-se coordonatele centrului de greutate (z i y) al suprafeei analizate, atunci momentele statice devin:

S z = y G A [m3] S y = z G A [m3]

(5.3) (5.4)

adic produsul dintre suprafaa analizat i distana de la centrul de greutate al acesteia la ax.Fig. 23 Seciune printr-un corp oarecare G centrul de greutate; zG ;yG coordonatele centrului de greutate; dAelement de suprafa; z; y coordonatele elementului de suprafa; r distana de la punctul de intersecie al axelor de coordonate la elementul de suprafa.

Dac axele n raport cu care se calculeaz momentele statice trec prin centrul de greutate al suprafeei, valoarea acestora este egal cu zero.

5.2 Momente de inerieMomentele de inerie, sau momentele de ordinul doi, ale figurilor plane sunt reprezentate de seciunile perpendiculare pe axa longitudinal a barelor [Drobot], i se pot clasifica n: momente de inerie axiale (ecuatoriale) fa de o ax; momente de inerie centrifugale fa de dou axe; momente de inerie polare fa de un punct

5.2.1 Momente de inerie axiale (ecuatoriale)Referindu-ne la figura 23, momentul de inerie axial al elementului de suprafa (dA) fa de axa 0z este:

I z = y 2 d [m4] AA

(5.5)

iar fa de axa 0y

I y = z 2 d [m4] AA

(5.6)

Momentele de inerie axiale sunt totdeauna pozitive i mai mari ca zero. 25

Dac sistemul de axe y0z trece prin centrul de greutate al suprafeei atunci momentele de inerie n raport cu aceste axe poart denumirea de momente de inerie centrale.

5.2.3 Momente de inerie centrifugaleConsidernd aceeai figur (figura 23) prezentat n cazurile anterioare, atunci momentul de inerie centrifugal se definete, [Drobot]:

I zy = y z dA [m4]A

(5.14)

Momentele de inerie centrifugale pot fi negative, nule, sau pozitive. n cazurile n care suprafaa are cel puin o ax de simetrie, ce face parte dintr-un sistem de axe perpendiculare, la care se raporteaz momentul de inerie centrifugal, atunci acesta este egal cu zero.

5.2.4 Momente de inerie polareDeterminarea momentului de inerie polar al unei suprafee plane se face n raport cu un punct ales din plan denumit pol. Pentru figura 23, s-a ales ca pol, punctul 0 (punctul de intersecie al axelor de coordonate). Momentul de inerie polar n raport cu punctul 0, al suprafeei cu aria A se definete:

I p = r 2 dA [m4]A

(5.15)

Momentul de inerie polar va avea totdeauna valori pozitive. Din figura 23 se observ c:

r2 = y2 + z2nlocuind (5.9) n relaia (5.8) rezult:

(5.16)

I p = y 2 + z 2 dA = y 2 dA + z 2 dA A A A

(

)

I p = Iz + Iy

[m ]

4

(5.17)

Momentul de inerie polar ,fa de un punct ales ca pol, este egal cu suma momentelor de inerie axiale, fa de axele perpendiculare ce se intersecteaz n acest punct.

5.2.5 Momente de inerie pentru suprafee geometrice simple suprafa dreptunghiularIZ = b h3 [m4] 12

(5.18)

n mod analog se calculeaz momentul de inerie fa de axa 0y: h b3 Iy = [m4] (5.19) 12 suprafa ptrat n acest caz momentele de inerie fa de cele dou axe (0z i 0y) sunt egale:

26

Iz = Iy = suprafa circular

a4 [m4] 12

(5.21)

Ip =

d4 [m4] 32Ip

(5.2

Momentele de inerie axiale vor fi:

d 4 [m4] Iz = Iy = = 2 64

(5.24)

Fig. 25 Suprafa dreptunghiular dA element de suprafa; b limea dreptunghiului; h nlimea dreptunghiului; y distana de la elementul de suprafa la axa 0z; dy nlimea elementului de suprafa

Fig. 26 Suprafa ptrat dA element de suprafa; a latura ptratului; y distana de la elementul de suprafa la axa 0z; dy nlimea elementului de suprafa

Fig. 27 Suprafa circular r distana de la suprafaa elementar pn la punctul de intersecie al axelor; dr grosimea suprafeei elementare

Fig. 28 Suprafa inelar D diametrul exterior; d diametrul interior

suprafa inelar

Ip =

( D4 d 4 ) 4 [m ] 32 (D4 d 4 ) 4 [m ] 64

(5.25)

Momentele de inerie axiale:

Iz = Iy =

Ip 2

=

(5.26) 27

suprafa triunghiular dreptunghic n figura 29a este prezentat un triunghi dreptunghic, care se consider c reprezint jumtate dintr-un dreptunghi, figura 29b, deci va avea jumtate din valoarea momentului de inerie al dreptunghiului. Momentul de inerie axial fa de axa 0z1 va fi:

I z1 =

b h3 [m4] 24

(5.27)

Similar momentul de inerie axial fa de axa 0y1 va fi :

I y1

h b3 = 24

[m4]

(5.28)

Fig. 29 Suprafa triunghiular dreptunghic I plasarea axelor ; II aria triunghiul dreptunghic reprezint jumtate din aria unui dreptunghi. b baza triunghiului; h nlimea triunghiului; G centrul de greutate; O originea sistemului de axe y1Oz1; dy distana de la axa Gz la axa 0z1; dz distana de la axa Gy la axa 0y1

Momentul de inerie fa de Gz:

b h3 [m4] Iz = 36Momentul de inerie axial fa de axa Gy:

(5.33)

Iy =

h b3 36

[m4]

(5.34)

5.2.6 Momente de inerie pentru suprafee suprafee complexe (compuse)Suprafeele complexe, denumite i compuse se consider c sunt alctuite din suprafee simple (dreptunghiuri, triunghiuri, sectoare de cerc, etc). Pentru a determina momentele de inerie ale suprafeelor complexe, se ine cont de faptul c, acestea reprezint suma momentelor de inerie ale suprafeelor simple, care le compun. Pentru determinarea momentelor de inerie, n cazul seciunilor complexe, se urmresc urmtoarele etape: 28

descompunerea seciunii complexe n figuri geometrice simple; determinarea ariei figurilor geometrice simple i a centrelor de greutate ale acestora; determinarea centrului de greutate al ntregii seciuni; se alege un sistem convenabil de axe rectangulare cu originea n centrul de greutate; se calculeaz momentele de inerie axiale i cel centrifugal fa de sistemul de axe ales. n figura 30 este prezentat un exemplu de suprafa complex. n practic se pot obine seciuni complexe utiliznd profiluri laminate. Profilurile simple se calculeaz dup metodele prezentate anterior, iar pentru cele speciale, datele de calcul sunt standardizate.

Fig. 30 Suprafa complex G1 ; G2 ; G3 - centre de greutate ale figurilor geometrice simple; A1 ; A2 ; A3 - ariile figurilor geometrice simple

5.3 Module de rezisten 5.3.1 Module de rezisten axialeModulul de rezisten al unei suprafee, n raport cu o ax, reprezint raportul dintre momentul de inerie, al suprafeei respective, i distana maxim de la marginea seciunii la acea ax. Pentru un sistem de axe rectangulare z0y al unei suprafee, modulele de rezisten n raport cu acestea sunt: fa de axa 0z:

Wz = fa de axa 0y:

Iz y maxIy zmax

[m3]

(5.35)

Wy =

[m3]

(5.36)

5.3.3 Module de rezisten polaren cazul seciunilor circulare i inelare se utilizeaz noiunea de modul de rezisten polar Wp, care reprezint raportul dintre momentul de inerie polar, Ip, i raza maxim a suprafeei respective R.

Wp =

Ip R

[m3]

(5.41)

29

CAP. 6 NCOVOIEREA BARELOR DREPTE 6.1 Definiie, clasificareSe consider c o bar dreapt este solicitat la ncovoiere, atunci cnd forele exterioare, care acioneaz asupra sa, modific forma axei de simetrie a acesteia (figura 31), producnd n seciunile drepte ale acesteia momente ncovoietoare.

Fig. 31 Bar solicitat la ncovoiere F for exterioar (sarcin); 1 axa barei nainte de aplicarea forelor exterioare; 2 axa barei n timpul aplicrii forelor exterioare

n funcie de existena i a altor eforturi n seciune, n afar de momentul ncovoietor, solicitarea de ncovoiere poate fi ntlnit n diferite variante: ncovoiere pur (exist numai momente ncovoietoare, forele tietoare fiind egale cu zero); ncovoiere simpl (pe lng momentele ncovoietoare exist i fore tietoare); ncovoiere oblic (cnd planul de aciune al forelor exterioare nu este un plan de simetrie al barei); n afar de ipotezele de baz utilizate n rezistena materialelor, n cazul studiului ncovoierii barelor drepte, se mai introduc cteva ipoteze simplificatoare, i anume: planul de aciune al forelor exterioare (sarcinilor) trece prin axa grinzii; forele exterioare se consider normale pe axa grinzii; seciunile drepte ale barelor sunt simetrice n raport cu planul de aciune al sarcinilor i constante n lungul lor. Ca exemple, de organe de maini solicitate la ncovoiere, pot fi date: arcurile foi, zalele de lan, osiile, etc.

30

CURS 6 RMOM 6.3 Fore tietoare; Moment ncovoietorn vederea determinrii seciunii n care se produc eforturile maxime, i pentru calcularea valorii acestora, la barele drepte solicitate la ncovoiere, este necesar s se cunoasc valorile forelor interioare care iau natere n oricare seciune i variaia acestora n lungul barei.

Fig. 32 Bar simplu rezemat solicitat de dou fore A; B puncte de sprijin; F1; F2 fore exterioare; VA; VB reaciuni n reazeme; S seciunea perpendicular pe planul barei; a; b distanele de la punctele de sprijin la seciunea S; l lungimea barei; TA; TB fore tietoare; MiA; MiB momente ncovoietoare.

Pentru exemplificare se va studia cazul unei bare simplu rezemate (figura 32), solicitat de forele F1 i F2. Reaciunile, VA i VB, care apar n cele dou reazeme se pot determina cu ajutorul ecuaiilor de echilibru ale solidului rigid. Dup cum se poate observa din figur, cele dou fore exterioare, F1 i F2, acioneaz perpendicular pe axa barei, ceea ce face ca pe orizontal, componenta forelor s fie egal cu zero, deci s nu existe ncrcare axial. Se consider o seciune perpendicular pe axa barei, la distana a fa de punctul A i la distana b fa de punctul B, al crei plan imaginar mparte bara n dou tronsoane. Fiecare dintre aceste tronsoane, studiat separat, trebuie s se gseasc n echilibru, datorit aciunii forelor exterioare i a celor de legtur, dintre tronsoane, care 31

apar n planul seciunii. Prin separarea fictiv a tronsoanelor, vor aprea n fiecare seciune cte o for i cte un cuplu, ambele situate n planul de aciune al forelor. Dup cum se observ din figura 32, n seciunea tronsonului din stnga, AS, exist fora TA i momentul MA, iar n cea a tronsonului din dreapta, SB, fora TB i momentul MB. Datorit faptului c bara este n echilibru rezult c: TA = TB MA = MB (6.1) (6.2)

Forele, TA i TB poart denumirea de fore tietoare.

Fig. 33 Convenia de semne pentru forele tietoare a- forele tietoare sunt considerate cu valori pozitive; b -forele tietoare sunt considerate cu valori negative

Fora tietoare, T, ntr-o seciune oarecare a barei, este egal cu suma tuturor forelor exterioare, perpendiculare pe axa barei, care acioneaz asupra tronsonului situat la stnga seciunii, sau a celor din dreapta seciunii cu semnul schimbat. Forele tietoare sunt considerate pozitive dac sunt orientate ca n figura 33a, i negative dac sunt orientate ca n figura 33 b Cuplurile, MA i MB, se numesc momente ncovoietoare. Momentul ncovoietor, ntr-o seciune oarecare a barei, este egal cu suma algebric a tuturor momentelor, forelor i cuplurilor exterioare care acioneaz asupra tronsonului din stnga seciunii sau a celor din dreapta cu semn schimbat. Momentele ncovoietoare sunt considerate pozitive dac sunt orientate ca n figura 34 a, i negative dac sunt orientate ca n figura 34 b

32

Fig. 34 Convenia de semne pentru momentele ncovoietoare a- Momentele ncovoietoare sunt considerate cu valori pozitive; b - Momentele ncovoietoare sunt considerate cu valori negative

6.4 Trasarea diagramelor de fore tietoare i momente ncovoietoaren calculele de dimensionare i verificare a barelor drepte supuse la ncovoiere, intervin valorile maxime a forelor tietoare i a momentelor ncovoietoare. Pentru aflarea acestora este necesar s se parcurg urmtoarele etape: 1. se alege punctul de origine de la care se msoar distana pn la planul seciunii (de obicei reazemul din stnga); 2. se alege un sens de parcurs al barei (de obicei de la stnga la dreapta); 3. se calculeaz reaciunile n reazemele barei supuse la aciunea forelor exterioare; 4. se scriu relaiile pentru forele tietoare funcie de distana pn la seciune, pe diversele intervale ale barei; 5. se reprezint grafic, la o anumit scar, variaia forei tietoare alegndu-se o linie de reper, paralel cu axa barei i de aceeai lungime cu aceasta; forele tietoare pozitive se reprezint deasupra liniei de reper, iar cele negative sub aceasta; 6. se scriu relaiile pentru momentele ncovoietoare funcie de distana pn la seciune, pe diversele intervale ale barei; 7. se reprezint grafic, la o anumit scar, variaia momentului ncovoietor, alegndu-se o alt linie de reper, de asemenea paralel cu axa barei i de aceeai lungime cu aceasta; momentele ncovoietoare pozitive se reprezint sub linia de reper, iar cele negative, deasupra acesteia. n continuare este prezentat un exemplu de determinare a forelor tietoare i momentelor ncovoietoare, n cazul unei bare drepte supuse la ncovoiere, i de reprezentare grafic a acestora. n figura 35, este prezentat, schematic, o bar supus la ncovoiere de ctre o for exterioar. Se noteaz cu A i B reazemele, iar cu C punctul de aplicaie a forei F. Pentru calculul reaciunilor se scriu ecuaiile de momente n raport cu reazemele:

VA l F b = 0VB l F a = 0Rezult:

(6.3) (6.4)

33

VA =

F b [N] l

(6.5) (6.6)

VB =

F a [N] l

Forele tietoare se vor calcula pentru cele dou tronsoane ale barei, AC, respectiv, CB, i vor fi reprezentate grafic. Fora tietoare pe intervalul AC va fi:

TAC = V A =

F b [N] l

(6.7)

Fora tietoare pe intervalul CB va fi:

TCB = V A F =

F b bl a F = F = F = VB [N] l l l

(6.8)

Se observ c pe intervalul dintre dou fore concentrate, fora tietoare este constant, iar n dreptul lor au loc discontinuiti, a cror valoare este egal chiar cu valoarea acestei fore.

Fig. 35 Diagramele de fore tietoare i momente ncovoietoare pentru o bar supus la ncovoiere de ctre o for exterioar ce acioneaz ntre reazeme F fora exterioar; V1; V2 reaciuni n reazeme; 1; 2; 3 punctele de aplicaie ale forei i reaciunilor din reazeme; a; b distanele de la punctul de aplicaie al forei exterioare la punctele de sprijin; l lungimea barei; x distana pn la seciune; FT fora tietoare; Mi momentul ncovoietor; (Fb/l); (- Fa/l) valorile forei tietoare; (Fab/l) valoarea momentului ncovoietor

Diagrama de fore tietoare din figura 35, s-a notat cu (T). Momentele ncovoietoare se vor calcula, de asemenea pentru cele dou tronsoane i se vor reprezenta grafic, pe o diagram separat de cea a forelor tietoare. 34

Momentul ncovoietor pe intervalul AC va fi:

M AC = VA x =

F b x [Nm] l

(6.9)

Se observ c momentul ncovoietor variaz liniar. Momentul ncovoietor n punctul A, cnd x este egal cu zero va fi:

M A = VA x = 0 M A = 0 [Nm]M C = VA x =

(6.10)

iar momentul ncovoietor n punctul C, cnd x este egal cu a va fi:

F b F ba a M C = [Nm] l l

(6.11)

Momentul ncovoietor pe intervalul CB va fi:

M CB = VA x F ( x a ) =

F b x F ( x a ) [Nm] (6.12) l

i n acest caz momentul ncovoietor variaz tot liniar. n punctul C, cnd x este egal cu a, momentul ncovoietor va fi:

M C =

F ba F b a F ( a a ) M C = [Nm] l l

(6.13)

n punctul B, cnd x este egal cu l, momentul ncovoietor va fi:

M B =

F bl F ( l a ) = F b F b M B = 0 [Nm] (6.14) l

Dac pentru intervalul CB se ia n consideraie forele situate la dreapta, atunci momentul ncovoietor se calculeaz cu relaia:

M CB = VB x' =

F a x' l

[Nm]

(6.15)

Momentul ncovoietor n punctul B, cnd x este egal cu 0 va fi:

M B = V2 B x' = 0 [Nm]M C = VB x' =

(6.16)

iar momentul ncovoietor n punctul C, cnd x este egal cu b va fi:

F a F b a b M C = [Nm] l l

(6.17)

Se observ c: pe tronsonul de bar, pe care fora tietoare, T, este constant, momentul ncovoietor M variaz liniar; diagrama momentului ncovoietor i schimb panta n dreptul forei concentrate; valoarea maxim a momentului ncovoietor este n seciunea n care fora tietoare trece prin zero.

6.5 Suprafaa neutr; fibra medie deformat; ax neutrDup cum s-a specificat anterior, n cazul ncovoierii pure, exist numai 35

momente ncovoietoare, forele tietoare fiind egale cu zero); n urma solicitrii la ncovoiere, axa de simetrie a barei se va curba, iar seciunile plane transversale pe axa barei, conform ipotezei lui Bernoulli, vor rmne plane i normale pe ax i dup deformare. Pentru a verifica aceast ipotez, se va considera o bar de seciune dreptunghiular, pe care se traseaz o reea de ptrate. Prin aplicarea la capetele barei a cte unui cuplu, aceasta se va deforma ca n figura 36. Se constat, din figur, c laturile superioare ale ptratelor se scurteaz, iar cele inferioare se lungesc. Astfel fibrele longitudinale, conform figurii 38 b, se scurteaz la partea superioar a barei (zona concav) i se lungesc la partea inferioar (zona convex). Analiznd deformarea fibrelor longitudinale, se observ c ntre cele care se scurteaz, datorit comprimrii, i cele care se lungesc, datorit ntinderii, exist un strat de fibre care nu-i modific lungimea, fa de cea iniial. Acest strat de fibre formeaz suprafaa neutr (figura 37).

Fig. 36 Modul de deformare a reelei de ptrate pentru o bar supus la ncovoiere a nainte de ncovoierea barei; b dup ncovoierea barei

Suprafaa neutr conine axa neutr care rezult n urma interseciei acestei suprafee cu planul seciunii perpendiculare pe axa barei. De asemenea conine fibra medie deformat, rezultat n urma interseciei suprafeei neutre, cu planul de simetrie al barei n plan vertical.

36

Fig. 37 Suprafaa neutr, fibra medie deformat i axa neutr

n figura 36 se observ c n timpul deformrii barei, pe suprafeele laterale, ale acesteia, liniile reelei se nclin ntre ele, dar rmn drepte i perpendiculare pe liniile longitudinale, ceea ce face ca, pe seciune s apar numai eforturi unitare normale, nu i tangeniale. Considernd c deformaiile produse n interiorul barei sunt la fel cu cele care se produc n exterior, atunci, suprafaa neutr este cilindric, iar seciunile transversale se rotesc n jurul axelor neutre.

37

CURS 7 RMOM 6.6 Eforturi unitare n barele drepte solicitate la ncovoiere pur; Formula lui NavierSe consider o bar dreapt cu dou seciuni transversale, A i B, perpendiculare pe axa barei (figura 38), aflate la o distan, una de alta, egal cu un element de lungime, dx. Seciunile A i B intersecteaz axa barei n punctele a i b, i intersecteaz de asemenea o fibr oarecare aflat la distana , y, sub axa barei, n punctele, c i d. Planul n care acioneaz forele este un plan de simetrie al barei (planul x0y). n momentul cnd bara este deformat la ncovoiere, toate fibrele se vor ncovoia, iar cele dou seciuni, A i B, se vor intersecta, formnd ntre ele un unghi d, considerat infinit de mic. Fibra medie va lua forma unui arc de cerc cu raza R, fibrele 38

suprafeei neutre i vor pstra lungimea iniial dx, pe cnd cele de sub ele se lungesc (sunt ntinse), iar cele de deasupra lor se scurteaz (sunt comprimate).

Fig. 38 Bar cu seciune dreptunghiular supus la ncovoiere I nainte de ncovoiere; II dup ncovoiere; A; B seciuni transversale perpendiculare pe axa barei; M moment ncovoietor; R raza arcului de cerc sub care se deformeaz fibra medie; a; b - puncte care determin lungimea fibrei medii nainte de deformare; a; b - puncte care determin lungimea fibrei medii dup deformare; c; d - puncte care determin lungimea unei fibre oarecare nainte de deformare; c; d - puncte care determin lungimea unei fibre oarecare dup deformare; y distana dintre fibra medie i o fibr oarecare; dx lungimea iniial a fibrelor; d unghiul format ntre seciuni dup ncovoiere.

In cazul unei fibre coninute de suprafaa neutr se observ c: ab = ab cd < cd Alungirea fibrei va fi: (6.18) (6.19) iar pentru fibra aflat la distana y sub axa barei se constat c:

=

y R

(6.20)

Alungirea fibrei este proporional cu distana de la fibra analizat la suprafaa neutr i invers proporional cu raza arcului de cerc al fibrei medii. Dac fibrele se afl sub fibra medie, alungirea este pozitiv (lungire), iar dac acestea se afl deasupra fibrei medii, alungirea este negativ (scurtare). Lungirile i scurtrile sunt produse de eforturi unitare normale care s-au notat cu . Admind c se poate aplica legea lui Hooke, atunci:

= E

[Pa]

(2.9) 39

tiind c:

=rezult:

y R

(6.21)

= E

y R

[Pa]

(6.22)

Conform relaiei (6.22), se observ c efortul unitar, , variaz tot liniar pe seciunea barei ca i alungirea, (figura 39).Efortul unitar, , i alungirea, , sunt egale cu zero la nivelul axei neutre i iau valori maxime n fibrele extreme ale seciunii.

Fig. 39 Modul de variaie al efortului unitar, , pe seciunea barei. La ncovoierea barelor drepte, axa neutr trece prin centrul de greutate al seciunii. Valoarea efortului unitar, , depinde de cea a cuplului, M.

=

M y [Pa] Iz

(6.23)

Relaia (6.23) reprezint formula lui Navier. Aceasta exprim legtura dintre efortul unitar normal, (), ce apare pe seciune ntr-un punct oarecare al acesteia, momentul ncovoietor, (M), din acel punct al seciunii i dimensiunile seciunii nglobate n momentul de inerie axial, (Iz).

6.7 Utilizarea formulei lui Navier, pentru calculele de dimensionare, verificare, sau determinare a momentului de ncovoiere capabiln cazul relaiei (6.23), valoarea maxim a efortului unitar va fi atins pentru valoarea maxim a lui y.

max =dar:

M y max IzIz y max[m3]

[Pa]

(6.24)

Wz =

(5.35)

n acest caz formula lui Navier devine: 40

max =

M Wz

[Pa]

(6.25)

Relaia (6.25), reprezint formula de baz pentru calculul de rezisten la ncovoiere al unei bare drepte, fiind valabil pentru barele a cror seciuni au o ax de simetrie, iar sarcinile aplicate sunt coninute n planul de simetrie al acesteia. Axa neutr de la care se msoar ymax trece prin centrul de greutate al seciunii. Aceast formul poate fi utilizat pentru dimensionare, verificare i determinarea momentului capabil la ncovoiere. Formula de dimensionare - n cazul n care bara are seciune constant pe toat lungimea sa, se va lua n considerare efortul unitar corespunztor celui mai mare moment ncovoietor de pe bar, determinat din diagrama de momente ncovoietoare; n cazul n care bara este compus din tronsoane cu arii diferite ale seciunilor, se va lua n considerare efortul unitar maxim, Mmax, corespunztor tronsonului de dimensionat. Formula utilizat pentru dimensionare este:

W znec =

M max 3 [m ] ai

(6.26)

n care: - Wz nec = modulul de rezisten axial necesar, [m3]; - a = reprezint efortul unitar admisibil la ncovoiere, [Pa] Cu ct raportul Wz/A este mai mare, cu att seciunea aleas este mai economic. Formula de verificare - n acest caz efortul unitar efectiv la ncovoiere, ef, trebuie s fie mai mic, cel mult egal cu cel admisibil a.

efi =

M ai [Pa] W zef

(6.27)

n care: - Wzef = modulul de rezisten axial efectiv, [m3]; Formula de calcul al momentului capabil - Momentul capabil, Mcap, pe care l poate suporta o bar se calculeaz cu relaia:

M cap = Wzef ai

[Nm]

(6.28)

6.8 Deformaiile barelor solicitate la ncovoieren practic, n cazul utilizrii unor piese, se impune condiia ca acestea s nu se deformeze peste anumite valori. De aceea n calculul de dimensionare a acestor piese trebuie ndeplinit o nou condiie, numit de rigiditate. Chiar dac piesa supus la ncovoiere corespunde din punct de vedere al calcului de rezisten, ar putea suporta deformaii mai mari dect cele prevzute de condiia de rigiditate, care este impus de condiiile de exploatare n acest caz piesa este redimensionat astfel nct valorile deformaiilor s se ncadreze sub o anumit limit impus. Pentru a descrie deformaiile ce apar n piesele supuse la solicitarea de ncovoiere, se va apela la o reprezentare schematic, figura 40. n cazul solicitrii de ncovoiere, axa barei, care este n acest caz fibra medie deformat (figura 37), trece din poziia de dreapt rectilinie, ntr-o poziie de linie curb, 41

sub aciunea forei exterioare. Deformaiile care apar n urma ncovoierii sunt: sgeata ,v, i panta, (figura 40).

Fig. 40 Sgeata ,v , raza de curbur, , i panta, , ce caracterizeaz ncovoierea unei bare a- bara nainte de a fi solicitat la ncovoiere; b bara solicitat la ncovoiere b- 0x; 0y sistem de axe perpendiculare; F fora exterioar, x distana de la 0 la seciunea aleas; v sgeata; - raza de curbur; - panta, A;B punte de rezemare.

Sgeile, notate cu v reprezint deplasri, ale punctelor ce aparin fibrei medii, dup direcia axei 0y. ntr-o seciune oarecare valoarea sgeii, v, va fi funcie de distana acestei seciunii fa de origine, distana, x. n concluzie:

v = f (x)

(6.29)

Deplasrile punctelor, de pe fibra medie, dup direcia axei 0x sunt foarte mici, cea ce face ca acestea s fie neglijate. Raza de curbur, , reprezint raza arcului de cerc format de fibra medie, deformat sub aciunea forelor exterioare, n cazul ncovoierii pure. Raza de curbur poate fi determinat cu relaia:

1 M = E Iz

(6.30)

Panta, , reprezint tangenta trigonometric a unghiului format de fibra medie, nedeformat (coninut de axa 0x), cu tangenta geometric la fibra medie deformat, n punctul aflat la distana, x, de origine. Avnd n vedere c unghiul, , este foarte mic, atunci se poate aproxima c, valoarea acestuia este egal cu valoarea tangentei sale: 42

tg =

(6.31)

Avnd n vedere c tangenta trigonometric, a unui unghi, este raportul dintre valoarea catetei opuse i cea a catetei alturate atunci:

tg = =

dv dx

(6.40)

Panta, , mai este cunoscut i sub denumirea de rotire. Pentru determinarea deformaiilor, v i , se apeleaz la ecuaia diferenial a axei deformate, care este prelucrat matematic prin metode specifice. n practic, determinarea deformaiilor barelor drepte supuse la ncovoiere, se face apelnd la formulele de calcul simplificate din literatura de specialitate, cu ajutorul crora se pot calcula direct aceste deformaii.

CAP. 7 RSUCIREA (TORSIUNEA) BARELOR DREPTERsucirea unei bare drepte, reprezint solicitarea prin care dou cupluri, M, de valori egale i sensuri contrare, situate n plane perpendiculare pe axa barei acioneaz la extremitile ei (figura 41).

Fig. 41 Bar dreapt supus la rsucire

O astfel de solicitare se ntlnete la arborii de transmisie, la arcurile elicoidale, la barele de torsiune, etc. Studiul solicitrii de rsucire n cazul barelor cu seciune circular sau inelar, se face admind valabil ipoteza lui Bernoulli. Pentru barele cu seciuni diferite de cele amintite, sub aciunea momentului de rsucire, seciunile transversale i pierd forma plan, ceea ce face ca ipoteza lui Bernoulli s nu mai fie valabil. n continuare se va studia doar rsucirea barelor drepte cu seciune circular sau inelar. Astfel dup aplicarea celor dou cupluri axa barei drepte rmne neschimbat, iar seciunile transversale se rotesc una fa de cealalt. Dac una dintre seciuni se consider fix, cu ct seciunile transversale sunt mai ndeprtate de aceasta, cu att rotirea lor va fi mai pronunat. n momentul n care dou seciuni transversale ale barei drepte se rotesc una fa de cealalt, apar numai eforturi tangeniale n planul acestor seciuni, nu i eforturi normale.

7.1 Solicitarea la rsucire prin aciunea mai multor cupluri; Diagrama momentelor de rsuciren practic exist cazuri cnd bara este supus unui numr de cupluri n afar de cele aplicate la extremiti. 43

Cuplurile situate n plane perpendiculare pe axa transversal sunt n echilibru deoarece, bara trebuie s se afle n repaus sau n micare uniform de rotaie. n vederea determinrii eforturilor unitare tangeniale, din diferitele seciuni ale unei bare, supuse la rsucire, trebuie s se cunoasc valorile momentelor de rsucire. Aceste valori ale momentelor de rsucire se determin cu ajutorul diagramelor de variaie a momentelor de rsucire. Pentru reprezentarea diagramei se traseaz o ax, paralel cu axa de simetrie a barei i de aceeai lungime cu aceasta. Momentul de rsucire care acioneaz n seciunea transversal a unei bare drepte, reprezint suma momentelor tuturor cuplurilor situate n plane perpendiculare pe axa barei care acioneaz poriunea de bar situat n stnga seciunii considerate sau de suma momentelor tuturor cuplurilor care acioneaz poriunea de bar situat n dreapta seciunii luat cu semn schimbat. Pe diagrame se noteaz cu semnul plus cuplurile motoare i cu semnul minus cuplurile care consum energie. De asemenea, se noteaz cu semnul plus momentul de rsucire din stnga seciunii, al crui sens, privit din seciunea considerat, este cel al acelor de ceasornic i cu minus cel al crui sens, privit din aceeai poziie, este cel trigonometric. Momentele pozitive se reprezint deasupra axei diagramei, iar cele negative sub aceasta. n figura 42 este trasat diagrama pentru un arbore, antrenat de un motor electric, care transmite micarea prin mai multe roi de curea. Se alege un sens de parcurgere al barei, de la stnga la dreapta. Se noteaz cu litere mari punctele de sprijin ale barei i punctele de intersecie ale planelor, n care acioneaz cuplurile, cu bara. Se studiaz pe tronsoanele astfel formate, momentele de rsucire. Pe tronsonul AB nu acioneaz nici un cuplu motor, deci momentul de rsucire este egal cu zero. Pe tronsonul BC, momentul de torsiune va fi egal cu: MtBC = Mt MtCD = Mt 4Mt = - 3Mt MtDE = Mt 4Mt + 2Mt = - Mt Iar pe tronsonul EF, va fi egal cu: MtDE = Mt 4Mt + 2Mt +Mt = 0 (7.4) (7.1) (7.2) (7.3) Pe tronsonul CD, momentul de torsiune va fi egal cu: Pe tronsonul DE, momentul de torsiune va fi egal cu:

44

Fig. 42 Diagrama momentelor de rsucire pentru un arbore drept

CURS 8 RMOM

45

7.2 Calculul momentului de rsucire Cazul n care se cunoate puterea, P, transmis de un motor i turaia, n, cu care este rotit n mod uniform arborele. n acest caz momentul de torsiune se va calcula cu una dintre formulele:

M t = 9950

P [Nm] n

(7.1)

cnd puterea, P, este exprimat n kW, Sau:

M t = 7026

P n

[Nm]

(7.2)

cnd puterea, P, este exprimat n CP. Cazul cnd pe un arbore se gsesc mai multe roi de curea. Considerm un arbore pe care se gsesc montate dou roi de curea ca n figura 43.

Fig. 43 Arbore prevzut cu dou roi de curea

Dac roata I, figura 43b, este motoare i dac fora F1 este mai mare ca F2, atunci:

M t = ( F1 F2 ) R [Nm]unde: - F1,F2 = forele din curea, [N]; - R = raza de nfurare a roii de curea, [m].

(7.3)

Din condiia de echilibru, rezult c momentul transmis de roata motoare, I, trebuie s fie egal cu cel preluat de roata antrenat, II, figura 43c, i c F4 trebuie s fie mai mare ca F3. n acest caz: M t = ( F1 F2 ) R = ( F4 F3 ) r [Nm] unde: - F3,F4 = forele din curea, [N]; - r = raza de nfurare a roii, antrenate, de curea, [m]. Pe toat distana dintre roile de curea momentul de rsucire se menine constant. Cazul unei tobe pentru cablu Pentru o tob pentru cablu ca cea din figura 44, momentul de torsiune este:

Mt = F R

[Nm]

(7.5)

unde: 46

- F = fora din cablu, [N]; - R = raza de nfurare a tobei, [m].

Fig. 44 Tob pentru cablu

7.3 Eforturi unitare n barele drepte cu seciune circular sau inelarn cazul barelor drepte, cu seciune circular sau inelar, se accept datorit simetriei i pe baza determinrilor experimentale, faptul c dup deformare, seciunile transversale rmn plane i razele acestora nu se curbeaz (rmn drepte). n schimb generatoarele, drepte nainte de deformare, se vor transforma n curbe elicoidale, figura 45.

Fig. 45 Modul de deformare a generatoarelor unei bare drepte, de seciune cilindric, supus la rsucire

n seciunile transversale i longitudinale ale barei va apare starea de forfecare. Dac se analizeaz deplasarea unei generatoare oarecare AB, n momentul rsucirii (figura 46), se observ c aceasta se nclin cu unghiul .

Fig. 46 Modul de deplasare a unei generatoare, oarecare, a unei bare drepte, de seciune circular, n momentul rsucirii

= r

(7.10)

Rsucirea specific, , reprezint unghiul cu care se rotesc, una fa de alta, dou seciuni transversale aflate la distana de un centimetru (l = 1cm) 47

Aplicnd legea lui Hooke la rsucire, rezult legea de variaie a eforturilor unitare tangeniale pe seciunea barei (seciune circular).

= G = G r n care:

[Pa]

(7.11)

- G = modulul de elasticitate transversal, [Pa]. Pentru r = 0 = 0 [Pa] (7.12) iar pentru r = R = max = G R [Pa] Datorit faptului c modulul de elasticitate transversal, G, i rsucirea specific, , sunt constante pentru o bar i un moment de torsiune, Mt, date, rezult c eforturile unitare tangeniale, , variaz liniar cu raza i n orice punct al seciunii sunt perpendiculare pe raz i dirijate astfel nct s se opun momentului de torsiune exterior (figura 47).

Fig. 47 Modul de variaie al efortului unitar tangenial, , n seciunea unei bare drepte cilindrice

Dar conform legii dualitii, tensiunile tangeniale pe dou elemente de seciune perpendiculare ntre ele, sunt egale i dispuse simetric fa de linia de intersecie a celor dou elemente de tensiune (figura 48).

Fig. 48 Dispunerea tensiunilor tangeniale, , pe dou elemente de

seciune perpendiculare ntre ele Legtura dintre momentul de rsucire, Mt, i efortul unitar tangenial, , se scrie ecuaia:

48

=

Mt r Ip

[Pa]

(7.13)

Relaia (7.13) reprezint legea de variaie a efortului unitar tangenial pe seciunea transversal a barei drepte de seciune circular sau inelar. n vecintatea conturului

max =dar:

Mt R Ip

[Pa]

(7.14)

Ip RRezult:

=W p

max =

Mt Wp

[Pa]

(7.15)

7.4 Relaiile de dimensionare, verificare, calculare a Mt cap:Relaia (7.15) poate fi utilizat n calculul de dimensionare, verificare sau aflare a momentului de rsucire capabil. dimensionare:

Wnec =n care:

at

Mt

[m3]

(7.16)

- at = efortul unitar admisibil la torsiune, [Pa]. verificare:

ef =n care:

Mt at W pef

(7.17)

- Wpef = modul de rezisten polar efectiv, [m3]. calcularea momentului de rsucire capabil:

M tcap = W pef at [Nm]

(7.18)

Seciunea de form inelar prezint avantajul, fa de cea circular, c la aceeai mrime a suprafeei (aceeai cantitate de material) are modulul de rezisten polar, Wp, mai mare, ceea ce i permite s suporte un moment de rsucire mai mare.

7.5 Deformaiile barelor drepte de seciune circular sau inelar solicitate la rsucire49

Conform relaiei (7.11):

max = G R i relaiei (7.14)

max =rezult:

Mt R Ip(7.19)

G R =rezult:

Mt R Ip

=Dar:

Mt GIp

(7.20)

=Rezult:

l

(7.21)

=

M t l [rad] G I p

(7.22)

Relaia (7.22) reprezint deplasarea unghiular, , pentru rsucire, msurat n radiani, pentru o bar de lungime, l.

CAP. 8 ASAMBLRI NEDEMONTABILE 8.1 Asamblri prin nituireNituirea reprezint operaia prin care se realizeaz asamblarea nedemontabil, rezistent i rigid a unor elemente de mbinare, cu ajutorul niturilor. Niturile sunt alctuite dintr-o tij de form cilindric sau tubular, i un cap (cap original; cap iniial) care poate avea diverse forme geometrice, figura 49. Forma geometric a capetelor i dimensiunile niturilor sunt standardizate.

Fig. 49 Tipuri de nituri 1- cilindric; 2- semirotund; 3- necat;

Materialele cele mai utilizate pentru fabricarea niturilor sunt: oelul carbon, cuprul, alama, aluminiul, aliaje uoare plastice. n timpul nituirii se formeaz cel de al doilea cap al nitului (capul de mbinare; capul nchiztor), prin deformarea materialului cu ajutorul unei scule, speciale, denumit cpuitor sau buterol. 50

Pentru a evita distrugerea sau deformarea capului original, acesta este sprijinit n timpul operaiei de nituire de ctre o alt scul, numit contracpuitor sau contrabuterol. n cazul cnd pentru operaia de nituire se folosesc nituri din oel, cu diametrul tijei mai mare de 16 mm, este necesar ca acesta s fie nclzit la rou (pn se ajunge la starea plastic), nainte de formarea capului de nchidere. n acest caz se spune c nituirea se execut la cald. Dac niturile nu sunt nclzite nituirea se face la rece. mbinrile nituite din punct de vedere constructiv se pot face: prin suprapunere (figura 50a); cap la cap cu o eclis (figura 50b); cap la cap cu dou eclise (figura 50c).

a

bFig. 50 Metode de mbinare prin nituire 1; 2- piese de mbinat; 3- nit; 4- eclis

c

Nituirea se utilizeaz n cazul n care asamblarea elementelor de mbinare se realizeaz mai greu prin alte metode. O serie de dezavantaje, cum ar fi, productivitate sczut n comparaie cu operaia de sudare, etanarea redus a mbinrilor realizate, reducerea rezistenei pieselor mbinate, prin micorarea seciunii acestora, pre de cost ridicat, au dus la o reducere a domeniilor de aplicare a acestei metode de asamblare nedemontabil. Principala solicitare la care sunt supuse niturile, utilizate pentru realizarea mbinrii, este cea de forfecare.

8.2 Asamblri sudateAsamblrile sudate se execut prin operaia numit sudare. Prin aplicarea acesteia se realizeaz mbinarea nedemontabil a materialelor metalice, cu sau fr material metalic de adaos, n anumite condiii de temperatur i presiune. n prezent, sudarea a nlocuit aproape n totalitate alte procedee, prin care se obin asamblri nedemontabile. Construciile sudate, fa de cele nituite, forjate sau turnate, prezint o serie de avantaje, cum ar fi: economie de manoper i de material cu pn la 20% mai mic; permit executarea unor piese cu forme complexe i dimensiuni mari; timp de execuie mai redus; comportare n exploatare mai bun; poluare fonic redus. mbinrile realizate prin sudur prezint ns i o serie de dezavantaje: apariia deformaiilor i tensiunilor remanente n zonele mbinate; necesitatea executrii n unele cazuri a unor tratamente termice; aparatur de control scump; necesitatea utilizrii de dispozitive speciale de poziionare n cazul realizrii unor piese cu forme complicate; costuri de execuie n unele cazuri mai scumpe, dect dac s-ar utiliza alte procedee de mbinare.

8.2.1 Clasificarea procedeelor de sudareProcedeele de sudur pot fi clasificate n urmtoarele categorii: 51

sudarea prin topire; sudarea prin presiune; sudarea prin metode speciale.

Sudarea prin topire n cazul sudrii prin topire, marginile pieselor ce urmeaz a realiza mbinarea, precum i materialul de adaos, dac este cazul, sunt aduse n stare lichid. Cldura necesar topirii zonelor supuse mbinrii i a materialului de adaos, se poate obine fie cu ajutorul unui arc electric, fie prin arderea unui combustibil gazos. Astfel deosebim dou procedee de sudur prin topire i anume: sudarea cu arc electric i sudarea cu gaz Sudarea cu arc electric este un procedeu utilizat pe scar larg n multe domenii de activitate i poate fi executat: manual; semiautomat; automat.

Sudarea manual, n acest caz, este folosit la lucrri de reparaii, construcii metalice mari, pentru sudurile greu accesibile sau la produse unicate.

CURS 9 RMOM52

Sudarea cu arc electric - continuare Aa cum se observ din figura 51, piesele de sudat sunt conectate la borna cu potenial negativ, a unei surse de curent continuu, prin intermediul unui conductor.

Fig. 51 Schema de principiu pentru sudura cu arc electric 1; 2 piese; 3 electrod; 4 port-electrod; 5 cordon de sudur

La borna cu potenial pozitiv, a aceleai surse de curent, este conectat prin intermediul altui conductor, electrodul de sudur. Prin amorsare se formeaz arcul electric, ntre electrod i pies, cu degajare de cldur, care va produce o topire local. Prin deplasarea electrodului n zona de sudat, se depune material de adaos n spaiul dintre cele dou piese. Dup rcire, acesta se solidific, formnd cordonul de sudur sau custura. Sudarea cu gaz mai este cunoscut i sub denumirea de sudur autogen. Procedeul cel mai cunoscut de sudur cu gaze, este cel oxiacetilenic, cnd temperatura necesar topirii zonelor de mbinare se obin prin arderea acetilenei ntr-un curent de oxigen (figura 52).

Fig. 52 Schema de principiu pentru sudura oxiacetilenic 1 butelie de acetilen; 2 reductor de presiune pentru acetilen; 3 furtun de acetilen; 4 butelie de oxigen; 5 reductor de presiune pentru oxigen; 6 -furtun pentru oxigen; 7 arztor; 8 robinet pentru reglarea debitului de oxigen; 9 robinet pentru reglarea debitului de acetilen; 10 flacr oxiacetilenic.

Acetilena (gaz combustibil) necesar pentru instalaiile de sudare, poate fi livrat n butelii la presiuni de 1,6 MPa, sau poate fi produs local cu ajutorul generatoarelor de acetilen. Obligatoriu buteliile i generatoarele de acetilen se vopsesc n culoarea rou-crmiziu. Oxigenul necesar ntreinerii arderii acetilenei, se livreaz n butelii, vopsite n culoarea albastr, la o presiune de 14,7 MPa. Buteliile de oxigen i cele de acetilen sunt prevzute cu reductoare de presiune, 53

dispozitive care au rolul de regla presiunea gazului, care iese din butelie, la valorile necesare arderii n arztor. Transportul oxigenului i a acetilenei, pn la arztor se face prin furtunuri de cauciuc, colorate corespunztor (albastru pentru oxigen; rou-crmiziu pentru acetilen). Arztorul este prevzut cu dou robinete, prin intermediul crora se pot regla debitele de acetilen i de oxigen, n vederea obinerii unei flcri corespunztoare. Pentru obinerea flcrii pentru sudur pot fi folosite i alte gaze combustibile (metanul, hidrogenul, etc). Sudarea cu gaz se efectueaz manual, fiind utilizat n special la lucrri de reparaii, la mbinarea conductelor, a tablelor subiri, la confecionarea recipientelor, etc. Sudarea prin presiune Acest procedeu urmrete realizarea unei mbinri nedemontabile prin deformarea plastic a pieselor, n locul de sudare, sub aciunea unei compresiuni. Acest tip de sudur se realizeaz fr adaos de material, cu sau fr nclzire local. Dintre procedeele mai cunoscute de sudare prin presiune se pot enumera: sudarea electric prin puncte; sudarea prin presiune prin forjare; sudarea prin frecare. Sudarea prin metode speciale Dintre metodele de sudare speciale pot fi amintite: sudarea cu jet de plasm, sudarea cu laser, sudarea cu ultrasunete, sudarea prin difuzie.

8.2.2 Clasificarea asamblrilor sudateClasificarea asamblrilor sudate se poate face dup dou criterii principale i anume: dup poziia reciproc a tablelor: - cap cap la

- n - n T: col:

;

prin - frontal; suprapunere:

- cu eclise;

54

- n cruce;

- n guri;

S-au notat cu 1;2 i 5, piesele de sudat, cu 3, cordonul de sudur i cu 4, eclisele. dup forma rostului mbinrii: - sudur n I;

- sudur n Y;

- sudur n X; - sudur n U;

S-au notat cu 1 2 piesele de sudat.

8.3 Asamblri ale metalelor prin lipireLipirea metalelor reprezint un procedeu de asamblare nedemontabil a dou sau mai multe piese metalice, utiliznd un metal sau un aliaj de lipit, numit i material de adaos (diferit de metalul de baz), care este adus n stare fluid prin nclzire la o temperatur inferioar celei de topire a materialelor pieselor de asamblat. Asamblrile realizate prin lipire se pot clasifica dup mai multe criterii i anume: din punct de vedere a formei mbinrilor: - prin depunere (materialul de adaos se introduce n rostul mbinrii asemntor ca la sudarea cu flacr); - prin capilaritate (materialul de adaos ptrunde n rostul mbinrii prin capilaritate); din punct de vedere a temperaturii de topire: - lipituri metalice moi (materialul de adaos are temperatura de topire mai mic de 450 oC); - lipituri metalice tari, denumite i brazuri (materialul de adaos are temperatura de topire mai mare de 450 oC); 55

dup modul de nclzire: - cu nclzire local; - cu nclzire total. Lipiturile metalice moi au rezisten mecanic redus (r < 5...7 daN/mm2), i sunt utilizate pentru reparaii, pentru realizarea conexiunii conductorilor electrici, ca asamblri de etanare, etc. Ca aliaje, pentru lipirea moale, se utilizeaz cele pe baz de staniu, plumb i zinc. Lipiturile metalice tari au o rezisten mecanic i termic mai ridicat dect a celor moi (r < 15...16 daN/mm2), unele dintre acestea pot atinge chiar rezistena mecanic a sudurilor. Lipiturile metalice tari sunt utilizate n tehnica frigului, n tehnica alimentar, etc, iar materialele utilizate pentru obinerea acestora au compoziia pe baz de cupru i zinc (alame), aluminiu i siliciu, etc. Procedeele de lipire se denumesc n funcie de metoda utilizat pentru nclzirea pieselor ce urmeaz a fi mbinate: - lipire cu ciocanul de lipit; - lipire cu flacr; - lipire prin nclzire n cuptor; - lipire prin cufundare n baie de sruri topite. Pentru mbuntirea procesului de depunere a materialului de lipit, se folosesc substane chimice denumite fluxuri, substane ce au rol de dizolvare a oxizilor de pe suprafeele ce urmeaz a fi mbin

CAP. 9 ASAMBLRI DEMONTABILE 9.1 Asamblri filetateAsamblrile filetate reprezint cele mai rspndite tipuri de mbinri demontabile, i se realizeaz cu ajutorul unor piese filetate conjugate. n general elementele care compun o asamblare filetat sunt: urubul (cu filetul dispus la exterior), piulia (filetat la interior), aiba i elementul de siguran mpotriva deurubrii. Elementele filetate se folosesc pentru realizarea asamblrilor fixe, sau pentru transmiterea forelor i a micrii. Elementul principal, care este comun pentru urub i piuli l reprezint filetul. Acesta este ca o nervur elicoidal (ce poate avea forme ale profilului diferite), dispus pe o suprafa cilindric sau conic, la exteriorul sau interiorul acesteia. Filetele pot fi clasificate dup mai multe criterii i anume: dup destinaie: o de fixare (de strngere); o de strngere etanare; o de micare; o cu destinaie special;

dup direcia de nfurare: spre dreapta; spre stnga; dup numrul de nceputuri: cu un nceput; cu dou sau mai multe nceputuri; 56

dup form: cilindric; conic; dup seciunea profilului: triunghiular: metric; whitworth; ptrat; trapezoidal; dini de fierstru; rotund. Cea mai larg utilizare o are filetul cilindric (figura 53 a), dar pentru condiii speciale se utilizeaz filetul conic (figura 53 b). Filetul conic metric, sau n oli, asigur o bun etanare, fiind utilizat pentru asamblarea evilor, armturilor, dopurilor, ungtoarelor, etc. n general filetele sunt nfurate spre dreapta, dar atunci cnd se impun anumite condiii funcionale se utilizeaz cele nfurate spre stnga.

aFig. 53 Forme de filet a cilindric, b - conic

b

Filetul pentru fixare are un singur nceput, iar cel de micare poate fi realizat cu mai multe nceputuri, n vederea mbuntirii randamentului. Filetul de strngere are profil triunghiular (fig. 54 a), iar cel de micare poate avea profil ptrat (fig. 54 b), trapezoidal (fig. 54 c), n dini de fierstru (fig. 54 d).

a

c

b

d

Fig. 54 Tipuri de filet funcie de seciunea profilului a - triunghiular; b ptrat; c - trapezoidal

Filetul pentru micare, transform micarea de rotaie, imprimat obinuit urubului, n micare de translaie pentru urub sau piuli. n afar de tipurile de filet menionate, mai exist i filete speciale, realizate din 57

arce de cerc care sunt sau nu racordate prin drepte nclinate. Forma profilului filetului i parametrii geometrici ai acestuia sunt standardizai.

9.1.1 uruburiuruburile reprezint cele mai utilizate componente ale asamblrilor cu piese filetate. Funcie de destinaie acestea se mpart n dou categorii: - uruburi pentru fixare; - uruburi pentru micare. uruburile pentru fixare au larg utilizare n domenii variate, prezentnd o diversitate mare din punct de vedere constructiv. Acestea sunt alctuite dintr-un cap i o tij, la nivelul creia este practicat filetul. Forma constructiv a capului urubului ine cont de locul de montaj, de posibilitatea de blocare, de mrimea i frecvena strngerii, etc. n figura 55 sunt prezentate cteva tipuri de forme constructive utilizate frecvent pentru capul uruburilor de fixare.

Fig. 55 Forme constructive utilizate frecvent pentru capul uruburilor de fixare a cap hexagonal; b cap ptrat; c cap necat cu loca pentru urubelni lat; d cap semirotund cu loca pentru urubelni lat; e cap cilindric cu loca pentru urubelni lat; f cap cilindric cu loca pentru cheie hexagonal.

Forma tijei urubului (fig. 56) trebuie s in cont de rolul funcional al acestuia.

a

c

b

d

Fig. 56 Forme constructive de tije pentru uruburi a tij filetat pe toat lungimea, b tij filetat parial; c tij cu diametru mai mare dect diametrul filetului; d tij cu diametru mai mic dect cel al filetului.

uruburile funcie de precizia de prelucrare se mpart n trei clase de execuie: - grosolan; - semiprecis; - precis.

9.1.2 PrezoanePrezoanele sunt sub forma unei tije care are ambele capete filetate (fig. 57). 58

Sunt utilizate pentru fixarea unor piese. Unul dintre capetele prezonului se nurubeaz ntr-o gaur filetat, cellalt capt servind pentru nurubarea unei piulie.

Fig. 57 Prezon

9.1.3 PiuliePiuliele reprezint organe de maini, prevzute cu guri filetate i au rolul de a fixa anumite piese prin nurubare pe tija filetat a uruburilor i prezoanelor. Forma constructiv a piulielor este variat (fig. 58) , iar fileturile practicate la nivelul acestora pot fi de tip metric sau Whitworth.

Fig. 58 Forme constructive de piulie a hexagonal; b ptrat; c crenelat; d - fluture

Ca i n cazul uruburilor, piuliele se mpart n trei clase din punct de vedere al preciziei de execuie: - grosolan; - semiprecis; - precis.

59

CURS 10 RMOM 9.1.4 aibeaibele sunt discuri metalice gurite (diametrul gurii este puin mai mare dect diametrul urubului peste care trece), care au rolul de a micora i uniformiza presiunile de contact i de a asigura perpendicularitatea suprafeei de reazem a piuliei pe axa urubului. Dup destinaie aibele se mpart n: - aibe de aezare; - aibe de asigurare i de siguran. aibele de aezare au form plat (fig. 62a), iar cele de asigurare (fig. 62 b i c) sunt profilate, fiind realizate din materiale elastice.

Fig. 62 Forme constructive de aibe

9.1.5 Materiale pentru uruburi i piulie de fixareMaterialele pentru fabricarea uruburilor i piulielor sunt standardizate. Materialele utilizate n general pentru confecionarea uruburilor i piulielor sunt: oelul (n cea mai mare parte), materiale neferoase i aliaje ale acestora (aliaje de aluminiu, alam, etc) materiale plastice i chiar lemn.

9.1.6 Msuri mpotriva autodeurubriiAutodeurubarea apare la asamblrile cu uruburi cu strngere solicitate de ocuri, vibraii sau trepidaii. Dintre elementele de asigurare utilizate pentru evitarea autodeurubrii se pot aminti: plintul i piulia crenelat; aibe de siguran cu umeri sau nas; plci crestate fixate cu urub n pies; utilizarea contrapiuliei; aibe elastice; piulie cu inel din material plastic; etc.

9.1.7 uruburi de micare i transmisii cu urubDin aceast categorie fac parte uruburile i piuliele care sunt utilizate pentru transmiterea micrii i a forelor. uruburile cu rol cinematic servesc la transformarea micrii de rotaie n cea de translaie i invers. Transmisiile cu urub sunt utilizate n construcia vinciurilor, preselor, la antrenarea unor subansambluri, a manipulatoarelor, etc. Filetele utilizate n construcia uruburilor de micare sunt cele de tip trapezoidal, 60

ferestru, i mai rar ptrat i rotund. Aceste tipuri de uruburi se execut din oeluri rezistente la uzur iar piuliele din bronzuri sau din fonte antifriciune.

9.2 Asamblri cu penePenele reprezint organe de maini care sunt utilizate ca elemente intermediare de legtur ntre dou piese care au axa geometric comun. Cu ajutorul penelor se pot realiza asamblri simple, ieftine cu gabarit redus care pot fi montate i demontate ntr-un timp scurt. Ca dezavantaj se poate meniona faptul c introduc concentratori de tensiuni att la nivelul arborelui ct i n zona de montaj.

9.2.1 Pene longitudinaleAcest tip de pene sunt utilizate pentru transmiterea momentelor de rsucire de la nivelul arborelui la butuc. Penele longitudinale sunt montate paralel cu axa arborelui n locauri speciale practicate att n arbore ct i n butuc. Penele longitudinale se pot clasifica n: - pene longitudinale cu strngere: - pene longitudinale fr strngere:

9.2.1.1 Pene longitudinale cu strngerePenele longitudinale cu strngere au faa superioar nclinat, ceea ce permite s se obin solidarizarea ntre piesele asamblate, prin apsarea care se exercit asupra fundurilor canalelor de la nivelul butucului i arborelui (fig. 62). Transmiterea momentului de torsiune se face prin frecare. Datorit faptului c butucul este uor excentric fa de arbore, acest tip de asamblare se recomand numai pentru turaii mici, sau n cazul utilizrii unei singure pene pentru regimuri de funcionare fr ocuri i fr inversri de sens.Fig. 62 Asamblare cu pan longitudinal cu strngere j joc; F for de strngere

- pene nalte (utilizate cel mai frecvent) pot prelua eforturi i pe feele lor laterale, putnd transmite momente de rsucire mari. Pot fi cu sau fr clci (fig. 63).

aFig. 63 Pene nclinate a- fr clci; b- cu clci

b

61

- pene plate (subiri) sunt ngropate numai n butuc, iar la nivelul arborelui exist o teitur plan pe care se sprijin pana (fig. 64).

Fig. 64 Pan plat

Fig. 65 Pan concav

Fig. 66 Pene tangeniale

- pene concave sunt ngropate numai n canalul butucului, i mbrac periferia arborelui datorit prelucrrii concave a suprafeei inferioare (fig. 65). - pene tangeniale se monteaz pe perechi, pan i contrapan, (fig. 66), fiind folosite