Curs 1 REZISTENTA SI STABILITATEA ELEMENTELOR STRUCTURILOR DIN OTEL Rezistenta elementelor structurale din otel o Calcul la nivelul sec iunii elementelor structurale (rezistenta sec iunilor) Stabilitatea elementelor structurale din otel o Rezistenta sectiunii+efectul rigiditatii elementelor structurale (L,A,I,E) (Rezistenta elemetelor structurale) Comportarea si calculul elementelor structurale din otel in domeniul post-elastic (elasto-plastic) Solicitarea la oboseala a elementelor structurale din otel. Probleme specifice comportrii si calculului elementelor din otel cu pere i sub iri formate la rece.

Bibliografie: Eurocode 3, Partile: o 1.1 (EN 1993-1-1) Elemente generale o 1.3 (EN 1993-1-3) Elemente din otel cu pere i sub iri formate la rece o 1.5 (EN 1993-1-5) Placi plane ncrcate in planul lor o 1.8 (EN 1993-1-8) mbinri o 1.9 (EN 1993-1-9) Calculul la oboseala Construc ii cu structura metalica (C.DALBAN) EDP, Bucureti 1997 Calculul structurilor metalice Eurocode 3 : Exemple de calcul (D.Dubina, J. Rondal, I.Vayas) 1997 Calculul si proiectarea constructiilor din profile metalice din profile metalice cu pereti subtiri formate la rece(D.Dubina, V.Ungureanu ) Vol.I, Colectia LINDAB, 2004.

1

REZISTENTA ELEMENTELOR STRUCTURALE DIN OTELBare Fire Placi Compunere solidarizare Grinzi si stalpi cu zabrele Grinzi si stalpi cu inima plina Cadre Arce Structuri din placi plane si curbe

Calculul de rezistenta si stabilitate a structurilor din bare depinde de clasa sectiunilor:1,2,3,4

Clasa 1 : plastica, cu capacitatea de rotire plastica pentru a forma articulatii plastice. Clasa 2 : plastica, fara capacitate de rotire plastica suficienta. Clasa 3 : elastica elastica cu sctiune redusa (efectiva sau eficace) Clasa 4 :

Valorile de calcul a rezistetelor depind de clasa sectiunilor:

2

3

4

5

BARE SOLICITATE LA EFORTURI AXIALE Calculul de rezistentaSolicitarea se aplica centric Intindere Compresiune grinzi cu zabrele (prinse articulat in noduri si cu forte aplicate in noduri) structuri din bare articulate

Sectiuni simple (laminate sau sudate)

compuse

6

7

SOLIDARIZAREA BARELOR CU SECTIUNE COMPUSA DIN ELEMENTE APROPIATECorniere alaturate:

Distante intre solidarizari: l1 40 50i1 compresiune l1 80i1 intindere Corniere in fluture Fururi

Profile U alaturate

8

SECTIUNEA NETASectiunea neta se obtine scotand din sectiunea bruta slabirile produse de gaurile suruburilor sau alte goluri. Probleme apar la barele intinse.t

d

pt

p d

b

s

s

sAnet = Abr - 2(dt) 2(dt) = slabirea

b

2

1 p

s

s

s

Anet,1 = Abr,1 (dt) Anet,2 = Abr,2 2(dt)

Anet ,2 = [2(b p / 2) + p 2 + s 2 ]t 2dtCalculul se va face pentru aria neta minima.

BARE INTINSEVerificareN Ed 1.0 N t , Rd

(1)

: Forta capabila (rezistenta de calcul) a barei solicitatela intindere(tractiune), care in cazul in care exista slabiri se calculeaza cu sectiunea neta. Pentru sectiuni cu slabiri : Nt , Rd = min( N pl , Rd , N u , Rd ) (2) (in sectiunea bruta) N pl , Rd =

N Ed Nt , Rd

: Valoarea de calcul a efortului (fortei) de intindere din actiuni.

A fy

M

(3); M 0 = 1.0 0.9 Anet f u

0

(in dreptul gaurilor de fixare) Nu , Rd =

M

(4); M 2 = 1.25

2

9

Pentru imbinari de categoria C (EN 1993-1.8) rezistente la lunecare la stare limita ultima: A f Nu , Rd = N net , Rd = net u (5)

M

0

Dimensionare:N Ed N t , Rd =

1

M1

fy A0

(6)

sauN Ed N t , Rd =

M

f u Anet2

(7)

din (6), spre exemplu =>

Anec sau din (7):

M

0

fy

N Ed

(8)

2 (9) N Ed fu In principiu dimensionarea se face cu (8) si apoi daca este cazul se face verificarea in sectiune neta.

Anet ,nec

M

BARE COMPRIMATE(verificare de rezistenta) Verificare:

N Ed 1.0 N c , RdN c , Rd = N c , Rd =A fy

(10) , ptr. sectiuni de clasa 1, 2 si 3. , ptr. sectiuni de clasa 4 . (12) (11)

M

0

Aeff f y

M

0

unde Aeff este aria sectiunii efective sau eficacecalculata cu latimea eficace.

b

"b"

a)

t

"a"

b

t

b)

10

SECTIUNEA EFECTIVA SAU EFICACE LA BARE COMPRIMATE

ppcr(x)

p>pcrbeff/2

(x)beff/2

b

< crP = p b = t ( x )dx (t beff ) fy0 b

.. cr < max < f y .. cr < max = f y (12)

Aeff (t beff )

beff = b

(13)

=

p 0.22 p2fy

(14) (15)

p =

cr

=2

b/t 28.4 k

cr =

k 2 E t 12(1 2 ) b k : coeficientul de valoare

p : zveltetea relative sau :redusa a placii.

11

LATIMEA EFECTIVA: Coeficientul de valoare

b

k = 0.425

b

k = 1.28

b

k = 4

b

k k = 6.97

Observatie: In cazul variatiei liniare (gradient) ( x ) pe sectiune, valorile k , respectiv se modifica. Sectiuni efective (compresiune centrica)

eficace

La sectiunile monosimetrice, pozitia centrului de greutate al sectiunii effective poate fi diferit de cel al sectiunii brute.

12

BARE COMPRIMATEDimensionare: ex. dim (11)

Anec

M

0

fy

N Ed

GRINZI CU ZABRELEAlcatuirea grinzilor cu zabrele:

13

Recomandari pentru alcatuire:

hr = inaltimea la reazem hr =(1/15....1/17)l hr =(1/13....1/17)l

pentru prindere articulata. pentru prindere rigida.

Elemente componente ale sectiunilor:

14

Nod cu suruburi :

Nod sudat:

15

16

Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului. o Instabilitate prin divergenta echilibrului. INSTABILITATE PRIN BIFURCAREA ECHILIBRULUI - PRINCIPIUL -

PPcr

cedare

echilibru stabil

echilibru indiferent

echilibru instabil

1

PROBLEMA FLAMBAJULUI : ISTORIC

2

BIFURCAREA ECHILIBRULUI(flambaj prin incovoiere)

Pu x y f x=l/2

Y

l

R= PXM ( x ) = Pxd2y P + ky = 0; k 2 = 2 dx EI y = c1 sin kx + c2 cos kx

1) x=0 2) x=l

y=0 = > c2 = 0 = > y=0 = > c1 sin kl = 0 a) c1 = 0 = > bara nu se deformeaza (contradictie) b) k = 0 = > P = 0 (nu este conform cu realitatea) c) sin kl = 0 = > kl = , 2 ,...... n

=>

Pcr =

2 E Il2(Euler 1759)

3

BIFURCAREA ECHILIBRULUICazuri Fundamentale

Pcr =

2 E Ilf 2

l f = lungime de flambaj = distanta dintre 2 pcte. de inflexiune consecutive a deformatei

barei. lf = l Exista 5 cazuri fundamentale de flambaj:

Deformata barei

Ecuatia caracteristica For a critic Lungimea de flambaj Coeficientul lungimii de flambaj

sin kl = 0

cos kl = 0

tgkl kl = 0

sin kl = 0

cos kl 1 = 0

2 EIl2 l1

2 EI4l 2 2l2

20,19EI l2 0,7l0,7

2 EIl2 l1

4 2 EI l2 0,5l0,5

4

BIFURCAREA ECHILIBRULUIFlambaj prin incovoiere bara perfecta

P Pcr

A

P PcrA

uBara imperfecta

f

Pu0

Procesul de deformare este continuu

f0

Cedarea are loc prin limitarea echilibrului

P

P Pcr

P Pcr

u0,1 u0,2

u

f 0,1 f 0,2

f

5

BIFURCAREA ECHILIBRULUIFlambaj prin incovoiere

Pcr , y =

2 E Iyl fy 2

; ;

l fy = y l

Y

Pcr , z =

2 E Izl fz 2

l fz = z l

Pcr = min( Pcr , y ; Pcr , z )

Z

Rigiditatea E I depinde de geometria sectiunii (Iy,Iz). Lungimea de flambaj depinde prin de conditiile de rezemare.

Pcr =

2 E Ilf 2

cr =

2E 2E Pcr = = 2 2 A lf i

cr =

2E 2 2E y 2

;

=

lf i

= coefficient de zveltete

cr , y =

; cr , z =

2E ; cr = min( cr , y ; cr , z ) z 2;

y =

l fy iy

z =

l fz iz

Valoarea maxima a zveltetei se limiteaza prin norme sau rezulta din analiza.!

N cr = N=

2 E Ilf 2

/: N pl = A f y

N cr 2E I 2 E = 2 = 2 N pl l f A f y f y

1 = N

E fy

1 N N = cr = 1 = ; N pl

2

2

=

1

: forta de flambaj normalizata sau adimensionala. : zveltetea normalizata sau adimensionala sau redusa a barei. : zveltetea barei ideale pentru care Ncr = Npl

1

2E = fy 12

6

N N=Npl

INSTABILITATE

Npl=Ncr1

N=

12

(Euler)

STABILITATE

0

0.5

1.0

1.5

2.0

S235

S275 86

S355 76

1

94

7

DIVERGENTA ECHILIBRULUI

Bara este imperfecta Materialul se comporta elasto-plastic. o = > procesul de deformare se initiaza din momentul aplicarii fortei, cedarea are loc in momentul plasticizarii totale a sectiunii, adica prin formarea unei articulatii plastice.

Capacitatea portanta a barei (momentul incovoietor capabil sau rezistent) ajunge in divergenta cu solicitarea (momentul fortelor exterioare) care tinde sa creasca in situatia in care bara si-a atins capacitatea portanta limita. = > M=Mpl Modelul de instabilitate prin divergenta echilibrului este la bara curbelor de flambaj europene.

8

BAZELE TEORETICE ALE CURBELOR EUROPENE DE FLAMBAJ* Flambajul este tratat ca o problema de ordinul II, avand la baza modelul fizic de divergenta a echilibrului.

NEdx v0(x) e0,d v (x) vmax

Y,v L/2 L

v0 ( x ) = e0, d sin

xl

(1) (2) (3) (4)

L ) = e0,d 2 x v ( x ) = A sin L L vmax = v ( x = ) = A 2v0,max ( x =

d 2 v ( x ) N Ed + (v0 ( x ) + v ( x )) = 0 dx 2 E I N Ed e0, d (1),(3) => (5) = > A = N Cr N Ed

(5) (6)

NEdX,u(6) => (4) => vmax =

N cr =(7)

2 E IL2

N Ed e0,d N Cr N Ed N Ed e0,d N Cr N Ede0, d(8)

vtot = vmax + e0, d = vtot =

1 1 N Ed / N Cr

Bara este solicitata la compresiune axiala, N Ed , si momentul incovoietor de ordinal II,II M Ed = N Ed vtot

(9)

La mijlocul barei,

1 II M Ed ,max = N Ed e0, d 1 N Ed / N Cr II Relatia de interactiune N Ed M Ed pentru verificare este:II N Ed M Ed ,max + 1 N Rd M Rd

(10)

(11)

Forta N Ed poate creste pana la colaps (flambaj) = >

N Ed = N b , Rd = N Rd= > coeficientul de reducere la flambaj:

(12)

9

=

N b , Rd N Rd

(1 )(1 2 ) = e0,d

A = Wel

(13)

=

N pl N cr A - imperfectiunea generalizata Wel(15) (14)

= e0,d

=> prin calibrare experimentala: = ( 0.2) este factorul de imperfectiune

10

11

12

13

14

15

Curs 3 FLAMBAJUL BARELOR COMPRIMATE : INFLUENTA CONDITIILOR DE REZEMARE Cazurile fundamentale de flambaj au in general un caracter teoretic, intalninduse arareori in practica. Conditiile reale de rezemare sau legare in structuri a barelor comprimate difera de cele mai multe ori de cazurile fundamentale. Conditiile reale de rezemare se incadreaza de regula intre cazurile teoretice fundamentale. Rotire

K

Translatie

K

Exemple: Cadre cu noduri fixe:5 6 5 6

3

4

3

4

1

2

1

2

K 6 Rigiditatea la rotire a nodului de cadru.

K 4

Cadre cu noduri deplasabile:

1

5

6

6 5

3

4

3

4

1

2

1

2

K6

6

K

44

K

K

Prevederi pentru lungimea de flambaj a cadrelor etajate (P100-1/2006)

K1 K11Stalp de verificat

Factor de distributie 1

K12 KC K22Factor de distributie 2

K21

K1

Figura F.6 Factori de distribu ie pentru stlpii continui

2

1 = 2 =

KC + K1 K C + K 1 + K 11 + K 12 KC + K2 K C + K 2 + K 21 + K 22

(F.1)

(F.2)

Cadre cu noduri fixe :

lf

1 + 0 ,145( 1 + 2 ) 0 ,265 1 2 = L 2 0 ,364 ( 1 + 2 ) 0 ,247 1 2

(F.3)

Cadre cu noduri deplasabile:lf 1 0 ,2( 1 + 2 ) 0 ,12 1 2 = L 1 0 ,8( 1 + 2 ) + 0 ,60 1 2 0.5

(F.4)

(1) O structur poate fi considerat cu noduri fixe n cazul n care sistemul de contravntuire reduce deplasrile orizontale cu cel pu in 80%.

3

Diagramele WOODArticulat 1,00, 950 1,

0,9

9 0,

1

85 0,

0,88 0,

0,775 0,

0,67 0, 5 67 0,

0,5 0,46 0,

65 0, 25 6 0,

0,3 0,25 0, 25

5 57 0, 55 0,

0,1 Incastrat 0,00, 5

0,0 Incastrat

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0 Articulat

2

Raportul lf /L dintre lungimea de flambaj i lungimea teoretic a unui stlp dintr-un cadru cu noduri fixe

4

Articulat 1,00 5, 0 4,

0,9

0 3, 8 2, ,6 2 4 2, 2 2,

1

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,205 1, 1 1, 2 1, 15 1, 3 1, 25 1, 6 1, 5 1, 4 1,

0 2, 9 1, ,8 1 7 1,

0,1 Incastrat 0,00 1,

0,0 Incastrat

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0 Articulat

2

Raportul lf /L dintre lungimea de flambaj i lungimea teoretic a unui stlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile

5

FLAMBAJUL PRIN INCOVOIERE-RASUCIRE (bare comprimate)

Axele cu o singura axa de simetrie isi pot pierde stabilitatea prin incovoiererasucire.

Chiar si barele cu sectiunea dublu-simetrice, datorita imprfectiunilor isi pot pierde stabilitatea prin incovoiere-rasucire. Flambajul prin incovoiere-rasucire (FT) este o combinatie intre flambajul prin incovoiere (F) si flambajul prin rasucire (T).

(F)

(T)

(FT)

2 E Iw 1 N Cr ,T = (G I t + ) i0 LT 1 N Cr , FT = ( N + N cr ,T ) ( N cr , y + N cr ,T ) 2 4 N cr , y N cr ,T cr , y 2

(1) (2)

6

z

N cr , y =y CTy0

2 E IyLy 22 0 2 2 0

(3) (4) (5)

CG

y

2 2 2 i0 = i y + iz2 + y0

= 1 ( y / i )

G I t = rigiditatea la torsiune G I w = rigiditatea la rasucirez

impiedecata. LT = T L : lungimea de flambaj la rasucire.

- rasucire cu deplasare libera la capete : T = 1 - rasucire cu deplasare impiedecata la capete : T = 0.5 - rasucire cu deplasare libera/incastrata la capete : T = 0.7 Verificarea se face cu aceleasi formule ca si la flambajul prin incovoiere, dar cu FT in loc de .

FT =

A fy N cr

ptr sectiuni de clasa 1,2,3

(6)

FT =

Aeff f y

N cr

ptr sectiuni de clasa 4

(7)

(8) Curba de flambaj se alege in functie de forma sectiunilor transversale, dar se considera in raport cu axa Z.

N cr = N cr , FT dar N cr < N cr , FT

7

8

FLAMBAJUL BARELOR CU SECTIUNE COMPUSA SOLICITATE LA COMPRESIUNE

Bare cu sectiune compuse din elemente apropiate Bare cu sectiune compusa din elemente indepartate. o Solidarizate cu zabrele (zabrelute) o Solidarizate cu placute

In cazul acestor elemente structurale (de regula stalpi cu sectiune compusa), deformatiile din forta taietoare in elementele de solidarizare sunt importante si nu pot fi neglijate. se reduce rigiditatea la incovoiere 9

influenteaza (reducand) forta critica capabila a barei compuse, Ncr,comp.

PRINCIPIUL:

N cr ,comp =

1

1 1 + Ncr Sv

= N cr

1 N 1 + cr Sv

(9)

N cr = forta critica Euler, calculate neglijand forfecarea.N cr =

2 E I effL2

I eff = momentul de inertie eficace calculate intr-o prima aproximatie.I eff = 0.5 Ach h02z

y

y

Achho

Ach

z

Sv = rigiditatea la forfecare a sistemului de solidarizare, cu zabrele sau placute. Sv = G * Aech G = modul de elasticitate transversal Aech= aria inimii pline echivalente a stalpului.

Aech

Observatie : In general Sv >> Ncr

Ncr/Sv Apar tensiuni normale w si tangentiale

w

1

RASUCIRE LIBERA Elemente cu sectiuni deschiset = =Mt It d(1)

dz 1 It h t 3 3

=

Mt G It

(2) (3)

Iz =

h 3

i

ti 3Mt t

(4)

In calcul de rezistenta se poate lua acoperitor = 1. (4) - > (1) = > =

1 hi ti3 3

(5)

Valoarea maxima a lui

apare in peretele cel mai gros (tmax).

Elemente cu sectiune inchisa

2

M z = Ta b + Tb a Ta = a (ta a )

(6)

T j = j (t j b)

a ta = b tb = const Mt Mt a = ; b = 2abta 2abtb

(7) (8a,b)

Formula generala (Bredt)2 4 Aw ds t M t = t - fluxul de forfecare (constant !!) 2 Am

Iz =

(9)

(10)

Am - aria delimitate de linia mediana a sectiunii.

Pentru a se prelua momentul de rasucire (torsiune) conform formulelor, sectiunea dreptunghiulara trebuie sa ramana nedeformata => se prevad diagragme pline sau cu goluri.

3

Rasucirea (cu deplanare) impiedecata(Teoria lui Vlasov) materialul este izotrop, omogen, perfect elastic. tensiunile longitudinale din rasucire variaza liniar pe grosimea peretelui. Sectiunea transversala a barei isi pastreaza forma. (masuri constructive)

Bibliografie : C.Dalban, s.a. :Constructii cu structuri metalice EDP 1997, Bucuresti P330-362

Bw Iw M S w = w w t Iw M w - momentul de incovoiere rasucire

w =

B bimomentul S w - moment static sectorial w coordinate sectoriala.

4

Verificarea la rasucire conform EN 1993-1-1

5

6

VERIFICAREA STABILITATII GENERALE A BARELOR INCOVOIATE (flambaj prin incovoiere rasucire) barele incovoiate in raport cu axa de inertie majora, nefixate lateral, isi pot pierde stabilitatea prin incovoiere laterala in raport cu axa de inertie minima si rasucire flambaj prin incovoiere-rasucire.Clam p at roo t

Unloaded posit ion Buc kled p osit ion

Dead w eigh t load applied v ert ically

M L Elevation

M

Section

Planz x u

y

Momentul aplicat pentru care bara isi pierde stabilitatea prin incovoiere rasucire(instabilitatea generala) se numeste moment critic elastic.

7

Pentru bare solicitate la incovoiere pura:

M 2 EI zL2

M

M cr =M cr =

(GI t +

2 EI wL2

(1a) (1b)

2 EI zL2

I cr L2GI t + I z 2 EI z

Unde: - It constanta de rasucire (Saint Venant) sau momentul de inertie la rasucire - Iw constanta de rasucire impiedecata (deformare impiedecata) sau momentul de inertie sectorial. - E Iz - rigiditatea la incovoiere - G It - rigiditatea la rasucire libera - E Iw - rigiditatea la rasucire impiedecata sectiunile inchise au o rezistenta si stabilitate la rasucire mult mai buna decat cele deschise sectiunile deschise cu talpi dezvoltate (dezvoltate pe ambele directii) se comporta mai bine decat cele dezvoltate preponderent pe o directie.

1 .0

0 .1 Rat io of M cr t o M f or box cr sect ion

0 .01

0.001 0

10

20

30

40

50

60

70

Rat io of lengt h t o

8

14

- Section457x152 UB 60 Wpl (cm3 ) 1284 25464 794 31,5 386700

H - Section 254x254 UC 89 1228 14307 4849 97,6 716400

Mcr Mp

12

y(cm4 )10

z(cm )J4 (cm

4

)

8

4 (cm w )

6 254x254 UC 89 4 457x152 UB 60 2 M L M

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

L (m)

Pentru reprezentarea comportarii unei bare incovoiate care isi pierde stabilitatea prin incovoiere rasucire se adopta un model similar cu cel utilizat pentru flambajul barelor comprimate centric.

N M LTM M pl 1 ,0

0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0 1 ,2 Stocky In t e rm e d ia t e

M M

cr pl

S le n d e r

1 ,4

LT =

M pl M cr

Rezultatele experimentale arata ca pentru zvelteti relative mici LT 0.4 , bara scurta incovoiata nu-si pierde stabilitatea = > se verifica numai d.p.d.v. a rezistentei in domeniul plastic. barele de lungimi intermediare 0.4 < LT 1.2 flambeaza in domeniul elastoplastic (cu plasticizari partiale), fiind sensibile la efectul imperfectiunilor.

Barele lungi, LT > 1.2 flambeaza in domeniul elastic, fiind mai putin influentate de imperfectiuni. Relatia generala de verificare:

M j , Rd = LT w W pl , y

fy

M

(1)

1

9

LT =

1

LT + [ LT ]0.5

2 LT

(2) (3)

2 LT = 0.5[1 + LT (LT 0.2) + LT ] LT - factor de imperfectiune

LT =

M pl M cr

; M pl = f y W pl

(4)

- depinde de clasa sectiuniiDatorita tensiunilor reziduale induse de sudura, barele incovoiate realizate prin sudare se comporta mai slab decat cele laminate.Reduction factor LT

1,0

1,0

Rolled sections

0,6

0,4

Welded beams

0,2

0

0,5

1,0

1,5

2,0 Slenderness LT

Influenta incarcarii Stare de solicitare la incovoiere pura cu moment defavorabila, in cazul cand bara nu este fixata lateral = >

constant este cea mai

M cr =M cr =

L

EI z GI t 1 +

2 EI wL2GI t

(5)

2 EI 4.24 EI z GI t 1 + 2 w L L GI t

(6) (7)

4.24/ =1.365 = C1 In general :

C M cr = 1 L

EI z GI t 1 +

2 EI wL2GI t

(8)

10

Mcr = C1 L Beam and loads M M

EI GJ

2 1+ EIw L2 GJ

Bending moment

Mmax

C1

M M M M -M M F FL 4 FL 8F

1,00

1,879

2,752

1,365

F

1,132

F

Nivelul la care se aplica fortaMcr = C1 L Beam and loads M M M M M M -M M F FL 4 FL 8 2,752 1,879 1,00 EI GJ2 1+ EIw 2 GJ L

Bending moment

M max

C1

1,365

F

1,132

F Conditiile de rezemare F similare cu cele de la compresiune pentru flambajul prin incovoiere rasucire

11

Verificarea la flambaj prin incovoiere-rasucire, a barelor incovoiate conform EN1993-1-1.

12

13

14

15

16

17

Curs 6-8BARE SOLICITATE LA INCOVOIERE CU FORTA AXIALA- Reprezinta cazul general de incarcare pentru elementele structurale ale structurilor in cadre - Extremele sunt reprezentate de elementele solicitate doar la incovoiere (ex. grinzi, N=0) si bare solicitate la ntindere sau compresiune (M=0)

Solicitarea ncovoiere cu ntindere axiala o este un caz particular (ex. stalpi la structuri solicitate la incarcari forte laterale din seism, vant)

+

-

1

Incovoiere cu compresiune axiala o Compresiune excentrica P My = Pezz

P My = Pez Mz = Peyz

y ez P z

y

y ez

ey P z

y

N, e

+

-

o Compresiune cu incovoiere plana (axiala)z

y

P

My

y

zN, M

2

o Compresiune cu incovoiere oblica (biaxiala)

z

y Mz

P

My M

y

z

N,

My Mz

3

Probleme: - calculul de rezistenta - calculul de stabilitate: flambajul se poate produce prin incovoiere sau flambaj prin incovoiere rasucire, in functie de: o raportul dintre cele doua solicitari (moment incovoietor forta axiala) o forma sectiunii transversale a barei o legaturi la capate o lungimea barei Fenomenele pot fi initiate in domeniul elastic sau elasto-plastic. In stadiul final de cedare deforma iile barei au un caracter plastic

4

Tipuri de sectiuni recomandate pentru bare solicitate la incovoiere cu forta axiala:

Profile laminate la cald; sec iuni simple

Profile ob inute din placi sudate; sec iuni simple deschise si chesonate

Sec iuni compuse prin sudarea profilelor

5

Sec iuni umplute cu beton (partial sau complet)

6

CAZURI FUNDAMENTALE- Consideram un stlp cu sec iune H - Comportarea stlpului depinde de: o lungimea stlpului o modul de aplicare a momentelor pe bara o legaturile laterale (daca exista) - Comportarea stlpului poate fi ncadrata in urmtoarele 5 clase: Cazul 1: Stlp scurt supus la forta axiala si ncovoiere plana sau oblica. Cedarea - la atingerea capacitatii plastice a sec iunii Cazul 2: Stlp zvelt supus la forta axiala si ncovoiere plana dup axa majora y-y Cedarea: Daca legaturile asigura mpiedicarea flambajului in afara planului, stlpul cedeaz prin flambaj dup axa y-y. Daca forta axiala este redusa sau zvelte ea nu este foarte mare, se formeaz o articula ie plastica la captul barei sau in sec iunea de moment maxim Cazul 3: Stlp zvelt supus la forta axiala si ncovoiere plana dup axa minora z-z. Nu sunt necesare legaturi laterale, nu apare flambaj in afara planului. Cedarea flambaj dup axa z-z Cazul 4: Stlp zvelt supus la forta axiala si ncovoiere plana dup axa majora y-y + nu exista legaturi laterale. Cedarea combina ie intre flambaj dup axa z-z si flambaj prin ncovoiere rsucire, stlpul se rasuceste si se deformeaz in ambele planuri y-y si z-z. Cazul 5: Stlp zvelt supus la forta axiala si ncovoiere oblica + nu exista legaturi laterale. Cedarea similar cu cazul 4 dar flambajul dup axa minima z-z este predominant. Acesta este cazul general de ncrcare al stlpilor.

7

Stlpi zvelti supusi la forta axiala si ncovoierey z y y z y z

Se poate forma art. plastica z

deplasare deplasare

Prindere laterala

y z y z y z y z

Moment incovoietor dupa axa y-y Flambaj impiedicat dupa axa za) z

Moment incovoietor dupa axa z-z Nu exista legaturi b)z y z y

y

y

rotire

rotire deplasare

deplasare deplasare deplasare

z

y

y

y

y

Moment incovoietor dupa axa y-y 8 Nu exista legaturi c)

z Moment incovoietor dupa axele y-y si z-z Nu exista legaturi d)

RELATII GENERALE DE VERIFICARE Compresiune cu ncovoiere plana (uniaxiala) Rezistenta (in sectiune) a unei bare- In absenta flambajului, solicitrile de compresiune si ncovoiere dau natere la eforturi unitare normale:Compresiune ncovoiere

Evolu ia diagramei de eforturi pentru o sec iune supusa la ncovoiere si compresiune axiala

- Atunci cnd solicitrile cresc, diagrama de eforturi se modifica (a-b-c-de). - In figura de mai jos se prezint curbele de interac iune M-N pentru sec iunea HEB450

Interactiune M-N, axa maxima de inertie y-y, sectiune HEB450

9

Sectiuni de clasa 1 si 2 - Rezistenta unei sec iuni transversale de clasa 1 sau 2 poate fi fcuta prin compararea momentul de calcul MSd cu momentul plastic de calcul redus datorita prezentei for ei axiale, notat MN,Rd.

M y .Sd M Ny .Rd = M pl . y . Rd (1 n) /(1 0,5a )dar

M Ny . Rd M pl . y . Rdin care:

n = N Sd / N pl.Rd ; a = ( A 2bt f ) / A 0,5

Plastificarea sectiunii sub actiunea combinata M-N

10

Expresia momentului plastic rezistent redus MN (n = NSd / Npl.Rd) Sectiune Forma Expresie MNM N , y = 1,11M pl. y (1 n)

I sau H (laminat)

M N , z = 1,56 M pl. z (1 n)(0,6 + n)

Teava patrata

M N , y = 1,26M pl (1 n)

M N , y = 1,33M pl. y (1 n)

Teava dreptunghiulara

M N , y = M pl.z

1 n ht 0,5 + A

Teava rotunda

M N , y = 1,04M pl (1 n1,7 )

Sectiuni de clasa 3 - Rezistenta unei sec iuni transversale de clasa 3 este ndeplinita daca efortul unitar maxim in fibra cea mai solicitata verifica condi ia urmtoare:

x.Ed f ydin care:

f yd = f y / M 0Inegalitatea anterioara se mai poate scrie si sub forma:N Sd Af y + M y , Sd Wel , y f y Vcr Voalarea poate fi evitata prin dispuneriea unor rigidizari. Observatie: Daca si talpa (comprimata) este de clasa 4, se va considera si in acest caz de reducerea sectiunii.

Ed > cr Ed > cr

CONCEPTUL DE LATIME EFECTIVA

b

b

fy< 1max < cr 1max b b 2max

2max = fy

b

13

P bpbp

x(y)

ax,u y,v z,w

m

max

P = x ( y ) + dy = m t bp0

t PPu=Pcr bef /2 bp bef /2 f y= tc

Pu = f y bef t bef = f ( cr , f y )

befbp

ax,u y,v z,w

=

crfy

(V.Karman)

befbp

=

crfy

(1 0.22

crfy

) (Winter)

Pu

p =

fy

cr

^- zveltetea redusa de placa (perete)

2E t cr = k ; 12(1 2 ) b p

k = coeficientul de valoare

fy = 2,max

beff,1/2

1,max

beff,2/2

b

14

1.0 =bef /bp =(1-0.22/ 0.5p)

/

p

0

0.673 1.0

2.0

3.0

4.0

p

VALIDITATEA CONCEPTULUI DE LATIME EFICACE- testele experimentale confirma - procedeul este foarte simplu - prin intarirea sectiunii prin rigidizari intermediare si/sau de margine se obtine o crestere a acestei eficacitati.

Valori experimentale Pu,exp 120 100 80 60 40 20 Valori calculate Pu,cP = xp u ,e c P u,r el o tat le ul a rez ent ia m ed peri M ex

0

20

40

60

80

100

15

SECTIUNEA EFICACE LA O BARA COMPRIMATA

N

e

N

Sectiune plina

Sectiune eficace

SECTIUNEA EFICACE LA O BARA INCOVOIATAbef /2 bef /2 bef1 bc M befn bef /2 bef /2 fy zc

1

1Pozitia preliminara a A.n, Alte efecte locale datorate subtirimii de perete voalare de forfecare Deformare sau strivire locale (web crippling) Pozitia finala a A.n.

Deformare locala hw

Rigidizare de capat

t

Voalare din forfecare

16

Cand inima si talpa sunt de clasa 4, la o sectiune solicitata la incovoiere calculul se conduce in doi pasi : 1- talpa comprimata 2- inima in zona comprimata

17

Determinarea latimii eficace (efective) depinde de: - tipul de perete (placa) inima - talpaLongitudinal stresses at centre max max

Longitudinal stresses at edges

Influenta rezemarii16 x S.S y 12 S.S S.S m=1 m=2 m=3 m=4 8 4 k 0 1 2 3 a/b2 1 0.6

S.S

a

k

x x

b

4

Values of 50 20 10 5 3

1.4 1.4 1.277 1.2x S.S y 1.0 0.15 a k 0.8 0.6 x S.S 0 b x 0.425 0.4 0

0.3

E.R. Free

0.05

2

4 a/b

6

8

- variatia tensiunilor pe latimea peretelui (placii)

18

Influenta Gradientului de tensiune1 y

S.S S.S 301 S.S

2

S.S2

a

25 23.9 2015.7

x1

b2=0 y S.S S.S S.S

15k 11 1 x 1

a2=0

S.S b

10 7.81 5 0.4 0 4

2=1 y

S.S S.S0.5 1.0 a/b 1.5 2.0 1 S.S

S.S

a2=1

x

b

Tabelul 4.1 - Elemente comprimate interneDistribu ia tensiunilor (compresiune pozitiv) L imea eficace beff = 1: beff = b be1 = 0,5 beff 1 > 0: be2 = 0,5 beffp

1be1 b be2

2

1be1 b bc bt be2

2

beff = b

be1 = < 0:

2 beff 5

be2 = beff - be1

1be1 be2 b 1 4,0

2

beff = bc = b / (1-) be1 = 0,4 beff be2 = 0,6 beff -1 23,9 -1 > > -3 2 5,98 (1 - )

= 2/1 Factor de voalare k

1>>0 8,2 / (1,05 + )

0 7,81

0 > > -1 2 7,81 - 6,29 + 9,78

Tabelul 4.2 - Elemente comprimate n consolDistribu ia tensiunilor (compresiune pozitiv) L imea eficace beffp

19

b eff

1 > 0:1c

2

beff = c

bt

bc

< 0:

1beff = bc = c / (1-)

2 = 2/1 Factor de voalare k b eff

b eff 1 0,43 0 0,57 -1 0,851 > 0:

1 -3 2 0,57 - 0,21 + 0,07

1c b eff

2

beff = c

1 2bc = 2/1 Factor de voalare k 1 0,43 bt 1>>0 0,578 / ( + 0,34)

< 0: beff = bc = c / (1-)

0 1,70

0 > > -1 2 1,7 - 5 + 17,1

-1 23,8

20

Curs 10 CALCULUL DE REZISTENTA SI STABILITATE AL GRINZILOR CU INIMA PLINAU

Etapele calcului in proiectarea unei grinzi cu inima plina 1. Stabilirea sistemului static si a deschiderilor de calcul (grinda simplu rezemata, grinda continua,etc.) 2. Stabilirea actiunilor, a coeficientilor actiunilor pentru diferitele combinatii de calcul, a coeficientilor dinamici (ex. poduri rulante) etc. 3. Calculul solicitarilor maxime (M,V(T), N). In cazul unei grinzi static nedeterminate, solicitarile finale se obtin dupa configurarea geometriei grinzii. 4. Alcatuirea sectiunii transversale (difera in functie de aplicatie platforma, planseu, structura de retentie, grinda de rulare, grinda sau tablier de pod etc). 5. Sectiunea grinzii si variatia acesteia in lungul grinzii depind de: a. Tipul aplicatiei b. Conditii constructive specifice c. Indeplinirea conditiei de sageata (SLS) d. Optimizarea consumului de otel 6. Verificarea sectiunii (SLU calculul de rezistenta) i. Tensiuni normale (din actiuni statice si/sau dinamice, oboseala). a. La determinarea acestora se tine seama de posibilitatea voalarii (sectiuni de clasa 4) si de efectul shear lag b. Se iau in considerare efectele locale ale actiunilor concentrate asupra inimii. ii. Tensiuni(forte) tangentiale de lunecare (la imbinarea dintre inima si talpa) iii. Interactiunea M+V, M+N, M+N+V 7. Adaptarea grinzilor la variatia solicitarilor

1

8. Verificarea rigiditatii grinzii (SLS - sageata) 9. Verificarea stabilitatii generale (SLU flambaj prin incovoiere rasucire) 10. Verificarea stabilitatii locale a inimii si talpii a. Voalare din compresiune ( cr ) b. Voalarea din forta taietoare ( cr ) Aceste verificari se fac tinand seama de posibilitatea dispunerii rigidizarilor, care pot limita sau inhiba total riscul de voalare. 11. Calculul rigidizarilor curente si de reazem. 12. Verificarea imbinarii dintre inima si talpi 13. Stabilirea imbinarilor de continuitate si calculul si/sau verificarea acestora (la grinzi lungi) 14. Stabilirea solutiei de rezemare, calculul si/sau verificarea rezemarilor.

U

Efectul SHEAR-LAG

variatia tensiunilor normale in talpile grinzilor ca urmare a influentei fortei taietoare Box-type beam I-section beam

tf 2bf

tf bf

Distributia eforturilor unitare normale in talpa intinsa si comprimata la grinzi scurte datorita efectului shear lag

Fenomenul shear lag este mai pregnant la grinzile cu talpi late. Efectul shear lag se modeleaza pentru calcul prin considerarea unei latimi eficace pe care diagrama este constanta.U U

2

b eff

beff

CL

3 b0 1 2 b0 4

Asl = Asli Nota ii pentru shear lag4 rigidizare cu

1 2 3

pentru o talp n consol pentru o talp intern grosimea plcii t

beff = b0

(1)

Latimea eficace (efectiva) de shear lag variaza in lungul grinzii

2: L e = 0,25 (L 1 + L 2) 1: Le =0,85L 1 1: Le =0,70L 2

2: L e = 2L 3

L1 L 1 /4 L1 /2 L1 /4 L2 /4

L2 L2 /2 L2 /4

L3

0

1

2

1

2

2

Lungimea efectiv L e pentru o grind continu i reparti ia l imii eficaceB B

P

Factorul de l ime eficace 0,02 0,02 < 0,70 Verificare = 1,0 zon de moment pozitiv Valoare -

= 1 =

1 1 + 6,4 2

3

zon de moment negativ

= 2 =

1

zon de moment pozitiv > 0,70 zon de moment negativ toate valorile lui toate valorile lui = 0 b 0 / L e cuB B B B B B B B

1 + 1,6 2 1 + 6,0 2500 1 = 1 = 5,9 1 = 2 = 8,6 B B B B B B B B

capt liber consol

0 = (0,55 + 0,025 / ) 1 , dar 0 < 1B B

= 2 n dreptul consolei i la captul liber

0 =

1+

Asl b0tB B

n care A s este aria tuturor rigidizrilor longitudinale din l imea b 0 i unde celelalte simboluri sunt cele definite n figura 3.1 i figura 3.2.beff = b0 beff = b0

1

1

(y)

2

(y) y

y b0

b1 = 5 b0 b0

> 0,20 : 2 = 1,25 ( 0,20 ) 1

0,20 : 2 = 0

( y ) = 2 + ( 1 2 ) (1 y / b0 )4B B

( y ) = 1 (1 y / b1 )4B B

1 este calculat cu l imea eficace a tlpii b eff

Distribu ia tensiunilor datorit efectului de shear lag

Efectul shear lag se neglijeaza daca

b 0< L e / 50B B B B

4

VERIFICAREA GRINZILOR CU INIMA PLINA (formularea clasica)

U

Verificarile la solicitarile din incovoiere (SLU, SLS), taiere (forfecare) si forta axiala si interactiunea lor se fac cu formule cunoscute pentru sectiuni de clasa 1,2,3 respectiv cu considerarea caracteristicilor geometrice eficace (A eff ,I eff , W eff ) pentru sec iuni de clasa 4. - ncovoiere Navier ( ) - Taiere (forfecare) Juravski ( ) Ex. Grinda de RulareB B B B B B

Verificari din incovoiere Fibrele externe ale talpii inferioare (B) fy ( x ,max + L ,max ) B R = M 05

(2)

In punctul (A), cel mai solicitat al talpii superioare fy ( x ,max + L ,max ) A R = (3) M 0 fy ( max + y ,max ) A 1.1R = 1.1 (4) M 0 Atentie !!! 1) Axele sunt schimbate fata de EurocodeU U

y

z

z x z x y x

x y

y

z

Clasic

EurocodeU

2) M 0 difera fata de Eurocode !!!!U

M

0 , clasic

1.14RS 235 = 210 N / mm 2 (t 16mm) RS 355 = 315 N / mm 2 (t 16mm)

Ex.

Tensiuni tangentiale maxime (in axa neutra) T S max = max x ,c R f ti I xR f = 0.6 REx.:

(5)

R f , S 235 = 0.6 R = 125 N / mm 2 R f , S 355 = 0.6 R = 190 N / mm 2

Tensiunea locala (in fibrele C, la imbinarea inima-talpa) P L = max R (6) z tiU

Atentie : z in formula (6) nu este axa !!!

Interactiunea incovoiere-taiere, la nivelul imbinarii inima-talpa(tensiune echivalenta Von Mises, stare plana)

ech = x2 + 3 2 < R

(7)

Interactiunea incovoiere+taiere+local la nivelul imbinarii inima-talpa (tensiune echivalenta Von Mises),2 ech = x2 + L x L + 3 2 < mR

6

m = 1.25 cand x si L au semn contrar m = 1.1 cand x si L au acelasi semn sau atunci cand L = 0 (8)

Sageti admisibile pentru verificarea SLS

7

Verificarea la voalare a inimilor

8

9

10

11

12

13

14

VERIFICAREA GRINZILOR CU INIMA PLINA (EN1993-1-5)Anexa A (informativ) Calcul tensiunilor critice pentru plcile rigidizateA.1 Plac ortotropic echivalent

(1) Plcile cu cel pu in trei rigidizri longitudinale pot fi tratate ca plci ortotropice echivalente. (2) Tensiunea critic de voalare elastic a plcii ortotropice echivalente poate fi evaluat ca:

cr , p = k , p En care

(A.1)2

2 E t2 t = 190000 E = 2 2 12 (1 ) b bB B

n [MPa]

k ,p este coeficientul de voalare conform teoriei plcilor ortotropice cu rigidizri pe plac b t este definit n figura A.1; este grosimea plcii.B B

NOTA 1 - Coeficientul de voalare k ,p se ob ine pornind de la abacele pentru rigidizri, sau prin intermediul simulrilor numerice; n mod alternativ pot fi folosite abace pentru rigidizrile discrete cu rezerva de a putea ignora voalarea local a panourilor secundare. NOTA 2 - cr,p este tensiunea critic elastic de voalare la marginea panoului, unde este exercitat tensiunea maxim de compresiune, a se vedea figura A.1.B B

NOTA 3 - n cazul unei inimi, l imea b din ecua iile (A.1) i (A.2) se nlocuiete cu h w .B B

NOTA 4 - Pentru plcile rigidizate cu cel pu in trei rigidizri longitudinale egal distan ate, coeficientul de voalare al plcii k ,p (voalarea global a panoului rigidizat) poate fi aproximat cu:B B

2 2 1 + 2 + 1 k , p= 2 ( + 1)(1 + ) 41+ k , p= ( + 1)(1 + )

(

)

if if

4 >4

(

)

(A.2)

cu:

=

2 0,5 1

==

I sl IpAsl Ap

=

a 0,5 b

15

n care:

I sl IpAslApB B

este momentul de iner ie al ntregii plci rigidizate; este momentul de iner ie la ncovoiere al plcii

=

bt 3 bt 3 ; = 12 1 2 10,92

(

)

este suma ariilor brute a rigidizrilor longitudinale individuale; este aria brut a plcii

= bt ;

A

p

1 2

este tensiunea de margine maxim; este tensiunea de margine minim; sunt definite n figura A.1.

a , b i t

12 3 4 5

centrul de greutate al rigidizrilor centrul de greutate al montan ilor = rigidizri + tabla participant panou secundar rigidizare grosimea plcii t

e = max. (e 1 , e 2 )B B B B

L imea pentru aria brut

L imea pentru aria eficace, conform tabelului 4.1

Condi ia pentru iB

B

16

b 1,infB

B

3 1 b1 5 1B

3 1 b1,eff 5 1 2 b2,eff 5 2 3 2 b2,eff 5 2 0,4 b 3c,effB B

1 =

cr ,sl ,1 >0 cr , p

b 2,supB

2 b2 5 2 3 2 b2 5 2

2 =

2

cr ,sl ,1

>0

b 2,infB

B

2 > 03 =3