24777218 capitolul iii
TRANSCRIPT
88
Capitolul 3
Curbe remarcabile
Capitolul include construcţii şi proprietăţi ale unor curbe remarcabile:
strofoida, cisoida, foliul, versiera, concoida, cardioida, cubele lui Cassini, lemniscata,
spirala, cicloida, tractricea, lănţişorul.
3.1. Strofoide
1.a. Strofoida dreaptă (cubica lui Descartes)
Definiţie şi construcţie
Metoda I. Considerăm două drepte perpendiculare notate cu d şi respectiv 'd .
Fie O punctul de intersecţie al celor două drepte şi fie A un punct arbitrar pe dreapta
d (Fig.1a)). Ducem prin A o dreaptă arbitrară AL care intersectează 'd în punctul
P .
Fig. 1a
A
M1 P
M2
O
N
d
d’
L
V
U
89
Cu ajutorul compasului construim pe dreapta AL , de o parte şi de alta a punctului P
două puncte 1M şi respectiv 2M astfel încât POPMPM == 21 . Locul geometric al
punctelor 1M şi 2M când P se deplasează pe dreapta 'd este o strofoidă dreaptă
F
.
Metoda II. Fie un punct fix şi d o dreaptă dată. Construim cercurile 1C şi
2C tangente exterior într-un punct O , unde O este un punct arbitrar pe dreapta d .
Ducem din F tangentele comune la cele două cercuri şi notăm cu M , N , P , Q
punctele de tangenţă. Locul geometric al punctelor de tangenţă ale tangentelor duse din
F la două cercuri tangente exterior este o strofoidă dreaptă
(Fig. 1a’).
Fig 1a’
Demonstraţie. Fie A punctul de intersecţie dintre tangenta comună interioară
d şi tangenta comună exterioare 'd . Atunci are loc relaţia ANAPOA == . Cum
cercurile 1C şi 2C sunt arbitrare, punctul A variază pe dreapta d deci locul geometric
al punctelor P şi N este o strofoidă dreaptă.
C1
C2 O
M
N
P
Q
F
A
d
d’
d”
O1 O2
90
Reciproc. Ducem prin F o dreaptă 'd care intersectează pe d într-un punct A .
Fie P şi N două puncte pe dreapta 'd şi O un punct pe d astfel încât are loc relaţia
ANAPOA == . Fie 1O punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O şi N pe
dreptele d şi respectiv 'd . Fie 2O punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O
şi P pe dreptele d şi respectiv 'd . Triunghiurile dreptunghice 1AOO şi 1ANO sunt
congruente conform cazului IC ceea ce implică NOOO 11 ≡ şi deci 1OO şi NO1 sunt
raze în cercul 1C de centru 1O . Analog se demonstrează că 2OO şi PO2 sunt raze în
cercul 2C de centru 2O . Deci punctele P şi N ale strofoidei drepte se află pe
tangenta comună exterioară a cercurilor 1C şi 2C .
Ecuaţiile strofoidei drepte
a) Ecuaţia strofoidei drepte în coordonate carteziene este:
xaxaxy
−+
±= (1)
Pentru a găsi ecuaţia strofoidei drepte în coordonate carteziene luăm ca axă Ox
dreapta d şi ca axă Oy dreapta 'd . Fie A un punct fix pe axa Ox astfel încât aAO =
şi fie 1M şi 2M două puncte pe dreapta arbitrară AL astfel încât 21 PMPMOP == .
Dacă λ este lungimea segmentului OP atunci ecuaţia dreptei AL este
01 =−+−λy
ax şi obţinem relaţia
xaay+
=λ . Ţinând seama de faptul că 1M , 2M şi O
sunt puncte pe cercul ( )λ,PC rezultă că pentru ( )λ,PC avem ecuaţia
( ) 222 λλ =−+ yx . Eliminând pe λ în ecuaţia cercului obţinem relaţia
xaxaxy
−+= 22 . Ecuaţia
xaxaxy
−+
±= , ne dă o reprezentare în coordonate carteziene
a strofoidei drepte în funcţie de parametrul a .
b) Ecuaţia strofoidei drepte în coordonate polare (O pol, d axa polară) se scrie
ϕϕρ
cos2cosa
−= (2)
Pentru a găsi ecuaţia strofoidei drepte în coordonate polare considerăm
sistemul de trecere de la coordonate carteziene la coordonate polare:
91
==
ϕρϕρ
sincos
yx
(3)
de unde obţinem 22
cossin
=
ϕϕ
xy . (4)
Având în vedere relaţiile (1) şi (3) rezultă ϕρϕρ
coscos22
−+
=
−+
=
aa
xaxa
xy . (5)
Din egalitatea relaţiilor (4) şi (5) obţinem ϕρϕ
ϕϕcos
2cos
cossin2
22
−=
+a
a dar
1cossin 22 =+ ϕϕ deci,
ϕρϕ cos2
cos1
2 −=
aa .
Mai precis, are loc relaţia: ( )ϕϕρ 2cos21cos −= a .
De unde obţinem reprezentarea în coordonate polare a strofoidei drepte
ϕϕρ
cos2cosa−= .
c) Ecuaţiile parametrice ale strofoidei drepte sunt următoarele:
=
+−
=
+−
=
ϕtgu
uuauy
uuax
11
11
2
2
2
2
(6)
Având în vedere relaţia (3) rezultă ϕρ 222 sin=y şi ϕρ 222 cos=x (7). Dar din (1)
avem xaxaxy
−+
= 22 (8). Inlocuind relaţiile (8) în (7) obţinem
ϕρϕρϕρϕρ
coscoscossin 2222
−+
=aa , de unde rezultă
ϕϕϕρ
cos1
11
2
2
⋅+−
⋅=tgtga (9).
Inlocuind relaţia (9) în (3) obţinem ecuaţiile parametrice ale strofoidei drepte.
92
Lungimi, arii şi volume
a) Lungimea curbei OOAM1 este dată de formula:
aal OOAM 49,2cos
2sin12
4
02
2
1≈
+= ∫
π
ϕϕ
.
b) Aria mărginită de curba OOAM1 este dată de formula :
22 212 aaS π−= .
Demonstraţie. ( )∫∫ −=
+−
=
+−
=−
1
0
22
2
22
2
22
22
421
11
21 πadu
uuadt
tataS
a
a
, unde am
făcut schimbarea de variabilă atu = .
c) Analog se determină formula 22 212 aaS π+= pentru aria cuprinsă între
ramurile 'OU , 'OV şi asimptota UV . Această arie tinde către infinit dar are o
magnitudine finită.
Demonstraţie. Pentru a determina formula căutată pornim de la formula ariei
unei figuri plane în care înlocuim ( )xf cu expresia xaxax
−+ şi considerăm limitele
integralei 01 =x şi ax =2 , deci dxxaxaxS
a
∫ −+
=0
2 . Făcând schimbarea de variabilă
xaxat
−+
= calculul ariei revine la calculul integralei ( ) dtt
attttaS 22
12
2
14
11 2
+⋅⋅
+−
= ∫∞
,
mai precis
( ) ( )
+−
+= ∫ ∫
∞ ∞
1 132
2
32
42
14
142 dt
ttdt
ttaS .
Notăm ( )∫∞
+=
132
4
11
4 dtt
tI şi ( )∫∞
+=
132
2
21
4 dtt
tI de unde rezultă ( )2122 IIaS −⋅= (1).
93
Integrând prin părţi în 1I avem:
( ) dtt
tI ∫∞
+⋅−=
1
'
22
31
11 = ( ) ( )∫
∞∞
++
+−
122
2
1
22
3
13
1dt
tt
tt = ∫
∞
+⋅−
12 11
23
41 dt
tt =
∫∞∞
++
+⋅−
12
12 1
123
123
41 dt
ttt = ∞⋅+
1
231 tarctg . De unde rezultă 1I =
831 π
+ (2).
Integrând prin părţi în 2I avem:
( )∫∞
+⋅−=
1
'
2221
1 dtt
tI = ( ) ( )∫∞
∞
++
+−
122
1
22 11
1dt
ttt =
∞
++−
1
121
41
tarctgt =
−+− 1
421
41 π . De unde rezultă 2I =
843 π+− (3).
Având în vedere relaţiile (1), (2) şi (3) obţinem formula căutată
+= 1
42 2 πaS .
d) Volumul corpului generat de curba OOAM1 în urma rotirii în jurul axei Ox
este dat de formula:
23 166.0342ln2 aaV ≈
−= π .
Demonstraţie
∫
∫∫∫∫∫
−
−−−−−−
−
=−
+=
−+−
=−+
==
+
+
0 3
030 302
02
02
02
2
3
22
a
aaaaaa
dxxa
x
xdxxa
xdxxdxxa
xxaxdxxaxaxdxyV
π
ππππππ
∫∫−− −
+−−
+=0
30 333
223 aa xa
dxadxxaaxaV πππ =
= ( ) ( ) 030
223
ln223 a
a
xaadxxaxaa−
−
−−++− ∫ πππ . Prin urmare,
−=
342ln2 3aV π .
e) Analog se demonstrează că volumul corpului generat de curba VUOVU '' în
urma rotirii complete în jurul axei Ox este de magnitudine infinită.
94
1.b. Strofoida oblică (generalizată)
Definiţie şi construcţie. Sunt analoage cu cele din cazul strofoidei drepte, dar
în acest caz d şi `d nu sunt perpendiculare, formează un unghi α diferit de 90 (Fig.
1b)).
Ecuaţiile strofoidei oblice (generalizate)
a) Ecuaţia strofoidei oblice în coordonate polare este următoarea:
( )( )θα
θαρ−−
−=sin
2sina .
Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia strofoidei oblice considerăm O originea
sistemului de axe format din dreptele d şi 'd , α unghiul format de cele două drepte
d şi 'd şi β unghiul format de dreapta AL cu dreapta d . Aplicând teorema sinusului
în triunghiul OAP obţinem:
( )AOOPAP
βαβα +==
sinsinsin (1)
Fig 1b
d’
A
M1 M2 P
S
d
O
L
95
Cum PMAMAP 11 += şi cum POPM =1 rezultă POAPAM −=1 . Din relaţia (1)
obţinem ( )βαα+
−=sin
sin aAP şi ( )βαβ+
−=sin
sin aOP .
Având în vedere că triunghiurile '11MAM şi APO sunt asemenea obţinem
relaţia
AO
AMAP
AMOP
MM '11
'11 == (2)
unde yMM ='11 şi xaAM −−='
1 . Inlocuind aceste expresii în relaţia (2) obţinem
relaţiile:
( )βαβα
αβ
+−
⋅−=sin
sinsinsinsinay (3)
αβ
sinsinax −= . (4)
Având în vedere sistemul de trecere de la coordonate carteziene la coordonate
polare în cazul în care 90≠α avem:
( )
=
−=
αθρ
αθαρ
sinsin
sinsin
y
x (5)
şi înlocuind (4) în (5) obţinem relaţia ( )αθαρ
αβ
sinsin
sinsin −
=− a , de unde rezultă ecuaţia
( )θαβρ−
−=sin
sina . (6)
Determinăm β în funcţie de α şi θ . Având în vedere relaţiile (3), (4) şi (5) obţinem
( ) ( )βαβα
θαθ
+−
=−
=sin
sinsinsin
sinxy .
96
De unde rezultă θαβ 2−= (7). Inlocuind relaţia (7) în (6) obţienem ecuaţia strofoidei
oblice în coordonate polare ( )( )θα
θαρ−−
−=sin
2sina .
b) Ecuaţia strofoidei oblice în coordonate carteziene este următoarea:
( ) ( ) 0cos2 222 =++−− xaxyxaxy α
Demonstraţie. Pentru a determina ecuaţia strofoidei oblice în coordonate
carteziene înlocuim relaţia (4) în (3):
( ) ( )( )
( )βαα
βα
αα
βαβα
+⋅⋅+
=+
+=
+−
=sin
sinsin
sinsin
sinsinsin
axaxa
x
xxy . Efectuând calculele şi ţinând
cont de faptul că αβ sinsinax
−= obţinem ecuaţia căutată.
1.c. Strofoida unui cerc (nefroida lui Freeth)
Definiţie şi construcţie. Sunt analoage cu cele din cazul strofoidei drepte, dar
în acest caz polul curbei este centrul cercului şi punctul fix se află pe circumferinţă
(Fig. 1c)).
Fig 1c
97
Fie dat cercul ( )aAC , şi fie O un punct pe circumferinţa acestuia. Ducem prin
O o dreaptă arbitrară care întâlneşte cercul a doua oară într-un punct P . Determinăm
punctele M şi 'M astfel încât POPMPM == ' . Locul geometric al punctelor M şi
'M când P se deplasează pe circumferinţa cercului este nefroida lui Freeth.
Ecuaţiile strofoidei unui cerc
a) Ecuaţia strofoidei unui cerc în coordonate polare este de forma:
( )( )2sin21 ϕρ += a
b) Ecuaţiile parametrice ale strofoidei unui cerc sunt următoarele:
( )( )
( )( )
⋅+=
⋅+=
ttay
ttax
sin2sin21
cos2sin21
Observaţie. Dreapta prin P paralelă cu axa Oy intersectează curba în Q
(Fig.2) atunci, 7
3πϕ = şi în acest caz strofoida poate fi folosită la construirea
heptagonului regulat.
Fig. 2
P O
Q
98
Cazuri particulare ale nefroidei lui Freeth (a=1).
b=0 b=1/4 b=2/3
b=1 b=3/2
b=2 b=3
Caracteristici ale strofoidelor
• Punctele O (Fig 1a) şi 1b)) şi respectiv A sunt numite noduri.
• Tangentele în O la cele două ramuri sunt perpendiculare.
• In cazul strofoidei oblice dreapta UV este asimptotă numai pentru una dintre
ramuri în timp ce pentru cealaltă ramură este tangentă în punctul S , care este
echidistant faţă de A şi B (Fig. 1b)).
99
• In cazul strofoidei drepte, punctul de tangenţă S este la infinit astfel încât
dreapta UV este asimptotă pentru ambele ramuri (Fig. 1a)).
• Segmentul ON este de lungime 2a (Fig 1a)).
3.2. Cisoida lui Diocles
Definiţie şi construcţie. Considerăm cercul C de diametru aOA 2= (Fig 3).
Ducem tangenta în A la cercul C şi notăm cu UV dreapta suport a acestei tangente.
Ducem prin O o dreaptă arbitrară ce intersectează tangenta UV în F şi cercul C în E .
Fie M un punct pe dreapta OF , între O şi F , astfel încât OEMF = . Curba descrisă
de punctul M când drepta OF se roteşte în jurul punctului O este cunoscută sub
numele de cisoida lui Diocles.
Construcţia propusă de Diocles. Se consideră un sistem de axe ortogonale
XOY şi cercul ( )CACC , (Fig.3). Se construiesc diametrul BD perpendicular pe
diametrul OA şi o coardă arbitrară prin O care intersectează a doua oară cercul în
punctul E . Notăm cu G simetricul punctului E pe ( )CACC , faţă de B . Paralela 'GG
prin G la diametrul BD intersectează coarda OE într-un punct M . In acest caz
cisoida este compusă din arcele OB şi OD şi este înscrisă în cercul C .
Fig. 3
O
Y
C X Q A
F E
T
U
V K
N
M
P G B
D G’
100
Altă construcţie. Fie d şi 'd două drepte paralele şi fie O un punct fix pe
dreapta 'd (Fig.4). Fie P un punct variabil pe drepata d . Notăm cu Q proiecţia
punctului P pe dreapta 'd . Fie M proiecţia punctului Q pe segmentulOP . Punctul
M astfel construit este un punct al cisoidei.
Fig. 4
Construcţia tangentei. Fie M un punct arbitrar al cisoidei (Fig.3). Construim
dreapta ce trece prin punctele O şi M . Construim perpendiculara în M pe OM şi
notăm cu P şi Q punctele de intersecţie ale acesteia cu axele OY şi respectiv OX .
Fie K simetricul lui Q faţă de P . Construim prin O paralela la QK şi prin K
paralela la OM . Notăm cu N punctul lor de intersecţie. Dreapta NM este normală la
cisoidă. Tangenta căutată este perpendiculara pe NM în M .
Ecuaţiile cisoidei
a) Ecuaţia cisoidei în coordonate polare (O pol, OX axă polară) este
următoarea:
ϕϕρ
cossin2 2a
= (1)
Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia cisoidei considerăm ca axă Ox diametrul
OA al cercului şi ca axă Oy tangenta în O la cerc (Fig.3). Fie ρ şi ϕ coordonatele
polare ale lui M faţă de polul O şi axa Ox . Deoarece triunghiul AEO este înscris
într-un semicerc rezultă AE este perpendiculară pe dreapta OE . Avem atunci
d’ d
O
P Q
M
101
ϕsinAFEF = . Cum ϕOAtgAF = şi aOA 2= obţinem relaţiaϕϕρ
cossin2
2
a= , care ne
dă reprezentarea în coordonate polare a cisoidei .
b) Ecuaţia cisoidei în coordonate carteziene este de forma:
xa
xy−
=2
32 (2)
Demonstraţie. Având în vedere relaţia (1) şi sistemul de coordonate polare
==
ϕρϕρ
sincos
yx
obţinem relaţia:ϕϕ
ϕϕρ
cossin2
sincos
2
ayx=== . (3)
Din egalitatea ϕϕ
ϕ cossin2
cos
2
ax= obţinem
ax
2sin =ϕ şi
ax
21cos −=ϕ (4).
Substituind (4) în prima egalitate din (3) şi ridicând la pătrat obţinem relaţia
xaxy−
=2
32 , care ne dă reprezentarea în coordonate carteziene a cisoidei.
c) Ecuaţiile parametrice ale cisoidei
==
+=
ϕtguuxy
uaux 2
2
12
Observaţie. Cisoida este o curbă raţională.
Demonstraţie. Având în vedere relaţia (3) obţinem ϕ2sin2ax = sau altfel
scris ϕϕϕ 2
2
2
coscossin2 ⋅= ax . Fie utg =ϕ , cum
ϕϕϕ
ϕϕ
2
22
2
2
coscossin
cossin
2+
= ax obţinem
expresia 2
2
12
uuax+
= . Având în vedere notaţia făcută precum şi relaţia (3) rezultă
uxy = .
102
Relaţia dintre cisoidă şi parabola de ecuaţie pxy 22 =
Propoziţie. Locul geometric al piciorelor perpendicularelor duse din vârful
parabolei la tangente este cisoida de ecuaţie
xpxy+
−=
2
32
Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia cisoidei considerăm parabola de ecuaţie
pxy 22 = . Fie
α
βα ,
2
M un punct al parabolei. Ecuaţia tangentei în M la parabola
dată are ecuaţia 02
2
=
+−
pxpy αα . De unde rezultă
+=
pxpy
2
2αα
. (1)
Perpendiculara dusă din vârful parabolei pe tangenta în M la parabolă are
ecuaţia xp
y α−= sau
xy
p−=
α . (2)
Inlocuind relaţia (2) în (1) obţinem
+−=p
xyp
xyxy
2
2
22
. De unde rezultă x
pyxy2
222 −=+ . Prin aducere la acelaşi
numitor, în urma grupării termenilor, obţinem ecuaţia xp
xy+
−=
2
32 .
Caracteristici ale curbei:
• Originea O a sistemului de axe ortogonale este punct al curbei;
• AO este axă de simetrie.
• Cisoida are două ramuri care trec prin extremităţile B şi respectiv D ale
diametrului cercului C , perpendicular pe AO .
• Axa OX este tangentă înO la cele două ramuri ale cisoidei.
• Atunci când valorile lui x cresc de la 0 la a2 valorile pozitive ale lui y cresc
de la 0 la ∞ .
• Dreapta UV de ecuaţie ax 2= este o asimptotă a cisoidei.
• O este punct de întoarcere al cisoidei.
103
• Dreapta care trece prin origine întâlneşte curba în trei puncte din care două
sunt totdeauna originea, mai precis O este punct dublu.
Observaţie. Cisoida are puncte reale numai între dreptele 0=x , ax 2= , adică
între axa OY şi tangenta în A la cercul de definiţie.
Arii şi volume
a) Aria benzii dintre cisoidă şi asimptotă este finită şi este de trei ori aria
cercului C . Prin urmare are loc formula:
23 aS π=
Demonstraţie. Având în vedere formula de calcul a ariei unei figuri plane, aria
benzii dintre cisoidă şi asimptotă este dată de expresia
∫ −=
a
dxxa
xxS2
0 22 (1)
Făcând schimbarea de variabilă xa
xt−
=2
obţinem expresiile 1
22
2
+=
tatx şi
( ) dtt
atdx 22 14+
= (2). Inlocuind (2) în (1) obţinem relaţia ( ) dtt
attt
atS ∫∞
+⋅⋅
+=
0222
2
14
122 =
= ( )∫∞
+032
42
116 dt
tta (3). Integrănd prin părţi în relaţia (3) rezultă
( ) ( )
+−
+−= ∫
∞∞
dtt
tt
taS0
22
2
0
22
32
13
14 = ( )∫
∞
+022
22
112 dt
tta =
+−
+− ∫
∞∞
02
02
2
11
16 dt
ttta =
∫∞
+02
2
16
tdta . Deoarece ∫
∞
+02 1tdt = ∞
0arctgt rezultă 23 aS π= .
b) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a benzii dintre cisoidă şi
asimptota UV în jurul asimptotei este egal cu volumul corpului obţinut în urma rotirii
complete a cercului C în jurul aceleeaşi asimptote UV :
322 aV π=
104
In cazul în care banda definită mai sus este rotită în jurul axei de simetrie se
obţine un corp al cărui volum este infinit.
Observaţie. Centrul de gravitate H al benzii dintre cisoidă şi asimptota UV
împarte diametrul OA în raportul 1:5: =HAOH (Huyghens).
3.3. Foliul
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Se numeşte foliu
( ) ( )( ) 2222 4axybxxyyx =+++
curba care în coordonate carteziene are ecuaţia
.
Ecuaţia foliului în coordonate polare este de forma:
θθθρ 2sincos4cos ab +−= .
In funcţie de relaţia dintre cei doi parametri a şi b distingem trei tipuri de
curbe prezentate mai jos:
3.a) foliu simplu (ovoid) în cazul în care ab 4≥ (Fig.5a)
Fig 5a
Ecuaţiile foliului simplu
a) Ecuaţia foliului simplu în coordonate polare este următoarea:
θρ 3cosa= .
105
b) Ecuaţia foliului simplu în coordonate carteziene este de forma:
( ) 3222 axyx =+ .
c) Ecuaţiile parametrice ale foliului simplu sunt următoarele:
( )
=+
=
txytax 221
Arii. Aria mărginită de foliul simplu este dată de formula:
2
325 aS π=
Demonstraţie. Având în vedere formula de calcul a ariei unei figuri
plane în coordonate polare obţinem:
∫=2
0
62 cos212
π
ϕϕ daS = [ ]∫2
0
322 cos21
π
ϕϕ da = ∫
+2
0
32
22cos1
21
π
ϕϕ da =
+∫ ∫2
0
2
0
2 2cos3161
π π
ϕϕϕ dda +
+ ∫∫ ϕϕϕϕ
ππ
dd 2cos 2cos32
0
32
0
2 =
++ ∫2
0
32 2cos43
2161
π
ϕϕππ da =
+
++ ∫2
0
2 2cos2
4cos143
2161
π
ϕϕϕππ da =
=
+ ∫2
0
2 4cos2cos45
161
π
ϕϕϕπ da = 2 645 aπ . De unde rezultă formula căutată.
106
3.b) foliu dublu regulat în cazul în care 0=b (Fig.5b)
Fig 5b
Construcţie. Fie C un cerc dat şi fie O un punct pe circumferinţa acestuia.
Pentru fiecare punct Q de pe circumferinţa cercului determinăm punctele P şi
'P astfel încât QOQPQP == ' . Locul geometric al punctelor P şi 'P este foliul dublu
regulat.
Altă metodă. Fie xOy un reper ortogonal şi fie A un punct pe axa Ox astfel
încât aOA = (Fig.5c). Considerăm cercul ( )2,aHC şi ducem prin H o dreaptă ( )∆
paralelă cu axa Oy . Dreapta ( )∆ intersectează ( )2,aHC într-un punct P . Cercul
( )OPPC , intersectează dreapta ( )∆ în punctele M şi 'M . Locul geometric al
punctelor M şi 'M când punctul P descrie cercul ( )2,aHC este foliul dublu regulat.
Pentru a determina ecuaţiile curbei considerăm punctul M de coordonate ( )yx,
şi ( ) ϕ=AOPm ˆ . Aplicând teorema catetei în triunghiul 'MOM dreptunghic în O
obţinem relaţia:
'2 MMMHOM ⋅= = OPy 2⋅ . (1)
O
Q
P
P’
107
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OHM obţinem:
222 MHOHOM += (2)
Fig. 5c
Aplicând teorema înălţimii în triunghiul dreptunghic 'MOM obţinem relaţia de
mai jos:
'2 HMHMOH ⋅= (3)
Dar PHOPHM += şi PHOPHM −=' (4). Inlocuind relaţia (4) în (3) obţinem
222 PHOPOH −= . (5)
Inlocuind relaţia (5) în (2) obţinem relaţia
( )2222 PHOPPHOPOM ++−= = PHOPOP ⋅+ 22 2 . (6)
In triunghiul dreptunghiuric OHP avem relaţia ϕsin⋅= OPPH (7). Inlocuind
relaţia (7) în (6) obţinem ( )ϕsin12 22 += OPOM .
108
Deoarece în triunghiul dreptunghic OPA avem ϕcos⋅= aOP relaţia (8) devine
( )ϕϕ sin1cos2 222 +⋅= aOM . (9)
Din relaţiile (1) şi (9) rezultă ( )ϕϕϕ sin1cos2cos2 22 +⋅=⋅⋅ aya deci
( )ϕϕ sin1cos +⋅= ay .
Cum u+= ϕθ rezultă u−= θϕ , 2
2 πϕ =+u .
Ecuaţiile foliului dublu regulat
a) Ecuaţia foliului dublu în coordonate polare este de forma:
θθρ 2sincos4a= .
b) Ecuaţia foliului dublu în coordonate carteziene este următoarea:
( ) 2222 4axyyx =+ .
Generalizare. Ecuaţia în coordonate polare a foliul dublu generalizat (Fig. 5d)
este:
ϕϕρ cossin ba= .
Fig. 5d
109
3.c) foliu triplu în cazul în care ab 40 << (Fig.5e)
Fig. 5e
Foliul triplu este un caz particular de rodonee (Fig 5f).
Definiţie. Se numeşte rodonee
ϕρ nacos=
curba care în coordonate polare are ecuaţia:
sau ϕρ nasin= .
Observaţie. Numărul petelelor curbei este egal cu numitorul expresiei: n2
121− .
Pentru n iraţional curba nu se închide, numărul petalelor fiind egal cu∞ . Pentru n
întreg numărul petalelor este:
parnpentrun
imparnpentrun
2 .
110
Fig. 5f
Ecuaţiile trifoliului ( )ab =
a) Ecuaţia trifoliului în coordonate polare este următoarea:
( )1sin4cos 2 −= ϕϕρ a .
b) Ecuaţia trifoliului în coordonate carteziene este de forma:
( ) ( )( ) 2222 4axyaxxyyx =+++ .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
n=1/2 n=3/2 n=5/2 n=7/2 n=9/2
n=1/4 n=3/4 n=5/4 n=7/4 n=9/4
111
Lungimi şi arii
adal 7,6 sin9816
2
0
2 ≈−= ∫
π
ϕϕ ,
2
4aS π
= .
3.4. Foliul lui Descartes (Frunza lui Descartes)
Definiţie şi construcţie. Fie cercul ( )AOAC , astfel încât [ ] lAO = . Construim
dreapta GH paralelă cu raza AO a cercului ( )AOAC , (Fig. 6). Prin punctele A şi O
ducem două drepte paralele perpendiculare pe AO care intersectează dreapta GH în
punctele 'A şi E . Pe dreapta AO se ia un punct F , opus lui O faţă de A astfel încât
[ ] [ ]OAOF 3= şi ducem dreapta ce uneşte punctul E cu F . Ducem prin O o dreaptă
arbitrară ce intersectează a doua oară cercul într-un punct N şi construim paralela prin
N la dreapta 'AA . Fie Q punctul de intersecţie al acesteia cu OF şi K punctul de
intersecţie al dreptelor 'QA şi FE . Notăm cu 'Q punctul de intersecţie dintre AK şi
GH . Fie P un punct pe AO , între A şi O astfel încât QAAP = . Paralela prin P la
'AA intersectează NO într-un punct 1M . Fie 2M simetricul lui 1M faţă de P . Când
N parcurge cercul în sens opus acelor de ceasornic 1M descrie curba LOCABOI
(Fig.7).
Caracteristici ale curbei (Fig.6). Punctul O se numeşte nodul curbei.
Tangentele prin A coincid cu axele. Dreapta AO este axă de simetrie. Punctul
23,
23 aaA situat la cea mai mare distanţă faţă de O se numeşte vârful curbei. Dreapta
UV de ecuaţie 0=++ ayx este asimptotă pentru cele două ramuri care se prelungesc
la infinit.
112
Fig. 6
Ecuaţiile foliului lui Descartes
a) Ecuaţia în coordonate carteziene este de forma:
axyyx 333 =+ ,
unde a3 reprezintă diagonala unui pătrat de latură 2
3aOA = .
b) Ecuaţia în coordonate polare (O pol, OX axă polară) este următoarea:
ϕϕϕϕρ 33 sincos
sincos3+
=a .
M2
F Q A
N
G Q' A' E H
I
L
O
K
X
U
V
M1
113
Fig. 7
c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt de forma:
=+
=
+=
ϕtguu
auy
uaux
3
2
3
13
13
.
Dacă axa de simetrie OA coincide cu axa Ox a sistemului de axe ortogonale şi
dacă considerăm O originea axei Ox pe care o orientăm în direcţia asimptotei UV
atunci, curba lui Descartes este descrisă de ecuaţiile de mai jos.
a) Ecuaţia în coordonate carteziene este următoarea:
xlxlxy
3−+
±=
unde, OAal ==2
3 .
U
V
O
L
I
A B
C
X
Y
114
b) Ecuaţia în coordonate polare este de forma:
( )ϕϕϕϕρ 33
22
cossin3cossin
+−
=l .
Arii. Aria mărginită de curba OCABO este egală cu aria benzii dintre
ramurile curbei şi asimptotă:
22
323
==
laS .
Demonstraţie. Având în vedere ecuaţiile parametrice ale foliului lui Decartes,
aria mărginită de curba OCABO se exprimă prin integrala
dtt
att
atdtt
att
atS'
30
3
2'
3
0
3
2
13
13
13
13
+
⋅+
−=
+
⋅+
= ∫∫∞
∞
, de unde, derivând sub semnul integralei
obţinem ( ) ( )
+−
+−= ∫∫
∞∞
033
5
033
22
12
19 dt
ttdt
ttaS .
Notăm ( ) dtt
taI ∫∞
+=
032
22
11
9 şi ( )∫∞
+=
033
52
21
18 dtt
taI deci, aria căutată este dată de
relaţia 12 IIS −= (1). Integrând prin părţi ambele integrale obţinem relaţiile:
( ) 23
11
23 2
'
023
2
1adt
taI =
+−= ∫
∞
, (2)
( ) dtt
taI'
023
322
113 ∫
∞
+⋅−= = dt
ta ∫
∞
+
−0
'
32
113 = 23a . (3)
Inlocuind în relaţia (1) expresiile integralelor 1I şi 2I obţinute în relaţiile (2) şi (3)
rezultă 2
3 2aS = .
Observaţie. Diametrul llBC 448.033232
≈−= al curbeiOCABO are
lungime maximă. Distanţa acestuia faţă de nod este llDO 577.033
≈= .
115
3.5. Versiera
Definiţie şi construcţie. Fie cercul C de centru K şi diametru aOA = şi fie
CM prelungirea unei semicoarde BC astfel încât OBOA
BCBM
= (Fig. 8). Când punctul
C parcurge cercul
2, OAKC punctul M descrie curba numită versieră sau bucla lui
Agnesi
A
.
Construcţie (Agnesi). Construim tangentele prin şi O la cercul C . Notăm
cu UV şi respectiv 'XX dreptele suport ale acestor tangente. Fie L punctul de
intersecţie al dreptelor OC şi UV . Construim paralele prin L la OA şi prin C la AL .
Fie M punctul de intersecţie al acestor drepte. M este un punct al versierei.
Fig. 8
Ecuaţiile versierei
a) Ecuaţia versierei în coordonate carteziene este următoarea:
22
3
xaay+
= ,
unde O este originea sistemului de axe iar OAa = este diametrul cercului C .
Demonstraţie. Cum triunghiurile dreptunghice BOC şi MLC sunt asemenea
rezultă CMBC
LMBO
= , relaţie echivalenată cu următoarea:
CMBCBC
LMBOBO
+=
+⇔
CMBCBC
ABBOBO
+=
+⇔
BMBC
AOBO
= .
U V L F
O X X’
Y
B C M
A M2 M1
C1 C2 K
116
Pentru a găsi ecuaţia versierei considerăm ca axă OX tangenta în O la cercul
2, aKC . Fie B un punct pe diametrul OA al cercului. Coarda prin B paralelă la axa
OX intersectează cercul de ecuaţie 42
222 aayx =
−+ în punctul C şi are
ecuaţia by = . Rezultă C este de coordonate ( )bbab ,2− şi deci 22 babBC −= . Cum
aOB
BMBC
= obţinem ( )b
baaOB
BCaBM −==
2
2
222 . De unde, obţinem ecuaţia
( )y
yaax −=
22 . Prin urmare 22
3
axay+
= .
Caracteristici ale curbei. Diametrul OA este dreapta de simetrie a versierei.
Dreapta 'XX este asimptota curbei. Versiera are două puncte de inflexiune 1M şi 2M
care sunt atinse când C ajunge în poziţiile 1C şi respectiv 2C . In vecinătatea punctului
A versiera coincide cu cercul iar 8
332,1 =α .
Construcţia tangentei. Punctul F este situat pe prelungirea diametrului OA
astfel încât 8aAF = . Dreptele FX şi 'FX pentru care 1α şi 2α au valorile
833 sunt
tangentele căutate.
Arii şi volume
a) Aria benzii infinite dintre versieră şi asimptota corespunzătoare este de 4 ori
aria cercului C 24 aS π= .
b) Volumul V al corpului obţinut prin rotirea completă a versierei în jurul
asimptotei este de 2 ori volumul corpului obţinut prin rotirea completă a cercului de
definiţie în jurul aceleiaşi axe
422
32
1aVV π
== ; 4
32
1aV π
= .
117
Demonstraţie. Având în vedere formula pentru determinarea volumului unui
corp obţinut în urma rotirii unei curbe în jurul axei Ox obţinem
dxxa
aV2
22
3
∫∞
∞−
+
= π = ( )∫∞
+0222
62xa
dxaπ . (1)
Pentru calculul integralei vom folosi formula de recurenţă:
( ) ( )∫ ∫ ++
+=
+2222222
2
21
2 xadx
xax
xadxa . (2)
Din relaţiile (1) şi (2) obţinem ∞
⋅⋅=0
26 1
212
axarctg
aaaV π . Deci volumul corpului
obţinut prin rotirea completă a versierei în jurul asimptotei este 2
32aV π= .
c) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a versierei în jurul axei de
simetrie este infinit.
3.6. Concoida lui Nicomede
Definiţie şi construcţie. Fie date o dreaptă UV , O un punct exterior ei şi un
segment de lungime l (Fig.9). Ducem prin O o dreaptă arbitrară care intersectează
dreapta UV în N . Pe această dreaptă luăm de o parte şi de alta a lui N punctele 1M
şi 2M astfel încât lNMNM == 21 . Locul geometric al punctelor 1M şi 2M când
dreapta ON se roteşte în jurul punctului O se numeşte concoida lui Nicomede. Curba
descrisă de punctul 1M se numeşte ramura exterioară a concoidei. Curba descrisă de
punctul 2M se numeşte ramura interioară a concoidei.
118
Fig. 9
Observaţie. Incepând cu Nicomede şi până în sec. al 17lea concoidă era numită
ramura exterioară a curbei. Ramura internă era privită ca o curbă specială şi era numită
concoida a doua, a treia sau a patra în funcţie de caracteristicile curbei.
Caracteristicile curbei. Punctele A şi C sunt numite vârfurile concoidei.
OB este dreaptă de simetrie şi intersectează concoida în O şi în cele două vârfuri. O
este punct dublu pentru curbă. UV este asimptotă atât pentru ramura interioară cât şi
pentru ramura exterioară a concoidei. Forma ramurei interioare a concoidei depinde de
relaţia dintre segmentele aOB = şi lBA = .
Cazul 1. 1: >al ramura interioară este curba ( )2OCM (Fig. 9). O este numit
nod.
Panta tangentelor în O la curbă este dată de formula:
aaltg
22 −±=α .
Y
X
U
V
D
E
P
Q
F
N
B A
K
G
H M2
M1
O S C
119
Construcţia tangentelor în O . Luăm în deschiderea compasului un segment de
lungime l . Fixăm piciorul compasului în O şi trasăm două arce de cerc care
intersectează dreapta UV în D şi respectiv E . Dreptele 'DD şi 'EE ce trec prin O
sunt tangentele căutate.
Cazul 2. 1: =al curba care formează ramura interioară se reduce la polul O
care devine punct de întoarcere pentru curbă - are o formă analoagă cu cea a cisoidei
(Fig. 10a)).
Construcţia tangentei în O . Tangenta în acest punct coincide cu OX .
Cazul 3. 1: <al curba care formează ramura interioară nu trece prin polul O
(Fig. 10b)). O este în acest caz un punct dublu izolat al curbei.
a) b)
Fig. 10
Y
O X
P
Q
U
V
F B R A
Y
O
U
V
X C
P
Q
P’
Q’
Z B S A
120
Ecuaţiile concoidei lui Nicomede
a) Ecuaţia concoidei lui Nicomede în coordonate carteziene este de forma:
( ) ( ) 22222 xlyxax =+− ,
unde OBa = este distanţa de la pol la dreapta de bază.
Ecuaţia reprezintă o figură formată din două ramuri ale concoidei şi polul O
care poate să nu aparţină locului geometric definit (Fig. 10b).
Demonstraţie. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AOM1
obţinem ( ) 2221 hqaOM ++= . Dar lONOM +=1 deci
( ) ( ) 222 hqalON ++=+ . (1)
Din ecuaţia dreptei 1OM avem xqa
hy+
= . De unde rezultă relaţia:
( )2
222
xqayh +
= . (2)
Inlocuind (2) în (1) obţinem:
( ) ( ) ( )22222 yxqalONx ++=+ . (3)
Cum l
ONqa= rezultă:
qalON = . (4)
Inlocuind (4) în (3) obţinem ecuaţia ( )( ) 22222 lxaxyx =−+ .
b) Ecuaţia în coordonate polare este de forma:
la+=
ϕρ
cos.
Având în vedere ecuaţia concoidei lui Nicomede în coordonate carteziene precum şi
sistemul de ecuaţii de trecere de la coordonatele carteziene la coordonatele polare
obţinem relaţia ( ) ϕρρϕρ 22222 coscos la =− care ne conduce la ecuaţia căutată.
Observaţie. Punctul ( )ϕρ ,M descrie ambele ramuri ale concoidei.
121
c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt următoarele:
+=+=
ϕϕϕsin
coslatgy
lax.
Construcţia normalei. Fie M un punct al concoidei (Fig.11). OM intersectează
dreapta UV în N . Perpendiculara în O pe OM intersectează perpendiculara în N pe
UV într-un punct 'N . MN ' este dreapta căutată.
Fig. 11
Construcţia tangentei. Dreapta perpendiculară în M pe MN ' este dreapta
căutată.
Arii şi volume
a) Aria dintre asimptotă şi una din ramurile concoidei, internă sau externă,
este infinit.
Y
X
U
N B A O
C N’
M
T
V
122
b) Aria buclei este
lal
aallalalaS arccosln2 2
2222 +
−+−−= .
++
=
+== ∫ ∫∫∫∫
la
la
la
la
la
dldaldadladSarccos
0
arccos
0
2
arccos
0
2arccos
0
2arccos
0
21 cos
2cos2
1cos2
121 ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
(1).
Fie ∫∫ ==la
la
dadaIarccos
02
2
arccos
02
2
1 coscos ϕϕϕ
ϕ= l
a
tga arccos
02 ϕ =
latga arccos2 =
aala
222 −
Deci 221 alaI −= (2).
∫=la
dalIarccos
02 cos
2ϕϕ =
la
tgalarccos
042
ln2
+
πϕ =
la
al
arccos
02sin
2cos
2cos
2sin
ln2 ϕϕ
ϕϕ
−
+=
la
al
arccos
02cos1
2cos1
2cos1
2cos1
ln2ϕϕ
ϕϕ
−−
+
++
−
=
lal
lal
lal
lal
al
22
22ln2−
−+
++
−
=alalalalal
−−+++−ln2 =
aallal
22
ln2 −+ (3), lalI arccos2
3 = (4)
Din relaţiile (1), (2), (3) şi (4) rezultă:
+
−+−−⋅==
lal
aallalalaSS arccosln2
2122 2
2222
1 .
In cazul particular al 2= aria buclei este dată de formula:
( ) 22 65,03432ln43 aaS ≈
++−= π .
Generalizare. Dacă în locul dreptei UV considerăm o curbă L şi păstrăm
condiţiile din definiţia concoidei lui Nicomede obţinem o nouă curbă numită concoida
curbei L în raport cu polul O .
123
3.7. Melcul
Definiţie şi construcţie. Fie date cercul
=
22, aOBKC şi un segment de
lungime l (Fig.12). Ducem prin O o dreaptă arbitrară care intersectează a doua oară
cercul în P . Cu ajutorul compasului construim pe deapta OP punctele 1M şi 2M de o
parte şi de alta a lui P astfel încât lPMPM == 21 . Locul geometric al punctelor 1M
şi 2M când dreapta OP variază este melcul lui Pascal.
Observaţie. Melcul lui Pascal este o concoidă generalizată.
Fig. 12
C4 C3 A4 A3 A2 A1 C1
R
Q O
M1 M2
P
B
D
E
H
H'
N
N'
N''
L
L'
L''
G
X
Y
4
3
2
1
1
S
124
Cazul 1. 1: <al (curba 1: 31=al ) melcul se intersectează cu el însuşi în
nodul O formând două bucle - o buclă exterioară ( )GOOHA1 şi o buclă interioară
( )OGCOH '' 1 .
Construcţia tangentelor. Construim în cercul K corzile OD şi OE de
lungime l .
Cazul 2. 1=al (curba 2) curba interioară se restrânge la polul O care devine
punct de întoarcere. Curba se numeşte în acest caz cardioidă.
Cazul 3. 21 << al (curba 3: 34=al ) Melcul lui Pascal este o curbă închisă
care nu se autointersectează. Polul este situat în interiorul curbei la distanţă de aceasta.
Curba nu are puncte de întoarcere dar are două puncte de inflexiune: R şi Q . Atunci
când al : creşte de la 1 la 2 , creşte şi unghiul QOR ˆ de la 0 la 3
22arccos2
( '4039≈ ). Peste această valoare, pentru al : tinzând la 2, măsura unghiului QOR ˆ
tinde la 0.
Cazul 4. 2=al punctele de inflexiune se anulează confundându-se cu vârful
C. Melcul ia o formă ovală şi păstrează această formă pentru orice valoare a raportului
2: >al (curba 4: l/a=7/3). Punctele "L şi "N care sunt situate cel mai departe de axă
sunt asociate valorii a
lal48cos
22 −+=ϕ .
Caracteristici ale curbei. Puctul O se numeşte pol. Cercul se numeşte cerc de
bază. OB este axă de simetrie. Axa melcului intersectează melcul în punctul O dacă
acesta aparţine melcului şi în două puncte A şi C numite vârfuri. Forma curbei
depinde de relaţia dintre segmentele aOB = şi lBCAB == .
Ecuaţiile curbei
a) Ecuaţia melcului lui Pascal în coordonate carteziene este următoarea:
( ) ( )222222 yxlaxyx +=−+ . (1)
Ecuaţia reprezintă figura formată din melcul lui Pascal şi polul O , ce poate să
nu aparţină locului geometric definit mai sus (cazul curbelor 3 şi 4).
125
Demonstraţie. Pentru a obţine ecuaţia melcului lui Pascal considerăm ecuaţia
cercului
=
22, aOBKC :
42
22
2 ayax =+
− (2)
Punctele 1M şi 2M verifică ecuaţia polară la += ϕρ cos astfel încât avem
formulele:
ϕϕ cos2cos22
laax ++= (3)
ϕϕ sin2sin2
lay += (4)
Din (3) rezultă ϕϕ cos2cos22
laax +=− (5). Inlocuind (4) şi (5) în (2) obţinem:
( ) ( ) ρϕ llalaxyx =+=−+ cos22 . Ridicând la pătrat obţinem ecuaţia melcului lui
Pascal ( ) ( )222222 yxlaxyx +=−+ .
b) Ecuaţia în coordonate polare este următoarea:
la += ϕρ cos .
Observaţie. Ecuaţia reprezintă figura ce conţine numai punctele ce satisfac
definiţia melcului lui Pascal.
Având în vedere sistemul de ecuaţii de schimbare a coordonatelor carteziene în
coordonate polare şi ecuaţia (1) obţinem:
( ) ( )ϕρϕρϕρϕρϕρ 2222222222 sincoscossincos +=−+ la ⇔ ( ) 22cos la =− ϕρ ,
relaţie care ne conduce la ecuaţia curbei în coordonate polare.
c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt:
+=+=
ϕϕϕϕϕsincossin
coscos2
aylax
126
sau echivalent:
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
=
−+++
=
−+++
−=
2
12
11
222
222
2
ϕtgu
alualuuy
alualuux
.
Observaţie. Melcul lui Pascal este o curbă raţională.
Construcţia tangentei (Metoda I). Pentru a construi tangenta la cardioidă
într-un punct M este suficient să unim acest punct cu punctul diametral opus
punctului de tangenţă al cercului fix cu cercul care se rostogoleşte. Normala va fi
dreapta 1MQ .
Fig. 13
Fie M un punct al cardioidei şi fie Q punctul de tangenţă al cercului fix cu
cercul care se rostogoleşte şi trece prin M . MQ1 este nrmala căutată.
Observaţie. Regula pentru construirea tangentei este valabilă pentru orice curbă
descrisă de punctele unui cerc care se rostogoleşte fără să alunece.
Y
X
M
Q
Q1
127
Construcţia tangentei (Metoda II). Construim perpendiculara TM în M pe
normala NM . TM este tangenta căutată (Fig.14).
Construcţia normalei. Fie M un punct al curbei. Dreapta MO intersectează
cercul a doua oară într-un punct P (Fig.14). Fie N punctul diametral opus lui P.
Dreapta NM este normala căutată.
Fig. 14
Relaţia cu cercul. Locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse
dintr-un punct O la tangentele unui cerc ( )rBC , este melcul lui Pascal. Dacă O este
situat în planul cercului atunci O este polul curbei, cercul de bază are ca diametru
segmentul aOB = iar segmentul de lungime l este egal cu raza r a cercului. Dacă
punctul O aparţine cercului, melcul lui Pascal devine cardioidă
∫−
+=π
π
ϕρρ ds 22 '
.
Lungimi şi arii
a) Lungimea cardioidei este de 8 ori mai mare ca lungimea diametrului
cercului de bază:
= ( )∫−
++π
π
ϕϕϕ daa sin4cos14 2222 = ( )∫−
+π
π
ϕϕ da cos122
= ϕϕπ
π
da 2
cos4 ∫−
= a16 .
Y
X
M
T
O
N
P
K A
128
b) Aria descrisă de raza melcului într-o mişcare de rotaţie completă este
următoarea: π
+= 22
21 laS .
Având în vedere simetria curbei faţă de axa Ox este suficient să calculăm
jumătate din aria căutată. Astfel avem:
( )∫ ∫ +==π π
ϕϕϕρ0 0
221 cos
21
21 dladS = ( )∫ ++
π
ϕϕϕ0
222 cos2cos21 dlala =
∫π
ϕϕ0
22 cos21 da ∫+
π
ϕϕ0
cos2 dal +
∫π
ϕ0
2 dl . Deci aria descrisă de raza melcului într-o
mişcare de rotaţie completă este:
12S =ππ
ππ
ϕϕϕ0
20
00
2 sin242sin
2lala ++
− =
2
2πa + π2l .
In absenţa buclei ( )al ≥ , S reprezintă aria mărginită de melc. In cazul
existenţei buclei are loc ecuaţia 21 SSS += unde 1S şi 2S sunt date de expresiile:
221
221 2
321 lallaS −+
+= ϕ ,
unde
−=
alarccos1ϕ ;
222
222 2
321 lallaS −−
+= ϕ .
unde alarccos2 =ϕ .
( )∫
−
+=al
dlaS
arccos
0
2'1 cos
21 ϕϕ = ( )∫
−
++al
arr
dlala
cos
0
222 cos2cos21 ϕϕϕ = ∫
−
al
arr
da
cos
0
22 cos21 ϕϕ +
∫
−
al
arr
dal
cos
0
cos221 ϕϕ + ∫
−
al
arr
dl
cos
0
2
21 ϕ .
129
De unde obţinem :
'12S =
−
−
−
−
++
− a
lal
al
al
lalaarccos
0
2arccos
0
arccos
0
arccos
0
2 sin242sin
2ϕϕϕ =
21
2ϕa -
4
arccos2sin2
−
al
a +
−
alal arccossin2 + 1
2ϕl =22
1 22
122 lalla −
+
+ ϕ + 222 lal −
Deci aria căutată este:
221
22'11 2
3212 lallaSS −+
+== ϕ .
Analog se determină 2S .
Analog se demonstrează faptul că aria cardioidei este 2
23 aS π= şi este de 6 ori
mai mare decât aria cercului de bază.
3.8. Curbele lui Cassini (ovalele lui Cassini)
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Locul geometric al punctelor M pentru care produsul distanţelor de
la M la două puncte fixe 1F şi 2F , numite focare, este egal cu pătratul lungimii unui
segment dat, se numeşte curbă cassiniană 221 aMFMF =⋅: unde, cFF 221 = şi a este
lungimea unui segment dat. Dreapta 21FF se numeşte axa curbei lui Cassini iar
mijlocul O al segmentului 21FF se numeşte centrul curbei.
Construcţie. Considerăm cercul C de centru O şi diametru cFF 221 =
(Fig.15). Construim tangenta în 1F la cerc şi luăm un punct K astfel încât aKF =1 .
Construim pe semidreptele opuse 1[OF şi 2[OF două puncte 1A şi respectiv 2A astfel
încât 2221 acOKOAOA +=== . 1A şi 2A aparţin curbei lui Cassini şi sunt
punctele cele mai îndepărtate de centrul O al curbei.
130
Fig. 15
Cazul 1. Dacă ca < (Fig.15) atunci construim în plus un cerc cu centrul în O
şi de rază a . Construim tangenta din 1A la acest cerc şi notăm cu T punctul de
tangenţă. Tangenta TA1 intersectează cercul de bază în punctele 0P şi 0Q . Construim
pe diametrul 21FF punctele 1B şi 2B astfel încât 0111 PABF = şi 0121 QABF = .
Punctele 1B şi 2B astfel determinate aparţin curbei lui Cassini şi sunt punctele situate
la distanţa cea mai mică de O ; 2221 acOBOB −== .
Cazul 2. Dacă ca ≥ (Fig.16) atunci punctele cele mai apropiate ale curbei sunt
situate pe mediatoarea segmentului 21FF şi au proprietatea aCFCF == 2211 . Deci
2221 acOCOC −== .
Perechile de puncte 1A , 2A ; 1B , 2B (sau 1C , 2C ) se numesc vârfurile curbei lui
Cassini. Prin 1A sau 2A ducem o secantă arbitrară care intersectează cercul de bază în
X
Y
H
M4 M2
A1 F1 B1 O B2 F2 A2
M3 F
Q Q0
N M1 P P0
K T
131
punctele P şi Q (Fig.15). In cazul în care ca < ne limităm numai la secantele care
intersectează şi cercul suplimentar de rază a . Cu piciorul compasului în 1F construim
cercul de rază PAr 1= şi cu piciorul compasului în 2F construim cercul de rază
QAr 1'= . Notăm cu 1M şi respectiv 2M punctele de intersecţie ale acestor cercuri.
1M şi 2M aparţin curbei lui Cassini. Schimbând rolurile între 1F şi 2F obţinem
perechea de puncte 3M , 4M . Locul geometric al punctelor 1M , 2M , 3M , 4M este
curba căutată.
Fig. 16
Caracteristicile curbei
• Ovalele lui Cassini sunt curbe analagmatice, adică sunt invariante la inversiune.
Observaţie. Fie cercul ( )kOC , . Două puncte P şi Q sunt inverse în raport cu
C dacă 2kOQOP =⋅ . Dacă P descrie o curbă 1C atunci Q descrie o curbă
2C numită inversa lui 1C în raport cu cercul C .
• Dreptele OX şi OY sunt axe de simetrie pentru curba lui Cassini; O este punct
de simetrie pentru curba cassiană.
In cazul ca < curba lui Cassini este formată dintr-o pereche de ovale.
In cazul ca > curba lui Cassini este o curbă închisă.
G1
G2
E1
E2
C1
C2
O
K1
K2 K4
K3
K0 F1 F2 B1 B2
D1
D2 D3
D4
N1
A1
A2
N2
132
In cazul ca = curba lui Cassini este curbă numită lemniscată.
Pentru a tinzând la c , vârfurile 1A , 2A tind către vârfurile lemniscatei ( 1N ,
2N ) iar vârfurile 1B , 2B tind către nodul O . Ovalul drept al curbei lui Cassini devine
bucla dreaptă a lemniscatei în timp ce ovalul stâng al curbei lui Cassini devine bucla
stângă a lemniscatei.
In cazul 2cac << curba lui Cassini are patru puncte de inflexiune 1D , 2D ,
3D , 4D , iar curba nu mai este un oval.
In cazul în care 2ca ≥ curba lui Cassini este un oval.
Ecuaţiile curbei lui Cassini
a) Ecuaţia curbei exprimată în coordonate carteziene este următoarea:
( ) ( ) 44222222 2 cayxcyx −=−−+
Demonstraţie. Pentru a obţine ecuaţia curbei în coordonate carteziene luăm ca
origine punctul O şi notăm cu ( )yx, coordonatele punctului 1M . Notăm cu 1'M
piciorul perpendicularei din 1M pe axa OX . Aplicând teorema lui Pitagora în
triunghiurile dreptunghice 111 ' FMM şi 211 ' FMM obţinem
relaţiile ( )22211 xcyFM −+= şi ( )222
21 xcyFM ++= . Ţinând seama de faptul că
221 aMFMF =⋅ rezultă ( )[ ] ( )[ ] 42222 axcyxcy =++⋅−+ , de unde obţinem ecuaţia
căutată.
b) Ecuaţia curbei exprimată în coordonate polare pentru cazul în care O este
pol şi Ox este axa polară
02cos2 44224 =−+− acc ϕρρ
sau
ϕϕρ 2sin2cos 24422 cac −±= .
133
Demonstraţie. Aplicând în triunghiurile 11FOK şi 21FOK teorema generalizată
a lui Pitagora obţinem:
ϕρρ cos22221 ccMF ++=
ϕρρ cos22222 ccMF −+= .
Inlocuind aceste relaţii în ecuaţia ovalelor 221 aMFMF =⋅ obţinem expresia:
( ) ( ) 4222222
21 cos2cos2 accccMFMF =−+⋅++=⋅ ϕρρϕρρ ,
de unde rezultă ecuaţia 02cos2 44224 =−+− acc ϕρρ .
Construcţia tangentei. Fie N un punct al curbei lui Cassini (Fig.15).
Prelungim segmentul NF1 cu un segment NF congruent cu el. Construim
perpendicularele în F şi 2F pe FF1 şi respectiv NF2 . Notăm cu H punctul de
intersecţie al acestor perpendiculare. Dreapta NH este tangenta căutată.
In cazul în care H este inaccesibil, segmentele NF şi 2NF pot descreşte
proporţional pentru a permite construcţia.
3.9. Lemniscata lui Bernoulli
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Locul geometric al punctelor pentru care produsul distanţelor la
capetele unui segment dat cFF 221 = este 2c se numeşte lemniscată 1F. Punctele şi
2F sunt focalele curbei iar dreapta 21FF este axa lemniscatei.
Observaţie. Lemniscata este un caz particular al ovalelelor lui Cassini
( 22 ca = ).
Construcţie (Metoda lui Maclaurin). Fie dat segmentul 21FF de lungime c2 şi
fie O mijlocul acestuia (Fig.17). Construim cercul de centru 1F (sau 2F ) şi rază 2
c .
Secanta din O la cerc intersectează cercul în P şi Q . Pe această secantă construim
punctele M şi 1M de o parte şi de alta a lui O cu proprietatea PQOMOM == 1 . M
descrie o buclă a lemniscatei în timp ce 1M descrie cealaltă buclă.
134
Caracteristici ale curbei. Lemniscata are două axe de simetrie: dreapta suport a
segmentului 21FF şi mediatoarea segmentului 21FF (Fig.17). O este numit nodul
curbei şi este punct de inflexiune pentru ambele ramuri. Tangentele în O la curbă
formează unghiuri de 45 cu axa 21FF . ( ) ( ) 2,, 21 cAOdAOd == iar 1A şi 2A se
numesc vârfuri.
Fig. 17
Ecuaţiile lemniscatei lui Bernoulli
a) Ecuaţia curbei în coordonate carteziene (O origine) este următoarea:
( ) ( )222222 2 yxcyx −=+ .
Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia lemniscatei considerăm ca origine punctul
O şi fie ( )yx, coordonatele punctului M . Construim 'MM perpendiculara prin M la
axa OX . Considerăm triunghiurile dreptunghice 1' FMM şi 2' FMM . Aplicând
teorema lui Pitagora în cele două triungiuri obţinem relaţiile ( )2221 cxyMF −+= şi
( )2222 cxyMF ++= . Ţinând seama de relaţia 2
21 cMFMF =⋅ rezultă
( )[ ] ( )[ ] 42222 ccxycxy =++⋅−+ , de unde obţinem ecuaţia ( ) ( )222222 2 yxcyx −=+
care ne dă reprezentarea în coordonate carteziene a lemniscatei.
b) Ecuaţia curbei exprimată în coordonate polare este de forma:
ϕρ 2cos2 22 c= ,
B
C
Y
X O
P
M
N
Q N'
A1 A2
M1
F2 F1
K
135
unde ρ ia valori reale în cazul în care unghiul ϕ ia valori în intervalele
4 ,0 π ,
45,
43 ππ ,
ππ 2 ,
47 şi se anulează în cazul în care ϕ ia valorile
4π ,
43π ,
45π ,
47π .
Trecând de la coordonatele polare la cele ortogonale: ϕρ cos=x , ϕρ sin=y
şi ţinând cont de relaţia 222 yx +=ρ obţinem după transformări elementare
( )ϕϕρρ 22224 sincos2 −= c , de unde obţinem ecuaţia lemniscatei în coordonate
polare ϕρ 2cos2 22 c= .
c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt următoarele:
−=
+−
=
++
=
ϕπ4
12
12
2
4
3
4
3
tgu
uuucy
uuucx
, unde +∞<<∞− u .
Observaţie. Lemniscata lui Bernoulli este o curbă raţională.
Construcţia normalei. Fie M un punct al lemniscatei (Fig.17). Construim în
M un unghi NMO ˆ astfel încât ( ) ( )1ˆ2ˆ FOMmNMOm = . Dreapta NM este normala
căutată. ( ) ( )11ˆ3ˆ FOMmFNMm = .
Construcţia tangentei. Perpendiculara în M la normala NM este tangenta
căutată (Fig. 17).
Observaţie. Diametrul cFFBC == 2121 are lungimea cea mai mare şi este
latura triunghiului echilateral cu vârful în O .
Arii
a) Aria sectorului polar OMA1 este dată de formula:
( ) KFOKcS 1
2
2sin2
⋅== ϕϕ ,
unde K este proiecţia punctului focal 1F pe raza OM .
136
b) Aria fiecărei bucle a lemniscatei este 2c .
Demonstraţie. Având în vedere simetria curbei calculăm jumătate din aria unei
bucle a lemiscatei ∫=4
0
2 2cos221
21
π
ϕϕ dcS =22
2sin 24
0
2 cc =
π
ϕ . Prin urmare 2cS = .
Legătura cu hiperbola. Locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse
din centrul O al unei hiperbole echilaterale cu vârfurile 1A şi 2A la tangentele sale
este o lemniscată cu vârfurile 1A , 2A .
3.10. Spirale
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Curba care în coordonate polare poate fi reprezentată prin ecuaţia
( )θfr = , unde r este o funcţie crescătoare sau descrescătoare se numeşte
nar1
θ=
spirală.
Tipuri de spirale
a) Spirale a căror ecuaţie este
- Pentru 1=n curba este cunoscută sub numele de spirala lui Arhimede
θar =
şi
are ecuaţia (Fig.18).
Fig. 18
137
- Pentru 1−=n curba este cunoscută sub numele de spirală hiperbolică
θar =
şi
are ecuaţia (Fig.19).
Fig. 19
- Pentru 2=n curba este cunoscută sub numele de spirală parabolică
θ22 ar =
(spirala lui Fermat) şi are ecuaţia (Fig.20).
Fig. 20
138
- Pentru 2−=n curba este cunoscută sub numele lituus
θ/22 ar =
şi are ecuaţia
(Fig.21)
Fig. 21
b) Spirala logaritmică are ecuaţia ( ) ctgbar /ln θ= . Deoarece tangenta în orice
punct al curbei formează cu raza vectoare un unghi b spirala logaritmică se mai
numeşte şi spirală echiunghiulară.
10.a. Spirala lui Arhimede
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Fie dreapta 'XX şi O un punct fix pe 'XX . Fie UV o dreaptă
arbitrară prin O şi fie M un punct pe UV . Deplasăm punctul M pe dreapta UV în
timp ce rotim UV uniform în jurul punctului O . Curba descrisă de M în urma acestei
mişcări se numeşte spirala lui Arhimede (Fig.22 ).
Observaţie. Distanţa OM este proporţională cu unghiul de rotaţie al dreptei
UV . O mişcare de revoluţie completă este asociată cu aceeaşi deplasare aMM =1 .
Dreapta UV are două sensuri de rotaţie, fiecărui sens îi corespunde o spirală; rotaţiei
în sensul acelor de ceasornic îi corespunde spirala stângă, rotaţiei în sens opus acelor
de ceasornic îi corespunde spirala dreaptă. Pentru un a dat cele două spirale sunt în
oglindă.
139
Construcţie. Fie O un punct arbitrar şi k un parametru dat (Fig.22).
Construim cercul de centru O şi rază ONk = . Impărţim cercul într-un număr n
arbitrar de arce egale. Notăm cu ,....., 10 bb punctele astfel obţinute. Fără a restrânge
generalitatea presupunem 12=n . Prelungim raza 0Ob în direcţia lui 0b cu un segment
kOA π21 = . Impărţim 1OA în acelaşi număr de părţi egale. Pe razele
,....., 21 ObOb construim segmentele 111 OAn
OD = , 122 OAn
OD = ,….. Obţinem punctele
....,, 321 DDD ale primei mişcări de revoluţie a spiralei. Pe 1OD , 2OD , 3OD , luăm
punctele ....,, 321 EEE astfel încât 12211 ..OAEDED == . Procedeul continuă atât timp
cât este necesar.
Caracteristici ale curbei. Orice rază vectoare OQ a spiralei cu originea în
polul O întâlneşte curba într-un număr infinit de puncte ,....., 21 QQ ce aparţin spiralei
şi au proprietatea că distanţa dintre două puncte succesive de intersecţie 1, +ii QQ este
constantă şi egală cu πka 2= . Acest lucru rezultă din faptul că la direcţia razei
vectoare care corespunde unei valori date a lui θ adunăm ,...4 ,2 ππ iar lungimea r
definită de ecuaţia θar = va căpăta creşterile ,......4 ,2 ππ aa . Tangenta în O la spirală
coincide cu axaOX .
Construcţia normalei. Fie M un punct al spiralei lui Arhimede cu distanţa
dintre spirale egală cu a (Fig. 22). Perpendiculara în O pe OM intersectează prima
dată spirala în N astfel încât kaON ==π2
. NM este normala căutată.
Construcţia tangentei. Perpendiculara în M pe normala NM este tangenta
căutată (Fig.22).
140
Fig. 22
Lungimi şi arii
a) Lungimea arcului OM este ( )[ ]1ln12
22 ++++= ϕϕϕϕkl ,
Demonstraţie. ∫ +=ϕ
ρρ0
22 ' dts = ∫ +ϕ
0
222 dtktk = ∫ +ϕ
0
2 1dttk .
∫ +ϕ
0
2 1 dtt = ∫ +ϕ
0
2 1' dttt = ( )dttttt'
0
2
0
2 11 ∫ +−+ϕϕ
= ∫+
−+ππ
ϕϕ
ϕϕϕ2
02
22
0
2
11 d =
= ∫+
−+−+
ππϕ
ϕ
ϕϕϕ2
02
22
0
2
1111 d = ∫∫
+++−+
πππ
ϕ
ϕϕϕϕϕ2
02
2
0
22
0
2
111 dd ⇒
11ln211
211 2
2
0
22
0
2 ++++=+∫ ϕϕϕϕϕππ
d
O b0 b1
b3
D1
E1
F1 E2
F2
D2
D3
E3
F3
A1 A2 X
U
V
H
M’
Q
Q2
Q1
M
N
M1
T
141
b) Aria sectorului 'MOM pentru cazul în care unghiurile din M şi 'M diferă
cel mult cu π2 este
( )22 ''61 ρρρρω ++=S , (1)
unde OM=ρ , '' OM=ρ , 'ˆMOM=ω .
Din punct de vedere geometric, aria sectorului unei spirale arhimedice este
egală cu media aritmetică a ariilor a trei sectoare circulare pentru care unghiul este egal
cu cel din sectorul 'MOM şi lungimile celor trei raze sunt egale cu lungimile OM ,
'OM şi respectiv 'OMOM ⋅ .
c) Aria figurii OAQDOD 1132 mărginită de primul circuit al spiralei şi de
segmentul 1OA este 3 2
1aS π
= .
Demonstraţie. Rezultatul poate fi obţinut dacă în formula (1) efectuăm
următoarele substituţii 0=ρ , a='ρ , πω 2= sau direct aplicând formula de calcul
ariei unei figuri plane.
Astfel, ∫=π
ϕρ2
0
21 2
1 dS = ∫π
ϕϕπ
2
0
22
2
421 da =
πϕ
π
2
0
2
2
2
38a =
3
2πa şi reprezintă o treime din
aria cercului de rază 1OA .
d) Aria figurii 1231 AHAEA mărginită de al doilea circuit al spiralei şi de
segmentul 12 AA este 3 7 2
2aS π
= .
Demonstraţie. Rezultatul poate fi obţinut dacă în formula (1) efectuăm
următoarele substituţii 0=ρ , a2'=ρ , πω 2= sau direct aplicând formula de calcul
ariei unei figuri plane. Astfel , ∫=π
π
ϕρ4
2
22 2
1 dS = ∫π
π
ϕϕπ
4
2
22
2
421 da =
π
π
ϕπ
4
2
2
2
2
38a =
37 2πa .
142
In general se poate demonstra prin inducţie faptul că aria nS a figurii formate
de circuitul n al spiralei şi de segmentul nOA este dată de formula de recurenţă
( ) 233
31 annSn π−−
= .
10.b. Desfăşurătoarea unui cerc
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Fie L un punct. Pornind dintr-o poziţie iniţială 0D , L descrie în
mod continuu un cerc de rază k . Pe tangenta în L la cerc, în direcţia opusă rotirii
construim segmentul
=
∩
LDlLM 0 . Curba descrisă de punctul M se numeşte
desfăşurătoarea cercului (Fig.23).
Fig. 23
Observaţie. Acelaşi cerc are un număr infinit de astfel de curbe. In funcţie de
sensul de rotaţie al pnctului L avem o desfăşurătoare la dreapta MPD0 şi o
desfăşurătoare la stânga QD0 . De obicei, sunt privite ca două ramuri ale unei aceleiaşi
curbe.
Construcţie. Impărţim cercul dat în n arce de lungimi egale
012110 ... DbbbbD n−=== (Fig.24). Pe tangenta în 0D la cerc construim segmentul
kED π200 = . Impărţim 00 ED în acelaşi număr de părţi egale:
012110 .... EaaaaD n−=== .
143
Pe tangentele în ,......, 21 bb luăm punctele ,....., 21 DD astfel încât 1011 aDDb = ,
2022 aDDb = ,….. Punctele ,....., 21 DD astfel determinate aparţin primului circuit
00 PED al desfăşurătorii. Punctele ,....., 21 EE ale celui de-al doilea circuit le obţinem
prin prelungirea segmentelor ,....., 2211 DbDb cu segmentele ,....., 2211 EDED de lungimi
egale cu lungimea segmentului 00 ED . Procedeul continuă atât cât este nevoie.
Fig. 24
Caracteristici ale curbei. Desfăşurătoarea unui cerc intersectează toate
tangentele la cerc sub un unghi drept. In particular desfăşurătoarea unui cerc formează
în punctul iniţial 0D un unghi drept cu tangenta 00 FD . Normala la desfăşurătoare este
tangentă la cerc. Prin construcţie desfăşurătoarea nu pătrunde în interiorul cercului iar
0D este punct de întoarcere pentru desfăşurătoare.
F0
E0
E2
F2
E3 F3 D2 D3 b3
b2 O D0
M
L
Q
P
H
N
144
Ecuaţiile desfăşurătoarei cercului
a) Ecuaţia desfăşurătoarei cercului în coordonate polare pentru cazul în care
polul O este centrul unui cerc dat şi axa polară Ox este orientată în lungul razei iniţiale
0OD este:
ρρ
ϕ kk
karccos
22
−−
=
unde, k este raza cercului.
b) Ecuaţiile parametrice ale desfăşurătoarei cercului sunt prezentate mai jos.
Luând drept parametru unghiulα format de direcţia pozitivă a axei Ox cu raza
dusă din punctul L şi ţinând seama de egalitatea αkLDLM == 0 obţinem ecuaţia
desfăşurătoarei cercului sub formă parametrică:
−=+==+=+==
αααααα
cossinsincos
kkLMprOLprOMprykkLMprOLprOMprx
OyOyOy
OxOxOx .
Deci ecuaţiile parametrice ale curbei sunt date de sistemul:
( )( )
=
−=+=
LOD
kykx
ˆcossinsincos
0α
αααααα
.
Având în vedere că derivata de ordinul întâi a lui y în raport cu x este dată de
formula dxdyy =' putem determina coeficientul unghiular al tangentei:
ααααααααα tg
kkkkkky =
++−+−
=cossinsinsincoscos' .
Deoarece coeficientul unghiular al normalei la desfăşurătoarea cercului este dat
de expresia
−=−
2παα tgctg rezultă că dreapta LM este normala la
desfăşurătoarea cercului.
145
Lungimi
Cum ∫=α
0
22 dttks =α
0
2
2tk =
2
2αk rezultă faptul că lungimea arcului MD0
este OLMLks
22
21
21
== α .
Legătura cu spirala lui Arhimede. Piciorul perpendicularei duse din centrul O
la tangenta MT a desfăşurătoarei descrie spirala lui Arhimede.
10.c. Spirala logaritmică (spirala de creştere)
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Fie UV o dreaptă care se roteşte uniform în jurul unui punct O
numit pol şi fie M un punct pe dreapta UV care se îndepărtează de O proporţional cu
distanţa OM . Curba descrisă de M se numeşte spirală logaritmică (Fig.25).
Construcţie. Fie C un cerc de centru O . Impărţim cercul în kn 2= părţi egale
şi notăm punctele astfel obţinute cu ,.....,,, 3210 BBBB în sens invers acelor de ceasornic
(Fig.25). Fără a restrânge generalitatea presupunem 1624 ==n . Pe raza 0OB
considerăm un punct 0A şi construim un segment 01 qOAOA = . Construim cercul de
centru 'O şi diametru 1OA . Perpendiculara în 0A pe diametrul 1OA intersectează
cercul de centru 'O într-un punct K . Cercul de rază OK intersectează raza 8OB într-un
punct 8D ce aparţine spiralei. Acelaşi cerc intersectează raza 1OA într-un punct L .
Ducem în L perpendiculara pe 1OA care intersectează cercul de centru 'O într-un
punct 'K . Cercul de rază 'OK intersectează raza 12OB într-un punct 12D ce aparţine
spiralei şi intersectează raza 1OA într-un punct 'L . Procedeul continuă. Alte puncte
situate pe dreptele ,....., 9180 BBBB pot fi construite în felul următor: In punctul 14D
construim unghiul QOD14 egal cu unghiul 1415 DOD .
146
Fig. 25
La intersecţia cu raza 13OB obţinem punctul 13D care aparţine spiralei. In punctul 1A
construim unghiul '1QOA egal cu unghiul 115 AOD , la intersecţia cu raza 1OB obţinem
punctul 1E , etc.
B1
B2
B0
B3 B4 B5
B6 B7
B8
B9
B10
B11 B12 B13
B14
B15
D1
D8 D3 D4 D5 D6
D7
D8
D9
D10
D11
D12 D13
D14
D15
A1
E1
Q’ E2
U
K K’ K”
A0
M
A-1
M0 M1 N0
N1 F1
F2
Q
L L’
V
O’
147
Ecuaţia spiralei logaritmice în coordonate polare
In condiţiile în care axa polară trece printr-un punct arbitrar 0M al spiralei iar
polul coincide cu polul spiralei ecuaţia curbei în coordonate polare este de forma:
πϕ
ρρ 20q= , (1)
unde 00 OM=ρ este raza vectoare a punctului 0M şi q este coeficientul de creştere.
Ecuaţia (1) este cunoscută şi sub forma: ϕρρ ke0= , (2)
unde k este un parametru care depinde de coeficientul de creştere q .
Din relaţiile (1) şi (2) obţinem egalitatea ϕπϕ
keq =2 (3) sau echivalent πkeq 2= .
Logaritmând în (3) obţinem kq ϕπϕ
=ln2
de unde rezultă π2
ln qk = .
Semnificaţia geometrică a parmatrului k. Fie M un punct al spiralei
logaritmice şi fie α unghiul dintre dreapta OM şi tangenta MT (Fig.26). Atunci are
loc relaţia αctgk = .
Fig. 26
O M
H
T
K
P
U
V
148
Caracteristici ale curbei
Unghiul α are aceeaşi măsură în toate punctele spiralei (Fig.26).
Pentru un număr foarte mare de rotaţii ale dreptei UV în jurul polului O ,
punctul M care descrie spirala fie se depărtează de pol tinzând către ∞ , fie se apropie
de pol dar niciodată nu coincide cu acesta. In ambele situaţii M descrie în jurul polului
un număr infinit de circuite iar dacă notăm cu 0A poziţia iniţială, arcul descris
de M este de lungime finită .
Lungimea segmentului MT este egală cu lungimea arcului MO :
αρ
cos)( === MTMOls ,
unde ρ este raza vectoare OM .
Aproximări. Spirala lui Théodore din Cyrène
Definiţie. Spirala lui Théodore din Cyrène este o aproximare prin segmente a
spiralei logaritmice (Fig.27).
Fig. 27
d
d
d
O P
P
d
d
149
Construcţie. Fie iOd un şir de segmente convergente în O cu panta πα
2i , fie
1P un punct dat pe segmentul 1Od şi fie β un unghi dat (Fig.27). Construim pe
segmentul 2Od un punct 2P astfel încât măsura unghiului dintre 21PP şi 1OP să fie
egală cu măsura unghiului β . Punctele iP aproximează o spirală logaritmică cu
βctga = . In cazul particular în care2πβ = spirala astfel construită este cunoscută sub
numele de spirala lui Théodore din Cyrène.
Observaţie. Curba se regăseşte la organismele pentru care creşterea este
proporţională cu mărimea lor, motiv pentru care spirala logaritmică este cunoscută şi
sub numele de spirală de creştere.
http://www.2dcurves.com/spiral/spirallo.html
150
3.11. Cicloida
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Fie dat cercul ( )rCC ,0 care se rostogoleşte fără alunecare pe o
dreaptă fixă KL şi fie M un punct fixat în planul cercului (Fig.28). Locul geometric
descris în această mişcare de punctul M se numeşte cicloidă. Dreapta fixă KL se
numeşte baza cicloidei (dreaptă directoare).
Dacă punctul ( )rCCIntM , 0∈ adică, dacă ( ) rCMd <0, atunci curba se
numeşte cicloidă prescurtată (Fig 28a)).
Dacă punctul ( )rCCExtM , 0∈ adică, dacă ( ) rCMd >0, atunci curba se
numeşte cicloidă prelungită (Fig 28b)).
Observaţie. Cele două curbe se numesc şi trohoide.
Dacă punctul ( )rCCM , 0∈ adică, dacă ( ) rCMd =0, atunci curba se numeşte
cicloidă (Fig 28c)).
Notăm cu A punctul de pornire al cicloidei. A aparţine dreptei OC0 , ce uneşte
centrul cercului ( )rCC ,0 cu O punctul de tangenţă al cercului cu baza.
Punctele iniţiale ale cicloidei sunt situate pe dreapta directoare şi coincid cu
punctele de sprijin ale cercului de definiţie (Fig.28c)).
Vârful D al cicloidei se află situat pe prelungirea razei ''CO a cercului
generator.
Segmentul [ ]AB care uneşte două puncte de pornire adiacente se numeşte
dreapta de bază a cicloidei.
Perpendiculara DF dusă din vârful D al cicloidei pe dreapta de bază se
numeşte înălţimea cicloidei. Arcul descris de M între două puncte de pornire adiacente
se numeşte arc cicloidal.
Dreapta UV descrisă de centrul cercului în urma rostogolirii fără alunecare a
acestuia se numeşte linia centrelor cicloidei.
Caracteristici ale curbei. Cicloida se întinde în lungul dreptei KL către ±
infinit. Este situată în interiorul unei benzi mărginite de dreptele de ecuaţii dry += şi
respectiv dry −= . Prima dreaptă este tangentă la cicloidă în vârful acesteia în timp
ce a doua dreaptă trece prin toate punctele de pornire ale cicloidei. In cazul în care
cicloida este scurtată sau alungită dreapta dry −= este tangentă la curbă. Dreapta
151
0AC (Fig. 28a)) este axă de simetrie, dreapta DF dusă prin orice vârf al curbei
perpendicular pe dreapta directoare este axa de simetrie pentru cicloidă.
Fig. 28
A, O F, O' B, O1
H
U C'
D
E'
T
C0 V E C
A O E'
N
T
F
D
C'
O'
U V C M E A1
A2, C0
B O1
B2 B1
2d
2d
O O' O1
V U B
F
C'
D
C
E'
M E C0
N
T
A
a)
b)
c)
152
Construcţie. Se cunosc raza r a cercului generator şi distanţa ( )CMd ,
(Fig.29). Construim mai întâi linia centrelor UV şi fixăm pe aceasta un punct 0C . Cu
vârful compasului în 0C construim cercul ( )dCC ,0 . Construim diametrul
perpendicular pe UV şi notăm cu 0M unul din capete. 0M este vârful curbei căutate.
Impărţim cercul într-un număr par de arce egale astfel încât 0M să fie unul din
punctele diviziunii. Notăm punctele diviziunii astfel: n±±± ,...,2,1,0 . Punctele n− şi
n+ coincid. Considerăm pe linia centrelor de o parte şi de alta a punctului 0C ,
punctele 'A şi 'B astfel încât :
rBCAC '' 00 π== .
Impărţim segmentele astfel construite în n părţi egale şi notăm punctele diviziunii cu
nCCC ±±± ,...,, 21 unde nC şi nC− coincid cu 'A şi respectiv 'B . Prin punctele
.......4,3,2,1 ducem paralele la linia centrelor care intersectează a doua oară cercul în
,.....3,2,1 −−− . Cu vârful compasului în punctele nCCC ±±± ,...,, 21 construim semicercuri
de rază d , concave faţă de 0C ,cu diametrele perpendiculare pe linia centrelor UV .
Notăm cu ,.........21 , ±± MM punctele în care dreptelele paralele la linia centrelor
intersectează semicercurile construite; punctele nM , nM − coincid cu punctele de
pornire A , respectiv B . Astfel am construit un arc al cicloidei. Pentru a construi arce
adiacente trebuie să continuăm seria punctelor iC± .
Fig. 29
M0 M-1
M-2
M-3
M-4
M-5 M-6 M-7
B, M-8
M1 M2
M-3
M4
M5 M6 M7
A, M8
C0
-1 -2
-3
-4
-5
-6 -7
8±
1 2
3
4
5
7 6
0
U V
153
Proprietăţi ale normalei şi tangentei. Normala MN (Fig.28(a-c)) a oricărei
cicloide trece prin punctul suport 'E al cercului de bază. In cazul cicloidei normale
(Fig.28c)) tangenta MT trece prin punctul diametral opus punctului suport al cercului
de bază. Această proprietate stă la baza construcţiei tangentei. Pentru a construi
tangenta la cicloidă într-un punct M al ei unim acest punct cu punctul H diametral
opus punctului de tangenţă cu axa Ox a cercului care se rostogoleşte.
Dreapta MN care uneşte punctul M cu punctul de tangenţă al cercului cu axa
Ox este perpendiculară pe dreapta MH deoarece unghiul NMH este înscris într-un
semicerc. Putem deci să afirmăm că dreapta MN este normală la cicloidă şi că
lungimea ei este 2
sin2 ϕa .
Ecuaţia cicloidei
Fie P un punct pe cercul de rază r . In acest caz ecuaţiile parametrice ale
cicloidei normale ( rd = ) sunt date de relaţiile
( )( )
−=−=
θθθ
cos1sin
ryrx
,
unde cercul efectuează o mişcare de rotaţie în lungul axei Ox pornind din punctul P şi
θ este unghiul sub care se roteşte punctul P .
Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia cicloidei considerăm ca axă Ox dreapta
fixă iar ca origine punctul de pe bază care coincide cu punctul M când acesta este
punct de contact al cercului cu baza (Fig.28c)). Cum distanţa ON este egală cu
lungimea arcului NM = θr deoarece cercul se rostogoleşte fără să alunece şi cum
proiecţia razei CM pe axa Ox este θsinr− iar proiecţia pe axa Oy este θcosr−
obţinem pentru coordonatele punctului M următoarele relaţii:
( )( )
−=−=
θθθ
cos1sin
ryrx
.
Aceste relaţii ne dau o reprezentare parametrică a cicloidei în funcţie de parametrul θ .
Eliminând parametrul θ obţinem ecuaţia cicloidei sub forma:
22arccos yryr
yrrx −−−
= ,
care ne arată că cicloida este o curbă transcendentă.
154
In cazul general ecuaţiile parametrice sunt date de sistemul următor:
−=−=
θθθ
cossin
drydrx
.
Observaţie. Este suficient să studiem variaţia lui θ în intervalul ( )π2 ,0 care
corespunde unei rotaţii complete a cercului, deoarece după această rotaţie completă
punctul M coincide din nou cu punctul de tangenţă al cercului cu axa OX care este
deplasat acum cu segmentul aOO π21 = .
Lungimi, arii şi volume
a) Lungimea arcului unei cicloide între punctele 0=ϕ şi 1ϕϕ = este :
ϕϕ
dyxs ∫ +=1
0
22 '' = ( ) ( )∫ +−1
0
22 sincosϕ
ϕϕϕ dddr = ∫ +−1
0
22 cos2ϕ
ϕϕ ddrdr (1)
Lungimea arcului unei cicloide între punctele 0=ϕ şi 1ϕϕ = ( πϕ 21 ≤ ) este
egală cu lungimea arcului unei elipse între aceleaşi puncte, a cărei sistem de ecuaţii
parametrice este următorul:
( )
( )
−=
+=
2sin2
2cos2
ϕ
ϕ
rdy
rdx . (2)
In cazul general integrala (1) nu poate fi exprimată prin funcţii elementare dar, pentru
cazul în care rd = avem relaţia de mai jos:
ϕϕϕ
drs ∫ −=1
0
cos22 = ∫1
0 2sin2
ϕ
ϕϕ dr =1
02cos22
ϕϕ
−r =
−
2cos14 1ϕr =
4sin8 12 ϕr .
In cazul particular al lungimii unei arcade, πϕ 21 = ceea ce implică rs 8= , adică
lungimea arcului unei arcade de cicloidă este egală cu de 4 ori diametrul cercului care
se rostogoleşte.
b) Aria S mărginită de arcada dintre punctele 0=ϕ şi 1ϕϕ = şi axa Ox este
S = 112 sin2 ϕϕ rdr − + 1
2
2ϕd + 1
2
2sin4
ϕd .
155
Demonstraţie
S = ( )∫ −1
0
2cosϕ
ϕϕ ddr = ( ) ∫∫∫ +−111
0
22
00
2 cos'sin2ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ dddrddr = 112 sin2 ϕϕ rdr − +
1
2
2ϕd + 1
2
2sin4
ϕd .
In cazul particular πϕ 21 = avem ππ 22 2 drS += .
In cazul particular al cicloidei normale ( rd = ) aria este 2 3 rS π= , adică aria
mărginită de o arcadă de cicloidă şi de dreapta fixă pe care se rostogoleşte cercul este
egală cu de 3 ori aria cercului care se rostogoleşte.
Observaţie. In cazul cicloidelor normale şi prescurtate, S reprezintă aria figurii
1OADBO (Fig. 28a), 28c)). In cazul cicloidei prelungite S verifică relaţia:
S = aria figurii ( BDBAA 11 ) - aria dreptunghiului ( 1OABO ).
c) Aria suprafeţei obţinută în urma rotirii complete a unei cicloide normale în
jurul dreptei fixe AB este 2 3
64 aπ sau 964 din aria mărginită de o arcadă de cicloidă
şi de dreapta fixă pe care se rostogoleşte cercul.
Demonstraţie. ( ) ϕϕϕππ
drrS2
sin2cos122
0∫ ⋅−= = ∫
π
ϕϕπ2
0
32
2sin8 dr =
−−=
+− ∫∫
ππππ
ϕϕϕϕπϕϕϕϕϕπ2
0
'3
2
0
222
0
22
0
22
2cos
34
2cos
2sin28
2cos
2sin2
2cos
2sin28 drdr
=πϕπ
2
0
32
2cos
332 r− = 2
364 rπ .
d) Aria suprafeţei figurii obţinută în urma rotirii complete a unei arcade de
cicloidă normală în jurul axei de simetrie este
2
348 rS
−= ππ .
156
Demonstraţie. ( )∫ −=r
dydxdsxrS
2
0
2 ππ =
( ) ϕϕϕ
ϕϕπππ
dddy
ddxrrr∫
+
+−
0
22
sin2 = ( ) ϕϕϕϕπππ
drrrr∫ +−0 2
sin2sin2 =
ϕϕϕϕϕϕπππ
dr ∫
+−
0
2
2sinsin
2sin
2sin4 =
+−+−
ππππ ϕϕϕϕϕππ0
3
000
2
2sin
34
2sin4
2cos2
2cos2 4 r = 2
348 r
−ππ .
e) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a arcadei unei cicloide
normale în jurul dreptei fixe AB este 325 rV π= şi este egal cu 85 din volumul
cilindrului circumscris .
Demonstraţie. ∫=r
dxyVπ
π2
0
2 = ( )∫ −π
ϕϕπ2
0
33 cos1 dr =
=
++−
ππππ ϕϕπϕπϕπ
2
0
2
0
32
032
03
42sin
2 3sin 3 rrr - ---
-
−
ππ ϕϕπ2
0
32
03 sin
31sin r = 325 rπ = 328
85 rπ .
f) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a arcadei unei cicloide
normale în jurul axei Oy este 336 rV π= .
Demonstraţie. ∫=r
xydxVπ
π2
0
2 = ( )( )∫ −−π
ϕϕϕϕπ2
0
23 cos1sin 2 dr = 336 rπ
g) Analog se demonstrază că volumul corpului obţinut în urma rotirii complete
a arcadei unei cicloide normale în jurul axei de simetrie este
−=
38
23 23 ππ rV
adică [ ⋅43 (volumul cilindrului circumscris) - ⋅2 (volumul sferei înscrise)] .
157
3.12. Epicicloida. Hipocicloida
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Dacă cercul de circumferinţa căruia este legat punctul M se rostogoleşte
nu pe o dreaptă ci pe un cerc fix se obţin două clase de curbe:
- Epicicloide – dacă cercul care se rostogoleşte se află în exteriorul cercului fix
(Fig. 30 (b))
- Hipocicloide – dacă cercul care se rostogoleşte se află în interiorul cercului fix
(Fig .30 (a), 31)
Fie O un cerc fix de rază R şi fie C un cerc de rază r care se rostogoleşte fără
alunecare pe cercul O . Notăm cu L curba descrisă de un punct M fixat în planul
cerculuiC în urma rostogolirii în jurul cercului O . Cercul C se numeşte cerc
generator iar cercul O se numeşte cerc director.
Curba L se numeşte epicicloidă normală (respectiv hipocicloidă normală)
dacă este descrisă de mişcarea unui punct M situat pe circumferinţa cercului generator,
adică rdCM == .
Curba L se numeşte epicicloidă prescurtată (respectiv hipocicloidă
prescurtată) dacă punctul M este situat în interiorul cercului generator, adică dacă
rdCM <= .
Curba L se numeşte epicicloidă prelungită (respectiv hipocicloidă prelungită)
dacă punctul M este situat în exteriorul cercului generator, adică dacă rdCM >= .
Punctul de pornire A este situat pe dreapta 11EC ce uneşte centrul 1C al
cercului generator cu punctul de suport 1E şi de aceeaşi parte cu 1E faţă de 1C .
Punctele 'A , B , 'B sunt la rândul lor puncte de pornire.
In cazul epicicloidei normale (respectiv hipocicloidei normale) punctele de
pornire A , B , K sunt situate pe cercul director şi coincid cu punctele suport
corespunzătoare de pe cercul generator.
Vârful epicicloidei (respectiv hipocicloidei) este punctul situat pe dreapta
22 EC .
Cercul descris în urma mişcării centrului cercului generator se numeşte cercul
centrelor epicicloidei (respectiv hipocicloidei). Raza OC a cercului centrelor este dată
de:
158
rRECOEOC +=+= în cazul epicicloidei
rRECOEOC −=−= în cazul hipocicloidei
Fig. 30
Fig. 30
H
K
L
B
D
A
C
M O
a)
B
K
L A
C
M
H
D
O
b)
159
Fig. 31
Construcţie. Fie O cercul director de rază R , C cercul generator de rază r ,
M un punct fixat în planul cercului C şi fie CMd = (Fig. 23). Construim cercul
generator 0C de rază r , tangent exterior la cercul director O în cazul în care se
doreşte obţinerea unei epicicloide şi tangent interior la cercul director O în cazul în
care se doreşte obţinerea unei hipocicloide. Notăm cu V punctul de tangenţă.
Construim cercul de centru 0C şi rază d şi notăm cu 0M punctul în care dreapta OV
îl intersectează a doua oară. Punctul 0M astfel determinat este unul din vârfurile curbei
căutate.
Partiţionăm cercul 0C de rază d într-un număr par n2 de arce egale astfel
încât 0M să fie unul din punctele diviziunii. Fără a restrânge generalitatea presupunem
162 =n . Notăm cu n±±± ,.....,2,1,0 punctele diviziunii astfel încât 00 =M şi punctele
n− şi n+ coincid.
Construim cercul de centru O şi rază 0OC (cercul centrelor) şi din 0C
considerăm în sensul arcelor de ceasornic în cazul epicicloidei (în sens contrar acelor
de ceasornic în cazul hipocicloidei) arcul nCC0 astfel încât ( ) RrCCm n :180:0 = .
B
B'
A A' O
D'
L D
L'
C1 E1
E
E2
M C
C2
160
Construim arcul simetric nCC −0 . Partiţionăm fiecare din cele două arce în n
părţi egale. Incepând din 0C notăm cu nCCC ±±± ,....,, 21 punctele acestei partiţii.
Construim cercurile concentrice de centru O ce trec prin punctele
n±±± ,.....,2,1,0 . Pe primul din aceste cercuri se vor afla vârfurile curbei căutate iar pe
ultimul punctele de pornire.
Din punctele nCCC ,.....,, 21 ca centre construim semicercurile de rază d astfel
încât extremităţile lor să fie situate pe primul şi pe ultimul din cercurile concentrice.
Analog din punctele nCCC −−− ,.....,, 21 ca centre construim semicercurile de rază d
astfel încât extremităţile lor să fie situate pe primul şi pe ultimul din cercurile
concentrice şi rotite în jurul punctului O descriu cercurile notate cu n−−−− ,....,3,2,1 .
Fig. 32
O
A B
C0
M0 1
2 3
4
5 6
7
8±
-1 -2
-3 -4
-5 -6
-7
0
C2 C-2
M1 M-1
M5 M-5
161
Notăm cu 11 , −MM punctele în care semicercurile ( )dC1 , ( )dC 1− intersectează cercul
concentric ce trece prin punctele 1± . Notăm cu 22 , −MM punctele în care
semicercurile ( )dC2 , ( )dC 2− intersectează cercul concentric ce trece prin punctele 2± .
Analog se obţin punctele nMMM ±±± ,....,, 43 . Toate aceste puncte sunt situate pe curba
căutată. Punctele nM ± coincid cu punctele de pornire BA, şi pot fi obţinute unind O cu
punctele nC± .
In acest mod, prin construcţia prin puncte se obţine una din ramurile
epicicloidei sau hipocicloidei. Procedeul continuă până la completarea curbelor
căutate.
Ecuaţiile curbei
a) Ecuaţiile parametrice
In cazul epicicloidei acestea sunt:
( )
( )
+−+=
+−+=
ϕϕ
ϕϕ
rrRdrRy
rrRdrRx
sinsin
coscos
In cazul hipocicloidei acestea sunt:
( )
( )
−−−=
−+−=
ϕϕ
ϕϕ
rrRdrRy
rrRdrRx
sinsin
coscos
unde ϕ , în ambele cazuri, este unghiul de rotaţie al razei OC .
Demonstraţie. Pentru a determina ecuaţia epicicloidei considerăm:
( ) ( ) ( ) ( ) =+−+=⋅−⋅=+== trrRSMCCMKOCOCLQOLOQx ϕϕ coscoscoscos
= ( ) ϕϕr
rRrrR +−+ coscos .
( ) ( ) ( ) ( ) =+−+=⋅−⋅=−== trrRSMCCMKOCOCRCLCQMy ϕϕ sinsinsinsin
= ( ) ϕϕr
rRrrR +−+ sinsin .
162
Observaţie. Ecuaţiile parametrice ale hipocicloidei se obţin din ecuaţiile
parametrice ale epicicloidei prin înlocuirea lui r cu r− şi d cu d− .
Caracteristici ale curbei. Orice epicicloidă este situată într-o coroană circulară
mărginită de două cercuri de raze drR ++ şi respectiv drR −+ . Pe primul din
aceste cercuri sunt situate vârfurile în timp ce pe cel de-al doilea sunt situate punctele
de pornire. Vârfurile epicicloidei sunt întotdeauna situate la o distanţă mai mare de
centrul O decât punctele de pornire.
Orice hipocicloidă este situată într-o coroană circulară mărginită de două
cercuri de raze drR −− şi respectiv drR +− . Pe primul din aceste cercuri sunt
situate vârfurile în timp ce pe cel de-al doilea sunt situate punctele de pornire. In cazul
în care rR > vârfurile hipocicloidei sunt siuate la o distanţă mai mică de centrul O
decât punctele de pornire. In cazul în care rR < vârfurile hipocicloidei sunt siuate la o
distanţă mai mare de centrul O decât punctele de pornire. In acest caz hipocicloidele
se numesc pericicloide.
In urma unei rotaţii în jurul punctului O sub un unghi multiplu de R
rπ2 , o
epicicloidă (sau o hipocicloidă) ajunge să coincidă cu ea însăsi.
Punctele de pornire ale unei epicicloide normale (sau hipocicloide normale)
sunt puncte de întoarcere.
In cazul în care raportul rR : este un întreg m , epicicloida este o curbă
algebrică închisă de ordin ( )12 +m iar hipocicloida este o curbă algebrică închisă de
ordin ( )12 −m .
In cazul în care raportul rR : este un număr fracţionar adică este de forma qp ,
1≠q , epicicloida este o curbă algebrică de ordin qp +2 şi conţine p ramuri
congruente. In acest caz hipocicloida este o curbă algebrică de ordin qp −2 şi conţine
p ramuri congruente.
In cazul în care raportul rR : este un număr iraţional epicicloida (sau
hipocicloida) nu este închisă şi are un număr infinit de ramuri care se intersectează.
In cazul particular 2:3: =rR curba este de ordinul 10 şi conţine trei ramuri
congruente (Fig.33).
163
Fig. 33
Cazuri particulare.
Cazul 1. Pentru 1:2: =rR atât hipocicloida alungită cât şi cea scurtată sunt
elipse cu centrul în O . Semiaxele elipsei sunt date de dra += şi drb −= .
Extemităţile axei principale sunt punctele de pornire, extremităţile axei secundare sunt
vârfurile.
Dacă pentru 1:2: =rR diferenţa dr − tinde la 0 atunci axa secundară a
elipsei descreşte nedefinit şi axa principală tinde să coincidă cu diametrul cercului
director.
Hipocicloida normală obţinută în cazul ( )rd = este un segment de dreaptă - şi anume
diametrul cercului director ce uneşte punctele de pornire. Intr-o mişcare completă de
rotaţie a cercului generator acest diametru este trasat într-o direcţie pentru ca la
următoarea mişcare de rotaţie să fie trasat în direcţia opusă. In acest caz punctele de
pornire ale hipocicloidei normale sunt puncte de întoarcere.
Cazul 2. Pentru rR = epicicloida coicide cu un melc, iar în cazul particular în
care epicicloida este normală aceasta coincide cu cardioida.
Cazul 3. Pentru 1:4: =rR hipocicloida normală coicide cu astroida
(hipocicloida cu patru puncte de întoarcere) (Fig.34). Caracteristic acestei curbe este
X O
Y
M C
164
segmentul EF al tangentei, situat între două drepte perpendiculare ce trec prin două
perechi de puncte de pornire, a cărui lungime este R .
Ecuaţiile astroidei
a) Ecuaţia astroidei exprimată în coordonate carteziene este de forma:
32
32
32
Ryx =+ .
b) Ecuaţiile parametrice ale astroidei sunt următoarele:
=
=
uRyuRx
3
3
sincos
.
Fig. 34
Cazuri limită.
Cazul 1. In cazul în care cercul director este de rază infinit şi cercul generator
are raza dată, epicicloida (sau hipocicloida) revine la o cicloidă cu raza egală cu cea a
cercului generator.
Cazul 2. Dacă raza cercului generator este infinită acesta se reduce la o dreaptă
KL ce se rostogoleşte fără alunecare în jurul cercului director O (Fig.35). In acest caz
X
Y
B
D
C A O
F
E
F1
E1
165
epicicloida (sau hipocicloida) revine la o curbă descrisă de punctul M fix faţă de
dreapta KL . In cazul particular în care PM = este situat pe dreapta KL atunci curba
descrisă de M este desfăşurătoarea cercului director.
Fig. 35
Proprietăţi ale normalei şi tangentei. Normala dusă în punctul M al oricărei
epicicloide (sau hipocicloide) trece prin punctul de tangenţă E dintre cercurile
generator şi director. Tangenta la epicicloida (sau hipocicloida) normală trece prin
punctul 'E al cercului generator, diametral opus punctului E .
Lungimi şi arii
Lungimea unui arc al epicicloidei între două puncte 0=ϕ şi 1ϕϕ = este :
ϕϕϕ
dr
Rrddrr
rRs ∫ −++
=1
0
22
2cos2 .
Lungimea acestui arc este egală cu lungimea arcului corepunzător al unei elipse
definite de sistemul de ecuaţii parametrice:
B D
K
L O A
M M0
T L0
K0
P
166
( )
( )
+−=
++=
rR
RrRrdy
rR
RrRrdx
2sin2
2cos2
ϕ
ϕ
.
Aria sectorului descris de raza OM care îşi începe mişcarea de rotaţie din
punctul de pornire al epicicloidei este dată de formula:
( )
+
−
++
+=
rR
RrRd
rdrRrRS ϕϕ sin2
2
2
.
In cazul epicicloidei normale formula devine:
( )( )
−
++=
rR
RrrRrRS ϕϕ sin
22 (Newton).
In cazul hipocicloidei se înlocuieşte în formulele de mai sus r cu r− .
In formulele de mai sus s-a presupus că şirurile valorilor parametrului ϕ pentru
care raza se roteşte în sens negativ mătură o arie negativă.
Aria sectorului descris de raza OM a unei epicicloide (sau hipocicloide)
normale când punctul M parcurge una din ramuri este dată de formula
( )( )R
rRrRrS 2 1
±±=π ,
unde semnul "+" este considerat pentru epicicloidă iar "-" pentru hipocicloidă.
Aria corespunzătoare sectorului cercului director este dată de formula
RrS π=2 .
Aria figurii mărginite de una din ramurile epicicloidei (sau hipocicloidei) şi
arcul corespunzător din cercul director este dată de formula:
RrrSSS 23 2
21 ±=−= π .
167
3.13. Tractrice
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Se numeşte tractrice locul geometric al punctelor care au proprietatea
că lungimea segmentului MP , ce uneşte punctul de tangenţă M cu punctul P de
intersecţie al acestei tangente cu o dreaptă dată XX ' , este o constantă dată a . XX '
se numeşte dreaptă directoare, punctul A al tractricei situat la distanţa cea mai mare de
dreapta directoare se numeşte vârf, perpendiculara OA dusă din vârf la dreapta
directoare se numeşte înălţimea tractricei (Fig.36).
Fig. 36
Construcţie. Fie un segment de lungime dată a . Construim tractricea de
înălţime a . Fie XX ' o dreaptă dată. Aceasta va fi dreapta directoare. Fie O un punct
arbitrar pe dreapta XX ' . Construim cercul ( )aOC , . Construim dreapta XXOY '⊥ . Fie
A un punct pe OY astfel încât aOA = . Punctul A astfel determinat este vârful
tractricei. Notăm cu B unul din punctele în care dreapta XX ' intresectează cercul
Y
N
L
C
P
A
U V
O
M
X I
D
-I
0’
4’
168
( )aOC , . Ducem prin A şi B tangentele la cercul ( )aOC , care se intersectează într-un
punct D . Pe segmentul aBD = construim o partiţie a cărei puncte le notăm cu
,....'3,'2,'1 astfel încât segmentele '......3,'2,'1, BBBBD să constituie o progresie
geometrică arbitrară. Altfel scris, qBBBBBBD ==== ...'3:'2'2:'1'1: .
Impărţim segmentul BD în două părţi egale. Notăm cu '4 punctul obţinut în urma
acestei partiţii. Impărţim segmentul '4B în două părţi egale şi notăm cu '8 punctul
obţinut în urma acestei partiţii. Continuând procedeul obţinem un şir de segmente
,.....'16,'8,'4,'0 BBBB ce formează o progresie geometrică de raţie 21 . Construim
acum între '0 şi '4 punctele intermediare '3,'2,'1 . Determinăm mai întâi punctul '2
astfel încât '2B este medie proporţională între '0B şi '4B . Impărţim '2B astfel
construit în două părţi egale şi notăm cu '6 punctul obţinut în urma acestei partiţii.
Impărţim '6B în două părţi egale şi notăm cu '10 punctul obţinut în urma acestei
partiţii. Am obţinut astfel un şir de segmente ,....'10,'8,'6,'4,'2,'0 BBBBBB ce
formează o progresie geometrică de raţie 21
2:1 . Construim acum punctul '1 astfel
încât segmentul '1B este medie proporţională între '0B şi '2B . Notăm cu '5 mijlocul
segmentului '1B şi cu '9 mijlocul segmentului '5B . Construim punctul '3 astfel încât
segmentul '3B este medie proporţională între '2B şi '4B . Notăm cu '7 mijlocul
segmentului '3B şi cu '11 mijlocul segmetului '7B . Procedeul continuă şi obţinem
astfel un şir de segmente:
'....11,'10,'9,'8,'7,'6,'5,'4,'3,'2,'1,'0 BBBBBBBBBBBB , ce formează o progresie
geometrică de raţie 41
2:1 .
Procedând analog putem obţine o serie geometrică de raţie 81
2:1 , 161
2:1 , etc.
Construim pe dreapta XX ' de o parte şi de alta a punctului O un şir de segmente de
lungimi egale dIIIIIIIIOI ==== ....))(()( , unde d se obţine din relaţia:
( )'1:ln: Baad = . In cazul în care valoarea raportului '1: Ba este aproape de 1 putem
considera din motive practice '1'0=d .
Unim punctele ,....'3,'2,'1 cu centrul O şi notăm punctele de intersecţie ale
dreptelor ,.....'3,'2,'1,'0 OOOO cu cercul ( )aOC , cu ,...3,2,1,0
Pe arcul BA construim punctele ,....3,2,1 astfel încât arcul 121 BB = , arcul
222 BB = , etc. Prin punctele ,....3,2,1 astfel construite ducem paralele la dreapta
169
directoare XX ' . Construim semicercurile de centre ,....,, IIIIII +++ şi rază a orientate
în sens crescător şi semicercurile de centre ,....,, IIIIII −−− şi rază a orientate în sens
descrescător. Acestea sunt simertrice faţă de OA .
Perechile de puncte obţinute în urma intersecţiei acestor semicercuri cu
dreptele ce trec prin punctele ,....3,2,1 sunt puncte pe curba căutată.
Construcţia tangentei. Fie M un punct oarecate pe tractrice, A vârful acesteia
şi XX ' dreapta directoare. Cu piciorul compasului în M construim arcul de rază
aOA = . Acesta intersectează XX ' într-un punct P . PM este tangenta căutată.
Ecuaţiile tractricei
Ecuaţiile parametrice ale tractricei sunt următoarele:
ϕ
ϕϕ
sin2
lncos
ay
tgaax
=
+=
unde, MPX ˆ=ϕ este unghiul pe care raza PM îl formează cu axa pozitivă a
coordonatelor ( )πϕ <<0 .
Caracteristici ale curbei. Inălţimea OA (a cărei lungime este egală cu un
segment dat de lungime a ) este axă de simetrie. Dreapta OA este tangentă la tractrice
în punctul A care este punct de întoarcere. Tractricea este situată de o singură parte a
dreptei directoare iar ramurile sale tind către infinit. Dreapta directoare este asimptotă
pentru tractice.
Arii şi volume
Aria benzii infinite cuprinsă între tractrice şi asimptota sa XX ' este egală cu
jumătate din aria cercului de rază egală cu înălţimea tractricei: 2
21 aS π= .
Corpul obţinut în urma unei rotiri complete a tractricei în jurul asimptotei are
o suprafaţă finită de arie 21 4 aS π= a cărui volum este 3
32 aV π= .
170
3.14. Lănţişorul
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Se numeşte lanţ o coardă omogenă inextensibilă care atârnă între
două puncte de suspensie fixate. Punctul A se numeşte vârful lanţului (Fig.37).
Fig. 37
Construcţie. Considerăm pe tractricea de înălţime a un număr de puncte. Fie
'M unul dintre aceste puncte. Unim 'M cu P , centrul semicercului corespunzător
(Fig.37). Dreapta PM ' este tangenta în 'M la tractrice. Construim normala în 'M la
tractrice. Construim perpendiculara în P pe XX ' . Notăm cu M punctul de intersecţie
dintre cele două drepte astfel construite. Punctul M aparţine curbei căutate.
Observaţie. Normala 'MM a tractricei este tangenta la lanţul LAN . Lanţul
LAN de parametru a este desfăşurătoarea tractricei UAV de înălţime a . Lungimea
segmentului 'MM este egală cu lungimea arcului MA al lanţului. Proiecţia
segmentului PM pe normala la lanţ în M este aMH = . Din faptul că PHMM ' este
dreptunghi rezultă relaţia aPMMH == ' şi cum din construcţia tractricei aPM ='
rezultă aMH = .
X' X D P O
V U
H
M'
A
M
T
L
B
K K' N
171
Ecuaţia lănţişorului
Considerăm XX ' axa coordonatelor situată la distanţa a sub vârful A şi fie
O originea sistemului de axe astfel încât XXOA '⊥ şi aOA = , unde a este un
parametru dat. In acest caz ecuaţia curbei este dată de ecuaţia:
+=
−ax
ax
eeay2
.
Axa XX ' este paralelă cu tangenta în A la curbă şi este dreapta directoare a
lanţului.
Exemplu
The Golden Gate Bridge, San Francisco
172
Bibliografie
Daintith J., Nelson R. D. - Dictionary of Mathematics, The Penguin, 1989
Iline V., Pozniak E. - Géométrie Analytique, Mir, Moscou, 1985
Rouché E., de Comberousse Ch.
- Traité de Géométrie, Gauthier-Villars, Paris, 1900
Tresse A., Thybaut A. - Cours de Géométrie Analytique, Librairie Armand Colin, Paris, 1904
Vygodsky M.
- Mathemathical Handbook, Mir Publishers, Moscow, 1987
*** - Les courbes de Chronomath : serge.mehl.free.fr/base/index_cbe.html
***
- Visual Dictionary of Special Plane Curves:
xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html