Partea nti: MECANICA NEWTONIANA

5. ELEMENTE DE RELATIVITATE RESTRNS

Mecanica newtonian nu poate explica fenomenele n care vitezele relative ale corpurilor din sistemele fizice sunt apropiate ca valoare de viteza luminii n vid

. Este necesar o nou teorie care s explice aceste fenomene i care la limita vitezelor mici

s se confunde cu teoria clasic newtonian. Aceast teorie a fost elaborat de Albert Einstein i n esen reformuleaz legile fizicii pentru a descrie fenomenele care au loc la viteze apropiate de viteza luminii. Teoria poart numele de teoria relativitii i are dou pri: teoria relativitii restrnse (elaborat de A. Einstein n perioada 1900-1905) (sau speciale) ce studiaz fenomenele fizice n sisteme de referin ineriale i teoria relativitii generalizate (elaborat de A. Einstein n perioada 1906-1916) ce studiaz i fenomenele gravitaionale i nu impune restricii asupra sistemelor de referin. Punctul de plecare al teoriei relativitii restrnse l constituie, pe de o parte, analiza critic a noiunilor de spaiu i timp absolut, iar pe de alt parte, rezultatele negative ale experimentelor lui Michelson i von Marley.5.1. Bazele experimentale ale teoriei relativitii restrnse

a). Experimentele lui Michelson i von Morley.

Conform principiului relativitii clasice (galileiene) ecuaiile ce exprim legile mecanicii clasice sunt invariante n raport cu transformrile de coordonate i de timp (transformrile lui Galilei) la trecerea de la un sistem de referin inerial la altul. Cu ajutorul principiului ineriei, raportnd micarea la un sistem de referin inerial se pot defini i alte sisteme de referint ineriale i, n final, pe baza relaiilor de transformare Galilei, se demonstreaz echivalena acestora. n electromagnetism se poate demonstra c ecuaiile lui Maxwell - ecuaii fundamentale ce descriu comportarea sistemelor fizice - sunt variante fa de transformrile Galilei. ntruct ecuaia de propagare a undelor este variant fa de transformrile lui Galilei rezult c i ecuaiile Maxwell - care n cazul undelor electromagnetice conduc la aceast ecuaie - sunt variante fa de aceste transformri. Aceasta nseamn c exist posibilitatea de a fixa un sistem de referin inerial privilegiat. Definirea acestuia are la baz explicarea propagrii undelor electromagnetice. La sfritul secolului trecut, prin analogie cu propagarea undelor mecanice, se presupunea existena eterului imobil ca mediu necesar propagrii undelor electomagnetice. Acest mediu ar trebui s aibe simultan att o mare elasticitate pentru a justifica viteza foarte mare a luminii, ct i o extrem de mare fluiditate, pentru a nu opune o rezisten apreciabil corpurilor n micare, de asemenea, ar trebui s umple ntreg spaiul, vid sau substan, al nsui neproducnd nici un efect dinamic. Aceste proprieti complexe i contradictorii ale eterului nu i-au gsit interpretarea mecanic rezonabil, astfel nct s-a impus ideea identificrii eterului cu spaiul nsui. Sistemul de referin n care eterul este n repaus reprezint sistemul de referin inerial privilegiat. Existena unui sistem de referin privilegiat "eterul imobil", ar trebui s implice existena unui "vnt eteric" datorat micrii Pmntului prin eter,, iar scopul experienelor lui Michelson i von Morley const tocmai n determinarea valorii absolute a "vntului eteric". Experienele folosesc un interferometru cu dou fascicule de lumin perpendiculare ntre ele. n ipoteza existenei eterului imobil sau parial antrenat de ctre Pmnt, la micarea acestuia prin spaiu ar trebui ca o raz de lumin care se deplaseaz paralel cu direcia vitezei Pmntului i n acelai sens s aib o vitez diferit de viteza unei raze de lumin ce are o direcie perpendicular pe direcia vitezei Pmntului. Rezultatul negativ al experienelor Michelson i von Morley sugereaz c efectele eterului nedecelabile, viteza luminii fiind independent de sistemul de referin inerial, iar relaia (13.9) nepermind calculul vitezei v. Interpretarea rezultatelor experienelor lui Michelson i von Morley a fost facut abia n anul 1905 de ctre A.Einstein.

b). Experiena lui Bertozzi

n anul 1964, Bertozzi imagineaz i realizeaz un experiment care urmrete s stabileasc dac viteza luminii n vid poate fi depit.Dispozitivul experimental const dintr-o surs de electroni (S), un accelerator Von der Graaf (A) i un termocuplu (T) ataat unui disc de aluminiu (B) (fig.5.1).

Fig.5.1.Electronii emii de sursa (S) sunt accelerai n acceleratorul Van der Graaf pn la o energie cinetic:

(5.1) (unde e reprezint sarcina electronului, iar U tensiunea de accelerare) dup care se deplaseaz ntr-o regiune de cmp nul. Dac n este numrul de electroni pe secund din fascicul, atunci puterea livrat discului (B) de aluminiu este U i poate fi msurat cu ajutorul termocuplului (T). Conform mecanicii nerelativiste viteza electronilor nainte de ciocnirea discului (B) este:

,

(5.2)

m fiind masa electronului.

Din fig.5.2 se observ c dependena teoretic este liniar. Rezultatele experimentale obinute pentru energii ale electronilor mai mari de 105eV difer, ns, de cele teoretice, observndu-se c exist o vitez limit superioar

pe care o pot avea electronii. Aceasta inseamna c dei electronii primesc energia de accelerare a campului, viteza lor este limitat superior, masa acestora devenind funcie de vitez m=m(v).Fig.5.2.5.2. Postulatele teoriei relativitii restrnse

Postulatele teoriei relativitii restrnse au fost enunate de A.Einstein (A.Einstein-Zur electrodynamik Lewegter Korper; (Asupra elecrodinamicii corpurilor n micare), Annalen der Physik, IV, vol. 17, pag.891 (30 iunie 1905).)-teoria relativitii fiind esenialmente opera acestuia-ns nu trebuie uitat contribuia unor precursori ai acestor teorii: H.A.Lorentz, J.H.Poincart i P.Langevin. Analiza critic a noiunilor de timp absolut i spaiu absolut l-a condus pe Einstein la urmtoarele observaii cu privire la rezultatul negativ al experimentelor lui Michelson i von Morley: 1( rezultatul experimentelor lui Michelson i von Morley este aceleai att pentru observatorul mobil, antrenat odat cu Pmntul, ct i pentru un observator fix situat n eter i mobil n raport cu acesta; 2( viteza luminii () este aceeai pentru ambii observatori; 3( durata fenomenelor i lungimea braului interferometrului depinde de observator. Einstein a fost convins c inconsistena ipotezei eterului (n special datorit explicaiilor forate date observaiilor lui Fizeau) i a cutat principiile relativiste care s conin simultan mecanica clasic, electromagnetismul i toate fenomenele naturale. Aceste principii nu trebuiau s conin relativitatea Galileian, ceea ce presupunea modificarea legilor mecanicii.

a). Postulatul relativitii restrnse (speciale sau einsteiniene)

Principiul relativitii este rezultatul observaiei 1( i poate fi enunat astfel: legile care guverneaz fenomenele fizice nu depind de starea de repaus sau de micare rectilinie uniform a sistemului de referin inerial sau legile fizicii sunt aceleai n orice sistem de referin inerial.

Acest postulat extinde echivalena sistemelor de referin ineriale din dinamica newtonian pentru ntreaga fizic, artnd c prin nici o experien de fizic (mecanic, electromagnetism) efectuat ntr-un sistem de referin inerial nu se poate determina starea de micare sau de repaus a acestuia. n acelai timp principiul este consistent cu experienele Michelson i von Morley fcnd lipsit de sens problema detectrii micrii fa de aer.b). Postulatul invarianei vitezei maxime de interaciune

Acest postulat rezult din observaia 2( i se enun astfel: viteza maxim de transmitere a interaciunilor este egal cu viteza luminii n vid i este invariant n raport cu orice sistem de referin inerial i cu orice direcie de msurare.

Enunat de A. Einstein n anul 1905 principiul a fost verificat experimental abia ncepnd cu anii 1960. El impune o reconsiderare radical a ideilor despre spaiu i timp, fapt pentru care a ntmpinat mult rezisten de-a lungul anilor. Din principiul invarianei vitezei maxime de interaciuni se pot desprinde dou consecine importante. n primul rnd transformrile lui Galilei obinute n mecanica clasic n ipoteza invarianei temporale trebuie nlocuite cu alte transformri care s respecte invariana vitezei luminii n vid n orice sistem de referin inerial. n al doilea rnd se nltur ipoteza propagrilor interaciunilor instantanee la distan demonstrndu-se caracterul de continuitate (propagarea din aproape n aproape) al transmiterii interaciunilor fizice.

c). Principiul de coresponden

Acest principiu are un caracter metodologic (Acest tip de principiu se regsete n ntreaga fizic (de exemplu: principiul de coresponden din mecanica cuantic-N.Bohr, 1923).) i pune n acord mecanica clasic newtonian cu toeria relativitii restrnse. Deoarece la viteze mici legile mecanicii clasice au fost verificate experimental foarte bine, teoria relarivitii restrnse trebuie, n condiia , s coincid cu mecanica newtonian:

Principiul relativitii restrnse Mecanica clasic newtonian

Deci: legile fizicii clasice nerelativiste trebuie s se poat obine ca un caz limit din legile fizicii clasice relativiste, atunci cnd vitezele corpurilor n fenomenele descrise sunt mult mai mici dect viteza luminii n vid.5.3. Transformrile lui Lorentz. Consecine

a). Transformrile lui Lorentz

Se numete relaie de transformare o relaie care ne permite s trecem de la descrierea unui fenomen ntr-un anumit sistem de referin, la descrierea aceluiai fenomen n alt sistem de referin. Relaiile de transformare sunt legi fizice ntruct valorile x,y,z,t msurate n sistemul de referin (S) de valorile x,y,z,t ale aceluiai eveniment msurate n sistemul de referin (S). Prin definiie relaiile de transformare sunt postulate de un principiu de relativitate. Avnd n vedere principiile teoriei relativitii restrnse, transformrile Galilei trebuie nlocuite cu alte transformri care s respecte invariana vitezei luminii n vid n orice sistem de referin inerial. Aceste noi relaii de transformare poart numele de transformrile Lorentz.

Prin deducerea lor se consider un eveniment fizic (E) de coordonate spaio-temporale (x,y,z,t) n sistemul de referin inerial (S) presupus fix. Coordonatele aceluiai eveniment (E) fa de sistemul de referin (S), aflat n micare de translaie cu viteza fa de (S), sunt (x,z,y,t). Pentru simplitate se consider (fig.5.3):

ceea ce conduce la:

Fiind vorba de micare de translaie, admitem c relaia de legtur dintre coordonatele x i x va fi o relaie liniar (liniaritatea relaiilor este o consecin a omogenitii spaiului i timpului n cele dou sisteme de referin.):

(5.3)

Coeficienii i nu pot fi funcii de poziie i timp-pentru a pstra liniaritatea relaiei-dar pot fi funcii de vitez. Aceti coeficieni se determin din condiiile iniiale i la limit ale micrii. Astfel, dac la t=0; t=0 originile O i O ale celor dou axe de coordonate coincid, atunci coordonata x0(t) a originii O fa de O la un moment oarecare este dat de relaia:

x0=vt

(5.4)

iar transformarea (5.3) trebuie s verifice egalitatea:

de unde:

(5.5)

nlocuind n relaia (5.3) expresia (5.5) se obine:

(5.6)

Conform principiului relativitii einsteiniene analog relaiei (5.6) trebuie s avem:

(5.7)

nmulind membru cu membru relaiile (5.6) i (5.7) rezult:

(5.8)

Se observ c s-a introdus un timp propriu caracteristic fiecrui sistem.

Dac n sistemul de referin inerial (S) o raz de lumin emis n momentul iniial strbate n timpul t distana:

(5.9)

atunci, conform principiului invarianei vitezei luminii n orice sistem de referin inerial, n (S) vom avea:

(5.10)

nlocuind ecuaiile (5.9), (5.10) n relaia (5.8) rezult:

de unde (alegerea valorii pozitive pentru se face din motive fizice evidente: - ordonarea n timp a evenimentelor care se petrec ntr-un loc fix fa de sistemul de referin inerial (S) s nu fie inversat prin trecerea la alt sistem (S). Coeficientul este un mod obligatoriu real i finit.):

(5.11)

innd seama de relaiile (5.6), (5.7), (5.11) se obin pentru relaiile de transformare ale coordonatelor spaiale expresiile:

(5.12)

i reciproc:

(5.13)

Pentru relaia de transformare a coordoantei temporale din prima relaie (5.13) rezult:

(5.14)

sau:

(5.15)

dac avem n vedere prima relaie (5.12).

Din relaia (5.15) dup simplificri i aranjarea convenabil a termenilor se obine:

i reciproc:

.

Grupul de relaii:

(5.12)

ce admit i transformrile inverse:

(5.13)

alctuiesc grupul relaiilor de transformare. Se observ c n acord cu principiul de coresponden n ipoteza aceste transformri se reduc la transformrile lui Galilei. Deosebirea fundamental ntre grupul transformrilor Galilei si cel al lui Lorentz const n faptul c grupul transformrilor lui Lorentz introduce un tip propriu fiecrui sistem de referint inerial.Fiecare sistem de referin are timpul su care chiar n interiorul sistemului, depinde de spaiu, adic este un timp local.

b). Consecine ale transformrilor Lorentz1( Contracia lungimilor (Fitzgerald-Lorentz) S considerm o rigl fixat imobil pe axa Ox fa de sistemul de referin inerial (S). Dac capetele riglei se afl n punctele x1 i x2, atunci aceasta are lungimea:

l=x2 - x1

(5.14)

numit lungime proprie.

n sistemul de referin inerial (S) aflat n micare rectilinie uniform cu viteza fa de (S) ca n fig.5.3 lungimea riglei va fi:

(5.15)

Avnd n vedere transformrile Lorentz (5.13), cum msurarea lungimii riglei n sistemul (S) impune precizarea coordonatelor x1 i x2 la acelai moment de timp t1=t2=t, rezult:

adic:

(5.16)

de unde:

(5.17)

Numind lungimea a riglei n sistemul (S) lungime cinematic, relaia (5.17) arat c: lungimea proprie este mai mare dect orice lungime cinematic, adic lungimea se contract dac se msoar ntr-un sistem de referin (S) aflat n micare fa de sistemul de referin propriu (S). Contracia lungimilor poate explica rezultatul negativ al experienelor lui Michelson i von Morley. Astfel, Lorentz explic rezultatul negativ al experianelor, considernd c timpii de ntoarcere ai fasciculului sunt egali (t2=t3); fasciculele ajungnd simultan pe lama semitransparent (L) nu mai pot produce fenomenul de interferen. Pentru ca fasciculul longitudinal (3) s se ntoarc n acelai timp cu fasciculul transversal (2) ar fi suficient ca drumul su longitudinal s fie scurtat. Cum durata cltoriei acestui fascicul este mai mare dect al fasciculului transversal (vezi relaiile (13.3), (13.4)) drumul su va trebui scurtat n acelai raport pentru ca cele dou fascicule s soseasc simultan pe lama (L). Deci lungimea d3=d va trebui s fie n loc de d, . De fapt este lungimea d3 msurat de un observator fix situat n eterul imobil.

Fig. 5.4.

2( Dilatarea timpului (duratelor). n sitemul de referin inerial (S) presupus fix ntr-un punct P aflat pe axa Ox i avnd coordonata fix x are loc un eveniment fixic care ncepe la momentul t1 i se termin la momentul t2. Deci, n sistemul (S) evenimentul fizic dureaz un timp:

(5.18)

numindu-se durat proprie. n sistemul de referin (S) aflat n micare de translaie cu viteza de-a lungul axei Ox fa de (S) evenimentul dureaz un timp:

(5.19)

fiind durata cinematic. Conform relaiilor de transformare Lorentz avem:

(5.20)

relaie ce arat c: durata proprie a unui fenomen este cea mai scurt raportat la toate duratele cinematice. Conform acestei consecine a relaiilor de transformare Lorentz n experienele Michelson i von Morley durata experimentului nu este aceeai pentru ambii observatori; pentru observatorul fix, care nu ia parte la micare, experimentul se desfoar mai ncet, ca i cum timpul s-ar dilata. Fenomenul de dilatare a timpului a fost observat la mezonii produi n straturile superioare ale atmosferei; unii dintre aceti mezoni au un timp de via propriu de aproximativ . Pentru un observator de pe Pmnt intervalul de timp pentru ca aceste particule foarte rapide venite din spaiul cosmic s ajung pe Pmnt (adic s strbat atmosfera) este de minim dac s-ar deplasa cu viteza luminii. Rezult de aici c pentru un observator de la sol, timpul de via al acestor mezoni se dilat de aproximativ 5000 ori.

c). Spaiul Minkovski

n teoria relativitii restrnse, spaiul i timpul sunt mrimi ntre care exist o legtur intrinsec, astfel nct este natural s se considere c diferitele evenimente se petrec ntr-un continuu cvadridimensional, numit spaiu-timp sau universul Minovski. n acest univers trei coordonate (x,y,z) se refer la spaiu, iar a patra la timp (t). Un punct din universul lui Minovski se numete eveniment. Se observ c deoarece cele patru coordonate nu au aceeai dimensiune, direciile universului Minovski nu sunt echivalente, adic acest spaiu este anizotrop. ntruct calculele ntr-un astfel de spaiu sunt dificile se introduce n locul coordonatei t o nou coordonat ict care are aceeai dimensiune cu coordonatele spaiale x,y,z. n aceste condiii, mrimea:

(5.21)

este invariant n raport cu transformrile Lorentz, dup cum se poate verifica imediat.

Analog spaiului tridimensional obinuit, n universul Minkovski, mrimea geometric:

(5.22)

reprezint matricea spaiului Minkovski.

Reprezentm spaiul Minkovski (fig.5.5) cu ajutorul a dou axe: axa timpului i axa spaiului: . La t=0 fie un sistem fizic (de exemplu o particul) n origine. Deoarece viteza luminii este o limit superioar a tuturor vitezelor, domeniul spaiu-timp poate fi divizat n trei domenii de un con, numit conul luminos, a crui suprafa este definit de ecuaia:

(5.23)

Semnalele luminoase emise din origine la momentul t=0 vor descrie liniile nclinate la 450 din fig.5.5. Dar, orice sistem material are viteza mai mic dect viteza luminii n vid. n consecin, pe msur ce timpul se scurge, acest sistem va descrie o curb, numit linia de univers, interioar conului superior. Cum pentru sistemul se afl n semiconul superior, aceast regiune se numete viitor. Analog, semiconul inferior se numete trecut. Regiunea exterioar conului luminos este numit alt univers. Un sistem aflat n O nu va putea niciodat s ating sau s vin dintr-un punct aflat n spaiu-timp din alt univers.

Fig. 5.5.

Considernd evenimente ale cror puncte de univers se afl n domeniul I, n toate punctele acestui domeniu: ; adic ntre toate aceste evenimente i evenimentul din O vom avea intervale relativiste temporale. Totodat, n acest domeniu , ceea ce nseamn c toate evenimentele au loc dup evenimentele din O, pentru orice sistem de referin inerial (deci, se afl n viitorul absolut al lui O). Analog, toate evenimentele domeniului II, , se situeaz n trecutul absolut n raport cu evenimentul din O. Adic, evenimentele acestui domeniu se petrec n toate sistemele de referin naintea eveneimentului din 0. n aceste dou domenii, evenimentele pot fi legate cauzal de evenimentul origine i succesiunea lor temporal fa de evenimentul origine este absolut, adic nu poate fi inversat (este aceeai n toate sistemele de referin). Pentru toate evenimentele din domeniul III, , adic evenimentele sunt separate de evenimentul origine printr-un interval relativist de tip spaial. n orice sistem de referin inerial, aceste evenimente se petrec n puncte diferite ale spaiului, fapt pentru care ele pot fi denumite ca evenimente absolut deprtate n raport cu O. Aceste evenimente nu pot fi legate cauzal de evenimentul origine i succesiunea lor temporal fa de evenimetul origine este relativ, adic poate fi inversat fa de diferitele sisteme de referin.

5.4. Cinematica relativist

a). Compunerea vitezelor n teoria relativitii restrnse

Considerm n raport cu sistemul de referin inerial (S) presupus fix, un mobil ce se deplaseaz cu viteza de componente ux,uy i uz:

(5.24)

Fa de sistemul de referin (S) aflat n micare de translaie de-a lungul axei Ox fa de (S) (fig. 5.6) viteza mobilului este de componente :

(5.25)

Viteza a mobilului n sistemul (S) este msurat cu etaloane de lungime i cu ceasornicele imobile n raport cu (S), iar viteza n sistemul (S) este msurat cu etaloane de lungime i cu ceasornice imobile n raport cu (S).

Fig.5.6

Exprimnd componentele vitezei n funcie de ux,uy,uz se obine legea de compunere a vitezelor n cinematica relativist. n acest sens, avnd n vedere transformrile Lorentz se obine:

(5.26)

(5.27)

(5.28)

Analog, se obin relaiile inverse:

(5.29)

(5.30)

(5.31)

Relaiile (5.26), (5.27), (5.28) i respectiv (5.29), (5.30), (5.31) reprezint legea compunerii vitezelor n cinematica relativist. Din aceast lege se poate demonstra c nici o vitez nu poate depi viteza luminii n vid. Pentru demonstraie fie i pentru simplitate . nlocuind n (5.29) rezuult:

(5.32)

unde:

Putem considera urmtoarele dou cazuri: 1( Dac nlocuind n relaia (5.32) se obine: ; 2( Dac i nlocuind n relaia (5.32) rezult: deci viteza luminii n vid este invariant.

Aplicnd principiul de coresponden, legea compunerii vitezelor n cinematica relativist conduce la legea compunerii vitezelor n mecanica clasic newtonian. Astfel, n ipoteza sau din relaiile (5.26), (5.27), (5.28) se obine:

ce reprezint legea compunerii vitezelor n mecanica clasic newtonian.

b).Teorema referenialelor ineriale

Teorema referenialelor ineriale este o consecin a legii de compunere a vitezelor. Fie un punct material liber care n raport cu un sistem de referin inerial (S) se deplaseaz cu viteza constant. Atunci putem scrie: ux=constant; uy=constant i uz=constant. Considerm un al doilea sistem de referin (S) aflat n micare de translaie cu viteza v constant pe direcia axei Ox fa de sistemul (S). n noul sistem de referin viteza punctului material are componentele:

constant, constant, constant i deci i sistemul de referin (S) este inerial ntruct este satisfcut principiul ineriei. Astfel c: un sistem de referin (referenial) aflat n micare rectilinie uniform fa de un alt sistem de referin inerial, este de asemenea inerial.

c). Efectul Doppler-Fizeau (cazul relativist)

Considerm o surs de unde electromagnetice fixat rigid fa de un sistem de referin inerial (S). Frecvena undei msurate n acest sistem este , unda fiind definit prin funcia de und:

(5.33)

n raport cu un alt sistem de referin (S) aflat n micare de translaie cu viteza u fa de sistemul (S) n direcia axei Ox unda recepionat are expresia:

(5.34)

Receptorul se afl fixat rigid fa de sistemul de referin (S), adic fa de sursa de unde electromagnetice se afl n micare relativ cu viteza u n direcia de propagare a undei. Dac avem n vedere relaiile de transformare Lorentz:

substituind n expresia funciei de und (5.33) rezult:

sau:

(5.35)

Din compararea expresiilor funciilor de und (5.34) i (5.35) obinem pentru frecvena recepionat de receptor:

(5.36)

i:

(5.37)

Relaia (5.36) reprezint expresia matematic a efectului Doppler-Fizeau longitudinal.

Dac se face trecerea invers, se obine:

(5.38)

Considernd o und electromagnetic care se propag fa de un sistem de referin inerial (S) cu viteza c n sensul coordonatei y:

(5.39)

iar fa de sistemul (S) aflat n micare de translaie fa de sistemul (S) cu viteza u n direcia axei Ox:

(5.40)

Se observ c dac n relaia (5.39) se aplic transformrile Galilei dup compararea cu funcia de und (5.40) se obine:

i

(5.41)

ceea ce arat c nu exist efect Doppler (clasic) transversal.

Dac aplicm n (5.39) transformrile Lorentz rezult:

adic:

(5.42)

Din compararea relaiilor (5.40) i (5.42) se obine:

;

(5.43)

Efectul Doppler-Fizeau transversal este un efect pur relativist. El a fost observat experimental de Ives i Stilwell (H.E.Ives i G.R.Stilwell - Journ.Opt.Soc.America, 28, 1998, 215) msurnd deplasarea liniilor spectrale emise de ionii care formau un fascicul de raze canal cu o vitez suficient de mare.

5.5. Dinamica relativist

a). Masa relativist i impulsul relativist

Dinamica relativist formuleaz invariant fa de transformrile Lorentz, legile fenomenelor mecanice. n acord cu principiul de coresponden, legile obinute n cadrul dinamicii relativiste, la limita , trebuie s fie identice cu cele ale mecanicii clasice.

n mecanica clasic newtonian masa unui corp este constant. n teoria relativitii se arat, rezultatul fiind confirmat experimental, c masa unui corp este funcie de masa acestuia. n general, masa de repaus a particulei se noteaz cu m0 (indecele 0 indicnd mrimile fizice din sistemul de referin propriu) astfel c fcnd notaiile: , relaia dependenei masei de vitez devine:

.

(5.44)

n fig.5.7 este reprezentat dependena masei de micare n funcie de valoarea raportului v/c. Se observ c masa crete cu viteza v. Dac i ; rezultatul fiind o consecin a principiului vitezei maxime de interaciune i exprim imposibilitatea corpurilor de a depi viteza luminii c oricare ar fi fora finit ce ar aciona asupra lor.

Fig.5.7Conform principiului de coresponden, cnd , constant, rezuultat n acord cu mecanica clasic newtonian.

Relaia:

(5.45) reprezint expresia relativist a impulsului.

b). Ineria energiei. Relaia energie-impuls n teoria relativitii restrnse

Lucrul mecanic elementar este dat de relaia:

(5.46)

i cum:

(5.47)

avem:

(5.48)

Cum, n teoria relativitii estrnse masa depinde de vitez, relaia (5.48) devine:

(5.49)

Difereniind relaia (5.44) se obine:

de unde:

(5.50)

adic:

(5.51)

Admind c energia sistemului asupra cruia se efectueaz lucrul mecanic elementar crete cu:

(5.52)

se obine, pentru variaii finite:

(5.53)

relaie cu rol fundamental n fizica nuclear, purtnd numele de relaie energie mas sau relaia ineriei energiei.

Integrnd relaia (5.52) se obine:

constant

(5.54)

Constanta de integrare din (5.54) se determin din condiia de repaus:

constant; constant

astfel c:

(5.55)

Variaia energiei sistemului va fi:

(5.56)

Mrimea:

(5.57)

reprezint energia total a particulei relativiste, iar:

(5.58)

este energia de repaus a particulei.

Diferena dintre energia total i energia de repaus a particulei relativiste este tocmai energia cinetic a acesteia.

Pentru demonstraie se apeleaz la principiul de coresponden.

nlocuind relaiile (5.57) i (5.58) n (5.56) rezult:

(5.59)n condiia limit , conform principiului de coresponden, relaia anterioar trebuie s conduc la expresia clasic a energiei cinetice. ntr-adevr, cum:

nlocuind n (5.59) rezult:

Deci, pentru o particul relativist se poate scrie:

.

Pentru obinerea relaiei energie-impuls se elimin viteza v ntre expresiile relativiste ale energiei (5.57) i impulsului (5.45). Rezult:

(5.60)

c). Ecuaia fundamental a dinamicii n teoria relativitii restrnse

Modificarea expresiei impulsului n cazul relativist va conduce la o modificare a ecuaiei fundamentale a dinamicii. Astfel, cum:

(5.61)

deoarece masa depinde de vitez, se obine:

adic:

(5.62)

unde:

este acceleraia particulei.

Pentru obinerea celui de-al doilea termen din membrul drept al ecuaiei (5.62) am avut n vedere c:

Ecuaia (5.62) reprezint ecuaia fundamental a dinamicii n teoria relativitii restrnse. Din acestea se obine urmtoarea expresie pentru acceleraia unei particule relativiste:

(5.63)

Se observ c vectorul acceleraie nu mai este colinear cu vectorul for (ca n mecanica clasic newtonian) ci este un vector coninut n planul determinat de vectorii vitez i acceleraie. De asemenea, din (5.63) rezult c acceleraia depinde de vitez att direct ct i prin mas.

Dac vectorii i sunt perpendiculari, atunci i din relaia (5.63) rezult:

(5.64)

sau:

unde:

(5.65)

se numete mas transversal a particulei relativiste.

Dac vectorii i sunt paraleli, atunci i din relaia (5.63) se obine:

adic:

(5.66)

mrimea:

(5.67)

fiind masa longitudinal a particulei relativiste.

d). Teorema conservrii energiei n teoria relativitii restrnse

ntr-un cmp conservativ de fore:

(5.68)

U fiind energia potenial. Cum:

(5.69)

rezult:

(5.70)

nmulind scalar cu (vectorul deplasare elementar) ecuaia (5.70) se obine:

adic:

(5.71)

Cum:

(5.72)

se obine succesiv din (5.71):

i apoi:

(5.73)

Relaia (5.73) se poate scrie i sub forma:

de unde:

adic ntr-un cmp conservativ de fore energia total a sistemului se conserv.

y

O

z(

O(

x, x(

y(

x2

x1

EMBED Equation.3

Fig.5.3

z

(S)

(S()

O

y

O(

x, x(

y(

z(

EMBED Equation.3

S

A

B

v2

T

(regiunea de cmp nul)

Ec

( 9(1016

experimental

teoretic

z

(S()

(S)

O

Viitor

ict absolut

Linie de univers

Trecut absolut

Prezent

EMBED Equation.3

y

z

O

(S)

(S()

y(

x, x(

O(

z(

EMBED Equation.3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 EMBED Equation.3

m

8m0

7m0

6m0

5m0

4m0

3m0

2m0

m0

PAGE 103

_995283108.unknown

_1019665923.unknown

_1021204316.unknown

_1021207263.unknown

_1037984574.unknown

_1173435555.unknown

_1173504791.unknown

_1173504840.unknown

_1173508977.unknown

_1173504821.unknown

_1173504778.unknown

_1038000044.unknown

_1038000165.unknown

_1038000216.unknown

_1173433855.unknown

_1038000296.unknown

_1038000205.unknown

_1038000108.unknown

_1038000124.unknown

_1038000090.unknown

_1037984804.unknown

_1037986883.unknown

_1037998860.unknown

_1038000027.unknown

_1037987322.unknown

_1037985575.unknown

_1037984600.unknown

_1021207909.unknown

_1021208133.unknown

_1021208381.unknown

_1037382053.unknown

_1037984485.unknown

_1037984392.unknown

_1021208453.unknown

_1021208549.unknown

_1037381736.unknown

_1021208525.unknown

_1021208415.unknown

_1021208260.unknown

_1021208347.unknown

_1021208225.unknown

_1021207996.unknown

_1021208073.unknown

_1021207971.unknown

_1021207467.unknown

_1021207622.unknown

_1021207774.unknown

_1021207511.unknown

_1021207434.unknown

_1021207442.unknown

_1021207375.unknown

_1021206530.unknown

_1021207131.unknown

_1021207162.unknown

_1021207195.unknown

_1021207139.unknown

_1021206680.unknown

_1021206920.unknown

_1021206593.unknown

_1021205108.unknown

_1021206120.unknown

_1021206471.unknown

_1021205196.unknown

_1021204373.unknown

_1021204399.unknown

_1021204328.unknown

_1021202624.unknown

_1021203654.unknown

_1021203973.unknown

_1021204050.unknown

_1021203924.unknown

_1021202786.unknown

_1021203535.unknown

_1021202688.unknown

_1021157782.unknown

_1021158061.unknown

_1021163680.unknown

_1021158045.unknown

_1021139336.unknown

_1021157723.unknown

_1021157314.unknown

_1019688618.unknown

_995287505.unknown

_995288959.unknown

_995312434.unknown

_995313762.unknown

_995314662.unknown

_1019665808.unknown

_995314994.unknown

_995314548.unknown

_995312772.unknown

_995313360.unknown

_995312578.unknown

_995312183.unknown

_995312247.unknown

_995289080.unknown

_995288445.unknown

_995288531.unknown

_995288583.unknown

_995288497.unknown

_995288360.unknown

_995288384.unknown

_995287529.unknown

_995284378.unknown

_995286448.unknown

_995286780.unknown

_995287314.unknown

_995286728.unknown

_995286135.unknown

_995286398.unknown

_995286095.unknown

_995283805.unknown

_995283940.unknown

_995284223.unknown

_995283874.unknown

_995283647.unknown

_995283688.unknown

_995283509.unknown

_995266349.unknown

_995277244.unknown

_995282135.unknown

_995282747.unknown

_995282987.unknown

_995283054.unknown

_995282920.unknown

_995282523.unknown

_995282608.unknown

_995282148.unknown

_995278036.unknown

_995278444.unknown

_995278769.unknown

_995281795.unknown

_995281913.unknown

_995278968.unknown

_995281523.unknown

_995278915.unknown

_995278574.unknown

_995278680.unknown

_995278558.unknown

_995278192.unknown

_995278343.unknown

_995278101.unknown

_995277640.unknown

_995277769.unknown

_995277894.unknown

_995277662.unknown

_995277564.unknown

_995277619.unknown

_995277390.unknown

_995270199.unknown

_995270728.unknown

_995270834.unknown

_995277216.unknown

_995270766.unknown

_995270271.unknown

_995270484.unknown

_995270223.unknown

_995269653.unknown

_995269766.unknown

_995269998.unknown

_995269705.unknown

_995266621.unknown

_995269623.unknown

_995266484.unknown

_995264940.unknown

_995265692.unknown

_995266154.unknown

_995266253.unknown

_995266088.unknown

_995265417.unknown

_995265549.unknown

_995264972.unknown

_995220213.unknown

_995264677.unknown

_995264910.unknown

_995264638.unknown

_995220004.unknown

_995220086.unknown

_995217794.unknown