3

CUPRINS PREFA 5

1. CARACTERISTICI DE CALCUL ALE SECIUNILOR

7

2. CARACTERISTICI DE CALCUL UTILIZATE N EC 3

16

3. ALCTUREA CONSTRUCTIV A ELEMENTELOR COMPRIMATE

28

4. FENOMENUL DE PIERDERE A STABILITII

40

5. BARE CU SECIUNE UNITAR. FORE CRITICE DE FLAMBAJ

53

6. BARA CU SECIUNE UNITAR. EXEMPLE DE CALCUL

73

7. ELEMENTE COMPRIMATE CENTRIC CU SECIUNE COMPUS

84

8. STABILITATEA PEREILOR ELEMENTELOR COMPRIMATE

97

9. STABILITATEA PLCILOR PLANE CONFORM EC 3

110

10. LUNGIMI DE FLAMBAJ

132

11. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE CU NCOVOIERE

141

12. VERIFICAREA LA OBOSEAL

168

13. STABILITATEA GENERAL A TLPII COMPRIMATE

175

14. ELEMENTE REALIZATE DIN PROFILE TUBULARE UMPLUTE CU BETON

186

15. CONSOLIDAREA ELEMENTELOR COMPRIMATE

199

BIBLIOGRAFIE 207

4

CONTENT PREFACE 5

1. DESIGN CARACTERISTICS OF SECTIONS

7

2. DESIGN SECTION CHARACTERISTICS USED IN EC 3

16

3. CONSTRUCTIVE DESIGN OF COMPRESSION MEMBERS

28

4. STABILITY PHENOMENON

40

5. UNIFORM COMPRESSION MEMBERS. CRITICAL BUCKLING FORCES

53

6. UNIFORM COMPRESSION MEMBERS. WORKED EXAMPLES

73

7. BUILT-UP COMPRESSION MEMBERS.

84

8. MEMBER WALLS STABILITY

97

9. STEEL PLATE STABILITY ACCORDING TO EC 3

110

10. BUCKLING LENGTHS

132

11. UNIFORM MEMBERS IN BENDING AND AXIAL COMPRESSION

141

12. FATIGUE VERIFICATIONS

168

13. GENERAL STABILITY OF TRUSSES

175

14. CONCRETE FILLED STEEL TUBULAR HOLLOW SECTION

186

15. COMPRESSION MEMBERS CONSOLIDATION

199

REFERENCES 207

5

PREFA Structurat pe 15 module de calcul specific, cu scopul de a permite o ct mai bun sistematizare a materialului tehnic prezentat, lucrarea Elemente metalice comprimate, urmrete s prezinte noiunile fundamentale privind calculul elementelor comprimate ale structurilor de construcii i poduri metalice, avnd la baz normele europene de proiectare EN 1993-1, EN 1993-2 i EN 1994-2.

Lucrarea permite asimilarea normelor europene de proiectare a construciilor din oel, preluate i de ara noastr, de ctre studenii Facultii de Construcii, cu deosebire a celor de la Ciclul de master, precum i de ctre inginerii specialiti din domeniu.

Modulele de calcul teoretic sunt nsoite de exemple, analize i aplicaii numerice rezolvate de autori, care faciliteaz nelegerea metodologiei de aplicare a bazei de calcul prezentat n euronorme.

Exprimm mulumiri anticipate tuturor celor care vor aduce observaii i propuneri de mbuntire a materialului editat sub aceast form combinat de teorie i aplicaii.

Apreciem c lucrarea rspunde cerinelor necesare unei lucrri de specialitate, avnd calitatea necesar pentru nvmntul superior tehnic de construcii.

Autorii

6

PREFACE

Structured on 15 specific design modules, to offer a good systematization of the technical material, the book Compression steel members, has the main scope to present the fundamental notions regarding the design of the steel constructions and bridges according to the European codes EN 1993-1, EN 1993-2, and EN 1994-2. The work facilitates the understanding of the application methodology of the European norms by the students of the Civil Engineering Faculty, especially MS students and is also adressed to engineers who work in the design field of the steel structures. The theoretical design modules are accompanied by working examples solved by authors to respond better to the objective undertaken by the book. We would like to express thanks in anticipation to all those who might contribute to the improvement of the material by making both theory and working examples observations and suggestions. It is belief that the present work meets requirements of a typical technical-constructions education standard.

Authors

7

1. CARACTERISTICI DE CALCUL A SECIUNILOR 1.1. Aspecte generale

n primele module ale lucrrii se vor prezenta caracteristicile geometrico - sectoriale ale seciunii barelor cu perei subiri (BPS), prezentate detaliat la disciplina de Rezistena materialelor, precum i caracteristici legate de calculul elementelor de construcii i poduri metalice n conformitate cu normativul SR EN 1993 (EC 3).

Se apreciaz c celelalte caracteristici de calcul ale seciunii (arie brut, arie net, moment static, moment de inerie, modul de rezisten) sunt bine cunoscute de la disciplinele de Mecanica construciilor, acestea avnd o utilizare curent n activitatea de dimensionare i verificare a structurilor.

O atenie deosebit n practica de proiectare trebuie acordat sistemului de axe n care se lucreaz, acesta nefiind unitar n cadrul disciplinelor de specialitate, normative i standarde de proiectare, programe de calcul etc., tabelul 1.1. n lucrare se va utiliza sistemul de axe EN 1993.

Tabelul 1.1

Material tehnic

Rezistena materialelor; EC3, Tabele cu

europrofile

Tabele de produse

laminate (neactualizate)

Sistem de axe

Observaie: n calculele de stabilitate (ex. flambaj prin ncovoiere-rsucire, flambaj lateral), n cazul seciunilor monosimetrice, axele principale se aleg n mod uzual ca n figura 1.1.

Fig.1.1

1.2. Caracteristici geometrico - sectoriale ale BPS Coordonata (aria) sectorial la BPS cu seciune deschis Coordonata (aria) sectorial a unui punct curent S(s), care se determin n raport cu un pol ( )PP z,yP , se noteaz cu ( )sP i se definete prin integrala:

8

( ) =s

sPp

Q

dsrs [ ]2L (1.1) unde Pr este distana de la punctul P la tangenta dus n punctul curent M al axei mediane a BPS (produsul 0dsrP > dac raza vectoare Pr parcurge arcul ds n sens orar), fig. 1.2.

Fiecrui punct de pe axa median a BPS, S(y,z), i corespunde o valoare proprie pentru ( )sP , de aceea aria sectorial ( )sP poate fi privit ca o coordonat a punctului respectiv. Ea reprezint dublul ariei delimitate de raza polar origine PQ, raza polar PS a punctului considerat, i poriunea QMS din axa median a BPS.

Fig. 1.2. Coordonata sectorial

la BPS profil deschis

Coordonata sectorial depinde de poziia polului ( )PP z,yP i de poziia punctului origine ( )QsQ , de msurare a ariei sectoriale. Punctul ( )QsQ se numete punct sectorial nul ( )( )0sQP = . Reprezentnd grafic legea de variaie a ariei sectoriale funcie de arcul s, se obine diagrama sectorial P . Coordonata sectorial principal ( )s , este aria sectorial care se determin fa de acel pol ( )cc z,yC i acel punct sectorial nul ( )00 z,yO care satisfac condiiile:

=a

0

0dAy ; =a

0

0dAz ; =a

0

0dA (1.2)

Polul ( )cc z,yC care satisface primele dou condiii (1.2) se numete pol principal i

coincide cu centrul de ncovoiere al seciunii, iar punctul sectorial nul ( )00 z,yO care satisface ultima condiie (1.2) se numete punct sectorial nul principal.

Dac se cunoate diagrama coordonatelor sectoriale P determinate fa de polul arbitrar ( )PP z,yP i punctul sectorial nul arbitrar ( )QsQ , se poate preciza poziia polului principal ( )cc z,yC , cu ajutorul relaiilor: +=

AP

yPc dAzI

1yy (1.3.a)

=A

Pz

Pc dAyI1zz (1.3.b)

Coordonata sectorial a punctului sectorial ( )0sO fa de un punct sectorial nul arbitrar, se determin din relaia:

( ) ( ) =a

0

QSQO dssA1s (1.4)

9

Coordonata (aria) sectorial la BPS cu seciune nchis Aria sectorial pentru BPS profil nchis o singur dat are expresia:

r

rP

s

sPP a

s

gds

gds

0 ==

(1.5)

unde: P - aria sectorial corespunztoare tubului deschis, figura 1.3; =

s

sr

0gdss - lungimea redus a arcului s;

= gdsar - lungimea redus a conturului axei mediane a BPS profil nchis; = dsr - dublul ariei delimitat de axa median a BPS.

Fig. 1.3. Coordonata sectorial la BPS profil nchis

Aria sectorial generalizat principal este acea arie sectorial generalizat care satisface condiiile: = 0dAy = 0dAz (1.6) = 0dA Polul principal ( )cc z,yC coincide cu centrul de ncovoiere i are coordonatele:

+= dAzI1yy PyPc (1.7.a) = dAyI1zz PzPc (1.7.b)

Condiia dA precizeaz poziia punctului sectorial nul principal ( )00 z,yO . Observaii: Pentru simplificarea calculelor n vederea determinrii poziiei polului principal C se recomand s fie avute n vedere urmtoarele:

sistemul de axe coordonate Gyz este central principal; dac seciunea admite o ax de simetrie, punctul sectorial nul Q se ia la intersecia acesteia cu axa

median a profilului, acesta fiind chiar punctul sectorial principal O; pentru determinarea coordonatelor polului principal C, poate fi folosit regula de integrare

Vereceaghin, atunci cnd axa median este poligonal (n aceast situaie diagramele p , y i z sunt liniar variabile);

dac axa median a BPS admite o ax de simetrie polul principal C se afl pe aceast ax;

10

la seciunile BPS a cror ax median este alctuit din segmente concurente, polul principal C se afl n punctul de intersecie al acestor segmente;

la profilele care au simetrie polar, centrul de ncovoiere-rsucire coincide cu centrul de simetrie polar, care este i centrul de greutate al seciunii;

n cazul seciunilor BPS care au dou axe de simetrie, centrul de rsucire coincide cu centrul de greutate al seciunii barei;

n cazul seciunilor nchise se urmeaz aceeai cale ca n cazul BPS profil deschis, cu observaia c n locul coordonatelor se utilizeaz coordonatele generalizate .

n figura 1.4. se prezint poziia polului principal C pentru cteva seciuni de BPS.

Fig. 1.4. Poziia polului principal C

Momentul static sectorial Momentul static sectorial S , al poriunii de seciune cuprins ntre punctele ( )0sO i ( )sS se definete ca fiind:

=s

s0

dAS [ ]4L - pentru seciuni deschise (1.8.a) =

s

s0

dAS [ ]4L - pentru seciuni nchise (1.8.b) Momentul static sectorial RS , al poriunii de seciune cuprins ntre punctul ( )0sR = , care este originea de msurare a arcelor i punctul curent ( )sS de pe axa median a BPS, este: =

s

0

R dAS - pentru BPS profil deschis (1.9.a)

=s

0

R dAS - pentru BPS profil nchis (1.9.b)

Punctele de maxim ale diagramei RS sunt puncte de nul sectorial.

11

Momentul de inerie dirijat Momentul de inerie dirijat, dI , este prin definiie:

=A

2d dArI [ ]4L (1.10)

Momentul de inerie sectorial Momentul de inerie sectorial I i I sunt definite prin relaiile:

=A

2 dAI [ ]6L - la BPS profil deschis (1.11.a) =

A

2dAI [ ]6L - la BPS profil nchis (1.11.b)

Momentul de inerie dirijat i momentul de inerie sectorial sunt caracteristici geometrice ale ntregii seciunii, calculul lor poate fi fcut utiliznd regula de integrare Vereceaghin pentru seciunile cu axa median poligonal. Momentul de inerie echivalent (convenional) BPS profil deschis:

Momentul de inerie echivalent (convenional) la rsucire liber a BPS profil deschis, tI , se calculeaz cu relaia:

dsg31I

a

0

3t = (1.12)

n cazul profilelor deschise alctuite din mai multe dreptunghiuri nguste, momentul de inerie convenional la rsucire liber este egal cu suma momentelor de inerie convenionale ale poriunilor componente.

Dac pe poriuni, grosimea g este constant, expresia pentru tI este:

=

=n

1j

3jjt ga3

1I (1.13)

Pentru profilele laminate formula de calcul pentru tI este de forma:

=

=n

1j

3jjt ga3

cI (1.14)

unde c este un coeficient ce depinde de forma seciunii transversale a profilului i ine seama de efectele racordrii dintre dreptunghiurile elementelor separate, tabelul 1.2.

Tabelul 1.2

Tipul seciunii C Profil I laminat 1,20 Profil U laminat 1,12 Profil cornier, grinzi I sudate fr rigidizri 1,00 Grinzi I sudate cu rigidizri dese 1,50 Grinzi I nituite 0,50

12

BPS profil nchis:

Momentul de inerie echivalent (convenional) la rsucire liber a BPS profil nchis, rI , se calculeaz cu relaia:

+=

gds

II2

tr (1.15)

unde: dsr = - este dublul ariei delimitate de axa median a BPS profil nchis; dsg

31I 3t =

1.3. Exemple de calcul E1. Exemplu numeric 1 S se calculeze caracteristicile geometrico sectoriale ale seciunii din figura E1.1. Cu sistemul de axe din figura E1.1 rezult: Iy= 9005.6 cm4; Iz=706.25 cm4; A=60 cm2.

Deoarece seciunea are o ax de simetrie, centrul de rsucire se va afla pe aceast ax; se va calcula numai abscisa yc.

Se alege polul P, la intersecia

axei de simetrie y-y cu axa median a profilului i se traseaz diagramele coordonatelor sectoriale P i a ordonatelor z, figura E1.2.

. cm 5.1575,1015-

;cm 5.1575.1015 ;023

P

22P

3P

1P

======

Fig. E1.1

Se calculeaz abscisa centrului de rsucire, integrnd cu regula Vereceaghin diagramele

P i z.

Rezult: cm 88.66,9005

5,1155,105,157212

75.2yc =

= . Se traseaz diagrama fa de punctul C, figura E1.3, calculnd:

2422

31 cm55.955.101595.61;cm95.611513.4 =+=====

- momentul de inerie convenional al BPS, contur nchis, care se consider de seciune inelar deschis.

13

Fig. E1.2

Se calculeaz momentul de inerie sectorial, I , integrnd diagrama cu ea nsi:

++= 5.155.953237.655.95

215.195.61

3213.495.61

21195.61

321595.61

212I

Se obine: 6cm385112I =

Momentul de inerie convenional la rsucire liber It este: ( ) 433t cm 5.325.110213031I =+=

Caracteristicile geometrice ale seciunii transversale sunt centralizate n tabelul E1.1.

Fig. E1.3

Tabelul E1.1

Ag YP yC Iy Iz It I iy iz i02 U.M. cm2 cm cm cm4 cm4 cm4 cm6 cm cm cm2 60 2.75 6.88 9005.6 706.25 32.5 112 385 12.25 3.43 209.2

E2. Exemplu numeric 2

S se calculeze caracteristicile geometrico sectoriale ale seciunii din figura E2.1. Cu sistemul de axe din figura E2.1, rezult: Iy=2.642 610 cm4; Iz=3.953 610 cm4; A=928 cm2.

14

Fig. E2.1

Fig. E2.2

Deoarece seciunea are o ax de

simetrie, centrul de rsucire se va afla pe aceast ax; se va calcula numai abscisa zc.

Se alege polul P, la intersecia axei de simetrie z-z cu axa median a profilului i se traseaz diagramele coordonatelor sectoriale P i a ordonatelor y, figura E2.2.

26

P

25P

24P

cm 61255,122208575

;cm 110255,122208575

;cm 85755,12270

===+=

==

Se calculeaz abscisa centrului de rsucire, integrnd cu regula Vereceaghin diagramele P i y i rezult:

( ) ( )[ ]

cm 8.1088,575110953.3

906125211025506125110252640370

25,12285752.12

51z 6c

===

++++

=

Se traseaz diagrama fa de punctul C, figura E2.3 i se calculeaz momentul de inerie sectorial, I , integrnd diagrama cu ea nsi.

15

Fig. E2.3

Se obine:

( ) ( )[ ] .cm 10223.1813592381352923813592326403

37.644529

38.5740462,1

3100578022I

610

222

=++++

+

++=

Momentul de inerie convenional la rsucire liber It este: ( ) .cm 392 134022.11202220031I 4333t =++=

Caracteristicile geometrice ale seciunii transversale brute sunt centralizate n tabelul E2.1.

Tabelul E2.1 Ag ZP zC Iz Iy It I iy iz i02

U.M. cm2 cm cm x 106

cm4 x 106 cm4 cm

4 x 1010

cm6 cm cm cm2

928 51 108,8 3.953 2.642 1392 1.223 53.36 65.26 18 944

16

2. CARACTERISTICI DE CALCUL

UTILIZATE N EC 3

2.1. Coeficieni pariali de siguran Coeficienii pariali de siguran utilizai n euronorme pentru calculul elementelor au urmtoarele valori:

00.10M = ; 10.11M = (pentru cldiri, 00.11M = );

25.12M =

2.2. Clasificarea seciunilor transversale Scopul clasificrii seciunilor transversale este acela de a identifica n ce msur rezistena lor i capacitatea de rotire sunt limitate de apariia pierderii stabilitii locale.

Sunt definite patru clase de seciuni transversale: Seciuni transversale Clasa 1 sunt cele care permit formarea articulaiilor plastice, care pot atinge, fr reducerea rezistenei, capacitatea de rotire cerut de modelul de calcul plastic. Seciuni transversale Clasa 2 sunt cele care permit dezvoltarea momentului de ncovoiere plastic al seciunii, dar care posed o capacitate de rotire limitat din cauza pierderii stabilitii locale. Seciuni transversale Clasa 3 permit dezvoltarea numai a momentului de ncovoiere elastic al seciunii, dar pentru care pierderea stabilitii locale poate mpiedica dezvoltarea momentului plastic. Seciuni transversale Clasa 4 sunt cele pentru care pierderea stabilitii locale se produce n unul sau mai muli perei ai seciunii transversale, nainte de a atinge limita de curgere. Pentru seciunile Clasa 4, pot fi utilizate limile eficace pentru a lua n considerare reducerea de rezisten din efectele pierderii locale a stabilitii. Stabilirea clasei seciunii transversale depinde de raportul lime pe grosime a pereilor supui la compresiune. Prin perei supui la compresiune se nelege fiecare perete al seciunii transversale, parial sau total comprimat, sub efectul gruprii de ncrcri considerate. Pereii comprimai ai unei seciuni transversale (inim sau talp) pot fi n general de clase diferite, clasa unei seciuni transversale fiind definit prin clasa cea mai mare a pereilor si comprimai. De asemenea clasa seciunii transversale poate fi diferit pentru solicitarea de compresiune axial sau pentru solicitarea de ncovoiere. Valorile limit ale supleilor pereilor comprimai sunt prezentate n tabelele 2.1. Toate clasele de seciuni pot fi verificate n raport cu rezistena lor elastic, cu condiia utilizrii pentru Clasa 4 a caracteristicilor seciunii transversale eficace.

17

Tabelul 2.1.a

INIMI (perei perpendiculari pe axa de ncovoiere) i TLPI (perei interiori paraleli cu axa de ncovoiere)

CLASA ncovoiere Compresiune ncovoiere i compresiune

Distribuia

tensiunilor

(semnul + pt compresiune)

1 72t/c 33t/c pentru :5,0>

)113/(396t/c pentru :5,0

/36t/c

2 83t/c 38t/c pentru :5,0>

)113/(456t/c pentru :5,0

/5,41t/c Distribuia

tensiunilor

(semnul + pt compresiune)

3 124t/c 42t/c pentru :1>

)33,067,0/(42t/c + pentru :1

)()1(62t/c fy (N/mm2) 235 275 355 420 460

yf/235= 1 0,92 0,81 0,75 0,71

18

Tabelul 2.1.b

TLPI N CONSOL:

Talpa ncovoiat i comprimat

CLASA

Talpa comprimat

margine comprimat margine ntins

Distribuia tensiunilor

(semnul + pt compresiune)

1

9t/c 9t/c

9t/c

2 10t/c 10t/c

10t/c

Distribuia tensiunilor

(semnul + pt compresiune)

3 14t/c f k21t/c f , k - coeficient de voalare

fy (N/mm2) 235 275 355 420 460 yf/235= 1 0,92 0,81 0,75 0,71

2.3. Caracteristici ale seciunilor eficace Calculul caracteristicilor seciunilor eficace ale seciunilor transversale de clasa 4 se bazeaz pe limile eficace ale pereilor comprimai. Limile eficace ale pereilor comprimai sunt definite n tabelul 2.2.a pentru pereii interiori ai seciunii i n tabelul 2.2.b pentru pereii n consol. Coeficientul de reducere se determin astfel:

19

- perei interiori ai seciunii:

+>+

=

0)3(unde,673.0pentru1)3(055,0

673.0pentru1

p2p

p

p

(2.1.a)

- perei comprimai n consol:

>

=

748.0pentru1188,0

748.0pentru1

p2p

p

p

(2.1.b)

unde:

== k4,28t/bf p

cr

yp ;

yf235=

k - coeficientul de voalare, tabelul 2.2.a i tabelul 2.2.b. bp (notat i cu b ) - limea peretelui considerat, definit conform tabelelor pentru stabilirea clasei seciunii transversale. Un calcul foarte exact ine cont i de grosimea cordoanelor de sudur, n cazul seciunilor alctuite sudat. n cazul pereilor prevzui cu rigidizri marginale, calculul se bazeaz pe ipoteza c rigidizarea lucreaz ca o grind pe mediu elastic, iar acest mediu elastic are o rigiditate tip resort care depinde de rigiditatea la ncovoiere a pereilor plani adiaceni i de condiiile de margine ale peretelui respectiv. Axa neutr (trecnd prin centrul de greutate) a seciunii eficace se va decala cu o distan e fa de cea a seciunii brute i se va ine cont de momentul suplimentar NeNM = , dac seciunea este supus la efort axial (fig. 2.1 ). n practic aceast deplasare a axei neutre se poate neglija, ceea ce permite o evaluare mai rapid a capacitii portante, doar sub solicitarea de compresiune centric, conducnd la o uoar supraestimare a capacitii elementului.

Fig.2.1

20

Tabelul 2.2.a

PEREI INTERIORI COMPRIMAI Distribuia tensiunilor

(semnul + pt. compresiune) Limea eficace

beff

eff2e

eff1e

peff

b5,0bb5,0b

bb: 1

===

+=

1eeff2e

eff1e

peff

bbb5

b2b

bb:01

=

==

>

eff2e

eff1e

pceff

b6,0bb4,0b

1b

bb

:0

==

== >0 0 0> >-1 -1 -1 > > -3 Coeficientul de voalare

k 4,0 +05,1

2,8 7,81 278,929,681,7 + 23,9 2)1(98,5

Alternativ, pentru 11 :

)1(])1(112,0)1[(16k 5,022 ++++=

21

Tabelul 2.2.b

PEREI COMPRIMAI N CONSOL Distribuia tensiunilor

(semnul + pt compresiune) Limea eficace

beff

peff bb: 01

=>

==

==> 0 10 >> -1 Coeficientul de

voalare k 0,43 34.0

578.0+ 1.70

21.17570.1 + 23.8

22

2.4. Exemple numerice E1. Exemplu numeric 1

S se evalueze aria efectiv a seciunii din figura E1.1, a unei bare solicitat la compresiune axial. Bara este alctuit din oel S 235 (a se vedea i exemplul 1.3-E2).

66

46z

46y

2g

cm10223.1I

cm10953.3I

cm10642.2I

cm928A

===

=

Fig. E1.1

Seciunea transversal eficace Aria eficace a tlpilor Talpa superioar Talpa superioar se descompune n dou elemente rezemate pe o singur latur (consolele) i placa interioar dintre inimile seciunii, rezemat pe dou laturi.

Consolele sunt supuse la compresiune uniform, figura E1.2.

Fig. E1.2

4Clasa147.14t/c >= ; 11

212 +=

== Coeficientul de voalare pentru talpa profilului este 43.0k = 748.079.0

43.014.282/4.29

k4.28

t/bpp >===

Rezult: 96.0188.02p

p ==

Limea eficace a tlpii cm 0.284.2996.0bb peff === .

Fig. E1.3

Poriunea de talp dintre inimi, figura E1.3, plac rezemat pe dou laturi, comprimat uniform:

4Clasa424.69t/c >= ; 1

1

212 +=

== Coeficientul de voalare pentru talpa profilului este 4k =

23

673.022.1414.28

2/8.138k4.28

t/bpp >===

Pentru 1= rezult 67.022.11

22.122.01122.01

pp

=

=

=

Limea eficace a tlpii: cm 938.13867.0bb peff === , cm 5.462/bbb eff2.eff1.eff === . Talpa inferioar

Fiecare talp este alctuit din dou console (plci rezemate pe o singur latur), figura E1.4, comprimate uniform.

Fig. E1.4

1Clasa947.6t/c = 1

1

212 +=

== ; 4k =

673.076.1414.28

2.1/120k4.28

t/bpp >===

Pentru 1= rezult 50.076.11

76.122.01122.01

pp

=

=

=

cm6012050.0heff == ; cm 302/hhh eff2.eff1.eff === Seciunea eficace a profilului este prezentat n figura E1.6.

24

Rezult aria seciunii eficace:

( )2

eff

eff

cm 8.686A

2.130234027.752A

=++=

Fig. E1.6

E2. Exemplu numeric 2 S se stabileasc clasa seciunii i aria efectiv, pentru seciunea din figura E2.1, bara fiind solicitat la compresiune axial. Elementul este alctuit din oel S 355. Observaie: Punctul S (shear) este echivalent cu punctul C (centrul de ncovoiere - rsucire din literatura tehnic romn).

Oel: S 355; 2y mm/N355f = 81.0f/235 y ==

2g cm174A =

45y cm10179.1I =

44z cm10145.2I =

66w cm1093.8I =

3t.el.y cm2885W =

3c.el.y cm5321W =

Fig. E2.1

Clasa seciunii. Seciunea efectiv Talpa superioar Talpa comprimat este alctuit din dou plci n consol, solicitate la compresiune uniform, figura E2.2.

43.0k;1 == Fig. E2.2

25

( ) 4clasa34.111467.13

182/8500

tc =>==

748.091.043.081.04.28

18/246k4.28

t/bpp >===

mm21424687.0bb87.0188.0

peff2p

p =====

Talpa inferioar Talpa inferioar comprimat este alctuit din dou plci n consol, solicitate la compresiune uniform, figura E2.3.

43.0k;1 == Fig. E2.3

( ) 4clasa34.111417.1212

2/8300tc =>==

748.081.043.081.04.28

12/146k4.28

t/bpp >===

mm13914695.0bb95.0188.0

peff2p

p =====

Inima Inima este o plac rezemat pe dou laturi, solicitat la compresiune uniform, figura E2.4.

4k;1 == Fig. E2.4

M

4clasa02.3442758

600tc =>==

673.063.1481.04.28

8/600k4.28

t/bpp >===

mm31860053.0bb53.0)3(055.0

peff2p

p ====

+=

Rezult: mm1592/bbbb effe2e1e ====

26

Seciunea transversal a barei este Clasa 4. Seciunea efectiv a barei pentru solicitarea de compresiune este prezentat n figura E2.5. 2eff cm24.138A = Fig. E2.5

E3. Exemplu numeric 3 S se stabileasc clasa seciunii i caracteristicile efective, pentru seciunea din figura E3.1 (identic cu cea din exemplu 2.4-E2), bara fiind solicitat n acest caz la ncovoiere pur. Elementul este alctuit din oel S 355.

Fig. E3.1

Oel: S 355; 2y mm/N355f = 81.0f/235 y ==

2g cm174A =

45y cm10179.1I =

44z cm10145.2I =

66w cm1093.8I =

3t.el.y cm2885W =

3c.el.y cm5321W =

Clasa seciunii. Seciunea efectiv Talpa superioar Talpa comprimat este alctuit din dou plci n consol, solicitate la compresiune uniform, figura E3.2.

43.0k;1

==

Fig. E3.2

27

( ) 4clasa34.111467.13

182/8500

tc =>==

748.091.043.081.04.28

18/246k4.28

t/bpp >===

mm21424687.0bb87.0188.0

peff2p

p =====

Inima Inima este o plac rezemat pe dou laturi, solicitat la ncovoiere, figura E3.1.

197.197.1202398

zz

1111

22

28

3. ALCTUIREA CONSTRUCTIV A ELEMENTELOR COMPRIMATE

3.1. Aspecte generale

Modul de alctuire al barelor drepte solicitate la eforturi axiale depinde de tipul construciei din care acestea fac parte, de mrimea efortului axial la care sunt supuse i de natura acestuia, respectiv ntindere sau compresiune. Barele drepte solicitate la eforturi axiale intr de regul n alctuirea grinzilor cu zbrele, dar pot fi ntlnite i ca elemente independente (stlpi, piloni, etc.). Barele cu solicitri reduse se alctuiesc din unul sau mai multe profile laminate, iar cele mai puternic solicitate se realizeaz de seciune compus, din profile laminate U sau I, solidarizate ntre ele continuu sau discontinuu. De asemenea pot fi utilizate bare alctuite din platbande mbinate ntre ele prin sudur sau nituire. Barele solicitate la eforturi axiale au cel puin o ax de simetrie, aflat n planul de simetrie al structurii i care este totodat i plan al aciunii ncrcrilor exterioare. n figura 3.1 sunt prezentate cteva tipuri de seciuni de bare solicitate la eforturi axiale.

Fig. 3.1. Seciuni de bare solicitate la eforturi axiale

29

3.2. Solidarizarea elementelor componente ale seciunii transversale Barele solicitate la eforturi axiale (ntindere sau compresiune) pot fi de seciune unitar sau

compus. n categoria seciunilor unitare intr i barele cu seciune compus, ale cror ramuri sunt

apropiate la distana unui guseu (utilizate mai ales ca elemente ale contravntuirilor). Barele de seciune compus pot fi realizate n una din variantele: bare din elemente alipite; bare din elemente puin deprtate; bare din elemente mult deprtate. Elementele componente ale seciunilor barelor compuse se solidarizeaz astfel nct s li

se asigure o comportare de ansamblu apropiat celor de seciune unitar. n cazul barelor de seciune compus, distanele ntre nituri, uruburi sau piesele de

solidarizare discontinu trebuie s respecte anumite valori limit, date n tabelul 3.1. La alctuirea barelor solicitate axial, trebuie avute n vedere urmtoarele recomandri i prescripii normative:

nu se admit seciuni compuse la care ambele axe principale ale seciunii transversale sunt imateriale (nu taie materialul ramurilor);

la barele alctuite din elemente puin deprtate, intervalul dintre elemente trebuie s permit accesul n vederea ntreinerii (curire i vopsire) a pieselor componente, figura 3.2;

dac distana tg, figura 3.3, a barelor compuse ndeplinete condiiile mm15tg i 6/htg , spaiile dintre feele nvecinate ale pieselor se las libere, n caz contrar acest

spaiu se umple cu o furur continu. Solidarizarea elementelor componente ale seciunii se face cu plcue (fururi) nituite sau

sudate: n lungul barei distana ntre fururi se ia diferit pentru barele ntinse i cele comprimate,

aceasta depinznd de raza de giraie, 1i , a unui element independent n raport cu axa

1z , paralel cu axa principal z, imaterial a ntregii seciuni (tabelul 3.1); se recomand ca pe lungimea unei bare comprimate, compus din elemente puin

deprtate, s se prevad cel puin dou fururi cu rol de solidarizare; barele compuse din elemente mult deprtate se solidarizeaz cu plcue, zbrelue sau

diafragme. n cazul solidarizrii cu plcue a elementelor barelor compuse, numrul plcuelor trebuie s fie par (numrul de intervale dintre plcue s fie impar);

n cazul solidarizrii cu zbrelue, cele mai utilizate moduri de zbrelire sunt cele date n figura 3.4;

Fig. 3.2. Condiii pentru realizarea ntreinerii

30

Tabelul 3.1

31

Fig. 3.3. Spaiu ntre profile

Fig. 3.4. Moduri curente de zbrelire

Seciunile unitare cele mai des folosite sunt urmtoarele: - seciuni dublu T; - seciuni cheson deschise, ; - seciuni cheson nchise. Pentru barele comprimate ale grinzilor principale cu zbrele se folosesc n special seciuni

cheson deschis sau nchis. n acest caz, solidarizrile barelor comprimate ndeplinesc urmtoarele funciuni:

- leag pereii chesonului, oblignd conlucrarea lor; - stabilizeaz pereii mpotriva voalrii, avnd deci rolul de rigidizri; - mpiedic deformarea pereilor n cazul unor aciuni locale.

Solidarizrile se amplaseaz, n principiu, n toate nodurile comprimate, n special n dreptul reazemelor, a antretoazelor i n punctele de aplicare a unor sarcini locale. Solidarizrile se realizeaz din diafragme transversale fixate de perei, fie cu corniere, n cazul alctuirii seciunilor prin nituire, figura 3.5, fie prin sudare, n cazul seciunilor alctuite sudat, figura 3.6;

32

Fig. 3.5. Diafragme la bare alctuite nituit

Fig. 3.6. Diafragme la bare alctuite sudat

Diafragmele nu se sudeaz direct de pereii chesoanelor, ci prin intermediul unor plcue intermediare. n acest mod se evit executarea cordoanelor transversale efortului principal n lungul barei, care ar conduce la o suprapunere periculoas a eforturilor din bar cu cele produse de sudur.

n figura 3.7 se prezint bare cu seciune compus, realizate din dou ramuri, solidarizate

ntre ele cu plcue sau zbrelue.

33

Fig. 3.7. Bare cu seciune compus Solidarizarea barelor compuse n dreptul guseelor Pentru ca barele cu seciune compus s se comporte ca o seciune unitar, acestea se solidarizeaz n dreptul guseului. Solidarizarea se realizeaz att n interiorul guseelor, ct i imediat n afar. Solidarizrile se pot realiza din plcue sau cupoane de profile laminate, figura 3.8.

34

Fig. 3.8. Solidarizarea barelor compuse n dreptul guseelor 3.3. Alctuirea barelor grinzilor cu zbrele Principii de alctuire a seciunilor Dimensiunile seciunilor transversale ale barelor depind de urmtorii factori:

- valoarea efortului axial; - semnul efortului; - modul de alctuire a seciunii:

35

cu un perete; cu doi perei.

- metoda de mbinare folosit: cu nituri sau uruburi; mbinare sudat.

n alegerea seciunilor transversale ale barelor se pleac de la seciunea tlpii comprimate. Stabilind dimensiunile seciunii transversale a tlpii, nlimea h i limea b, acestea se menin constante n lungul grinzii, adaptarea seciunii la variaia eforturilor se face prin variaia grosimii platbandelor la seciunile sudate. Fiind bar comprimat, materialul se distribuie ct mai departe de centrul de greutate al seciunii, dar se are n vedere i faptul c prin aceasta crete consumul de material pentru elementele de legtur (solidarizri, diafragme), iar pe de alt parte, dezvoltnd seciunea pe nlime iau natere eforturi suplimentare n bare, datorit prinderii rigide n noduri.

n literatura tehnic exist relaii prin care se determin cele dou dimensiuni h i b pentru talpa comprimat, dimensiuni ce se adopt i pentru talpa ntins.

Cu notaiile din figura 3.9, dimensiunile h i b se stabilesc astfel:

Fig. 3.9. Dimensiunile tlpii comprimate

relaiile lui SCHAPER:

( ) ( ) ( ) 400/mLmLcmh 2= (3.1.a) ( ) ( ) ( )mL1,0cmhcmb = , L50 m (3.1.c)

relaiile HARTMANN:

( ) ( )mL4,020cmb += (3.2.a) ( ) ( ) ( )mL1,0cmbcmh += (3.2.b)

relaiile lui SCHULTZ:

( ) ( )( )mL320mL320cmh +

= (3.3.a) ( ) ( ) ( ) ( )mL2,0...1,0cmhcmb = (3.3.b)

Observaie: nlimea h se limiteaz la 1/10 din lungimea teoretic a barei.

Dup stabilirea dimensiunilor principale ale seciunii transversale a tlpilor comprimate (h i

b), se aleg elementele seciunii care s satisfac condiiile constructive privind grosimea minim a platbandelor i dimensiunile minime ale profilelor laminate care se pot utiliza, ncheind etapa de predimensionare. n continuare se verific condiiile care trebuie satisfcute de bar i anume:

condiia de rezisten; condiia de stabilitate a barelor comprimate; condiia de stabilitate a pereilor la barele comprimate; condiia de oboseal; condiiile constructive (acces pentru ntreinere). n funcie de mrimea solicitrilor, seciunile tlpilor se pot executa cu un perete sau cu doi

perei. La alctuirea seciunii barelor trebuie avute n vedere anumite reguli i recomandri, astfel:

36

- seciunile cu doi perei se alctuiesc din dou ramuri amplasate simetric fa de planul de simetrie al grinzii;

- seciunile orizontale i nclinate vor avea un element continuu, amplasat astfel nct s protejeze celelalte componente de aciunea apei etc.;

- se vor evita seciuni n form de jgheab; - materialul din seciune va fi repartizat preponderent n cei doi perei paraleli cu guseele,

pentru o scurgere ct mai direct a eforturilor; - numrul elementelor componente ale unei seciuni s fie minim, iar sortimentul de

laminate s fie ct mai redus; - nu se admit bare compuse la care ambele axe ale seciunii s fie imateriale (s nu

intersecteze materialul); - s se respecte condiia prin care s fie posibil ntreinerea barelor (curare, vopsire).

Seciunea barelor

n figurile 3.10...3.13 sunt prezentate seciuni de bare utilizate la grinzile cu zbrele de poduri metalice.

Fig. 3.10. Seciunile barelor alctuite nituit, cu un perete

Fig. 3.11. Seciunile barelor alctuite nituit, cu doi perei

37

Fig. 3.12. Seciunile barelor sudate, cu un perete

Fig. 3.13. Seciunile barelor sudate, cu doi perei

38

3.4. Prinderea barelor n noduri Aa cum bine se cunoate, una din regulile de baz n alctuirea grinzilor cu zbrele, este centrarea tuturor barelor n nod. Pentru zbrele centrarea nu reprezint nici o dificultate, ns tlpile avnd seciunea variabil, centrarea se execut dup excentricitatea medie conform relaiei:

ne

e i= (3.4) Barele se prind n noduri cu nituri, uruburi sau sudat. Cteva precizri privind rezolvarea constructiv a prinderii barelor n noduri vor fi prezentate n continuare:

zbrelele se introduc ct mai aproape de nodul teoretic; prinderea zbrelelor direct de elementele tlpii este posibil cnd eforturile n ele sunt

mici i n consecin numrul elementelor de prindere este redus; prinderea zbrelelor n nod prin intermediul guseelor se face atunci cnd acestea

transmit eforturi mari, iar prinderea poate fi: - prindere prin suprapunere direct; - prindere prin suprapunere i eclis; - prindere cu eclis i furur.

n figura 3.14 se prezint dou detalii de prindere prin suprapunere direct, niturile lucrnd

la forfecare simpl i presiune pe gaur.

Fig. 3.14. Prinderi prin suprapunere direct a barei

n figura 3.15 se prezint un detaliu de prindere prin suprapunere i eclis, niturile

1n lucreaz la dubl forfecare, iar niturile 2n la forfecare simpl.

Fig. 3.15. Prinderea prin suprapunere i eclis

39

Un exemplu de prindere cu eclis i furur este prezentat n figura 3.16, unde niturile 1n lucreaz la dubl forfecare, iar grupul de nituri 2n , care transfer jumtate din efortul din profil

lucreaz la forfecare simpl.

Fig. 3.16. Prindere cu eclis i furur

Prinderea seciunilor casetate n noduri Prinderea zbrelelor cu seciune casetat n nodurile grinzilor cu zbrele cu perete dublu se face prin suprapunere introducnd seciunea casetat ntre cele dou gusee. Pentru a putea realiza prinderea capetele barelor casetate se prelucreaz, existnd dou posibiliti:

transformarea seciunii casetate, n dreptul guseului ntr-o seciune dublu T, figura 3.17; prinderea seciunilor casetate prin orificii practicate n pereii normali pe planurile

guseelor, figura 3.18.

Fig. 3.17. Prinderea seciunii casetate n nod (varianta I)

Fig. 3.18. Prinderea seciunii casetate n nod (varianta II)

40

4. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILITII

4.1. Stri de echilibru Teoria clasic a stabilitii precizeaz condiiile n care un sistem structural, sau un element structural aflat iniial n stare de echilibru, nceteaz a mai fi stabil. n termeni generali, stabilitatea unui sistem fizic poate fi definit ca abilitatea sistemului respectiv de a se ntoarce n starea de echilibru iniial, dup ce a fost uor perturbat. Pentru un sistem mecanic fenomenul de pierdere a stabilitii elementelor de rezisten utilizate n construcii poate fi descris utiliznd noiunile de mecanic clasic. Considernd energia total, E, introdus n sistem de ctre o for perturbatoare, se poate scrie urmtoarea ecuaie de echilibru, n virtutea legii de conservare a energiei: E = Ec + Ep = constant (4.1) n care: - Ec - este energia cinetic a sistemului; - Ep - este energia potenial a acestuia. O cretere a energiei cinetice este nsoit de o scdere a energiei poteniale si invers, n conformitate cu legea conservrii energiei. Dac sistemul este iniial ntr-o configuraie de echilibru cu energie potenial minim, atunci energia potenial din ecuaia de conservare a energiei crete si n aceste condiii energia cinetic datorat micrii sistemului, trebuie s scad. Astfel, deplasarea din starea iniial de echilibru n urma perturbrii sistemului cu o for exterioar va rmne mic si starea de echilibru este una stabil. Acest fenomen poate fi foarte bine ilustrat pe modelul mecanic binecunoscut din figura 4.1, cu ajutorul unui corp rigid sferic pe o suprafa curb. Dac n starea iniial de echilibru sfera se afl pe o suprafa concav (figura 4.1a), atunci echilibrul este stabil; dac sfera este scoas din poziia iniial cu energie potenial minim, aceasta va ncepe s oscileze si, n cele din urm, va reveni la poziia de echilibru. Dac sfera se afla pe o suprafa convex, ntr-o poziie de energie potenial maxim (figura 4.1c), atunci o perturbare a poziiei iniiale conduce la creterea energiei cinetice, respectiv la scderea energiei poteniale si sfera se va ndeprta cu vitez tot mai mare de poziia iniial de echilibru. n acesta situaie se spune c echilibrul este instabil. Starea de echilibru indiferent este ilustrat de modelul mecanic prin sfera pe un plan orizontal (figura 4.1b), n care pentru orice vecintate a poziiei iniiale de echilibru, energia potenial este aceeai.

Fig.4.1. Analogia ntre comportamentul modelului mecanic cu corp rigid si comportamentul unui element structural pentru definirea strilor de echilibru [39]

41

Se poate face o analogie ntre comportamentul modelului mecanic cu corp rigid i comportamentul unui element structural (bara comprimat) pentru definirea strilor de echilibru ale acestuia. Se presupune bara ideal comprimat (perfect dreapt, fr imperfeciuni, cu un comportament de material perfect elastic) din figura 4.1.a, aflat iniial n stare nedeformat, solicitat la o for axial de compresiune N. Dac se perturb poziia de echilibru a acesteia, spre exemplu cu o for concentrat de intensitate redus, aplicat orizontal la mijlocul nlimii, bara va suferi o ncovoiere. Poziia de echilibru stabil, prin analogie cu modelul mecanic, presupune ca dup anularea forei perturbatoare, bara revine n poziia dreapt sub aciunea forei N. Dac se mrete treptat fora N, se constat c bara revine din ce n ce mai greu la poziia iniial nedeformat dup anularea forei perturbatoare. Pentru o anumit valoare a forei de compresiune N = Ncr, bara nu mai revine n poziia iniial dup anularea forei perturbatoare si va rmne n poziia deformat sub aciunea forei Ncr. Aceasta este situaia de echilibru indiferent pentru bara comprimat, n care, la limit, pot exista sub aciunea forei de compresiune Ncr, dou configuraii de echilibru a barei: poziia iniial dreapt, n absena forei perturbatoare, sau poziia deformat, dup aciunea forei perturbatoare cu intensitate redus. Dac fora de compresiune este mai mare dect valoarea Ncr, bara se deformeaz accentuat la cea mai mic for perturbatoare. Depirea lui Ncr conduce la pierderea stabilitii echilibrului (cedarea elementului prin pierdere de stabilitate, sau cedarea elementului prin flambaj). Situaia N > Ncr corespunde situaiei de echilibru instabil.

4.2. Flambajul prin bifurcarea echilibrului Exemplele intuitive prezentate anterior arat c stabilitatea unui sistem este legat de energia potenial a acestuia. Cu toate acestea, stabilitatea unui sistem elastic (a unui element structural sau a unei structuri) poate fi exprimat si prin conceptul de rigiditate al sistemului. Cu referire la figura 4.1.a, n cazul modelului mecanic, derivata energiei poteniale n raport cu deplasarea este rigiditatea sistemului dat de panta suprafeei. n cazul barei comprimate, rigiditatea sistemului este dat de rigiditatea la ncovoiere a acesteia, care depinde de seciunea transversal, lungimea barei, modulul de elasticitate al materialului din care este alctuit si nu n ultimul rnd de condiiile de rezemare. Toate aceste caracteristici reprezint, n calculul structurilor pentru construcii, parametrii care condiioneaz fenomenul de instabilitate. n consecin, o rigiditate pozitiv a sistemului implic o stare stabil de echilibru, n timp ce n situaia de echilibru indiferent rigiditatea devine nul. Pentru o structur de rezisten, rigiditatea este dat sub forma matriceal (matricea de rigiditate a structurii), care dac este pozitiv definit garanteaz starea de echilibru stabil a structurii. Punctul n care starea unui element sau sistem structural elastic trece din starea de echilibru stabil n cea de echilibru indiferent definete starea limit de stabilitate a elementului sau a structurii. Comportamentul barei ideale comprimate poate fi definit prin caracteristica for de compresiune sgeat la mijlocul barei deformate, aa cum se arat n graficul din figura 4.2 [36]. Punctul critic din acest grafic, corespunztor atingerii forei Ncr, dup care, pentru o for perturbatoare foarte mic deplasrile sistemului devin mari i se produce flambajul barei, se numete punct de bifurcare. Acest tip de pierdere a stabilitii echilibrului unui element structural (sau a unei structuri), n care n punctul de bifurcare sunt posibile dou forme de echilibru, aa cum se arat si n figura 4.2, una descris de caracteristica for-deplasare primar de echilibru (echilibru instabil n configuraia nedeformat), respectiv de caracteristica secundar de echilibru, n configuraia deformat (curba post-critic), se numete pierdere de stabilitate prin bifurcarea echilibrului, sau flambaj prin bifurcare. Dac bara nu este iniial dreapt (exist imperfeciuni, definite printr-o curbur iniial a barei), sgeata crete odat cu ncrcarea N i nu se mai produce o pierdere de stabilitate brusc prin bifurcarea echilibrului. n acest caz exist o cretere continu accentuat a deplasrilor, aa cum se arat n figura 4.3 [36], acest fenomen fiind denumit divergen a echilibrului i, n acest caz, nu mai exist o limit strict de stabilitate.

42

Fig. 4.2. Stabilitatea barei comprimate drepte fr imperfeciuni. Flambaj prin bifurcarea echilibrului

Dac materialul rmne elastic, aa cum s-a presupus iniial, rigiditatea barei comprimate, dat de panta caracteristicii for deplasare, este ntotdeauna pozitiv, dar o cretere mic de for axial implic un spor important de deplasare.

Fig. 4.3. Stabilitatea barei comprimate drepte cu imperfeciuni iniiale [36] Reducerea rigiditii unui element structural se datoreaz n general unor schimbri n geometria acestuia, sau a proprietilor mecanice. Reducerea rigiditii datorit doar modificrii geometriei elementului n cazul elementelor ideale, cu un comportament de material perfect elastic, nu cauzeaz ntotdeauna pierderea de stabilitate, dar conduce la deplasri mari. Pe de alt parte, reduceri substaniale de rigiditate ale elementului pot fi rezultatul schimbrii proprietilor mecanice, care conduc la cedarea elementului. Este de menionat faptul c modelul fizic cel mai apropiat de realitatea fenomenului de instabilitate este cel al divergenei echilibrului, care st la baza calculului de stabilitate al elementelor structurale din oel, n conformitate cu normele de calcul europene. Acest model se aplic la bara real, afectat de imperfeciuni, care pot fi asimilate cu o curbur iniial (figura 4.3.a). Dac n acest model se ine cont i de plasticizarea materialului, odat cu creterea ncrcrii, gradul de plasticizare a celei mai solicitate seciuni transversale (seciunea de la mijlocul barei, pentru modelul de bar dublu-articulat la capete cu curbur iniial, solicitat la compresiune cu ncovoiere), micoreaz gradientul de cretere al momentului ncovoietor, obinut prin reducerea forelor interioare. Astfel, creterea efortului moment ncovoietor ajunge n divergen cu creterea momentului exterior (dat de fora de compresiune prin sgeata barei) i echilibrul devine instabil, producndu-se astfel cedarea barei. n acest modul, se vor prezenta doar aspectele legate de cedarea prin flambaj a elementelor care prezint un comportament al materialului perfect elastic. Dup punctul de bifurcare, definit n Figura 4.2, pentru caracteristica de comportament for deplasare post-critic pot s apar trei situaii, funcie de tipul sistemului structural. n figura 4.4 se prezint curbele de echilibru ale sistemului perfect, respectiv a sistemului cu imperfeciuni pentru cele trei situaii. n aceast figur, N este ncrcarea aplicat, este o deplasare a unui punct din structur si este amplitudinea imperfeciunii.

43

Fig. 4.4. Comportamentul post-critic [36]

n situaia flambajului prin bifurcare simetric stabil (fig. 4.4.a), comportamentul post-critic nu este afectat de semnul imperfeciunilor (spre exemplu, la bara comprimat cu imperfeciuni, nu conteaz sensul curburii iniiale n comportamentul post-critic). Imperfeciunile pozitive sau negative au efect similar si conduc la o curb post-critic stabil, n care creterea deplasrilor se face odat cu creterea ncrcrilor. n situaia flambajului prin bifurcare simetric instabil (fig. 4.4.b), imperfeciunile joac un rol important n modificarea comportrii sistemului structural, acestea introducnd o ncrcare de cedare mai mic dect ncrcarea critic. Acest tip de comportament apare spre exemplu la cilindrul circular comprimat sau la arcul dublu-articulat ncrcat radial. n situaia flambajului prin bifurcare nesimetric (fig. 4.4.c), comportamentul post-critic depinde de sensul imperfeciunilor. Pentru valori mici ale imperfeciunilor negative, curba post-critic este stabil, iar sistemul i poate pierde stabilitatea la o ncrcare limit (ncrcare ultim Nu) mult redus fa de ncrcarea critic Ncr.

4.3. Flambajul prin limitarea echilibrului Flambajul prin bifurcarea echilibrului nu este singura form de instabilitate care poate s apar. Pentru anumite structuri elastice, la care deformata pre-critic cuprinde deformata de instabilitate, flambajul prin limitarea echilibrului apare atunci cnd caracteristica ncrcare-deplasare iniial stabil devine instabil la atingerea unui maxim local al ncrcrii (ncrcarea ultim Nu), denumit punct limit al sistemului structural, figura 4.5. Pentru astfel de sisteme structurale, rspunsul aceluiai sistem cu imperfeciuni este similar cu cel al sistemului perfect, diferena constnd n valoarea ncrcrii ultime a sistemului cu imperfeciuni, care poate fi superioar sau inferioar ncrcrii ultime a sistemului perfect, funcie de sensul imperfeciunilor. Tipic pentru acest mod de pierdere al stabilitii este c, dup atingerea ncrcrii ultime, deplasrile cresc fr creterea suplimentar a ncrcrilor. Exist structuri cu o configuraie similar care i pot pierde stabilitatea n cele dou moduri diferite, respectiv prin bifurcare i prin limitarea echilibrului.

44

Fig. 4.5. Flambaj prin limitarea echilibrului pentru un sistem fr imperfeciuni geometrice, respectiv

pentru un sistem cu imperfeciuni [36]

4.4. Forme de instabilitate a barelor comprimate centric Flambajul barelor zvelte comprimate centric se produce, n general, prin ncovoiere n jurul axei principale minime de inerie a seciunii transversale, sub fora de compresiune critic, Ncr, figura 4.6.a. n cazul barelor cu seciune transversal deschis, dublu-simetric (centrul de tiere coincide cu centrul de greutate), sau chiar cu seciune mono-simetric (T, corniere cu aripi egale), la care rigiditile la ncovoiere n raport cu axele principale sunt apropiate ca valoare, poate s apar flambajul prin rsucire sau torsiune, sub fora de compresiune critic, Ncr,T. Flambajul prin rsucire se produce prin rotirea seciunii transversale n jurul axei longitudinale, figura 4.6.b. Flambajul prin ncovoierersucire, sub fora critic de compresiune, Ncr,TF, apare la barele cu seciune transversal deschis mono-simetric sau cu seciune oarecare, la care centrul de tiere nu coincide cu centrul de greutate i pentru care rigiditatea la ncovoiere n raport cu axa de simetrie are valori apropiate de rigiditatea la ncovoiere n raport cu axa perpendicular pe axa de simetrie. Flambajul prin ncovoiere rsucire se produce prin rotirea seciunii transversale n jurul axei longitudinale, concomitent cu ncovoierea elementului n lungul axei, figura 4.6.c. Pierderea de stabilitate prin ncovoiere rsucire este caracteristic elementelor comprimate cu seciune transversal deschis, cum ar fi spre exemplu corniere, profile U, sau seciuni n T, pentru care rigiditatea la torsiune este redus. Evident, exist ntotdeauna posibilitatea pierderii stabilitii prin ncovoiere n raport cu axa de inerie principal minim i o astfel de verificare trebuie efectuat. Pentru barele comprimate cu seciune I sau H, modul critic de pierdere a stabilitii este, n mod normal, flambajul prin ncovoiere. Totui, n prezena imperfeciunilor, inerente, i aceste bare i pot pierde stabilitatea prin rsucire, prin urmare o verificare din acest punct de vedere este necesar. Doar barele comprimate cu seciuni tubulare, circulare sau rectangulare, pot fi considerate ferite de pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire.

Fig. 4.6. Flambaj prin ncovoiere, rsucire i ncovoiere rsucire pentru bare comprimate centric

45

4.5. Calculul ncrcrii critice de flambaj prin ncovoiere la bare ideale comprimate centric ncrcarea critic elastic de flambaj prin ncovoiere, Ncr (ncrcarea critic Euler), se definete ca fiind valoarea forei de compresiune pentru care, o bar ideal, ncrcat exclusiv cu fora axial, poate s prezinte si deplasri laterale. Flambajul prin ncovoiere a unei bare ideale comprimate centric este ilustrat n figura 4.7. ncrcarea critic corespunde punctului de bifurcare a echilibrului.

Fig. 4.7. Flambajul prin ncovoiere al barei ideale (Euler)

Pentru calculul ncrcrii critice elastice a barei comprimate rezemat articulat la ambele capete, cu seciune transversal constant pe toat lungimea elementului, se consider urmtoarele ipoteze: - materialul are un comportament liniar elastic; - nu exist imperfeciuni geometrice si nici tensiuni reziduale; - ncrcarea se aplic perfect centric; - este valabil teoria micilor deplasri. Pn n momentul atingerii ncrcrii critice elastice de pierdere a stabilitii, bara se deformeaz doar axial. Dup pierderea stabilitii, bara este ncovoiat si apar deplasri laterale. Condiia de echilibru static n poziia deformat, lund n considerare si momentul ncovoietor produs de fora axial (dup axa z) prin deplasrile laterale, este dat de urmtoarea ecuaie:

0Nydx

ydEI 22

z =+ (4.2) n care E este modulul de elasticitate al materialului si Iz este momentul de inerie al seciunii transversale dup axa perpendicular pe planul ncovoierii (dup axa z). Ecuaia diferenial are soluia: )kxcos(C)kxsin(Cy 21 += (4.3) n care: )EI/(Nk z

2 = . Impunnd condiiile de margine (deplasrile laterale sunt nule pe reazeme), rezult: - pentru: y(x = 0) = 0 2C = 0; - pentru: y(x = L) = 0 1C sin (k L) = 0; Soluia 1C = 0 nu intereseaz deoarece nseamn c bara nu se deformeaz, prin urmare rmne rezolvarea ecuaiei sin (k L) = 0. Soluia k = 0 nu intereseaz, deoarece nseamn c N = 0 si nu ar exista fora de compresiune, soluia ecuaiei este, n aceste condiii kL = n. ncrcarea critic de pierdere a stabilitii se obine n consecin din condiia:

46

z

2

222

EIN

LnknkL === (4.3)

ncrcarea critic minim, corespunztoare configuraiei deformate din figura 4.7 este dat de formula (Euler):

2z

2

cr LEIN = (4.4)

n concluzie, pentru o bar ideal, ncrcarea critic elastic de pierdere a stabilitii depinde de rigiditatea la ncovoiere, de lungimea acesteia si de condiiile de rezemare. Pentru alte condiii de rezemare, ca alternativ la rezolvarea ecuaiei difereniale, ncrcarea critic poate fi obinut direct, nlocuind n formul lungimea real L cu lungimea de flambaj Lcr. Lungimea de flambaj Lcr a unui element este definit ca lungimea barei echivalente dublu articulate, pentru care ncrcarea critic este egal cu ncrcarea critic a barei reale. Lungimea de flambaj mai poate fi definit ca fiind distana dintre dou puncte de inflexiune succesive pe deformata de pierdere a stabilitii barei, egal cu lungimea unei semiunde. Aceasta interpretare este ilustrat n figura 4.8, n care sunt artate lungimile de flambaj pentru bara ideal cu diverse condiii de rezemare.

Fig. 4.8. Lungimea de flambaj Lcr funcie de lungimea real a barei, pentru diverse condiii de rezemare

Tensiunea critic se obine mprind ncrcarea critic la aria seciunii transversale a barei:

22

2cr

2

crE

ALEI

== (4.5)

n care: - i/Lcr= - este zvelteea barei; - A/Ii = - este raza de giraie a seciunii. Pentru o bar fr imperfeciuni, cu un material avnd un comportament elasto-plastic (aa cum se poate considera, n mod ideal, pentru oelul obinuit pentru construcii), cedarea se produce prin flambaj n domeniul elastic, dac tensiunea critic este inferioar limitei de curgere fy. Pentru o bar scurt, cu zveltee redus, cedarea se produce prin curgerea seciunii transversale, cnd tensiunea aplicat este egal cu limita de curgere, adic atunci cnd: yfA/N == Limita dintre cele dou tipuri de comportament este dat de o valoare a zvelteii, notat 1, care depinde de limita de curgere a materialului, dat de:

y

1y21

2

cr fEfE ==

= (4.6)

47

Funcie de zvelteea 1 , zvelteea relativ a barei (adimensional) se obine cu formula:

cr

y

1 NAf=

= (4.7) Comportamentul unei bare fr imperfeciuni, solicitat la compresiune, funcie de zvelteea acesteia, este reprezentat n figura 4.9.

Fig. 4.9. Relaia tensiune zveltee pentru bara comprimat fr imperfeciuni

4.6. Efectul imperfeciunilor n structurile reale, imperfeciunile nu pot fi evitate i, n general, cedarea se produce nainte de atingerea valorii ncrcrii critice. Imperfeciunile pot fi clasificate n dou tipuri:

- imperfeciuni geometrice (curburi ale elementelor, excentriciti ale ncrcrilor); - imperfeciuni de material (tensiuni reziduale).

Pentru a determina efectul imperfeciunilor, se consider bara comprimat din figura 4.10.a, avnd o configuraie iniial deformat cu o curbur sinusoidal:

=Lxsiney 00 (4.8)

Fig. 4.10. Bara cu imperfeciune iniial Ecuaia diferenial a echilibrului barei dublu-articulate cu imperfeciuni este:

0)yy(Ndx

ydEI 022

z =++ (4.9)

48

Introducnd expresia (4.8) n ecuaia (4.9) si considernd condiiile de margine y(0)=0 si y(L)=0, se obine urmtoarea soluie:

=Lxsin

1N

Neycr

0 (4.10)

n care Ncr este ncrcarea critic elastic Euler. Ecuaia deformatei totale a elementului se obine funcie de ncrcarea aplicat N cu formula:

=+=Lxsine

NN1

1yyy 0cr

0t (4.11)

Valoarea maxim, notat cu e, care se obine pentru x=L/2, este dat de formula:

cr

0

NN1

ee

= (4.12)

O deformat iniial a barei, chiar pentru valori reduse ale forei axiale N, produce un moment ncovoietor, dat de formula:

=+=Lxsine

NN1

1N)yy(N)x(M 0

cr

0 (4.13)

care cauzeaz o cretere progresiv a deplasrii laterale. Relaia dintre deplasarea lateral maxim si ncrcarea aplicat este reprezentat n figura 4.10.b. Pentru un element cu un comportament de material perfect elastic, cu o configuraie iniial deformat, deplasrile ncep s creasc de la valori reduse ale ncrcrii, n mod asimptotic, pe msur ce ncrcarea aplicat tinde spre ncrcarea critic (pentru bara fr imperfeciuni). n aceast situaie, nu mai exist punct de bifurcare a echilibrului. Referitor la imperfeciunile de material, n cazul elementelor din oel, tensiunile reziduale apar datorit rcirii difereniate pe seciunea transversal, n urma laminrii la cald sau a altor procese tehnologice care implic temperaturi nalte (sudare, tiere cu flacr etc.), sau n urma formrii seciunilor transversale la rece prin ndoire. Aceste tensiuni schimb comportamentul seciunii transversale pe ansamblu, chiar dac formeaz un sistem n echilibru. Tensiunile reziduale n pofilele tubulare depind de modul de fabricare a acestora, precum i de forma seciunii transversale rectangulare sau circulare. n cazul tuburilor laminate la cald, tensiunile reziduale provin din rcirea neuniform a diferitelor pri ale seciunii, la cele de form circular fiind mai reduse n comparaie cu seciunile rectangulare. Tensiunile reziduale n profilele obinute prin deformare plastic la rece sau prin laminare la rece sunt rezultate din deformaiile care depesc limita de elasticitate a oelului. Seciunile obinute prin asamblare sudat, de obicei cu sudur electric automat, rmn ncrcate cu tensiuni reziduale importante n zona cordoanelor de sudur, n figura 4.11 fiind prezentat distribuia acestor tensiuni pentru cteva situaii practice.

Cu toate c tensiunile reziduale interne se afl n echilibru pe ntreaga seciune transversal, aceste tensiuni se suprapun peste tensiunile produse de ncrcrile exterioare, astfel nct anumite pri ale seciunii se afl n zona limitei de curgere a oelului i nu mai contribuie la rigiditatea seciunii, cu consecinele care decurg de aici privind stabilitatea i deformaiile elementului comprimat. n urma numeroaselor ncercri experimentale, s-a constatat faptul c pentru valori reduse ale zvelteii relative, cedarea barei se produce prin plastificarea seciunii transversale (valorile raportului tensiune/limit de curgere mai mari dect unitatea apar datorit ecruisrii). Pentru valori mari ale zvelteii relative, cedarea se produce prin flambaj n domeniul elastic, imperfeciunile neavnd o influen important. Pentru valori intermediare ale zvelteii relative,

49

cedarea se produce prin flambaj elasto-plastic. Acesta este domeniul n care imperfeciunile joac un rol important, n care rezultatele experimentale deviaz mult de la curba teoretic.

Fig. 4.11. Tensiuni reziduale

Calculul rezistenei barelor comprimate centric n SR EN 1993-1-1, se bazeaz pe curbele europene de flambaj (ECCS, 1977), care relaioneaz raportul tensiune / limita de curgere (dat de factorul de reducere yf/= ) i zvelteea adimensional . Ca rezultat al unui important program experimental i numeric (ECCS, 1976), care a considerat toate imperfeciunile posibile ale elementelor reale (curbura iniial, excentricitate a ncrcrii, tensiuni reziduale), au fost stabilite cinci curbe de flambaj, funcie de tipul seciunii transversale i axa principal a seciunii transversale dup care se produce flambajul. Imperfeciunile au fost definite statistic n urma unei campanii extinse de msurtori care a permis adoptarea unor imperfeciuni iniiale sinusoidale n simulrile numerice. Formularea analitic a curbelor de flambaj (determinarea factorului de reducere ), prezentat n continuare, a fost realizat de ctre Maquoi si Rondal (1978), fiind bazat pe formula Ayrton-Perry, considernd o deformat iniial sinusoidal, n care amplitudinea deformatei a fost calibrat astfel nct s reproduc efectul tuturor imperfeciunilor. Pentru a calcula factorul de reducere , se consider elementul comprimat centric, dubluarticulat, cu o configuraie a deformatei iniiale sinusoidal, dat de formula (4.8). Considernd c elementul nu are tensiuni reziduale, plastificarea fibrelor extreme ale seciunii transversale se produce cnd este ndeplinit condiia:

yel

maxmax fW

eNA

N =+ (4.14) n care: - Nmax - este valoarea maxim a forei de compresiune N (limitat de Ncr); - e - este deplasarea lateral corespunztoare forei Nmax; - Wel - este modulul de rezisten elastic al seciunii transversale.

50

Relaia poate fi scris ntr-o forma adimensional nlocuind amplitudinea deformatei cu formula (4.12) si mprind toi termenii la fy:

1N

NN

NN1W

AeNN

N

plcr

pl

pl

maxel

0max

pl

max =

+ (4.15)

Dac se noteaz plmax N/N= se obine: 1

WAe

10

2=

+ (4.16.a)

sau: ==

W

Ae1)1( 02

(4.16.b)

care reprezint forma de baz a ecuaiei Ayrton-Perry (Maquoi si Rondal, 1978). Notaia reprezint imperfeciunea generalizat iniial care poate fi utilizat pentru estimarea efectelor tuturor imperfeciunilor care apar ntr-un element real. Deoarece influena unora dintre aceste imperfeciuni este legat de lungimea elementului, s-a ales exprimarea termenului prin urmtoarea formul:

WAe)2.0( 0== (4.17)

Dac bara comprimat este proiectat utiliznd o analiz elastic, excentricitatea iniial, ca imperfeciune geometric, 0e ,este urmtoarea:

=

elasticdomeniulinlucreazatiuneasecdacaA

W)2.0(

plasticdomeniulinlucreazatiuneasecdacaA

W)2.0(

eel

pl

0

Dac bara comprimat este proiectat printr-o analiz elasto-plastic, valorile imperfeciunii geometrice 0e sunt funcie de lungimea de flambaj i sunt date n tabelul 4.1. Tabelul 4.1

Imperfeciunea geometric 0e Curba de flambaj

Factor de imperfeciune

Elasto-plastic Plastic a 0.21 L/600 L/400 b 0.34 L/380 L/250 c 0.49 L/270 L/200 d 0.76 L/180 L/150

Factorul de imperfeciune , introdus n relaie, depinde de forma seciunii transversale, axa principal dup care se produce flambajul etc., iar 0.2 definete lungimea intervalului n lungul cruia factorul de reducere are valoare unitar. Formula (4.16.b) poate fi scris sub forma

)2.0(1)1(2 =

(4.18) Soluia minim a ecuaiei este:

2

22

= (4.19)

n care: ( ) ++= 22.015.0

51

Expresia final a factorului de reducere, care ine cont de riscul de pierdere al stabilitii elementului comprimat prin ncovoiere, aa cum se regsete si n SR EN 1993-1-1, este (funcie de zvelteea adimensional si de factorul de imperfeciune):

22

1

+= (4.20)

4.7. Efectul deformaiei din forfecare asupra forei elastice critice Pentru cazul barei articulate, solicitat la eforturile M, N i V, figura 4.12, se pot scrie

urmtoarele relaii:

Fig. 4.12

yNM = (4.21.a)

dxdyN

dxdMV == (4.21.b)

Deformaia total a axei barei este dat de suma a dou componente: 21 yyy += (4.22) unde: 1y - deformaia produs de M; 2y - deformaia produs de V.

Ecuaia diferenial de echilibru este:

EINy

EIM

dxyd21

2== (4.23)

Panta din lunecarea produs de V este:

dxdy

GAN

GAV

dxdy2 == (4.24)

- - factor de form a seciunii transversale a barei (=1.11- seciuni circulare pline; =1.2 - seciuni rectangulare). Curbura din lunecarea produs de fora tietoare este dat de ecuaia diferenial:

22

22

2

dxyd

GAN

dxdV

GAdxyd == (4.25)

Curbura total a axei barei deformate este obinut din nsumarea efectului M i cel al V:

22

22

2

21

2

2

2

dxyd

GAN

EIN

dxyd

dxyd

dxyd +=+= (4.26)

52

Ecuaia (4.26) se poate pune sub forma:

0yEI

GAN1

Ndx

yd2

2=

+ (4.27)

Adoptnd aceeai metodologie cu cea utilizat pentru determinarea forei critice Euler se pune condiia:

22

LEIGAN1

N =

(4.28)

Rezolvnd ecuaia n N, se obine expresia pentru fora critic elastic:

cr

v

crv.cr N

SN

1

1N+

= (4.29)

unde:

- 22

cr LEIN = - fora critic Euler, fr considerarea efectului

deformaiilor produse de fora tietoare;

- =GASv - reprezint rigiditatea la forfecare a barei.

Evident faptul c crv.cr NN < ; cu ct este mai mare raportul vcr S/N , cu att este mai mic raportul crv.cr N/N . Raportul crv.cr N/N este reprezentat grafic n figura 4.13, funcie de raportul

vcr S/N .

Fig. 4.13

n cazul seciunilor unitare (compacte), rigiditatea la forfecare vS este mare n raport cu N, iar diferena ntre v.crN i crN este foarte mic, prin urmare pentru cazurile obinuite de proiectare cele dou fore critice se pot considera egale.

53

5. BARE CU SECIUNE UNITAR. FORE CRITICE DE FLAMBAJ

5.1. Flambajul prin ncovoiere, rsucire i ncovoierersucire 5.1.1. Bare cu perei subiri (BPS) profil deschis Barele cu perei subiri solicitate la compresiune centric pot s-i piard stabilitatea prin flambaj cuplat ncovoiere-rsucire, ndeosebi barele comprimate cu seciune deschis. V.Z. Vlasov (1940) sistematizeaz transcrierea matematic a fenomenului de flambaj prin ncovoiere - rsucire utiliznd noiunile din teoria elasticitii, iar ulterior I.N. Goodier (1941) aduce simplificri calculului alegnd origine centrul de rsucire al seciunii transversale a BPS. Ipotezele de calcul considerate de Goodier au fost urmtoarele:

ipoteza nedeformabilitii seciunii transversale a BPS; seciunea transversal a BPS este constant pe lungime; fora de compresiune aplicat centric are caracter static; se neglijeaz efectul deformaiilor specifice liniare din aciunea forei axiale i efectul

deformaiilor specifice unghiulare din rsucirea mpiedicat, astfel nct poziia centrului de rsucire poate fi considerat ca o proprietate geometric a seciunii barei;

deformaiile sunt mici n raport cu dimensiunile seciunii transversale a barei; materialul este omogen, izotrop i respect legea lui Hooke; bara este lipsit de imperfeciuni geometrice i structurale. Ecuaiile difereniale n u, v i care permit determinarea sarcinii critice crN , n cazul

flambajului prin ncovoiere-rsucire sunt:

0zNuNdx

udEI c22

z =++ (5.1.a)

0yNvNdx

vdEI c22

y =+ (5.1.b)

0dx

udzdx

vdyNdxdN

AI

GIdxdEI 2

2

c2

2

c2

20

t4

4=

(5.1.c)

unde (fig. 5.1): u, v - deplasrile centrului de ncovoiere rsucire; - unghiul de rsucire al seciunii transversale a BPS profil deschis; 0I - momentul de inerie polar n raport cu centrul de rsucire C :

( ) AizyAIII 202c2czy0 =+++= Observaie: n anumite materiale se folosesc notaiile: Ic pentru I0 ; ic pentru i0 ; scsc zz;yy == . n cazul particular al BPS profil deschis a crei seciune transversal are dou axe de simetrie (G=C, respectiv 0zy cc == ), cele trei ecuaii difereniale (5.1.a, b, c) se simplific sub forma:

54

Fig. 5.1

=

=+

=+

0dxdN

AI

GIdxdEI

0vNdx

vdEI

0uNdx

udEI

2

20

t4

4

2

2

y

2

2

z

(5.2.a,b,c)

Primele dou ecuaii (5.2.a i 5.2.b) conduc la determinarea forelor critice Euler, fa de cele dou plane principale de inerie:

2fy

y2

y.cr l

EIN

= ; 2fz

z2

z.cr lEIN = (5.3.a, b)

Observaie: Se mai folosesc notaiile: fyy.cr lpentruL ; fzz.cr lpentruL

Cu nlocuirea AiI 200 = , ecuaia (5.2.c) devine: ( ) 0

dxdiNGI

EI1

dxd

2

220t4

4=

(5.4)

Soluia acestei ecuaii este de forma:

=

flxsinC (5.5)

unde: fl - lungimea de flambaj a barei pentru flambajul prin rsucire. nlocuind soluia (5.5) n ecuaia (5.4) se obine sarcina critic N :

+= t2

f

2

20

GIEI

i1NA

(5.6)

Fora critic N este fora critic de pierdere a stabilitii prin rsucire (torsiune) i se noteaz n normele Eurocod cu simbolul T.crN . Fora critic T.crN se poate pune sub forma utilizat n euronorme:

+== 2

T.cr

2

t0

gT.cr

LEI

GIIA

NN (5.7)

Analog expresiei lungimii de flambaj a barei n cazul flambajului prin ncovoiere ( llf = ), lungimea de flambaj n cazul flambajului prin rsucire al BPS poate fi scris sub forma: A= fl (5.8.a) sau:

LkL wT.cr = (notaia euronorme) (5.8.b) unde: (sau kw) - coeficient care ine seama de influena legturilor la rsucire a capetelor barei, tabelul 5.1.

55

Tabelul 5.1 Nr. Legturile barei la capete (sau kw) 1 Reazeme articulate de tip furc, cu posibiliti de deplanare la capete 1 2 Bar ncastrat la capete 0.5

Bara i pierde stabilitatea prin rsucire dac:

y.crT.cr NNN

56

Tabelul 5.2 N 0 y.crN z.crN N > z.crN

( )Nf + +

Ecuaia ( ) 0Nf = are trei rdcini reale pozitive i se poate demonstra c n toate cazurile una din rdcini este mai mic dect ( )N;N;Nmin z.cry.cr , iar alta este mai mare dect ( )N;N;Nmax z.cry.cr .

Fig. 5.2

n cazul barei a crei seciune are o singur ax de simetrie (axa y-y), figura 5.2, determinantul nul (5.12) devine:

( ) 0NNiyNyNNN

20c

cy.cr =

(5.14)

Se obine ecuaia de gradul 2 n N: ( ) ( ) 0yNNNNNi 2c2y.cr20 = (5.15)

Rezult fora critic pentru flambajul prin ncovoiere-rsucire:

++++== T.cry.cr0

zy2T.cry.crT.cry.cr

zy

0TF.crmin NNI

)II(4)NN()NN(

)II(2I

NN (5.16)

unde: = NN T.cr

+= 2

T.cr

2

t0

g

LEI

GIIA

; axa y-y - axa de simetrie

g20

2cgzy0 AiyAIII =++= ; Ag aria brut a seciunii

n cazul seciunilor dublu T, sistemul de axe care se adopt este cel prezentat n figurile 5.3 i 5.4 (axa z-z axa de simetrie), iar fora de compresiune critic pentru flambajul prin rsucire sau prin ncovoiere-rsucire este:

( ) ( )

++++=

+=

=

T.crz.cr0

zy2T.crz.crT.crz.cr

zy

0TF.cr

2T.cr

2

t0

gT.cr

cr

NNI

II4)NN()NN(

II2I

N

rasucireprinflambajL

EIGI

IA

N

.minN (5.17)

Pentru seciunile dublu simetrice, figura 5.3, avem egalitatea: == NNN TF.crT.cr unde: = NN T.cr

+= 2

T.cr

2

t0

g

LEI

GIIA

; axa z-z - axa minim de simetrie ;

g20zy

2cgzy0 AiIIzAIII =+=++= ; Ag aria brut a seciunii; 0zc =

57

Fig. 5.3

Fig. 5.4

Observaie: Este utilizat de asemenea notaia wI pentru I - momentul de inerie sectorial. Centrul de ncovoiere-rsucire C este notat cu S (shear) n euronorme ( scsc zz;yy == ).

Efortul unitar critic la care se produce pierderea stabilitii barei prin rsucire sau prin ncovoiere-rsucire este: [ ]TFTk ;min = (5.18)

unde: g

T.crT A

N= ; g

TF.crTF A

N= (5.19) 5.1.2. Bare cu perei subiri (BPS) profil nchis

Pentru BPS profil nchis avnd o ax de simetrie (axa z-z), figura 5.5, ecuaia diferenial a

ncovoierii pstreaz aceiai form cu cea pentru BPS cu seciunea deschis, dar se modific ecuaia diferenial a rsucirii mpiedicate.

Fig. 5.5. BPS seciune

nchis

n cazul BPS contur nchis o singur dat, sistemul de

ecuaii difereniale, servind determinrii sarcinii critice Ncr devine:

=+=+

0C)NN(i CzN 0CzN C)NN(

22d1c

2c1z.cr (5.20)

unde N este sarcina critic corespunztoare flambajului prin rsucire a BPS seciune nchis o singur dat (simplu conex) i se calculeaz cu relaia:

+

+=

2

2

d

2d

r2

2

I GI E

i

I GEI

N

A

A (5.21)

este coeficientul strmbrii liniei mediane, dat de relaia lui Ebner:

d

rII1= ;

AI

i d2d =

58

Pentru ca C1 i C2 s admit i alte soluii dect soluia banal trebuie ca determinantul sistemului 5.20 s se anuleze:

( ) 0NNizN zNNN 2dc cz.cr =

(5.22)

sau: ( ) ( ) 0zNNNNNi 2c2z.cr2d = (5.23) Din aceast ecuaie se determin valorile N1 i N2, respectiv [ ]21cr N;NminN = , reprezentnd sarcina critic pentru flambajul prin ncovoiere rsucire a BPS profil nchis, la care seciunea transversal are o ax de simetrie (axa z-z). Datorit rigiditii mari la rsucire, barele cu perei subiri de seciune nchis sunt mai puin susceptibile de a-i pierde stabilitatea prin ncovoiere rsucire, de cele mai multe ori fenomenul flambajului prin ncovoiere este cel determinant.

5.2. Rezistena elementelor comprimate cu seciune unitar (compact) conform EC 3

5.2.1. Rezistena seciunii transversale

Valoarea de calcul a forei de compresiune, EdN , trebuie s satisfac pentru fiecare

seciune transversal condiia:

0.1NN

Rd.c

Ed (5.24) Rezistena de calcul la compresiune axial a unei seciuni transversale uniforme, Rd.cN , se determin astfel:

=

italimtensiunipentruA

4clasaletransversatiunisecfA

3,2,1claseleletransversatiunisecfA

N

0M

lim

0M

yeff

0M

y

Rd.c (5.25)

Tensiunea limit a celei mai slabe pri a seciunii transversale se determin cu relaia:

0M

yxlim

f= (5.26)

unde: x - factor de reducere care depinde de zvelteea plcilor componente, p , pentru a lua n considerare fenomenul de voalare (se va trata la stabilitatea plcilor).

n cazul seciunilor nesimetrice de Clasa 4 se va ine seama de momentul ncovoietor

suplimentar EdM datorat excentricitii axei centrului de greutate al seciunii efective (active), figura 5.6, unde valoarea momentului ncovoietor adiional este:

NEdEd eNM = (5.27) Pentru elementele structurale solicitate la compresiune axial nu este nevoie s se in

seama de slbirile produse de gurile pentru mijloacele de mbinare (nituri, uruburi), cu excepia gurilor sau degajrilor de dimensiuni mari.

59

Fig. 5.6

5.2.2. Rezistena la flambaj

Verificarea la flambaj a unui element comprimat axial, cu seciune uniform, se face cu

relaia:

0.1NN

Rd.b

Ed (5.28) ntr-un calcul exact, n cazul seciunilor nesimetrice de Clasa 4, se va ine seama de

momentul ncovoietor suplimentar EdM , rezultat din modificarea centrului de greutate a seciunii eficace fa de seciunea brut.

Rezistena de calcul (capacitatea portant sau efortul capabil) la flambaj a unui element comprimat este dat de relaia:

=4Clasatiunisec

fA

3sau2,1ClasatiunisecfA

N

1M

yeff

1M

y

Rd.b (5.29)

Pentru elemente cu seciune transversal constant (elemente uniforme), solicitate la compresiune axial constant, valoarea coeficientului de reducere se determin n funcie de coeficientul de zveltee redus , cu relaia:

22

1

+= ; 1 (5.30)

n care:

( ) ++= 22,015,0 ; - factor de imperfeciune, tabelul 5.3.

=

cr

yeff

cr

y

NfA

NfA

(5.31)

Tabelul 5.3

Curba de flambaj a0 a b c d

Factor de imperfeciune 0.13 0,21 0,34 0,49 0,76

- seciuni Clase1, 2 i 3

- seciuni Clasa 4

60

n figura 5.7 este prezentat graficul , corespunztor curbelor de flambaj, iar n tabelul 5.4 se prezint ncadrarea seciunilor transversale n curbele de flambaj.

n tabelul 5.5 se prezint valoarea coeficienilor de reducere pentru curbele de flambaj.

Pentru zveltee 04.0NN

pentrusau2.0cr

Ed efectul flambajului poate fi neglijat.

Fig. 5.7

Flambajul prin ncovoiere

n cazul flambajului prin ncovoiere, coeficientul de zveltee redus devine:

=

=

=

1

eff

cr

cr

yeff

1

cr

cr

y

AA

iL

NfA

1i

LN

fA

(5.32)

unde: - Lcr lungimea de flambaj n planul de flambaj considerat; - i - raza de giraie a seciunii n raport cu axa considerat, calculat cu aria

brut;

- == 9.93fEy

1 ; yf

235=

Cu notaia:

=

4ClasaA/A3,2,1Clase1

effA , se poate pune sub forma:

Acr

y

cr

yA

NfA

NfA == ; (A=Ag) (5.33.a)

unde:

- Clase seciuni 1, 2 i 3

- seciune Clasa 4

61

-

===== 2

zf

z2

z.ez.cr2yf

y2

y.ey.crcrIENN ;

IENNminN

AA

- y.ey.cr NN = - fora critic elastic (Euler) n raport cu axa y-y; - z.ez.cr NN = - fora critic elastic (Euler) n raport cu axa z-z.

sau: Ak

y

cr

yA fN

fA == (5.33.b)

unde:

====A

N;

AN

min z.ez.ey.e

y.ecrk ; A = Ag aria brut (gross area).

Tabelul 5.4

62

Tabelul 5.5

63

Flambajul prin rsucire sau prin ncovoiere rsucire n acest caz coeficientul de zveltee redus = T se calculeaz cu relaia:

Ak

y

cr

yAT

fN

fA == ; (A=Ag)) (5.34)

unde: A

Ncrcrk ==

crN se determin corespunztor flambajului prin rsucire pur sau prin ncovoiere-rsucire.

Pentru seciuni monosimetrice se va lua: [ ]TF.crT.crcr N;NminN = (5.35.a) respectiv: [ ]TFTk ;min = (5.35.b) Pentru seciuni monosimetrice (z-z axa de simetrie) se utilizeaz relaia (5.17) pentru

determinarea forei critice:

( ) ( )

++++=

+=

=

T.crz.cr0

zy2T.crz.crT.crz.cr

zy

0TF.cr

2T.cr

2

t0

gT.cr

cr

NNI

II4)NN()NN(

II2I

N

rasucireprinflambajL

EIGI

IA

N

.minN

g20

2cgzy0 AizAIII =++= ; Ag aria brut a seciunii.

Pentru seciunile dublu simetrice, avem egalitatea: == NNN TF.crT.cr unde: = NN T.cr

+= 2

T.cr

2

t0

g

LEI

GIIA

Pentru seciuni fr simetrie, Ncr se obine din ecuaia (5.13): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0NNyNNNzNNNNNNNiNf z.cr2c2y.cr2c2z.cry.cr20 ==

5.2.3. Verificarea condiiei de rigiditate Satisfacerea condiiei de rigiditate const n verificarea inegalitii: a (5.36) unde, pentru barele cu seciune unitar: ( )zy ;max =

a - coeficientul de zveltee admisibil al barei comprimate, dat n funcie de felul elementului verificat, tabelul 5.6 (literatura tehnic romn).

64

Tabelul 5.6 Element a 1 - Tlpi comprimate - Diagonalele finale ale grinzilor fr montani finali 100

2 - Diagonale i montani 120

5.3. Observaii sintetice

Problema pierderii stabilitii barelor comprimate prin fenomenul de flambaj prin ncovoiere rsucire simultan este complex i implic un volum de calcul mai ridicat, comparativ cu verificarea la flambaj prin ncovoiere simpl.

n calcule intervin caracteristicile geometrico sectoriale ale seciunii, care se determin prin stabilirea n prealabil a centrului de ncovoiere rsucire i trasarea diagramelor coordonatelor sectoriale sau . La BPS profil deschis, pierderea stabilitii generale se poate produce prin ncovoierersucire, n cazul n care forele critice corespunztoare acestui mod sunt inferioare valoric celor corespunztoare forelor critice Euler. n cazul seciunilor nesimetrice, fora critic de pierdere a stabilitii este inferioar valorilor Ncr.y ; Ncr.z ; N, adic Ncr < min [Ncr.y ; Ncr.z ; N], astfel nct pierderea stabilitii se produce ntotdeauna prin fenomenul de ncovoiere rsucire simultan. Dac seciunea transversal a barei este alctuit din segmente concurente (seciuni n cruce, T, L etc.), centrul de ncovoiere rsucire C(S) se afl la intersecia axelor mediane ale acestora, iar momentul de inerie sectorial este nul, 0I = (dac se neglijeaz grosimea pereilor). n acest caz fora critic de pierdere a stabilitii poate avea valoare foarte mic i n consecin efortul capabil al barelor comprimate, cu astfel de seciuni, este foarte redus. n cazul BPS profil nchis (cheson), datorit valorii mari a forei critice N , pierderea stabilitii barei comprimate se produce n general prin ncovoiere, ns se recomand ca, i n acest caz, s se efectueze verificarea la pierderea stabilitii prin ncovoiere rsucire, innd seama de condiiile reale de rezemare la capete a barei. Evaluarea capacitii portante la compresiune centric a barei n conformitate cu EC 3 se face innd seama de seciunea eficace a barei i ntr-o evaluare mai ex