cursuri fiabilitate

Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice

Curs


Fiabilitatea unui sistem poate fi definită ca fiind capacitatea unui sistem de a-

şi încadra performanţele în limitele de toleranţă specificate într-un interval.

Ieşirea din funcţiune a unui sistem poate fi analizată din două puncte de

vedere:

a) al apariţiei defecţiunilor ce împiedică funcţionarea sa, implicând repararea sau

înlocuirea componentelor deteriorate. Conceptul ataşat acestei prime situaţii este

acela de fiabilitate funcţională.

b) al scăderii calităţii şi preciziei sistemului, considerându-le şi pe acestea tot

defecţiuni, când se foloseşte termenul de fiabilitate tehnologică.

Descrierea matematică a fiabilităţii unui sistem poate fi realizată la nivel

global, ignorându-se structura sistemului, sau la nivel structural, când sunt luate în

considerare elementele sistemului şi relaţiile dintre ele.

Din punct de vedere al teoriei fiabilităţii, sistemele pot fi considerate ca fiind

compuse din elemente fără restabilire şi elemente cu restabilire. În cazul sistemelor

fără restabilire este suficient să se ia în considerare durata scursă de la punerea în

funcţiune a sistemului până la defectarea sa, durată care este o variabilă aleatoare

continuă. Caracteristicile numerice ale acestei variabile aleatoare vor reprezenta

indicatorii de fiabilitate ai sistemului.

Se va analiza în continuare fiabilitatea sistemelor fără restabilire.

2.1 Indicatori de fiabilitate

Pentru definirea indicatorilor de fiabilitate, se consideră timpul de funcţionare

T al unui sistem fără restabilire, de la punerea sa în funcţionare până la defectare,

ca o variabilă aleatoare continuă. Funcţiile şi caracteristicile numerice asociate

15


acestei variabile aleatoare continui au o interpretare particulară în domeniul teoriei

fiabilităţii, putând fi considerate ca indicatori de fiabilitate [15].

Astfel, funcţia de repartiţie F(t), adică probabilitatea ca variabila aleatoare T

să ia valori mai mici decât t, reprezintă probabilitatea de defectare a sistemului în

intervalul ( 0,t ) :

F(t) = P(T< t) (2.1)

Funcţia de repartiţie (2.1) caracterizează sistemul în orice interval de timp

având drept origine momentul punerii în funcţiune. Într-un interval de timp oarecare

(t,t+x) probabilitatea de defectare este:

(2.2)

Probabilitatea (2.1) este o probabilitate totală de defectare. În analiză

fiabilităţii interesează probabilitatea de defectare F(t,t+x) într-un interval de timp

(t,t+x) a unui sistem despre care se ştie că este bun la momentul iniţial t al

intervalului. Conform definiţiei probabilităţilor condiţionate , se poate scrie:

(2.3)

În teoria fiabilităţii, caracterizarea comportării sistemelor în intervale finite de

timp poate fi realizată şi prin probabilitatea de bună funcţionare în interval. De

aceea, se defineşte indicatorul funcţie de fiabilitate R(t) ca probabilitatea de bună

funcţionare a sistemului într-un anumit interval de timp, condiţionată de buna

funcţionare a sa, la momentul iniţial al intervalului. Considerând complementarele

expresiilor (2.1) şi (2.2), se poate scrie funcţia de fiabilitate R(t) a unui sistem în

intervalul (0,t), respectiv R(t,t+x) în intervalul (t,t+x):

(2.4)

Funcţiile definite până acum descriu fiabilitatea sistemului în diferite intervale

de timp, corespunzând unor posibile misiuni. Comportarea sistemului în jurul unui

moment dat este descrisă cu ajutorul densităţii de probabilitate a timpului de

funcţionare până la defectare, definită conform relaţiei:

(2.5)

16


Densitatea de probabilitate (2.5) reprezintă legea de repartiţie a timpului de

funcţionare până la defectare, având semnificaţia unei probabilităţi totale de

defectare în jurul momentului t, indiferent de comportarea anterioară a sistemului.

Pentru a descrie pericolul de defectare instantanee a unui sistem aflat în

stare de bună funcţionare, se defineşte rata de defectare. Rata de defectare z(t)

este probabilitatea de defectare în jurul unui moment dat, condiţionată de buna

funcţionare a sistemului până la acel moment. Ea se obţine raportând expresia

(2.3) a probabilităţii de defectare la mărimea intervalului şi trecând la limită când

aceasta tinde către zero :

(2.6)

Din relaţiile (2.5) şi (2.6) se obţine :

(2.7)

Integrând ecuaţia (2.7) cu condiţia iniţială R(0)=1, rezultă:

(2.8)

(2.9)

În afara funcţiilor enumerate, fiabilitatea unui sistem poate fi descrisă şi prin

caracteristici numerice ca: media, dispersia, abaterea medie pătratică şi cuantila

timpului de funcţionare.

Media timpului de funcţionare exprimă durata scursă de la punerea în

funcţiune a sistemului, după care este aşteptată defectarea acestuia şi se defineşte

prin relaţia:

(2.10)

Integrând prin părţi relaţia (2.10), se obţine :

(2.11)

O generalizare a expresiei (2.11) se poate obţine considerând funcţia de

fiabilitate într - un interval oarecare (t,t+x):

17


(2.12)

Expresia (2.12) reprezintă media timpului de funcţionare rămas până la

defectare începând de la un moment arbitrar t. Evident, pentru t=0, expresia (2.12)

se reduce la (2.11).

Dispersia D2(X) şi abaterea medie pătratică s se definesc cu ajutorul relaţiilor:

(2.13)

Mărimile D2(X) şi s indică gradul de uniformitate al performanţelor individuale

ale unor sisteme de acelaşi tip din punct de vedere al fiabilităţii. Dacă procesul

tehnologic de fabricaţie al sistemelor este bine controlat, valorile indicatorilor (2.13)

vor fi mici.

Un alt indicator de fiabilitate este cuantila de ordinul γ a timpului de

funcţionare tγ, definită ca rădăcină a ecuaţiei:

(2.14)

Din relaţia (2.14) rezultă o interpretare posibilă a cuantilei ca timp de

garanţie, adică timpul în care proporţia de elemente defectate dintr-o anumită

colectivitate nu depăşeşte o valoare prestabilită, γ.

Aplicaţie

18


Se consideră un eşantion n=35 roţi dinţate. Şţiind că legea de repartiţie

modelează defectarea eşantionului de roţi dinţate, se cere să se

determine următori indicatori de fiabilitate, la momentul t=10000 ore de funcţionare:

funcţia de repartiţie, funcţia de fiabilitate, densitatea de probabilitate, rate de

defectare şi media timpului de funţionare.

Soluţie

Indicatori de fiabilitate sunt:

a) Funcţia de repartiţie este:

b) Funcţia de fiabilitate este:

c) Densitatea de probabilitate se determină cu relaţia:

[ore]

d) Rata de defectare se calculează cu relaţia:

e) Media timpului de funcţionare este:

2.2 Modelarea fenomenelor de defectare ale sistemelor tehnice

În practică, asocierea dintre o lege de repartiţie şi un anumit sistem se face

printr-un raţionament care combină interpretarea fizică şi rezultatele experimentale.

Astfel, pe baza experienţei anterioare se adoptă iniţial un grup de legi de repartiţie

din care se elimină cele ce nu concordă cu rezultatele experimentale.

Modelarea fenomenelor de defectare constă în selectarea unei legi de

repartiţie şi verificarea adecvării ei la un anumit sistem prin confruntare cu

19


rezultatele experimentale. Procedeul de verificare este bazat pe teoria generală a

verificării ipotezelor statistice. Prin prisma acestei teorii, se formulează ipoteza nulă

H0 privind natura legii de repartiţie a timpului de funcţionare, cu ipoteza alternativă

H1 care exclude valabilitatea tipului de lege propus. Decizia între ipotezele

formulate se ia confrutând funcţia de repartiţie teoretică cu funcţia de repartiţie

estimată punctual din datele experimentale.

Decizia poate fi afectată de cele două tipuri de erori: respingerea ipotezei

nule, când aceasta este adevărată (eroarea de ordin I-α), respectiv acceptarea ei,

când este falsă (eroarea de ordin II-β). Criteriul de decizie trebuie astfel construit,

încât probabilităţile acestor erori să nu depăşească anumite valori impuse iniţial.

Unul dintre cele mai utilizate teste de concordanţă este testul Kolmogorov-

Smirnov [15].

Criteriul Kolomogorov- Smirnov presupune cunoaşterea momentelor de

defectare ale tuturor sistemelor din eşantion. Fie aceste momente

ordonate crescător. Cu ajutorul lor se poate estima funcţia de repartiţie a timpului

de funcţionare până la defectare, denumită şi funcţie empirică de repartiţie, conform

relaţiei:

(2.15)

Notând cu F(t) funcţia de repartiţie care caracterizează sistemul, teorema

Kolomogorov – Smirnov arată că ecartul maxim dintre funcţia de repartiţie teoretică

şi estimaţia ei , este o variabilă aleatoare a cărei lege de repartiţie

depinde numai de volumul eşantionului, nu şi de natura legii de repartiţie care se

verifică.

Funcţia de repartiţie Kolmogorov – Smirnov fiind tabelată, criteriul de decizie

este dat de cuantila de ordinul 1- a repartiţiei Kolomogorov – Smirnov, ipoteza H0

acceptându–se dacă ecartul maxim dintre funcţia de repartiţie teoretică şi cea

estimată nu depăşeşte valoarea cuantilei distribuţiei.

20


Însuşi modul în care au fost formulate ipotezele face deosebit de dificilă o

evaluare a puterii testului, respectiv a riscului de ordinul II (). Astfel, în aplicaţiile

curente, valoarea acestui risc rămâne necunoscută.

Etapele aplicării testului de concordanţă Kolmogorov-Smirnov sunt:

1) Se propune o lege de repartiţie a timpului de funcţionare, F(t);

2) Se adoptă riscul de ordinul I(),respectiv cuantila Dn(α)

3) Se determină funcţia de repartiţie estimată conform relaţiei (2.15);

4) Se determină ecartul maxim ;

5) Dacă ≤ Dn(α), atunci legea propusă nu se respinge.

Aplicaţia 1

Pentru un eşantion n=10 discuri de ambreiaj de la autoturisme Dacia s-au

obţinut următoarele momente de defectare (km de funcţionare): 73074, 76370,

78931, 68733, 70221, 74821, 71317, 78005, 75773 şi 74195.

Să se verifice, utilizând testul Kolmogorov-Smirnov, dacă legea de repartiţie

alpha modelează fenomenele de defectare a lotului de discuri. Se adoptă un risc de

ordinul I, α=0.15.

Soluţie

Funcţia de repartiţie pentru legea de repartiţie alpha este (cap.1):

(2.16)

unde este funcţia lui Laplace.

Utilizând metoda verosimilităţii maxime, parametrii repartiţiei alpha au

următoarele estimări:

(2.17)

21


(2.18)

Cu momentele de defectare ale discurilor se calculează următoarele mărimi:

(2.19)

(2.20)

(2.21)

Înlocuind relaţiile (2.19), (2.20) şi (2.21) în relaţiile (2.17) şi (2.18) se obţin

următoarele valori:

Utilizând anexa 1, funcţiile de repartiţie pentru legea alpha la momentele t i

sunt:

22


Diferenţele dintre funcţia de repartiţie alpha teoretică şi funcţia de repartiţie

estimată, la momentele ti sunt:

;

;

;

;

;

Ecartul maxim este:

=0.1072

Cuantila repartiţiei Kolmogorov-Smirnov pentru n=10 şi α=0.15 are valoarea

[ Anexa 2].

23


Deoarece < =0.360, legea de repartiţie alpha

modelează fenomenele de defectare ale eşantionului de discuri de ambreiaj.

Aplicaţia 2

Dintr-un lot de matriţe se prelevează în mod aleator un eşantion de volum

n=15 bucăţi, care sunt urmăriţi în exploatare până la defectarea tuturor matriţelor.

Momentele de defectare ale matriţelor sunt (în număr de acţionări): 15784, 16234,

17742, 18214, 19336, 19741, 20147, 20698, 21469, 21751, 22019, 22019, 22258,

22365.

Să se verifice, utilizând testul Kolmogorov-Smirnov, dacă legea de repartiţie

putere modelează fenomenele de defectare a lotului de matriţe. Se adoptă un risc

de ordinul I, α=0.1.

Soluţie

Pentru legea de repartiţie putere, funcţia de repartiţie teoretică F(t) are

expresia (capitolul 1):

(2.22)

unde b şi sunt parametri legi de repartiţie.

Parametrii b şi se pot determina utilizând metoda celor mai mici pătrate.

După transformări simple, funcţia de repartiţie putere poate fi scrisă sub

forma:

(2.23)

Se observă că ecuaţia (2.23) este ecuaţia unei drepte:

(2.24)

unde:

, iar (2.25)

24


Coeficienţii acestei drepte se determină cu relaţiile:

(2.26)

respectiv:

(2.27)

Parametrii funcţiei de repartiţie se determină cu relaţiile:

(2.28)

(2.29)

Cuantila repartiţiei Kolmogorov-Smirnov pentru n=15 şi α=0.1 are valoarea

[Anexa 2].

Funcţia de repartiţie estimată obţinută pe baza momentelor de defectare ale

matriţelor este:

(2.30)

Pentru şi iy se obţin următoarele valori:

25


Cu aceste valori se calculează următoarele mărimi:

Parametri a şi b1 se calculează cu relaţiile (2.26) şi (2.27):

26


respectiv:

Parametri pentru legea putere sunt:

Expresia funcţiei de repartiţie pentru legea putere este:

(2.31)

Se calculează diferenţele, în valoarea absolută, dintre funcţia de repartiţie

teoretică şi funcţia de repartiţie estimată. Se obţin următoarele valori:

27


Ecartul maxim este:

=0.0903

Deoarece =0.0903< , legea de repartiţie aleasă

modelează fenomenele de defectarea a lotul de matriţe.

Testul Kolmogorov-Smirnov a fost construit fără a se specifica riscul de ordin

II(β). Faptul că riscul de ordinul II rămâne neprecizat face ca respingerea unei

ipoteze să fie mai semnificativă decât acceptarea ei.

2.3 Estimarea indicatorilor de fiabilitate

Indicatorii de fiabilitate sunt calculaţi pe baza rezultatelor experimentale

obţinute în încercările de fiabilitate sau prin urmărirea sistemelor în exploatare. În

ambele cazuri, un eşantion reprezentativ de volum n este urmărit într-un anumit

interval de timp, funcţionând în condiţii de solicitare bine precizate.

28


Datorită caracterului statistic al experimentului, principial neputându-se

urmări decât o fracţiune redusă din sistemele realizate, valorile indicatorilor nu pot fi

determinate, ci doar estimate punctual sau cu interval de încredere. Dacă în

evaluarea indicatorilor se face abstracţie de legea lor de variaţie în timp, urmărindu-

se doar valorile numerice ale acestora, estimarea se numeşte neparametrică.

Evaluarea indicatorilor de fiabilitate prin intermediul legii timpului de funcţionare

poartă denumirea de estimare parametrică.

2.3.1 Estimarea neparametrică a indicatorilor de fiabilitate

Constă în evaluarea valorilor numerice ale indicatorilor de fiabilitate, fără a se

ţine seama de legea lor de variaţie. Fie un eşantion de volum n, urmărit într-un

interval de timp de mărime T, în care apar r defectări.

Dacă F(t) este probabilitatea de defectare în intervalul (0, t) a unui sistem din

eşantion, probabilitatea de apariţie a celor r defectări este dată de legea de

distribuţie binomială [15]:

(2.32)

Estimarea punctuală a probabilităţii de defectare F(t) se poate face prin

metoda verosimilităţii maxime. Logaritmând relaţia (2.32) şi punând condiţia de

maxim, rezultă estimaţia punctuală a funcţiei de repartiţie a timpului de funcţionare:

(2.33)

Dacă experimentul este realizat până la defectarea tuturor elementelor din

eşantion, înregistrându-se momentele succesive t1, t2……,ti,….,tn de defectare ale

acestora, funcţia de repartiţie poate fi estimată în ansamblul ei, conform

relaţiei (2.15).

Estimaţia cu interval de încredere a funcţiei de repartiţie sau a funcţiei de

fiabilitate prezintă mai puţin interes datorită impreciziei, chiar pentru eşantioane

relativ mari.

29


Pentru a evalua densitatea de probabilitate a timpului de funcţionare şi rata

de defectare, acestea fiind mărimi instantanee, este necesar să se considere un

interval finit Δt în care valorile acestor indicatori să fie presupuse constante.

Este important a se nota că estimarea acestor indicatori de fiabilitate depinde

de mărimea intervalului Δt: cu cât mărimea intervalului este mai mică, cu atât

aproximarea funcţiei printr-o constantă va fi mai bună. Prin urmare, în estimarea

indicatorilor de fiabilitate locali intervin erori datorate aproximării valorilor

instantanee cu mărimi constante pe interval, precum şi erori datorate caracterului

statistic al experimentului.

Fie un interval mic de timp (t,t+Dt) şi fie n(t) numărul de elemente din

eşantion aflate în bună stare la momentul t. Evident n(0) este tocmai volumul

eşantionului n.

Raportul dintre numărul de defectări înregistrate în intervalul (t,t+Dt) şi

volumul eşantionului este o estimaţie punctuală a probabilităţi totale de defectare în

acest interval. Raportând această valoare la mărimea intervalului, se obţine

estimaţia punctuală a densităţii de probabilitate f(t):

(2.34)

unde nf(t)=n(t)-n(t+Δt) este numărul de defecte înregistrate în intervalul (t,t+Dt).

Analog, împărţind numărul de defectări în intervalul (t,t+Dt) la numărul de

sisteme aflate în bună stare la începutul intervalului, se obţine estimaţia punctuală

a probabilităţii condiţionate de defectare în interval. Raportând această valoare la

mărimea intervalului, rezultă estimaţia punctuală a ratei de defectare:

(2.35)

Prin metode neparametrice se pot estima şi indicatorii numerici de fiabilitate.

Astfel media şi abaterea medie pătratică se estimează pe baza eşantionului,

conform relaţiilor:

(2.36)

respectiv:

30


(2.37)

2.3.2 Estimarea parametrică a indicatorilor de fiabilitate prin estimarea

punctuală

Evaluarea indicatorilor de fiabilitate prin intermediul legii de repartiţie a

timpului de funcţionare se numeşte estimare parametrică.

Deoarece repartiţia exponenţială poate aproxima cu nivelul de precizie dorit

orice lege de distribuţie a timpului de funcţionare, se va prezenta estimarea

punctuală a parametrului l al repartiţiei exponenţiale

În vederea estimării punctuale a parametrului l al repartiţiei exponenţiale, se

utilizează metoda verosimilităţii maxime [15]. Conform acestei metode, valoarea

estimată punctual este acea valoare care maximizează funcţia de verosimilitate,

adică probabilitatea asociată rezultatelor experimentelor efectiv înregistrate.

Funcţia de verosimilitate depinde de modul în care este organizată încercarea de

fiabilitate : trunchiat, dacă încercarea se încheie după o durată prestabilită T sau

cenzurat, dacă se încheie după un număr prestabilit de defectări.

În continuare se va prezenta planul cenzurat fără înlocuire, celelalte planuri

de organizare tratându-se în mod asemănător. În cazul planului cenzurat fără

înlocuire, rezultatele experimentale constau din numărul r de defectări şi

momentele t1,t2,…tr ale acestora.

Funcţia de verosimilitate este [15]:

(2.38)

unde:

(2.39)

31


Punând condiţia de maxim logaritmul funcţiei de verosimilitate (2.38), rezultă

estimaţia punctuală a lui l :

(2.40)

Este de dorit ca estimaţia punctuală să fie nedeplasată, adică media ei să

coincide cu valoarea adevărată a parametrului. În acest scop, estimaţia (2.40)

trebuie corectată, ea devenind:

(2.41)

Tabelul 2.1 cuprinde estimaţiile punctuale ale parametrului λ pentru toate

planurile de organizare ale încercărilor de fiabilitate.

Tabelul 2.1 Estimaţia punctuală prin metoda verosimilităţii maxime a parametrului repartiţiei

exponenţiale

Mod de organizare

a încercărilor

Fără înlocuire Cu înlocuire

Cenzurat

Trunchiat

Pe lângă absenţa deplasării, estimaţiile punctuale trebuie să fie caracterizate

prin consistenţă şi precizie. O estimare este consistentă dacă odată cu creşterea

volumului observaţiilor tinde spre valoarea adevărată. Condiţia de consistenţă este

îndeplinită prin utilizarea metodei verosimilităţii maxime în estimarea parametrilor.

32

cursuri fiabilitate

Documents