aplicatie fiabilitate

Consultatii 19-20 aprilie 2012

Consultat, ii 19 s, i 20 Aprilie 2012 ELa123 pt. testul median:Enunt, curs 4/5

In exploatarea unei centrale electrice, fie 3 evenimente A,B,C aflateın relat, ia de dependent, a probabilista: A→ B → C . Intr-o zi deoperare (24 de ore), ın fiecare ora, independent de alte ore, avemurmatoarele probabilitat, i de aparit, ie: P(B) = 0, 6; P(B|A) = 0, 8;P(B|A) = 0, 4; P(C |B) = 0, 3; P(C |B) = 0, 1.Fie evenimentul D = A ? (B+C ).Se cer:a) probabilitatea aparit, iei ıntr-o ora a evenimentului D;b) s, tiind ca ıntr-o ora a aparut cel put, in unul dintre evenimenteleA,B,C, sa se calculeze ın acest caz probabilitatea aparit, ieievenimentului D ?c) s, tiind ca ıntr-o ora au aparut cel put, in 2 din cele 3 evenimente(A,B,C), sa se calculeze probabilitatea aparit, iei ın acea ora aevenimentului D;

Programul consultatiilor este afisat din data de 11 aprilie la avizier


Continuare enunt,

d) probababilitatea de aparit, ie a evenimentului B de cel put, in 3 oriın primele 12 ore ale zilei;e) probababilitatea de aparit, ie a evenimentului C de cel mult 2 oriın primele 18 ore ale zilei;f) probababilitatea de aparit, ie a evenimentului D ın ziua respectiva(24 de ore) de cel mult 2 ori;g) s, tiind ca evenimentul C nu a aparut ın nici una din orele zileirespective, evaluat, i probabilitatea de a avea cel put, in 1 ora din ziın care evenimentul D apare;h) s, tiind ca evenimentul A a aparut ın 4 ore ale zilei respective,evaluat, i probabilitatea de a avea cel put, in 2 ore din zi ın careevenimentul D apare.



Rezolvare

b) Notam evenimentul E = A+B+C .Avem de calculat P(D|E ) exprimat sub forma P(D ? E )/P(E )Relat, ie logica: D ? E = A ? (B+C ) ? (A+B+C ) = A ? (B+C ) = DP(A+B+C ) = 1− P(A ? B ? C )P(A ? B ? C ) = P(A) · P(B|A) · P(C |B) = 0, 5 · 0, 6 · 0, 9 = 0, 27P(A+B+C ) = 1− 0, 27 = 0, 73P(D|E ) = P(D)/P(E ) = 0, 41/0, 73 ∼= 0, 561644



Rezolvare

c) Notam evenimentul F = AB+AC +BC .Relat, ie logica:D ? F = A ? (B+C ) ? (AB+AC +BC ) = AB+AC = DRelat, ie logica:F = ABC +ABC + ABC + ABC = BC + ABC + ABCP(BC ) = P(B) · P(C |B) = 0, 6 · 0, 3 = 0, 18P(ABC ) = P(A) · P(B|A) · P(C |B) = 0, 5 · 0, 2 · 0, 1 = 0, 01P(ABC ) = P(A) · P(B|A) · P(C |B) = 0, 5 · 0, 8 · 0, 7 = 0, 28Rezulta: P(F ) = 0, 18 + 0, 01 + 0, 28 = 0, 47P(D|F ) = 0, 41/0, 47 ∼= 0, 8723404



Rezolvare

d) NB ∼ Bin(12,P(B))P(NB ≥ 3) = 1− P(NB = 0)− P(NB = 1)− P(NB = 2)P(NB = 0) = (1− P(B))12 = 0, 412

P(NB = 1) = 12 · P(B) · (1− P(B))11 = 12 · 0, 6 · 0, 411

P(NB = 2) = C 212 · P(B)2 · (1− P(B))10 = 66 · 0, 62 · 0, 410

Rezulta: P(NB ≥ 3) ∼= 0, 99719



Rezolvare

e) NC ∼ Bin(18,P(C ))P(NC ≤ 2) = P(NC = 0) + P(NC = 1) + P(NC = 2)P(C ) = 0, 6 · 0, 3 + 0, 4 · 0, 1 = 0, 22P(NC = 0) = (1− P(C ))18 = 0, 7818

P(NC = 1) = 18 · P(C ) · (1− P(C ))17 = 18 · 0, 22 · 0, 7817

P(NC = 2) = C 218 · P(C )2 · (1− P(C ))16 = 153 · 0, 222 · 0, 7816

Rezulta: P(NC ≤ 2) ∼= 0, 208416



Rezolvare

f) P(ND ≤ 2) = P(ND = 0) + P(ND = 1) + P(ND = 2)P(ND = 0) = (1− P(D))24 = 0, 5924

P(ND = 1) = 24 · P(D) · (1− P(D))23 = 24 · 0, 41 · 0, 5923

P(ND = 2) = C 224 · P(D)2 · (1− P(D))22 = 276 · 0, 412 · 0, 5922

Rezulta: P(ND ≤ 2) ∼= 0, 000478



Rezolvare

g) La nivelul unei ore, fie P(D|C ) = P(D ? C )/(1− P(C ))Relat, ie logica: D ? C = A ? (B+C ) ? C = A ? B ? CP(A ? B ? C ) = 0, 28 (calculat la pct. a)p = P(D|C ) = 0, 28/0, 78P(ND ≥ 1|NC = 0) = 1− P(ND = 0|NC = 0)P(ND = 0|NC = 0) = (1− p)24

Raspuns: P(ND ≥ 1|NC = 0) ∼= 0, 9999768



Rezolvare

h) Daca evenimentul A nu apare, atunci D nu are cum sa apara (ase vedea relat, ia de definit, ie a lui D).Fie r = P(D|A) = P(D)/P(A) = 0, 41/0, 5 = 0, 82Pt. 2 ore aparit, ii ale lui D, din cele 4 cazuri cu A realizat:C 2

4 r2(1− r)2

Pt. 3 ore aparit, ii ale lui D, din cele 4 cazuri cu A realizat:C 3

4 r3(1− r)

Pt. 4 ore aparit, ii ale lui D, din cele 4 cazuri cu A realizat: C 44 r

4

Raspuns: P(ND ≥ 2|NA = 4) ∼= 0, 9798213. Practic ın 97, 98% dincazurile ın care NA = 4 avem ND ≥ 2.



Verificare

g) Pentru nerealizarea lui D, atunci cand C nu s-a realizat, estenecesara nerealizarea a cel put, in unuia dintre evenimentele A, B.Respectiv P(A+B|C ) = 1− P(A ? B|C ), ıntrucat A+B = A ? BDar, P(A ? B ? C ) = 0, 28 (calculat la pct. c), iar P(C ) = 0, 22(calculat la pct. e).Rezulta: P(A+B|C ) = 1− 0, 28/0, 78P(ND = 0|NC = 0) = (P(A ? B|C ))24 = 0, 9999768



Verificare

h) Pentru realizarea lui D, atunci cand A s-a realizat, intereseazaaparit, ia a cel put, in unuia din cele doua evenimente B, respectiv C.Aceasta se realizeaza cu P(B+C |A) = 0, 82 (deja calculat la pct.a)Pentru verificarea calculului, utilizam:P(ND ≥ 2|NA = 4) = 1−P(ND = 0|NA = 4)−P(ND = 1|NA = 4)P(ND = 0|NA = 4) = (1− 0, 82)4

P(ND = 1|NA = 4) = 4 · 0, 82 · (1− 0, 82)3

Raspuns: P(ND ≥ 2|NA = 4) ∼= 0, 9798213.


aplicatie fiabilitate

Documents