CENTRUL DE EXCELENŢĂ PENTRU TINERI CAPABILI DE PERFORMANŢĂ IAŞIAnul şcolar 2010 - 2011

Probleme de geometrie rezolvate vectorialClasa a IX-a

Prof. Iurea GheorgheProf. Munteanu Daniela

1. Considerăm în plan punctele M şi N şi triunghiul ABC. Dacă şi ,

demonstraţi că A, M, N sunt coliniare dacă şi numai dacă

Soluţie: ; A, M, N coliniare

2. Fie triunghiul ABC cu laturile a, b, c, iar I centrul cercului înscris, M şi N astfel încât Să se arate că M, I, N sunt coliniare dacă şi numai dacă mb + nc = a.

Soluţie: .

M, I, N coliniare

Observaţie: Folosind teorema transversalei, M, I, N coliniare

3. Fie Demonstraţi că , pentru orice punct P din plan.

4. Fie ABC un triunghi, iar P şi Q mijloacele laturilor (MN) şi (BC). Dacă PQ este paralelă cu bisectoarea unghiului A, arătaţi că Soluţie: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC şi BM = x, CN = y.

; PQ || AD x = y.

5. Fie triunghiul ABC şi centrele O, I ale cercurilor circumscris, respectiv înscris. Să se arate că dacă are loc relaţia atunci Soluţie: .

Cum , rezultă deci

şi

1

6. Fie triunghiul ABC, M mijlocul lui (AC), )(BMN astfel încât şi Arătaţi că punctele A, N, P sunt coliniare.

Soluţie: deci

7. Fie , , vectori nenuli astfel încât + , - , +2 + 3 sunt coliniari. Arătaţi că , , sunt coliniari.Soluţie: + = x ; - = y , + 2 + 3 = z , x, y, z numere reale, iar direcţia comună.

Rezultă: .

8. În triunghiul ABC considerăm . Fie ,

Dacă , determinaţi .

Soluţie: ; ; . coliniari , deci .

9. O mulţime are 2010 vectori cu lungimi ce formează mulţimea {1, 2, ..., 2010} şi au direcţiile paralele cu două drepte concurente date. Demonstraţi că suma acestor vectori este nenulă indiferent de direcţiile şi sensurile lor.Soluţie: Fie şi vectorii daţi.

.

Din

ceea ce este fals.

10. Considerăm triunghiul ABC şi AD, BF, CE bisectoarele unghiurilor triunghiului. Dacă , atunci triunghiul ABC este echilateral.

Soluţie: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului. Atunci condiţia dată impune:

, deci

11. Fie ABC un triunghi şi M un punct din planul său. Notăm cu simetricele punctului M faţă de mijloacele laturilor BC, CA, AB. Demonstraţi că sunt concurente.Soluţie: Fie mijloacele laturilor BC, CA, AB. Notăm cu vectorul de poziţie al punctului X

faţă de un punct oarecare O din plan. Rezultă . Căutăm care să se exprime

simetric în funcţie de . , alegem

Va rezulta şi .

2

12. Fie A, B distincte în plan şi M arbitrar în plan. Arătaţi că .

Soluţie: coliniari

13. Fie H ortocentrul triunghiului ABC, M, N, P mijloacele laturilor BC, CA respectiv AB, iar

astfel încât Să se arate că

sunt concurente.Soluţie: Notăm cu vectorul de poziţie al punctului X faţă de O, centrul cercului circumscris

triunghiului ABC şi . Atunci şi Căutăm un

punct astfel încât să se exprime simetric în funcţie de .

alegem x astfel încât

deci Atunci Rezultă şi

Prin urmare, dreptele sunt concurente în Q.

14. Fie ABCD un dreptunghi înscris în cercul C(O, R), M un punct de pe cerc şi ortocentrele triunghiurilor MAB, MCD. Demonstraţi că M este mijlocul lui Soluţie: Fie O centrul cercului circumscris dreptunghiului. Atunci avem:

, . Cum .

15. Fie un triunghi înscris în cercul C(O, R). Notăm ortocentrele triunghiurilor , unde M este un punct de pe cerc. Să se arate că sunt

concurente.Soluţie: Dreptele sunt concurente în mijlocul segmentului MH, H ortocentrul triunghiului .

16. Se consideră rombul ABCD şi M (AB), N (BC) şi P (DC). Să se arate că centrul de greutate al triunghiului MNP se află pe dreapta AC AM + DP = BN.Soluţie: Alegem reperul cu originea în O, intersecţia diagonalelor rombului. Rezultă:

si , unde l = AB, x = AM, y = BN, z = DP.

Atunci G AC există u R astfel încât x – y + z = 0.

17. Se consideră triunghiul ABC şi punctele Să se arate că mijloacele

segmentelor (AB), (AC) şi (DE) sunt coliniare dacă şi numai dacă

Soluţie: Fie Notăm cu M mijlocul lui (AB), P mijlocul

lui (AC) şi N mijlocul lui (DE). Avem: .

3

M, N, P coliniare . Rezultă că

18. În paralelogramul ABCD se dau : AB = 4, BD = 3, BC = 2. Fie G centrul de greutate al triunghiului

ABD, I centrul cercului înscris în triunghiul BCD şi cu . Să se arate că G, I şi M sunt

coliniare şi IG = 2IM.

Soluţie: Faţă de un punct arbitrar O, si

deci

19. Fie ABCX şi DEFX paralelograme. Arătaţi că triunghiurile ACE şi BDF au acelaşi centru de greutate.

Soluţie:

20. Fie ABCDE pentagon şi M, N, P, Q punctele de intersecţie ale segmentelor ce unesc mijloacele laturilor opuse în patrulaterele BCDE, CDEA, EABD şi ABCE. Demonstraţi că MNPQ este paralelogram dacă şi numai dacă ABCD este paralelogram.

Soluţie: În raport cu un punct O, şi analoagele.

MNPQ este paralelogram .

21. Fie ABCD un patrulater inscriptibil, iar M, N, P, Q mijloacele laturilor (AB), (BC), (CD), (DA). Arătaţi că perpendicularele din M pe CD, din N pe DA, din P pe AB şi din Q pe BC sunt concurente.Soluţie: Notăm cu O centrul cercului circumscris patrulaterului ABCD, E intersecţia perpendicularelor din M pe CD şi din P pe CD, iar F intersecţia perpendicularelor din Q pe BC şi din N pe AD. MOPE şi

OQFN sunt paralelograme. Rezultă

22. Se consideră un triunghi ABC şi punctele M (AB), N (AC). Demonstraţi că dreapta MN conţine

centrul de greutate al triunghiului dacă şi numai dacă

Soluţie: Fie . Faţă de un punct oarecare O,

şi

4

23. Fie ABCDEF un hexagon regulat şi M (AC), N (CE) astfel încât Determinaţi k

astfel încât punctele B, N, M să fie coliniare.

Soluţie: În raport cu un punct O, ; . Dacă Q este centrul hexagonului, atunci şi , deci .B, N, M sunt coliniare dacă există x R astfel încât ;

rezultă 1 – k = 2(1 – x) k; 0 = x – 3(1 – x) k, k = (1 – x)(1 – k) + 2(1 – x) k. Deducem .

24. Fie ABC un triunghi. Să se arate că IG || BC dacă şi numai dacă AB + AC = 2BC.Soluţie: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC.

IG || BC

25. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Dacă , atunci triunghiul ABC este echilateral.

Soluţie: Fie ,

deci ON = OM = OP.

Din teorema lui Stewart avem:

Rezultă a = b = c.

26. Fie triunghiul ABC şi L, M astfel încât , iar . Să se arate că A, M, L

sunt coliniare.

Soluţie: , deci

27. Se consideră punctele A, B, C, D coplanare, oricare trei necoliniare şi R, S ortocentrele triunghiurilor ABC, respectiv ABD. Să se arate că A, B, C, D sunt conciclice dacă şi numai dacă

.Soluţie: Fie centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC şi ABD. Faţă de un punct O,

avem: , deci

. Astfel,

28. Fie ABC un triunghi, .a) Demonstraţi că AD < kAB + (1 - k)AC;

b) Dacă (AD este bisectoarea unghiului A, demonstraţi că .

Soluţie: a)

b)

5

29. Pe laturile (BC) şi (CD) ale patrulaterului convex ABCD, se consideră punctele M şi N astfel încât

Fie Dacă arătaţi că ABCD este paralelogram.

Soluţie: Fie , a şi b numere reale.

Rezultă: şi deci

ABCD paralelogram.

30. Fie ABC un triunghi, D mijlocul lui BC, M, N puncte pe BC astfel încât BM = CN. Arătaţi că

Soluţie: Fie . Atunci deci

şi

31. Fie ABCD un patrulater înscris într-un cerc de centru O şi X un punct în planul său. Se notează cu , respectiv simetricele punctului X faţă de ortocentrele, respectiv

centrele de greutate ale triunghiurilor BCD, CDA, DAB, ABC. Să se arate că:a) Dreptele sunt concurente într-un punct H.b) Dreptele sunt concurente într-un punct G.c) Punctele Y, H, G sunt coliniare, Y simetricul lui X faţă de O.Soluţie: Alegem un reper cu originea în O.a) Avem: , deci Căutăm a R astfel încât să se

exprime simetric în funcţie de

Cum alegem Obţinem:

Astfel, dreptele sunt concurente în H.

b) Din , deducem Procedând ca mai sus, dreptele

sunt concurente în G şi

c) Avem: Punctele Y, H, G sunt coliniare dacă există astfel încât

găsim

32. Fie ABCD un patrulater inscris în cercul C(O, R). Notăm ortocentrele triunghiurilor BCD, CDA, DAB, ABC. Arătaţi că sunt concurente.

Soluţie: În raport cu un reper cu originea în O, . Căutăm care se exprimă

simetric în

. Alegem

6

33. Pe laturile AB, BC, CD, DA ale paralelogramului ABCD se consideră M, N, P, Q astfel încât

unde l, m, n, p > 0 şi . Arătaţi că dreptele

QN, PM şi AC sunt concurente.

Soluţie: şi analoagele. Relaţia dată devine:

, deci m = l şi k = p. Rezultă AM = CP şi BN = DQ. Din

paralelogramele AMCP, BNDQ şi ABCD rezultă concurenţa cerută.34. Fie ABCD, CEFG, FHAI paralelograme. Daca M, N sunt centrele de greutate ale triunghiurilor BEF şi DIG, atunci centrul de greutate al triunghiului ACF este mijlocul lui (MN).

Soluţie: Folosim: “Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi UVW, atunci şi

dacă XYZT este paralelogram, atunci .

35. Triunghiurile ABC şi A’B’C’ au acelaşi centru de greutate. Demonstraţi ca AA’, BB’, CC’ pot fi laturile unui triunghi.Soluţie: , deci AA’, BB’, CC’ pot fi laturile unui triunghi.

36. Fie ABCD un patrulater convex, G centrul de greutate al triunghiului BCD şi H ortocentrul triunghiului ACD. Demonstraţi că ABGH este paralelogram dacă şi numai dacă G coincide cu centrul cercului circumscris triunghiului ACD.Soluţie: Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ACD. În raport cu O, ABGH este paralelogram dacă şi numai dacă

, deci

37. Fie ABCDE un pentagon şi M, N, P, Q, R, S mijloacele segmentelor AB, BC, CD, DE, MP şi NQ.

Arătaţi că .

Soluţie: şi analoagele. Deducem

şi , deci .

38. Fie ABCDE pentagon inscriptibil, iar ortocentrele triunghiurilor ABC, BCD, CDE, DEA, EAB şi mijloacele segmentelor DE, EA, AB, BC, CD. Demonstraţi că dreptele

sunt concurente.

Soluţie: Fie O centrul cercului circumscris pentagonului. Faţă de O,

Căutăm un punct care sa aibă Qr simetric în .

7

.

Considerăm si . Rezultă Qr .

39. Arătaţi că într-un triunghi dreptunghic IG nu poate fi paralelă cu ipotenuza, însă poate fi paralelă cu una dintre catete.Soluţie: Fie triunghiul ABC dreptunghic în A.

IG || BC , în raport cu un punct oarecare O.

Rezultă , b + c = 2a. Cum , imposibil.

IG || AB este echivalent cu a = 5k, b = 3k, c = 4k.

40. Fie (AB), (CD) două coarde perpendiculare ale unui cerc de centru O şi fie P punctul de intersecţie al dreptelor AB şi CD. Să se arate că .Soluţie: Fie M mijlocul lui (AB), iar N mijlocul lui (CD). Atunci şi

.

41. Fie ABCD un patrulater convex, E mijlocul lui (AC), iar F mijlocul lui (BD). Dacă , , atunci ABCD este paralelogram.

Soluţie: .

Rezultă . Cum , deci ABCD este paralelogram.

42. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC, iar centrele de greutate ale triunghiurilor

GBC, GCA, GAB. Arătaţi că .Soluţie: Fie O un punct oarecare al planului. Atunci avem:

.

43. Fie vectorii de poziţie corespunzători vârfurilor triunghiului ABC, iar a, b, c lungimile

laturilor BC, CA, AB. Să se arate că dacă , atunci triunghiul ABC este echilateral.Soluţie: Avem relaţia dată în forma: , deci triunghiul ABC este echilateral.

44. Să se arate că I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC dacă şi numai dacă , unde a = BC, b = AC, c = AB.

Soluţie: Fie I centrul cercului inscris în triunghiul ABC şi AD bisectoarea unghiului A. Atunci:

. Rezultă .

Reciproc, fie I’ centrul cercului inscris.

8

Avem:

45. Fie paralelogramul ABCD, E un punct pe diagonala (BD), diferit de centrul paralelogramului şi C’ simetricul lui C faţă de E. Paralela prin C’ la AD taie AB în F, iar paralela prin C’ la AB taie AD în G. Să se arate ca:a) EF || AC;b) E, F, G sunt coliniare.Soluţie: Faţă de un punct oarecare O din planul ABCD,

Din , deci

. Dar C’F || BC,

deci . Obţinem: , deci

şi . Rezultă , deci EF ||

AC. De asemenea, (din AFC’G paralelogram), deci

. În concluzie, E, F, G sunt coliniare.

46. Fie ABC un triunghi, D un punct pe (AB), E un punct pe (AC) astfel încât . Paralela prin

E la BC taie AB în F. Arătaţi că:a) (AB) şi (DF) au acelaşi mijloc;b) mijloacele segmentelor (AB), (AC) şi (DE) sunt coliniare.

Soluţie: Fie Atunci avem: .

a) Dacă M’ este mijlocul lui DF, iar M este mijlocul lui (AB), atunci

, deci M’ = M.

b) Fie M, N, P mijloacele segmentelor (AB), (AC), (DE).

De aici, .

M, N, P coliniare cu .

47. Fie ABCD un patrulater inscriptibil şi M un punct pe cercul circumscris acestuia, diferit de vârfurile patrulaterului. Dacă sunt ortocentrele triunghiurilor MAB, MBC, MCD şi MDA, iar E, F mijloacele segmentelor (AB) şi (CD), atunci:a) este paralelogram;b) .

(Olimpiada Judeţeană, 2002)

9

Soluţie: Folosim vectorii de poziţie faţă de O.

Avem: . Analog Deci

În concluzie, este paralelogram.

b)

48. Fie ABC un triunghi, G centrul de greutate şi astfel încât

. Notăm cu D, E, F centrele de greutate ale triunghiurilor AMP, BMN, CNP. Să se

arate că:a) triunghiurile ABC şi DEF au acelaşi centru de greutate;b) pentru orice punct X al planului, avem : .

(Olimpiada Judeţeană, 2002)

Soluţie: a) Fie . Faţă de un punct O, . Dacă este

centrul de greutate al triunghiului DEF, iar G al triunghiului ABC, atunci

.

b) Deci (inegalitatea este strictă deoarece un sunt coliniari).

49. Spunem că o mulţime A de vectori nenuli din plan are proprietatea (S) dacă are cel puţin trei elemente şi . a) Arătaţi că pentru orice , există o mulţime de vectori nenuli, care are proprietatea (S).b) Demonstraţi că o orice mulţime finită de vectori nenuli, care are proprietatea (S), are cel puţin 6 elemente.

(Olimpiada Judeţeană, 2003)Soluţie: a) Pentru n = 6 considerăm , unde este hexagon

regulat de centru O. Demonstrăm inductiv. Fie o mulţime de n vectori care are proprietatea (S). Construim o mulţime cu (n + 1) vectori, care are aceeaşi proprietate. Dacă

sunt din A, cum sunt distincţi, diferiţi de , rezultă:

, de unde urmează că, fals. Prin urmare, există astfel

încât , multimea (cu (n + 1) elemente) are prorietatea (S).

b) Fie . Alegem două axe, de versori , neparalele cu nici unul dintre

vectorii . Rezultă: .

Mulţimea M = are aceeaşi proprietate cu (S).

10

Fie , cel mai mic element. Atunci există b, c diferite, b, c < 0 astfel încât a = b + c (dacă b > 0 sau c > 0, a nu poate fi cel mai mic element). Rezultă că M conţine cel puţin trei numere negative. Considerând cel mai mare element din M, găsim cel puţin trei numere pozitive în M. Rezultă .

50. Fie ABC un triunghi nedreptunghic, H ortocentrul său şi respectiv mijloacele laturilor BC, CA, AB. Fie simetricele lui H faţă de , iar ortocentrele triunghiurilor , şi . Demonstraţi că:a) triunghiurile ABC şi au acelaşi centru de greutate;b) centrele de greutate ale triunghiurilor , şi formează un triunghi asemenea cu triunghiul dat.

(Olimpiada Judeţeană, 2005)Soluţie: În raport cu O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC, .

Din rezultă că , deci este simetricul lui A faţă de

O. Rezultă că .a) Fie centrul de greutate al triunghiului şi G centrul de greutate al triunghiului ABC.

Atunci avem: . .

(am folosit etc.). Rezultă

b) Fie centrul de greutate al triunghiului .

Atunci şi analoagele.

Rezultă asemanarea de raport .

51. Fie ABCD un patrulater convex, M mijlocul lui AB, N mijlocul lui BC, E punctul de intersecţie a

dreptelor AN şi BD, iar F punctul de intersecţie a dreptelor DM şi AC. Arătaţi că dacă şi

, atunci ABCD este paralelogram.

(Olimpiada Judeţeană, 2006)Soluţie: Fie , cu a şi b numere reale. Rezultă:

. Din coliniari deucem:

a – 2b + 1 = 0. Analog din coliniari urmează că 2a + b + 2 = 0. Rezultă a = -1; b = 0. În concluzie, .

52. Fie triunghiul ABC şi punctele M pe (AB), N pe (BC), P pe (CA), R pe (MN), S pe (NP) şi T pe

(PM) astfel încât , .

a) Să se arate că triunghiurile STR şi ABC sunt asemenea.b) Să se determine astfel încât aria triunghiului STR să fie minimă.

(Olimpiada Judeţeană, 2007)

Soluţie: a) Faţă de un punct O, avem: .

11

Deoarece are loc relaţia şi relaţiile analoage, rezultă: Analog

avem: .Deci triunghiurile STR şi ABC sunt asemenea, raportul de asemanare fiind t.b) Raportul ariilor celor două triunghiuri este , deci aria triunghiului STR este minimă dacă t este minim.

Din . Rezultă pentru .

53. Pe laturile AB şi AC ale triunghiului ABC se consideră punctele D şi E, astfel încât . Fie T intersecţia dreptelor DC şi BE. Să se determine astfel încât

.(Olimpiada Judeţeană, 2009)

Soluţie: Observăm că vectorii şi au direcţiile vectorilor necoliniari şi , deci suma lor este vectorul nul dacă şi numai dacă ambii sunt nuli. Rezultă că D şi E sunt mijloacele segmentelor (AB) şi (AC), deci T este centrul de greutate al triunghiului ABC. Din rezultă

54. O dreaptă care trece prin I, centrul cercului inscris în triunghiul ABC, taie laturile AB şi AC în P şi

Q. Notăm BC = a, AC = b, AB = c, .

a) Arătaţi că .b) Arătaţi că a = bp + cq.c) Arătaţi că dacă , atunci dreptele AI, BQ şi CP sunt concurente.

(Olimpiada Judeţeană, 2010)Soluţie: a) Din si , rezultă concluzia.

b) Avem: . Din P, I, Q coliniare, rezultă , deci

(a – pb)(a – cp) = bcpq.c) Din şi din reciproca teoremei lui Ceva rezultă concurenţa cerută.

55. Fie ABC un triunghi dreptunghic în A şi M un punct pe (AB) astfel încât . Să se

determine măsura unghiului B ştiind că simetricul lui M faţă de mijlocul segmentului GI aparţine dreptei AC.

(Olimpiada Naţională, 2002)

Soluţie: În raport cu un punct O, avem: , unde

. Fie M’ simetricul lui M faţă de mijlocul lui (GI). Rezultă .

Din faptul că M’ este situat pe (AC) urmează că , deci avem:

+ - = , de unde obţinem

12

, de unde, ţinând cont şi de teorema lui Pitagora, rezultă

şi măsura unghiului B egală cu 30°.

56. Fie ABCD un patrulater convex şi E punctul de intersecţie a dreptelor AD şi BC, iar I punctul de intersecţie a dreptelor AC şi BD. Dacă triunghiurile EDC şi IAB au acelaşi centru de greutate, atunci AB || CD şi

(Olimpiada Naţională, 2005)Soluţie: Alegem reperul cu originea în I, deci , , cu m, n numere reale.Din E, B, C şi E, A, D coliniare rezultă , iar de aici urmează căn(1 – x) = y şi x = (1 – y)m.Cum triunghiurile EDC şi IAB au acelaşi centru de greutate, avem:

, deci , x + m = 1.

Din relaţiile deduse găsim m = n, . Astfel, , deci AB || CD şi m < 0.

Din şi

13