C A P I T O L U L 5

DINAMICA MAŞINILOR.

  5.1. Generalităţi.

  În capitolele precedente s-a considerat că viteza unghiulară a elementului conducător este constantă în tot timpul ciclului cinematic.

Deoarece forţa motoare şi forţa rezistentă tehnologică sunt variabile, rezultă că nici viteza unghiulară nu este constantă, ceea ce determină modificări ale vitezelor şi acceleraţiilor liniare, ale forţelor de inerţie şi reacţiunilor.

Pe de altă parte, mecanismul în general, este un lanţ cinematic închis. Scopul oricărui mecanism este acela de a transmite şi transforma

mişcarea.

Rezultă că la rândul său mecanismul este antrenat de către o sursă motoare şi deci va transmite mişcarea unui receptor sau dispozitiv de lucru.

Ansamblul format din motor, mecanism, receptor poartă numele de maşină.

Dinamica maşinilor este o parte a teoriei mecanismelor care studiază următoarele probleme:

- repartizarea energiei cinetice de la elementul conducător la cele conduse şi calculul energiei cinetice totale, necesară efectuării mişcării impuse;

- determinarea mişcării maşinii sub acţiunea forţelor aplicate;

- reglarea mişcării maşinii prin volanţi şi/sau regulatoare;

5.2. Energia cinetică a maşinii.

  Conform teoriei lui Konig, energia cinetică E a unui sistem în mişcare este dată de suma energiei rezultate din mişcarea de translaţie a centrului maselor în care se consideră concentrată întreaga masă şi energia din mişcarea de rotaţie în jurul unei axe care trece prin centrul maselor:

(5.1.)

unde: mi - masa sistemului în mişcare;

vGi - viteza centrului maselor în mişcarea de translaţie;

IGi - momentul de inerţie al elementelor ce compun sistemul;

i - viteza unghiulară a sistemului în mişcarea de rotaţie;

Deoarece în timpul mişcării mecanismelor şi maşinilor, vitezele nu rămân constante, rezultă că nici energiile lor cinetice nu vor fi constante.

Deci vitezele unghiulare ale elementelor conducătoare nu pot fi riguros constante.

n

1i

2iGi

2Gii ωIvm

2

1E

5.3. Fazele mişcării maşinilor.

  Orice maşină sau agregat în funcţionare, trece prin trei faze:

- faza de pornire sau de demaraj;

- faza de regim sau faza mişcării;

- faza de oprire.

Fiecare din aceste faze se desfăşoară într-o anumită perioadă de timp.

Faza pornirii maşinii se caracterizează prin creşterea vitezei elementului conducător de la valoarea zero până la o valoare medie, corespunzătoare vitezei de regim a elementului conducător al maşinii.

În timpul fazei de regim, viteza elementului conducător al maşinii oscilează de obicei în jurul unei valori medii corespunzătoare vitezei de regim a elementului conducător al maşinii, repetându-se periodic.

Faza de oprire se caracterizează prin scăderea vitezei elementului conducător de la valoarea medie a vitezei de regim a maşinii până la valoarea zero a acestei viteze.

În figura 5.1. se reprezintă diagrama funcţionării unei maşini, adică curba = (t), ce exprimă relaţia dintre viteza unghiulară a elementului conducător şi timpul t .

Durata totală de mişcare a maşinii tt se compune din durata de pornire tp,

durata de regim tr şi durata opririi to. Din diagramă se observă că în cursul fazei de

regim, curba vitezei unghiulare = (t) prezintă unele oscilaţii în jurul valorii medii m corespunzătoare vitezei de regim a elementului conducător.

De asemenea, dacă oprirea se face cu ajutorul unui sistem de frânare, durata opririi se realizează în timpul tf < to.

Figura 5.1.

Se numeşte ciclu cinematic pentru elementul conducător al maşinii, timpul necesar ca poziţia, viteza şi acceleraţia elementului conducător să revină la valoarea iniţială.

În figura 5.1, durata mişcării de regim are trei cicluri.

Fiecărui ciclu cinematic îi corespunde durata tc. Aşadar, dutata totală tt

este:

  (5.2.)

 

Durata tr este dată de relaţia :

 

(5.3.)

 unde k este numărul de cicluri.

orpt tttt

cr ktt

Ţinând cont că orice maşină dezvoltă lucru mecanic, atunci în faza de pornire este valabilă relaţia :

 

(5.4.)

 

unde: Lm - lucrul mecanic motor;

Lru - lucrul mecanic al rezistenţelor tehnologice utile;

Lrp - lucrul mecanic al rezistenţelor pasive (frecări în cuple);

În această fază, lucrul mecanic motor este mai mare, deoarece trebuie să învingă starea de inerţie a maşinii.

rprum LLL

În faza de regim este valabilă relaţia:

 

(5.5.)

sau

 

adică lucrul mecanic consumat de rezistenţele utile este mai mic decât lucrul mecanic motor.

În mod similar pentru faza de oprire este valabilă relaţia:

 

(5.6.)

rprum LLL

rprum LLL

rprum LLL

5.4. Randamentul mecanismelor şi maşinilor.

  Ţinând cont de relaţia (5.5.) se defineşte randament mecanic mediu () al mecanismelor şi maşinilor, raportul dintre lucrul mecanic al rezistenţelor utile şi lucrul mecanic motor, în intervalul unui ciclu cinematic, adică:

 

(5.7.)

sau

(5.8.)

unde kp se numeşte coeficient mediu de pierdere.

Rezultă că () aparţine intervalului (0, 1), deci 0 < < 1.

Randamentul mecanic mediu al mecanismelor şi maşinilor se poate determina fie prin calcule, fie experimental, utilizând una din relaţiile (5.7.) sau (5.8.).

m

rp

m

rpm

m

ru

L

L1

L

LL

L

Lη

pm

rpk1

L

L1η

Dacă o instalaţie este compusă din n mecanisme sau maşini simple legate în serie (figura 5.2.) ale căror randamente 1, 2,...., n sunt cunoscute, randamentul

mecanic mediu total se poate calcula cu relaţia :

 

(5.9.)

  Deci randamentul total la legarea în serie se obţine din produsul randamentelor parţiale.

n211nru,

nru,

ru,1

ru,2

m

ru,1

m

nru, η.....ηηL

L.....

L

L

L

L

L

Lη

Figura 5.2.De aici se deduce că randamentul total η este mai mic decât cel mai

mic randament parţial. Această constatare permite a se face recomandarea că la legarea în serie este bine a se evita folosirea unuia sau a mai multor mecanisme cu randamente scăzute, deoarece acestea coboară randamentul total sub ele.

5.5. Forţe şi momente reduse.

  Pentru cercetarea mişcării unei maşini sau a unui mecanism care se găseşte sub acţiunea forţelor date, este indicat ca toate forţele care acţionează asupra acestora să fie înlocuite prin forţe aplicate la unul din elementele mecanismului sau ale maşinii.

În acest caz este necesar ca lucrul mecanic corespunzător deplasării virtuale considerate sau puterea datorată forţelor de înlocuire să fie respectiv egale cu suma lucrurilor mecanice sau a puterilor datorate forţelor reale aplicate elementelor mecanismelor studiate.

Forţele de înlocuire care satisfac aceste condiţii se numesc forţe reduse.

Elementul unui mecanism la care sunt aplicate forţele reduse se numeşte element de reducere, iar punctul de aplicaţie al forţelor reduse, punct de reducere.

Deoarece maşina reprezintă un sistem care are un singur grad de mobilitate, este evident că pentru studiul mişcării sale este suficient să se cunoască legea de mişcare a unuia dintre elemente.

De obicei, drept asemenea element se alege arborele conducător al maşinii de lucru sau ultimul element condus.

Prin definiţie, forţa sau momentul redus este forţa sau momentul fictiv care, acţionând asupra unui element al mecanismului numit element de reducere dezvoltă aceeaşi putere ca şi întregul sistem de forţe şi momente ce acţionează asupra mecanismului.

Pe baza definiţiilor date se poate scrie:

 

(5.13.)

(5.14.)

unde: vA, 1 - reprezintă viteza punctului A de aplicaţie a forţei reduse, respectiv

viteza unghiulară a elementului de reducere;

Fj, Mj - forţa respectiv momentul ce acţionează asupra elementului

cinematic j;

vj, j - viteza punctului de aplicaţie a forţei Fj, respectiv viteza

unghiulară a elementului j;

aj - unghiul dintre vectorii Fj, vj;

n - numărul elementelor mobile ale mecanismului.

n

1jjjjjjAred ωMcosαvFvF

n

1jjjjjj1red ωMcosαvFωM

S-a presupus că forţa redusă Fred acţionează pe direcţia vitezei vA a

punctului ei de aplicaţie (figura 5.4.)

Din relaţiile (5.13.) şi (5.14.) rezultă:

 

(5.15.)

 

(5.16.)

n

1j A

jj

A

jjjred v

ωM

v

cosαvFF

n

1j 1

jj

1

jjjred ω

ωM

ω

cosαvFM

Figura 5.4.

Se menţionează faptul că produsul Mjj este pozitiv când M

şi j au acelaşi sens şi negativ în caz contrar.

Dacă din calcule pe baza relaţiilor (5.15.) şi (5.16.), rezultă Fred şi Mred negative, înseamnă că se opun sensului de mişcare a elementului de reducere.

Forţa şi momentul redus nu depind (dacă se face abstracţie de forţele de inerţie) de rapiditatea cu care se mişcă elementul de reducere care de regulă este chiar elementul conducător.

Forţa şi momentul redus depind de mărimile forţelor şi momentelor exterioare, de punctele lor de aplicaţie, precum şi de poziţia mecanismului.

Variaţia forţelor şi momentelor reduse este periodică.

Perioada după care aceste mărimi se repetă este ciclul energetic.

5.6. Masa redusă şi momentul de inerţie redus.

  Pentru a simplifica expresia energiei cinetice dezvoltată de un mecanism, se introduc noţiunile de masă redusă mred şi moment de inerţie redus Ired.

Prin definiţie, masa redusă a unui mecanism sau a unei maşini este echivalentă cu o masă fictivă care, concentrată într-un punct al unui element numit element de reducere dezvoltă aceeaşi energie cinetică ca întregul mecanism sau masină în mişcare.

Similar, momentul de inerţie redus al unui mecanism sau al unei maşini este echivalent cu momentul de inerţie fictiv al unui volant, care rotindu-se cu elementul de reducere, dezvoltă aceeaşi energie cinetică ca întregul mecanism sau maşină în mişcare.

Pe baza definiţiilor date se poate scrie:

 

(5.23.)

(5.24.)

unde:

vA, 1 - viteza punctului A de reducere a masei, respectiv viteza unghiulară de reducere;

mj, IGj - masa respectiv momentul de inerţie mecanic în raport cu o axă ce trece prin centrul de greutate al elementului j;

vGj, j - viteza centrului de greutate, respectiv viteza unghiulară a elementului j;

n - numărul elementelor mobile ale mecanismului;

n

1j

2j

Gj

2Gj

j

2A

red 2

ωI

2

vm

2

vm

n

1j

2j

Gj

2Gj

j

21

red 2

ωI

2

vm

2

ωI

Din relaţiile (5.23.) şi (5.24.) rezultă:

 

(5.25.)

(5.26.)

De regulă, ca element de reducere atât al forţelor cât şi maselor se adoptă chiar elementul conducător.

Întrucât vGj / vA, j / vA, vGj / j, j / 1 nu sunt altceva decât funcţii de transmitere de ordinul întâi, adică caracteristici geometrice, înseamnă că nici masa redusă nici momentul de inerţie redus nu depind de rapiditatea mişcării elementului de reducere.

Totodată, masa şi momentul de inerţie redus sunt variabile.

Perioada de variaţie a masei reduse sau a momentului de inerţie redus se numeşte ciclu geometric (Fg).

n

1j

2

A

jGj

2

A

Gjjred v

ωI

v

vmm

n

1j

2

1

jGj

2

1

Gjjred ω

ωI

ω

vmI

5.7. Reglarea mişcării maşinii cu ajutorul volantului.

  5.7.1. Gradul de neregularitate al maşinii.

Mişcarea unei maşini, determinată de relaţia care există între masele elementelor şi forţele care acţionează asupra lor, este, în general, variabilă.

Mişcarea variabilă a elementului conducător produce reacţiuni dinamice suplimentare în cuplele cinematice şi vibraţii în elementele maşinii, ceea ce determină creşterea solicitărilor mecanice şi scăderea randamentului maşinii.

De asemenea, variaţiile de viteză pot să influenţeze negativ procesul de lucru al maşinii.

Oscilaţiile periodice ale vitezei elementului conducător în timpul fazei de regim se datorează faptului că lucrul mecanic produs de forţele motoare este egal cu cel consumat de forţele rezistente pe durata unui ciclu, nu însă şi în interiorul acestuia.

Momentul de inerţie redus Ired este, în general, o mărime variabilă, funcţie de poziţia maşinii în timpul ciclului.

Deci, în interiorul unui ciclu de funcţionare, energia cinetică a maşinii variază ca o consecinţă a variaţiei corespunzătoare a vitezei elementului conducător.

Este necesar deci, ca Ired să fie astfel ales încât să preia excesul de energie cinetică când Mred > 0 şi să-l cedeze când Mred < 0;

În acest fel atunci când MM > Mred, excesul de lucru mecanic

nu va produce o creştere a lui , iar când MM < Mred, nu va scădea.

Este de menţionat că în faza de regim pot apărea şi oscilaţii neperiodice ale vitezei, ca urmare a perturbării echilibrului dintre lucrul mecanic motor şi lucrul rezistent sau a cuplării unor mase suplimentare la maşină.

Reglarea mişcării maşinii constă în menţinerea variaţiilor vitezei elementului conducător între anumite limite, (realizarea unui grad de neregularitate mic), funcţie de procesul tehnologic impus.

Limitarea oscilaţiilor periodice se poate face prin alegerea convenabilă a maselor elementelor şi a legilor de variaţie ale forţelor şi momentelor care acţionează asupra maşinii.

Pe de altă parte, mişcarea elementului de reducere în faza de regim este cu atât mai apropriată de o mişcare uniformă, cu cât partea constantă Io a momentului de inerţie redus, (figura 5.5.) este mai mare în raport cu cea variabilă.

Figura 5.5.

Practic, majorarea momentului de inerţie constant se realizează prin montarea pe arborele principal (de reducere), sau pe un alt arbore legat de acesta printr-un raport de transmitere constant, a unei mase suplimentare numită volant. Volantul, având moment de inerţie Iv mare, în perioada de accelerare înmagazinează energia cinetică , iar în perioada de decelerare cedează energia cinetică.

Se produce astfel, o apropriere între max şi min numită uniformizare ciclică a mişcării.

O reducere prea mare a gradului de neregularitate impune construirea unui volant mare, deci o contrucţie costisitoare.

Ca urmare, se alege gradul de neregularitate la valori admisibile procesului tehnologic.

În alte situaţii, volantul este utilizat pentru evitarea supradimensionării maşinii ce acţionează elementul conducător.

Exemplu:

- La maşinile de lucru caracterizate prin vârfuri de sarcină de scurtă durată (presele mecanice, maşinile de ambutisat şi matriţat, laminoare, etc.), volantul uniformizează variaţia sarcinii şi în consecinţă se poate utiliza un motor de putere mai mică decât aceea necesară pentru învingerea vârfurilor de sarcină.

Se defineşte noţiunea de grad de neregularitate (de neuniformitate) al maşinii (δ), ca fiind raportul dintre diferenţa valorilor extreme ale vitezei unghiulare corespunzătoare fazei de regim şi valoarea medie a acestuia:

 

(5.27.)

unde: med - viteza unghiulară medie (figura 5.6.) şi este dată de relaţia:

 

(5.28.)

max, min - vitezele unghiulare limită din faza de regim;

med

minmax

ω

ωωδ

2

ωωω minmax

med

Figura 5.6.

În practică, mărimea variază în limite destul de largi.

Pe baza observaţiilor făcute asupra diferitelor maşini aflate în funcţiune s-au stabilit limitele superioare ale gradului de neregularitate astfel ca buna funcţionare a maşinii să nu fie prejudiciată.

Câteva valori orientative ale gradului de neregularitate pentru unele maşini mai răspândite sunt date în tabelul 5.1.

Tabelul 5.1.___________________________________________________________________Nr. crt. Tipul maşinii ___________________________________________________________________ 1 Pompe 1/5 - 1/30___________________________________________________________________ 2 Maşini agricole 1/5 - 1/50___________________________________________________________________ 3 Maşini de prelucrare a metalelor 1/20 - 1/50___________________________________________________________________ 4 Maşini de ţesut, poligrafice şi maşini de morărit 1/10 - 1/50___________________________________________________________________ 5 Maşini pentru filarea bumbacului 1/60 - 1/100___________________________________________________________________ 6 Motoare cu ardere internă 1/80 - 1/150___________________________________________________________________ 7 Motoare navale 1/20 - 1/150___________________________________________________________________ 8 Compresoare 1/50 - 1/100___________________________________________________________________ 9 Generatoare electrice de curent continuu 1/100 - 1/200___________________________________________________________________ 10 Generatoare electrice de curent alternativ 1/200 - 1/300___________________________________________________________________ 11 Motoare de avion 1/200 şi mai mic___________________________________________________________________ 12 Turbogeneratoare 1/200 şi mai mic___________________________________________________________________ 

Cunoscând pe şi med din relaţiile (5.27. ) şi (5.28.) rezultă:

 

(5.29.)

(5.30.)

De asemenea, cunoscând diagrama () se poate determina gradul de neregularitate prin introducerea în relaţie a valorilor min şi max (fig. 5.6.).

2

δ1ωω medmin

2

δ1ωω medmax

5.7.2. Determinarea momentului de inerţie al volantului.

  5.7.2.1. Determinarea lui Iv pentru un impus.

Expresia momentului de inerţie redus Ired al maşinii (figura 5.5.), este dată de relaţia:

  (5.31.)

 unde: Io - termen constant egal cu valoarea minimă (Ired min);

Ired() - termen variabil funcţie de poziţia maşinii în timpul ciclului;

redoredred ΔIIII

redov*red ΔIIII

Momentul de inerţie redus total I*red al maşinii (inclusiv al volantului) este dat de relaţia:

  (5.32.)

unde :

Iv - momentul de inerţie al volantului;

5.7.3. Determinarea dimensiunilor volantului.

  Uneori în locul momentului de inerţie redus Ired al unei maşini se folo-seşte noţiunea de moment de giraţie redus (GD2)red.

Acesta se deduce din considerentul că Ired este dat de o masă m = G/g plasată la distanţa D/2 , cum este cazul roţii cu spiţe şi obadă,(figura 5.7), adică:

  (5.37.)

de unde:  

(5.38.)

 unde g este acceleraţia gravitaţională [m/s2] .

4

D

g

GI

2

red

redred2 4gIGD

Figura 5.7.

În calculele practice se obişnuieşte a se cunoaşte momentul de giraţie GD2 al volantului.

Conform relaţiei (5.38) momentul de giraţie al volantului se calculează cu relaţia :

  (5.39.)

unde:

G - greutatea volantului [N] ;

D - diametrul echivalent al volantului [m] ;

Iv - momentul de inerţie al volantului [kg m2];

2v

2 Nm ;4gIGD

Dacă volantul este construit sub formă de disc (figura 5.8.) de diametru d = 2 r atunci momentul de giraţie al volantului se calculează cu relaţia :

Figura 5.8.

][ 2v

2 8gIGD Nm (5.41.)

Dacă condiţiile constructive nu permit montarea volantului pe arborele de reducere, respectiv pe arborele corespunzător elementului conducător, se calculează momentul volantului corespunzător arborelui pe care se montează, I’

v cu relaţia :

,

unde corespunde arborelui elementului conducător iar ’ este viteza unghiulară a arborelui pe care se montează volantul.

2

''

vv II