Seminar 1 NOIUNI DE CALCUL VECTORIAL 1.Generaliti Mrimea scalar este o mrime caracterizat complet printr-un singur numr care nu depinde de sistemul de referin. este o mrime caracterizat de un singur numr pozitiv sau negativ. Exemple de mrimi scalare: lungimea, temperatura, masa, timpul, lucrul mecanic. Mrimea vectorial este o marime care pe lng valoarea numeric are i o orientare n spaiu, adic direcie i sens.

a

vrful vectorului

a

= a = vectorul a

originea vectorului/ punct de aplicaie al vecvectorului

a = a = a = modulul vectorului a

Exemple de vectori: fora, momentul, viteza acceleraia. Scrierea unui vector cu ajutorul coordonatelor carteziene: NM = OM ON z M(xm, ym, zm) NM = ( xM i + y M j + z M k ) ( x N i + y N j + z N k )N(xN, yN, zN)

NM = ( xM xN )i + ( yM y N ) j + ( z M z N )k u= NM NM = ( xM x N )i + ( y M y N ) j + ( z M z N )k ( xM x N ) 2 + ( y M y N ) 2 + ( z M z N ) 2 , versorul NM

O x

y

k ij

2.Operaii cu vectori 2.1 Egalitatea a doi vectori: Doi vectori a i b sunt egali dac modulele vectorilor sunt egale, au aceeai direcie i acelai sens. a = b dac a = b i au aceei direcie i acelai sens.

2.2 Coliniaritatea a doi vectori: Doi vectori a i b sunt coliniari dac cei doi vectori sunt paraleli cu aceeai dreapt . a , b vectori coliniari. 2.3 Vectori opui Doi vectori a i b sunt opui dac modulele vectorilor sunt egale, au aceeai direcie dar sens contrar. vectorii sunt opui. a = b , a = b 2.4 nmulirea unui vector cu un scalar Prin nmulirea unui vector cu un scalar se obine un vector v de intensitate v, cu aceei direcie, de acelai sens dac scalarul este pozitiv i de sens contrar dac scalarul este negativ. v = v dac > 0 rezult v , v au acelai sens; dac < 0 rezult v , v au sens contrar. 1

2.5 Suma a doi vectori Suma a doi vectori liberi v1 i v2 este vectorul v , care are direcia, sensul i modulul determinate fie prin diagonala paralelogramului construit cu vectorii componeni, fie prin aezarea vectorilor astfel nct vrful unuia s coincid cu originea celuilalt.

v1 v1a

v2

Matematic scriem:b

v

v1

v2

v = v1 + v2 Grafic avem: paralelogramului (a), regula

v2dup dou direcii coplanare(1) II(1) (2)

v

- regula triunghiului (b). 2.6 Descompunerea unui vector v1 (1 ) , v2 ( 2 )

v = v1 + v2 ,

v1

II(2)

v

Prin extremitile vectorului se v construiescdreptele paralele cu direciile 1 i 2. Laturile paralelogramului obinut determin n mod unic componentele v1 i v2 .

2.7 Proiecia unui vector n plan Vectorul v i dreapta B sunt coplanare. u este versorul axei pe care se gsete A B vectorul v . =(v , ) v = v u () pr v = v cos A B

v2

u

v

Proiecia unei sume de vectori pe o ax este egal cu suma proieciilor vectorilor componeni. 2.8 Descompunerea unui vector dup trei direcii necoplanarez

G E

F

v = v1 + v2 + v3 i , j , k - versorii axelor Ox, Oy i Oz. v1 = v x i , v2 = v y j , v3 = v z k vx ,vy, vz = proieciile vectorului v pe axe v1, v2, v3 = componentele vectoriale ale vectorului v , rezultate la descompunere.x y z

D O A

v3B

C y

x

v =v i + v j + v k k v v2 = (v , Ox) , = (v , Oy ) , = (v , Oz ) = unghiurile directoare i j v = v cos , v = v cos , v1 vx y

v z = v cos cos = vy v ,

cos =

x

v

,

vz v cos, cos, cos = cosinusurile directoare cos = 2

modulul vectorului v este:

2 2 v = vx + v y + v z2

v = v u = v

OE x i + yE j + z E k =v E 2 2 2 OE xE + y E + z E

unde rE = OE = xE i + yE j + z E k este vectorul de poziie al lui E.

3

2.9 Produse de vectori 2.9.1 Produsul scalar a doi vectori

b

aa b = a b cos Proprieti produsul scalar este nul: dac unul din cei doi vectori este nul, sau dac cei doi vectori sunt perpendiculari. Exemplu: i j = 0 , j k = 0 , k i = 0 . produsul scalar al unui vector prin el nsui este egal cu ptratul modulului su: a a = a 2 Exemplu: i i = 1 , j j = 1 , k k = 1 produsul scalar este comutativ: a b = b a produsul scalar este asociativ cu un factor scalar: ( a b ) = ( a ) b = a ( b )

u

produsul scalar este distributiv n raport cu suma vectorial: a ( b + c ) = a b + a c produsul scalar al unui vector v prin versorul u al unei axe () este egal cu proiecia ortogonal a vectorului pe axa respectiv. B v u = v cos 1 = v () v C A Exemplu: v i = vx , v j = v y , v k = vz

v

Expresia analitic a produsului scalar a = a xi + a y j + a z k , b = bxi + by j + bz k a b = axbx + a y by + az bz

2.9.2

Produsul vectorial a doi vectori a b = c

(c (a ,b ))

c = a b sin

c

Proprieti produsul vectorial este nul: dac unul din vectori este nul, sau dac cei doi vectori sunt paraleli. produsul vectorial al unui vector prin el nsui este nul. Exemplu: i i = 0 , j j = 0 , k k = 0 produsul vectorial a doi versori ortogonali este tot un versor. Exemplu: i j = k , j k = i , k i = j . produsul vectorial este comutativ: a b = b a produsul vectorial este asociativ cu un factor scalar: ( a b ) = ( a ) b = a ( b ) produsul vectorial este distributiv n raport cu suma vectorial: a ( b + c ) = a b + a c Expresia analitic a produsului vectorial a = a xi + a y j + a z k , 4 b = bxi + by j + bz k

b

a

i a b = ax bx

j ay by

k a z = ( a y bz a z by )i + ( az bx axbz ) j + ( axby a y bx ) k bz

5

2.9.3

Produsul mixt a trei vectori

h

v

a

cb

a (b c ) = ( a b ) c = ( a , b , c )

Modulul produsului mixt este egal cu volumul paralelipipedului construit de cei trei vectori a ( b c ) = a v = v a cos = v h unde v este aria paralelogramului determinat de b i c , h este nlimea paralelipipedului. Proprieti produsul mixt este nul dac unul din vectori este nul sau dac vectorii a , b , c sunt coplanari. produsul mixt este pozitiv dac a , b , c n aceast ordine formeaz un triedru drept produsul mixt este comutativ produsul mixt este asociativ cu un factor scalar produsul mixt este distributiv n raport cu suma vectorial Expresia analitic a produsului mixt a = a xi + a y j + a z k , b = bxi + by j + bz k , ax a ( b c ) = bx cx ay by cy az bz cz c = c xi + c y j + c z k

2.9.4

Dublul produs vectorial

w

a c vb

v = a (b c ) 6

w = b c , w ( b , c ) , v ( a , w ) , v , b , c = coplanari Formula de dezvoltare

( a b ) c = ( a c )b (b c )aProprieti dublul produs vectorial nu este comutativ dublul produs vectorial nu este asociativ cu un factor scalar Expresia analitic a dublului produs vectorial a = a xi + a y j + a z k , b = bxi + by j + bz k , i v = a (b c ) = ax by cz bz c y j ay bz cx bx cz c = c xi + c y j + c z k

+ az ( by cz bz c y ) a x ( bx c y by cx ) j + a x ( bz cx bx cz ) a y ( by cz bz c y ) k

[

] [

k az = a y ( bx c y by cx ) a z ( bz cx bx cz ) i + bx c y by cx

[

]

]

7