Regulile lui L’Hospital. Aplicaţii

Capitolul 3:

REGULILE LUI L’HOSPITAL

Istoric

L’Hospital ( sau L’Hộpital, Lhospital), Guillaume François Antoine de (1661-

1704) matematician francez, care a găsit regula ce-i poartă numele în cazuri simple. În fapt

acestă regulă a fost descoperită de matematicianul elveţian Johann Bernoulli (1667-1748),

fapt pentru care, în unele lucrări de matematică regula poartă denumirea regula Bernoulli-

L’Hospital.

Observaţii metodice

Am văzut că pentru a elimina nedeterminările în cazul limitelor de funcţii am apelat

la scrieri convenabile, artificii de calcul, pentru a pune în evidenţă structuri ale căror limite

sunt cunoscute.

Scopul acestui paragraf este de a clacula limita unui raport de funcţii cu ajutorul

limitei rapotului derivatelor lor, desigur în anumite condiţii precizate de cele două teoreme

L’Hospital.

Prima teoremă a lui l ’ Hospital (cazul )

Fie două funcţii cu proprietăţile:

1) derivabile pe ;

2) ;

3) ;

4) există .

În acest caz există limita şi mai mult .

(limita raportului este egală cu limita raportului derivatelor)

Demonstraţie.

Construim prelungirile ale lui şi pe , astfel:

Regulile lui L’Hospital. Aplicaţii

,

.

Fie . Funcţiile sunt continue pe , derivabile pe şi pe

, ceea ce permite aplicarea teoremei lui Cauchy. Deci există cel puţin un punct

astfel încât:

sau .

Dacă , atunci şi ţinând seama de ipoteză avem

adică c.c.t.d.

Observaţii.

1) Teorema rămâne adevărată mutatis mutandis dacă (sau ).

2) Teorema demonstrată are loc pentru cazul punct de acumulare finit. Rezultatul

rămâne valabil şi dacă punctul de acumulare este infinit .

Printr-o substituţie de forma se reduce acest caz la .

.

3) Dacă expresia reprezintă din nou o formă de nedeterminare şi dacă

funcţiile satisfac condiţiile teoriei precedente, atunci

.

Aceste egalităţi ar putea fi înţelese în sensul că dacă a treia limită există, atunci şi

prima şi a doua limită există.

A doua teoremă a lui l ’ Hospital (cazul )

Regulile lui L’Hospital. Aplicaţii

Fie două funcţii cu proprietăţile:

1) sunt derivabile pe ;

2) ;

3) ;

4) există .

În acest caz există limita şi are loc egalitatea .

Demonstraţie.

Fie şi astfel încât . Funcţiile verifică cerinţele din teorema lui

Cauchy aplicată pe intervalul . Prin urmare există cel puţin un punct

astfel încât:

, de unde rezultă că

. (1)

Fie dat un . Din ipoteza 4) rezultă că există un astfel încât pentru orice

cu are loc inegalitatea , unde

Alegem astfel încât . Atunci:

şi . (2)

Din ipoteză şi deci există un astfel încât pentru

să avem:

şi . (3)

Din egalitatea (1) rezultă (utilizând (2) şi (3)):

Regulile lui L’Hospital. Aplicaţii

,

pentru . Aşadar .

Observaţii.

1) Teorema demonstrată rămâne valabilă mutatis mutandis dacă (sau

) şi la fel dacă .

2) În virtutea celor două teoreme există o metodă generală de calcul a limitei câtului a

două funcţii, bazată pe egalitatea

.

Această tehnică de lucru se numeşte regula lui l’Hospital.

3) Dacă funcţiile satisfac ipotezele din una din cele două teoreme, regula lui

L’Hospital se poate aplica pentru a doua oară:

.

4) Prima şi a doua teoremă a lui l’Hospital se referă la cazul când căutăm limita

câtului a două funcţii şi care tind simultan la zero sau la infinit când . A

găsi o astfel de limită înseamnă a elimina o nedeterminare de tipul (sau ).

Vom arăta că şi celelalte cazuri de nedeterminare: , , , , sunt

reductibile la cazurile , . Primele două prin transformări, iar ultimele trei, luând

logaritmul funcţiilor corespunzătoare.

5) În aplicaţiile curente, condiţiile din enunţul teoremei sunt satisfăcute. De aceea, de

obicei, se trece direct la calculul limitei în a funcţiei . Dacă aplicarea regulii

conduce la o contradicţie, înseamnă că, dintre condiţiile teoremei, cel puţin una nu

este îndeplinită.

Dacă avem de calculat limita

Regulile lui L’Hospital. Aplicaţii

(suntem în cazul ; dacă ),

atunci în încercarea de a aplica direct regula lui l’Hospital avem

, care nu există deoarece nu există .

Se observă că în acest caz condiţia 4) din prima teoremă nu este îndeplinită. Totusi

limita dată este .

6) Reciproca teoremei lui l’Hospital este falsă: adică dacă are limită în , nu

rezultă că şi are limită în .

Într-adevăr fie funcţiile , . Ne interesează limita

(suntem în cazul ; plus criteriul majorării). Este clar că

, dar , care nu are limită când .

7) Atragem atenţia că nu întotdeauna aplicarea corectă a regulii lui l’Hospital conduce

la situaţii mai simple. În aceste cazuri se recomandă fie o rescriere pentru şi o

nouă încercare de a aplica regula lui l’Hospital, fie utilizarea limitelor structurii

cunoscute studiate la capitolul „Limite de funcţii”.

De aceea se recomandă:

În calculul limitelor de funcţii combinarea metodelor elementare cu regula lui

l’Hospital.

Alte cazuri de nedeterminare

Aceste cazuri de nedeterminare , , , , pot fi reduse la cazurile ,

printr-o scriere adecvată pentru , şi respectiv .

Regulile lui L’Hospital. Aplicaţii

Cazul

Pentru calculul limitei produsului în punctul cu , iar

există două posibilităţi de rescriere a produsului .

1) Dacă pentru , , atunci scriem :

şi

când s-a redus cazul la .

2) Dacă pentru , , atunci avem scrierea

cu

şi deci s-a redus cazul la .

Observaţie.

Se preferă unul sau celălalt caz după cum aplicarea regulii lui l’Hospital conduce

mai rapid la rezultat.

Cazul

Avem de calculat şi sau

.

Şi în acest caz se poate reduce în două moduri la cazurile studiate până acum dacă

uzităm scrierile :

Regulile lui L’Hospital. Aplicaţii

când se obţine cazul sau

când pentru avem cazul . Dacă aici atunci pentru

avem cazul de nedeterminare .

Cazurile , ,

Suntem în situaţia de a calcula (în ipoteza şi

).

- Dacă , atunci suntem în cazul ;

- dacă şi , atunci avem nedeterminarea ;

- iar dacă şi , atunci avem nedeterminarea .

Pentru a calcula limita funcţiei pentru se utilizează egalitatea

(se demonstrează aplicând funcţia ln), care o reduce la calculul limitei ,

cu care ne plasăm în cazul .