cap6 6.2.transformata fourier
TRANSCRIPT
Capitolul 66.2. Transformata Fourier
1. Definitia transformatei Fourier2. Proprietati ale transformatei Fourier3. Exercitii propuse
1 Definitia transformatei Fourier
Consideram clasa functiilor L1(R,C) := {x : R → R(C)| 1. si 2. } unde:1. x(t) sunt derivabile pe portiuni;2. x(t) sunt absolut integrabile, adica
∫∞−∞ |x(t)|dt < ∞.
Definition 1.1. Se numeste transformata Fourier a functiilor x(t) ∈ L1(R,C)sau imaginea lui x(t) prin transformata Fourier, functia X : R → C dataprin:
X(ω) =
∫ ∞
−∞x(t)e−iωtdt = F(x(t)). (1.1)
Remark 1.1. Integrala (1.1) este absolut convergenta. Intr-adevar,∣∣∣∫∞−∞ x(t)e−iωtdt
∣∣∣ ≤∫∞−∞ |x(t)e−iωt|dt =
∫∞−∞ |x(t)|dt < ∞.
Remark 1.2. Transformata Fourier (1.1) se poate scrie sub forma alge-brica:
X(ω) =
∫ ∞
−∞x(t) cos ωtdt− i
∫ ∞
−∞x(t) sin ωtdt = A(ω)− iB(ω), (1.2)
unde
A(ω) : =
∫ ∞
−∞x(t) cos ωtdt; (1.3)
B(ω) : =
∫ ∞
−∞x(t) sin ωtdt.
si au proprietatile:
A(−ω) = A(ω); (1.4)
B(−ω) = −B(ω).
1
Example 1.1. Determinam transformata Fourier a functiei
x(t) =
{e−at, t ≥ 00, t < 0
, a > 0.
Verificam daca x(t) este absolut integrabila:∫∞−∞ |x(t)|dt =
∫∞0
e−atdt = e−at
−a|∞0 = 1
a< ∞.
X(ω) =
∫ ∞
−∞x(t)e−iωtdt =
∫ ∞
0
e−ate−iωtdt =
∫ ∞
0
e−t(a+iω)dt
= −e−t(a+iω)
a + iω|∞0 =
1
a + iω.
Example 1.2. Determinam transformata Fourier a functiei unitate
1(t) =
{1, t ≥ 00, t < 0
.
Verificam daca 1(t) este absolut integrabila:∫∞−∞ |1(t)|dt =
∫∞0
dt = ∞ ⇒ nu este absolut integrabila. Pentru a de-termina imaginea prin transformata Fourier a lui 1(t) o inmultim cu functiadin exemplul anterior:
1(t)x(t) =
{e−at, t ≥ 00, t < 0
= x(t), a > 0, iar imaginea lui 1(t) se obtine
din imaginea lui x(t) facand a → 0.x(t) are imaginea prin transformata Fourier X(ω) = 1
a+iω. Daca a → 0
obtinem ca imaginea prin transformata Fourier a lui 1(t) este X1(ω) = 1iω
,daca ω 6= 0.
2 Proprietati ale transformatei Fourier
Theorem 2.1. (Proprietatea de simetrie conjugata)
X(−ω) = X(ω).
Demonstratie.X(−ω) =
∫∞−∞ x(t)eiωtdt =
∫∞−∞ x(t) cos ωtdt + i
∫∞−∞ x(t) sin ωtdt
= A(ω) + iB(ω) siX(ω) = A(ω)− iB(ω) = A(ω) + iB(ω). ¤
Theorem 2.2. (Proprietatea de liniaritate) Daca F(x(t)) = X(ω) siF(y(t)) = Y (ω) atunci
F(αx(t) + βy(t)) = αX(ω) + βY (ω),
∀α, β ∈ C.
2
Theorem 2.3. (Proprietati de paritate si imparitate) 1. Daca x(t) este paraatunci X(ω) ∈ R si este para.
2. Daca x(t) este impara atunci X(ω) ∈ C \R si este impara.
Demonstratie. 1. Daca x(t) este para atunciX(ω) =
∫∞−∞ x(t) cos ωtdt− i
∫∞−∞ x(t) sin ωtdt
= A(ω) = A(−ω) = X(−ω);2. Daca x(t) este impara atunciX(ω) =
∫∞−∞ x(t) cos ωtdt− i
∫∞−∞ x(t) sin ωtdt
= −iB(ω) = iB(−ω) = −X(−ω). ¤
Theorem 2.4. (Proprietatea de scalare a timpului) Daca F(x(t)) =X(ω) atunci
F(x(at)) =1
|a|X(ω
a), a ∈ R, a 6= 0.
Example 2.1. Determinam transformata Fourier a functiei x(t) = e−a|t|,a > 0. Aceasta functie se poate exprima prin:
x(t) = e−at1(t) + eat1(−t).F(e−at1(t)) = F(e−at) = 1
a+iω.
Conform proprietatii de scalare a timpului, F(x(−t)) = X(−ω). RezultaF(eat1(−t)) = 1
a−iω.
Deci, F(e−a|t|) = 1a+iω
+ 1a−iω
= 2aa2+ω2 .
Theorem 2.5. (Proprietatea de translatie in domeniul timpului)Daca F(x(t)) = X(ω) atunci
F(x(t− τ)) = e−iωτX(ω).
Example 2.2. Determinam transformata Fourier a functiei x(t) = e−a|t−t0|,a > 0.
Conform exemplului anterior si proprietatii de translatie in domeniul tim-pului rezulta
F(e−a|t−t0|) = e−iωt0 2aa2+ω2 .
Theorem 2.6. (Proprietatea pentru derivatele functiilor de timp)Daca F(x(t)) = X(ω) atunci
F(dx(t)
dt) = iωX(ω).
Example 2.3. Sa se determine transformata Fourier a functiei
x(t) =
{1− 2|t|
T, |t| < T
2
0, |t| ≥ T2
3
si a derivatei sale x′(t).
Avem x(t) =
1 + 2tT, t ∈ (−T
2, 0)
1− 2tT
t ∈ (0, T2)
0, |t| ≥ T2
si x′(t) =
2T, t ∈ (−T
2, 0)
− 2T
t ∈ (0, T2)
0, |t| ≥ T2
.
Un calcul imediat arata ca x(t) si x′(t) sunt absolut intregrabile, adica
∫ ∞
−∞|x(t)|dt < ∞si
∫ ∞
−∞|x′(t)|dt < ∞.
Folosind definitia (formula (1.1)), putem determina imaginile prin trans-formata Fourier a functiilor x(t) si x′(t). Dar, in baza proprietatii de maisus este suficient sa determinam imaginea doar a uneia din functiile x(t) six′(t). Pentru ca forma lui x′(t) este mai simpla, vom aplica formula (1.1)functiei x′(t).
F(x′(t)) =∫∞−∞ x′(t)e−iωtdt =
∫ 0
−T2
2Te−iωtdt +
∫ T2
0− 2
Te−iωtdt
= 2T[ e−iωt
−iω|0−T
2
− e−iωt
−iω|
T20 ] = 2
−Tiω[1− ei Tω
2 − e−i Tω2 + 1]
= 4iTω
(1− cos Tω2
) = 8iTω
sin2 Tω4
.Deci, F(x′(t)) = 8i
Tωsin2 Tω
4. Aplicand proprietatea pentru derivatele func-
tiilor de timp rezulta F(x(t)) = 8Tω2 sin2 Tω
4.
Theorem 2.7. (Formula de inversiune) Daca F(x(t)) = X(ω) atunci
x(t) = F−1(X(ω)) =1
2π
∫ ∞
−∞X(ω)eiωtdω. (2.5)
Remark 2.1. Formula (2.5) se numeste reprezentarea functiei x(t) printr-ointegrala Fourier (forma complexa).
In continuare determinam forma reala a reprezentarii functiei x(t) printr-o integrala Fourier.
Inlocuim (1.1) in (2.5):
x(t) =1
2π
∫ ∞
−∞X(ω)eiωtdω =
1
2π
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞x(τ)e−iωτdτ
)eiωtdω
=1
2π
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞x(τ) cos ωτdτ − i
∫ ∞
−∞x(τ) sin ωτdτ
)eiωtdω
=1
2π
∫ ∞
−∞(A(ω)− iB(ω)) eiωtdω
=1
2π
∫ 0
−∞(A(ω)− iB(ω)) eiωtdω +
1
2π
∫ ∞
0
(A(ω)− iB(ω)) eiωtdω
4
=1
2π
∫ ∞
0
(A(−ω)− iB(−ω)) e−iωtdω +1
2π
∫ ∞
0
(A(ω)− iB(ω)) eiωtdω
=1
2π
∫ ∞
0
(A(ω) + iB(ω)) e−iωtdω +1
2π
∫ ∞
0
(A(ω)− iB(ω)) eiωtdω
=1
π
∫ ∞
0
[A(ω) cos ωt + B(ω) sin ωt] dω.
Deci,
x(t) = F−1(X(ω)) =1
π
∫ ∞
0
[A(ω) cos ωt + B(ω) sin ωt] dω (2.6)
si se numeste reprezentarea functiei x(t) printr-o integrala Fourier (formareala).
Example 2.4. Reprezentam functia x(t) =
{1 |t| ≤ 10, |t| > 1
printr-o integrala
Fourier reala, adica determinam F−1(X(ω)).x(t) este absolut integrabila:∫∞−∞ |x(t)|dt =
∫ 1
−11dt = t|1−1 = 2 < ∞.
A(ω) :=∫∞−∞ x(t) cos ωtdt =
∫ 1
−1cos ωtdt = 2
∫ 1
0cos ωtdt = 2 sin ωt
ω|10
= 2 sin ωω
.
B(ω) :=∫∞−∞ x(t) sin ωtdt ==
∫ 1
−1sin ωtdt = 0.
Inlocuim in (2.6):
x(t) =
{1 |t| ≤ 10, |t| > 1
= 1π
∫∞0
[A(ω) cos ωt + B(ω) sin ωt] dω
= 2π
∫∞0
sin ω cos ωtω
dω.Deci, {
π2
|t| ≤ 10, |t| > 1
=
∫ ∞
0
sin ω cos ωt
ωdω.
Definition 2.1. Expresia
x(t) ∗ y(t) =
∫ ∞
−∞x(τ)y(t− τ)dτ
se numeste produsul de convolutie al functiilor x(t) si y(t).
Theorem 2.8. (Proprietatea produsului de convolutie) Daca F(x(t)) =X(ω) si F(y(t)) = Y (ω) atunci
F(x(t) ∗ y(t)) = X(ω)Y (ω).
5
3 Exercitii propuse
1. Sa se reprezinte printr-o integrala Fourier functiile:
i) x(t) =
1, |t| < a12, t = ±a
0, |t| > a; ii) x(t) =
{sin t, |t| < nπ0, |t| > nπ
;
iii) x(t) =
1, |t| > 1−t, − 1 ≤ t ≤ 0
t, 0 < t ≤ 1Indicatie. Integrala
∫∞−∞ |x(t)|dt nu
este convergenta; este necesar sa facem translatia y(t) = x(t)−1. Scriemintergrala Fourier a functiei y(t) dupa care revenim la x(t).
2. Sa se determine transformatele Fourier ale urmatoarele functii:
i) x(t) =
{ba(a− |t|), |t| < a
0, |t| > a, a > 0; ii) x(t) =
{t2, t ∈ [0, 1]0, t /∈ [0, 1]
.
6