transformata z

Curs 8. Transformata ZTehnici de calcul în automatică și informatică

A. Țiclea, F. Stoican

Universitatea Politehnica Bucuresti - AIS

21 noiembrie 2013

Cuprins

1 Introducere

2 Transformata Z (unilaterala)

3 Proprietati ale transformatei Z

4 Ecuatii liniare cu diferente finite

5 Anexe

Cuprins

1 IntroducereGeneralitatiSemnale exponentiale discrete




5 Anexe

Introducere Generalitati

Interesul pentru transformata Z

Solutionarea de ecuatii cu diferente finite;

intarzierea si avansul in timp devin operatii algebrice;

ecuatiile cu diferente finite liniare devin ecuatii algebrice;

expresia unui semnal in functie de semnale elementare zk ;

transformarea domeniului timp (variabila k intreaga) in domeniul frecventa (variabila zcomplexa);

descrierea raspunsului sistemelor liniare si invariante in timp dupa functia lor detransfer.

A. Țiclea, F. Stoican Curs 8. Transformata Z 21 noiembrie 2013 1 / 21

Introducere Semnale exponentiale discrete

Semnale exponentiale discrete

Semnale exponentiale discrete:f [k] = Aeλk ,

in timp discret preferam γ = eλ ceea ce conduce la

f [k] = γk .

Daca λ = a + jb, avem |γ| = |ea+jb | = |ea||ejb | = ea.

a = 0 implica |γ| = 1 si |γ|k = 1;a < 0 implica |γ| < 1 si |γ|k −−−−→

k→∞0;

a > 0 implica |γ| > 1 si |γ|k −−−−→k→∞

∞.

pentru γ ∈ R

k

γ < −1

k

γ ∈ (−1, 0)

k

γ ∈ (0, 1)

k

γ > 1


Introducere Semnale exponentiale discrete

Functia exponentiala generalizata zk

Consideram z ∈ C scris sub forma z = |z|ejarg(z), atunci avem:

zk = |z|kejarg(z)k = |z|k [cos arg(z)k + j sin arg(z)k]

k

(0,9)k cos(π6 k − π

3 )

k

(1,1)k cos(π6 k − π

3 )

Re λ

Im λ

Re γ

Im γ

crestereexponentiala

descrestereexponentiala


Cuprins

1 Introducere

2 Transformata Z (unilaterala)Transformata ZExistenta transformatei ZTransformata inversa



5 Anexe

Transformata Z (unilaterala) Transformata Z

Transformata Z (unilaterala)

Transformata Z unilaterala a unui semnal este definita astfel:

F [z] =∑∞

k=0f [k]z−k ;

cu notatiaF [z] = Zf [k] si f [k] = Z−1F [z];

Corespondenta intre semnal si transformata sa este notata ca

f [k] ⇐⇒ F [z];

In mod evident transformata este liniara:

αf [k] + βg [k] ⇐⇒ αF [z] + βG[z].


Transformata Z (unilaterala) Existenta transformatei Z

Existenta transformatei Z

Pornind de la

F [z] =∞∑

k=0

f [k]z−k =

∞∑k=0

f [k]zk ,

transformata Z exista daca, pentru un anume z,

|F [z]| =

∣∣∣∣∣∞∑

k=0

f [k]zk

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

k=0

|f [k]||zk | < ∞;

Conditie suficienta: exista ρ > 0 asa incat |f [k]| < ρk :

|F [z]| ≤∞∑

k=0

(ρ

|z|

)k

=1

1− ρ|z|

, |z| > ρ

f [k] = γk2 nu are transformata Z pentru γ > 1 !



Regiunea de convergenta ∑∞k=0|f [k]z

−k | < ∞

Limita de convergenta: limita inferioara ρ0 a lui |z|pentru care seria converge;

Regiunea de convergenta (RDC):

z | |z| > ρ0

Consecinte ale convergentei:1 RDC nu contine nici un pol al transformatei F [z];2 Pentru orice z0 din RDC avem

∞∑0

f [k]z−k = limz→z0

F [z].

Re z

Im z

ρ0

regiune deconvergenta

Pentru semnalele cu suport marginit, regiunea de convergenta acopera intreg planulcomplex.



Exemple

δ[k]

Zδ[k] =

∞∑k=0

δ[k]z−k = 1, ∀z;

1[k]

Z1[k] =

∞∑k=0

1[k]z−k =z

z − 1, |z| > 1;

γk1[k]

Zγk1[k] =∞∑

k=0

γkz−k =z

z − γ, |z| > |γ|.

cos(Ωk + θ) 1[k]

Zcos(Ωk + θ) 1[k] = cos θZcosΩk 1[k] − sin θZsinΩk 1[k]

=z2 cos θ − z cos(θ − Ω)

z2 − 2z cosΩ+ 1;


Transformata Z (unilaterala) Transformata inversa

Transformata inversa

Formula de inversare:

f [k] = 1

2πj

∮F [z]zk−1 dz

unde∮

reprezinta integrarea in sens anti-orar peun contur inchis in RDC de-a lungul originii (deex.

∮Γ).

Atentie: este o integrala in planul complex !

Re z

Im z

Γ

RDC

Calcul prin reziduuri:

f [k] =∑[

Reziduurile lui F [z]zk−1 in polii sai];

Pentru anumiti k, exista poli in 0;Reziduul la infinit poate fi utilizat pentru facilitatea calculelor:

Res(f ,∞) = −1

2πj

∮f (z)dz, Res(f ,∞) = Res

(−

1

z2f(1

z

), 0

)



ExempluCalculam transformata Z−1 pentru

F [z] =[

8z−2(z−0,2)(z−0,3)

]prin reziduuri:

Z−1[F [z]

]= Res

(F [z]zk−1, 0.2

)+ Res

(F [z]zk−1, 0.3

)= 80

[−(0,2)k + (0,3)k]1[k − 1] + 20

[(0,2)k−1 − (0,3)k−1]1[k − 2]

= 80[−(0,2)k + (0,3)k]1[k] + [

200,2

(0,2)k − 200,3

(0,3)k]1[k]− [200,2

− 200,3

]δ[k]

= − 1003δ[k] +

[20(0,2)k + 40

3(0,3)k]1[k].

prin descompunere in fractii simple:

Z−1F [z] = Z−14 1

z − 0,2+ 4

1

z − 0,3

= 4(0,2)k−11[k − 1] + 4(0,3)k−11[k − 1]

= 40,2

(0,2)k1[k]− 40,2

δ[k] + 40,3

(0,3)k1[k]− 40,3

δ[k]

= − 1003δ[k] +

[20(0,2)k + 40

3(0,3)k]1[k].



Exemplu – calcul alternativ

In urma transformarii Z−1 se obtin functii multiplicate cu semnal treapta intarziat. Sepot evita aceste intarzieri fortand prezenta lui z la numarator:

se descompune in fractii simple F [z]z :

F [z]z =

8z − 2

z(z − 0,2)(z − 0,3)= −100

3

1

z + 201

z − 0,2+

40

3

1

z − 0,3;

multiplicam cu z (ca sa revenim la F (z))

F [z] = −100

3+ 20

zz − 0,2

+40

3

zz − 0,3

;

utilizam transformarile uzuale

Z−1F [z] = − 1003δ[k] +

[20(0,2)k + 40

3(0,3)k]1[k].



Calcul pentru pol de multiplicitate supraunitara

Pentru un pol de multiplicitate superioara lui 1, decompozitia in fractii simple datermeni de forma z

(z − γ)m+1;

Cu ajutorul definitiei obtinem,

Z−1[ z(z − γ)m+1

]=

1

2πj

∮zk

(z − γ)m+1dz =

1

m!

[ dm

dzm zk]

z=γ1[k]

=1

m!k(k − 1) · · · (k − m + 1)zk−m

∣∣∣z=γ

1[k]

=k(k − 1) · · · (k − m + 1)

γmm!γk 1[k].


Cuprins

1 Introducere


3 Proprietati ale transformatei ZDeplasare in timpValoare initiala si valoare finala, convolutie in timp


5 Anexe

Proprietati ale transformatei Z Deplasare in timp

Translatie la dreapta (intarziere)

Dacaf [k]1[k] ⇐⇒ F [z]

atunci

f [k − 1]1[k − 1] ⇐⇒ 1z F [z]

+ f [−1]

si in general

f [k − m]1[k − m] ⇐⇒ 1zm F [z]

+ z−mm∑

n=1

f [−n]zn

z−1 = operator de intarziere.

k

f [k]

5

−5 0 5

k

f [k]1[k]

5

−5 0 5

k

f [k − 1]1[k − 1]

5

−4 0 6



Translatie la dreapta (intarziere)


atunci

f [k − 1]1[k] ⇐⇒ 1z F [z] + f [−1]

si in general

f [k − m]1[k] ⇐⇒ 1zm F [z] + z−m

m∑n=1

f [−n]zn

z−1 = operator de intarziere.

k

f [k]

5

−5 0 5

k

f [k − 1]

5

−4 0 6

k

f [k − 1]1[k]

5

−4 0 6



Translatie la stanga (avansare)


atuncif [k + 1]1[k] ⇐⇒ zF [z]− zf [0]

si prin aplicare repetata,

f [k + m]1[k] ⇐⇒ zmF [z]− zmm−1∑n=0

f [n]z−n

z = operator de avansare.

k

f [k]

5

−5 0 5

k

f [k + 1]

5

−6 0 4

k

f [k + 1]1[k]

5

−6 0 4



MultiplicariPentru

f [k]1[k] ⇐⇒ F [z]

multiplicare prin k:kf [k]1[k] ⇐⇒ −z d

dz F [z];

multiplicare prin γk :γk f [k]1[k] ⇐⇒ F

[ zγ

]Aplicatii:

k 1[k] ⇐⇒ z(z − 1)2

, k2 1[k] ⇐⇒ z(z + 1)

(z − 1)3,

kγk 1[k] ⇐⇒ γz(z − γ)2

, k2γk 1[k] ⇐⇒ γz(z + γ)

(z − γ)3,

γk cos(Ωk + θ) 1[k] ⇐⇒z[z cos θ − γ cos(Ω− θ)

]z2 − (2γ cosΩ)z + γ2



Observatii legate de descompunerea in fractii simple

fractiile simple corespunzatoare unei perechi de poli conjugati γe±jΩ unde γ > 0sunt de forma

(0,5cejθ)zz − γejΩ +

(0,5ce−jθ)zz − γe−jΩ ;

si aplicand Z−1 obtinem

0,5cγk[ej(Ωk+θ) + e−j(Ωk+θ)] 1[k] = cγk cos(Ωk + θ) 1[k];

Un singur reziduu trebuie calculat (cejθ sau ce−jθ) !echivalent, putem scrie numitorul ca o suma de patrate:

z(az + b)z2 + 2αz + γ2

=z[(c cos θ)z − cγ cos(Ω− θ)

]z2 − (2γ cosΩ)z + γ2

;

cu urmatoarele echivalente de coeficienti:

a = c cos θ, b = cγ cos(Ω− θ), α = γ cosΩ

sic =

√γ2a2+b2−2abα

γ2−α2 , θ = arctan(

αa−ba√

γ2−α2

)Ω = arccos

(−αγ

)∈ [0, π].


Proprietati ale transformatei Z Valoare initiala si valoare finala, convolutie in timp

Valoare initiala si valoare finala, convolutieValoare initiala si valoare finala:

Pentru un semnal cauzal f [k],

f [0] = limz→∞

F [z];

Daca toti polii lui (z − 1)F [z] se gasesc in interiorul cercului unitate, atunci,

limk→∞

f [k] = limz→1

(z − 1)F [z].

Convolutie in timppentru doua semnale f1[k]1[k] ⇐⇒ F1[z] si f2[k]1[k] ⇐⇒ F2[z]:(f1[m]1[m] ∗ f2[m]1[m]

)[k] ⇐⇒ F1[z]F2[z]

Transformata Laplace a unui produs de functii conducea la un produs de convolutie infrecventa. Pentru transformata Z aceasta proprietate nu mai este adevarata:

f1[k]f2[k] ⇐⇒ 1

2πj

∮F1[u]F2

[ zu

]u−1du


Cuprins

1 Introducere




5 Anexe

Ecuatii liniare cu diferente finite

Generalitati

Transformata Z converteste o ecuatie cu diferente intr-o ecuatie algebrica

Se pot folosi atat proprietatea de deplasare la stanga cat si cea de deplasare ladreapta:

pentru deplasare la stanga avem conditiile initiale y [0], y [1], . . .pentru deplasare la dreapta avem conditiile initiale y [−1], y [−2], . . .

Preferam forma cu termeni intarziati pentru ca avem deja valorile initiale (in formacealalta trebuie sa fie calculate iterativ)



Solutia unei ecuatii cu diferenteConsideram ecuatia

y [k + 2]− 5y [k + 1] + 6y [k] = 3f [k + 1] + 5f [k]cu conditiile initiale y [−1] = 11

6, y [−2] = 37

36si intrarea f [k] = 2−k1[k]

aducem ecuatia in forma cu intarzieri (prin k → k − 2):y [k]− 5y [k − 1] + 6y [k − 2] = 3f [k − 1] + 5f [k − 2]

aplicam transformata Z (atentie: consideram termeni de forma y [k − i]1[k])

Zy [k − 1]1[k] =1

z Y [z] + y [−1] =1

z Y [z] + 11

6

Zy [k − 2]1[k] =1

z2Y [z] + 1

z y [−1] + y [−2] =1

z2Y [z] + 11

6z +37

36

Zf [k − 1]1[k] =1

z F [z] + f [−1] =1

zz

z − 0.5+ 0 =

1

z − 0.5

Zf [k − 2]1[k] =1

z2F [z] + 1

z f [−1] + f [−2] =1

z2

zz − 0.5

+ 0 + 0 =1

z(z − 0.5)

scriem ecuatia in frecventa(1− 5

z +6

z2

)Y [z]−

(3− 11

z

)=

3

z − 0.5+

5

z(z − 0.5)



Solutia unei ecuatii cu diferente – II

Semnalul Y [k] este raspunsul total al sistemului si are componentelede intrare nula (asociat starilor initiale y [−1] si y [−2])de stare nula (asociat intrarii f [k])

z2 − 5z + 6

z2Y [z] = 3z − 11

z︸︷︷︸conditii initiale

+3z + 5

z(z − 0.5)︸︷︷︸intrare

Aplicand transformata inversa obtinem:

y [k] =

5 · 2k − 2 · 3k︸︷︷︸intrare nula

−22

32k +

26

15

1

2

k

︸︷︷︸stare nula

1[k]

=

[−7

32k +

18

53k +

26

15

1

2

k]1[k]



Solutia unei ecuatii cu diferente – II

Semnalul Y [k] este raspunsul total al sistemului si are componentelede intrare nula (asociat starilor initiale y [−1] si y [−2])de stare nula (asociat intrarii f [k])

Y [z] = z(3z − 11)

z2 − 5z + 6︸︷︷︸intrare nula

+z(3z + 5)

(z − 0.5)(z2 − 5z + 6)︸︷︷︸stare nula

Aplicand transformata inversa obtinem:

y [k] =

5 · 2k − 2 · 3k︸︷︷︸intrare nula

−22

32k +

26

15

1

2

k

︸︷︷︸stare nula

1[k]

=

[−7

32k +

18

53k +

26

15

1

2

k]1[k]


Cuprins

1 Introducere




5 Anexe

Anexe

Transformate Z pentru functiile uzuale

f [k] F [z]

δ[k − j] z−j

1[k] zz−1

k1[k] z(z−1)2

γk−11[k − 1] 1z−γ

γk1[k] z(z−γ)

kγk1[k] γz(z−γ)2

k...(k−m+1)γmm!

γk [k] z(z−γ)m+1

|γ|k cos bk1[k] z(z−|γ| cos b)z2−2|γ| cos bz+|γ|2

|γ|k sin bk1[k] z|γ| sin b)z2−2|γ| cos bz+|γ|2

|γ|k cos(bk + θ)1[k] z[z cos θ−|γ| cos(b−θ)]

z2−2|γ| cos bz+|γ|2


Anexe

Proprietati ale transformatei Z

operatie f[k] F[z]

adunare f1[k] + f2[k] F1[z] + F2[z]

multiplicare cu un scalar af [k] aF [z]

multiplicare cu γk γk f [k]1[k] F[

zγ

]multiplicare cu k kf [k]1[k] −z d

dz F [z]

deplasare la dreapta f [k − m]1[k − m] 1zm F [z]

f [k − m]1[k] 1zm F [z] + 1

zm

m∑k=1

f [−k]zk

deplasare la stanga f [k + m]1[k] zmF [z]− zmm−1∑k=0

f [k]z−k

convolutie in timp f1[k] ∗ f2[k] F1[k]F2[k]

convolutie in frecventa f1[k]f2[k] 12πj

∮F1[u]F2

[ zu]

u−1du

valoare initiala f [k] limz→∞

F [z]

valoare finala f [∞] limz→1

(z − 1)F [z]


transformata z

Documents