conferinta urzeala fractalilor

SOCIETATEA DE STIINTE MATEMATICE DIN ROM ANIATabara Gazeta Matematica si ViitoriOlimpici.ro

18-23 august 2014, Campulung Muscel

URZEALA FRACTALILOR

Prezentare de:Alexandru NEGRESCU

Universitatea POLITEHNICA din Bucuresti

Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 1 / 50

Sa privim!

Feriga comuna (Dryopteris filix-mas)


Broccoli Romanesco


Plamani


Economie


Fulgere


,,Covorul” lui Sierpinski


Teorem a. Aria lui F este nula si perimetrul lui F este infinit.

Demonstratie. Suma ariilor partilor ındepartate este egala cu:

1

9+

8

81+

64

729+ ... =

1

9+

8

92+

82

93+ ... =

1

9

ñ

1 +8

9+

82

92+ ...

ô

=

=1

9

Ä

8

9

ä

∞

− 18

9− 1

=1

9

1−Ä

8

9

ä

∞

1− 8

9

→1

9

1

1− 8

9

= 1,

pentru n suficient de mare.Perimetrul ,,carpetei”este egal cu:

1 · 4 · 1 + 1 · 4 ·1

3+ 8 · 4 ·

1

32+ ... = 4 +

4

3

Ç

1 +8

3+

82

32+ ...

å

→ ∞.


Dimensiunea fractala

Fractalii fac posibila cuantificarea unor termeni ca neregulat,intermitent, complicat sau dur. Cat de dur? Matematica ofera unnumar fiecarui fractal, numit dimensiunea sa fractala. Acesta nu esteun numar natural.

Sa presupunem ca exista o masura µ care are aceleasi proprietati calungimea, aria si volumul.Atunci

µ(F )

µ(f)=

Å

L

l

ãα

,

de unde8 = 3α,

ceea ce conduce la α = log3 8 = ln 8

ln 3' 1, 89.


Triunghiul lui Sierpinski


Triunghiul lui Sierpinski (varianta moderna)


Fulgul lui Koch

Teorem a. Aria lui K este finita, dar perimetrul lui K este infinit.


Trompeta lui Gabriel

Teorem a. Volumul lui T este finit, dar suprafata lui T este infinita.


Multimea lui Cantor (1883)


A → AABAB → BBBBA → AABA → AABAAABABBBBAABA → . . .


Bourrre from Bach’s Cello Suite No. 3


Aceste obiecte matematice au fost denumite fractali de catre BenoıtMandelbrot , ın cartea sa Les objets fractals, forme, hasard etdimension (1975).

Un fractal este o forma geometrica aspra sau fragmentata care poatefi divizata ın parti, fiecare dintre aceste parti fiind (cel putinaproximativ) o copie la scara redusa a ıntregului.

Aceasta proprietate se numeste auto-similaritate.Termenul provine din latinescul fractus, care ınseamna: frant, fracturat.


Multimea Mandelbrot

Multimea de puncte z0 din planul complex pentru care recurenta

zn+1 = z2n + z0

ofera un sir marginit.

In mod evident, −1 ∈ M, i ∈ M, 1 /∈ M .


In lucrarea sa, The Fractural Geome-try of Nature (1982), Mandelbrot ar-gumenteaza ca asemenea abstractiunigeometrice se potrivesc adesea culumea fizica mai bine decat curbele sisuprafetele netede. De exemplu, o liniede coasta neregulata arata destul deneteda daca o privim din avion, de lao ınaltime mare, dar, pe masura cene apropiem, tot mai multe neregu-laritati devin vizibile. Aceste neregu-laritati creeaza probleme si ın calcu-larea lungimei liniei de coasta sau afrontierei a doua tari vecine.


Proprietati

sunt auto-similari;

au o structura fina la scari reduse arbitrar;

nu au frontiera neteda, ci complet neregulata, greu de descris detraditionala geometrie euclidiana;

au dimensiunea exprimata printr-un numar care nu este natural;

au o definitie simpla si recursiva.


Cercurile lui Apollonius


Fluturii lui Klein


Lacul din Wada


Multimea Julia


Interesata de fractali a fost si artistul olandez M. C. Escher :

Smaller and smaller, 1956


Istorie. Functii continue, dar nediferentiabile

La ınceputul evolutiei Analizei Matematice impresia era ca orice functiecontinua era derivabila aproape peste tot.

Exemplul lui Riemann (1861)

f(x) =∞∑

k=1

sin(k2x)

k2


Exemplul lui Weierstrass (1872)

f(x) =∞∑

k=0

bk cosÄ

akπxä

,

unde a este un numar impar si b ∈ (0; 1) astfel ıncat ab > 1 + 3π2

.


Exemplul lui Peano (1890)


Exemplul lui von Koch (1906)


Se cautau exemple de forma:

f(x) =∞∑

k=0

bkϕÄ

akπxä

,

unde ϕ este o functie periodica, aleasa convenabil.

Exemplul van der Waerden(1930)-Rudin(1964)

f(x) =∞∑

k=0

Å

3

4

ãk

ϕÄ

4kxä

,

unde functia ϕ este definita de ϕ(x) = |x|, pentru x ∈ [−1; 1], si seextinde prin periodicitatea ϕ(x+ 2) = ϕ(x), pentru orice x ∈ R.


Demonstratie

ϕ(x) = |x|, pentru x ∈ [−1; 1];

ϕ(x+ 2) = ϕ(x), pentru x ∈ R.

-2 -1 0 1 2

1

ϕ este continua pe R;

pentru orice s, t ∈ R: |ϕ(s)− ϕ(t)| ≤ |s − t|.


Construim functia

f(x) = ϕ(x) +3

4ϕ(4x) +

Å

3

4

ã2

ϕ(42x) +

Å

3

4

ã3

ϕ(43x) + ...

=∞∑

n=0

Å

3

4

ãn

ϕ(4nx).

Deoarece 0 ≤ ϕ(4nx) ≤ 1, pentru orice n ∈ N si x ∈ R, rezulta caÅ

3

4

ãn

ϕ(4nx) ≤

Å

3

4

ãn

.

Ce putem spune despre suma∞∑

n=0

Ä

3

4

än?


1 +3

4+

Å

3

4

ã2

+ ... =

Ä

3

4

ä

∞

− 1Ä

3

4

ä

− 1=

1−Ä

3

4

ä

∞

1−Ä

3

4

ä .

Cum 3

4< 1, deducem ca

Ä

3

4

änse apropie de 0 atunci cand n creste.

Gratie acestui fapt, suma devine

∞∑

n=0

Å

3

4

ãn

= 1 +3

4+

Å

3

4

ã2

+ ... =1

1−Ä

3

4

ä = 4.

Asadar, suma∞∑

n=0

Ä

3

4

änpoate fi calculata, deci seria este convergenta.


Consideram patratele A0A1B1B0,A1A2B3B2, A2A3B5B4, ..., delaturi 1, r, r2, ... (r < 1). Deoa-rece triunghiurile dreptunghiceB0B1B2, B2B3B4, B4B5B6, ... suntasemenea, deducem coliniaritateapunctelor B0, B2, B4, ..., A∞. Cum sitriunghiurile dreptunghice A0B0A∞ si A

0A

1A

2A

'

B0

B1

B2

B3

B4

B5

1

1

r

r

r2

1

1-r

B1B2B0 sunt asemenea rezulta ca A0B0

B1B2= A0A∞

B1B0, de unde

1

1−r= 1+r+r2+...

1, deci

1 + r + r2 + r3 + ... =1

1− r.

Pentru r = 3

4, avem

1 +3

4+

Å

3

4

ã2

+

Å

3

4

ã3

+ ... =1

1− 3

4

= 4.


Teorema lui Weierstrass

Consideram {fn} un sir de functii definite pe E, cu

|fn(x)| ≤ Mn (x ∈ E,n ∈ N).

Daca∞∑

n=0

Mn converge, atunci si∞∑

n=0

fn converge uniform pe E.

Reamintim ca, pentru orice n ∈ N si x ∈ R,Å

3

4

ãn

ϕ(4nx) ≤

Å

3

4

ãn

.

Conform Teoremei lui Weierstrass, seria∞∑

n=0

Ä

3

4

änϕ(4nx) converge

uniform pe R.


Teorema transferului de continuitate

Daca {fn} este un sir de functii continue pe E si fn → f uniform pe E,atunci functia f este continua pe E.

Asadar, cum

f(x) =∞∑

k=0

Å

3

4

ãk

ϕ(4kx) = limn→∞

n∑

k=0

Å

3

4

ãk

ϕ(4kx)

︸︷︷︸

fn

iar functiile fn sunt continue, conform Teoremei transferului decontinuitate, rezulta ca functia f este continua pe R.


Fie x ∈ R si m ∈ Z. Consideram

δm = ±1

24−m,

unde semnul este ales astfel ıncat sa nu existe vreun ıntreg ıntre 4mxsi 4m(x+ δm) = 4mx+ 4mδm.

Definim

γn :=ϕ(4n(x+ δm))− ϕ(4nx)

δm.

Pentru n > m, sa studiem

4n · δm = 4n−m · 4m · δm = 4n−m ·

Å

±1

2

ã

= ±22n−2m−1,

care este numar par, deci ϕ(4n(x+ δm)) = ϕ(4nx) si atunci γn = 0,pentru n > m.


Pentru 0 ≤ n ≤ m, conform unei relatii stabilite anterior,

|γn| =

∣∣∣∣∣

ϕ(4n(x+ δm))− ϕ(4nx)

δm

∣∣∣∣∣≤

|4n · δm|

|δm|= 4n.

Ce putem spune despre γn?

|γn| =

∣∣∣∣∣

ϕ(4m(x+ δm))− ϕ(4mx)

δm

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

ϕÄ

4mx± 1

2

ä

− ϕ(4mx)

δm

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

1

2

δm

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

1

2

±1

24−m

∣∣∣∣∣= 4m.

p p+1 -1 0 1

½ ½ ½


Sa studiem, pentru m → ∞ (i.e., δm → 0):

∣∣∣∣∣

f(x+ δm)− f(x)

δm

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∞∑

n=0

Ä

3

4

än[ϕ(4n(x+ δm))− ϕ(4nx)]

δm

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∞∑

n=0

Ä

3

4

änγnδm

δm

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

∞∑

n=0

Å

3

4

ãn

γn

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

γ0 +3

4γ1 +

Å

3

4

ã2

γ2 + ...+

Å

3

4

ãm

γm︸︷︷︸

4m

∣∣∣∣∣∣∣

≥ 3m −

∣∣∣∣∣γ0 +

3

4γ1 + ...+

Å

3

4

ãm−1

γm−1

∣∣∣∣∣


∣∣∣∣∣

f(x+ δm)− f(x)

δm

∣∣∣∣∣

≥ 3m −

∣∣∣∣∣γ0 +

3

4γ1 + ...+

Å

3

4

ãm−1

γm−1

∣∣∣∣∣

≥ 3m −

Ç

|γ0|+

∣∣∣∣

3

4γ1

∣∣∣∣+ ...+

∣∣∣∣∣

Å

3

4

ãm−1

γm−1

∣∣∣∣∣

å

≥ 3m −Ä

30 + 31 + ...+ 3m−1ä

= 3m −3m − 1

2

=3m + 1

2

iar 3m+1

2→ ∞ pentru m → ∞.


BIBLIOGRAFIE SI RECOMANDARI

1 Benoıt B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H.Freeman and Co., New York, 1982.

2 Didier Gonze, Fractals: theory and applications, Universite Librede Bruxelles, Belgium.

3 Nigel Lesmoir-Gordon (editor), The Colours of Infinity,Springer-Verlag, London, 2010.

4 http://www.math.uaic.ro/ necula/.5 http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal.6 http://universulenergiei.europartes.eu/intrebari/fractali/

7 http://www.national-magazin.ro/trebuie-sa-stii/fractali-natura-arta-stiinta-641

8 http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

9 http://ro.math.wikia.com/wiki/Fractal


VA MULTUMESC PENTRUATENTIA ACORDATA!


conferinta urzeala fractalilor

Documents