Mariana Stoica 1

Colecia Matematica pentru gimnaziu

MATEMATIC exerciii i probleme de algebr pentru orele de opional

D i v e r s i t a s

Mariana Stoica 2

Copyright 2012 Editura Diversitas Tel: 0268/422.922 Fax: 0268/422.772 Email: cvio@xnet.ro Editor: Viorel Ciama Corectur: autoarea ISBN 978-973-1951-33-1

Mariana Stoica 3

Mariana STOICA

MATEMATIC

exerciii i probleme de algebr pentru orele de opional

D i v e r s i t a s

Mariana Stoica 4

Mariana Stoica 5

Argument

Cartea de fa se adreseaz n mod special elevilor de gimnaziu, ea putnd fi folosit cu succes ca instrument de lucru n clas i n pregtirea individual a elevilor, iar 30% dintre exerciii sunt compuse de elevii clasei a VII-a A ai colii generale nr.14 Braov, n cadrul orelor de matematic opional. Totodat, cartea poate fi utilizat la orele de matematic opional de ctre profesori i elevi, dar i de ctre cei ce se pregtesc pentru examenul de Evaluare naional pentru a-i recapitula i fixa noiunile nvate n anii anteriori.

n elaborarea acestei lucrri s-a avut n vedere programa colar pentru clasele V-VIII la disciplina matematic. Acest auxiliar conine exerciii i probleme de dificultate redus i medie, iar cele cu un grad sporit de dificultate sunt notate cu *. Acest lucru permite elevilor o mai bun autoevaluare, ei putnd astfel aprecia la ce nivel de performan se situeaz.

Exerciiile propuse sunt nsoite de rspunsuri, iar cele considerate mai dificile de rezolvri complete.

Lucrarea de fa conine 3 teste dup modelul i structura celor de la examenul national, pentru fixarea noiunilor studiate.

n sperana c aceast lucrare va fi de un real folos elevilor le urez Succes!

Autoarea

Mariana Stoica 6

Mariana Stoica 7

CUPRINS

1. Mulimea numerelor naturale ..................................................... 9

2. Divizor. Multiplu ....................................................................... 11

3. Criterii de divizibilitate ............................................................. 13

4. Proprieti ale relaiei de divizibilitate n N ............................. 15

5. Numere prime. Numere compuse ............................................ 16

6. Descompunerea numerelor naturale n produs de puteri de numere prime. 17

7. Divizori comuni a dou sau mai multe numere naturale, c.m.m.d.c., numere prime ntre ele, c.m.m.m.c. 18

Test 1 ............................................................................................ 20

Test 2 ............................................................................................ 20

Test 3 ............................................................................................ 21

Indicaii i rspunsuri 22

Bibliografie .................................................................. 31

Mariana Stoica 8

Mariana Stoica 9

ALGEBR

Numere naturale

1. Mulimea numerelor naturale

1. Calculai i completai: a = 18 b = 34 c = 30

a) ( ) ....cba = b) ( ) ....cba =+ c) ac + bc = . d) ab ac = . e) ....2:c2:b2:a =++ 2. Efectuai respectnd ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor: a) ( );3294112431 +++ b) ( );11273005182:204 + c) ( );12852316:446:300 + d) ( )[ ]{ };3621434:100251210281528 +++ e) ( )[ ];40:1280125962020:1240 f) ( ) ;12844:38491645:18495 3. Efectuai respectnd ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor: a) ;5610:107:14 + b) ( )[ ] ;73:543825:325 + c) ;34:42:2 2323 + d) ( ) ( )[ ] ;2:269752:752 9102 e) ( )[ ]{ };51262148103102 ++ f) ( ) ( ) ;14:42:4235:59 0396202020863 ++ 4. Stabilii valoarea de adevr a propoziiilor: a) 1027152685389 ++=+ b) ( )[ ] 50211005325:14514 =+ c) ( ) ( )[ ] 2:252616632417:68 3=

Mariana Stoica 10

d) ( ) 312338:1445:175 2 =+ 5. S se determine numrul natural x din: a) 186x2 =+ b) 3015x2x3 +=+ c) 200x 4592 = d) ( )[ ] 10181912x3732 22 =+ e) 155555 2x1xx =++ ++ f) 222...222 101x32 =++++ 6. S se afle dou numere naturale tiind c suma lor este 241 i c primul

numr este mai mic cu 15 dect al doilea. 7.* Suma a trei numere este 354. Al doilea numr este 164. Primul numr este

mai mare cu 46 dect al treilea. S se afle al treilea numr. 8.* Diferena a dou numere este 1405. tiind c primul numr este mai

mare dect 1900 cu 100 s se afle numerele. 9.* a) Determinai cel mai mic numr natural nenul care mprit la 16 d

restul 7. b) Determinai cel mai mare numr natural de trei cifre care mprit la 16 d restul 7. c) Determinai cel mai mare numr natural de patru cifre care mprit la 16 d restul 7.

10. a) Ordonai cresctor numerele naturale: ;1;5;0;4;6;3;5;2 10002525

b) Ordonai descresctor numerele naturale: ;5;10;4;3;15;2;14;120 22330

c) Comparai: 510 cu 410; 162 cu 28; 264 cu 348 11.* Suma a dou numere este 8045. mprind numrul mare la cel mic

obinem ctul 3 i restul 829. Calculai numerele. 12. Calculai: a) ac bc, tiind c a b = 10 i c = 2. b) c, tiind c a + b = 8 i ac + bc = 24. c) a + c, tiind c b = 15 i ab + bc = 90. d) 7a + 9b + 2c, tiind c a + b = 6 i b + c = 11. e) 8a + 13b + 5c, tiind c a + b = 19 i b + c = 25. f) (2a + b)(4a + 13b + 2c), tiind c a + 6b + c = 8 i 3a + 7b + c = 18. 13.* Calculai sumele: a) 100...321 ++++ ; b) 100...642 ++++ ; c) 99...531 ++++ ;

Mariana Stoica 11

d) 500...15105 ++++ ; e) 300...963 ++++ ; f) 200...102101100 ++++ .

2. Divizor. Multiplu 1. Scriei mulimea divizorilor fiecruia dintre numere: 10, 14, 21, 36, 42,

51, 53. 2. Scriei divizorii numerelor: 7; 16; 24; 38; 61; 72 i subliniai cu o linie

divizorii proprii ai fiecrui numr. 3. Scriei divizorii numerelor: 5; 12; 19; 28 i subliniai cu o linie divizorii

improprii ai fiecrui numr. 4. a) Descompunei n produs de dou numere naturale numerele 16; 26;

35. b) Scriei mulimea divizorilor fiecruia dintre numerele: 16; 26; 35. c) Determinai elementele mulimilor:

352635162616 DD;DD;DD . 5. Scriei primii cinci multipli ai numrului 5. 6. Calculai: a) M3M5; b) M4M6; c) M2M4M8. 7. Scriei multiplii lui 11 mai mici dect 98. 8. Scriei multiplii lui 12 mai mici dect 20. 9. Scriei multiplii lui 101 cuprini ntre 100 i 500. 10. Ci divizori are numrul 18? Dar multiplii? 11. Cu ajutorul cifrelor 2, 4, 9 folosite o singur dat formai: a) un multiplu al numrului 2. b) un numr divizibil cu 4. c) cel mai mic numr divizibil cu 3. d) cel mai mare numr divizibil cu 3. e) un numr cuprins ntre 400 i 500, divizibil cu 2. 12.* Enumerai elementele mulimilor: A = {x | xD20 i xM 2}; B = {y | yD16 i yM 4} i apoi calculai:

.AB;BA;BA;BA 13.* Fie mulimea D45 i { }5x,30x5|NxA M

Mariana Stoica 12

b) Subliniai cu o linie toate numerele de la punctul a) divizibile cu 2. c) Fie A = {xN | xM5; x < 30}; B = {yN | yM5, y

Mariana Stoica 13

3. Criterii de divizibilitate 1. a) Subliniai cu o linie toate numerele divizibile cu 2:

14; 24; 29; 35; 42; 48; 60; 82. b) Subliniai cu o linie toate numerele divizibile cu 3:

19; 21; 32; 36; 39; 44; 46; 54. c) Subliniai cu o linie toate numerele divizibile cu 5: 19; 20; 25; 34; 38; 40; 60; 65. 2. a) Scriei toate numerele naturale divizibile cu 10, cuprinse ntre 254 i

315. b) Scriei toate numerele naturale divizibile cu 100, cuprinse ntre 384 i 812.

3. Stabilii valoarea de adevr a propoziiilor: a) 10 | 140; b) 5 | 1455; c) 10 | 1230; d) 25 | 625; e) 25 | 775; f) 620M 10; g) 1723M 10; h) 125M 10. 4. Determinai: a) numerele de forma x3 divizibile cu 3. b) numerele de forma xy1 divizibile cu 9.

c) numerele de forma y6x2 divizibile cu 10. 5. Scriei: a) cel mai mic numr de dou cifre divizibil cu 5. b) cel mai mare numr de trei cifre divizibil cu 5. c) cel mai mic numr de trei cifre distincte divizibil cu 10. d) cel mai mare numr de trei cifre distincte divizibil cu 10. 6. Fie mulimile: A = {xN | xM 9, x

Mariana Stoica 14

a) 10 | 145; b) 3 | 192; c) 66M 2; d) 1230M 10 e) 154M 2; f) 620M 5; g) 10 | 400; h) 550M 5.

14. Scriei toate numerele naturale de forma x25 divizibile cu 5. 15. Subliniai cu o linie numerele pare i cu dou linii numerele impare:

148; 161; 245; 304; 400; 493. 16. Scriei toate numerele naturale divizibile cu 5 cuprinse ntre 80 i 106. 17. Scriei toate numerele de forma 30x divizibile cu 5. 18. Determinai toate numerele naturale de forma x3x1 divizibile cu 5. 19.* Scriei toate numerele naturale de forma:

a) x14 ; b) xx5 ; c) xxx divizibile cu 3. 20.* Determinai toate numerele naturale de forma x1x23 divizibile cu 3. 21.* Scriei toate numerele naturale de forma xy31 divizibile cu 2 i 9.

22.* Scriei toate numerele naturale de forma x73 divizibile cu 2 i 3. 23.* Scriei toate numerele naturale de forma x10 divizibile cu 6. 24.* Cte numere naturale de forma xy4 sunt divizibile cu 6?

25.* Determinai numerele de forma x5x2x1 divizibile cu: a) 2 b) 4 c) 5

26. Fie mulimea M = {2024, 10245, 15075, 19320, 45000, 51400}. Determinai:

A = {x | xM i xM 2}; B = {x | xM i xM 3}; C = {x | xM i xM 5}; D = {x | xM i xM 9}; E = {x | xM i xM 10}; F = {x | xM i xM 25}.

27. Cu ajutorul cifrelor 3, 4 i 5 folosite o singur dat scriei: a) cel mai mare numr natural divizibil cu 2; b) cel mai mic numr natural divizibil cu 3; c) cel mai mare numr natural divizibil cu 5.

28.* S se demonstreze c pentru orice numr natural nN*, expresia E = 10n + 17 este divizibil cu 9.

29.* S se determine numerele naturale de forma N = abca , n baza 10, divizibile cu 9, tiind c a = 3c.

30.* S se determine numerele naturale de forma abb , n baza 10, divizibile cu 12.

Mariana Stoica 15

4. Proprieti ale relaiei de divizibilitate n N 1. Artai c urmtoarele propoziii sunt adevrate:

a) ( )c10b8a2|2 ++ ; b) ( )1169|5 + ; c) ( )100...21|5 +++ ; d) ( )3611|9 ; e) ( )1nn 33|3 ++ , nN*.

2. Stabilii valoarea de adevr a propoziiilor: a) ( )2x63x9|5 +++ , oricare ar fi xN; b) ( )3x52113|9 ++ , oricare ar fi xN; c) ( )x6x5x9|10 + , oricare ar fi xN.

3.* Demonstrai c: a) 912 712 este divizibil cu 10. b) numerele de forma n2nn1n1n 535315 +++ ++ sunt divizibile cu 27. c) 916 716 este divizibil cu 10.

4. Artai c: a) dac ( )y4x|3 + , atunci ( )y16x4|3 + b) dac ( )y3x2|5 + , atunci ( )y12x8|5 + c) dac ( )y6x|9 + , atunci ( )y48x8|9 +

5. Determinai valorile lui x astfel nct: a) ( )2x|x + b) ( )10x|5 + c) ( ) ( )12x|2x ++ 6.* S se arate c pentru orice nN*, expresia E = 10n + 1988 este divizibil

cu 18. 7.* S se arate c diferena dintre un numr natural de 3 cifre i rsturnatul

su este un numr divizibil cu 9 i cu 11. 8.* S se arate c numrul ab251abN += este divizibil cu 51. 9.* S se determine cifra x astfel nct numrul 25x91N = s se divid cu

1405. 10.* S se determine cifra x astfel nct numrul 0472x4N = mprit la

1985 s dea restul 27. 11.* Artai c n21n2n2n21n2 292918 ++ ++ se divide cu 14, oricare ar fi

nN. 12.* Fie numrul 30...4321N = . Artai c N este divizibil cu 107.

Mariana Stoica 16

5. Numere prime. Numere compuse 1. Cte numere prime sunt mai mici dect 20? Dar dect 40? 2. Subliniai cu o linie numerele prime:

11; 18; 36; 41; 51; 83; 101; 108; 207. 3. Scriei numrul 141 ca produs de numere naturale diferite de 1. 4. Care sunt numerele prime mai mari dect 50 i mai mici dect 60? 5. Aflai valoarea de adevr a fiecreia dintre urmtoarele propoziii:

a) 1 este numr prim. b) 1 este numr compus. c) orice numr prim este numr natural impar. d) exist dou numere prime pare. e) exist un singur numr prim par.

6. S se arate , fr a folosi o tabel de numere prime, care din urmtoarele numere sunt numere prime: 120, 137, 173, 223, 411.

7.* Suma dintre un numr prim i un numr impar este 24735. S se afle numerele.

8. Scriei ca sum de numere prime numerele naturale: 5, 16, 20, 31, 39, 44.

9. Stabilii valoarea de adevr a urmtoarelor propoziii: a) 505 este numr prim; b) 69 este numr compus; c) 2 este numr compus; d) 31 este numr prim.

10. Determinai numerele prime x i y tiind c 3x + 14y = 61. 11. Scriei numrul compus 55 ca:

a) sum de dou numere prime; b) sum de trei numere prime; c) produs de dou numere prime.

12. Determinai x pentru care numerele x9,x5,x4,x2 s fie numere prime. 13.* Determinai x i y distincte astfel nct:

a) xy s fie prim mai mic dect 35 i yx compus.

b) xy s fie compus i yx prim mai mic dect 30.

c) xy s fie prim i yx prim. 14.* Determinai numrul natural a, astfel nct ( )30aa + s fie numr prim. 15.* Artai c oricare ar fi nN, numrul 1752 n21n2 ++ nu este prim.

Mariana Stoica 17

6. Descompunerea numerelor naturale n produs de puteri de numere prime

1. S se descompun n factori primi (oral): 10; 16; 18; 22; 28; 36; 40; 50;

100; 700; 1000. 2. S se descompun n factori primi:

a) 20 b) 580 c) 4500 d) 240 e) 222 f) 150000 g) 1248 h) 17600 i) 3700 j) 5520

3. Descompunei n factori primi numerele a i b i apoi scriei ab sub form de putere, unde:

A) a = 16 i b = 240 B) a = 2160 i b = 4860 C) a = 1350 i b = 3240 D) a = 24200 i b = 14520 4. Scriei numrul 1702 ca produs de numere prime. 5. Determinai numerele prime x i y, tiind c x y = 1643. 6. Se consider .1132C;732B;732A 33345 === S se efectueze: a) ( ) B:CA)c;B:A)b;CBA 7. Determinai numerele naturale de forma abc , mai mici dect 150, tiind

c produsul dintre cifrele fiecruia este zero. 8. S se determine mulimea divizorilor numrului 232. 9. S se determine mulimea divizorilor numrului 2335. 10.* Dac xy este numr prim, calculai numrul divizorilor numrului

xyxyxy .

11.* Artai c numrul 2n3n3n22n 4323N ++++ += este divizibil cu 63. 12.* S se arate c pentru orice nN*, += + n21n2n2 1175E

nn1n21n2n2n 12149511725 ++ + se divide prin 5005. 13.* n numrul natural aabcN = cifrele reprezint numere consecutive. S

se afle cifrele numrului N tiind c suma lor este 11, apoi s se scrie acest numr sub form zecimal. (concurs matematic, Cluj 1979)

14.* S se scrie nc dou cifre la dreapta numrului 1979, astfel nct numrul obinut s fie divizibil cu 36.

(Gazeta Matematic nr.6/1979) 15.* Fr a efectua nmulirea, aflai n cte zerouri se termin numrul

96252528. 16.* Aflai dou numere consecutive al cror produs este 2070. 17.* Aflai trei numere consecutive al cror produs este 12144. 18.* Calculai n cte zerouri se termin fiecare dintre numerele:

a) 25...321 b) 50...323130 c) 4039...1110 d) 7532 324

Mariana Stoica 18

19. S se descompun n factori primi: 3240, 22100, 306000, 285120, 26400, 16800, 29700, 41860, 585900, 1774080.

20. a) S se stabileasc mulimea divizorilor numrului 752 23 . b) S se stabileasc mulimea divizorilor numrului 32 752 . c) Comparai cele dou mulimi. Ce observai? (ca numr de elemente).

7. Divizori comuni a dou sau mai multe numere naturale, c.m.m.d.c.,

numere prime ntre ele, c.m.m.m.c. 1. S se afle c.m.m.d.c. al numerelor: a) 6 i 14 b) 4 i 6 c) 5 i 15 d) 12 i 20 e) 2, 4 i 8 f) 3, 6, 9 i 15 2. S se afle c.m.m.d.c. al numerelor: a) 3, 15, 45, 60 b) 24, 48, 96, 180 c) 820, 930, 810 d) 4200, 1800 e) 5280, 4368 f) 112, 252, 350 3. Produsul a dou numere naturale este 138. S se afle numerele. Cte

soluii are problema? 4. Stabilii valoarea de adevr a propoziiilor:

a) (225, 125) = 25 b) (144, 156) = 13 c) (1540, 1254) = 22 d) (3501, 3890) = 3

5.* Determinai numerele naturale de forma xyy divizibile cu 15. 6. Suma a dou numere naturale este 75 i cel mai mare divizor comun al

lor este 15. Cte soluii are problema? 7. Produsul a dou numere naturale este 3456 i cel mai mare divizor

comun al lor este 4. S se afle c.m.m.m.c. 8. Artai c:

a) ( ) 13n2,2n =++ b) ( ) 112n5,7n3 =++ c) ( ) 114n3,9n2 =++ d) ( ) 17n5,11n8 =++

9.* Determinai numerele de forma a0ab divizibile cu 6. 10.* S se afle cel mai mic numr natural care:

mprit la 5 s dea restul 4 mprit la 6 s dea restul 5 mprit la 8 s dea restul 7 mprit la 9 s dea restul 8.

11. S se afle c.m.m.d.c. al urmtoarelor numere: 600; 2400; 32000; 72000. 12. C.m.m.d.c. a dou numere este 2. Fiecare dintre ele este mai mare dect

10 i mai mic dect 20. S se afle numerele. Cte soluii are problema? 13. Care sunt numerele naturale de forma xy37 divizibile cu 6?

Mariana Stoica 19

14. S se afle cel mai mic numr natural care mprit, pe rnd, la 6 i la 15 s dea acelai rest 5 i ctul diferit de zero.

15.* mprind numerele naturale 727, 860 i 599 la acelai numr natural nenul se obin resturile 12, 15 i 14. Aflai valoarea mpritorului.

16. Calculai c.m.m.m.c. al numerelor: a) 12; 18 b) 36; 140 c) 15; 135 d) 24; 48; 72 e) 1890; 2268 f) 112; 280

17. Produsul a dou numere este 2625 i c.m.m.d.c. al lor este 5. S se afle cel mai mic multiplu comun al lor.

18.* Suma a dou numere este 80, produsul lor este 1024, iar c.m.m.d.c. al lor este 16. S se afle numerele.

19. Se d: [a, b] = 108 i (a, b) = 36. S se afle produsul numerelor. 20. Se d (a, b) = 12 i a b = 8640. S se afle [a, b].

21.* S se afle dou numere tiind c raportul lor este 4

15 , iar cel mai mare

divizor comun este 12.

22.* S se verifice egalitatea: ( )( ) 1532532 1200045003200 42648 = 23.* Cte fracii de forma

x2y198

sunt ireductibile, tiind c numitorul este

divizibil cu 5? 24.* Suma a dou numere naturale este 431. Ctul mpririi celui mai mare

la cel mai mic este 25 i restul 15.

25.* S se arate c numrul ( )2dcbaabcd + este multiplu de 121. 26. S se arate c numerele 1155 i 988 sunt prime ntre ele. 27. S se arate c ( ) .11225,1584 = 28. S se demonstreze c: ( ) 17n4,5n3 =++ . 29. S se demonstreze c numerele (2n + 7) i (3n + 10) sunt prime ntre

ele. 30. Sunt numerele 210 i 429 prime ntre ele?

Mariana Stoica 20

Test 1 1. Enumerai elementele mulimii M = { 20} x,3x|Dx 24

Mariana Stoica 21

Test 3 1. Alege un numr natural. nmulete-l cu 5. Adaug 4 i rezultatul

nmulete-l cu cu 4. Adaug 9.nmulete acest rezultat cu 5 apoi scade 25. mparte rezultatul cu 100 i scade 1.Compar rezultatul cu cel iniial.

2. Care sunt numerele naturale care mprite la 17 dau un ct egal cu restul? Care este suma lor?

3. Determin numrul natural n pentru care 123n+147 este un ptrat perfect.

4. n cte zerouri se termin produsul : 12399100? 5. Care este numrul maxim de numere care pot fi alese dintre numerele

de la 1 la 50, astfel nct suma oricror dou numere alese s nu fie divizibila cu 7.

6. Care este ultima cifra a lui 21977 ? Dar a lui 7100? 7. Arat c oricum am pune n 4 cutii 17 bile, dintre care unele albe i

altele roii, va exista o cutie cu cel puin trei bile de aceeai culoare. 8. Aflai toate numerele naturale de forma ba0 exist. 9. Dintr-un grup de 8 elevi (4 fete i 4 biei) se formeaz o echip de 4

elevi din care cel puin o fa.n cte moduri se pot constitui echipe? 10. Determinai numrul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi (n 4 11. Determinai numrul divizorilor lui 360. 12. Determinati toate numerele de forma a= 2m 3n, unde m si n sunt

numere naturale care au exact 8 divizori. 13. S se determine toate numerele scrise n baza 10 care sunt divizibile cu

15 i au 14 divizori. 14. Cte ptrate, de toate dimensiunile, sunt desenate n figura alturat?

Succes!

Mariana Stoica 22

INDICAII I RSPUNSURI

ALGEBR

Capitolul I Numere naturale

1. Mulimea numerelor naturale

1. a) 72 b) 1152 c) 1560 d) 72 e) 41 2. a) 603; b) 105; c) 49; d) 1037; e) 2; f) 123; 3. a) 31; b) 1; c) 9; d) 2; e) 148300; f) 360; 4. a) F b) A c) A d) A 5. a) x = 6; b) x = 9 c) x = 4 d) x = 100 6. 113 i 128 7. 72 8. 2000 i 595 9. a) 23 b) 999 c) 9991

10. c) ( ) 8242 2216 == ; ( )16464 22 = ; ( )16348 33 = rmne s comparm bazele. 24 = 16 i 33 = 27 264 < 348

11. 1804, 6241 12. a) 20 b) 3 c) 6 d) 64 e) 277 f) 260 13. a) 5050

b) sunt doar 50 termeni n aceast sum:

S = ( ) 2550251022

501002 ==+ c) sunt doar termenii impari (50 din 100):

( ) 2500251002

50991S ==+= d) Sunt 20 termeni pn la 100, 20 pn la 200,. e) ( ) 1515050503100...3213S ==++++= ; f) S = 15150

Mariana Stoica 23

2. Divizor. Multiplu 1. D10 = {1, 2, 5, 10}; D21 = {1, 3, 7, 21}; D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42};

D53 = {1, 53} 2. D16 = {1, 2, 4, 8, 16}; D38 = {1, 2, 19, 38} 3. D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} 4. a) 16 = 2 8 35 = 5 7

b) D16 = {1, 2, 4, 8, 16} c) D16 = {1, 2, 4, 8, 16} D35 = {1, 5, 7, 35}; D16D35 = {1}

6. M3 = {3, 6, 9, 12, 15,}; M5 = {5, 10, 15, 20, 25,} M3M5 = {15, 30, 45, 60,15n}, nN. 7. M11 = {11, 22, 33, 44, 55,}

M11 < 98 sunt 11, 22, 33,, 88 8. M12 < 20 este 12. 9. 100 < M101 < 500 sunt {101, 202, 303, 404} 10. 18 = 2 32 numrul divizorilor este egal cu:

(1 + 1) (2 + 1) = 2 3 = 6; D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, o infinitate 11. a) 942 sau 924

b) 924 c) 492 12. AB = {4} AB = {2, 4, 8, 10, 16, 20}

A \ B = {2, 10, 20} B \ A = {8, 16} 13. D45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}; A = {5, 10, 15, 20, 25}

a) D45A = {5, 15} d) A \ D45 = {10, 20, 25} 14. A = {7, 14, 21, 28} B = {14, 28, 42, 56}

c) AB = {7, 14, 21, 28, 42, 56}, 6 elemente 15. a) M5 = {5, 10, 15, 20, 25,..}

c) A = {5, 10, 15, 20, 25}; B = {10, 20}; B A da. 16. 2 x5 M dnd x{0, 2, 4, 6, 8}

3 x5 M dnd x{1, 4, 7} 2 x5 M dnd x{0, 5}

17. ab {10, 20, 30, 40,, 90}; ab {16, 32, 48, 64, 80, 96} 19. a) 15 numere M 2 b) 10 numere d) 3 numere e) 5 numere 21. a) x 3{2, 4} x 3 = 2 x = 5 sau x 3 = 4 x = 7 b) 3x 5{1, 7} 3x 5 = 1 x = 2 3x 5 = 7 x = 4 22. a) Se exprim: ( ) ( ) 3n23n2n2n2nn2n3n23n2 333 ;5525 ;39 ;555 ===== ++

Mariana Stoica 24

Se d factor comun: 52n 32n i se obine: ( ) 798353535 n2n233n2n2 M= b) analog a) c) analog a)

23. 9n = a; 32n = a 32n+1 = 32n 3 = a 3 = 3a 24. 12 x25 M dnd 3 x25 M i 4 x25 M

3 x25 M dnd x{2, 5, 8} numrul cutat este 252 25. vezi 22a)

3. Criterii de divizibilitate 3. a) A b) A c) F g) A h) F 4. a) 3x3 M {30, 33, 36, 39} c) {2160, 2260, 2360, 2460,, 2960} 5. a) 10 b) 995 c) 110 d) 980 8. 4x37 M dnd x{2, 6} 9. a) 2x42 M dnd x{0, 2, 4, 6, 8}; d) 2x24x M dnd x{2, 4, 6, 8} 11. a) 986 b) 998 c) 102 12. {10, 20, 30} 13. a) F b) A c) F d) A h) A 14. x{0,5} 18. 1030, 1535 19. a) 141, 144, 147 c) {111, 222, 333, 444, 555,, 999} 20. 3x1x23 M dnd (2 + 3 + x + 1 + x) M 3 21. 2xy31 M dnd y{0, 2, 4, 6, 8}

9xy31 M dnd (3 + 1 + x + y) M 9 pentru y = 0: (3 + 1 + x + 0) M 9 dnd x = 5 pentru y = 2: (3 + 1 + x + 2) M 9 dnd x = 3 pentru y = 8: (3 + 1 + x + 8) M 9 dnd x = 6 numerele cutate sunt: 3150, 3132, 3114, 3186, 3168

22. 2x73 M dnd x{0, 2, 4, 6, 8} 3x73 M dnd (7 + 3 + x) M 3 numerele cutate sunt: 732, 738.

23. 6x10 M dnd 2x10 M i 3x10 M

i

}8,5,2{x}8,6,4,2,0{x

. Rezult c x{2, 8}. Numerele cutate sunt: 102, 108.

24. analog 23

Mariana Stoica 25

25. a) 2x5x2x1 M dnd x{0, 2, 4, 6, 8} b) 4x5x2x1 M dnd 4x5 M

26. A = {2024, 19320, 45000, 51400} C = {10245, 15075, 19320, 45000, 51400} E = {19320, 45000, 51400}

27. a) 534 b) 345 c) 435 28. E = 10n + 17

4342143421cifre 1nzerouri n

n 017.....10170.....10010+

=+= Suma cifrelor este 9 9EM

29. ( ) 9acba9abca MM +++ , dar a = 3c ( ) ( ) 9bc79c3cbc3 MM ++++ dnd c = 1 i b = 2

sau c = 2 i b = 4 sau c = 3 i b = 6 sau c = 4 i b = 8 sau c = 5 i b = 1 sau c = 6 i b = 3i a = 3c numerele cutate sunt: 3213, 6426, 9639

30. 12abbM dnd ( ) 3bba3abb MM ++ i }8,4,0{b4bb4abb MM pentru b = 0: ( ) 9a,6a,3a300a ===++ M

numerele cutate: 300, 600, 900 pentru b = 4: ( ) 7a,4a,1a344a ===++ M numerele cutate: 144, 444, 744 pentru b = 8: ( ) 8a,5a,2a388a ===++ M numerele cutate: 288, 588, 888

4. Proprieti ale relaiei de divizibilitate n N

1. a) 2 | 2(a + 4b + 5c) deoarece 2 | 2

b) 5 | (69 + 11) deoarece 5 | 80 c) 3 | 3n(1 + 3), deoarece 3 | 3n

2. a) 5 | (15x + 5), adic 5 | 5(3x + 1) deoarece 5 | 5

3. a)

===

.................7299

819

99

3

2

1

u (912) = u (94)3 = 13 = 1

i ultima cifr a numrului 712 este x{1, 3, 7, 9},

Mariana Stoica 26

deoarece u (74) = 1 11)7(u 312 == , rezult c diferena 1212 79 are ultima cifr 0. b) se d factor comun 3n 5n c) analog a)

4. a) dac 3 | (x + 4y) rezult c 3 | 4(x + 4y) adic 3 | (4x + 16y) c) dac 9 | (x + 6y) atunci 9 | 9 (x + 6y), adic 9 | (9x + 54y)

atunci

)y48x8(|9)y6xy54x9(|9

__________)y6x(|9

)y54x9(|9

++

++

5. a) x | (x + 2) dnd x | x i x | 2; prima condiie este satisfcut. x | 2 dnd x{1, 2}; c) x{0, 3}

6. 4342143421cifren cifre n

n 1988.....10019880....1000198810E =+=+= EM 18 deoarece este M cu 2 i cu 9.

7. ( )ca99c99a99a10b100cc10b100acbaabc ==++= 8. ( ) 511ab25151ab102ab251100abN M+=+=++= 9. x = 3; 10. x = 7; 11. se d factor comun 22n 92n 12. N = 1 230 are 7 zerouri.

5. Numere prime. Numere compuse 4. 53, 59 5. a) F b) F c) F d) F e) A 6. Ex. 137 nu se divide cu 2, cu 3, cu 5. mprim 137 la 7 i obinem 19

rest 4. mprim 137 la 11 i obinem 12 rest 5. Observm c: ctul este mai mare dect mpritorul (12 > 11), continum mprirea. mprim 137 la 13 i obinem 10 rest 7. Ne oprim deoarece 10 < 13. Concluzie: 137 nu se divide la nici un numr prim 13. Presupunem c 137 s-ar divide cu un numr natural > 13, atunci el s-ar divide i cu ctul mpririi lui 137 la 13, care este < 13.

7. 24733 i 2 8. 5 = 2 + 3 31 = 3 + 5 + 23 9. a) F b) A c) F d) A 10. (11, 2) 11. a) 55 = 53 + 2

Mariana Stoica 27

12. { }29,23x2 ; { }47,43,41x4 13. a) 23, 29 b) 32 c) 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97. 14. a = 1 15. numrul va arta 321

cifre2n 01...0014 ; suma cifrelor este 6.

6. Descompunerea numerelor naturale n produs de puteri de numere prime

3. a = 532 34 ; b = 28652 532ba532 = ; 4. 1702 = 2 851; 31,53; 6. a) 11732 2811 ; 7. 101, 103, 107, 109; 8. D232 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}; 10. 32 divizori 11. Se d factor comun 3n+2 22n+3 i se obine 6323987 n2n M 12. Se d factor comun 52n 72n 112n i se obine un numrM 5005. 10. b = a + 1, c = b + 1 = a + 2

2a112a1aa211cbaa ==++++=+++ numrul cutat: 2234 iar sub form zecimal:

4103102102N 23 +++= 11. 36xy1979 M dnd este divizibil cu 4 i cu 9 4xyM i

9xy1979 M dnd ( ) ( ) 9yx89yx9791 MM +++++++ . Se gsesc 197964 i 197928.

12. Se descompun numerele i se obin 3 zerouri. 13. 45,46 14. Se descompune numrul, se obin 22, 23, 24. 15. a) 6 zerouri d) 3 zerouri 20. a) 24 elemente; b) 24 elemente c) mulimi egale ca numr de elemente (cardinale egale)

7. Divizori comuni a dou sau mai multe numere naturale, c.m.m.d.c., numere prime ntre ele, c.m.m.m.c.

1. a) 6 = 2 3; 14 = 2 7 [6, 14] = 2

d) [12, 20] = 4 e) [2, 4, 8] = 2 i) [2, 3, 6, 15] = 1 2. a) [3, 15, 45, 60] = 3 f) [112, 252, 350] = 14 3. 4 soluii 5. 15xyy M dnd 3xyy M i cu 5 Numerele cutate sunt: 300, 600, 900, 255, 555, 855. 6. 2 soluii: 15 i 60; 30 i 45; 7. 864

Mariana Stoica 28

8. a) fie d | n + 2 i d | 2n + 3

++

3n2|d2n|d ( ) 1d1|d,3n24n2|d

3n2|d4n2|d =+

++

d) fie

++

7n5|d11n8|d

1d1|d55n4056n40|d

56n40|d55n40|d

=+

++

9. 2ab0a dnd 6a0ab MM i cu 3; numerele cutate sunt: 2502; 2802; 4104; 4704; 6006; 6306; 6906; 8208; 8508

10. 360 1 = 359 12. (a, b) = 2; 10 < a, b < 20; 3 soluii: (12, 14); (14, 16); (14, 18) 13. 3720, 3750, 3780, 3702, 3732, 3762, 3792, 3714, 3774, 3726, 3756, 3786, 3708, 3738, 3768, 3798 14. D = I C + R; 35 15. D = I C + R 71512727nc12cn727 11 ==+= 845nc15cn860 22 =+= 585nc14cn599 33 =+= mpritorul este 65, adic (715, 845, 585) 17. [a, b] = 2625: 5 = 525; 18. 16,64; 16. (a, b) [a, b] = a b 21. 180, 48 22. Se descompune numrtorul n factori primi

23. Doar una este reductibil: 20

1980 , restul sunt ireductibile.

24. 415, 16 25. ( ) ( ) 121d91c10b10a9111d1001c110b110a1001 222 M+++=+++ 26. (1155; 988) = 1

28. fie 7n4|d5n3|d

++

1d1|d)20n1221n12(|d

21n12|d20n12|d

=+

++

30. nu

Mariana Stoica 29

Test 1 1. M = {3, 6, 12}; 2. 14, 30;

3. fie 1d1|d)2n63n6(|d2n6|d3n6|d

1n3|d1n2|d =+

++

++

4. 162, 165, 168, 261, 264, 267; 5. N = 137872 nn M ; 21888, 51444, 81000; 7. a) 8; b) 177851; 8. {2, 4, 5, 10}; 9. 2175, 2370, 2475, 2670, 2775, 2970

Test 2 1. 62; 2. 9998; 3. 123, 153, 183; 4. 53, 59, 61; 6. a) (80, 180, 810) = 10, [80, 180, 810] = 6480 b) (168, 448, 756) = 28, [168, 448, 756] = 12096 c) (150, 450, 1800) = 150, [150, 450, 1800] = 1800 7. Trebuie artat c ( )( )( )( ) 1204a3a2a1aa M++++ , adic este divizibil cu 3, 5 i 8. Notm cu N = ( )( )( )( )4a3a2a1aa ++++ ; N este divizibil cu 3 deoarece dintre trei numere naturale consecutive cel puin unul este divizibil cu 3. N este divizibil cu 5 deoarece dintre cinci numere naturale consecutive cel puin unul este multiplu a lui 5 i N este divizibil cu 8 deoarece N este divizibil cu 2, i dintre patru numere naturale consecutive cel puin unul este divizibil cu 4. Sau a poate fi de forma

a = 2k ( )( )( )( ) =++++= 4k23k22k21k2k2N = ( )( )( )( )2k3k21k1k2k23 ++++ este divizibil cu 8. 8. lk72p7

Nl k, l,72k N729] 8, 6, [4,7p forma desunt (N) cautate numerele +=

+==

7

lk2k107

lk2k707

lk72p ++=++=+= ( ) 7lk2 M+ dac 721 si 21710k si 3k1l === ; dac 938 si 43413k si 6k2l === ; dac 651 si 1479k si 2k3l === . l 3 deoarece prin mprirea la 4, 6, 8 i 9 obinem acelai rest i cel mai mic mpritor este 4. 9. a) 248 b) 20

Mariana Stoica 30

Test 3 1. Obinem numrul iniial.

2. Numerele au forma n=18c, c A= 3x 5y pk1 pk2 ..; x,y 0. (A)=(x+1)(y+1)(k1 + 1)

(k2 +1)... . Cum x+1 1 si y +1 1 => x+1=2 si y+1 =7 sau x+1=7 si y+1=2.

Deci x=1 si y=6 sau x=6 si y=1. Numerele care satisfac condiia problemei sunt

A= 3 56 sau A=365.

14. 1+4+9+16+25 =55.

Mariana Stoica 31

BIBLIOGRAFIE 1. T. Udrea, D. Niescu, Manual de matematic pentru clasa a VI a, Ed.

Didactic i pedagogic, Bucureti, 2002 2. I. Cuculescu, C. Ottescu, L. Gaiu, Manual de geometrie pentru clasa a

VI a, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti,1989 3. A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele V-VIII, Ed.

Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982 4. D. Brnzei, D. Zaharia, M. Zaharia, Culegere pentru clasa a VI a, Ed.

Paralela 45, 2004 5. Gr. Gheba, Exerciii i probleme pentru clasele V-IX, Ed. Icar,

Bucureti, 1991 6. I. Petric, Probleme de matematic pentru gimnaziu, Ed. Didactic i

Pedagogic, Bucureti, 1985 7. E. Dncila, I. Dncila, Matematica pentru nvingtori, Erc Press,

Bucureti, 2008.

Mariana Stoica 32