curs 5

MODELAREA IDENTIFICAREA ŞI SIMULAREA ACŢIONĂRILOR ELECTRICE

1

V. Modelarea matematică a sistemelor de acţionare cu motoare de inducţie cu

rotorul în scurt circuit

Acţionările electrice reglabile cu maşini asincrone trifazate, numite şi maşini de inducţie, s-au dezvoltat foarte mult în ultima perioadă atât ca urmare a proprietăţilor, robusteţe, fiabilitate şi economicitate ale acestora, cât şi a progreselor din domeniul convertoarelor c.c-c.a. şi a tehnicilor de control. Cele mai multe din aplicaţii folosesc maşinile de inducţie cu rotorul în s.c., invertoare trifazate de tensiune sau curent şi sisteme de reglare automată de la variantele simple cu compensarea alunecării până la orientarea după câmp sau controlul direct al cuplului.

5.1 Caracteristica mecanică

Expresia analitică a carcteristicii mecanice naturale este disponibilă şi pentru acest motor dar are o formă deosebit de complicată. Forma grafică a caracteristicii mecanice naturale este prezentată in fig.5.1 în coordonatele m=f(ω). Punctele principale ale caracteristicii sunt prezentate în continuare.

Viteza de sincronism

02. . sf

pπω = , (5.1)

unde fs este frecvenţa tensiunilor de alimentare a statorului de forma trifazată simetrică

1

2

3

2 sin(2 )22 sin(2 )3

42 sin(2 )3

s s s

s s s

s s s

u U f

u U f

u U f

πππ

ππ

=

= −

= −

, (5.2)

iar p numărul de perechi de poli ai maşinii.

m

s

K

N

mK

mN

1 sK sN

P

Fig.5.2 Caracteristica m=f(s) Fig.5.1 Caracteristica ω=f(m)

m

ω

K

N

mK mN

ωN

ωK

ω0

Modelarea s.a.e. cu maşini asincrone cu rotorul în scurtcircuit

2

Corespunzător vitezei unghiulare de sincronism ω0 se defineşte turaţia de sincronism

060. sfn

p= . (5.3)

Din (5.1) şi (5.3) rezultă că în cazul frecvenţei fs constante vitezele care se pot obţine sunt fixe, la valori de 3000,1500 ,1000 ……..rotaţii/minut. Viteza de sincronism se obţine teoretic la cuplu

0.m = (5.4) Cum pentru a se roti, motorul trebuie să furnizeze un cuplu de mers în gol pentru acoperirea frecărilor din maşină, rezultă că practic această viteză nu se poate realiza, de unde derivă şi denumirea de maşină asincronă.

K reprezintă punctul critic de funcţionare, fig.5.2. În acest punct motorul furnizează cuplul maxim mK corespunzător unei viteze ωK. Punctul nominal de funcţionare N are coordonatele mN şi ωN. Viteza nominală ωN este mai mică decât cea de sincronism însă apropiată ca valoare. Punctul de pornire este caracterizat prin

0ω = (5.5) şi un cuplu, numit de pornire, apropiat ca valoare de cel nominal.

Caracteristica mecanică este compusă din două segmente distincte. Primul segment, pentru

0 Kω ω ω> ≥ , (5.6) constituie porţiunea de funcţionare stabilă. Din această porţiune se utilizează în mod normal zona până la punctul nominal, restul caracteristicii preluând suprasarcinile de scurtă durată. Al doilea segment pentru

0Kω ω> ≥ (5.7) reprezintă porţiunea instabilă, care este parcursă numai în procesul de pornire. Se constată că viteza se micşorează destul de puţin cu creşterea cuplului la arbore, câteva procente, caracteristica fiind de tipul rigid.

Există şi un alt mod de reprezentare, fig.5.2, în funcţie de alunecare, definită prin

0

0

s ω ωω−

= , (5.8)

unde ω este viteza corespunzătoare unui punct curent de funcţionare. Se constată că pentru funcţionarea ca motor, adică pentru

0 0ω ω> ≥ , (5.9) alunecarea are valori în domeniul

0 1s< ≤ . (5.10) Reprezentarea în coordonatele m=f(s) permite scrierea unei ecuaţii care aproximează caracteristica mecanică, numită ecuaţia Kloss, sub forma

2. K

K

K

mm sss s

=+

, (5.11)

unde m şi s sunt coordonatele punctului curent de calcul, iar


3

0

0

kKs −=ω ωω

(5.12)

este alunecarea corespunzătoare punctului critic. Punctul critic este caracterizat prin proprietăţile

2

1 2

2

sK

s

ks

Um kf

ksf

=

=, (5.13)

unde k1 şi k2 sunt constante pentru o maşină dată.

5.2 Reglarea vitezei

La fel ca la acţionările reglabile cu maşini de c.c., se utilizează tot două metode de reglare, la flux constant şi flux variabil.

Reglarea la flux constant are în vedere conservarea cuplului critic al motorului, ecuaţia (5.13), adică realizarea unui raport

.s sN

s sN

U U constf f= = , (5.14)

unde UsN şi fsN sunt tensiunea şi frecvenţa nominale. Tensiunea se poate modifica în limitele

0sN sU U≥ > (5.15) ceea ce înseamnă pentru frecvenţă

0sN sf f≥ > , (5.16) iar pentru viteza de sincronism

0 0 0,Nω ω≥ > (5.17) unde viteza de sincronism nominală este dată de

02. . sN

Nf

pπω = . (5.18)

Aşadar viteza se reglează în limite largi putându-se obţine practic orice viteză sub cele de pe caracteristica mecanică naturală. Alunecările critice, ecuaţia (5.13), se modifică în funcţie de frecvenţă, dar influenţa lor asupra pantelor caracteristicilor mecanice este practic nesemnificativă. În fig.5.3 este prezentată o caracteristică artificială, Us,fs, comparativ cu cea naturală. Pentru alte valori ale tensiunii şi frecvenţei se obţin caracteristici intermediare, practic paralele cu cea naturală. Metoda de reglare este foarte favorabilă, dar necesită alimentarea de la un invertor trifazat de tensiune cu modulaţie avansată, care să permită reglarea atât a tensiunii cât şi frecvenţei de ieşire. Fig.5.3 Reglarea vitezei la

flux constant.

ω

mK m

ω0N

ω01

UsN, fsN

Us, fs


4

Reglarea la flux variabil se face pentru frecvenţe

s sNf f> , (5.19) dar păstrând tensiunea

s sNU U= . (5.20) Cuplul critic se va modifica după

2 '

11 2 2

sNK

s s

U km kf f

= = (5.21)

scăzând puternic cu creşterea frecveţei. Pe de altă parte modificarea alunecării critice (5.13) afectează de asemenea puţin panta caracteristicilor. În fig.5.4 se prezintă o caracteristică mecanică obţinută pentru o frecvenţă fs căreia îi corespunde viteza de sincronism

02 02. . s

Nf

pπω ω= > . (5.22)

Metoda de reglare, la fel ca la c.c., este complementară cu prima în sensul obţinerii vitezelor mari, superioare celor de pe caracteristica mecanică naturală. Fluxul este variabil în sensul diminuării. Acest lucru poate fi evidenţiat cu ajutorul ecuaţiei circuitului statoric sub forma complexă

. s s ss s sU R I jX I E= + − , (5.23) care se poate aproxima prin

ssU E− . (5.24) La nivelul valorilor efective relaţia (5.24) se scrie sub forma

2 . .2s

sfU π Φ

= , (5.25)

unde Φ este fluxul util din maşină. Din relaţia de mai sus se constată că dacă se pastrează raportul tensiune/frecvenţă constant fluxul din maşina va fi de asemenea constant. Pe de altă parte dacă

s sNU U= , (5.26) iar

s sNf f> (5.27) rezultă pentru flux

22. .

sN

s

Ufπ

Φ = (5.28)

adică scăderea accentuată a acestuia cu creşterea frecvenţei, ceea ce justifică şi micşorarea semnificativă a cuplului. Evident invertorul de alimentare trebuie să pemită o astfel de reglare, la tensiune constantă şi frecvenţă variabilă, ceea ce implică o comandă de tip PWM sau SVM.

ω

m

ω0N

ω02

mK

UsN,fsN

Us,fs

Fig.5.4 Reglarea vitezei la flux variabil


5

5.3 Modelul matematic al maşinii asincrone

Modelarea matematică a sistemelor de acţionare cu motoare de inducţie cu rotorul în scurt circuit este o operaţie mult mai dificilă decât în c.c. datorită următoarelor cauze:

• Alimentarea trifazată conduce la multiplicarea cu trei a ecuaţiilor electrice pentru stator şi rotor;

• Cuplajul magnetic dintre cele două înfăşurări, statorică şi rotorica, conduce la creşterea ordinului modelului prin necesitatea de a scrie un set de trei ecuaţii suplimentare de legătură între curenţii din cele două înfăşurări;

• Frecvenţa diferită în înfăşurarea rotorică .r sf s f= (5.29)

variabilă, ca urmare a alunecării variabile în limite relativ largi;

• Expresie relativ complicată pentru cuplul electromagnetic al maşinii; • Alimentarea maşinii de la invertoare nu asigură un sistem de tensiuni sinusoidale ci unul

deformat, conţinând un spectru larg de armonici.

Aceste dificultăţi au fost depăşite prin realizarea aşa numitelor modele în coordonate cu orientare după câmpul magnetic din maşină. Există o mare diversitate de astfel de modele de acest tip, realizate în funcţie de adoptarea ca referinţă a unuia din câmpurile magnetice disponibile în maşină. Unul dintre modelele cel mai des folosite este cel cu orientare după câmpul magnetic al rotorului, ca urmare a structurii realativ simple şi a achiziţiei uşoare a acestui câmp.

Reprezentarea fazorială. Se consideră maşina alimentată de la un sistem trifazat simetric de tensiuni de forma

1

2

3

2 sin(2 )22 sin(2 )3

42 sin(2 )3

s s s

s s s

s s s

u U f

u U f

u U f

πππ

ππ

=

= −

= −

(5.30)

cu neglijarea armonicilor produse de invertor.

Se defineşte fazorul spaţial asociat sistemului trifazat de tensiuni prin

21 2 3

23

( ) ( ) . ( ) . ( )

1 32 2

s s s s

j

u t u t a u t a u t

a e j

= + +

= = − +π , (5.31)

1 2 3 2 31 1 3 3( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )]2 2 2 2

( ) ( ) . ( )

s s s s s s

s s s

u t u t u t u t j u t u t

u t u t j u t

= − − + −

= +α β

. (5.32)

Rezultă o transformare de la sistemul trifazat de tensiuni 1 2 3( ), ( ), ( )s s su t u t u t într-un sistem bifazat

( ), ( )s su t u tα β .


6

Fazorul spaţial este un vector de amplitudine U variabilă în timp şi de fază θ de asemenea variabilă în timp, ceea ce conduce la concluzia că fazorul us(t) se roteşte cu viteza

( ) .s

d tdt

=θω (5.33)

În acelaşi mod şi cu aceleaşi proprietăţi se definesc fazori spaţiali pentru toate mărimile electrice şi magnetice din maşină: curenţi şi fluxuri statorici şi rotorici, curenţi de magnetizare.

Transformarea trifazat-bifazat poate fi scrisa astfel:

1

2

3

1 112 23 30

2 2

ss

ss

s

uu

uu

u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

α

β. (5.34)

Trecerea inversă este posibilă ca urmare a faptului că sistemul de tensiuni este trifazat simetric furnizând o ecuaţie suplimentară

1 2 3( ) ( ) ( ) 0.s s su t u t u t+ + = (5.35) Folosind reprezentarea fazorială, ecuaţiile electrice ale maşinii asincrone se scriu sub forma

. ( )

( ) . ( ) [ ( )]

0 . ( ) [ ( )]

( ) ( ) ( ).

ss ss

rrr

j tm s r

du t R i t tdt

dR i t tdt

i t i t i t e

= + Ψ

= + Ψ

= + ε

(5.36)

- Rs şi Rr sunt rezistenţele pe o fază ale înfăşurărilor statorice şi rotorice,

- is(t), ir(t) şi im(t) sunt fazorii curent statoric, rotoric şi respectiv de magnetizare total,

- Ψs(t) şi Ψr(t) fazorii fluxurilor totale din înfaşurarea statorică şi rotorică,

- ε(t) unghiul spaţial dintre axele de referinţă ale celor două înfăşurări.

Rotorul fiind în mişcare de rotaţie, poziţia axei lui de referinţă se roteşte cu viteza

( )( ) ,d tt

dt=

εω (5.37)

care de fapt reprezintă viteza unghiulară a maşinii.

Re

Im

us(t)

usα

usβ

θ(t)

Fig. 5.5 Fazorul spaţial tensiune.

curs 5

Documents