mecanica - calcul vectorial(1)

7/28/2019 Mecanica - Calcul Vectorial(1)

1/12

I. CALCULUL VBCTORIAL. ITEI"INTTII $I FORIIIULE

Vectorii sint mirimi orientate, conrplet determinate prin valoareanumeric5, direclia gi sensul 1or in spaliu. Pentru vectorii legali e necesarsi se cunoascd ;i punctul de aplicalie (origina).Ca1cu1ul vectorial cuprinde:- algebra vectorialS (adunarea, sciderea, inmullirea vectorilor, ecua-!ii1e vectoriale ;i vectorii reciproci);- anaTiza vectoriald (derivarea gi integrarea yectorilor, cimpuriledevectori, calculul cu operatoli, teoremele integrale vectoriale).Sistemele de referint[ folosite culent ln mecanica teoreticb sirrt sis-tetttele_drcJ,tc (fig. I.7, a). Se pot utiliza gi sisterne stingi (rig. I, l, b), mcn-!10nlndu-se aceasta

Fig. I .1Orice vector poate f i exprimat prin proiec!iile sale pe axele sistenuluide referinld Oxyz sub forma

u:u si*u ajlu "8,daci se nateazd, ct i, f, E vectorii unitari ai axelor d,e coord,onate (versorii)gi cu us, u,u Si v. proiecliile vectorului pe axele de coordonate.


2/12

CALCULUL VECTORIAL' Adunarea vectorilor con*rre*tli s.e efect-ueazH. clupd regul:r paralelogra-mului: suma a doi 'u'ectori concurenli es.te datd i" ;r{;l;ri-.1irJ.,il;^;i"l;*:-o+$.:?la paratelogramului conitruit ",r r'""Toiii^r"rp""ti"i'"n 'rul.,iiV-a)-b.

pig. I.2Vectorul sumd se poate exprima qi prin componente, sub forma

c,; a c fi I c "F, : (a,{ b *)l* @, + b u)j + @,1 b,)E ;de unde Cr:aa4-br, c!J:aaf-by, c":ar{b",Ltr ca',il adunirii mai mnltor 'ectori, regula de -.'mare se apiici suc-cesiv (regula poligonului) (fig. LZ, b).Scdderea a doi vectori revine la surnarea 1or, vectorul_rLescdzut fiinclconsiderat cu sens opus iu paralelogramul constroit .., ..i anl rrectori ca.laturi ; rezultatalscdderii celor doi vectori cstccca de-a dcua diagonalb a paralelogranrului(fig. r.3) a_b:i

Irr


3/12

CALCULUL VECTORIAL

JtProdusul vectorial 7X6 s" exprimd prin componentele vectorilor subformaaX b: 'L&s

7-aaJRaa crzba b" :i(aab z- a"b r) ai(a"b r- aab r) lk(a'ab o-asb n).

Prod.u,sul, rnixt a trei vectori a(Uxil:1i,6,71nirime volumul paralelipipedului construit cu ceiin funclie de componeirtele vectorilor, produsulinixt se exprimb (fig. I'5)este un scalar avind catrei vectori ca muchii.

bFig. 1.5

(a 6a: Aa Ay &gbr blt hzCa Cy C2Prod,wstt[, tlultl'tr, aectorial' a trei vectori este 0rf,o (i , 7) t' GZt-i 1i 14.Regulile cle deriaare din analiza scalari semenlin rieschimbate in analiza rrectoriald"- De ase-*"tr"" se menlin reguiile de integtare diu analizascaiara,Citnp d,e aectoyi este o regiune tlin spaliu in care iiecirui punct LI(r y z)ii corespuride un rrector il d" .ornponente.ar(x, y z), uy(x, y, z), u"(x, y, z)'Dac[ eiistb o funclie (J(x, y, z) astfel incit

\:ectorul u d-evine,:iu-T +Y t+ Y 4:gracl u :T u,-Ez'' 6)yJi fz '

-qradientul funcliei L'.

rU du dui'..-a.r.,,lu- |u, u=-: dz'

Funclia U septtenlial. nume;te funtc{ie d,e forle. Func}ia V:- (/ se numegteDivergetrla unui vectorcliv t:vt:#o#lY

Rotorul unui vector (rot u) este vectorulrot u:y,. r_(# _#Jr* {#_#1,=*(#_*J u

uncle am uotat y ==#S *;* $; - operatorul-lui Hareriitoil (nabla).

u este scalarul


4/12

CALCULUL VF,CTORIAL

PROBLEME REZOLVATEV 1"1. Si se determine mi.rirnea ;ipozifia vectorilor ir 1t, -2, S1 giir(-2,4, -6) i' sistemul cle referin{b cartezian triort'gonal drept OryL.Si se calculeze expresiile: ur-pzrr, trr-6r, ;J)r, ir>


5/12

CALCULUL \TECTORIAL

3) 9iO l;yz,

sub

?

6, 4),

Produsuii -- -

cu lr, 1:{4fO-i- te.:V36, 1r, 1 :{te136a tO={OsCosinusul unghiului dintre ei are expresia-,.,t-. -, \ iri, urruzt*uufp*upu?1,*-::5T -,. :0,cos(ul, u ") :FM : ffi - y'ATt6+16 /1015* tu

ceea ce inseanr[i c5 cei doi rrectori sint perpenciiculari, deciu1u2:0 'i,rxi, este d.at de deterrninantul

: ,- (-16- ze)-lft6_.8)+F(12-f 16) :- a07+8i+28h::4(- r0i+zl+zE) c

91 are 1l1arlmeal,,xwi:'4VT00+Z+70:4V15& b'/ 1.3. Sl se denionstreze ci cele trei inillimi a1eunui triunghi sint concurente (fig' 1.3)'Rezolaare' Fie Opunctul de intcrsecfie a1irrillirnilor coborite tlirr puirctele ,4 9i B' Notinr OA-x, Fig' t'3d-B:i, OC:z gi avenro:i-i, 6:i-i, c:!- x'Condilia de ortogontrlitate dintre OA 9i BT', respecti.''OB 9i y'C' estern:73-9:r:-r:r:Ll

17-"i.-tl:yt-yz:0.Adunind cele doui relalii oblinem- a -, ; : 1i - i17: --c-z :0,

adic6 oc este perperdicular pe AB;i deci punctul o este situat pe in61limeacare porrette din Punctul C. '/J -1.4. Ce conclilie trebuie si ind-eplineasci vectotii i1, ir, uu penttt aavea relaliiie:a) (u.-purauu; 1ur-pur-pir) : (u r4u r+uB) 2b) (rr+rr+ rr) (r'+ 4+611 :1u'-ar+uB) 2c) 12,, n z,; 1 i,*i,)+ (;, -+-t,) (e *ir) * (J' * t',; 1u, 1 r'1 :u!l ul1 u!a) (ur1zr-1-ur) x 1ur-ur-tr):6.

rrectoriall- ? ;ll, I Rl\2-L 4\14 6 4l


6/12

12 CALCULUL VECIORIALIl e z o I a a r e.I)ezvoltind relaliile date oblinemurnrbtoarele coldifii:a) u!)-u!I-a'!-y2vri,+-2vrir-12ari":a!\-t.t!j-up,j",2ztru,_l2vrar,l,2ara,r,

relatie satisf5cuti dacl vectorii tr, rrn, ?/a siflt coli'iari 9i au acelagi sens;b) al { u! { ur, 4 " fri rt:, -.y Z u ri " a 2a ri " : v! { vl { u! * 2zt ru, * 2 t, rt , I Zu rzt ,relalie -satisficuti daci r.ectorii t1, ;B sint coiiniari gi cle acelagi sens, iarvectorul u-, estc cc,rliniar cu acegtia du, or. se's contrar;c) z! -f' u! -l-- urz -f 3 (urun -p flur -,1- z'rir) : u! -]- az, { t !,egalitate satisfdcuti daci

r,, i; 1 .rri', 1 urrl, : g'd) 4 x ir-iry 1,r-ir, >< 4,j-r, x t1-tr >: "r_r,, >< i,r_-i., > "r: osau 2a"'xur-yzi"x t1:2(tr+ur; x zr:0,

ecualr5 satisf6cuti daci vectorul I este coliniar cu rezultanta vectoriloruo F1 r.'3 "V l.li. Sa se calculeze produsul nrixt a1 vectorilor ir1Z,4, ti), ;r(1, :r,S)gi u, 1-2, 0, 2) gi sd ,ce explice rezultatul.Il e z o I u a r e.

\'Ctr'

u1(u1 X uuJ: 2461ll 5-(, ll ,)

-n, lrodr1su1 rnixt zr(u*xur; lii'd riu1, rezultd. c6 vectorii ur, tr, pi i, sir{cof,)ianarr; u, este o combiualie liniard a vectorilot ar9ii,a: - ai,1 -ti,./ 1.6. Si se calculeze expresiileEr:(tr;r)tirr,t, Er:\,,,rr)F,r>in)

E :trtxur) (z,*,'n), En:6,xur;lurx?n;Eu:(ir>:ur) x 1u, r.rnypentru vectoriii.: -{I-r ,>l* qT ; -'1 lJ-otu, u,3-4j, %:-50, in:_'A|1Zl-en.


7/12

. ^] CI II UL VF.CTORIAL-:"'"::' - --;,':,',: :;-sn)t(-4t)I I _-sa 1-er+ '|-Yt:-:,:lo: -"0F" : -B [ - sn ;< ( -- ei + zf--sn; 1 : a +0 ( -d - t'i]: -'+o ln +6'

vector in P1anu1 rO1''E,- 1- t +zT-sE) x ( - +i) +o : t eo ( n '- sl) : 1 60 ( - 3;+ h)'

vector iu Pianul roa'En:41-a;-rF)'5(il161';:20(-21) :-120 * ^i''

ii u : + 1 - s f1 il x 5 (7 i l- 6t :2o tF t ln - e'J: zo 1 - aft t 1 - ]an1't.7' Sd se rezolve ecualia]""1"t:*,.1)XO:u'Xo

uncle 7 9i T sint cloi vectori """ ,-"]]lr; datd. poate Ii scrisi 9i sub formaR e z o I u a re' Ecualia vectorxo x (o- il1-0'

espresiesatisf6cuti'pentruil-Osauu-coliniarcudiferenlaE-6"ce1or1allicloi vectori :are satisface sistemul de ecualii vec-1.8' Se se determine I'ectorul u iui:m"L'XCl':0

perpenclicular pe - ^-- iou[ componente, llllaI u a r e. DescomPunem fectotul {l ln L* 9i cealalta PerPendiculatl Pe a14 i .-rua 1 t aa\@Xa)'u:fr"-r,rr*--'valorile claie pentru uti q\ Tx'i riblinem valoarea

toriale

und,e T esteRezoparalel[ cu

lui il subtrrlocuind

f orma ;):kA4'ft;xd'unicitatea soltgiei se datoregte fapTtul ca intre vect-otll;::r3 Ei::^:l"t:;i,^=.i:g,*-1-":iffi;t3;;;*til.1"#:':,hltXTl"t"'f i*;'aooa'*a-lcalare (care rePrez:fie indePendente'


8/12

t4 CALCULUL VECTORIAL

caresau

f ..9',r Se se rezolve sistemul de ecuafii vectoriale7tY-:o:!::E

uncle z, i gi Tsint cunosculi, \nX!)z:ttRezo1vare. fntroducem ir, "::"11 a treiaexpresiile ltiy;i7n funclie de 7 din prime_le ctou5. ecuafii. Obfinemse mai poate scrie Lx x \e - 1) I (b - x) :a '(xxili:y

(i.xb)i:v.Rezultb pentru i valoareai:ffiti*at'Ceilalli doi vectori necunosculi y SiVau vaiorile

!:a-::-(axb\lax b1z'Z:b- :l: hX b\.Iax bp'

,or.rt*lO. Ce relalii trebuie sd. existe intre componentele fr, y, z aleastfel incit i_il-yj,f-1-zE,,*$:o lRezoluare. Vectorii ; li #, trebuie sd fie paraleli p*rrtrrr "lrodusut 1or vectorial si fie nul. Dacd H :* l+*;+*n: ii + i F++; E, relalia .lati prin componentel. lrri ,il.t*o' ' dt ^ dt

:"(IuI-1=zt X & *- I[ | 1l:i (yi-ri)+j (r*- rLl1T 1xy-y")-0.Ix y z IComponentele vectorului trebuie si satisfaci relaliile!i-21:sZfr_XZ:O.r x!-!x-0

Solu

Yecl

9i

sau q : L-'syz


9/12

CALCULUL VECTORIAL

Solulia sistemului este1og *:1og Cty:log Crz sa:n x:Crg:Czz.

\-ectorul u devine - [=, r-, f ;'l: \ a:nlx+ c;y+c'zRJ'Ytrj Sd se calculeze gradientul funclii1or'-!'' ur:i+!+i, uz:axv*bvzfczx.E z'R e z o l, u a r a. Gradientul unei funclii este vectorul

J:srad u:og 7+Q-u V+Y n." 0n 0y' oz\n cazrl dat, cei doi vectori cdutali sintnlU,=,ilU,=.i)U,; ar b= c.7ur:i, t+i;t+E R:-#l-iE!*2, a

;ia :s ;+ff t+# E : @ v I cz)i' a @ x a tiz)la Q v a c $E'

1.12. Se se calculeze grad l&rl', unde Z este un vector constant.R e z o I a ar e. Ca1cu15.m a(ixuj,

a@xi),:2(c xillx dt).Not6m 7xi:tr gi formula devine

aQ xi1, :zZ 1c x azl :zai 1u xi):zau ;(7 x7; x c1.RezultE

grad l7x 7l 2:21(c x 6 x tl:{r(iQ -2;6 q .t.13. SA se calculeze clivergenla gi rotorul vectorilora r: xy (z * cllI y z@ a Q'j a z xQ I b)E[:rio x siny "o.r.;l;cos x sitty sinz.j-1sin tc cosy sinz.k.R e z a I,a ar e, Divergenfa unui vector are expresia

div 7-E's+agt+q?.,0r da 0z'iar rotorutr unui vector este,ot i :(P':-+l ;+ loyq -0&'l t+fosE -*] F.-\Os dr/ "'tdz Dcl/'td' ds)'"'


10/12

Ci\LCULUL6 vrlcTol{rAiPentru vectorii dnfi, derivatele partiale sintD"',":y1e1c) , Ut'-:r(:-l-c). l'',{: ,..,,f.r _ \ ' t' jy .'\. r,,, d:--.,-rd"tu:\,7, @u:r,-- , ^, itt.,, t1;, - d,/ (u_ta) , ;f _t@4_n)l!t':z(v+-h\, QlJz:z ' )u''r;r dlt \'' ',j':"r(l'14;du'r ilr'",frl:"n. r sirt _1'coc ;, lr;'_--*in .1-cos 1,q6s ;, 11:---r;r. r.sirr * sirr:lunu :.. }iu )u",Tt'-__ttt, t sln rr, sIl e, Y:!g-CoS .v CoS V Sin e, ff:"o. .1, sirr y coS Z-1,?:.,,s r cosy sin ;: !3":--.i,r r si* y sin :; d"'* -*;,, -s cos y cos srliv i, :y(;f e) 1- z(x { a) * x (y * I,)div 7r:q6s r sirr y cos .z-|-cos -f cos ..1, sin ;-]--sin jL cos ,i, cos :,1,t [:[:.v- 1'("r l-r)] r+["r.1,-:(r,]-r)i l+f v;__.i(;*c)l A'rot ?r:- [sirr *,*n y sin ef ct.rs r. sin r,",,s :l r-_, fsirr * sin r sin.r,l_+ cos r cos r,, siu z1 i- Ein r sin j", sir-r :-J-si n ff cos jl c,as z] F::-siny cos (a-r) i-sin z cos(r-r,) /-sirr .v c,,s(nr__-1F.

PNOBLEME TNOPUSE I'trNTRU REZOLVAITEse determine nririruea gi pozilia r.er:torilor

tl(*S,4, -3),7*(S,0, t]) ;i rro1t, f, s).Si se calcule.ze apoi expresiile;E1-ur+uz1-a.r, E2:ir*rr-ir, E"-(i,>l[)[,, 4 =(i, x,i) ;< u*.#:ur; :7+ el -1.58, Er- -T+27-STr, Ii "- -*21, E 4: -2 I (i : Z i +E) .Ui{5} Fie ,4', B.'r_C, rtijloacele laturilor tri'nghiulai ABC gi O unpunct-b?'iecare (fig. 1.lS). Se se clemonstreze egalitafea0A'4 aB'4AC', :0a+0 a +ac.

trrl',. b

*..?'..f.1-&.j su

trig.1.151.16. Coardeleortogoual in puuctul

Fig. l.ItiAPB gi CPD ale unui cerc d,e ceutru O se intersecteaziP (fig. 1.16). Si se demonstreze egalitateapZ+ pu+ pc+ po:2 PO.


11/12

t7EALCULUL VECTORIAL

1.1?.S[segaseasceecua'ialllantrluicaretreceprirrrrrijloculsegnretr-trrlui ce nrre;te p.ttt"rJ" lvfrOr\ 'i lrrti') ;i care este perpe'dicular'pg ac'estsegrnent.tt. V1r,-t'"1: I Vl-'ll'

i"""',;'l"CI.' S[ se detuonstrezc relaliilc\ 1a;< zr; 17;< trl I \i Ef :olttr,'\ ,'',r \a+b)>'(o-h):-2(i ''ti1'i l.-t9.,$c tlau trei puucte A, B' C S[ se vcrificr: rt'lafiiie1 .. Jr._ c.i_,2.-ji_"" .' -Lllfr:+r-'{:'0' '4IJ+l;fr , t',e - cl:z .l n, 'c B ' TC -y t'tt: ' "7(' -- 't( '{i''', tExBC:fJC>


12/12

l8 CALCULUL VECTORiAL1"2{. Se se calculeze gradientul func}iilorLt,: (x - a) + (y - b) * (r - r),U::sin x sin -v -in ;.R. -r4:grar1 Ur:741+Fi"-:erad I,:".-coc r siri .v sin ;.i-r-sin d cos y ;in a.j-+fsin rsinycos e.F.1.25. Ce r';rlnare are grarl (r*y") dacl

srad .r,-: i!; srad tlR. lr(.rr1=.y) rst-t)!tt-t grad r,.1,i16. Sd sc calculeze' clivergcrrfa gi rotorul vectorilor

ir - 1.rz-p "rrlii- 1.yr. g rrl 1 + 1zz -y 1,21 *, t.t2 t --- /--- l(.!16 .z"x - IyR. dii- ur==2*[i21,1"1.22 *

,t;,. I - i , j ku:!_ gz -r sx - ,Art't T, - 2(i +-,.f . tf rrrri i,.Ll l. :l: LIz- r't tz 'a")'' 71;r1.27. Sn sc calculeze dir' $.i"li. dir- : : -"- .I .98. Se ." ,,ul",r,"r" dir. la(r, :< 0)1, urrrlc i ;i -bsint vectoriR. dir- f "ll x Zl l:Z i Vt.l.2l|. Sn se calcnleze rot llilu a) l, rrnrle a Si-b sirrt vectoriR. r,,1 ll,qi; oll==; ^ t'| .:]0 Se sc ca lt'ttl,.zc rot ,p a.ll. rot (qi) :q 161 i-r-grrid 9 x I.

,l- lIr u]-,, J t:; t?" - -hJo

cc.rnstant i .

coristarLf i.

mecanica - calcul vectorial(1)

Documents