Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului. o Instabilitate prin divergenta echilibrului. INSTABILITATE PRIN BIFURCAREA ECHILIBRULUI - PRINCIPIUL -

PPcr

cedare

echilibru stabil

echilibru indiferent

echilibru instabil

1

PROBLEMA FLAMBAJULUI : ISTORIC

2

BIFURCAREA ECHILIBRULUI(flambaj prin incovoiere)

Pu x y f x=l/2

Y

l

R= PXM ( x ) = Px d2y P + ky = 0; k 2 = 2 dx EI y = c1 sin kx + c2 cos kx

1) x=0 2) x=l

= > y=0 = > c2 = 0 = > y=0 = > c1 sin kl = 0 a) c1 = 0 = > bara nu se deformeaza (contradictie) b) k = 0 = > P = 0 (nu este conform cu realitatea) c) sin kl = 0 = > kl = , 2 ,...... n

Pcr =

2 E Il2(Euler 1759)

3

BIFURCAREA ECHILIBRULUICazuri Fundamentale

Pcr =

2 E Ilf 2

l f = lungime de flambaj = distanta dintre 2 pcte. de inflexiune consecutive a deformatei

barei. lf = l Exista 5 cazuri fundamentale de flambaj:

Deformata barei

Ecuatia caracteristica For a critic Lungimea de flambaj Coeficientul lungimii de flambaj

sin kl = 0

cos kl = 0

tgkl kl = 0

sin kl = 0

cos kl 1 = 0

2 EIl2 l1

2 EI4l 2 2l2

20,19EI l2 0,7l0,7

2 EIl2 l1

4 2 EI l2 0,5l0,5

4

BIFURCAREA ECHILIBRULUIFlambaj prin incovoiere bara perfecta

P Pcr

A

P PcrA

uBara imperfecta

f

Pu0

Procesul de deformare este continuu

f0

Cedarea are loc prin limitarea echilibrului

P

P Pcr

P Pcr

u0,1 u0,2

u

f 0,1 f 0,2

f

5

BIFURCAREA ECHILIBRULUIFlambaj prin incovoiere

Pcr , y =

2 E Iyl fy 2

; ;

l fy = y l

Y

Pcr , z =

2 E Izl fz 2

l fz = z l

Pcr = min( Pcr , y ; Pcr , z )

Z

Rigiditatea E I depinde de geometria sectiunii (Iy,Iz). Lungimea de flambaj depinde prin de conditiile de rezemare.

Pcr =

2 E Ilf 2

cr =

Pcr 2E 2E = = 2 2 A lf i

cr =

2E 2 2E y 2

;

=

lf i

= coefficient de zveltete

cr , y =

; cr , z =

2E ; cr = min( cr , y ; cr , z ) z 2;

y =

l fy iy

z =

l fz iz

Valoarea maxima a zveltetei se limiteaza prin norme sau rezulta din analiza.!

N cr = N=

2 E Ilf 2

/: N pl = A f y

N cr 2E I 2 E = 2 = 2 N pl l f A f y f y

1 = N

E fy

1 N N = cr = 1 = ; N pl

2

2

=

1

: forta de flambaj normalizata sau adimensionala. : zveltetea normalizata sau adimensionala sau redusa a barei. : zveltetea barei ideale pentru care Ncr = Npl

1

2E = fy 12

6

N N=Npl

INSTABILITATE

Npl=Ncr1

N=

12

(Euler)

STABILITATE

0

0.5

1.0

1.5

2.0

S235

S275 86

S355 76

1

94

7

DIVERGENTA ECHILIBRULUI

Bara este imperfecta Materialul se comporta elasto-plastic. o = > procesul de deformare se initiaza din momentul aplicarii fortei, cedarea are loc in momentul plasticizarii totale a sectiunii, adica prin formarea unei articulatii plastice.

Capacitatea portanta a barei (momentul incovoietor capabil sau rezistent) ajunge in divergenta cu solicitarea (momentul fortelor exterioare) care tinde sa creasca in situatia in care bara si-a atins capacitatea portanta limita. = > M=Mpl Modelul de instabilitate prin divergenta echilibrului este la bara curbelor de flambaj europene.

8

BAZELE TEORETICE ALE CURBELOR EUROPENE DE FLAMBAJ* Flambajul este tratat ca o problema de ordinul II, avand la baza modelul fizic de divergenta a echilibrului.

NEdx v0(x) e0,d v (x) vmax

Y,v L/2 L

v0 ( x ) = e0, d sin

xl

(1) (2) (3) (4)

L ) = e0,d 2 x v ( x ) = A sin L L vmax = v ( x = ) = A 2 v0,max ( x =

d 2 v ( x ) N Ed + (v0 ( x ) + v ( x )) = 0 dx 2 E I N Ed e0, d (1),(3) => (5) = > A = N Cr N Ed

(5) (6)

NEdX,u(6) => (4) => vmax =

N cr =(7)

2 E IL2

N Ed e0,d N Cr N Ed N Ed e0,d N Cr N Ed e0, d(8)

vtot = vmax + e0, d = vtot =

1 1 N Ed / N Cr

Bara este solicitata la compresiune axiala, N Ed , si momentul incovoietor de ordinal II,II M Ed = N Ed vtot

(9)

La mijlocul barei,

1 II M Ed ,max = N Ed e0, d 1 N Ed / N Cr II Relatia de interactiune N Ed M Ed pentru verificare este:II N Ed M Ed ,max + 1 N Rd M Rd

(10)

(11)

Forta N Ed poate creste pana la colaps (flambaj) = >

N Ed = N b , Rd = N Rd= > coeficientul de reducere la flambaj:

(12)

9

=

N b , Rd N Rd

(1 )(1 2 ) = e0,d

A = Wel

(13)

=

N pl N cr A - imperfectiunea generalizata Wel(15) (14)

= e0,d

=> prin calibrare experimentala: = ( 0.2) este factorul de imperfectiune

10

11

12

13

14

15