capitolul_2- metode de studiu ale ciberneticii economice. modelarea si simularea sistemelor...

8/19/2019 CAPITOLUL_2- Metode de Studiu Ale Ciberneticii Economice. Modelarea Si Simularea Sistemelor Cibernetice

1/142


2/142

Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 2

complexe. &ele mai multe metode de acest tip sunt cele care au la

bază teoria ecuaţiilor diferenţiale sau cu diferenţe nite !în primul caz

sistemele sunt considerate continue în timp, iar în al doilea caz ele

sunt considetate în timp discret". (xistă astăzi o multitudine de modele

de acest tip precum şi metode de rezolvare a acestora deosebit de

perfecţionate, toate acestea încerc%nd să surprindă c%t mai multe

dintre proprietăţile dinamice ale sistemelor modelate.

Modelarea bazată pe aenţi este o metodă mai recentă,

dezvoltată în ultimii douăzeci de ani, care porneşte de la proprietăţile

sistemelor adaptive complexe, în special de la cele datorate alcătuirii

acestora din aenţi individuali, ecare dintre aceştia acţion%nd

autonom şi raţional, într-un context denit de alţi aenţi sau de alte

sisteme a)ate în mediul încon#urător. Modelele bazate pe aenţi sunt

din ce în ce mai evoluate, reuşind să surprindă mult mai multe dintre

proprietăţile importante pe care la au sistemele adaptive complexe.

Modelarea inspirată de natură reprezintă cea mai recentă

tendinţă de modelare dezvoltată în cibernetică şi ea porneşte de la

anumite proprietăţi şi comportamente observate în sistemele din

natură, mai ales la Metoda modelării este completată frecvent de simularea

sistemelor adaptive complexe care utilizează metode specice pentru

a produce anumite sc$imbări în sistem sau în mediul său încon#urător

în vederea studierii modicărilor ce se produc ca urmare a acestora în

structura sau comportamentul întreului sistem adaptiv complex. *n

cadrul ciberneticii este frecvent utilizată ca metodă de simulare

+inamica istemelor, introdusă de a /orrester pornind de la

perceptele de bază ale ciberneticii de ordinul înt%i.

2.1 Modelarea – metoda de bază a ciberneticii


3/142


Modelarea, sau abilitatea de a descrie o situaţie sau o stare cu

care se confruntă un observator uman, reprezintă o activitate

intelectuală conştientă sau inconştientă care precede cvasitotalitatea

deciziilor luate, formularea unei opinii sau comunicarea acesteia. Nu ne

temem să armăm că modelarea, prezentă în toate acţiunile şi

raţionamentele umane, reprezintă una dintre cele mai sosticate forme

de activitate intelectuală umană, comparabilă doar cu activitatea de

creaţie artistică, fără de care însăşi viaţa şi comportamentul uman nu

ar posibile.

Modelarea, la o primă aproximare, are drept rezultat elaborarea

unui model cu ajutorul căruia se descrie, se înţelege sau se percepe o

situaţie din lumea înconjurătoare care nu este altfel accesibilă

observatorului uma. Wilson !""#$ spune că% 01n model este o

interpretare explicită a unei situaţii sau c$iar a unei idei despre

această situaţie. (l poate exprimat matematic, simbolic sau în

cuvinte. +ar este în esenţă o descriere a entităţilor !elemente,

subsisteme", proceselor sau atributelor şi a relaţiilor dintre ele. (l

poate prescriptiv sau ilustrativ, dar înainte de toate trebuie să e

util2.&t't procesul de modelare c't şi modelul pot reprezentate în

mod abstract utiliz'nd conceptele teoriei sistemelor. &stfel, e ( un

sistem denit ca o mulţime de subsisteme elemente, agenţi$ ( i, i∈N şi

de relaţii ) * N jir ij ∈,, . +n mulţimea ( sunt incluse, de regulă, at't

sistemul modelat c't şi mediul său înconjurător sisteme descise$ +n

caz contrar vorbim despre sisteme încise. (istemele reale, indiferent

de natura lor, sunt percepute şi descrise de către oameni, pe care îivom denumi observatori, - aceştia av'nd un anumit nivel de

cunoaştere relativ la sistemele respective. Mulţimea acestor descrieri

cunoscută de către observatori se numeşte universul reprezentărilor

posibile şi o vom nota cu /. 0entru a putea comunica aceste


4/142


reprezentări observatorii cunosc şi utilizează anumite instrumente

matematice, grace, gurative, limbaje etc.$ ce vor reprezenta

tenicile de modelare, 1. +n afara observatorilor, în procesul de

modelare pot interveni şi destinatarii beneciarii$ modelelor, 2 care

pot decidenţi, diferiţi utilizatori sau ciar oameni obişnuiţi.

&tunci, modelul M al unui sistem S poate denit ca ind

cvintuplul%

M = { } DT U H S ,,,, .

0rocesul de modelare are drept scop şi rezultat nal obţinerea

unui model M al unui sistem dat, S. &cest lucru nu înseamnă însă

cunoaşterea tuturor elementelor încorporate în deniţia modelului M,

lucru de altfel imposibil datorită at't volumului foarte mare de

informaţie cuprinsă în unele dintre aceste mulţimi, dar mai ales

datorită evoluţiei permanente a cunoaşterii care este încorporată

mulţimilor respective. 2e aceea, procesul de modelare presupune

extragerea informaţiei relevante din mulţimile respective şi obţinerea

unei reprezentări a sistemului sub forma unui model care satisface într3un anumit grad cerinţele exprimate de destinatarii beneciarii$

modelelor. 4xtragerea informaţiei se face printr3o tenică de modelare

aleasă din mulţimea de tenici cunoscute, 1. Modelul astfel obţinut

trebuie să satisfacă nu numaiu exigenţele observatorului -, dar şi pe

ale destinatarului beneciarului$ său 2, care are anumite informaţii

iniţia5le de spre S, notate 6(. 4vident că 6M diferă de 6(, procesul de

modelare put'nd interpretat şi ca încercarea de a minimiza diferenţadintre informaţiile deţinute de observator şi informaţiile deţinute de

destinatar.

0rocesul de modelare poate atunci reprezentat ca în gura 7.!.

Observator

IS

IM

IS’

8igura 7.!

T

M

Sistem modelat

Destinatar


5/142


&ltfel spus, modelul reprezintă o relaţie între observator şi

destinatar prin care primul comunică celuilalt reprezentarea sa despre

un sistem real. 2estinatarul poate folosi reprezentarea astfel obţinută

pentru a exercita o anumită in9uenţă asupra sistemului real. 2esigur

că o astfel de denire a modelului este foarte generală. 0entru

operaţionalizarea acesteia, putem introduce următoarea deniţie%

M este un model al lui S dacă şi numai dacă%

i$ M şi S sunt am'ndouă sisteme:

ii$ 0entru orice element subsistem$ Si∈S, exista cel mult unelement submodel$ Mi∈M;

iii$ 0entru orice relaţie rij∈) dintre elemntele lui S există cel multo relaţie corespunzătoare mij∈M între elementele subsistemele$componente: şi

iv$ 0entru orice mulţime de elemente submodele$ legate printr3orelaţie mij în M este adevărat că există o mulţime corespunzătoare de

elemente subsisteme$ din S, legată printr3o relaţie corespunzătoare rij.

;ondiţia i$ asigură ca at't sistemul c't şi modelul acestuia au

elemente, conexiuni între acestea , precum şi scopuri. ;ondiţia ii$ arată


6/142


că M are cel mult acelaşi număr de elemente ca şi S. ;ondiţia iii$

asigură că modelul M este mai simplu dec't sistemul S în ceea ce

priveşte relaţiile dintre elemente. +n sf'rşit, condiţia iv$ asigură ca

modelul M să e util, în sensul că orice se spune despre model este

adevărat şi pentru sistemul modelat. +n gura 7.7 se reprezintă

scematic această deniţie operaţională.

+n cibernetică, informaţia reprezintă nucleul oricărui model

operaţional, modelul încerc'nd să aducă un plus de informaţie

utilizatorului în ceea ce priveşte cunoaşterea sistemului modelat.

0entru a putea utilizat de destinatar, modelul trebuie să

îndeplinească o serie de proprietăţi generale, dintre care cele mai

importante sunt următoarele%

a) Non-simetria: dacă & modelează < atunci < poate să nu

modeleze &:

b) Refei!itatea : orice sistem este un model al lui însuşi:

c) "ranziti!itatea: dacă & este un model al lui < şi < este un

model al lui ; atunci & este un model al lui ;:

d) Non-trans#erabilitatea: două modele ale aceluiaşi sistem

nu sunt în mod necesar ecivalente. &ltfel spus, putem reprezenta un

Sistem modelat

Model

S1

Figura 22

S3

S2

S4

M13 M

24


7/142

Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea !

sistem în mai multe moduri, asociindu3le modele care nu au relaţii între

ele:

e) Red$cerea com%leită&ii: dacă & modelează < atunci &

este cel mult la fel de complicat ca


8/142

Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea "

% este ecare element relevant din sistem reprezentat printr3un

element din model> 2acă nu, sunt elementele absente într3adevăr

relevante> ;are este relevanţa modelului fără aceste elemente> 4tc.

*aliditatea model$l$i reprezintă criteriul cel mai important de

apreciere a valorii unui model. /n model care nu este valid poate

genera implicaţii şi concluzii incorecte privind sistemul modelat.

6nferenţele logice privind performanţele sistemului, bazate pe modele

invalide, vor ele însele neadevărate. Aaliditatea modelelor se poate

determina prin întrebări de forma% rezultatele obţinute prin utilizarea

modelului corespund rezultatelor observate în sistemul real> 2acă nu,

abaterile observate sunt de natură să conducă la invalidarea

modelului> 2acă da, ce scimbări sunt necesare în model pentru a

elimina aceste diferenţe>

0entru a asigura îndeplinirea acestor criterii privind valoarea

modelelor, %roces$l de modelare cibernetică se desfăşoară în mai

multe etape, aşa cum se reprezintă în gura 7.B.

8igura

VALIDAREAMODELULUI

ELABORAREAMODELULUI

ANALIZA

SISTEMULUI

SISTEMMODELAT

ANALIZA

INFORMAŢIEIOBSERVAREASISTEMULUI

TEORIE

MEDIUL

EXTERN


9/142

Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea #

+rinci%alele eta%e ale %roces$l$i de modelare sunt deci

următoarele:

,1) bser!area sistem$l$i este, de regulă, etapa iniţială a

procesului de modelare. +n cadrul acestei etape, pornind de la o teorie

sau metodologie elaborată anterior, se culeg date şi informaţii despresistemul care urmează a modelat şi=sau mediul său înconjurător.

,2) naliza /i inter%retarea in#orma&iei urmează imediat

după etape de observare. 6nformaţiile culese pot , de multe ori, foarte

diverse sau într3un volum extrem de mare. &ceste informaţii sunt

clasicate, ordonate, separate de informaţiile irelevante sau

redundante, răm'n'nd în nal doar informaţia relevantă, care va

utilizată efectiv în elaborarea modelului. 2e regulă, această etaspăutilizează diferite metode statistice, econometrice sau de data mining

care cresc ecienţa şi precizia informaţiilor astfel obţinute.

,0) naliza sistem$l$i are drept obiectiv principal obţinerea de

informaţii relevante despre sistem prin studiul proprietăţuilor acestuia

care pot evidenţiate fără utilizarea unui anumit model. &naliza de

sistem se face pe baza unor percepte teoretice şi practice riguroase şi

a unor metodologii de analiză de sistem. (e stasbilesc în cadrul acestei

etape principalele subsisteme ale sistemului analizat, variabilele şi

parametrii care denesc sistemul respectiv, interdependenţele dintre

acestea, factorii care determină scimbări de comportament în sistem

şi modul în care mediul înconjurător in9uenţează sistemul modelat.

Metodele de analiză de sistem utilizate în cibernetică sunt foarte


10/142

Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 1$

diverse şi multe dintre ele se efectuează cu ajutorul calculatoarelor şi a

unor softuer3uri foarte dezvoltate.

,) laborarea %ro%ri$-zisă a model$l$i reprezintă etapa

centrală a întregului proces de modelare. 4a are drept principal

obiectiv obţinerea unui model al sistemului într3o formă anterior

stabilită matematică, gracă, etc,$. +n cadrul acestei etaspe sunt

stabilite principalele relaţii dintre variabilele şi parametrii sistemului,

sunt structurate principalele blocuri ale modelului şi conexiunile dintre

acestea. +n cadrul modelului elaborat se specică datele şi informaţiile

necesare pentru ca el să poată rezolvat utiliz'nd o anumită metodă

de rezolvare.

,3) *alidarea model$l$i reprezintă etapa nală a procesului de

modelare în cadrul căreia modelul obţinut este testat iar soluţia

acestuia este comparată cu proprietăţile sistemului modelat. Aalidarea

modelului poate conduce la anumite modicări ale acestuia, astfel

înc't să răspundă mai bine obiectivelor urmărite. /neori validarea

poate conduce la concluzia că întregul procers de modelare trebuie

reluat, astfel înc't să se îmbunătăţească în mod semnicativ

performanţele modelului elaborat. 4xistă, de asemenea, diferitemetode de validare care depind de tipul de model elaborat, de

dimensiunile acestuia sau de precizia datelor şi informaţiilor dorite.

2e regulă, modelare sistemelor cibernetice se clasică în raport

cu mai multe criterii, cum ar tenica de modelare utilizată sau

domeniul de aplicare al modelului realizat.

+n ceea ce priveşte tenica de modelare utilizată, se pot distinge

patru categorii principale de tenici de modelare cibernetică%

!$ Modelarea bazată pe ecuaţii:

7$ Modelarea bazată pe agenţi:

B$ Modelarea inspirată de natură: şi

C$ (imularea sistemelor cibernetice.


11/142


8iecare dintre aceste procese de modelare utilizează o tenică

specică pentru a surprinde caraceristicile esenţiale ale sistemelor

modelate, produsul lor ind un model cibernetic ce este apoi utilizat în

procesele informaţionale şi=sau decizionale din sistemele respective.

Modelele obţinute sunt denumite, uneori, în funcţie de tenica de

modelare utilizată cu precădere în obţinerea lor, modele bazate pe

ecuaţii modele matematice$, modele bazate pe agenţi, modele

inspirate de natură sau modele de simulare. +n continuarea acestui

capitol vom prezenta doar modelele bazate pe ecuaţii şi modelele

bazate pe agenţi şi vom introduce unele elemente de simulare a

sistemelor cibernetice, modelle inspirate de natură ind abordate mai

t'rziu.

2.2 Modelarea bazată %e ec$a&ii 4n economie

+ncă de la apariţia ei ca ştiinţă, cibernetica a promovat ca

metodă de bază în studierea diferitelor tipuri de sisteme abordate

metoda modelării matematice.

Modelarea matematică este utilizată nu numai în cibernetică dar şi înmulte alte discipline ştiinţice cum ar zica, astronomia, mecanica,

biologia, genetica etc. +n esenţă, modelarea matematică înseamnă

asocierea unui sistem sau unei proprietăti esenţiale a acestuia cu un

model matematic, adică un obiect formal scris într3un anumit limbaj

propriu unei anumite teorii matematice. 2e exemplu, în mecanică sunt

utilizate cu precădere meodelele dinamice continue datorită faptului că

ele reuşesc să surprindă proprietatea esenţială a sistemelor mecanicede a se deplasa în timp. (istemele zice sunt descrise de o largă

varietate de modele matematice, discrete sau continue, deterministe

sau probabiliste, clasice sau cuantice, după cum vrem să evidenţiem

unele sau altele dintre proprietăţile acestor sisteme. (istemele

planetare pot modelate utiliz'nd modele diferenţiale sau cu derivate


12/142


parţiale, ale căror soluţii descriu evoluţia corpurilor cereşti într3o

anumită perioadă de timp aleasă arbitrar. 6mportantă pentru aceste

modele nu este numai traiectoria de rotaţie şi cea de revoluţie descrise

de corpurile respective dar şi stabilitatea acesteia de exemplu

problema celor trei corpuri rezolvată de -. 0oincarD$.

2.2.1 Modele dinamice contin$e

(ă denim, mai înt'i, modelul dinamic diferenţial al unui sistem

cibernetic, după care să dăm o modalitate de reprezentare a scemei

de reprezentare a unui astfel de sistem.

5e6ni&ia 2.1 Modelul dinamic liniar al unui sistem cibernetic estesistemul { }η ϕ ,,,,,,, Γ Ω= Y U X T S ale cărui elemente îndeplinesc

condiţiile%

%1& Z T ⊆ model dinamic discret$ sau T ⊆ model dinamic

contin$$$:%2& Mulţimile Γ Ω ,,,, Y U X sunt spaţii liniare:%3& 7$nc&ia de trans#er a stării X X T T →Ω×××'ϕ dată de%

&(,),*%() $$ ω ϕ t !t t t ! = este liniară pe mulţimea Ω× X deci

&,$,*%&$,,*%&(,),*% $$$$ ω ϕ ϕ ω ϕ t t !t t t !t t +=%4& 7$nc&ia de ie/ire Y X T →×'η dată de relaţia (&)*%() t !t t " η = este

liniară pe mulţimea X , deci% ()()() t !t ct " =

0entru a concretiza această deniţie, vom considera că pe spaţiul

liniar X este denită o bază şi că m X =(dim) . 2e asemenea, spaţiul

funcţiilor de intrare admisibile Ω are dimensiunea m p ≤

(tarea sistemului cibernetic la un moment dat de timp se va deni

ca un vector X ! ∈

. &tunci diferenţiala acestui vector,dt d! +

va tot unvector care poate descom%$s după coordonatele bazei în m

componente% +,,+,+ 21 dt d!dt d!dt d! m

;oform condiţiei EBF din deniţia de mai sus, ecuaţia%

(&),*%+ t u !t # dt d! = este liniară pe mulţimea Ω× X , deci ea poate


13/142


scrisă ca o combinaţie liniară de vectorii x şi u. +n consecinţă, vectorul

introdus dt d! + poate scris%

++++++=

++++++=

++++++=

pmpmmmmmm

p pmm

p pmm

ubub !a !adt

d!

ubub !a !adt

d!

ubub !a !adt

d!

1111

212121212

111111111

unde a şi b sunt coordonatele vectorilor x şi p.

Aom introduce matricele%

,

()

()

()

2

1

=

t !

t !

t !

!

m

,

()

()

()

2

1

=

t u

t u

t u

u

p

,

21

22221

11211

=

mmmm

m

m

aaa

aaa

aaa

$

=

mpmm

p

p

bbb

bbb

bbb

%

21

22221

11211

(e observă că vectorul de stare ()t ! are dimensiunea 1×m ,

vectorul de comandă ()t u dimensiunea 1× p , matricea de stare ()t $

dimensiunea mm× , iar matricea de comadă ()t % dimensiunea pm ×

0utem atunci scrie%

()()()()()()

t ut %t !t $t !dt

t d!+==

;onsider'nd acum spaţiul liniar al mărimilor de ieşire G av'nd

dimensiunea n, şi pornind de la proprietatea ECF din deniţia 7.!, relaţia

()()() t !t ct " = poate reprezentată sub forma unei combinaţii liniare de

vectori x şi coordonatele vactorilor H%

+++=

+++=

+++=

mnmnnn

mm

mm

!c !c !ct "

!c !c !ct "

!c !c !ct "

2211

22221212

12121111

()

()

()

(criind matricial%


14/142


,

()

()

()

()2

1

=

t "

t "

t "

t "

n

=

nmnn

m

m

ccc

ccc

ccc

t C

21

22221

11211

()

obţinem%

()()() t !t C t " =

0utem da acum următoarea deniţie%

5e6ni&ia 2.2. (istemul cibernetic este descris de următorul

model dinamic liniar nit şi cu timp continuu$%

=

+=

()()

()()()

t C!t "

t %ut $!dt

t d!

0rimele ecuaţie a modelului se numeşte ec$a&ia de dinamică a

,stării) sistemului, iar a doua, ec$a&ia de ie/ire.

+n unele cazuri, model$l dinamic liniar poate şi sub forma%

(()(,)(,)) t C t %t $S = , respectiv% (,,) C % $S =

2.2.2 Re%rezentarea modelelor cibernetice c$ a8$tor$l

sc9emelor str$ct$rale

(cema structurală a unui model cibernetic este reprezentarea

gracă a intercaţiunii dintre elementele şi3sau subsistemele alcătuind

sistemul cibernetic respectiv.

(e pot utiliza, pentru aceasta, o serie de simboluri grace simple

cum sunt cele din gura 7.C.

+n gura, 7.C a$ se reprezintă simbolul inte'rator, asociat

operaţiei de integrare a intrării. 2eci, dacă la intrare avem variablia()t ! , la ieşire vom avea mărimea ∫ () dt t ! (e observă că avem

integratorul unidimensional, cu o intrare şi cu o ieşire şi integratorul

multidimensional, av'nd mai multe intrări şi mai multe ieşiri.


15/142


16/142


0entru a detalia această scemă structurală, se observă mai înt'ică blocul matricial ;t$ transformă starea xt$ în iesirea Ht$.

;onsider'nd forma analitică a ecuaţiei matriciale de ieşire%

()()() t !t C t " = se poate construi scema structurală din gura 7.J.

+n ceea ce priveşte scema structurală corespunzătoare ecuaţiei

matriciale de dinamică a stării%

()()() t %ut $!t ! +=

pornind de la forma lor analitică şi introduc'nd notaţiile%

.)t(

B(t) Σ C(t)

A(t)

u)t( ./)t( 0)t( )t(

8igura 7.I

-12

-1m

-11

-21

-22

-2m

-n1

-n2

-nm

Σ

Σ

Σ

1

2

3

8igura 7.J


17/142

Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 1!

+++=

+++++=

+++++++=+++++++=

−−−−−−−

+

pmpmmm

p pmmmmmmm

p pmm

p pnn

ububub &

ubub !a !a &

ububub !aua !a !a &

ububub !a !a !a &

2211

,111,111,111,11

222212124242221212

121211113131111

putem scrie%

++++=

+=

+=

+=

−−−

mmmmmmm

mmmmm

& !a !a !adt

d!

& !a

dt

d!

& !adt

d!

& !adt

d!

2211

1,11

23232

12121

;onsider'nd acum% $ 121 ==== −m & & & obţinem

1 ,12312 ==== − mmaaa

Notăm 112$1 *** −−=−=−= mmmmm aaaaaa şi obţinem%

+−−−−=

=

=

− mmmm & !a !a !a

dt

d!

!dt

d!

!

dt

d!

1211$

32

21

+nlocuind prima ecuaţie în cea de3a doua, a doua în a treia

ş.a.m.d., obţinem, în nal, ecuaţia diferenţială de ordinul m%

m

m

m

m

& !adt

d!

adt

!d

adt

!d

=++++

−

− 1$1

11

1

11

(cema structurală a aceste ecuaţii este reprezentată în gura

7.K.


18/142

Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 1"

2.2.0 Rezol!area modelelor dinamice di#eren&iale

) az$l modelelor sistemelor nesta&ionare

(ă considerăm modelul nestaţionar%

=+=

()()()

()()()()()

t !t C t "

t ut %t !t $t !

în care notaţiile sunt cele obişnuite, dimensiunile sunt aceleaşi, iar

matricele &, < şi ; depind de timp.

8ie dată o stare iniţială a sistemului sub forma unui vector

(()(,,)(,))() $$2$1$$ t !t !t ! !t ! m==

Sol$&ia model$l$i sistem$l$i nesta&ionar xt$ va atunci deforma% (,,*)() $$ u !t t t ! ϕ = unde se includ între argumentele funcţiei de

dinamică a stării )(ϕ , condiţia iniţială şi efectele comenzii u.

)ezolvarea ecuaţiei diferenţiale matriceale%

()()()()() t ut %t !t $t ! += care reprezintă dinamica variabilelor de stare

am1

a1

a$

+++---

… …

8igura 7.K


19/142

Capitolul 2 Metode de Studiu ale Ciberneticii Economice. Modelarea şi Simularea 1#

xt$ necesită determinarea, într3o primă etapă, a unei matrice

fundamentale de soluţii ()t Ψ , după care, prin normalizarea acesteia,

a matricei de transfer a stării, (,) $t t ϕ în raport cu care se poate apoi

scrie frma generală a soluţiei ecuaţiei matriceale date.

(ă parcurgem, în continuare, principalele eta%e de rezol!are a

model$l$i dinamic nesta&ionar.

[1] 5eterminarea matricei #$ndamentale de sol$&ii ()t Ψ

Matricea ()t Ψ reprezintă o matrice nesingulară de dimensiuni

mxm ale cărei coloane reprezintă, ecare, un vector de soluţii

particulare ale sistemului liniar omogen%

()()()

t !t $t ! =

obţinut, deci, prin $≡u

2eoarece, în determinarea matricei fundamentale de soluţii,

putem utiliza condiţii iniţiale diferite, există o innitate de astfel de

matrice, obţinute ecare prin scimbarea condiţiilor iniţiale.

4vident că ecare dintre ele satisface ecuaţia omogenă%

()()()

t t $t Ψ=Ψ

em%l$l 2.1.% 4cuaţia omogenă% ()$

$1()

t !t

t !

−= este

ecivalentă cu sistemul de ecuaţii%

=

−=

()()

()()

12

11

t t!t !

t !t !

(oluţia primei ecuaţii este de forma% t e !t ! −= 1$1 () , unde x!# este o

constantă de integrare dependentă de condiţiile iniţiale.

+nlocuind în a doua ecuaţie, obţinem%


20/142


2$1$1

1$2

!e !te ! ! t ++= −− , e unde, prin integrare, avem%

2$1$1$2 () !e !te !t ! t t ++−= −−

unde x7# este o constantă de integrare dependentă de condiţiile

iniţiale.

0entru a obţine vectorii de soluţii particulare necesari matricei

fundamentale de soluţii, alegem un sistem de două condiţii iniţiale, de

exemplu%

1,$ 2$1$ == ! ! pentru care% (,1$)() 21122 =ΨΨ=Ψ respectiv

$,1 2$1$ == ! ! pentru care% ((1))() 21122 t ee t t +−=ΨΨ=Ψ −−

&tunci matricea ()t Ψ se va scrie%

+−=

ΨΨ

=Ψ −−

(1)1

$()

2

1

t e

et

t

t T

care este singulară şi, în consecinţă, este o matrice #$ndamentală de

sol$&ii.

(e poate arăta uşor că această matrice satisface ecuaţia%

()()()

t t $t Ψ=Ψ

[2] b&inerea matricei de trans#er a stării

/tilizarea matricei fundamentale ()t Ψ introduce o

nedeterminare, deoarece există un număr innit de astfel de matrice.

0entru înlăturarea acestei nedeterminări, vom utiliza o matrice

fundamentală normată, numită matrice de trans#er a stării (,) $t t φ

care satisface, deci, relaţia%

()()(,) $1$ t t t t −ΨΨ=φ pentu toţi (,), $ ∞−∞∈t t .

2eoarece ()t Ψ este nesingulară, avem, pentru toţi t, matricea

inversă ()1 t −Ψ .

Matricea de transfer a stării (,) $t t φ satisface următoarele relaţii%

• ' t t t t =ΨΨ= −

()()(,) 1φ


21/142


• (,)()()(,) $1

$$1 t t t t t t φ φ =ΨΨ= −−

• (,)(,)()()()()()()(,) $112$1

111

2$1

2$2 t t t t t t t t t t t t φ φ φ =ΨΨΨΨ=ΨΨ= −−−

(ă arătăm, utiliz'nd aceste proprietăţi, că matricea de transfer a

stării (,) $t t φ este unic denită şi satisface şi ea ecuaţia diferenţială

omogenă $! ! = .

&stfel, în cazul unicităţii, presupunem că s3au construit două

matrice fundamentale de soluţii Ψ şi −Ψ . 2eoarece coloanele acestor

matrice sunt vectori liniar independenţi matricele ind nesingulare$

ele pot construi baze. &tunci există o matrice de transformare

nesingulară 0 astfel înc't% ( Ψ=Ψ− .

2ar

(,)()()&()%()()$)(,) $$11

$$

1

$ t t t (( t ( t ( t t t t t φ φ =ΨΨ=ΨΨ=ΨΨ= −−

−−−−

deci matricea de trans#er a stării (,) $t t φ este unică.

(ă arătăm acum, că acestă matrice (,) $t t φ satisface ecuaţia%

()()()

t !t $t ! = .

&stfel, dacă diferenţiem relaţia% ()()(,) $1

$ t t t t −ΨΨ=φ , obţinem

()()(,) $1

$

t t t t −ΨΨ=Φ .

2ar% ()()()

t t $t Ψ=Ψ , deci ()()()()(,) $1

$

t $t t t $t t =ΨΨ=Φ − cu

condiţia iniţială% ' t t t t =ΨΨ= − ()()(,) $1

$φ .

[] Scrierea sol$&iei model$l$i dinamic di#eren&ial

$tiliz4nd matricea de trans#er a stării (,) $t t φ


22/142


(oluţia modelului dinammic diferenţial constă în determinarea

unei expresii care să arate dependenţa stării xt$ de matricea (,) $t t φ şi,

eventual, de condiţiile iniţiale.

&ceastă expresie este de forma%

∫ Φ+== # t

t

d u %t !t t u !t t t !

$

()()(,)(,)(,,*)() $$$$ τ τ τ τ φ ϕ sau, ceea ce este

acelaşi lucru cu% ∫ Φ+= # t

t

d u %t !t t t !

$

&()()(,)(%,)() $$ τ τ τ τ φ

(ă demonstrăm, în continuare, că este într3adev'r aşa. 0entru

aceasta, trebuie să arătăm că relaţia dată este satisface ecuaţia de

dinamică a stării%

()()()()()

t ut %t !t $t ! +=

Aom diferenţia mai înt'i pe xt$ şi apoi vom înlocui în ecuaţia de

mai sus.

+ntruc't xt$ este dat de o ecuaţie integrală, să utilizăm regula de

diferenţiere a integralelor%

dt d t #

dt d t # d

t t # d t #

dt d 11

22 (,#(,)(,)(,)

2

1

2

1

τ τ τ τ τ τ τ τ

τ

τ

τ

τ

−+∂∂== ∫ ∫

(e observă că, în cazul nostru, $1 t =τ deci $1 =dt

d τ iar t =2τ deci

12 =dt

d τ .

0utem acum scrie%


23/142


∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

+Φ+Φ=

Φ+Φ=+Φ+Φ=

=Φ+∂

Φ∂+Φ=

=Φ+Φ=Φ+Φ=

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t ut %d u %t !t t t $

du %t t $ !t t t $t ut %d u %t !t t

t ut %t t d u %t

t !t t

d u %t dt

d !t t

dt

d d u %t !t t

dt

d t !

$

$ $

$

$$

()()&()()(,)(,)(%)

()()(,)()(,)()()()()()(,)(,)

()()(,)()()(,)

(,)

()()(,)(,()&()()(,)(,)%()

$$

$$$$

$$

$$$$

τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ τ τ

+n paranteza dreaptă se observă că avem tocmai xt$, deci am

obţinut că% ()()()()()

t ut %t !t $t ! += .

[!] Sol$&ia com%letă a model$l$i dinamic di#eren&ial

Φ+Φ==

Φ+Φ=

∫

∫ t

t

t

t

d u %t !t t t C t !t C t "

d u %t !t t t !

$

$

&()()(,)(,)(%)()()()

()()(,)(,)()

$$

$$

τ τ τ τ

τ τ τ τ

) az$l modelelor sistemelor dinamice sta&ionareModelele sistemelor dinamice staţionare sunt caracterizate de

faptul că matricele de stare comandă respectiv de ie/ire sunt

constante, deci%

=+=

()()

()()()

t C!t "

t %ut $!t !

(ă determinăm soluţia acestui model staţionar. 0entru aceasta,

vom considera, mai înt'i, sistemul omogen ()()

t $!t ! = , cu condiţia

iniţială dată, $$() !t ! = .

2ezvoltăm funcţia xt$ în serie MacLauren în jurul punctului x*#

pentru condiţia iniţială dată $$ () !t ! = .


24/142


,4342

()32

$ ++++= t

!t

!t ! !t ! unde%$$

2

2

$

$

*

t t t t dt

!d !

dt

d! !

==

== ş.a.m.d.

2iferenţiind ecuaţia omogenă ()()

t $!t ! = , obţinem succesiv%

32

2

3

3

22

2

! $dt

!d $

dt

!d

! $dt d! $

dt !d

==

==

i, înlocuind în expresia obţinută a lui xt$ prin dezvoltarea în serie

MacLauren difeneţialele de mai sus, avem%

$2

2

$2

2

$$ (42

)42

() ! $t

t$ ' ! $t

t$! !t ! +++=+++=

+n paranteză avem o funcţie matriceală de & şi, prin analogie cu

dezvoltarea în serie a funcţiei exponenţiale, o putem nota cu $t e .

&şadar% 42

22

+++= $t

t$ ' e $t intervine în soluţia sistemului

staţionar omogen ()()()

t !t $t ! =

(e poate arăta că matricea fundamentală de soluţii a acestui

sistem este tocmai $t et =Ψ () în timp ce matricea de transfer a stării

(,) $t t Φ se determină uşor ca ind%

∫

∫ ∫

−+=

=−+=−+=

−

−−−

t

t

t t $

t

t

t

t

t t $t t $t t $

d %ut $ !e

%ut $e !ed %ut $ !et !

$

$

$$

$$$

&()()%

()()()()()

$$()

$()

$()

$()

τ τ τ

τ τ τ τ τ

∫ −+= −t

t

t t $ d %ut $ !Cet "

$

$ &()()%() $$() τ τ τ

2.2. %roimarea #$nc&iei matriceale $t e


25/142


26/142


(,)

()

()

()()1

11

1

1

1*

m

i* *

m

i

i*

m

i

i

m # ( ) λ

λ λ

λ λ

λ λ ∑∏

∏+

≠=+

=

+

=

−

−==

iar polimoanele (Hlvester sunt%

,()

()

()

1

11

1

1

1 t

m

i* *

m

i

i*

m

i

i

m * e

' $

$ ( λ

λ λ

λ

∑∏

∏+

≠=+

=

+

=

−

−

=

2.2.3 Modele dinamice discrete

8orma generală a modelelor dinamice discrete ale sistemelor

cibernetice este următoarea%

=

+=+t t t

t t t t t

!C "

u % ! $ ! 1

unde t*#,!,7,.., sau, mai general, t∈ G.+n cazul sistemelor staţionare avem%

=+=+t t

t t t

C! "

u % ! $ ! 1

Modelele dinamice discrete au proprietatea importantă că

variabilele de stare, comandă şi ieşire iau valori la momante de timp

discret, astfel că traiectoria de stare, de exemplu, se va scrie%

{ }T t ! ! ! ! ! ,,,,,, 21$ , unde " este moment$l 6nal de tim% dacă

este dat$, iar x# este starea iniţială, în general cunoscută.

%eratorii de 4nt


27/142


aplicăm operatorul de înt'rziere de ordinul n, Ln, unui şir de stări

{ } −∞=∞

t t ! obţinem un nou şir de stări { } −∞=∞

− t nt ! .

Aom inroduce, în continuare, polinoame cu operatori de înt'rziere

de forma% ∑=

=+++=n

j

j j +c +a +aa + Z

$

221$ () , b j, c j ind constante.

;el mai simplu exemplu de polinom raţional în L este%

+ + Z

λ −=

1

1()

tiim că, dacă 1


28/142


+n acest caz avem%

1

1

22

1 (1

)(1

)1

1

1+

∞

=++ ∑=−−−=− t

i

i

t t t ! ! ! ! + λ λ λ λ

unde 1>λ .

) Modele dinamice discrete de ordin$l 4nt


29/142


1,11

1(1)

11

(1)

1

$ $

$$

$

$

1

$

1

$ $$

1

$

≥

++

−++

−−=

=+++−

+−−

=

=++++=

∑ ∑

∑∑

∑ ∑∑∑

−

=

∞

=−−

∞

=−−

−

=

−

=

∞

=−−

∞

=

−

=

t cububa

eububaa

cububaa !

t

i i

iit

it i

t

i

t i

it it

t

i

it t

t

i i

t it

iit i

i

it

i

it

λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

λ

λ

λ

λ λ λ λ λ

(e observă că termenul dintre acolade este tocmai x # conform

soluţiei generale, deci%

∑−

=− ++−

−=

1

$

$1

(1) t

i

t it

it

t !uba

! λ λ λ

λ

sau

∑−

=−+−−−−=

1

$

$ (1)1

t

i

it it

t ub

a

!

a

! λ λ λ λ

care reprezintă forma generală a soluţiei ecuaţiei cu diferenţe de

ordinul înt'i.

2acă ut*# atunci%

(1

)1

$λ

λ λ −

−−−

= a

!a

! t

t

care este soluţia ecuaţiei cu diferenţe nite a ! ! t t += −1λ în condiţiile

iniţiale x#*#.

(e observă că dacăλ −

=1

$

a ! atunci xt*x# pentru toţi t, deci

λ −1

a

este un punct staţionar sau de ecilibru pe termen lung al lui x.

&celaşi lucru se obţine dacă presupunem că 1


30/142


+n cazul în care sistemul cibernetic este descris de ec$a&ii c$

di#eren&e 6nite de ordinul doi de forma%

,2211 t t t t bua !t !t ! +++= −−

utiliz'nd operatorul de înt'rziere, obţinem%

t t bua ! +t +t +=−− (1)22

11

&sociem polinomului operatorial ecuaţia caracteristică%

$112

2 =−+ λ λ t t

şi notăm cu 21,λ λ rădăcinile valorile proprii$ acestuia.

2acă 21 λ λ ≠ şi 11 ≠λ , atunci ecuaţia cu diferenţele nite de

ordinul doi se mai poate scrie%

t t bua ! + + +=−− (1()1) 21 λ λ care are soluţia generală de forma%

t t t ccu

+ +

b

+ +

a ! 22111

2121 (1()1)(1()1)λ λ

λ λ λ λ ++

−−+

−−=

unde c! şi c7sunt constante de integrare.

(e verică uşor că această soluţie verică ecuaţia cu diferenţe

înmulţind în ambele părţi cu (1()1) 21 + + λ λ −− %

t t t t c + +c + +bua ! + + 2221112121 (1()1)(1()1)(1()1) λ λ λ λ λ λ λ λ −−+−−++=−−

(e observă că ultimii doi termeni din partea dreaptă a acestei

egalităţi sunt zero deoarece 21,λ λ sunt rădăcinile caracteristice.

0entru a determina o soluţie particulară a ecuaţiei cu diferenţe

nite de ordinul doi trebuie să avem două condiţii asupra traiectoriei lui

xt

. 2e exemplu, dacă se dau valorile lui xt

pentru t*# şi t*!, ele sunt

suciente pentru a determina c! şi c7.

(oluţia generală se poate scrie şi în aşa fel înc't să nu depindă

de operatorul de înt'rziere L.


31/142


0entru aceasta, c'nd 21 λ λ ≠ ,

(11

)1

(1()1)

1

2

2

1

1

121 + + + + λ

λ

λ

λ

λ λ λ λ −−

−−=

−−

pe care, dacă o utilizăm în expresia soluţiei generale, obţinem%

∑ ∑∑ ∑ ∞

=

∞

=−−

∞

=

∞

=

++−

−−

+=

=++−−

−−−

+−−

=

$ $

2211221

21

$ $ 21

121

2211221

21

121

1

21 1

1

1

1

(1()1)

i i

t t it

iit

i

i i

ji

t t t t

ccub

ub

a

ccu +

bu

+

ba !

λ λ λ λ λ

λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λ λ λ

λ

λ λ λ

λ

λ λ

unde s3a utilizat faptul că pentru o constantă a%

(1)()

$ $

aH ,aa +,a + H

i i

ii

i === ∑ ∑∞

=

∞

=

(e observă că%

∑ ∑∞

=

∞

=

=−

•− $ $

2121 1

1

1

1

i i

iiii + +

+ +λ λ

λ λ

astfel înc't suma ∑ ∑∞

=

∞

=$ $

21

i i

ii λ λ este nită şi egală cu(1()1)

1

21 + + λ λ −−

presupun'nd că 11


32/142


unde

i

i

i ub

c −

∞

=∑−+= $$ 121

11$ λ

λ λ

λ θ

i

i

i ub

c −

∞

=∑−−= $

$

2

21

22$ λ

λ λ

λ η

în cazul în care ut

*#.

0entru 1≥t soluţia generală se scrie% 1$2$1 ≥+= t ! t t t η λ θ λ în raport

cu valorle posibile ale valorilor proprii, traiectoria de stare a

sistem$l$i { }t ! poate avea diferite forme, deci sistemul cibernetic are

componente distincte.

Mai înt'i, indiferent de valorile lui 1λ şi 2λ , dacă $$$ ==η θ pentru

toţi 1≥t $=t ! deci sistemul este într3un %$nct sta&ionar.

2acă ∈21,λ λ , atunci% $lim =∞→ t t ! dacă şi numai dacă 11


33/142


2eoarece variabila de stare trebuie să e reală, rezultă că $$ η θ +

trebuie să e reală, iar $$ η θ − trebuie să e imaginară. &ltel spus, $θ şi

$η sunt complexe conjugate. să spunem θ θ i pe=$ şiθ η i pe−=$ .

0arametrii p şi θ sunt aleşi în aşa fel înc't să satisfacă condiţiileiniţiale asupra lui xt.

"raiectoria l$i t în acest caz, este oscilantă, cu o frecvenţă

determinată de . factorul de amortizare r t depine de amplitudinea r a

rădăcinilor complexe.

Aaloarea staţionară xt*# se obţine pentru rP!. 2acă rQ! atunci

xt oscileză exploziv, indiferent de condiţiile iniţiale. 2acă rP! sistemul

oscilează amortizat. 2acă r*! oscilaţiile sistemului sunt de amplitudineconstantă.

0'nă acum am presupus că 21 λ λ ≠ . +n cazul în care ∈= 21 λ λ

avem%

∑∞

=

+=− $

2(1)

(1)

1

i

ii +i +

λ λ

, deci polinomul asociat ecuaţiei cu diferenţe

nite de ordinul doi se scrie% t i bua ! + +=−2(1) λ .

Sol$&ia 'enereală în acest caz este%

t t

i i

t ii

t t ccuibia ! λ λ λ λ 21$ $

1(1)(1) +++++= ∑ ∑∞

=

∞

=−

unde c! şi c7 sunt constante reale care depind de condiţiile iniţiale.

0resupun'nd că a*# soluţia de mai sus o mai putem scrie%

t t t

i t '

t i

it i

t t ccuibuib ! λ λ λ λ 21

1

$

1(1)(1) +++++= ∑ ∑−

=

∞

=−− sau

$$

1

$

(1) η λ θ λ λ t t t

i

it i

t t uib ! +++= ∑−

=

−

unde

∑∞

=−++=

$

$1$ (1) j

j ju jbc λ θ

∑∞

=−+=

$

$2$

j

j jubc λ η


34/142


&ceastă soluţie o putem analiza, în funcţie de valorile rădăcinii λ

, la fel ca mai sus.

) Modele dinamice discrete de ordin$l n

(ă considerăm un %olinom ra&ional de dimensiunea n%

,(1()1()1)

()

()

()()

21

1

2

1

+ + +

+ Z

+ Z

+ Z + Z

nλ λ λ −−−==

unde nλ λ λ ,,, 21 sunt valorile proprii ale ecuaţiei caracteristice asociate

ecuaţiei cu diferenţe de ordinul n. dacă rădăcinile nii ,1, =λ sunt toate

distincte, atunci%

,1

11(1()1()1)

()

2

2

1

1

21

1

+

.

+

.

+

.

+ + +

+ Z

n

n

n λ λ λ λ λ λ −++

−+

−=

−−−

unde z!, z7, ..., zn sunt constante care trebuie determinate.

0entru a le determina, înmulţim egalitatea de mai sus în ambele

părţi cu (1()1) 1 + + nλ λ −− şi obţinem%

1()1)(1()1()1)(1()1)() 1312211 + . + + + . + + . + Z nnn −−++−−−+−−= λλ λ λ λ λ λ

0un'nd% 11

λ = +

obţinem%

(1()1)

(1)

11

2

11

1

λ

λ

λ

λ

λ

n

Z

.

−−=

+n general, pentru zi avem%

(1()1()1()1)

(1

)

112

11

1

i

n

i

i

i

i

i

Z

.

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

−−−−=

+−

0resupunem, acum, că avem ecuaţia cu diferenţe de ordinul n%

t t n bu ! + + + =−−− (1()1()1) 21 λ λ λ

care are soluţia generală%


35/142


,(1()1()1)

1121

t nn

t t

nt ccu

+ + +

b ! λ λ

λ λ λ +++

−−−=

unde c!, c7, ..., cn sunt constante de integrare.

2acă valorile proprii jλ sunt toate distincte, mai putem scrie%

t j j

n

j

t r

r n

r

t cu +

. b ! λ

λ ∑∑

==

+−

=11

((1)

)

care arată că xt poate scrisă ca suma ponderată a n înt'rzieri

distribuite geometric cu coecienţii de înt'rziere nλ λ λ ,,, 21 .

2'ndu3se n valori iniţiale lui x t şi presupun'nd că u j*#, obşinem

o soluţie de forma%

nt n

t t t ! η λ η λ η λ +++= 2211

unde nη η η ,,, 21 sunt constante alese pentru a satisface cele n valori

iniţiale.

+n cazul în care avem n valori proprii egale, deci ecuaţia cu

diferenţe de ordin n se scrie%

t t n

bu ! + =− (1) λ

sol$&ia 'enerală este%

t nn

t t t nt t ct ccu +

b ! λ λ λ λ

121 (1)

−

++++−=

2ar%

ii

in

+i

in

+λ

λ ∑

∞

=

−+=

− $

1

(1)

1

unde(41)4

(41)1

−−+

≡

−+ni

in

i

in

/tiliz'nd această expresie. putem obţine soluţia 'enerală a

ec$a&iei c$ di#eren&e independent de L%t n

nt t

it i

i

t t ct ccui

inb ! λ λ λ λ 121

$

1 −

−

∞

=

++++

−+= ∑

2.2. em%le de modele bazate %e ec$a&ii


36/142


1) Model$l (S – >M dinamic contin$$

+ntr3o economie, celtuielile reale se formează ca sumă a

cetuielilor pentru consum, celtuielilor pentru investiţii şi celtuielilor

guvernamentale. ;eltuielile reale sunt date atunci de ecuaţia%

e,t ) = a ? b,1 @ t 1)y ,t ) @ hr ,t ) a > A , A < b < 1 ,

A < t 1 < 1 , h > A

unde e * celtuielile reale

a * celtuieli guvernamentale autonome$

b * propensitatea marginală pentru consumt! * rata marginală a taxelor

H * venitul real

* coecientul de investiţii în raport cu r

r * rata nominală a dob'nzii.

;ererea de balanţe nominale reale este dată de relaţia%

md

,t ) = y ,t ) @ !r ,t ) , ! > A

deci depinde pozitiv de nivelului venitului real şi negativ de rata

nominală a dob'nzii. ferta nominală de bani Ms * M# iar nivelul

preţurilor 0 este presupus constant nu există in9aţie$. 2e aici avem că

balanţele monetare reale sunt date exogen de relaţia m# * M#=0.

4conomia are două pieţe principale, piaţa bunurilor şi serviciilor

şi piaţa banilor. 8iecare dintre aceste pieţe încearcă să se ajusteze

către ecilibru, lucru care este descris de următoarele relaţii de

dinamică%

" * y",t ) = #,e,t ) @ y ,t )) 3 4 #

r * r",t ) = $,md ,t ) @ mA) 5 4 #


37/142


0rima relaţie arată că ajustarea pieţei bunurilor se face astfel

înc't să se realizeze ecilibrul dintre cererea pentru consum şi oferta

de produse existentă pe piaţă, cele două mărimi et$ şi Ht$ exprim'nd

mărimea cererii şi, respectiv, a ofertei la momentul de timp t.

& doua relaţie exprimă ajustarea pieţei banilor în raport cu

cererea de bani, mdt$ şi oferta de bani m# care, după cum ne amintim,

este dată exogen.

2acă înlocuim în cele două relaţii mărimile cunoscute, obţinem%

" = #Bb,1 @ t 1) @ 1Cy @ #hr ? #a

r = $y @ $!r @ $mA

care reprezintă un sistem de două ecuaţii diferenţiale neomogene cu

coecienţi constanţi.

Matriceal, sistemul de mai sus se mai scrie%

−+

−−−−

=

$

1

&1(1)%

m

a

r

"

u*

a,t ba

r

"

β

α

β β

2reptele de ecilibru în planul de fază H,r$ se determină simplu

pun'nd condiţiile ca

" % & şi

r % &. 0entru prima condiţie obţinem%

R3E! R b! R t !$F R 3$r S 3a * #

de unde

,

"t bar

(&1)1% 1−−−=

care se mai numeşte c$rba (S.

(imilar, pentru a doua condiţie, obţinem


38/142


*

mur " $

+= sau

u

m "r r $

−=

care se numeşte c$rba >M.

)eprezentarea în spaţiul fazelor H,r$ a celor cele două drepte

este dată în gura 7.T. ;ele două curbe se intersectează într3un punct

de coordonate%

+−−+−−−

+−−+

=(+)(1)1

(+)((1)1()+)

(+)(1)1

(+)(,)

1

1$

1

$55

u*,t b

au* t bum

u*,t b

mu,ar "

care în gură este notat cu 4# şi reprezintă punctul de ecilibru general

al economiei.

8igura 7.T

+n gură sunt reprezentate şi forţele dinamice care acţionează

atunci c'nd economia nu se a9ă la ecilibru. &ceste forţe sunt

reprezentate de săgeţile care sunt incluse în ecare dintre cele patru

cadrane ale spaţiului de fază.

0entru a determina orientarea forţelor respective, considerăm pe

r'nd piaţa bunurilor şi apoi piaţa banilor. &stfel, pentru piaţă bunurilor,


39/142


curba 6( reprezintă locul geometric al punctelor în care această piaţă

este la ecilibru, adică cererea de bunuri este egală cu oferta de

bunuri. 2acă ne situăm la dreapta acestei curbe, atunci%

,

"t ba

r

(&1)1% 1−−−>

de unde obţinem%

",r "t ba −−−+> (1)$ 1

ceea ce implică

" < #. 2eci, la dreapta curbei 6( venitul este

descrescător. +n acelaşi mod, stabilim că la st'nga curbei 6(, venitul

este crescător

;onsider'nd apoi piaţa banilor, pentru punctele a9ate la dreapta

curbei LM avem%

u

m*"r $−>

ceea ce implică %

$$ mur *" −−>

de unde obţinem r Q #, deci rata dob'nzii este crescătoare. (imilar,

pentru punctele a9ate la st'nga curbei LM, rata dob'nzii este

descrescătoare. 0unctele a9ate ciar pe curba LM sunt cele care

asigură ecilibrul pieţei banilor, deci în care cererea de bani este egală

cu oferta de bani dată exogen$.

/tiliz'nd acest model, putem să facem analize cantitative şi

calitative asupra evoluţiei economiei ca urmare a apariţiei unor şocuri

şi perturbaţii. &stfel, dacă considerăm că economia este iniţial la

ecilibru în punctul 4# şi ea suferă ulterior o '()dere a *+erte

-*m-ae de ba- , aceasta scăzînd de la M# la M! atunci, evident,

curba LM de ecilibru a pieţei banilor se va deplasa într3o nouă poziţie,

aşa cum arată gura 7.".


40/142


8igura 7."

(e formează un nou punct de ecilibru, 4! către care economia

începe să se îndrepte. 4xistă, pentru aceasta, mai multe traiectorii

posibile, notate în gură cu 1!, 17, 1B şi 1C. &stfel, traiectoria 1!

corespunde ipotezei extreme conform căreia ajustarea pieţei banilor

are loc instantaneu, deci rata dob'nzii va creşte sucient de mult

pentru a menţine ecilibrul pe piaţă banilor. 0e 1! economia se va

deplasa de la 4# mai înt'i vertical în punctul &, deoarece venitul nu se

modică încă, el răm'n'nd la nivelul H#. 2ar, datorită creşterii

puternice a ratei dob'nzii, investiţiile vor scădea şi, prin efectul

multiplicator al acestora asupra venitului, acesta din urmă va începe şi

el să scadă. 0e măsură ce venitul scade, cererea de bani scade şi la fel

rata dob'nzii. &ceasta va continua să scadă p'nă c'nd se restabileşte

ecilibrul pe piaţa banilor. &cest lucru înseamnă că ajustarea are loc

de3a lungul curbei LM, cum arată de fapt şi traiectoria 1 !. 0e măsură cerata dob'nzii scade, venitul continuă şi el să scadă, p'nă c'nd se

restabileşte un nou ecilibru în punctul 4!.

1raiectoria 17 corespunde cazului în care am'ndouă pieţe se

ajustează simultan şi imperfect, pe măsură ce economia trece din


41/142


punctul de ecilibru 4# în noul punct de ecilibru 4!. &stfel, rata

dob'nzii creşte gradual p'nă c'nd atinge un nivel r !, în timp ce venitul

scade gradual p'nă c'nd atinge un nivel H!. 2acă economia evoluează

pe o astfel de traiectorie, atunci ea va atinge noul punct de ecilibru

fără să se manifeste anumite efecte negative legate de creşteri

exagerate ale ratei dob'nzii, sau descreşteri dramatice ale venitului.

2ar nimeni nu ne spune că economia nu poate intra şi pe alte

traiectorii, cum ar 1B sau 1C. 2e exemplu, în cazul traiectoriei 1B,

observăm că are loc o evoluţie în spirală a ratei dob'nzii şi a venitului.

La fel, în cazul traiectoriei 1C, avem creşteri mari ale ratei dob'nzii,

urmate de descreşteri rapide ale acesteia, ceea ce poate crea

probleme pe piaţă banilor.

analiză similară se poate face în cazul unei creşteri a masei

monetare. +n gura 7.!# se reprezintă acest caz.

8igura 7.!#

(e observă că, acum, curba LM se deplasează spre dreapta jos,

form'nd un nou punct de ecilibru 4! cu curba 6(. (e pot, de

asemenea, analiza traiectoriile posibile ale economiei între cele două


42/142


puncte de ecilibru şi consecinţele pe care ecare dintre aceste

traiectorii le are asupra pieţei bunurilor, respectiv pieţei banilor.

2) Model$l 5-S dinamic discret

0entru a obţine modelul &23&( dinamic în formă discretă, vom

face la început două ipoteze de bază care vor permite deducerea

ecuaţiilor acestuia.

+rima i%oteză este aceea că, în economie, preţurile p sunt

9exibile şi, deci, există in9aţie. 0e termen lung, rata in9aţiei curente π

tinde către o valoare constantă, în timp ce, pe termen scurt, există un

raport invers proporţional între in9aţia curentă π şi in9aţia aşteptată

πe.

0e baza acestei ipoteze, ec$a&ia o#ertei a're'ate S poate

scrisă în modul următor%

t t t

e

t t S Y Y # (1)() α α π π −+−+= !$

&ici 11 +() −−−= t t t t p p pπ reprezintă rata in9aţiei curente,e

t π 3 rata

anticipată a in9aţiei, Ut 3 outputul curent, Yt 3 outputul potenţial, (t 3şocul ofertei, α şi f ind parametri pozitivi.

4cuaţia !$ explicitează factorii care in9uenţează rata in9aţiei. /n

prim factor este reprezentat de condiţiile pieţei, a căror in9uenţă este

dată de α fY Yt t( )− . 2acă Y Yt t> , atunci avem un decalaj in9aţionist,

iar dacă Y Yt t< , un decalaj recesionist.

&l doilea factor îl reprezintă aşteptările agenţilor economici.

&ceştia se aşteaptă ca preţurile să crească, să scadă sau să răm'nă

constante. +n raport cu aceste aşteptări, se determină o in9aţie

aşteptată, et π mai mare sau mai mică.

4xistă mai multe modalităţi de formare a aşteptărilor. &stfel,

a/te%tările de etra%olare se formează prin extrapolarea


43/142


comportamentelor trecute ale agenţilor economici, variabilele

economice implicate rspunz'nd lent la ce se înt'mpl în prezent cu

in9a7ia.

/te%tările ada%ti!e depind de eroarea de predicţie făcută

asupra in9aţiei curente. 4vident că in9aţia anticipată, π et

este cu at't

mai mare cu c't in9aţia curentă, π t este mai mare. +n acest caz,

există mai multe relaţii de legătură între cele două rate, cum ar %

∑ =∑=

+=

=

−=

−−

−

n

18ii

1

21

1

1a * ()

5$5$ ()

()

it

n

ii

e

t

t t et

t

e

t

aiii

ii

i

π π

π π π

π π

&l treilea factor de in9uenţă îl reprezintă şocurile aleatoare,

introduse prin termenul !3α$(t, unde (t reprezintă mărimea şocului

ofertei, iar !3α$ un factor de corecţie. 0entru simplitate, putem

presupune, în continuare, că α*!, deci nu se ia în considerare şoculofertei.

do$a i%oteză, pe care o vom utiliza pentru a obţine curba

cererii agregate, &2 este aceea că economia este desc9isă, deci

există un sector extern pentru explicitarea conceptului de economie

descisă vezi şi partea a 6A Oa$$. +n acest caz, cererea agregată din

anul t, 2t este dată de relaţia%

t t t t

t t t t t t

NX / ' C

M X / ' C D

+++=

=−+++=

7$

unde NVt este exportul net soldul contului curent$, celelalte variabile

sunt cu relaţiile obişnuite.


44/142


45/142


Rata de sc9imb reală exprimă efectul contului curent asupra

cererii agregate. +ntre rata de scimb reală, e şi exportul net, NV există

un raport invers proporţional. ;u c't rata de scimb reală este mai

mare, cu at't exportul net este mai mic şi invers gura 7.!!$.

0entru a determina ecuaţia cererii agregate, &2 vom utilizaecuaţiile modelului pieţei bunurilor şi serviciilor%

=+= +=

>+=


46/142


t e

t c

et c

N $

t cY

1(9

1)1(9

1)1

1

−+

−−+

−−=

!B$

unde 6 * S 7# S 8# S 9t 3 c7# reprezintă c9elt$ielile a$tonome.

Not'nd cu $(

91)1

1 >−−

=t c

* multiplicatorul celtuielilor autonome,

obţinem ec$a&ia cererii a're'ate &2 de forma%

() t r t et r ' e N $* Y ++= !C$

4cuaţia !$ a ofertei agregate, &( şi ecuaţia !C$ a cererii

agregate, &2 descriu, în cadrul modelului &23&( dinamic, funcţionarea

pieţei bunurilor şi serviciilor. (ă descriem, în continuare, funcţionareapieţei nanciare. 0entru aceasta, vom introduce rata reală a

dob


47/142


unde M este coecientul de senzitivitate a cererii de bani la mărimea

outputului, iar Mi coecientul de senzitivitate a cererii de bani la

mărimea ratei nominale a dob'nzii.

;ondiţia de ecilibru a pieţei nanciare este%

d

i

7

t mm = !T$

+nlocuind în !T$ relaţiile !J$ şi !K$ obţinem%

t it "

t

t i M Y M p

M +=

!"$

care descrie funcţionarea la ecilibru a pieţei nanciare. 2e regulă, se

presupune că valoarea de ecilibru pe termen lung a ratei reale a

dob'nzii, reste zero, deci rata reală a dob'nzii, r t → r c'nd t→∞.

Not'nd cu µt rata de cre/tere a masei monetare, avem%

(1)1

t t

t t p

M

p

M π µ −+

=

− 7#$

care este ecuaţia de dinamică a ofertei de bani reală.

4cuaţiile C$ şi 7#$ reprezintă relaţiile de dinamică ale modelului

&23&(. 4le sunt ecuaţii cu diferenţe nite de ordinul înt'i omogene.

Modelul dinamic discret &23&( se poate atunci rescrie în

întregime sub forma următoare%


48/142


=

=

+++

=

=−

=

+=−=

++=

∑ ∑ ==

−++−=

−

−

= −

7

t

t

d

t

t

t t t

7

t t

t t

t it "

d

t

et t t

t r t et

n

iit i

e

t

t

e

t t t

m

p

M m

ee

m p

M

p

M

i M Y M m

ir

r ' e N $* Y

S Y Y #

1

(1()1)

()1

()

1,

(1)()

5

1

t

1

1

n

18ii

π

π ε

π µ

π

α π α π

α π α π 7!$

77$

7B$

7C$

7I$

7J$

7K$

7T$

+n cadrul modelului dinamic discret &23&( se pot pune în

evidenţă trei sectoare% sector$l economiei reale, descris de ecuaţiile

7!$ 3 7B$ şi care are drept variabile endogene U t, πt şi πet, sector$l

economiei monetare, descris de ecuaţiile 7C$, 7I$ şi 7J$, av'nd

drept variabile endogene d t m şi rt şi $n bloc al ec$a&iilor de

dinamică descris de ecuaţiile 7K$ şi 7T$, care furnizează modelului

variabilele endogene et şi M:p"t .Aariabilele exogene sunt Y , (t, it, µt, εt ;i πW, celelalte elemente

ale modelului ind constante ;i parametri. Legturile care se stabilesc

între cele trei sectoare ale modelului &23&( se reprezint în gura J.J.

/0!ra 2.12 Le0)t!re -ter'e(t*rae ae m*de!! AD AS

E"#$%&& ' '&$*&"

et 1

S"t,#. *,t$

r t

S"t,#. $.

8 t

Y t

A S t

Y

et +1

t π r

t

Y t

i t

1+

t p

M

d t m

t π

t

t


49/142


;omportamentul modelului dinamic discret &23&( poate

analizat în starea sta7ionar ;i pe termen scurt, deci în perioada în care

economia se deplaseaz între dou ecilibre succesive. &ceast analiz

se poate face în dou situa7ii diferite ;i anume % !$ c'nd rata de scimb

nominal, (t este xat rigid$, deci între cele dou puncte de ecilibru

ea nu se modic: ;i 7$ c'nd rata de scimb nominal, (t este 9exibil,

deci aceasta nu se modic în trecerea de la un punct de ecilibru la

altul.

2.0 Modelarea bazată %e a'en&i 4n economie


50/142


&genţii şi sistemele multiagent reprezintă o modalitate

alternativă de analiză, modelare şi implementare a sistemelor

complexe. Aiziunea bazată pe agenţi oferă astăzi o gamă largă de

instrumente, tenici şi paradigme cu un uriaş potenţial de a îmbunătăţi

modul în care oamenii concep şi utilizează tenologia informaţională.

&genţii sunt şi vor utilizaţi tot mai mult într3o mare varietate de

aplicaţii, merg'nd de la sisteme de dimensiuni mici, cum ar ltrele

personalizate pentru e3mail sau agenţii pentru cumpărături sopbot$

şi p'nă la sisteme mari, deosebit de complexe, cum sunt organizaţiile

şi sistemele economice virtuale. La o primă vedere, ar putea apărea că

aceste tipuri de sisteme sunt extrem de diferite şi că nu au nimic în

comun unele cu altele. 2ar, în toate aceste cazuri, poate utilizat

conceptul de agent şi metodele care derivă din acesta. 4ste remarcabil

c't de mare este varietatea de aplicaţii ce poate caracterizată în

termenii teoriei agenţilor şi sistemelor multiagent.

2atorită gradului mare de interes şi nivelului ridicat de activitate

din acest domeniu, la început teoriile şi metodele referitoare la agenţi

pot apărea aotice şi incoerente. Ne propunem ca, în acest capitol, să

introducem o mai mare coerenţă şi ordine, fără a dezvolta prea multacest domeniu multidisciplinar deosebit de vast.

+nainte de a trece la descrierea unor aplicaţii economice ale

acestei teorii, să denim ce se înţelege prin termeni ca ,,agent@,

,,sistem bazat pe agenţi@ sau ,,sistem multiagent@. 4xistă astăzi o

literatură deosebit de bogată din acest domeniu, care conţine o

mulţime de deniţii date acestor concepte ceie, fără să se manifeste,

totuşi, o încercare de unicare a diferitelor sensuri. 2esigur că acest

lucru nu constituie un obstacol în progresul rapid, at't teoretic c't şi în

ce priveşte aplicaţiile practice ale domeniului, dar noile cunoştinţe

acumulate, noile paradigme introduse necesită, din timp în timp,

reevaluarea termenilor ceie prin reluarea efortului de redenire a


51/142


conceptelor, astfel înc't să putem înţelege mai bine implicaţiile şi

interdependenţele ecărui termen în parte.

&cest lucru îl vom face şi noi în continuare, pornind de la o

bibliograe cuprinzătoare. Mai înt'i vom încerca să răspundem la

întrebarea esenţială% ,,;e este un agent >@ dată introdus conceptul de

bază de agent, putem merge mai departe pentru a deni sistemul

bazat pe agenţi. &cesta, desigur, este un sistem în care elementul

principal este cel de agent. +n principiu, un sistem bazat pe agenţi ar

putea conceptualizat în termenii specici agenţilor, dar implementat

fără ca structurile sale să includă vreo referire la agenţi. 4ste cazul

multor aplicaţii practice actuale care, deşi se subsumează teoriilor

referitoare la agenţi, nu menţionează acest lucru în mod explicit.

2esigur că o astfel de abordare este mai puţin productivă, astfel că ne

vom aştepta ca sistemele proiectate ca sisteme bazate pe agenţi să e

şi implementate în continuare ţin'nd cont de conceptul de agent.

+n continuare, în acest paragraf, vom introduce sistemele

multiagent, formate din mai mulţi agenţi interconectaţi. (istemele

multiagent reprezintă mijlocul ideal de a aborda probleme care au mai

multe metode de rezolvare, mai multe modalităţi de structurare şi=saumai multe entităţi care le rezolvă ca în cazul sistemelor distribuite$.

&stfel de sisteme au, deci, avantajul natural al rezolvării distribuite şi

concurente a problemelor dar, în acelaşi timp, au şi avantajul

suplimentar al reprezentării modalităţilor complexe de interacţiune.

1ipurile principale de interacţiuni cum sunt cooperarea lucrul

împreună pentru atingerea unui scop comun$, coordonarea

organizarea activităţii de rezolvare a problemelor astfel înc't

interacţiunile dăunătoare sunt eliminate iar cele favorabile sunt

utilizate$ şi negocierea ajungerea la un acord care este acceptabil

pentru toate părţile implicate$ reprezintă aspecte esenţiale ale utilizării

în practică a metodelor bazate pe agenţi.


52/142


2.0.1 e este $n a'ent D

;onceptul de agent a devenit, în anii "# ai secolului VV şi în

primii ani ai secolului VV6, un concept central în c'teva dintre

disciplinele ştiinţice cu o dezvoltare de3a dreptul explozivă. 6nteligenţa

articială 6&$ şi subdomeniul acesteia, inteligenţa articială distribuită,

ştiinţele complexităţii, cibernetica de ordinul trei, ştiinţa

calculatoarelor, economia computaţională ş.a. fac apel din ce în ce mai

frecvent la conceptul de agent şi la metodele derivate din acesta. (e

vorbeşte deja despre o teorie a agenţilor şi a sistemelor multiagent ca

un domeniu relativ autonom al 6&, deşi există şi alte discipline care

revendică acest lucru.

8ără să existe încă o unitate de vederi în ceea ce priveşte

denirea agenţilor, cercetările în această direcţie avansează at't de

rapid înc't se poate spune că se conturează deja o concepţie unitară şi

unicată asupra agenţilor, astfel înc't ei să poată deja obiect de

standardizare internaţională.

+n continuare, vom trece în revistă c'teva deniţii date agenţilor,

vom introduce principalele proprietăţi ale acestora şi vom arăta

impactul pe care utilizarea acestui concept îl are asupra diferitelor

discipline ştiinţice, tenici şi metodologii care sunt astăzi utilizate în

diferite ştiinţe.

2eşi noţiunea de agent a devenit centrală în cele mai diferite

domenii ştiinţice, există diferenţe mari între sensurile date acestui

concept precum şi diferitelor utilizări ale sale în aceste domenii.+n dicţionare, agentul este denit ca ,,cineva care, sau prin care

se exercită putere sau produce un efect@!$. 1otuşi, o astfel de deniţie

este prea generală pentru a putea considerată operaţională: cel puţin

ea indică faptul că agentul exercită o acţiune, scimbă ceva în mediul1( Tord Di-tionar, o> =urrent ?nglisord @niversit Aress, 1#""


53/142


înconjurător. Mai precis, (ardlo arată că ,,6enţii fac lucruri, ei

acţionează' de aceea ei se numesc aenţi2 (ardlo, !""#$.

&genţii au deci un rol activ, iniţiind acţiuni prin care este afectat

mediul lor mai degrabă, dec't ca ei să e afectaţi de acest mediu. 2oi

termeni pot utilizaţi pentru a descrie această acţiune a agenţilor%

autonomia şi raţionalitatea aşa cum armă Xooldridge şi Yennings

!""I$. 6utonomia presupune, în general, că un agent funcţionează

fără intervenţia directă a omului sau a altor agenţi. aţionalitatea

presupune că agenţii iniţiază orice acţiune în scopul maximizării

performanţei lor în raport cu o funcţie de evaluare.

1otuşi, acţiunea raţională autonomă, aşa cum este denită,

reprezintă un criteriu prea general pentru agenţi, ceea ce face ca în

această categorie să se regăsească o clasă prea largă de obiecte. 2e

exemplu, conform acestei deniţii, şi un tranzistor care, în esenţă,

reprezintă un dispozitiv electronic simplu, poate considerat ca ind

agent.

0oate mai multă precizie în acest domeniu este introdusă de

deniţia dată de Yennings, (Hcara şi Xooldridge !""T$ pentru care ,,un

aent este un sistem de calcul situat într-un anumit mediu, care estecapabil de acţiune autonomă )exibilă pentru a realiza obiectivele sale

proiectate2 Yenings, (H5ara, Xoldridge, !""T, p.T$.

(e observă că acum se folosesc trei concepte ceie pentru a

deni un agent% poziţionarea în raport cu mediul, autonomia şi

9exibilitatea. 0oziţionarea, în acest context, înseamnă că agentul

primeşte inputuri de la mediul său şi că el poate executa acţiuni care

scimbă acest mediu într3un anumit fel. &stfel, 6nternetul reprezintă un

mediu în care poate situat un astfel de agent dar, tot aşa de bine,

acest mediu poate şi realitatea zică. 0oziţionarea reprezintă o

proprietate fundamentală a agenţilor, care3i deosebesc de alte

sisteme, de exemplu de sistemele expert. &cestea din urmă nu

interacţionează direct cu mediul, primind informaţia şi cunoştinţele prin


54/142


intermediul inginerului de cunoştinţe, care este un om. +n acest mod,

sistemul expert nu acţionează direct asupra mediului, ci prin

intermediul factorului uman.

&utonomia este înţeleasă aici ca absenţa intervenţiei umane sau

a altor agenţi, deci un agent îşi poate controla complet propriile acţiuni

şi starea sa internă. /neori autonomia este înţeleasă, într3un sens mai

strict, ca şi capacitatea pe care o are agentul de a învăţa din propria sa

experienţă de exemplu, în )ussell, Norvig, !""I$$.

8lexibilitatea presupune, în esenţă, că agentul este% responsiv

deci percepe mediul şi răspunde la timp la scimbările ce apar în el$:

proactiv adică acţiunile sale nu reprezintă simple reacţii la mediu, ci

este capabil să exercite un comportament orientat către un anumit

scop şi să iniţieze acţiuni c

capitolul_2- metode de studiu ale ciberneticii economice. modelarea si simularea sistemelor...

Documents