cap 6
TRANSCRIPT
Cap. 6. MECANISME CU ROŢI DINŢATE. ANGRENAJE
Mecanismele cu roţi dinţate sunt cele mai simple mecanisme întâlnite în practică.
Ele sunt formate din cel puţin două roţi dinţate, care au rolul de a transmite
mişcarea de rotaţie şi puterea între doi arbori situaţi la distanţă mică unul de altul, prin
forţa de apăsare a dintelui roţii conducătoare pe cel al roţii conduse.
Mecanismele cu roţi dinţate sunt foarte utilizate în construcţia de maşini, aparate
şi instalaţii, fiind de dimensiuni cuprinse între fracţiuni de milimetru şi mai mult de 10 –
12 metri.
Roata dinţată: este un element cinematic, care are la periferia sa dinţi dispuşi în
mod regulat pe o suprafaţă de revoluţie. O roată dinţată se compune din trei părţi:
- butucul roţii, montat pe arbore, de regulă prin pene longitudinale;
- partea dinţată (coroana), care cuprinde dantura şi abada roţii;
- spiţe sau disc, care reprezintă partea de legătură dintre butuc şi dantură.
Angrenajul: este format din două roţi dinţate mobile în jurul a două axe având
poziţie relativă invariabilă, una din aceste roţi (conducătoare) antrenând-o pe cealaltă
(condusă) prin intermediul dinţilor aflaţi succesiv şi continuu în contact. Procesul
continuu de contact dintre dinţii celor două roţi dinţate conjugate se numeşte angrenare.
Angrenajele alcătuite din două roţi dinţate se numesc angrenaje simple.
Angrenajele alcătuite din cel puţin trei roţi dinţate se numesc angrenaje multiple
sau trenuri cu roţi dinţate.
Clasificarea angrenajelor poate fi făcută din mai multe puncte de vedere:
a) După poziţia relativă a axelor celor două roţi, angrenajele pot fi:
- paralele (FIG. 6.1. a);
- concurente (FIG. 6.1. b);
- încrucişate (FIG. 6.1 c).
Dacă o roată dinţată are un număr de dinţi (z) foarte mare, care tinde la infinit
acesta generează o cremalieră dinţată.
Angrenajul format dintr-o roată dinţată şi o cremalieră dinţată serveşte la
transformarea mişcării de rotaţie în mişcare de translaţie şi invers (FIG. 6.2.).
b) După forma dinţilor roţilor componente, pot fi:
- cu dinţi drepţi (FIG. 6.1. a, b);
- cu dinţi înclinaţi (FIG. 6.1. a, b);
- cu dinţi curbi;
- cu dinţi în V;
- cu dinţi în W.
c) După profilul dinţilor angrenajelor, pot fi:
- evolventice (profilul este evolventic);
- cicloidale (profilul este o cicloidă);
- arc de cerc (profilul este un arc de cerc);
- speciale (profilul este o altă curbă);
d) După forma roţilor:
- roţi cilindrice (FIG. 6.1 a);
- roţi conice (FIG. 6.1 a);
- roţi melcate (FIG. 6.1 c);
e) După modul de angrenare:
- angrenare exterioară (FIG. 6.1 a, b, c);
- angrenare interioară (FIG. 6.3 a);
f) După modul de mişcare a axelor, angrenajele pot fi:
- ordinare (la care axele sunt fixe), (FIG. 6.1 a, b, c);
- planetare (la care o axă este mobilă), (FIG. 6.3 b);
g) După raportul de transmitere (i12):
- cu raport de transmitere constant (i12 = ct.);
- cu raport de transmitere variabil (i12 ≠ ct.);
- cu i12 > 1, angrenaj demultiplicator;
- cu i12 < 1, angrenaj multiplicator.
Avantaje:
- realizează un raport de transmitere constant;
- transmite puteri mari la turaţii mari;
- realizează un gabarit mic;
- randament bun;
- preţ de cost scăzut;
Dezavantaje:
- la turaţii mari produc zgomot;
- nu poate realiza toată gama de rapoarte de transmitere, deoarece roţile
trebuie să aibă un număr întreg de dinţi;
6.2. Legea fundamentală a angrenării.
Se consideră două roţi dinţate cu centrele în O1 şi O1 (FIG. 6.4) ai căror dinţi au
profilele în contact în punctul (M).
În punctul (M) avem o cuplă de clasa a IVa formată de contactul a doi dinţi.În (M)
avem două puncte suprapuse: )1(1∈M şi )2(2 ∈M .
Ecuaţia vectorială a vitezei punctului M2, ce aparţine profilului roţii (2) este:
1212 MMMM vvv +=
unde: )( 111MOvM ω=
Ecuaţia vectorială de viteze (scrisă mai sus) se rezolvă grafic direct pe mecanism
luând polul vitezelor în punctul (M), şi rezultă:
[ ]smmmkvmMkv VMMVM /);();( 212 122==
21 MnnrMnnr vpvp ⋅=⋅ ′′
Plecând de la observaţia că vitezele punctelor suprapuse în momentul considerat
al mişcării pe normala comună (n – n’) sunt egale, se poate scrie relaţia:
21 coscos21
ββ ⋅=⋅ MM vv sau 22221111 coscos βω=βω MOMO
Deoarece:
11111 cos KOMO =β şi 22222 cos KOMO =β
se deduc succesiv relaţiile:
11
22
2
112222111 ;
KOKOiKOKO =
ωω
=ω=ω
Din asemănarea triunghiurilor dreptunghice: O1K1C şi O2K2C rezultă:
.1
2
2
112 ct
COCOi ==
ωω
= (1)
Enunţul legii fundamentale a angrenării:
Pentru ca două profile să asigure un raport de transmitere constant este necesar
ca normala comună (n – n’) la cele două profile să treacă tot timpul printr-un punct fix
(C), numit polul angrenării, punct situat pe linia centrelor, pe care o împarte in doua
segmente al caror raport este egal cu cel de transmisie..
Notând cu 21, ωω - vitezele unghiulare ale roţilor; n1, n2 – turaţia roţilor; O1C = rW
1, O2C = rW 2 – razele cercurilor de rostogolire; z1, z2 – numărul de dinţi, legea
fundamentală se poate scrie astfel:
.1
2
2
1
2
112
1
2 ctzz
rr
nni
W
W =±=±==ωω
= (2)
în care semnul plus se ia pentru angrenarea interioară şi semnul minus pentru
angrenarea interioară.
Observaţii:
1) Relaţia (2) se aplică tuturor mecanismelor cu roţi dinţate având axele fixe
(mecanismelor ordinare).
2) Viteza relativă de alunecare 12MMv dintre cele două profile este cu atât mai mică cu
cât punctul (M) se apropie de polul angrenării (C). Această viteză în punctul (C) se
anulează, după care îşi schimbă sensul.
Deci în polul angrenării (C), avem de-a face cu o rostogolire pură.
3) Consecinţele prezenţei vitezei relative 12MMv sunt frecările, uzura danturii,
încălzirea, consum de lucru mecanic şi implicit scăderea randamentului transmisiei.
Consecinţele schimbării de sens a vitezei relative 12MMv sunt ruperea peliculei de
ulei, turbionarea uleiului, mărirea rezistenţei hidraulice, apariţia zgomotului şi
intrarea danturilor în contact direct sub o forţă mare de natură dinamică, ceea ce
produce un fenomen instantaneu de sudură, şi ciupire, (denumită pitting) care
generează oboseala materialelor.
Angrenajele care evită acest fenomen se numesc angrenaje extrapolare. Ele permit
ca angrenarea să înceapă din polul angrenării şi să se efectueze numai de o singură
parte a liniei centrelor, asigurându-se astfel o durabilitate maximă (uzură mică).
6.3. Cinematica angrenajelor simple
6.3.1. Cinematica angrenajelor cu axe paralele fixe (angrenaje cilindrice)
Angrenajele cilindrice pot avea angrenare exterioară sau interioară.
Date cunoscute: (viteza unghiulară a roţii conducătoare), (razele de
rostogolire ale roţilor).
1ω 21, WW rr
Date necunoscute: (viteza unghiulară a roţii conduse), i2ω 12 (raportul de
transmitere).
Pentru determinarea necunoscutelor se utilizează metoda analitică sau grafo –
analitică.
Metoda analitică: constă în determinarea lui (i12) cu ajutorul legii fundamentale a
angrenării:
- pentru angrenarea exterioară:
1
2
2
1
2
112
1
2
zz
rr
nni
W
W −=−
==ωω
= (3)
- pentru angrenarea interioară:
1
2
2
1
2
112
1
2
zz
RR
nni
r
r ===ωω
= (4)
Metoda grafo – analitică (metoda Kutzbach)
Această metodă se bazează pe determinarea grafică a raportului (i12) cu ajutorul
planului vitezelor liniare şi al vitezelor unghiulare.
- În acest scop se consideră angrenajul construit la scara (kl) arbitrar aleasă:
l
W
kr
CO 11 = şi
l
W
kr
CO 22 = (vezi FIG. 6.5. a şi FIG. 66. a)
- Se construiesc dreptele ortogonale de referinţă şi
- vezi FIG. 6.5. b şi FIG. 6.6. b.
21||)( OOR∆
)()( * RR ∆⊥∆
- Pe dreapta )( R∆ se proiectează ortogonal punctele O1O2 şi C, iar pe dreapta
se marchează punctul numit polul vitezelor
unghiulare şi se alege punctul situat la o distanţă arbitrară pe
.
)( *R∆ )()( *RRp ∆∆=ω I
)( ωO )( ωH
ωp
- Se construieşte în punctul )()( RC ∆∈ viteza VC la scara (kV), reprezentată
prin segmentul: V
Cc k
VC =)( .
- Se uneşte extremitatea (c) cu punctele O1 şi O2, obţinându-se unghiurile ( 1ϕ )
şi ( ) care reprezintă vitezele unghiulare (2ϕ 1ω ) şi ( 2ω ):
1*
1
11 )(
)(
1
ϕω ω tgkCOk
Ckrv
l
cV
W
⋅=== (5)
2*
2
22 )(
)(
2
ϕω ω tgkCOk
Ckrv
l
cV
W
⋅=== (6)
unde: [ ]1* −ω = s
kkk
l
V (7)
este scara planului vitezelor liniare.
Rezultă raportul de transmitere: 2
1
2
112 ϕ
ϕ=
ωω
=tgtgi (8)
- Din punctul ( ) se construiesc unghiurile ωO 1ϕ şi (ducând paralele la
laturile acestor unghiuri); se obţin astfel punctele 1 şi 2 pe dreapta ,
segmentele (
2ϕ
)( *R∆
1ωp ) şi ( 2ωp ) reprezentând imaginile vitezelor unghiulare 1ω
şi (vezi FIG. 6.6. c). 2ω
)1()()1(
1*
1 ωωω
ωω ==ϕ⋅=ω pk
Hkpktgk
l
V (9)
)2()()2(
2*
2 ωωω
ωω ==ϕ⋅=ω pk
Hkpktgk
l
V (10)
unde: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
ω mms
kkk
l
V1
* (11)
este scara vitezelor unghiulare.
Rezultă raportul de transmisie:
)2()1(
2
112
ω
ω=ωω
=ppi (12)
6.3.2. Cinematica angrenajelor cu axe concurente fixe (angrenaje conice)
Angrenajele conice sunt realizate constructiv cu angrenare exterioară, având
semiunghiul la centru sau o90≠δ o90=δ , vezi FIG. 6.7, 6.8 şi FIG. 6.9.
Se cunosc: 1ω a roţii conducătoare (1) – în mărime, direcţie, sens si
21,,, 21 rr rrδδ .
Se cere: 212 , ωω şi i12
Metoda grafo – analitică
- Se trasează mecanismul la scara lungimilor (kl) – vezi FIG. 6.7. a, 6.8. a, 6.9.
a.
- După care se rezolvă grafic la scara vitezelor unghiulare ( ) arbitrar aleasă,
ecuaţia vectorială de compunere a vitezelor unghiulare:
ωk
2112 ω+ω=ω .
Din planul vitezelor unghiulare, (vezi FIG. 6.7. b, 6.8. b şi 6.9. b), rezultă:
);12();2( 212 ωωω =ω=ω kpk
Raportul de transmitere:
)2()1(
2
112
ω
ω=ωω
=ppi
Metoda analitică:
Se bazează pe aplicarea succesivă a teoremei sinusurilor şi respectiv
cosinusurilor în planul vitezelor unghiulare (FIG. 6.7. b, 6.8. b, 6.9. b).
Aplicând teorema sinusurilor:
1
2
2
1sinsin δω
=δ
ω
care serveşte la stabilirea raportului de transmitere:
1
2
2
1
2
1
2
112 sin
sin
1
2
δδ
====ωω
=zz
RR
nni
r
r (13)
Folosind teorema cosinusurilor se deduce:
δωω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+ω=δωω+ω+ω=ω cos21cos21
22
1
2121
22
2121
în care, înlocuind 2
1
2
1
1
2sinsin
zz
=δδ
=ωω
, se obţine:
δ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ω=δ
δδ
+δδ
+ω=ω cos21cossinsin2
sinsin1
1
22
1
21
2
1
22
12
121 zz
zz
(14)
Pentru situaţia constructivă când o90=δ (vezi FIG. 6.8), relaţiile (13) şi (14)
capătă forma:
11
2
2
1
2
112
1
2 δ====ωω
= ctgzz
RR
nni
r
r (15)
2
1
21
22
12
121 1sinsin1 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ω=
δδ
+ω=ωzz
(16)
Observaţie:
Relaţiile (13), (14), (15) şi (16) sunt valorile atât pentru angrenajele conice cu
angrenare exterioară (vezi FIG. 6.7, 6.8), cât şi pentru cele cu angrenare interioară (vezi
FIG. 6.9).
6.3.3. Cinematica angrenajelor cu axe
oarecare fixe
Analiza cinematică a acestor angrenaje constă în trasarea planului vitezelor
liniare şi determinarea reportului de transmitere.
A. Angrenajul hiperboloidal
În FIG. 6.10. este redat mecanismul cu două roţi hiperboloidale în poziţie
ortogonală pe direcţia perpendicularei comune celor două axe 1∆ şi ale roţilor. 2∆
Axele şi sunt aparent concurente în punctul M unde se află suprapuse, la
momentul considerat al mişcării, două puncte şi anume 1
1∆ 2∆
)1(∈M ectiv punctul
(2 ∈M ta (t
şi resp
.Tangen şi )2 M) dusă prin punctul M formează unghiurile ( 1β ) ( 2β ) u
axele 1∆ 2∆ rezolvă direct pe mecanism ecuaţia vectorială a vitezelor:
c
şi Se.
1212 MMMM vvv +=
Se alege drept pol al vitezelor punctul M (pv = M) şi scara ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
mmsmkV
/. Rezultă
vitezele:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
smmmkvMmkv VMMVM )();( 212 122
Deoarece, în conformitate cu legea fundamentală a angrenării, proiecţiile
vitezelor 1Mv şi 2Mv pe planul normal la tangenta (tM) sunt egale, se poate scrie:
21 coscos21
ββ MM vv = sau 1
2
coscos
2
1
ββ
=M
M
vv
Deci: 1
2
2
112 cos
cos
1
2
β
β=
ωω
=r
r
RR
i (17)
În practică întâlnim frecvent două cazuri particulare de angrenaje cu axe fixe:
- angrenajul cu cremalieră (la care una din roţi are raza infinită: ∞=1rR şi
dinţi dispuşi în lungul unei drepte). Ca urmare 01 =ω iar . 012 =i
- angrenajul şurub melc – roată melcată (la care roţile sunt perpendiculare:
, iar una din roţi este degenerată dintr-un şurub). o90, 2121 =β+β∆⊥∆
B. Angrenajul şurub melc – roată melcată (FIG. 6.11)
Cele două axe şi 1∆ 2∆ sunt aparent concurente în punctul
iar )1(),,( 121 ∈MMMM )2(2 ∈M .
Tangenta comună (tM) dusă prin punctul M1 formează unghiurile şi 1β 1β cu
axele şi . 1∆ 2∆
Alegând polul vitezelor în punctul M (pv = M) şi scara ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
mmsmkV
/, ecuaţia
vectorială a vitezelor:
1212 MMMM vvv +=
Se rezolvă grafic ecuaţia vectorială direct pe mecanism, rezultând:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
smmmkvMmkv VMMVM )();( 212 122
Conform legii fundamentale a angrenării, proiecţiile vitezelor 1Mv şi
2Mv pe
planul normal la tangenta (tM) sunt egale. Se poate scrie deci relaţia:
21 coscos21
ββ MM vv = sau 2211 coscos21
βω=βω rr RR
Însă: sau o9021 =β+β 21 90 β−=β o
Deci: 2211 cossin21
βωβω ww RR =
Rezultă raportul de transmitere:
21
2
2
112
1
2
1
2
sincos
β=β
β=
ωω
= ctgrr
rr
iW
W
W
W (18)
Din reprezentarea desfăşurată a suprafeţei de rulare a şurubului melc (vezi FIG.
6.11) se observă că:
pir
ctg W
⋅
⋅π=β 1
22
unde: i – numărul de începuturi echivalent cu numărul de dinţi (z1);
p – pasul şurubului.
Înlocuind pe în relaţia (18) se obţine: 2βctg
ip
ri W 12
112 ⋅
⋅π= (19)
Deci în final expresia raportului de transmitere devine:
izctg
rr
nni
W
W 22
2
1
2
112
1
2 =β==ωω
= (20
6.4. Cinematica angrenajelor multiple (trenuri de roţi dinţate)
Dacă analizăm expresia raportului de transmitere realizat de angrenajele cu axe
fixe:
1
2
2
1
2
112 z
znni ±==
ωω
=
se observă că mărimea acestui raport este dependentă de valorile numerelor de dinţi z1
şi z2 a celor două roţi. La rândul lor z1 şi z2 sunt limitate:
120;10 max2min1 ≤≥ zz
Rezultă că un angrenaj simplu poate realiza un raport de transmitere:
)61(12 ÷∈optimi ,
care se poate extinde până la 1012 =i , ceea ce este insuficient în foarte multe situaţii
tehnice.
Deasemenea transmiterea mişcării de rotaţie la distanţă mare prin intermediul
unui singur angrenaj nu este posibilă datorită dimensiunilor foarte mari care s-ar obţine
pentru roţile angrenajului simplu.
Din această cauză, pentru soluţionarea problemei în care se impune
transmiterea mişcării de rotaţie între doi arbori situaţi la distanţă mare unul faţă de altul
sau realizării unor rapoarte de transmitere mari, se folosesc mai multe roţi dinţate a
căror asociere formează aşa numitele trenuri cu roţi dinţate.
Deci trenurile de roţi dinţate sunt mecanisme cu roţi dinţate ale căror axe aparţin
unor cuple de rotaţie legate la elementul de bază. Structura de bază a acestor
mecanisme cuprinde “n” elemente mobile, C4 = n – 1 cuple de clasa a IV-a, C5 = n cuple
de clasa a V-a, C = C4 + C5 = 2n – 1 cuple, k = C – n = n – 1 cicluri independente.
Mobilitatea trenurilor cu roţi dinţate este:
1)1(2323 453 =−−−=−−= nnnCCnM
Roţile externe ale oricărui tren cu roţi dinţate au o singură cuplă superioară spre
deosebire de roţile intermediare care pot avea una sau două cuple superioare. Din
acest motiv roţile intermediare clasifică trenurile de roţi dinţate în:
- trenuri serie, la care pe axele intermediare se montează câte o roată
intermediară având două cuple superioare.
- trenuri paralel, la care pe axele intermediare se montează câte două roţi
dinţate fiecare având o cuplă superioară.
- trenuri mixte, la care pe axele intermediare se pot monta una sau două roţi, în
primul caz roata având două cuple superioare iar în al doilea caz o singură
cuplă superioară.
6.4.1. Cinematica trenurilor cu roţi dinţate cilindrice montate în serie
Se presupune cazul a patru roţi dinţate cilindrice montate în serie (FIG. 6.12. a)
de raze , care au vitezele unghiulare 4321
,,, WWWW rrrr 4321 ,,, ωωωω .
Metoda grafo – analitică: constă în trasarea planelor vitezelor liniare şi unghiulare
(vezi FIG. 6.12. a şi FIG. 6.12. b).
Metoda analitică: rezultă din scrierea succesivă a egalităţii vitezelor liniare în
punctele de contact, ţinând seama de sensul de rotaţie:
13443
12332
1221
2
1
3
2
4
3
4
343
2
1
3
2
3
232
2
121
ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=ω−=ω⇒ω−=ω
ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=ω−=ω⇒ω=ω−
ω−=ω⇒ω−=ω
W
W
W
W
W
W
W
WWW
W
W
W
W
W
WWW
W
WWW
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
Raportul de transmitere între roţile (1) şi (4) este:
Krr
rr
rr
rr
iW
W
W
W
W
W
W
W =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ωω
=1
4
3
4
2
3
1
2 3
4
114 )1(
sau: Kiiii =⋅⋅−= )( 34231214
1
433 )1()1(1
4
zz
rr
KW
W −=−= (constanta mecanismului)
Exponentul cifrei (-1) arată de câte ori s-a produs schimbarea sensului de rotaţie
a vitezei unghiulare ( ). 1ω
Această cifră este dată de numărul angrenărilor exterioare (me = 3).
Generalizând pentru cazul a “n” roţi dinţate cilindrice montate în serie, care au
“me” angrenări exterioare, se deduce relaţia raportului de transmitere:
11 )1()1(
1zz
RR
i nm
r
rmn
ene −=⋅−= (21)
Concluzii
1) Raportul de transmitere (i1n) nu depinde de nici un parametru geometric al
roţilor dinţate intermediare (2, 3, ... , n - 1). Din acest motiv roţile respective
poartă denumirea de roţi parazite.
2) Roţile parazite îndeplinesc rolul:
- permit transmiterea la distanţă a mişcării de rotaţie;
- menţin sau modifică sensul de rotaţie al roţii conducătoare din montajul serie.
6.4.2. Cinematica trenurilor de roţi dinţate cilindrice montate în paralel
Se consideră cazul roţilor dinţate 1; 2 – 2’; 3 – 3’; 4 montate în paralel (vezi FIG.
6.13 a) care au razele: 433221
,,,,, WWWWWW rrrrrr ′′ şi
vitezele unghiulare: 4321 ,,, ωωωω .
Metoda grafo – analitică: constă în trasarea planelor vitezelor liniare şi unghiulare
(vezi FIG. 6.13 b şi c).
Metoda analitică: se bazează pe scrierea egalităţilor vitezelor liniare în punctele
de contact ale roţilor (ţinându-se seama de sensurile de rotaţie ale roţilor):
13443
12332
1221
2
1
3
2
4
3
4
343
2
1
3
2
3
232
2
121
ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−=ω
′−=ω⇒ω−=ω′
ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−=ω−=ω⇒ω=ω′−
ω−=ω⇒ω−=ω
W
W
W
W
W
W
W
WWW
W
W
W
r
W
WWW
W
WWW
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
Raportul de transmitere între roţile (1) şi (4) este:
Krrrrrr
rr
rr
rr
iWWW
WWW
W
W
W
W
W
W =′⋅′⋅′
⋅⋅−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ωω
=321
432
3
4
2
3
1
2 3
4
114 )1(
sau: Kiiii =⋅⋅−= )( 34231214
321
43233 )1()1(321
432
zzzzzz
rrrrrr
KWWW
WWW
′⋅′⋅⋅⋅
−=′⋅′⋅
⋅⋅−=
Relaţia obţinută pentru (i14), arată că schimbarea sensului de rotaţie a vitezei
unghiulare ( ) s-a produs de trei ori, deoarece mecanismul are m1ω e = 3 angrenări
exterioare.
Generalizând pentru “n” arbori cu axe fixe şi “me” angrenări exterioare, relaţia
raportului de transmitere devine:
1321
4321 ...
...)1(......
)1()1(321
432
−′′⋅′⋅⋅⋅
−=′′⋅′⋅
⋅⋅−=
− n
nm
WWWW
WWWWmn zzzz
zzzzrrrrrrrr
i e
n
ne (22)
Din relaţia (22) se deduc concluziile:
1) Raportul de transmitere depinde de toţi parametrii geometrici ai roţilor dinţate
componente montate în paralel.
2) Se poate realiza o mare varietate de rapoarte de transmitere. De exemplu
pentru un mecanism la care:
11
12
)1(321
432
)1(2
'......
−− −=⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===′=′=====
nnn
n
izz
zzzzzzzz
Pentru n = 8 rezultă i18 = 27 = 128, raport care nu poate fi realizat de montajul în
serie.
6.4.3. Cinematica trenurilor de roţi dinţate montate mixt
Se consideră montajul mixt reprezentat în FIG. 6.14 a.
Metoda grafo – analitică: este redată în FIG. 6.14 b şi FIG. 6.14 c.
Metoda analitică: constă în aplicarea relaţiei (22) cu precizarea că la calculul
constantei mecanismului (K) nu participă roţile parazite.
Raportul de transmitere între roţile (1) şi (5):
421
5424415 )1(
'')1(
421
542
zzzzzz
rrrrrr
iWWW
WWW
⋅′⋅⋅⋅
−=⋅⋅
⋅⋅−=
6.4.4. Cinematica trenurilor cu roţi dinţate conice
Trenurile cu roţi conice având axele fixe pot fi: în serie (vezi FIG. 6.15 a), paralel (FIG.
6.15 b) sau mixt (FIG. 6.16 a).
Metoda grafo – analitică: Se rezolvă grafic ecuaţiile de distribuţie a vitezelor
unghiulare (FIG. 6.15 a, d şi FIG. 6.16 b).
- Pentru montajul serie şi paralel (FIG. 6.15 a, c)
212112 ; ω=ωω+ω=ω (la montajul paralel)
2323 ′′ ω+ω=ω
Rezultă valorile:
)3(
)1();32(
);21();3();2(
1323
2132
ω
ωω′
ωωωωω
=′=ω
=ω=ω=ω
p
pik
kpkpk
- Pentru montajul mixt (FIG. 6.16 b):
222112 ; ′ω=ωω+ω=ω
2323 ′′ ω+ω=ω
4334 ω+ω=ω
Rezultă valorile:
)4(
)1(;)3(
)1(
);43();4();32(
);21();3();2(
1413
43423
2132
ω
ω
ω
ω
ωωωω′
ωωωωω
==
=ω=ω′=ω
=ω=ω
p
pip
pi
kpkk
kpkp
Metoda analitică
=ω k
Pentru fiecare situaţie în parte raportul de transmitere se calculează cu aceeaşi
laţie re ca şi în cazul roţilor cilindrice. În ceea ce priveşte semnul raportului de
transmitere, acesta nu mai are sens decât în cazurile când arborii roţilor externe
(conducătoare şi condusă) sunt paraleli sau în prelungire. Pentru stabilirea semnului
raportului de transmitere în acest caz se foloseşte metoda săgeţilor concurente în polul
angrenării, raportul de transmitere fiind considerat pozitiv când sensul săgeţilor notate
pe roţile externe este acelaşi şi respectiv negative când săgeţile au sensuri contrare. De
exemplu, trenurile cu roţi dinţate conice din FIG. 6.15 şi 6.16 au următoarele rapoarte
de transmitere:
- montaj serie: 1
313 z
zi −= ;
- montaj paralel: 21
3213
′⋅⋅
−=zzzzi ;
- montaj paralel: 21
4214
′⋅⋅
=zzzzi
6.5. Angrenaje planetare
ceste angrenaje formează mecanisme (simple sau diferenţiale) care au în
compo
solare
A
nenţa lor roţi dinţate cu axe fixe şi respectiv axe mobile.
Roţile cu axe de rotaţie fixe se numesc roţi centrale sau iar roţile cu axe
de rotaţie mobile poară denumirea de roţi satelit sau planetare.
Aceste roţi satelit sau planetare sunt menţinute în angrenare cu roţile centrale
prin intermediul unor bare mobile în jurul unei axe fixe denumite braţe port – satelit (S).
Roţile centrale sau roţile satelit pot avea angrenare exterioară sau interioară şi
pot fi realizate cu roţi cilindrice sau conice. Aceste angrenaje planetare sunt utilizate
aproape în toate maşinile, utilajele, dispozitivele şi aparatele întâlnite în industrie.
6.5.1. Cinematica angrenajelor planetare cilindrice cu o roată centrală
ngrenajele planetare diferenţiale cilindrice cu o roată centrală au în structura lor
roata c
A
entrală (1), o roată satelit (2) şi braţul port – satelit (S). Angrenarea celor două
roţi poate fi exterioară (FIG. 6.17 a) sau interioară (FIG. 6.17 b).
Gradul de mobilitate al mecanismului este:
23 =M
3 21132323 453 =⋅−⋅−⋅=−−= CCnM
unde: n = 3 elemente mobile (1, 2, S);
), (S, 0), (S, 2); C5 = 3 cuple de clasa a Va (1, 0
C4 = 1 cuple de clasa a IVa (1, 2).
Deci acest mecanism are două elemente conducătoare ( ), care nu pot fi
decât elementele (1) şi (S). Satelitul (2) nu poate fi element conducător deoarece este
23 =M
extrem
ătoare roata centrală (1) şi braţul port – satelit (S) nu are o utilizare practică
de dificil să i se impună o mişcare de rotaţie din interior în timp ce braţul (S) este
mobil.
În tehnică, angrenajul planetar cilindric cu o roată centrală având ca elemente
conduc
directă, întrucât culegerea mişcării satelitului (2) nu este posibilă decât în cazuri
speciale folosind o transmisie prin cuplaj mobil (disc cu bolţuri articulate, articulaţie
cardanică sau cuplaj Oldham – vezi FIG. 6.18 a, b, c).
Studiul acestui angrenaj planetar este însă necesar, deoarece fundamentează
alcătuirea celorlalte mecanisme planetare cu două roţi centrale.
În situaţia când roata centrală (1) este fixă (FIG 6.19 a) mecanismul se numeşte
mecanism planetar simplu şi are gradul de mobilitate 13 =M .
111222323 =⋅453 −⋅−⋅=−−= CCnM
unde: n = 2 elemente mobile (2, S);
C5 = 2 cuple de clasa a Va (S, 0), (S, 2);
C4 = 1 cuple de clasa a IVa (1, 2).
Când braţul port – satelit (S) este fix (FIG. 6. 19 b) mecanismul se transformă
într-un mecanism ordinar cu axe fixe, având gradul de mobilitate 13 =M
1222323 11453 =⋅−⋅−⋅=−−= CCnM
unde: n = 2 elemente mobile (1, 2);
, 0), (2, 0);
C5 = 2 cuple de clasa a Va (1
C4 = 1 cuple de clasa a IVa (1, 2).
Metoda grafo – analitică:
Se trasează planul mecanismului la scara lungimilor (kl) – vezi FIG. 6.20 a,
alăturat lui liniile de referinţă perpendiculare )()( *RR ∆⊥∆ la intersecţia cărora
rezultă polul vitezelor unghiulare ( ωp ) – vezi FIG i FIG. 6.21 b, c, d, e.
Pe dreapta BOR ||)(∆ se trasează punctele caracteristice
. 6.20 b c, d, e ş
1 ω== OOO S1 ,
oluţia grafo – analitică constă în determinarea rapoartelor de transmitere direct
A şi B.
S
dintre elementele conducătoare (1 şi S) şi elementul con-dus (2), pe baza construirii
planelor vitezelor liniare si unghiulare ale punc-telor A şi B:
)(;211 1111 WWSSBWA rrBOvrAOv +=⋅=⋅=⋅= ωωωω .
Adoptând scara (kV) şi presupunând că vitezele punctelor A şi B sunt orientate în
acelaşi sens, pentru determinarea vitezelor unghiulare şi a raportului de transmitere se
aplică procedeul lui Kutzbach în următoarea succesiune:
- se reprezintă grafic cele douã viteze liniare: ;)(V
Aa k
vA = V
Bb k
vB =)( (FIG.
6.20 b , FIG. 6.21 b);
- se uneşte punctul de viteză nulă ω=OO1 cu extremităţile (a) şi (b) ale celor
două viteze, precum şi punctele (a) şi (b) între ele. Se obţin astfel unghiurile
care dau distribuţiile de viteze liniare pe roţile 1, 2, S; Sϕϕϕ ,, 21
- se prelungesc laturile acestor unghiuri până intersectează linia de referinţă
orizontală , rezultând punctele 1, 2, S . )( *R∆ )( *R∆∈
Cunoscând:
)1(1*
1 ωωω =ϕ=ω pktgk şi )(* Spktgk SS ωωω =ϕ=ω
)(;*ωωω ⋅== Hkkkkkk lVlV
rezultă:
)2(2*
2 ωωω =ϕ=ω pktgk
)2()(;
)2()1(
222
2
1
2
112
ω
ω
ω
ω =ϕϕ
=ωω
==ϕϕ
=ωω
=p
Sptgtgi
pp
tgtgi SS
S (23)
Sensurile de rotaţie ale Sωωω ,, 21 sunt date de sensurile de măsurare ale
unghiurilor corespunzătoare: Sϕϕϕ ,, 21 .Se constată că raportul de transmitere (iS2)
este negativ la angrenarea exterioară şi pozitiv la angrenarea interioară.
Observaţii
1) Când vitezele punctelor A şi B (VA > VB) sunt orientate în sensuri opuse (vezi
FIG. 6.20 c şi FIG. 6.21 c), raportul de transmitere (iS2) rezultă pozitiv în
angrenarea exterioară şi negativ în angrenarea interioară.
2) Când vitezele liniare ale puntelor A şi B sunt egale şi orientate în acelaşi sens
(vezi FIG. 6.20 d şi FIG. 6.21 d), centrul instantaneu de rotaţie (I20) se va găsi
la infinit, iar unghiul ( 2ϕ ) respectiv ( 2ω ) vor fi nule. Rezultă că satelitul (2)
are o mişcare de translaţie circulară, adică un diametru al său are permanent
aceeaşi direcţie în timpul mişcării. Acest fenomen poartă denumirea de
paradoxul lui Ferguson.
3) Când vitezele liniare ale punctelor A şi B corespund aceleiaşi distributii
( Sω=ω1 ) – vezi FIG. 6.20 e şi FIG. 6.21 e, rezultă Sϕ=ϕ=ϕ 21 ,
respectiv Sω=ω=ω 21 , adică roata centrală (1) satelitul (2) şi braţul port –
satelit (S) au aceeaşi viteză unghiulară, mişcându-se ca un singur element.
Centrul instantaneu de rotaţie (I20) coincide cu punctul O1, iar satelitul (2) se
găseşte permanent în contact cu roata centrală (1) în acelaşi punct de angrenare.
Metoda analitică
Pentru a fi posibilă aplicarea legii fundamentale a angrenării (care a fost stabilită
pentru angrenajele cu axe de susţinere fixe), se apelează la metoda inversării mişcării
(metoda lui Willis) care constă în a imprima întregului angrenaj planetar o viteză
unghiulară egală şi de sens contrar cu viteza unghiulară ( Sω ) a braţului port – satelit
(S).
Drept consecinţă elementele cinematice ale angrenajului planetar capătă
următoarele viteze unghiulare fictive rezultante:
- roata centrală (1): SS ω−ω=ω 11 ;
- roata satelit (2): SS ω−ω=ω 22 ;
- braţul port – satelit (S): 0=ω−ω=ω SSSS .
Prin acest artificiu braţul port – satelit a devenit fix iar angrenajul planetar
diferenţial s-a transformat într-un angrenaj ordinarr format din roţile (1) şi (2), căruia i se
poate aplica legea fundamentală a angrenării pentru determinarea raportului de
transmitere. Întrucât vectorii Sωωω ,, 21 au aceeaşi direcţie, relaţiile vectoriale ale
vitezelor unghiulare fictive rezultate se transformă în relaţii scalare, ceea ce permite a
se scrie relaţia raportului de transmitere când braţul port – satelit este fix:
KiS
SS
SS =
ω−ω
ω−ω=
ωω
=2
1
2
112 (24)
unde constanta angrenajului (K) are valorile:
1
2zzK −= (angrenare exterioară)
1
2zzK = (angrenare interioarã)
Din relaţia (24) se obţine ecuaţia cinematică a angrenajelor planetare diferenţiale
cu o roată centrală:
0)1(21 =ω−−ω−ω SKK (25)
Pentru angrenajele planetare simple ( 01 =ω ) sau cele ordinare cu axe fixe
( ), relaţia (25) se particularizează conform datelor din tabelul următor: 0=ωS
TIPUL ANGRENAJULUI
ECUAŢIA CINEMATICĂ A ANGRENAJULUI
ELEMENTUL CONDUCĂTOR
RAPORTUL DE TRANS-MITERE REALIZAT
1.1. Roata satelit (2) K
Ki S )1(12
−−=
1. Angrenaj planetar simplu (roata centrală (1) este fixa;
) 01 =ω
0)1(2 =ω−−ω SKK 1.2. Braţul
port-satelit (S) )1(12 KKiS−
−=
2.1. Roata centralã (1)
KiS =12 2. Angrenaj planetar cu axe fixe (braţul port-satelit (S) este
fix; ) 0=ωS
021 =ω−ω K 2.2. Roata satelit (2) K
iS 121 =
3.1. Roata centralã (1)
Ki S −=121 3. Roata plane-
tară (2) este translantã circu-
lar ( ) 01 =ω
0)1(1 =ω−−ω SK3.2. Braţul port-satelit (S) K
iS −=
112
1
Din analiza angrenajelor ordinare cu axe fixe (braţul port – satelit) în care
elementul conducător este roata centrală (1), din relaţia raportului de transmitere (24):
S
SSiω−ωω−ω
=2
112
se deduce: (26) SS
SS ii 121221 ⋅ω−⋅ω=ω−ω
Întrucât SS
ii
2112
1= (unde
2
121 z
ziS ±= , semnul plus luându-se pentru angrenarea
interioară şi semnul minus pentru cea exterioară), rezultă succesiv:
)1( 212112
121211S
SS
SS
SS
ii
ii
−ω+⋅ω=ω
ω−ω=⋅ω−⋅ω
În general, pentru angrenajele planetare cu mai multe roţi centrale, respectiv cu
mai mulţi sateliţi, se poate scrie:
)1( 111SnS
Snn ii −ω+⋅ω=ω (27)
Folosind relaţia (27), se deduc expresiile vitezei unghiulare ( ): 2ω
- Pentru angrenarea exterioară:
2
11
2
12 1
zz
zz
S ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ω=ω
- Pentru angrenarea interioară:
2
11
2
12 1
zz
zz
S ω+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ω=ω
Cunoscând ( ) rezultă rapoartele de transmitere ale angrenajului diferenţial cu
o roată centrală:
2ω
22
2
112 ;
ωω
=ωω
= SSii .
6.5.2. Cinematica angrenajelor planetare cilindrice cu două roţi centrale
În alcătuirea acestor angrenaje intră roţile centrale (1) şi (3) – vezi FIG. 6.22. şi
satelitul dublu 2 – 2’ (două roţi cu diametre egale sau diferite) şi braţul port – satelit (S).
Ele se pot realiza în variantele constructive prezentate în FIG. 6.22. a şi FIG 6.
22. b. În FIG. 6.22 a ambele roţi centrale (1) şi (3) au angrenare exterioară. În FIG 6.22
b roata centrală (1) are angrenare exterioară, iar roata centrală (3) are angrenare
interioară.
Gradul de mobilitate a angrenajelor planetare diferenţiale cu două roţi centrale
este M3 = 2.
221424323 453 =⋅−⋅−⋅=−−= CCnM
unde: n = 4 elemente mobile (1, 2 – 2’, 3, S);
C5 = 4 cuple de clasă a V-a (1,0), (S,2), (S,0) (3,0);
C5 = 2 cuple de clasă a IV-a (1,2), (3,2’);
Metoda grafo – analitică
a) Elemente conducătoare: roata centrală (1) şi braţul port – satelit (S) (FIG.
6.23 b, FIG. 6.24 b). Întrucât sunt cunoscute vitezele unghiulare Sωω ,1 ,
respectiv vitezele liniare =⋅= AOvA 11ω 11 Wr⋅ω şi BOv SSB ⋅= ω
se pot trasa planele vitezelor liniare şi unghiulare din care rezultă:
)(Cckv VC = , unde );( bac∈ )3( ωω=ω pkS
;)3()1(
3
1
3
113
ω
ω=ϕϕ
=ωω
=pp
tgtgi
)3()(
333
ω
ω=ϕϕ
=ωω
=p
Sptgtgi SS
S
b) Elementele conducătoare: roata centrală (1) şi (3) (FIG. 6.23 c, FIG. 6.24 c).
În acest caz sunt cunoscute 31, ωω , AOvA 11 ⋅= ω , COvC 33 ⋅= ω , iar
din planele vitezelor liniare şi unghiulare se deduc )( bBkv VB = , unde
);( cab∈ )( SpkS ωω=ω
)()1(11
1 Spp
tgtgi
SSS
ω
ω=ϕϕ
=ωω
=
)()3(33
3 Spp
tgtgi
SSS
ω
ω=ϕϕ
=ωω
=
c) Roata centrală (3) este imobilă (FIG. 6.23 d şi FIG. 6.24 d). Angrenajul fiind
planetar simplu (C = fix), rezultă raportul de transmitere total:
)()1(11
1 Spp
tgtgi
SSS
ω
ω=ϕϕ
=ωω
=
Metoda analitică
Imprimând întregului angrenaj o mişcare cu viteză unghiulară ( ), vitezele
rezultante fictive ale elementelor devin:
Sω−
- roata centrală 1: ; SS ω−ω=ω 11
- roata centrală 3: ; SS ω−ω=ω 33
- satelitul 2 – 2’: ; SSS ω−ω′=ω−ω=ω 222
- bratul port – satelit : . 0=ω−ω=ω SSSS
În acest fel, angrenajul diferenţial se transformă într-un tren cu roţi dinţate
montate în paralel al cărui raport de transmitere este dat de următoarea relaţie (când
braţul port – satelit este fix):
KiS
SS =ω−ωω−ω
=3
113
unde:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅⋅
−
⋅⋅
=
′
′
)interioarã angrenare cealaltaiar
exterioarã angrenare are centrale roþile din (una
)interioarã sau
exterioarã angrenare au roþi (ambele
21
32
21
32
zzzz
zzzz
K
Din această relaţie se deduce ecuaţia cinematică a angrenajelor planetare
diferenţiale cu două roţi centrale:
0)1(31 =ω−−ω⋅−ω SKK (28)
Pentru angrenajele planetare simple ( 01 =ω sau 03 =ω ),respectiv pentru
transmisiile ordinare având roţile cu axele fixe montate în paralel ( ), relaţia (28)
se poate particulariza aşa cum se indică în tabelul următor:
0=ωS
TIPUL ANGRENAJULUI
ECUAŢIA CINEMATICĂ A ANGRENAJULUI
ELEMENTUL CONDUCĂTOR
RAPORTUL DE TRANS-MITERE
REALIZAT
1.1. Roata centralã (3) K
Ki S)1(1
3−
−= 1. Angrenaj planetar simplu (roata centrală (1) este fixa;
) 01 =ω
0)1(3 =ω−−ω SCC 1.2. Braţul
port-satelit (S) )1(1
3 KKiS −
−=
2.1. Roata centralã (1)
)1(31 Ki S −= 2. Angrenaj
plane-tar simplu (roata centrală (3) este fixa;
) 03 =ω
0)1(1 =ω−−ω SC 2.2. Braţul port-satelit (S) K
iS −=
113
1
3.1. Roata centralã (1)
KiS =13 3. Tren ordinar cu roţi montate în paralel (braţul port– satelit este
fix; ) 0=ωS
031 =ω−ω C 3.2. Roata centralã (3) K
iS 131 =
Aplicând relaţia generală (27) se deduc vitezele unghiulare ale roţilor centrale (3)
şi braţul port – satelit (S). Prima din aceste viteze este necesar a se determina atunci
când angrenajul are ca elemente conducătore roata centrală (1) şi braţul port – satelit
(S), iar a doua situaţie când elementele conducătoare sunt roţile centrale (1) şi (3)
)1( 3133113SS ii −ω+⋅ω=ω (29)
S
S
S ii
31
3113
1−⋅ω−ω
=ω (30)
În relaţiile (29) şi (30), K
iS 131 = .
Pentru angrenajele planetare analizate se obţin expresiile prezentate în tabelul
următor:
FELUL ANGRENĂRII
ELEMENTUL CONDUCĂTOR
RELAŢIA DE CALCUL A VITEZEI UNGHIULARE A ELEMENTULUI
CONDUS
1; S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
−ω+⋅⋅
ω=ω ′′
32
21
32
2113 1
zzzz
zzzz
S Ambele roţi centrale au angrenare
exterioară sau interioara
1; 3
32
21
32
2113
1zzzz
zzzz
S
⋅⋅
−
⋅⋅
ω−ω−=ω
′
′
1; S 32
211
32
213 1
zzzz
zzzz
S ⋅⋅
ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
+ω=ω ′′ Una dintre roţile
centrale are angrenare
exterioară iar cealaltă are angrenare interioară
1; 3
32
21
32
2113
1zzzz
zzzz
S
⋅⋅
+
⋅⋅
ω+ω−=ω
′
′
Având aceste valori se pot calcula rapoartele de transmitere:
- când elementele (1) şi (S) sunt conducătoare:
33
3
113 ;
ωω
=ωω
= SSii
- când elementele (1) şi (3) sunt conducătoare:
SS
SS ii
ωω
=ωω
= 33
11 ;
6.5.3. Cinematica angrenajelor planetare cu roţi conice având o roată
centrală
Roata centrală a acestor mecanisme poate avea angrenare exterioară (FIG. 6.25
a) sau interioară (FIG. 6.25 c). Elementele conducătoare sunt roata centrală (1) şi braţul
port – satelit (S).
Metoda grafo – analitică
Viteza unghiulară ( 2ω ), rezultă din rezolvarea grafică a ecuaţiilor:
)|(|)|(|
)|(|)|(|
22
1
2112
BH
AH
S
SS
∆
∆
ω+ω=ω
ω+ω=ω
(31)
Din planul vitezelor unghiulare ( ) – FIG. 6.25 b şi FIG. 6.25 d, se obţin
valorile:
ωk
)2()(;
)2()1(
);2();21();2(
212
2212
ω
ω
ω
ω
ωωωω
==
=ω=ω=ω
pSpi
ppi
Skkpk
S
S
Metoda analitică
Se imprimă angrenajului planetar o mişcare cu viteză unghiulară ( Sω− ). Se
obţin rapoartele de transmitere şi formula cinematică generală a angrenajului planetar
cu o roată centrală:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−==
ω−ωω−ω
=ωω
=)exterioarã angrenare (
)interioarã (angrenare
1
2
1
2
2
1
2
112
zz
zz
KiS
SS
SS
)1( 212112S
SS ii −ω+ω=ω
KiS 121 =
Cunoscând 1ω , Sω şi rezultând 2ω , se deduc rapoartele de transmitere:
22
2
121 ;
ωω
=ωω
= SS
S ii
6.5.4. Cinematica angrenajelor planetare cu roţi conice având două roţi
centrale
Din punct de vedere constructiv, aceste angrenaje sunt realizate în două variante
şi anume având angrenarea roţilor centrale cu roţile satelit de aceeaşi parte a axei fixe
de rotaţie 31 ∆=∆ (FIG. 6.26 a) sau diametral opusă (FIG. 6.25 c). Elementele
conducătoare sunt roata centrală (1) şi braţul port – satelit (S).
Metoda grafo – analitică
Necunoscutele se deduc prin rezolvarea grafică a ecuaţiilor vectoriale (32):
22
22
1
2112
)|(|)|(|
)|(|)|(|
′ω≡ω
ω+ω=ω
ω+ω=ω
∆
∆
BH
AH
S
SS (32)
)|(|)|(| 3
23223
CH∆
′′′ ω+ω=ω
Din planul vitezelor unghiulare (vezi FIG. 6.26 b şi FIG. 6.26 d) rezultă:
)3()(;
)3()1(
);32();3(
);2();21();2(
313
233
2212
ω
ω
ω
ω
ω′ωω
ωωωω
==
′=ω=ω
=ω=ω=ω
pSpi
ppi
kpk
Skkpk
S
S
Metoda analitică
Se aplică întregului angrenaj planetar o mişcare cu viteză unghiulară ( Sω− )
obţinându-se raportul de transmitere şi formula cinematică generală a angrenajului
planetar cu două roţi centrale:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅⋅
−
⋅⋅
==ω−ωω−ω
==′
′
rotaþie) deaxelor
a parte iaceeaº de angrenare (
opusã) diametral (angrenare
21
32
21
32
3
1
3
113 zz
zzzzzz
Kiii
S
SS
SS
Ki
ii
S
SS
S
1)1(
31
313113
=
−ω+⋅ω=ω
Cunoscând vitezele unghiulare ale elementelor conducătoare 1ω , Sω şi
rezultând 3ω , se deduc rapoartele de transmitere:
33
3
113 ;
ωω
=ωω
= SSii
6.6. Curbele folosite pentru construcţia profilului danturii roţilor
Curbele folosite pentru construcţia profilului danturii roţilor trebuie să respecte
legea fundamentală a angrenării. Curbele care respectă această lege sunt curbele
ciclice de înfăşurare reciprocă. Dintre aceste curbe ciclice enumerăm: evolventa,
epicicloida, hipocicloida.
Dintre acestea cea mai folosită este evolventa.
Avantajele acestei curbe ciclice sunt:
- se execută cu scule simple, de serie;
- capacitate de transmitere cât mai mare, prin menţinerea constantă a direcţiei
şi a mărimii forţelor, cu alunecare redusă şi durabilitate mare;
- asigură interschimbabilitatea;
- funcţionare silenţioasă, fără şocuri;
- sensibilitate redusă în procesul angrenării la erorile de execuţie (abateri de
profil şi pas) şi de montaj (abateri de la distanţa dintre axe şi de la
paralelismul axelor de rotaţie).
Evolventa
volventa este o curbă plană descrisă de un punct M care aparţine unei drepte
generatoare (D), care se rostogoleşte fără alunecare pe un cerc fix, de rază (r ) numit
cerc de baz
Evolventa are două ramuri E şi E’ cu punctul de întoarcere M0 ce se găseşte pe
cercul
E
b
ă (vezi FIG. 6.27).
de bază. Aceeaşi evolventă poate fi generată şi cinematic, dând cercului de bază
o mişcare de rotaţie în jurul centrului (O) cu viteza unghiulară (ω ), iar dreptei (D), o
mişcare de pură translaţie cu viteza rv b⋅ω= astfel ca să fie îndeplinită condiţia de
pură rostogolire între dreapta (D) şi cercul de bază.
αinv ) şi (r) ale evolventei, în funcţie de parametrul (αCoordonatele polare ( ),
se deduc pe baza observaţiei că:
)(00 αα += invrTM şi α⋅== tgrMTTM b0
acestea sunt:
ααα −= tginv (33)
α=
cosbrr (34)
unde: ( αinv ) este o functie ce se numeşte “involut de α ”, α - unghiul de presiune.
Coordonatele carteziene x, y ale evolventei sunt:
(35)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−++
+−−−=
−−++
+−−=⋅+=
).180sin()(
).180cos(
).180cos()(
).180sin(
αααα
αα
αααα
αα
invinvr
invry
invinvr
invrMTOTx
b
b
b
bxxx
o
o
o
o
Ţinând cont de relaţia (33), se obţine:
[ ][ ]⎩
⎨⎧
α⋅α+α=α⋅α−α=
)sin()cos()cos()sin(
tgtgtgrytgtgtgrx
b
b (36)
Lungimea (S) a arcului de evolventă se obţine din relaţia:
22 dydxdS += (37)
in (36 D ) rezultă:
α⋅ααα
= tgtgrdx sin( db )cos2 (38)
α⋅ααα
= dtgtgrdy b )cos(cos2
Introducând pe (38) şi (39) în (37), se obţine:
(39)
α⋅αα
= dtgrdS b 2cos (40)
de unde:
⋅=α⋅αα
= ∫α
2
02 2
1cos
tgrdtgrS bb α (41)
Deci arcul de evolventă (S) creşte cu pătratul unghiului:
α=α+α tginv.
Raza de curbură ( ) a evolventei se determină cu relaţia: ρ
2
2
2
2
2/322
α⋅
α−
α⋅
α
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛α
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛α
=ρ
dxd
ddy
dyd
ddx
ddy
ddx
(42)
ţă câteva proprietăţi:
1) Normalele la evolventă sunt tangente la cercul de bază.
Modul de generare a evolventei şi ecuaţiile ei pun în eviden
2) Din relaţia (42) rezultă că centrul de curbură al evolventei în punctul M, este tocmai
MT , deci MTM =ρ , iar 00=ρM .
3) Dreapta ), perpendiculară în M pe D, înfăşoară evolventa, deci evolventa poate fi
pre
4) Când , evolventa degenerează într-o dreaptă.
) Un e ale evolventei.
Epicicloida (E)
(∆lucrată şi cu o sculă cu profil rectiliniu.
∞→br
5 ghiul de presiune (α ) îşi modifică valoarea în diferite punct
Epicicloida este curba descrisă de un punct (M) aparţinând unui cerc (C2) care se
ros unecare peste un alt cerc fix (C1) vezi FIG. 6.28.
Aceeaşi epicicloidă poate fi generată într-un sistem legat de (C1) şi cinematic,
dând întregului sistem o mişcare suplimentară astfel încât cercul (C2) să execute o
mişcare de rotaţie doar în jurul lui O2 iar cercul (C1) să execute o mişcare de rotaţie doar
în jurul lui O1 în aşa fel ca cele două cercuri să se rostogolească unul peste celălalt fără
alunecare.
Hipocicloida (H)
togoleşte fără al
: este o curbă descrisă de un punct M aparţinând unui cerc (C2)
care se rostogoleşte fără alunecare în interiorul unui alt cerc (C1) fix.
Aceeaşi hipocicloidă (H) poate fi generată într-un sistem legat de cercul (C1) şi
cinema
l (C1) să execute o
mişcar
iera de referinţă
tic, dând întregului sistem o mişcare de rotaţie suplimentară, astfel că cercul (C2)
să execute doar o mişcare de rotaţie în jurul centrului O2 iar cercu
e de rotaţie în jurul lui O1 în aşa fel ca cele două cercuri să se rostogolească unul
peste altul fără alunecare.
6.7. Cremaliera de referinţă; prelucrarea danturii roţilor
Forma şi dimensiunile profilului danturii sunt definite de cremal .
Elementele geometrice ale cremalierei de referinţă pentru dantura în evolventă,
sunt definite şi standardizate în STAS 821.
Presupunând că una din roţile angrenajului are raza cercului de bază (rb) infinit
de mare, cercul de divizare şi cel de bază se transformă într-o linie dreaptă (linie de
referinţă), iar roata respectivă se transformă în cremalieră.
Elementele geometrice ale cremalierei de referinţă sunt următoarele (vezi FIG.
6.30):
Cremaliera generatoare este negativul cremalierei de referinţă.
o20=α (unghiul profilului de referinţă); 0
25,00*0 ==
mC
C ; C0 – jocul de referinţă ;( joc de cap )
p0 – pasul de referinţă;
0,10*0 ==
mh
h aa ; h0a – înălţimea capului de referinţă;
mr ⋅= 38.00 (raza de racordare);
25,10*0 ==
mh
h ff ; h0f – înălţimea piciorului de referinţă;
fa hhh 000 += (înălţimea dintelui de referinţă);
π= 0pm (modulul, el fiind standardizat în STAS 822 – 82).
Două roţi dinţate pot angrena una cu alta, dacă fiecare în parte poate angrena cu
aceeaşi cremalieră de referinţă.
Cremaliera de referinţă este materializată în practică prin cuţitul (scula) cu care
se taie profilul evolventic a
Prelucrarea danturii roţilor
l danturii.
Dantura roţilor dinţate se poate executa prin două procedee:
a) Prin copiere: la care se folosesc frezele disc sau frezele deget modul.
Acest procedeu se foloseşte mai rar, datorită productivităţii reduse, erorilor de execuţie.
b) Prin rulare sau rostogolire
Acest procedeu utilizează pentru executarea unei scule de forma cremalierei de
referinţă, cum ar fi: cuţitul pieptene, cuţitul roată, freza melc.
Din FIG. 6.31, rezultă modul de prelucrare a danturii roţii dinţate folosind cuţitul
pieptene.
În FIG. 6.31: I – mişcarea principală a cuţitului;
II – mişcarea de translaţie (avans) a cuţitului;
III – mişcarea de rotaţie a semifabricatului;
Procedeul de prelucrare, prin rulare sau rostogolire este avantajos, întrucât
asigură o precizie de execuţie superioară iar productivitatea este ridicată.
6.8. Elementele geometrice ale roţilor cilindrice cu dinţi drepţi
În funcţie de elementele geometrice ale cremalierei de referinţă se pot definii
principalele elemente geometrice ale roţii dinţate nedeplasate (roată dinţată zero).
În FIG. 6.32: (c.c) – cercul de cap;
(c.d) – cercul de divizare;
d – diametrul de divizare;
a
df – diametrul cercului de picior;
Sd – grosimea dintelui pe cercul de divizare;
p – pasul;
b – lăţimea dintelui;
ha – înălţimea capului dintelui;
(c.f) – cercul de picior;
db – diametrul cercului de bază;
d – diametrul cercului de cap;
hf – înălţimea piciorului dintelui;
h – înălţimea dintelui;
Grosimea unui dinte este egală cu grosimea unui gol dintre dinţi.
La o roată dinţată fără deplasare de profil, cercul de divizare este identic cu
cercul de rostogolire ( ).
Diametrul cercului de rostogolire se notează cu ( ).
wdd ≡
wd
zdp ⋅π
= (43)
zdpm =
π= (44)
Valoarea modulului obţinută cu (44) se standardizează conform STAS 822.
0 (45)
(46)
(47)
mhh *aa ⋅=
mhh ff ⋅= *0
)( *0
*0 fafa hhmhhh +⋅=+=
zmd ⋅= (48)
– numărul d
(49)
hzmhdd −⋅=−= (50)
(51)
z e dinţi al roţilor.
)2(2 *0aaa hzmhdd +⋅=+=
)2(2 *0 fff
0cosα⋅= ddb
22Sd
mp ⋅π== (52)
Distanţa de referinţă dintre axele roţilor:
)(222 21
21 zzmdda = +=+ (53)
S S 6055. Valoarea distanţei dintre axe se standardizează conform TA
Distanţa dintre axe reală: (aw)
La angrenajele fără deplasare de profil: waa = .
La angrenajele cu deplasare de profil: waa ≠ .
Notă
De cele mai multe ori, modulul (m) şi distanţa dintre axe (a), se determină din
calculul de rezistenţă. Apoi valorile lor se sta
6.9. Interferenţa, subtăierea, numărul minim de dinţi al roţilor
Interferenţa
ndardizează
: este fenomenul care
care constă în pătrunderea vârfurilor dinţilor de la roata mare la baza dinţilor roţii mici
se produce în timpul funcţionării angrenajului şi
(pinion) – producând o scobire în aceştia, scobire care duce la micşorarea rezistenţei
mecanice a ei (vezi FIG. 6.33).
Subtăierea: este fenomenul care se produce în timpul prelucrării roţilor prin rulare
pieptene, cuţitul roată sau freza melc şi are acelasi efect
zistenţei mecanice a roţii mici.
sau rostogolire, folosind cuţitul
ca si interferenta – producând slăbirea re
min1 zz < ( =1z Atât interferenţa cât şi subtăierea se produc atunci când:
numărul de dinţi ai pinionului)
Problema care se pune în continuare este să vedem cât trebuie să fie ( minz ) ca
să nu se producă aceste fenomene.Pentru aceasta, varful sculei nu trebuie sa patrunda
in semifabricat dincolo de linia NN’
La danturile fără deplasare de profil dW = d, unde: d – diametrul cercului de
divizare.
Din triunghiul
db – diametrul cercului de bază;
dW – diametrul cercului de rostogolire;
NCN ′∆ : =α
=′
=αsin
2sin*
rh
NCCN OA
α==⇒
α⋅
⋅=
α
⋅=
sin2
sin2
sin2
*
min
**OAOAOA hzzzm
mhd
mh (54)
Pentru: şi , rezultă că: o200 =α=α 1*0 =Ah
17min =z dinţi (teoretic); 14min =z dinţi (practic).
OBSERVAŢII:
1) La un număr de 14 dinţi, subtăierea nu este supărătoare.
2) La roţile cu 171 >z dinţi, practic nu există subtăiere (interferenţă).
3) Se pot folosi roţi cu min1 zz < , executand prelucrare prin copiere, dar în timpul
funcţionării apare interferenţa.
4) Se pot folosi roţi cu min1 zz < - dar în acest caz pentru evitarea subtăierii
(interferenţei) este absolut necesar să se facă o deplasare de profil a danturii.
6.10. Deplasarea de profil a danturii roţilor (corijarea)
Deplasarea de profil nu este compatibilă decât cu dantura în evolventă.
Dacă în procesul danturării, linia de referinţă (M – M) a cr
(care materializează scula de danturare) este tangentă la cercul de divizare (FIG.
6.35.a) – avem de-a face cu o dantură nedeplasată
emalierei de referinţă
sau dantură zero, iar roata dinţată
se num tă dinţată nedeplasatăeşte roa sau zeroroată dinţată .
Dacă în procesul d danturare, linia de referinţă (M – M) a cremalierei de referinţă
(care mate u rializează scula de danturare) se deplasează faţă de cercul de divizare c
distanţ
este deplasată pozitiv
a ( mx ⋅ ), numită deplasarea profilului, unde ( x ) este coeficientul deplasării
profilului – avem următoarele situaţii:
a) Când linia de referinţă (M – M) a cremalierei de referinţă se indepartează cu
distanţa ( mx+ ) faţă de cercul de divizare –dantura .
b) Când linia de referinţă (M – M) a cremalierei de referinţă se apropie cu
distanţa ( ) faţă de centrul rotii –dantura este deplasată pozitivmx− .
În FIG. 6.36:
⎪⎪⎧
>>
La dantura „+”
>
ascuþire
⎪⎪⎩
> vârf.la dintelui⎨a rezultat ca e
f
:
La dantura „-” ⎨
<<<
bazã. la dinteluisubþiere
Arff
aa
dddd
f
aa
hhhh
⎪⎪⎩
⎪⎪⎧ <
a rezultat ca Are
ff
aa
ff
a
hhhh
:
Hotărâtor pentru aceste danturi este valoarea coeficientului deplasării de profil
(x). Criteriile de alegere, limitele şi valorile coeficientului deplasării de profil (x) sunt
tratate în literatura tehnică: luc. [4] – FIG. 2.16; luc.[10].
a
dddd
Să facem o comparaţie între un angrenaj deplasat şi un angrenaj nedeplasat
(angrenaj zero).
În FIG. 6.37 a, avem un angrenaj nedeplasat (zero), iar în FIG. 6.37 b un
angrenaj deplasat.
ajul zero din FIG. 6.37 a, distanţa dintre axe (a) este: La angren
ααα coscoscos22212121 bbbb rrrrdda +
=+=+= (A)
La angrenajul deplasat din FIG. 6.37 b, distanţa dintre axe (aW) este:
W
bbbbWWWa =+=+= 212121 (B)
WW
rrrrddα+
αα coscoscos22
Din (A) şi (B) rezultă relaţia (55):
WW aa
αα
coscos
= (55)
În literatura de specialitate se demonstrează că:
αααα
coscos20 += invinv W (56)
Putem întâlni următoarele cazuri:
Cazul I: Când: x1 = x2 = 0, angrenaj nedeplasat.
Cazul II: Când: x1 + x2 > 0, sau xS = x1 + x2 > 0 atunci:
,,,, 22110 ddddaa WWWW ≠≠>α>α
0),(0 >−
=−=∆>∆m
aayaaaa WW (coeficientul modificării distanţei dintre
axe), angrenaj plus.
Cazul III: Când: x1 + x2 < 0, sau xS < 0 atunci:
,,0 aaWW <α<α 0, <−=∆ yaaa W , angrenaj minus.
Cazul IV: Cand: x1 + x2=0, sau Ix1I = I-x2I atunci:
,,0 aaWW == αα 0,0 ==∆ ya
Deplasarea de profil se face în următoarele scopuri:
a) Realizarea, fără a apărea fenomenul de subtăiere, a unor roţi cu un număr de
dinţi (z) mai mic decât numărul (zmin). Deplasarea minimă necesară este:
171
mi
1
n
min zzz imin z
x −=−
= (57)
b) Realizarea cu două roţi dinţate de modul (m) şi număr de dinti z2
unei distanţe dintre axe standardizate ( ).
(z1) şi ( ) a
STASa
Valoarea de referinţă a distanţei dintre axe este:
)2 (2 1 zzma +=
care se standardizează conform STAS 6055 la ( ) şi rezultă unghiul de
angrenare:
STASa
STASSTAS
cosarccos
coscos
aa
aa WW
αα
αα =⇒=
a deplasărilor de profil (xS) necesară pentru
(58)
În continuare se determină sum
aducerea angrenajului de la (a) la ( STASa ):
ααα
tginv
xxx WS
−⋅=+=
221
21 (59)
unde:
invzz +
α.inv ş se determină din tab
(33).
Apoi (x ) se împarte pe cele două roţi (x şi x2) cu ajutorul tabelelor sau cu
i Winv α. ele sau se calculează cu ajutorul relaţiei
S 1
ajutorul diagramelor.
c) Mărirea capacităţii partante a ang tarea de contact a
flancurilor dinţilor.
Pentru aceasta este necesar să se adopte deplasări de profil pozitive maxime
posibile.
ărirea gradului de acoperire (
renajului la solici
flancurilor, prin creşterea razelor de curbură a
d) M αε ) prin deplasări de profil negative.
6.11. Gradul de acoperire ( αε )
În FIG. 6.38. : A – începutul angrenării;
E – sfârşitul angrenării.
rechea următoare de dinţi să
nu fie în (A) ci în (B). (B se află între A şi C).
Este necesar ca la ieşirea din angrenare în (E), pe
bpeearc >′11 (pasul pe cercul de bază)
.bpAE >
Gradul de acoperire se note ă cu αaz ε şi se defineşte ca fiind:
bb ppAEee
=′
=εα21 (60)
nde: AE = AC + CE u
WW
WWba
Wbaba
WWba
War
rrrCNENCE
r
α+
α−−=−=
α−
sin)
.sin
.sin
21
22
22
2211
2
43421
rrCNANAC −=−= 2
rrrrrAE −−+−= (2222
111 11 22
2
απααπππ coscoscos2221
12
2
1
1 mprzz
rz
rp bbb
b ===+=
Înlocuind în relaţia (60), obţinem:
=α⋅π
−+−=εα
0
2222
cos2211
m
rrrr baba
4342144344214434421a
ma
m
dd
m
ddWWbaba
εεεαπ
ααπαπ cos
sin
2
cos2
1
cos2
22222211
⋅+
⋅
−+
⋅
−= (61)
Făcând notaţiile de mai sus, obţinem:
2,121 >ε−ε+ε=εα a (62)
Gradul de acoperire: arată câte perechi de dinţi intră la un moment dat în
angrenare, pentru ca raportul de transmitere să rămână constant şi angrenarea să fie
continuă, fără întreruperi şi şocuri.
6.12. Forţele din angrenajul cilindric cu dinţi drepţi şi calculul lor
În angrenaj apar în timpul funcţionării, următoarele forţe: forţ le nominalee , forţa
dinamică exterioară, forţa dinamică interioară, forţa de frecare.
Forţele nominale: Dacă se consideră forţa nominală pe dinte (Fn) aplicată în
punctul (C) de rostogolire, se obţine prin descompunere, for
radială (Frw) pe cercul de rostogolire (vezi FIG. 6.39).
ţa tangenţială (Ftw) şi forţa
[ ]Nd
MF
w
rtw
)2(1
)2(1
)2(1
2= (63)
unde: [ ]
[ ] [ mmNrotn
kwPM r ⋅⋅= 6
)2(1
)2(1 10min/
55,9)2(1
]
[ ]NtgFF wtwrw α⋅=)2(1)2(1
(64)
[ ]NF
Fw
twnw α
=cos
)2(1
)2(1 (65)
Pe cercul de divizare, forţele sunt date de relaţiile:
[ ]Nd
MF
rt
)2(1
)2(1
)2(1
2= (66)
[ ]NtgFF tr 0)2(1)2(1α⋅= (67)
[ ]NF
Ft
n0cos
)2(1
)2(1 α= (68)
În FIG. 6.40. : este reprezentată variaţia forţei normale (Fn) pe un dinte din
momentul intrării şi până la ieşirea din angrenare.
.3,1≅med
maxFF
Forţa dinamică exterioară: Această forţă apare în plus peste forţele nominale ale
anturii şi este provocată de fenomene din exteriorul angrenajului - şi anume de
caracteristicile de funcţionare neuniformă ale maşinii motoare şi de lucru, de forţele de
inerţie care apar la porniri şi opriri, modificări de turaţie
Forţa dinamică interioară
d
.
: se datorează erorilor de execuţie, de montaj, erorile
produse de deformaţiile elastice sub sarcina roţilor, arbori
componenţa angrenajului.
Forţa de frecare
lor, lagărelor – care intră în
: În procesul angrenării există o pierdere datorată frecării de
alunecare a flancurilor şi o alta datorată frecării de rost
[4]).
Forţa de frecare din angrenaj:
ogolire a acestora (vezi lucrarea
nf FF ⋅µ= (69)
6.13. Angrenaje cilindrice cu dinţi înclinaţi
Faţă de angrenajele cilindrice cu dinţi drepţi, angrenajele cilindrice cu dinţi
înclinaţi prezintă o serie de avantaje şi dezavantaje.
a) Avantaje
- Datorită intrării treptate în angrenare, şocurile şi vibraţiile sunt reduse – ele
fiind angrenaje mult mai silenţioase.
- Realizează un grad de acoperire mult mai mare ( γε ).
- Numărul minim de dinţi este: zmin < 17 dinţi.
- Rezistă bine la solicitarea de contact şi încovoiere (solicitările importante la
care este supusă dantura).
b) Dezavantaje
- Datorită înclinării danturii cu unghiul ( 0β ), iau naştere forţe axiale mari – care
supraîncarcă lagărele.
- Sunt mai sensibile la abaterea de pas şi profil.
6.13.1. Elementele geometrice speciale
Cremaliera de referinţă a roţii dinţate cu dinţi înclinaţi are dinţi înclinaţi cu unghiul
) – vezi FIG. 6.41.
- planul normal (N – N’).
( 0β
oo 3080 ÷=β
La angrenarea unei roţi dinţate cu dinţi înclinaţi cu o cremalieră se disting planele
(vezi FIG. 6.41) :
- planul frontal (T – T’);
ste remalierei de referinţă cu dinţi drepţi. Pentru prelucrarea roţilor
dinţate cu dinţi înclinaţi se folosesc aceleaşi scule ca şi pentru roţile dinţate cu dinţi
drepţi.
frontal fa
Conturul normal al cremalierei de referinţă cu dinţi înclinaţi este standardizat şi
e identic cu cel al c
Elementele geometrice ale cremalierei de referinţă cu dinţi înclinaţi în planul
ţă de cele din planul normal (vezi FIG. 6.41) sunt:
0
00 =t
pp- pasul frontal: cosβ
n (70)
- modul frontal: 0cosβ
= nt
mm (71)
- unghiul frontal al profilului de referinţă:
0
00 cosβ
α=α n
ttgtg (72)
(unghi de angrenare în plan normal)
- înălţimea dintelui:
o2000 =α=α n
ntn mhhh 25,100 === (73)
Alte elemente geometrice ale roţilor dinţate cu dinţi înclinaţi:
- (74)
- Distanţa dintre axe de referinţă (a):
03
..min..min cos β⋅= drinc zz
0
2121 cos2)(
2 β+
⋅=+=zzmzzma tt (75)
- Distanţa dintre axe reală (aW):
Wt
tW aa
αα
=coscos 0 (76)
unde: - unghiul de angrenare în plan frontal pe cercul de rostogolire.
- Gradul de acoperire (
Wtα
γε ):
βαγ ε+ε=ε (77)
unde: αε - se calculează cu relaţia (61).
00sin
β⋅=β
=ε tgbb (78)
⋅π⋅πβ mm tn
- Coeficientul deplasării de profil (xS), pentru danturile înclinate cu deplasare de
profil:
210
210 )nWt xxzzinv+=
2(
nnn
S tginvx +
⋅−
=α
αα (79)
6.13.2. Roata echivalentă
În FIG. 6.42 : Semiaxele elipsei sunt:
0cos2; == adb
2 βd
Prin secţionarea roţii dinţate cu dinţi înclinaţi cu un plan normal ( NN ′− ) pe
dinte în punctul (M), rezultă o elipsă de divizare.
În s ea ( NN ′−ecţiun ), dimensiunea şi forma danturii înclinate este identică cu
dimensiunea şi forma danturii drepte de modul (mn) şi pas (pn). Rezultă că în această
secţiune se pot aplica relaţiile de calcul de la angrenajele cilindrice cu dinţi i.
Însă dificultatea calculului constă în faptul că această secţiune este o elipsă şi nu
un cerc de divizare.
drepţ
Pentru rezolvarea problem aproximaţie elipsa cu un
cerc fictiv
ei se va înlocui cu suficientă
ne ρ=ρ de rază egală cu raza de curbură a elipsei ( ) – obţinându-se o roată
dinţată cu dinţi drepţi (roată fictivă).
În punctul M (vezi FIG. 6.42):
enn
bad
ρ=ρ==2
2
=β
⋅=
β=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β
==ρ0
20
2
2
0
cos2cos22
cos22
zmdd
dd tn
e
enn zmzm⋅=
β⋅=
2cos2 03 (80)
unde: en zzz==
β03cos
(numărul de dinţi echivalent)
Deci: ne zzz =β
=0
3cos (81)
Lăţimea roţii echivalente: 0cosβ
=bbe (82)
Diametrul roţii echivalente: 0
Raportul de transmitere echivalent:
3cos β==
zmdd nne (83)
1
2
1
0
2
2
1 coszz
z
z
zz
ie
ee =
β==
0cosβ
(84)
6.13.3. Forţele din angrenajul cilindric cu clinaţi şi calculul lor dinţi în
În timpul funcţionării, forţele care iau naştere în angrenaj sunt: forţele nominale,
forţa dinamică exterioară, forţa dinamică interioară, forţa de frecare (ca la angrenajul
cilindric cu dinţi drepţi). Numai că, la angrenajul cilindric cu dinţi înclinaţi, din cauza
înclinării danturii cu unghiul ( ), forţa normală pe dinte este înclinată în planul vertical
(PV) cu unghiul ( ) şi în planul orizontal (Ph) cu unghiul (
0β
tα 0β ) – vezi FIG. 6.43.
Relaţiile de calcul sunt:
[ ]Nd
MF
rt
)2(1
)2(1
)2(1
2= (85)
unde: [ ].)2(1 mmd
[ ][ ] [ ]mmN
kw⋅⋅ 6)2(1
rotnP
M r =)2(1
10min/
55,9)2(1
[ ]NtgF ttFr α⋅=)2(1)2(1
(86)
[ ]NtgFF ta 0)2(1)2(1β⋅= (87)
[ ]NF
Ft
n0cos
)2(1
)2(1 β=′ (88)
[ ]NF
Fnt =co)2(1
t
t
αs)2(1 (89)
[ ]NF
Fn
tn
00 coscos)2(1
)2(1 β⋅α= (90)
Notă:
Elementele geometrice ale angrenajelor cilindrice cu dantură dreaptă şi
înclinată sunt date în TABELUL 6.1.
De asemenea verificările care se fac referitoare la geometria acestor roţi
sunt în TABELUL 6.2.
6.14. Angrenaje cilindrice interioare
Un angrenaj cilindric interior se compune din două roţi dinţate cilindrice, una cu
dantură exterioară (Roata dinţată 1) şi alta cu dantură interioară (Roata dinţată 2) – vezi
FIG. 6.44.
Sensul de rotaţie al ambelor roţi este acelaşi (spre deosebire de angrenajele
cilindrice exterioare la care roţile se rotesc în sensuri diferite).
În acest caz are loc o angrenare între un profil concav (cel al danturii interioare)
şi unul convex (cel al danturii exterioare), ceea ce este foarte avantajos din punct de
vedere al solicitării la contact al danturii.
Se observă din FIG. 6.44 că centrele de curbură (T1) şi (T2) ale profilelor sunt de
aceeaşi parte a punctului de contact (contactul se consideră în polul C).
Linia de angrenare este tot o dreaptă tangentă la cele două cercuri de bază
) şi ( ) în punctele (T1) şi (T2).
ntul (AE) de angrenare este mai mare decât la un angrenaj cilindric
exterior, din care cauză gradul de acoperire la aceste angrenaje este mai mare – ceea
ce con
Angrenajele interioare au de cele mai multe ori dinţi drepţi. Există însă şi
angren
La angrenajele cilindrice interioare cu diferenţe mici între numărul de dinţi ale
roţilor ( ) apare interferenţ ării de profil
şi reducerii valorii coeficientului înălţimii capului dintelui (h0a < 1) se pot obţine angrenaje
interioare cu diferenţa doar de un dinte (
(1bC
2bC
Segme
stituie un avantaj.
aje interioare cu dinţi înclinaţi şi chiar în V.
12 zz − a între profilele danturilor. În urma deplas
112 =− zz ).
Notă:
Pentru angrenajele cilindrice interioare principalele elemente geometrice ale
roţilor sunt date în TABELUL nr. 6.3.
6.15. Angrenaje conice
Angrenajul conic este format din două roţi dinţate care au axele concurente.
Unghiul dintre axe oo 1800 ÷=δ . De obicei o90=δ .
Faţă de roţile dinţate cilindrice, roţile dinţate conice necesită o execuţie şi un
montaj mai precis – ca urmare creşte preţul de cost.
Roţile dinţate conice pot fi:
- cu dinţi drepţi;
- cu dinţi înclinaţi;
- cu dinţi curbi: în arc de cerc, în arc de evolventă, în arc de epicicloidă, în arc
de hipocicloidă.
a) Dantura dreaptă (FIG. 6.45)
Liniile flancurilor sunt drepte echidistante concurente în O.
b) Dantura înclinată (FIG. 6.46)
a dantura înclinată liniile flancurilor dinţilor sunt drepte înclinate, tangente la un
erc de rază (r) al roţii plane.
) Dantura în arc de cerc (GLEASON) – FIG. 6.47
L
c
re liniile flancurilor dinţilor dispuse pe un cerc de rază (dc/2), cu centrele pe
ă (de/2) situate echidistant.
c
A
cercul de raz
d) Dantura în arc de evolventă – dantură paloidă (KLIGELNBERG) – FIG. 6.48
punctele situate pe planul dreptei (
Are liniile flancurilor dinţilor dispuse după o evolventă – descrise de
∆ ), dreaptă care se rostogoleşte fără alunecare pe
cercul de bază de rază (rb).
e) Dantură în arc de epicicloidă
(dantură OERLIKON – SPIROMATIC) – vezi FIG. 6.49
Are liniile flancurilor danturii dispuse după o epicicloidă – descrise de cercul de
rază (rr) care se rostogoleşte fără alunecare pe cercul de bază de rază (rh) – de un
ă
punct (C) al unei drepte solidarizate cu cercul de rază (rr) – cerc de rulare.
f) Dantură în arc de hipocicloid
(dantură OERLIKON – SPIROMATIC) – vezi FIG. 6.49
Modul de obţinere a danturii hipocicloide, este identic cu cel al danturii epicicloide
(vezi mai
Dinţii roţilor conice sunt aşezaţi pe un trunchi de con
sus).
.
În procesul angrenării, fiecărei roţi îi corespunde câte un con de rostogolire (vezi
FIG. 6.51).
2121 ,; ddδ+δ=δ - diametrele de divizare
22
11
22ω=ω=
ddVt În punctul C: .
Raportul de angrenare: 1
2
1
2
2
1dd
zzu ==
ωω
=
Din şi OAC∆ 2
2
1
12
2
11
sin2sin22sin
2sin
δ=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
δ=⇒
=δ
=δ∆
ddOC
OCdOCd
OBC
sau 1
2
1
2sinsin
δδ
=dd
222221
cos)90cos(sinδ=
δ=
δ− 21112
sinsinsin δδ=
δδ
==ω
= tgd
uo
ω d
Deci: 2δ= tgu (91)
Roţile conice cu dantură dreaptă sau înclinată, pot funcţiona la viteze:
mV /12≤ s .
Roţile conice cu dantură curbă, pot funcţiona la viteze: smV /40≤ , asigurând
o funcţionare silenţioasă, un grad mare de acoperire, durabilitate în exploatare, permite
realizarea unor rapoarte mari de angrenare.
Pentru roţile conice cu dantură dreaptă sau înclinată este definită roata plană de
referinţă ale cărei elemente sunt standardizate (STAS 6844).
Roata plană de referinţă materializează în practică scula cu care se taie dantura
roţilor conice.
Pentru roţile conice cu dantură curbă nu există încă standardizată o roată plană
de referinţă, fiecare firmă adoptând mărimi diferite.
Deplasarea de profil - la danturile conice există două tipuri de deplasări de profil,
şi anume: deplasarea de profil radială similară celei de la dantura cilindrică, definită de
coeficientul deplasării de profil radiale ( ); şi deplasarea de profil tangenţialănrx , definită
de coeficientul deplasării de profil tangen e ( tx ). ţial
Deplasarea radială de profil la dantura conică urmăreşte aceleaşi scopuri ca la
Se realizează de obicei un angrenaj conic zero deplasat ( ).
În luc. [4] – Tabelul 12.4, sunt date valori pentru ( ) în funcţie de:
dantura cilindrică.
21 nn rr xx −=
nrx 10, zβ şi
.
deplasar e profil tangenţială se urmăreşte realizarea unei grosimi ma
mari de dinte decât valoarea normală la roata mai solicitată – de obicei pinionul – în
acelaşi timp se micşorează grosimea dintelui roţii conjugate.
Pentru cazu când materialele celor două roţi este acelaşi, în TABELUL nr. 12.5
luc. [4] se indică valori pentru (
12i
Prin ea d i
l
21 ttxx −= ).
6.15.1 Angrenajul înlocuitor (virtual) – Fig. 6.52
În angrenajul concurent conic, angrenarea şi danturile celor două roţi conice sunt
pe o infinit trucât sfera nu
GOLD a introdus aproximaţia ca dantura
conică
ate de sfere corespunzător distanţei faţă de centrul (O). În
poate fi desfăşurată în plan, studiul geometriei şi angrenării este dificil . Pentru a se
putea efectua desfăşurarea în plan, TRED
să nu fie considerată pe sferă ci pe conurile suplimentare.
de1 , de2 – diametrul de divizare pe conul suplimentar exterior;
dm1 , dm2 – diametrul de divizare pe conul suplimentar mediu.
În FIG. 6.52 conurile suplimentare medii împreună cu dantura existentă pe
acestea se pot desfăşura în plan, obţinându-se un angrenaj cilindric înlocuitor sau
virtual (indicele V).
La angrenajul conic cu dantură dreaptă, angrenajul cilindric înlocuitor are dantura
dreaptă, deci este şi angrenaj echivalent (virtual).
La angrenajul conic cu dantură înclinată sau curbă, angrenajul cilindric înlocuitor
va avea dantură înclinată şi aceasta se transformă mai departe într-un angrenaj cilindric
echivalent cu dinţi drepţi.
Deci : Pentru studiul geometric şi cinematic, angrenajul conic poate fi înlocuit
printr-un angrenaj cilindric cu dinţi drepţi – având razele cercurilor de rostogolire egale
cu razele medii.
Roţile cilindrice echivalente (virtuale), se obţin prin desfăşurata conurilor
suplimentare medii în plan, ţinându-se seama de următoarele ipoteze:
a) Modulul roţilor dinţate conice pe conul suplimentar mediu este egal cu modulul roţii
dinţate cilindrice echivalente (virtuale).
b) Înălţimea dintelui roţii dinţate cilindrice echivalente (virtuale) este egală cu înălţimea
dintelui roţii conice, pe conul suplimentar mediu.
c) Razele conurilor de rostogolire ale roţilor dinţate cilindrice echivalente (virtuale) sunt
egale cu razele de divizare de pe conurile suplimentare medii – ale roţilor conice.
d) Forţele din angrenajul cilindric echivalent (virtual) sunt identice cu forţele din
angrenajul conic.
La angrenajul cilindric echivalent (virtual) se modifică:
- diametrul de divizare al roţii echivalente (virtuale):
21 cos;
cos2
21
1 δ=
δ= e
Ve
Vd
dd
d (92)
sau 2211
; VeVVeV zmdzmd ⋅=⋅=
unde: m – modulul exterior, modul care se standardizează conform STAS: 822.
numărul de dinţi:
e
-
2
2
1
1cos
;cos 21 δ
=δ
=zzzz VV (93)
unde: z1, z2 – numărul de dinţi ai roţilor conice.
- raportul de angrenare:
21
12coscos
2
1 δ==
zz
zu
V
VV (94)
δ
z
- diametrul cercului de bază:
α00 cos;cos2211
=α= VbVb VV (95)
aVaaVa VV
dddd
- diametrul de cap al roţii echivalente (virtuale):
2;2 hddhdd +222111
=+= (96)
- distanţa între axe a angrenajului echivalent (virtual):
2V21a VV dd +
(pentru angrenajul zero sau zero deplasat) (97)
6.15.2. Elementele geometrice ale roţii dinţate cu dinţi drepţi (vezi fig.
6.53)
În FIG. 6.53. : δ - semiunghiul cinului de divizare; aδ - semiunghiul conului de
vârf; - semiunghiul conului de fund; - diametrul de picior; - diametrul de
divizare median;
fδ fd md
aθ - unghiul capului dintelui; fθ -
lungimea exterioară a generatoarei de divizare; - lăţimea dintelui; - înălţ
divizare a capului dintelui; ălţimea de divizare a piciorului dintelui; -
lungimea mediană a generatoarei de divizare; - lungimea interioară a generatoarei
de div r cap; - unghiul capului de
divizare al dintelui;
unghiul piciorului dintelui; eR -
b ah imea de
f mR
iR
h - în
iza e; aiH - înălţimea interioară a conului de aγ
fγ - unghiul piciorului de divizare al dintelui; - unghiul picio
dintelu
Calculul elementelor geometrice ale angrenajelor conice cu dinţi drepţi, precum
şi verificarea acestora sunt date în TABEL
entru calculul elementelor geometrice ale angrenajelor conice cu dinţi înclinaţi
şi în arc de cerc – vezi
6.15.3. Forţele din angrenajul conic cu dinţi drepţi şi calculul lor
fθ rului
i; aθ - unghiul capului dintelui.
UL nr. 6.4.
P
Lucrările [3] şi [4].
Forţele care iau parte în angrenajul conic cu dinţi drepţi în timpul funcţionării
sunt: forţele nominale, forţa dinamică exterioară, forţa dinamică interioară, forţa de
frecare (ultimele trei forţe ca la angrenajele cilindrice cu dinţi drepţi).
Angrenajele conice se execută ca angrenaje zero sau zero deplasate, deci conul
de rostogolire coincide cu cel de divizare.
Forţele se determină în secţiunea mediană a danturii şi sunt următoarele (vezi
FIG. 6.54):
[ ]Nd
MF
m
rt
)2(1
)2(1
)2(1
2= (98)
[ ][ ] [ ]mmNrotn
kwPM r ⋅⋅= 6
)2(1
)2(1 10min/
55,9)2(1
[ ]NtgFF rx )2(10 cos)2(1)2(1
δ⋅α⋅= (99)
[ ]NF
Fn cos)2(1 α= ( 0)
coscos δ
r
0
)2(1 10
)2(1)2(1)2(1 )2(10)2(1 ⋅α⋅=δ⋅= tgFFF (101)
1)2(1)2(1
rxr
δ )2(10)2(1 sinsin)2(
⋅α⋅=δ⋅= tgFFF rxa (102)
Când: 2121
;:9021 raar FFFF ===δ+δ o (103) =δ
6.16. ANGRENAJE MELCATE
La aceste angrenaje, axele sunt încrucişate în spaţiu la
Angrenajul melcat este format dintr-un melc
o90 .
şi o roată melcată.
Angrenajele melcate pot fi:
a) Angrenaje melcate cilindrice (FIG. 6.55 a);
b) Angrenaje melcate goloboidale (FIG. 6.55 b).
Avantajele angrenajelor melcate:
- Gabarit redus
- Raport de transmitere mare: 6 < i < 100
- Silenţiozitate în funcţionare
- Au o portanţă mare
Dezavantaje:
- Alunecări mari pe lungimea dinţilor (apare pericolul de gripare)
dament scăzut: 8,065,0 ÷=η - Ran
- Necesită material antifricţiune: roata melcată se confecţionează din fontă sau
bronz
- Necesită uleiuri puternic aditivate.
Aditivii: sunt substanţe chimice care se introduc în uleiuri în scopul îmbunătăţirii
proprietăţilor acestora. Proprietatea cea mai importantă a unui ulei este vâscozitatea.
- Tehnologia de execuţie şi montaj este complicată.
Melcul: constituie roata conducătoare, el fiind un şurub fără sfârşit.
0βEl provine dintr-o roată dinţată având un singur dinte înclinat la un unghi ( ),
care e ât dintele se înfăşoară de mai multe ori pe lăţimea roţii, presa
căpătâ
i (numărul de începuturi).
ste atât de mare, înc
nd aspectul unui şurub.
1z – numărul de dinţi al melculu
41÷=z (începuturi) – vezi TABELUL nr. 6.5. 1
Roata melcată: provine dintr-o roată dinţată cu dinţi înclinaţi care se înfăşoară pe
un melc, ea constituie roata condusă.
Spira melcului: are form ua unei elice, c unghiul de înclinare ) faţă de axa
melcul
ă de melcul de referinţă
( 0β
ui şi unghiul ( 0γ ) faţă de o linie perpendiculară pe axa melcului.
Dantura angrenajului melcat este definit , ale cărui
elemente geometrice sunt date în STAS 6845 .
Angrenajul melcat are modulul: axial (mx), normal (mn) şi frontal (mt).
Între aceste module există relaţia:
2121; nntx mmmm == (104)
Modulul standardizat conform STAS 822 – 82 este:
21 tx mmm ==
x
n
x
nmm
pp
==γ0
001
cos (105)
Din (105), rezultă: 10cos γ⋅= xn mm (106)
defineşte la angrenajul melcat este coeficientul
unde: np0 - pasul normal; xp0 - pasul axial.
O mărime importantă care se
diametral (q)
axial modululreferinþã de diametrul
==dq 01
xm (107)
cu relaţia (107), se adoptă conform
STAS 6845 – 75.
Valoarea lui (q) influenţează caracteristicile angrenajului şi randamentul său.
Astfel pentru q = mic, rezultă: - mare,
Această valoare după ce se calculează
01γ η - mare şi se obţine în final un melc
subţire (care nu rezistă la încovoiere).
Astfel pentru q = mare, rezultă: 01γ - mic, η - mic şi se obţine în final un melc
rigid (rezistent la încovoiere).
În FIG. 6.56 : d0 – diametrul de referinţă;
da – diametrul de cap;
df – diametrul de picior;
h = h0a + h0f (108)
Realizarea practică a melcului se face printr-o operaţie asemănătoare filetarea
pe strung (semifabricatul execută o mişcare de rotaţie iar cuţitul o mişcare de translaţie
de-a lungul generatoarei).
- melc arhimedic (ZA);
ZN1);
- melc cu profil drept in recţiune normală pe gol (ZN2);
După modul de execuţie, melcii pot fi:
- melc în evolventă (ZE);
- melc cu profil drept in recţiune normală pe dinte (
- cu profil drept in recţiune normală pe dinte (ZN1
- melc generat cu freză deget dublu conică (ZK1);
- melc generat cu freză deget conică (ZK2)
Materiale
);
La angrenajul melcat din cauza pericolului ridicat de uzare se folosesc cuple din
materiale antifricţiune, astfel:
Melcii se execută din oţeluri aliate de cementare, dinoţeluri aliate de
Roata melcată sau numai coroana roţii se execută din materiale antifricţiune ca:
bronzurile de staniu, bronzurile de aluminiu, fontă antifricţiune, alia
mase plastice.
iar coroana din bronz – îmbinarea executându-se prin frecare, cu
urubu
ă ale angrenajelor melcate
îmbunătăţire.
je de aluminiu, zinc,
Roţile mai mici se toarnă integral din bronz, iar la cele mari, capul roţii se execută
din fontă cenuşie
ş ri păsuite, prin turnare sau sudare.
6.16.1. Elementele geometrice de baz
Pentru punerea în evidenţă a acestor elemente, vezi FIG. 6.57 şi TABELUL nr.
t cilindric şi calculul lor
6.7.
6.16.2. Forţele din angrenajul melca
În angrenajul melcat cilindr
indric cu dinţi drepţi.
ic iau naştere în timpul funcţionării: forţe nominale,
forţa dinamică exterioară, forţa dinamică interioară, forţa de frecare.
Ultimele forţe (forţa dinamică exterioară, forţa dinamică interioară şi forţa de
frecare) ca la angrenajul cil
Forţele nominale – care acţionează pe melc şi roata melcată se presupun
concentrate în punctul C (vezi FIG. 6.58). Dacă melcul este motor, atunci aceasta va
acţiona cu ) asupra roţii melcate, iar aceasta va reacţiona cu o
forţă egală
o forţa normală ( nF2
( nF ) asupra melcului (vezi FIG. 6.58 b). 1
ră şi forţa de frecare de-a
lungul
La calculul forţelor din angrenajul melcat se conside
dintelui (2na F⋅µ′ ) – vezi FIG. 6.58 c.
aµ′ - coeficientul de frecare a flancurilor dinţilor.
Pentru roţile din fontă = 0,1 ... 0,12.
- unghiul de frecare.
În FIG. 6.58 b, forţa s-a descompus în
aµ′
ϕ′
aarctgµ′=ϕ′
2nF2nF ′ şi iar forţa s-a adus
în proiecţia orizontală a melcului la unghiul de înclinare ( ) faţă de axă (vezi FIG.
6.58 c).
Dacă se compune apoi
2rF2nF ′
01γ
2nF ′ cu (2na F⋅µ′ ) se obţine rezultanta R2 la unghiul de
înclinare .
Prin descompunerea forţei R2 se obţine forţa axială şi tangenţială
aarctgµ′=ϕ′
2aF
2tF .
Calculul forţelor porneşte de la sau 1rM
12 rr MiM ⋅η⋅= )8,065,0( ÷=η .
Din FIG. 6.58 a rezultă:
21211221;;; nnrratat FFFFFFFF ==== (108)
Forţa tangenţială: 2
11
01
2a
rt F
dM
F == (109)
[ ] [ ]mmNrotn
kWPM r ⋅⋅
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅= 6
1
1 10
min
55,91
Din FIG. 6.58 c, rezultă:
112
1 )()( 0101a
tat F
tgF
tgF
F =ϕ′+γ
=ϕ′+γ
= (110)
Din FIG. 6.58 b şi c se deduc relaţiile:
)cos(coscos
01
0020 2212 ϕ′+γ
α⋅ϕ′=α⋅ϕ′=α⋅′== n
tnnnrrtgFtgRtgFFF (111)
Forţa normală pe dinte, rezultă din FIG. 6.58 b
n
rFF 2=n
0sin2 α (112)
Valoarea forţei din relaţia (111), introducându-se în relaţia (112), se obţine: 2rF
n
tnn
FFF
001 cos)cos(cos
212 α⋅ϕ′+γ
ϕ′⋅== (113)
Întrucât ϕ′ este mic, se poate considera 1cos ≈ϕ′ şi ≈ϕ′+γ )cos( 01
01cos γ≈ , relaţia (113) devine:
n
tnn
FFF 2 (114)
001 coscos12 α⋅γ==