CAPITOLUL 2

CAPITOLUL 5ALGORITMI I PROGRAME PENTRU CALCULUL STRATIFICATELOR PLANE

Plcile (panourile) realizate din compozite stratificate i armate cu fibre sunt structurile compozite cele mai des ntlnite n practic. Anizotropia acestor materiale conduce, chiar i n cazul structurilor simple, la calcule laborioase, ce impun realizarea unor programe.

Algoritmizarea calculelor analitice prezentate n capitolul anterior a permis crearea unor programe de calcul, dou dintre acestea, STRATIF i LAMINAT fiind prezentate n continuare.5.1 Algoritm i program pentru calculul analitic al unui stratificat plan, simetric, solicitat mono i biaxial la traciune i compresiunen urma algoritmizrii calculului analitic al unei plci plane din materiale compozite stratificate i armate cu fibre, cu simetrie tip oglind , solicitat mecanic n planul su (paragraful 4.2.2), a fost realizat programul STRATIF.

5.1.1 Obiectivele programului

Programul permite calculul strii de tensiuni dintr-un stratificat plan, armat cu fibre, cu simetrie tip oglind, solicitat mono i biaxial la traciune i compresiune, cum este cel prezentat n figura 5.1.

Numrul de lamine cu fibre orientate la 45 i -45 este acelai.

Programul realizeaz urmtoarele:

- calculul caracteristicilor elastice i mecanice ale unei lamine;

- verificarea stratificatului solicitat mono i biaxial, prin aplicarea la nivelul fiecrui grup de lamine de acelai tip a unor criterii de rupere ale laminelor;

- determinarea tensiunii maxime pe care o poate suporta stratificatul solicitat mono i biaxial; n cazul solicitrii biaxiale programul determin tensiunile cunoscnd un raport R prestabilit ntre tensiunile 0x i 0y ce solicit stratificatul dar i cnd acest raport nu este precizat, ci doar ncrcarea dup una din direcii;

- dimensionarea stratificatului, prin determinarea grosimii fiecrui grup de lamine de acelai tip din componena sa, stratificatul fiind solicitat monoaxial.

analiza postcritic a comportrii plcilor n care unele lamine au cedat.

Fig. 5.1 Stratificat plan simetric solicitat mecanic n planul su

Calculele se efectueaz pentru grupe de lamine de acelai tip, pe baza criteriilor de rupere Tsai-Hill i Tsai-Wu.

Programul sesizeaz iniial doar o cedare total a unui grup de lamine de acelai tip, fr a evidenia i lua n considerare cedarea gradual a laminelor. Dup apariia primelor cedri de lamine, calculul poate fi reluat n condiiile n care stratificatul are o alt configuraie, obinut prin eliminarea laminelor care au cedat. Procesul de calcul poate continua pn la cedarea totala a structurii.

Programul nu precizeaz ns i tipul deteriorrii aprute n laminele care cedeaz sub aciunea ncrcrilor exterioare (ruperi de matrice, ruperi de fibre sau delaminri).

Caracteristicile elastice ale laminelor (El, Et, Glt i lt) ct i cele de rezisten (lr, tr i ltr) trebuie determinate experimental sau cu ajutorul acestui program, folosind regula amestecului.

5.1.2 Criterii de cedare utilizate n program

Tensiunile l, t i lt din fiecare grup de lamine de acelai tip, tensiuni raportate la sistemul local de axe al laminelor, se determin cu relaia matriceal (4.34). Aceste tensiuni se folosesc pentru aplicarea unor criterii de cedare (rupere), care, aa cum s-a precizat n capitolul 3, se aplic la nivelul laminelor, nu al ntregului stratificat.

Pentru estimarea comportrii laminelor la rupere, n program au fost utilizate criteriile de cedare Tsai-Hill i Tsai-Wu.

Criteriul Tsai-Hill pentru un grup de lamine "k" de acelai tip ale unui stratificat plan are forma (3.8) [1], [2], [18]:

(5.1)unde lr, tr i ltr, reprezint tensiunile normale de rupere la traciune ale unei lamine, pe direcia fibrei i pe direcia normal la fibre, respectiv tensiunea tangenial de rupere la traciune a unei lamine.

Criteriul Tsai-Wu pentru un grup de lamine "k" de acelai tip ale unui stratificat plan are expresia [1], [2], [18]:

(5.2)unde i reprezint tensiunile normale de rupere prin compresiune ale unei lamine pe direcia fibrei, respectiv pe direcia normal la fibre.

5.1.3 Structura programului

Programul are cinci lanuri principale prin intermediul crora se pot efectua calcule de verificare, de dimensionare, de determinare a tensiunii maxime admisibile suportate de un stratificat armat cu fibre orientate sub diferite unghiuri, analize postcritice, precum i determinarea caracteristicilor elastice i de rezisten ale unei lamine [3], [4].

Datele de intrare ale programului, indiferent de tipul analizei ce se va realiza cu ajutorul su, sunt [5], [6]:

-

unde:

- p(0) - proporia laminelor avnd fibrele orientate la 0;

- p(90) - proporia laminelor cu fibrele orientate la 90;

- El - modulul de elasticitate longitudinal al laminei, pe direcia axei Ol, direcie ce coincide cu orientarea fibrelor (MPa);

- Et - modulul de elasticitate transversal al laminei, pe direcia axei Ot, normal la direcia de armare (MPa);

- Glt - modulul forfecare al laminei, raportat la planul Olt (MPa);

- nlt - coeficientul lui Poisson, raportat la axele de ortotropie ale laminei;

- - tensiunea normal de rupere la traciune pe direcia fibrei (MPa);

- - tensiunea normal de rupere la traciune pe direcie normal la fibr (MPa);

-- tensiunea tangenial de rupere la traciune (MPa).

5.1.3.1 Algoritmul de determinare a caracteristicilor elastice ale laminelor

Caracteristicile elastice i de rezisten ale laminelor se determin cu ajutorul relaiilor ce au la baz regula amestecului (paragraful 2.4).

Schema logic a acestui modul de calcul este prezentat n figura 5.2.

Fig. 5.2 Schema logic a modulului de determinare a caracteristicilor elastice ale laminei (CAREL)Pentru determinarea caracteristicilor laminei, programul cere urmtoarele date de intrare:

- Mf - procentul masic al fibrelor;

- f - densitatea materialului fibrei (kg/m3);

- m - densitatea materialului matricei (kg/m3);

- Ef - modulul de elasticitate longitudinal al fibrei (MPa);

- Em- modulul de elasticitate longitudinal al matricei (MPa);

- Eft - modulul de elasticitate al fibrei pe o direcie transversal pe direcia fibrelor (MPa);

- Gflt - modulul de elasticitate transversal al fibrei (MPa);

- Gm - modulul de elasticitate transversal al matricei MPa);

- f - coeficientul lui Poisson pentru materialul fibrei;

- m - coeficientul lui Poisson pentru materialul matricei;

- fr - rezistena de rupere prin traciune a laminei (MPa).

Se face precizarea c, nu este necesar numrul de lamine al stratificatului, deoarece se lucreaz cu proporii ale laminelor, aa cum a fost precizat n (4.27). Proporiile laminelor cu fibre orientate la 45 i -45au valori egale.

Toate aceste caracteristici ale materialelor care intr n componena stratificatului (fibre i matrice) sunt precizate de ctre productorul acestora.

Cu ajutorul relaiilor (2.4), (2.5), (2.6), (2.7) i (2.9) sunt determinate urmtoarele caracteristici elastice i de rezisten ale unei lamine: El, Et, Glt ,lt, ,i

5.1.3.2 Algoritmul de verificare

Permite verificarea stratificatului solicitat mono i biaxial cu ajutorul a dou criterii de cedare: Tsai-Hill i Tsai-Wu.

La datele generale de intrare se adaug urmtoarele:

- s0x - tensiunea normal de solicitare pe direcia axei x, pentru solicitarea monoaxial;

- s0x i s0y - tensiunile normale de solicitare pe direcia axei x, respectiv y, pentru solicitarea biaxial;

- lrc i trc - tensiunile normale de rupere prin compresiune ale unei lamine pe direcia fibrei, respectiv pe direcia normal la fibre, necesare aplicrii criteriului Tsai-Wu.

Pentru ncrcarea monoaxial tensiunile din lamine se determin cu ajutorul relaiei (4.34), care n acest caz devine:

(5.3)Prin aplicarea criteriilor de rupere menionate, se determin ak pentru fiecare grup de lamine cu aceeai orientare a fibrelor i dac ak 1, stratificatul rezist.

Programul afieaz pentru fiecare grup de lamine de acelai tip dac este satisfcut sau nu criteriul de rupere utilizat.

Dac ncrcarea este biaxial, se adaug i tensiunea care solicit stratificatul pe cea de a doua direcie, relaia (4.34) devenind:

(5.4)Tensiunile din lamine obinute se introduc ntr-unul din cele dou criterii de rupere i se constat dac stratificatul rezist.

Fig. 5.3 Schema logic a modulului de verificare (VERIF)

Programul afieaz i n acest caz valorile lui ak, specificnd dac criteriul este satisfcut.

n figura 5.3 este prezentat schema logic a algoritmului de verificare.

5.1.3.3 Algoritmul de calcul al tensiunii maxime admisibile

Permite determinarea tensiunii maxime admisibile pentru ncrcare mono i biaxial, pentru aceasta din urm calculul efectundu-se n dou situaii:

- ntre tensiunile s0x i s0y exist un raport R, prestabilit;

- nu exist un raport prestabilit ntre cele dou tensiuni.

Tensiunea maxim admisibil se determin cu ajutorul criteriului de rupere Tsai-Hill, att cnd ntre cele dou tensiuni exist raportul R, ct i cnd acesta nu exist, dar i cu criteriul Tsai-Wu, numai pentru situaia n care exist raportul R.

Datelor generale de intrare li se mai adaug urmtoarele:

- R = s0x / s0y , atunci cnd acesta exist;

- s0x sau s0y cnd nu se cunoate R;

- lrc i trc - tensiunile normale de rupere la compresiune ale unei lamine pe direcia fibrei, respectiv pe direcia normal la fibre, necesare aplicrii criteriului Tsai-Wu.

Cnd ncrcarea este monoaxial, pentru fiecare unghi de orientare a fibrelor este valabil relaia:

(5.5)

Relaia (5.5) permite determinarea tensiunilor din lamine pentru o ncrcare exterioar monoaxial s0x = 1 MPa.

Pot fi calculate acum valorile lui pentru orice lamin "k", utiliznd unul din cele dou criterii de rezisten. Tensiunea normal maxim cutat, se obine prin nmulirea tensiunilor sl , st i tlt determinate anterior, cu raportul [7].

Criteriul Tsai-Hill, va avea forma:

(5.6)

Cum termenul dintre acolade este de fapt (vezi relaia (5.1)), rezult:

(5.7)

Din examinarea fiecrei lamine n parte se obine o valoare diferit pentru. Dintre toate aceste valori tensiunea admisibil va fi dat de minimul raportului , deoarece pentru valori ce depesc aceast limit pot s apar deteriorri (ruperea unor fibre, cedarea matricei, delaminri etc.).

Fig. 5.4 Schema logic a modulului de determinare a tensiunii maxime admisibile (TENMAX)n cazul ncrcrii biaxiale, pentru care se cunoate raportul R al tensiunilor pe cele dou direcii, tensiunile unitate dintr-o lamin (grup de lamine de acelai tip) se calculeaz cu relaia:

(5.8)

Aplicnd criteriile de rupere menionate se determin minimul raportului 1/ak, de fapt tensiunea maxim admisibil pe direcia axei x, cealalt determinndu-se prin cunoaterea lui R.

Programul afieaz tensiunile maxime suportate de fiecare grup de lamine de acelai tip, alegnd n final cea mai mic valoare a acestora drept tensiune maxim admisibil a stratificatului.

Dac nu se cunoate raportul R ntre cele dou tensiuni ce solicit stratificatul, programul permite urmtoarele:

- determinarea tensiunii maxime admisibile pe direcia axei y, atunci cnd se cunoate ncrcarea s0x;

- determinarea tensiunii maxime admisibile pe direcia axei x, atunci cnd se cunoate ncrcarea s0y.

Pentru situaia n care se cunoate s0x, relaia utilizat n program are forma:

(5.9)

Tensiunile sl(Y), st(Y) i tlt(Y) determinate mai sus n funcie de tensiunea necunoscut Y se introduc n criteriul Tsai-Hill, care aplicat la limit (ak = 1), permite pentru fiecare lamin determinarea tensiunii maxime admisibile s0y max, cnd se cunoate tensiunea pe direcia axei x. Tensiunea maxim admisibil a stratificatului va fi minimul valorilor obinute pentru fiecare grup de lamine de acelai tip.

Asemntor se procedeaz i cnd este cunoscut tensiunea s0y i se dorete determinarea celei maxime admisibile pe direcia axei x.

Relaia (5.9) devine:

(5.10)

Tensiunea necunoscut X se determin n mod analog cazului precedent.

Programul afieaz tensiunea maxim admisibil pe direcia pe care nu se cunoate ncrcarea.

Pentru acest modul de calcul, schema logic este prezentat n figura 5.4.

5.1.3.4 Algoritmul de dimensionare

Permite determinarea grosimii h a stratificatului prin nsumarea grosimilor ek (k = 1 n) ale tuturor laminelor cu fibre orientate sub acelai unghi (lamine de acelai tip), ct i a numrului de lamine din fiecare tip n parte.

Fig. 5.6 Schema logic a modulului de calcul pentru dimensionare (DIMENS)

La datele de intrare generale prezentate mai sus se adaug ncrcrile exterioare: Nx, Ny i Txy (fig. 5.1).

Relaia (4.34) are n acest caz urmtoarea form:

(5.11)

Dup determinarea tensiunilor sl', st' i tlt' dintr-o lamin se aplic criteriul Tsai-Hill, care permite aflarea grosimilor ek ale tuturor laminelor de acelai tip, din relaia:

k = 1 4.

(5.12)

Grosimea stratificatului va fi obinut prin nsumarea celor patru grosimi ek ale laminelor orientate sub unghiurile de 0, 90, 45 i -45.

Numrul de lamine din componena fiecrui tip de lamine se stabilete prin mprirea grosimilor ek la grosimea unei lamine (0,13 - 0,14 mm reprezint grosimea minim a unei lamine, menionat n literatura de specialitate [2]), urmat de considerarea prii ntregi a rezultatului obinut, potrivit relaiei:

nk = [(ek / 0.14) + 1].

(5.13)

Programul afieaz grosimile ek ale laminelor de acelai tip, numrul de lamine Nk din componena fiecrui tip de lamine i grosimea stratificatului h.

Schema logic a acestui modul de calcul este prezentat n figura 5.6.

n figura 5.7 este prezentat o schem logic parial a programului STRATIF (fr calcul postcritic), n care se pot vedea cele patru module prezentate anterior.

5.1.3.5 Modulul de calcul postcritic

Cu ajutorul acestuia poate fi efectuat analiza postcritic (dup apariia primelor cedri de lamine) a plcilor plane realizate din compozite stratificate, armate cu fibre, solicitate n planul lor. Dup afiarea rezultatelor modulului VERIF i odat cu apariia cedrilor de lamine, calculul poate fi reluat n condiiile n care compozitul are o alt configuraie, obinut prin eliminarea laminelor care au cedat.Poate fi stabilit acum i noua sarcin capabil. Calculul poate continua pn la cedarea total a structurii sau poate fi oprit cnd se dorete.

n figura 5.8 este prezentat schema logic a programului STRATIF [8], [9], [15], [16], [17].

Fig. 5.7 Schema logic parial a programului STRATIF (fr calcul postcritic)

Fig. 5.8 Schema logic a programului STRATIF5.1.4 Descrierea programului

Programul surs STRATIF este scris in limbaj C, are 763 linii i 18685 bytes, iar programul executabil are 57399 bytes.

Principalele funcii (proceduri) ale programului sunt:

- Funcia CITIRE: permite citirea datelor caracteristice unei lamine (proporii de fibre, module de elasticitate, coeficieni Poisson, tensiuni de rupere etc.);

- Funcia CALCUL_E: calculeaz pentru fiecare grup de lamine, elementele matricei n funcie de unghiul q de orientare a fibrelor, utiliznd (4.11) ;

- Funcia CALCUL_A: calculeaz elementele A'ij ale matricei [A'], potrivit relaiei (4.27);

- Funcia CAREL: calculeaz caracteristicile elastice ale unei lamine folosind regula amestecului;

- Funcia NON_-0: verific dac pe o coloan exist un element nenul cnd pivotul este nul i "ntoarce" numrul liniei al crui element este diferit de zero;

- Funcia INTER_SCH: schimb ntre ele dou linii cnd pivotul este nul;

- Funcia INV_MAT: calculeaz inversa unei matrice conform procedeului Gauss;

- Funcia INMUL_MAT: nmulete dou matrice;

- Funciile INMUL_POL, INMUL_POL_S, SCADE_POL, REZ_EC: sunt folosite pentru operaii cu polinoame i pentru rezolvarea ecuaiei de gradul al doilea;

- Funcia CALCUL_T: calculeaz elementele matricei [T] din relaia (4.32), [T] fiind matricea de transfer dintre cele dou sisteme de axe;

- Funcia CALCUL_S: calculeaz pentru fiecare grup de lamine de acelai tip tensiunile raportate la sistemul local de axe, utiliznd relaia (4.34);

- Funcia CALCUL_S_NEC_X: calculeaz pentru fiecare unghi q tensiunile n funcie de X, tensiuni raportate la axele de ortotropie ale laminei, conform relaiei (5.10);

- Funcia CALCUL_S_NEC_Y: calculeaz pentru fiecare unghi q tensiunile n funcie de Y, tensiuni raportate la axele de ortotropie ale laminei, conform relaiei (5.9);

- FunciaVERIF_TSAI_HILL: aplic criteriul Tsai-Hill pentru verificarea stratificatului, conform relaiei (5.1);

- Funcia VERIF_TSAI_WU: aplic criteriul Tsai-Wu pentru verificarea stratificatului, conform relaiei (5.2);

- Funcia CRIT_TSAI_HILL: calculeaz tensiunile maxime admisibile, potrivit relaiei (5.6);.

- Funcia CRIT_TSAI_WU: calculeaz tensiunile maxime admisibile;

- Funcia CALCUL_TSAI_HILL: este folosit n calculul tensiunii maxime admisibile cu criteriul Tsai-Hill, cnd se cunoate tensiunea admisibil pe o direcie i se dorete aflarea celei maxim admisibile dup cealalt direcie;

- Funcia CALCUL_DIM: calculeaz grosimea laminelor stratificatului ct i numrul de lamine de un anumit tip, conform algoritmului de dimensionare.

5.1.5 Aplicaii

1. S se determine valoarea tensiunii maxime s0x pe care o poate suporta un stratificat armat cu fibre de sticl, solicitat biaxial, dac tensiunea pe cealalt direcie este s0y = 100 MPa. Stratificatul este simetric, laminele din alctuirea sa avnd urmtoarele caracteristici:

- p(0) = 0,3; p(90) = 0,3; El = 134000 MPa; Et = 7000 MPa; Glt = 4200 MPa; ult = 0,25;

-

Criteriul Tsai-Hill conduce la urmtoarele rezultate:- tensiunea s0x maxim suportat de laminele orientate la 0: s0x = 524,35 MPa;- tensiunea s0x maxim suportat de laminele orientate la 90: s0x = 350,24 MPa;- tensiunea s0x maxim suportat de laminele orientate la 45: s0x = 437,19 MPa;- tensiunea s0x maxim suportat de laminele orientate la -45: s0x = 437,19 MPa.

2. S se dimensioneze un compozit stratificat grafit epoxy avnd fibrele orientate sub unghiurile 0, 90, 45 i -45, dac se cunosc urmtoarele caracteristici ale laminelor din componena sa:

- p(0) = 0,3; p(90) = 0,3; El = 134000 MPa; Et = 7000 MPa; Glt = 4200 MPa; ult = 0,25;

-

Stratificatul este solicitat de: Nx = -800 N; Ny = -900 N i Txy = -340 N.

n urma efecturii calculelor cu programul STRATIF s-au obinut urmtoarele rezultate:

- grosimea laminelor orientate la 0: e0 = 2,01 mm;

- grosimea laminelor orientate la 90: e90 = 2,15 mm;

- grosimea laminelor orientate la 0: e45 = 1,13 mm;

- grosimea laminelor orientate la 0: e-45 = 2,64 mm;

- numrul de lamine orientate la 0: n0 = 15;

- numrul de lamine orientate la 90: n90 = 16;

- numrul de lamine orientate la 45: n45 = 9;

- numrul de lamine orientate la -45: n-45 = 19.Calculul analitic de rezisten al plcilor realizate din materiale compozite stratificate i armate cu fibre, poate fi uor efectuat numai cu ajutorul unor programe de calcul. Aceste programe permit chiar i analize postcritice (dup apariia primelor cedri de lamine) dar nu pot preciza tipul deteriorrii laminelor.5.2 Algoritm i program pentru calculul analitic al unui stratificat plan, solicitat mecanic i termicn cazul plcilor plane realizate din compozite stratificate i armate cu fibre, solicitate mecanic n cazul general dar i termic, calculele analitice sunt mult mai complicate dect atunci cnd se analizeaz plci plane cu simetrie tip oglind , solicitat mecanic n planul su.

Algoritmizarea calculelor analitice prezentate n capitolul 4 (paragrafele 4.2.3, 4.2.4 i 4.2.5) precum i a celor din lucrrile [10] i [11] a permis crearea unui program (LAMINAT) deosebit de eficient, destinat calculului analitic al unei plci plane, realizat din materiale compozite stratificate i armate cu fibre, solicitat mecanic i termic.

5.2.1 Obiectivele programului

Programul permite calculul strii de tensiuni dintr-un stratificat plan, simetric, armat cu fibre, solicitat mecanic (la ntindere biaxial i ncovoiere) i termic [12], [13].

Programul realizeaz urmtoarele:

- determinarea deformaiilor specifice liniare i unghiulare pentru fiecare lamin din componena stratificatului, deformaii raportate la cele dou sisteme de axe (local i global);

- determinarea tensiunilor normale i a celor tangeniale de pe fiecare fa a oricrei lamine, tensiuni raportate att la sistemul global de axe ct i la cel local;

- verificarea stratificatului, prin aplicarea criteriului de cedare Tsai - Hill, pe ambele fee ale fiecrei lamine;

- trasarea diagramelor de variaie ale deformaiilor specifice i ale tensiunilor pe grosimea stratificatului, vizualizarea deformatei plcii stratificate.5.2.2 Prezentarea programului

Programul LAMINAT cuprinde:

5.2.3 Structura programului

Programul este structurat pe cele patru module prezentate mai sus in schema logic [14]. Pe aceste module s-a construit interfaa cu utilizatorul, care cuprinde n meniuri mai multe funcii pentru introducerea datelor de intrare i procesarea lor.

Principalele funcii sunt :

1. Materiale

Introducerea datelor despre materiale (module de elasticitate: E11 = El, E22 = Et, G12 = Glt, coeficieni de dilatare, rezistene admisibile de rupere la traciune i compresiune, rezistene la forfecare ale laminelor). Se pot introduce un numr de maxim 15 materiale. Nu se accept dou materiale cu aceeai denumire.

2. Stratificat

Se pot introduce cel mult 19 stratificate.

Maxim 70 de lamine sunt acceptate pentru fiecare stratificat.

Se introduc date referitoare la:

Temperatura de polimerizare;

Temperatura ambiant ;

Materialul fiecrei lamine;

Orientarea fibrei n lamin;

Grosimea laminei.

3. ncrcri

Se pot introduce ncrcri de tip for: Nx, Ny, Txy n [N/mm] i momente: Mx, My, Mxy n [N].

De asemenea, pot fi impuse deformaii liniare i unghiulare.

Stratificatele mai pot fi supuse, pe grosimea lor, unor variaii de temperatur, generatoare de tensiuni suplimentare datorit fenomenelor de dilatare mpiedicat. Cauza acestor fenomene o reprezint coeficienii de dilatare diferii ai matricei i fibrelor dar i caracterul anizotrop al acestor materiale.

Sunt luate n consideraie alte dou surse cauzatoare de tensiuni: temperatura de polimerizare (obinut de la fabricant) i temperatura de lucru.

4. Analiz

Plcile pot fi solicitate la traciune - compresiune biaxial, rsucire, ncovoiere i termic.

Fibrele pot fi orientate sub diverse unghiuri.

Programului i pot fi date urmtoarele comenzi:

- + pentru a tipri la imprimant rezultate numerice, tabele i grafice.

- + pentru a exporta date ASCII de la LAMINAT. EXE.

5. Salvare pe disc

Cu aceast opiune, materialele introduse, cu ntreg setul de date care reprezint caracteristicile elastice i de rezisten ale acestuia, sunt salvate ntr-un fiier.

6. Soluii

Acest modul calculeaz matricea ABC cu relaiile existente n capitolul 4 i n lucrrile [10] i [11], dup care vizualizeaz rezultatele existente.

- ABC: Calculeaz matricea ABC, care se folosete la calculul tensiunilor n sistem local i global de axe;

- Inversa ABC: Cu aceast opiune se calculeaz inversa matricei ABC, cnd sunt impuse deplasri liniare sau unghiulare;

- Vectori: Aceast opiune permite vizualizarea vectorilor ncrcrilor;

- Grafic: Partea grafic permite vizualizarea structurii deformate datorat solicitrilor mai sus amintite, permind att afiarea deformatei sub efectul unui singur factor (mecanic, termic etc.) ct i cumulat.

Se poate vizualiza distribuia de tensiune n sistem global i local, respectiv: x, y, xy, l, t, lt.

- Tensiuni: In acest submodul sunt afiai i calculai coeficienii k, determinai prin intermediul criteriului de rupere Tsai-Hill (egali cu inversul lui k din programul anterior vezi relaiile (5.1)), dup care acetia se compar cu unitatea.

Interpretarea rezultatelor se face astfel:

- dac valoarea lui k este mai mare ca 1 - stratificatul rezist sub aciunea factorilor exteriori;

- dac valoarea lui k este mai mic dect 1 - stratificatul nu rezist sub aciunea factorilor exteriori.

5.2.4 Aplicaii

Aplicaia 1. S se verifice cu ajutorul criteriului Tsai - Hill un compozit stratificat realizat din sticl E - epoxy (EEPOX), avnd n componena sa patru lamine identice de grosime 0,5 mm. Laminele stratificatului au fibrele orientate la 0 (0/0/0/0).

Stratificatul este solicitat biaxial n planul su, ca n figura 5.9, de forele Nx = 500 N/mm i Ny = 50 N/mm.

Fig. 5.9 Stratificat (0/0/0/0) din EEPOX, solicitat n planul su

Caracteristicile elastice i de rezisten ale unei lamine sunt:

- modulul de elasticitate longitudinal al laminei, pe direcia axei Ol, El = 39000 MPa;

- modulul de elasticitate transversal al laminei, pe direcia axei Ot, Et = 8600 MPa;

- modulul de forfecare al laminei, Glt= 3800 MPa;

- coeficientul lui Poisson n planul Olt, lt= 0,28;

- rezistena de rupere la traciune a fibrelor, af = 1080 MPa;

- rezistena de rupere la traciune a matricei, am = 39 MPa;

- rezistena de rupere la compresiune a fibrelor, cf = 620 MPa;

- rezistena de rupere la compresiune a matricei, cm = 128 MPa;

- rezistena de rupere la forfecare, af = 89 MPa.

Rezultatele obinute cu programul LAMINAT sunt urmtoarele:

- tensiuni: x= l = 250 MPa; y= t = 25 MPa; xy= lt = 0, aceleai pentru toate laminele;

- deformaii specifice: x = l = 0,6128; y = t = 0,09839; xy = lt = 0, aceleai pentru toate laminele;

- k = 1,476 > 1, k = 1 4, deci stratificatul rezist.

Aplicaia 2. Se consider un stratificat realizat din ase lamine de grosime 0,5 mm, avnd o simetrie tip oglind [(0/90/0)]S, solicitat ca n figura 5.10 de forele Nx = 800 N/mm, Ny = 50 N/mm , Txy = 10 N/mm i de momentul Mx = 10 N.S se verifice stratificatul cu ajutorul criteriului Tsai - Hill, cunoscnd caracteristicile elastice i de rezisten ale laminei, realizat din sticl S - epoxy (SEPOX):

El = 43000 MPa; Et = 8900 MPa; Glt= 4500 MPa; lt= 0,27; af = 1280 MPa; am = 49 MPa; cf = 690 MPa; cm = 158 MPa; af = 69 MPa;

Fig.5.10 Stratificat [(0/90/0)]S din EEPOX, solicitat mecanic la ncovoiere

Utiliznd programul LAMINAT se obin rezultatele:

- lmax= 371,2 MPa, n partea de jos a laminei 6;

- tmax= 75,59 MPa, n laminele 2 i 5 cu fibre orientate la 90 fa de direcia axei Ox.

- ltmax= 3,33 MPa, n toate laminele.

Variaia acestor tensiuni poate fi observat n faza de postprocesare a rezultatelor, deoarece programul dispune de o grafic deosebit n acest sens.

Figura 5.11 prezint variaia tensiunilor l din lamine pentru stratificatul studiat, aa cum apare ea n urma utilizrii programului LAMINAT.

Dup aplicarea criteriului Tsai Hill se constat c laminele cu fibre orientate la 90 fa de direcia axei Ox (laminele 2 i 5) cedeaz n urma solicitrilor mecanice.

Pentru cele ase lamine, se obin urmtorii coeficieni k: lamina 1 (sus) - k = 2,056 > 1 - rezist; lamina 2 (sus) - k = 0,667 < 1 - nu rezist; lamina 2 (jos) - k = 0,662 < 1 - nu rezist; lamina 3 (sus) - k = 2,023 > 1 - rezist; lamina 3 (jos) - k = 2,022 > 1 - rezist; lamina 4 (jos) - k = 2,012 > 1 - rezist; lamina 5 (sus) - k = 0,652 < 1 - nu rezist; lamina 5 (jos) - k = 0,648 < 1 - nu rezist; lamina 6 (sus) - k = 2,001> 1 - rezist; lamina 6 (jos) - k = 1,99 > 1 - rezist.

Fig. 5.11 Variaia tensiunilor l din lamine pentru stratificatul [(0/90/0)]S

Aplicaia 3. Un stratificatul simetric [(0/45/-45/0)]S alctuit din opt lamine de grosime 0,5 mm este realizat dintr-un compozit carbon - epoxy (CEPOX), ale crui lamine au urmtoarele caracteristici:

El = 142000 MPa; Et = 10300 MPa; Glt= 7200 MPa; lt= 0,27; af = 2280 MPa; am = 57 MPa; cf =1440 MPa; cm = 228 MPa; af = 71 MPa.

Solicitrile stratificatului sunt cele din figura 5.12, dup cum urmeaz:

- forele: Nx = 1000 N/mm, Ny = 500 N/mm i Txy = 300 N/mm i momentele Mx = 200 N i My = 600 N i Mxy = 400 N.

- solicitri termice: temperatura pe faa de sus = 30C i temperatura pe faa de jos = 80C.

Cu ajutorul programului LAMINAT au fost determinate tensiunile din laminele stratificatului, dup care a fost aplicat criteriul Tsai Hill n vederea verificrii structurii.

Fig. 5.12 Stratificat simetric [(0/45/-45/0)]S din CEPOX, solicitat mecanic n planul su i termic datorit unei diferene de temperaturTensiunile normale l, t i cele tangeniale lt din lamine, sunt prezentate n tabelul 5.1.

n figura 5.13 se observ variaia tensiunilor normale t din stratificat, pe grosimea lui.

Aplicarea criteriului de cedare Tsai - Hill conduce la rezultatele prezentate n tabelul 5.2, n ordinea cresctoare a valorilor coeficienilor k, k = 1 8.Tabel 5.1 Tensiunile normale l, t i cele tangeniale lt din laminele stratificatului CEPOX [(0/45/-45/0)]SNr.

lam.MaterialGros.

[mm]Unghi

[]l (sus)

[MPa]l (jos)

[MPa]t (sus)

[MPa]t (jos)

[MPa]lt (sus)

[MPa]lt (jos)

[MPa]

1CEPOX0,50389367.4-39.87-20.69-13.87-4.28

2CEPOX0,545-74.33155.83.168.73-41.17-24.85

3CEPOX0,5-4552.5296.2114.3229.9624.858.53

4CEPOX0,50-324.1302.417.6636.8314.9124.5

5CEPOX0,50302.4280.736.835624.534.09

6CEPOX0,545183.6227.361.2576.9-24.1-40.41

7CEPOX0,5-451076130731.0336.6140.4156.73

8CEPOX0,50237.4215.894.35113.553.2862.87

Fig. 5.13 Variaia tensiunilor normale t din laminele stratificatului [(0/45/-45/0)]S

Tabelul 5.2 Rezultatele criteriului Tsai - Hill pentru stratificatul CEPOX

[(0/45/-45/0)]SMaterialUnghi []Numr lamin i poziieValoare kConcluzii

CEPOX08 (jos)0.4586nu rezist

CEPOX08 (sus)0.5497nu rezist

CEPOX-456 (jos)0.6819nu rezist

CEPOX457 (jos)0.8543nu rezist

CEPOX-56 (sus)0.8859nu rezist

CEPOX05 (jos)0.9098nu rezist

CEPOX457 (sus)1.093rezist

CEPOX04 (jos)1.346rezist

CEPOX05 (sus)1.346rezist

CEPOX452 (sus)1.71rezist

CEPOX-453 (jos)1.851rezist

CEPOX-453(sus)2.319rezist

CEPOX04 (sus)2.507rezist

CEPOX452 (jos)2,527rezist

CEPOX01 (sus)3.149rezist

CEPOX01 (jos)5.045rezist

Se observ c laminele 5, 6, 7 i 8 nu rezist solicitrilor mecanice i termice aplicate stratificatului.

Interpretarea i vizualizarea rezultatelor poate fi efectuat mult uor i eficient cu ajutorul graficii de care dispune programul LAMINAT (diagrame de tensiuni i deformaii specifice, deformata structurii etc.)

Bibliografie1. Hadr, A., Probleme locale la materiale compozite, Tez de doctorat, U.P.B., 19972. Gay, D., Matriaux composites, Editions Hermes, Paris, 19913. Constantin, N., Jiga, G., Hadr, A., Numerical Approaches in the Calculus of Laminates, International Conference of Composites Engineering, New Orleans, 21-24 August, 1995, p. 157-158

4. Constantin, N., Jiga, G., Hadr, A., Numerical Modelling of Fiber Reinforced Composite, The 4th European Conference on Advanced Materials Processes, Italia, Padua/Venice, 25-28 septembrie, 1995, p. 521-5245. Hadr, A., Jiga, G., Constantin, N., Mare, C., Program de calcul al unui material compozit stratificat, armat cu fibre, Revista Construcia de maini, Bucureti, nr. 8-9, august - septembrie 1995

6. Jiga, G., Constantin, N., Hadr, A., N. Goga, Numerical Calculus of Biaxial Loaded Laminates, Ediia I-a a Conferinei Naionale Optimizarea proiectrii i tehnologiilor de prelucrare n construcia de maini, Academia Romn Filiala Iai, Bacu, 1995, pag. 26-307. Gheorghiu, H., Hadr, A., Constantin, N., Analiza structurilor din materiale izotrope i anizotrope, Editura Printech, Bucureti, 1998

8. Hadr, A., Constantin, N., Gheorghiu, H., Stoicescu, C., Algoritm i program pentru calculul panourilor din compozite stratificate armate, Buletinul celei de a XXII-a Conferine Naionale de Mecanica Solidelor, Tomul III: Rezistena materialelor, Braov, 1998, pag. 17-20

9. Hadr, A., Jiga, G., Numerical Modelling of Fiber Reinforced Composites Including Interlaminar Effects and Local Deterioration, Proceedings 2-nd Hellenic Conference on Composite Materials, Patras, 2001, pag. 21-31

10. Malmeister, A. K., Tamuj, V. P., Teters, G. A., Soprotivlenie polimernh i compozitnh materialov, Zinatne Riga, 1980

11. Jones, R. M., Mechanics of Composite Materials, Scripta Book, Washington D. C., 1975.12. Gheorghiu, H., Hadr, A., Constantin, N., Program pentru calculul plcilor plane din materiale compozite stratificate solicitate mecanic i termic, T.C.M.M., Editura Tehnic, Bucureti, 1998, p.170-179

13. Jiga, G., Constantin, N., Hadr, A., Program de calcul pentru caracterizarea higrotermoelastic i de rezisten a unui compozit stratificat armat multidirecional, Revista Construcia de maini, Bucureti, nr. 8, 1999, p. 42-45

14. Hadr, A., Constantin, N, Vian, D., Stoicescu, C., Tensiuni i deformaii n plci realizate din compozite stratificate armate cu fibre, solicitate mecanic i termic, Conferin aniversar cu participare internaional - Metode experimentale i numerice n Rezistena materialelor, Timioara, 1998, p. 157-16515. Hadr, A., Structuri din compozite stratificate, Editura Academiei i Editura AGIR, Bucureti, 2002

16. Jiga G., Hadr, A., Vlsceanu, D., Radu, Gh., Post-Critical Analysis of Laminate Reinforced Materials, Proceedings International on Structural Analysis of Advanced Materials ICSAM 2007, 3-5 September 2007, Patras, Greece, Book of Abstracts p. 69 and on C.D.

17. Pastram, S.D., Jiga, G., Post Citical Analysis of Stratified Fiber Reinforced Composites, MIT 2003, Proceedings of the 6th International Conference on Management of Innonvative Technologies, Piran, Slovenia, 13-14 October 2003, p. 243-24818. Hadr, A., Jiga, G., Numerical modelling of fiber reinforced composites including interlaminar effects and local deterioration, HELLAS-COMP 2001, 2-nd National Conference on Composite Materials, Patras, Greece, p. 21-31DATE DE INTRARE:

1. Date despre material :

- El, Et, Glt, lt, l, t

- Tensiunea de rupere la traciune fibr: lr;

- Tensiunea de rupere la traciune matrice: mr;

- Tensiunea de rupere la compresiune fibr: cf;

- Tensiunea de rupere la compresiune matrice: cm;

- Tensiunea de forfecare n lungul laminei: ltr.

2. Date despre stratificat :

- Temperatura de polimerizare: Tpol;

- Temperatura de lucru: Tluc.;

- Numrul de lamine;

- Grosimea fiecrei lamine;

- Unghiul de orientare al fibrei n lamin: i.

3. Date despre ncrcri :

- Forte i momente impuse: Nx, Ny, Txy, Mx, Mx, Mxy;

- Deformaii i curburi specifice: x, y , xy , kx, ky, kxy;

PROCESARE REZULTATE:

Pe baza relaiilor prezentate se calculeaz tensiunile n sistem global i local (x, y, xy respectiv l, t, lt) necesare aplicrii criteriului de rupere Tsai-Hill, pe fiecare lamin n parte.

SALVAREA DATELOR PE DISC:

Dup calculul tensiunilor i deformaiilor datorate ncrcrilor mecanice i efectului termic, rezultatele obinute se salveaz pe disc.

VIZUALIZAREA REZULTATELOR OBTINUTE:

1. Vizualizarea vectorilor ncrcrilor mecanice i termice;

2. Desenarea diagramelor de variaie a deformaiilor specifice ale laminelor;

3. Desenarea diagramelor de variaiei a tensiunilor, pe grosimea stratificatului: x, y, xy, l, t, lt n sistem global i local;

4. Trasarea plcii deformate;

5. Rezultatele criteriului Tsai-Hill.

_2147483647.dwg

_2147483646.unknown

_2147483645.unknown

_2147483644.unknown

_2147483643.unknown

_2147483642.unknown

_2147483641.unknown

_2147483640.unknown

_2147483639.unknown

_2147483638.dwg

_2147483637.unknown

_2147483636.unknown

_2147483635.unknown

_2147483634.unknown

_2147483633.unknown

_2147483632.dwg

_2147483631.unknown

_2147483630.unknown

_2147483629.unknown

_2147483628.unknown

_2147483627.unknown

_2147483626.unknown

_2147483625.unknown

_2147483624.unknown

_2147483623.unknown

_2147483622.unknown

_2147483621.dwg

_2147483620.unknown

_2147483619.unknown

_2147483618.unknown

_2147483617.dwg

_2147483616.unknown

_2147483615.unknown

_2147483614.dwg

_2147483613.dwg

_2147483612.unknown

_2147483611.unknown

_2147483610.unknown

_2147483609.dwg

_2147483608.dwg

_2147483607.dwg

_2147483606.dwg