carte fiabilitate

FIABILITATEA,MENTENABILITATEA SI

DISPONIBILITATEA SISTEMELORTEHNICE

Gabriel BURLACU Nicolae DANET

Costica BANDRABUR Tache DUMINICA

Cuprins

Cuvnt nainte ix

Prefata xi

Introducere xiii

1 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR 11.1 Evenimente. Operatii cu evenimente . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Probabilitate. Cmp de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Probabilitate conditionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Functia de repartitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Densitatea de repartitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Operatii cu variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Valori medii. Dispersie. Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Legi clasice de distributie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 TEORIA FIABILITATII 392.1 Denitia abilitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Caracteristici numerice ale abilitatii . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Functia risc de defectare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 Fiabilitate conditionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Legi de repartitie a functiei de abilitate . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5.1 Legea exponentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.2 Legea normala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5.3 Legea lognormala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5.4 Legea Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.5.5 Legea Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6 Fiabilitatea sistemelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.6.1 Fiabilitatea sistemelor cu montaj n serie . . . . . . . . . . 772.6.2 Fiabilitatea sistemelor cu montaj n paralel . . . . . . . . . 812.6.3 Fiabilitatea sistemelor cu montaj combinat

serie-paralel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

iii

iv CUPRINS

2.6.4 Redundanta paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.6.5 Fiabilitatea sistemelor k din n . . . . . . . . . . . . . . . . 912.6.6 Aplicarea formulei probabilitatii totale la calculul

abilitatii sistemelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.6.7 Folosirea tabelului de control pentru calculul

abilitatii sistemelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6.8 Determinarea limitelor abilitatii sistemelor

complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.7 Note si comentarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3 MENTENABILITATEA 1073.1 Denitie. Expresia matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2 Mentenabilitatea si mentenanta sistemelor . . . . . . . . . . . . . 1123.3 Organizarea mentenantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3.1 Rolul mentenantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.3.2 Strategia mentenantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.3.3 Factorii care inuenteaza mentenanta

sistemelor tehnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.4 Planicarea mentenantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.4.1 Forme de planicare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.4.2 Informatii necesare pentru planicare . . . . . . . . . . . . 1303.4.3 Periodicitatea optima a mentenantei preventive . . . . . . 1313.4.4 Elaborarea planurilor de mentenanta . . . . . . . . . . . . 1323.4.5 ntocmirea, lansarea, urmarirea si raportarea

planurilor de mentenanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.5 Resursa pieselor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.5.1 Uzura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.5.2 Starea limita a pieselor si subansamblurilor . . . . . . . . . 1403.5.3 Resursa tehnica a pieselor si instalatiilor tehnologice . . . . 1423.5.4 Starea limita a instalatiilor tehnologice . . . . . . . . . . . 143

3.6 Asigurarea logistica a mentenantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.6.1 Determinarea necesarului de materiale . . . . . . . . . . . 1443.6.2 Determinarea necesarului de piese de schimb . . . . . . . . 1453.6.3 Optimizarea stocurilor de piese de schimb . . . . . . . . . 149

3.7 Organizarea sistemelor de mentenanta . . . . . . . . . . . . . . . 1503.7.1 Organizarea sistemelor de mentenanta preventiv

planicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.7.2 Organizarea sistemelor de mentenanta complexa . . . . . . 154

3.8 Diagnoza starii tehnice a instalatiilor . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.9 Organizarea activitatii de reparatii . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.10 Mentenanta productiva totala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

CUPRINS v

4 DISPONIBILITATEA 1714.1 Concept, denitii, termeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.2 Modelul exponential al disponibilitatii . . . . . . . . . . . . . . . 1754.3 Disponibilitatea sistemelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.4 Cai de crestere a disponibilitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

A Functia Gamma 183

B Codul lui Hammurabi 185

vi CUPRINS

Lista gurilor

1 Reprezentarea generala a unui sistem tehnic . . . . . . . . . . . . xiii

1.1 Gracul unei functii de repartitie discontinua ntr-un punct x0 . . 151.2 Gracul unei functii de repartitie continua pe R . . . . . . . . . . 151.3 Interpretarea geometrica a functiei de repartitie F (x) = P (X < x) 161.4 Interpretarea geometrica a probabitatii P (a < X < b) . . . . . . . 171.5 Unele caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare . . . . . 241.6 Gracul densitatii distributiei exponentiale de parametru = 0; 5 311.7 Gracul functiei de repartitie a distributiei exponentiale pentru

= 0; 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 Densitatea de repartitie a distributiei Weibull pentru = 2; = 3 321.9 Functia de repartitie a distributiei Weibull pentru = 2, = 3 . . 331.10 Gracul densitatii repartitiei normale N(m;) . . . . . . . . . . . 341.11 Gracul densitatii repartitiei normale standard N(0; 1) . . . . . . 351.12 Gracul functiei erorilor erf(x) si cel al functiei complementare

erfc(x): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 Gracul unei functii de abilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Functia empirica risc de defectare (cada de baie) . . . . . . . . 532.3 Densitatea de probabilitate si functia de repartitie ale legii normale

pentru m = 3 si 1 = 1; 2 = 0; 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4 Functia de abilitate si functia hazard de defectare ale legii nor-

male pentru m = 3 si 1 = 1; 2 = 0; 5 . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 Densitatea de probabilitate si functia de repartitie ale legii lognor-

male pentru m = 1 si 1 = 0; 2; 2 = 1; 3 = 2 . . . . . . . . . . . 632.6 Functia de abilitate si functia hazard de defectare ale legii log-

normale pentru m = 1 si 1 = 0; 2; 2 = 1; 3 = 2 . . . . . . . . . 632.7 Densitatea de probabilitate si functia de repartitie ale legii Gamma

pentru = 3 si p1 = 2; p2 = 1; p3 = 0; 5 . . . . . . . . . . . . . . . 652.8 Functia de repartitie si functia hazard de defectare ale legii Gamma

pentru = 3 si p1 = 2; p2 = 1; p3 = 0; 5 . . . . . . . . . . . . . . . 662.9 Densitatea de probabilitate si functia de repartitie ale legii Weibull

pentru = 1 si diferite valori ale lui . . . . . . . . . . . . . . . . 69

vii

viii LISTA FIGURILOR

2.10 Functia de abilitate si functia hazard de defectare ale legii Weibullpentru = 1 si diferite valori ale lui . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.11 Densitatea de probabilitate si functia de repartitie ale legii Weibullpentru = 2 si diferite valori ale parametrului . . . . . . . . . . 71

2.12 Functia de abilitate si functia hazard de defectare ale legii Weibullpentru = 2 si diferite valori ale parametrului . . . . . . . . . . 72

2.13 Densitatea de probabilitate Weibull n cazul = 0; 5 si = 104 . . 732.14 Functia de abilitate a distributiei Weibull n cazul = 0; 5 si

= 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.15 Functia hazard de defectare a distributiei Weibull n cazul = 0; 5

si = 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.16 Diagrama de abilitate a unui sistem cu n componente montate n

serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.17 Diagrama de abilitate a unui sistem cu n componente montate n

paralel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.18 Diagrama de abilitate a unui sistem cu montaj combinat serie-

paralel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.19 Diagrama de abilitate a unui sistem n punte . . . . . . . . . . 952.20 Diagrama de abilitate a sistemului n punte n cazul n care

elementul C functioneaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.21 Diagrama de abilitate a sistemului n punte n cazul n care

elementul C nu functioneaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.22 Diagrama de abilitate a unui sistem complex cu cinci elemente . 1002.23 Sistem format prin conectarea n serie a elementelor multimilor

traseu si apoi a acestora n paralel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.24 Sistem format prin conectarea n paralel a elementelor multimilor

taietura si apoi a acestora n serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.1 Curba uzurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.2 Reprezentarea graca a relatiei abilitate-mentenanta . . . . . . . 168

4.1 Functia de repartitie a disponibilitatii unui singur echipament caretrebuie sa functioneze continuu (0 - starea de functionare, 1 - stareade nefunctionare (reparare)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.2 Reprezentarea graca a disponibilitatii punctuale, medii si perma-nente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.3 Diagrama Markov a unei componenete cu rata de defectare sirata de reparare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.4 Variatia disponibilitatii punctuale n functie de valoarea raportuluii

+ ; i = 1; 2; : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.5 Reprezentarea graca a disponibilitatilor punctuale, medii pe [0,t]si permanente din exemplul 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Cuvnt nainte

O SCURTA ISTORIE A FIABILITATII

Nasterea abilitatii ca disciplina tehnica a fost marcata de doua evenimente:unul militar, altul stiintic. n 1949, Robert McNamarra, pe atunci secretar destat pentru aparare al Statelor Unite, a ordonat un exercitiu de alarma generala,n scopul vericarii starii tehnice a echipamentelor militare. Rezultatul a fostngrijorator: aproape 80% din tehnica de lupta de nalta performanta era, pemoment, inutilizabila. Explicatia era ca sosticarea sistemelor complexe, bazatepe tehnologia electronica, implica nesiguranta n capacitatea lor de functionarela parametrii asteptati. Pretul platit pentru nalta performanta era imprevi-zibilitatea. n acelasi an, Claude Shannon, fondatorul teoriei informatiei, publican vestita revista Bell Systems Technical Journal articolul Circuite abile dinrelee mai putin abile. Sistemele de automatizare nu foloseau nca tranzistoarele,cu att mai putin circuitele integrate, ci releele, pentru realizarea functiilorlogice. Acestea erau componente electromecanice, care se blocau adeseori. Shan-non propunea o conceptie noua a circuitelor, redundanta, conform careia, prinutilizarea mai multor componente dect cele strict necesare ndeplinirii functiei,se obtineau sisteme insensibile la defectarile unora dintre elementele lor. Astfel,creativitatea stiintica si acuratetea militara au impus un nou termen: abili-tatea.

n anii 1950 a functionat grupul AGREE (Advisory Group for the Reliabi-lity of Electronic Component), avnd drept obiectiv sa masoare si sa ameliorezeabilitatea componentelor electronice. Grupul, reunind tehnologi si statisticieni,s-a stabilit n oraselul Roma, din statul New York, unde a elaborat, pe lngaimpresionante rapoarte anuale de cercetare, manualul Military Handbook 217,devenit un instrument indispensabil pentru proiectarea sistemelor electronice. nacelasi timp, se dezvolta o cercetare teoretica, inspirata de faimosul articol al luiShannon. Paradigma dominanta a timpului era teoria universala si abstracta,asa cum a fost ea ilustrata cu stralucire de cibernetica lui Norbert Wiener. Caurmare, abilitatea se dezvolta, n plan teoretic, ca stiinta generala a sistemelor,urmarind sa controleze, pe baza unor modele matematice sosticate, procesele dedegradare ale acestora.

Anii 1960 au adus cu sine mari proiecte, n care abilitatea era cruciala. Expe-ditiile de cercetare spatiala, constructia centralelor nucleare si a calculatoarelor de

ix

x CUVNT NAINTE

mare performanta, n conguratia impunatoare si greoaie de mainframe, impusade IBM, mbogateau conceptul de abilitate, adaugndu-i aspecte noi ca securi-tatea (security), siguranta (safety), disponibilitatea (availability) si dependabi-litatea (dependability). Cercetarile de abilitate erau menite sa mbunatateascagradul de previzibilitate al sistemelor complexe, de care depindeau din ce n cemai mult procesele tehnice, economice si sociale. Pericolul unei lovituri nucleare,n conditiile razboiului rece, impunea o solutie de salvgardare a informatiei, ncazul cnd unul sau mai multe centre de calcul ar fost distruse. Asa s-a nascutproiectul ARPA de integrare a calculatoarelor ntr-o retea prin care informatiasa circule, fara a afectata de caderile unora dintre noduri. Proiectul nalizatla sfrsitul anilor 1970, a ajuns sa e aplicat ntr-un context radical schimbat.Miniaturizarea componentelor electronice, concomitent cu cresterea abilitatiilor, a permis realizarea calculatoarelor personale, mici, exibile, dar compara-bile ca performante cu impozantele mainframes de odinioara. Nu se mai puneaproblema legarii n retea a unor mari centre de calcul, dar conceptul a putut aplicat, cu schimbari minore, la sistemele distribuite. Retelele locale (LAN) sicele extinse (WAN) au dus la constituirea retelei tuturor retelelor, care este,acum, Internet-ul.

n societatea bazata pe informatie si cunoastere, edicata pe infrastructuraInternet-ului, abilitatea a trebuit reinventata. Procesele tehnologice se dovedescmai putin critice astazi, dect procesele care guverneaza rationamentul uman.Erorile umane stau la baza comportarii imprevizibile a produselor software siproduc catastrofe, prin conducerea imperfecta a sistemelor complexe. Paradigmaculturala s-a schimbat, la rndul ei. Teoria atotcuprinzatoare, generala si ab-stracta, a cedat locul demersurilor locale, diverse, uneori contradictorii, neinte-grate ntr-un sistem universal si coerent. Globalismul, departe de a aduce cu sineuniformitatea, a promovat multiculturalismul. Postmodernismul sceptic a n-locuit ambitia modernista de transformare a lumii n conformitate cu un proiectunitar.

n acest context, cartea de fata este marturia unei nostalgii catre o lume atehnicii, care sa poata gestionata printr-o abordare solida, bazata pe modelematematice si pe decizii rationale. Ea arata cum cunoasterea poate deveni, nsine, fara vreo interfata tehnologica, sursa de productivitate si de prot. Cla-ritatea, logica si exhaustivitatea lucrarii sunt reconfortante, deoarece ofera citi-torului o ratiune pentru a actiona si un sprijin pentru a se mbarbata.

Prof. univ. dr. ing. Adrian Mihalache

Prefata

Scopul acestei carti este de a pune la dispozitia cititorului interesat o lucrarecu caracter introductiv n teoria abilitatii, mentenabilitatii si disponibilitatiisistemelor tehnice.

Fiabilitatea este marimea care caracterizeaza siguranta de functionare a unuisistem tehnic n conformitate cu normele prescrise. Mentenabilitatea reprezintacapacitatea sistemului de a mentinut sau restabilit n starea de a-si ndeplinifunctia specicata prin activitati de ntretinere si reparatii. Prin mentenanta sentelege ansamblul actiunilor tehnice si organizatorice asociate care sunt efectuaten scopul mentinerii sau restabilirii unui sistem tehnic n starea de a-si ndeplinifunctiile specicate. Disponibilitatea este capacitatea unui sistem tehnic, privitasub aspectele combinate de abilitate, mentenabilitate si organizare a actiunilorde mentenanta, de a-si ndeplini functia specicata la un moment dat sau ntr-uninterval de timp dat.

Deoarece abilitatea, mentenabilitatea si disponibilitatea sunt studiate astazifolosind metode probabilistice, n capitolul I Elemente de teoria probabilitatilorsunt prezentate, pe scurt, notiunile fundamentale de probabilitate si variabilaaleatoare, notiuni absolut necesare pentru ntelegerea tehnicilor probabilisticefolosite n capitolele urmatoare. Prezentarea este succinta, cu caracter mai multteoretic, avnd ca scop o introducere rapida a acelor notiuni de teoria probabi-litatilor a caror cunoastere este absolut indispensabila tuturor celor care folosescmetode probabilistice n modelarea unor fenomene reale. Cititorul familiarizatcu aceste notiuni poate omite parcurgerea acestui capitol sau o poate face pentrua-si reaminti unele notiuni si a se familiariza cu terminologia si notatiile folositen aceasta carte.

Capitolul II, Teoria abilitatii, ncepe cu o prezentarea n detaliu a con-ceptului de abilitate din punct de vedere matematic. Sunt studiate apoi acelecaracteristici numerice ale abilitatii folosite frecvent n practica: timpul mediupna la prima defectare, timpul median de defectare, dispersia defectarilor, tim-pul de garantie etc. O atentie sporita este acordata acelor legi de repartitie caresunt utilizate frecvent n teoria abilitatii: legea exponentiala, legea normala,legea lognormala, legea Weibull.

O sectiune speciala si destul de extinsa, Fiabilitatea sistemelor, este con-

xi

xii PREFATA

sacrata teoriei abilitatii din punct de vedere sistemic. Pe lnga analiza sistemelorcu montaj n serie, n paralel, cu montaj combinat serie-paralel sau k din n, suntprezentate metode de determinare a abilitatii bazate pe formula probabilitatiitotale sau pe folosirea tabelului de control.

Expunerea din acest capitol mbina prezentarea teoretica a notiunilor si de-terminarea formulelor cu numeroase exemple concrete de calcul a abilitatii.

Capitolul III, Mentenabilitatea, are un pronuntat caracter tehnic si aplica-tiv. n prima sectiune este data denitia matematica a mentenabilitatii si studiatan cazurile n care timpul de defectare urmeaza distributia exponentiala sau log-normala. n continuare sunt prezentate activitatile de organizare si de planicarea mentenantei, este studiata resursa pieselor si asigurarea logistica a mentenantei.Organizarea sistemelor de mentenanta si a activitatii de reparatii, diagnoza stariitehnice a instalatiilor, precum si aspectele tehnico-economice ale mentenanteiconstituie subiectul celorlalte sectiuni. Capitolul se ncheie cu prezentarea con-ceptului actual de mentenanta productiva totala.

n capitolul IV, Disponibilitatea, dupa ce se deneste ce se ntelege din punctde vedere intuitiv prin disponibilitatea unui sistem tehnic, se introduc notiunilede disponibilitate punctuala, disponibilitate medie, disponibilitate permanentasi coecient de disponibilitate. Aceste notiuni sunt determinate pentru modelulexponential al disponibilitatii si utilizate pentru a calcula disponibilitatea unorsisteme cu montaj n serie sau n paralel.

Prin tematica abordata si prin modul de tratare, lucrarea se adreseaza n prin-cipal inginerilor, studentilor de la facultatile tehnice, conducatorilor proceselortehnologice, n principal tuturor celor care lucreaza n sectoarele de conceptie,executie si control al sistemelor tehnice. Autorii si exprima speranta ca lucrareava reprezenta un instrument util n orientarea eforturilor cadrelor tehnice dinindustrie si din economie pentru rezolvarea importantelor sarcini curente de pro-ductie si a acelora de perspectiva privind ridicarea nivelului tehnic si calitativ alproduselor, asigurarea competitivitatii acestora.

Contributia autorilor la elaborarea lucrarii a fost urmatoarea:Capitolul I - Elemente de teoria probabilitatilor : N. Danet.Capitolul II - Teoria abilitatii: N. Danet, G. Burlacu.Capitolul III - Mentenabilitatea: G. Burlacu, C. Bandrabur, T. Duminica.Capitolul IV - Disponibilitatea: G. Burlacu, N. Danet.

Tehnoredactarea nala n LaTeX si realizarea gurilor (folosind Mathcad sauMS Word) au fost facute de Nicolae Danet. n tehnoredactare au fost folositeurmatoarele conventii: simbolul marcheaza sfrsitul unui exemplu, observatie,demonstratie etc.; simbolul de atribuire := atrage atentia ca acea notatie estefacuta n acel loc pentru prima data n text. Prescurtarea i.e., care provine de laexpresia din limba latina id est, nseamna adica.

Autorii

Introducere

Conceptul de sistemPrin sistem tehnic, sau pe scurt prin sistem, vom ntelege un ansamblu de

unul sau mai multe obiecte (componente) montate n serie, n paralel sau mixtcare functioneaza mpreuna n scopul realizarii n mod independent a uneia saumai multor functiuni. Altfel spus, un sistem poate conceput ca o cutie neagracu una sau mai multe intrari si corespunzator cu una sau mai multe iesiri, asacum se poate vedea n gura 1.

Fig. 1: Reprezentarea generala a unui sistem tehnic

Orice sistem tehnic trebuie sa ndeplineasca o cerinta obligatorie si anumesa functioneze astfel nct sa realizeze toate functiunile pentru care a fost creat,pastrnd parametrii de calitate n limite date, iar frecventa reparatiilor sa ede asa marime nct sa nu reduca ecienta economica a exploatarii sistemuluirespectiv. O privirea complexa asupra calitatii sistemului conduce la necesitateaunei abordari din perspectiva ingineriei procesului de proiectare (constructiva,tehnologica, studiul materialelor, rezistenta materialelor), de fabricatie (executiesi control), de exploatare. Dar nainte de orice, calitatea sistemului depindede calitatea procesului de fabricatie prin care acesta a fost creat. Dupa uniiautori inuenta diferitilor factori asupra calitatii unui produs (sistem tehnic) ar: calitatea solutiei constructive 28-32%, alegerea materialelor 8-12%, tehnologiade fabricatie folosita 56-64%.

xiii

xiv INTRODUCERE

Conceptul de abilitateConform Dictionarului Explicativ al Limbii Romne, abilitatea este marimea

care caracterizeaza siguranta n functionare a unui sistem tehnic n conformitatecu normele prescrise. Conform STAS 8174/1-1977 abilitatea este nsusirea unuidispozitiv de a-si ndeplini functia specica, n conditii date de-a lungul uneidurate date.

Termenul de abilitate a aparut n anul 1950 si este preluat din limbafranceza, n care abilit nseamna probabilitatea de functionare fara defectarea unui dispozitiv, n conditii specice si ntr-o perioada de timp determinata. Ter-menul dispozitiv folosit aici desemneaza orice element component, bloc ansam-blu, echipament, subsistem sau sistem, ce poate considerat de sine statatorsi care poate ncercat individual. Echivalentul denumirii abilitate n altelimbi este: n engleza, reliability de la verbul to rely, a te bizui, a te rezemade ceva; n germana, Zuverlssichkeit, seriozitate, cinste; n rusa, nadejnostiderivat din cuvntul nadejde, ncredere, speranta.

Societatea a simtit nevoia de a reglementa problema abilitatii nca din celemai vechi timpuri. Cea mai veche legislatie cunoscuta este aceea n domeniulsigurantei constructiilor. Se numeste Codul lui Hammurabi si dateaza de la1759 .e.n. (vezi Appendix B). Problema de baza, care s-a pus chiar din perioadade nceput a stiintei constructiilor, a fost aceea de cunoastere a legilor care leagasolicitarile, respectiv fortele, de deformatiile corpurilor. n al doilea rnd, s-a pusproblema cunoasterii fortelor si a solicitarilor ce actioneaza asupra constructiilorsi modul n care se manifesta aceasta actiune. De asemenea, se evidentiaza catendinta de baza este economia n constructii, adica folosirea ct mai buna aproprietatilor materialelor de constructii, cu garantia, nsa, a rezistentei, respectiva sigurantei constructiei att n ansamblul ei ct si n ecare din elementele careo compun. Progresele stiintei si tehnicii au impus renuntarea la vechile metodede asigurare a sigurantei constructiilor: proiectare, ncercare, reproiectare, iarncercare si asa mai departe pna la obtinerea rezultatului dorit. Folosindu-se metode probabilistice si statistice a aparut teoria abilitatii constructiilor pebaza carora se fac prognoze asupra sigurantei unei constructii.

n timpurile moderne, la fel ca si siguranta constructiilor, abilitatea sis-temelor tehnice nu a fost lasata pe seama hazardului, deoarece o ntrerupereaccidentala a productiei poate avea efecte economice catastrofale. Studiul a-bilitatii sistemelor tehnice s-a constituit ca o disciplina aparte, denumita teoriaabilitatii, aata la granita dintre ingineria sistemelor tehnice si teoria proba-bilitatilor ori statistica matematica.

Teoria abilitatii are drept obiectiv: crearea unui sistem de achizitii de date si de prelucrare a acestora pe

baza statisticii matematice; studiul defectiunilor, al cauzelor, al frecventei acestora si a metodelor de

combatere; elaborarea de metode de calcul si de prognoza a abilitatii pe baza datelor

xv

achizitionate si prelucrate.

Fiabilitate nu nseamna numai calitateFiabilitatea este unul dintre parametrii principali ai calitatii unui produs.

Acest parametru prezinta particularitatea ca nu se poate determina dect pe bazaanalizei n timp a comportarii sistemelor tehnice aate n exploatare. Fiabilitateapoate privita ca o extindere n timp a calitatii unui produs. Calitatea produsuluise determina imediat dupa producerea acestuia si poate testata n momentulvnzarii. Spre deosebire de calitate, abilitatea trebuie privita ca o vericaren timp a calitatii produsului aat n exploatare. Controlul de calitate vericaconcordanta dintre performantele produsului si specicatiile tehnice ale acestuiadin punctul de vedere al intereselor fabricantului (optimizarea cheltuielilor deproductie, livrarea la timp a acestora etc.), pe cnd abilitatea are n vedereinterese generale: gradul de utilitate a produsului, optimizarea cheltuielilor totale(proiectare+fabricatie+exploatare).

Fiabilitatea - un concept probabilisticConceptul de baza al teoriei abilitatii l constituie defectiunea. Momentul

aparitiei unei defectiuni sau timpul de functionare pna la aparitia unei defecti-uni (sau ntre doua defectiuni succesive) sunt variabile aleatoare care iau valori cedepind de un numar foarte mare de factori ntmplatori. Se are n vedere deose-birile care pot aparea n procesul de productie (calitatea diferita a materialelorcare intra n componenta produsului, performantele diferite ale masinilor uneltesi a celorlalte utilaje, calicarea personalului care utilizeaza aceste masini etc.)si diversitatea conditiilor de exploatare a sistemelor tehnice (conditiile de mediu,calicarea personalului de exploatare, organizarea serviciilor tehnice etc.)

De obicei, elementele defecte se repara sau se nlocuiesc pentru a restabilicapacitatile de lucru ale sistemului respectiv. Momentul restabilirii si durata detimp ct se executa reparatia sunt de asemenea variabile aleatoare. Valorile lornu pot prevazute dinainte, ci sunt determinate de natura defectiunilor aparuten diverse locuri, la intervale de timp diferite si din diverse cauze.

Caracterul aleatoriu al factorilor care inuenteaza functionarea, defectareasi repararea sistemelor tehnice conduce la necesitatea abordarii probabilistice aabilitatii.

Calitativ, abilitatea reprezinta capacitatea unui sistem de a functiona faradefectiuni n decursul unui anumit interval de timp, n conditii date.

Cantitativ, abilitatea unui sistem reprezinta probabilitatea ca acesta sa-sindeplineasca functiile cu anumite performante si fara defectiuni ntr-un intervalde timp si n conditii de exploatare date.

Bazele abilitatii produsului se pun n perioada de proiectare cnd i se sta-bileste structura si se face dimensionarea acestuia. Fiabilitatea se asigura n pro-cesul de fabricatie prin alegerea corecta a procedeelor tehnologice si a utilajelor,prin respectarea regimurilor si conditiilor de fabricatie prescrise, prin efectuareaunui control riguros al calitatii materiilor prime si materialelor folosite. Fiabili-

xvi INTRODUCERE

tatea se mentine prin utilizarea unor metode adecvate de conservare, ambalare,transport si punere n functiune, prin exploatare si service corect organizate siefectuate de un personal cu calicare corespunzatoare.

n caietul de sarcini al unei instalatii tehnologice se precizeaza controlulriguros al calitatii materialelor, respectarea prescriptiilor de montaj, probe sipunerea n functiune. Instructiunile de exploatare precizeaza conducerea corectaa procesului tehnologic si include periodicitatea si continutul operatiilor de n-tretinere, vericare, planicare a reparatiilor curente si capitale. Ideea de bazaeste prevenirea avariilor si a accidentelor prin interventii care nu asteapta cadereaunui subansamblu sau a unui organ de masina, n acest caz urmarile putnd grave pentru ntreg sistemul tehnic (instalatie tehnologica, masini si utilaje).

Categoriile abilitatii sistemelorn literatura de specialitate exista o clasicare a abilitatii sistemelor n

functie de etapa ciclului de viata al unui sistem:- abilitatea precalculata - este abilitatea evaluata pornind de la faza de

conceptie (proiectare) a sistemului, de la datele asupra componentelor sale siasupra conditiilor de utilizare ale acestuia.

- abilitatea tehnica - reprezinta abilitatea determinata n urma ncercarilor,n conditii de fabrica, asupra functionarii sistemului n conformitate cu regimurilede exploatare prevazute n norme sau n documentatii tehnice.

- abilitatea operationala (de exploatare) - reprezinta abilitatea determinatan conditii reale de exploatare, prin luarea n considerare a actiunii complexe afactorilor interni si externi, care depind de regimurile reale de lucru ale sistemului,de conditiile tehnice si de reparatiile efectuate asupra acestuia.

Aprecierea aproximativa a nivelului de abilitate a sistemelor proiectate sepoate obtine utiliznd metodele de calcul bazate pe datele statistice privind a-bilitatea elementelor componente. Importanta acestui calcul consta n aceea ca elpermite prognoza abilitatii sistemului nainte de fabricarea lui, ceea ce duce laalegerea variantei optime a solutiei tehnice, care satisface cel mai bine cerintelede abilitate impuse. Se poate arma ca, exceptnd doar o pura ntmplare,un produs sau un sistem ar putea avea o abilitate mai mare dect aceea pecare proiectantul sau i-a implementat-o initial. Nu trebuie, nsa, uitat faptul cacerintele de abilitate cu ct sunt mai ridicate, cu att vor impune cheltuieli maimari.

La determinarea nivelului de abilitate prescris trebuie sa se tina seama deposibilitatile productiei, de consideratiile de ordin economic, de inuenta abi-litatii asupra ecientei sistemului. n legatura cu determinarea abilitatii estenecesar sa se sublinieze ca exploatarea cuprinde toate fazele de existenta ale unuisistem din momentul livrarii lui de catre furnizor: transport, depozitare, puneren functiune, utilizare (exploatare curenta), ntretinere si reparatii.

xvii

Conceptele de mentenanta si mentenabilitateMentenanta reprezinta totalitatea masurilor organizatorice si tehnice nece-

sare pentru pastrarea abilitatii si asigurarea disponibilitatii sistemului tehnicaat n exploatare sau pastrare (control prolactic, reparatii curente, control alfunctionarii si al defectiunilor, lucrari necesare pentru prevenirea defectiunilor sipentru remedierea acestora).

Asigurarea abilitatii unui sistem tehnic (dispozitiv, aparat, instalatie etc.)se face printr-un ansamblul de operatiuni ce permit mentinerea sau restabilireasistemului ntr-o stare data sau de a-i restitui caracteristicile de functionare speci-ce si este denita prin termenul de mentenanta (vezi STAS 8174/2-1977). Cualte cuvinte, mentenanta este activitatea depusa n vederea restabilirii capacitatiide buna functionare a unui sistem dupa ce s-a produs o defectiune a acestuia.

Mentenabilitatea reprezinta capacitatea unui sistem de a mentinut sau resta-bilit n starea de a-si ndeplini functia specicata, atunci cnd ntretinerea sireparatiile se efectueaza conform normelor prescrise.

Ca si abilitatea mentenabilitatea prezinta doua aspecte:a) calitativ reprezinta capacitatea sistemului de a ntretinut si reparat ntr-o

anumita perioada de timp n conditii date;b) cantitativ este probabilitatea repunerii n functiune a sistemului atunci

cnd apare o defectiune.

Conceptul de disponibilitateDisponibilitatea este acea nsusire a unui sistem tehnic de a-si ndeplini functia

specicata sub aspectele combinate de abilitate, mentenabilitate si de organi-zare a activitatii de mentenanta la un moment de timp t sau ntr-un intervalde timp t (vezi STAS 8174/3-1977). Disponibilitatea mai poate interpretataca procentul de timp n care un sistem tehnic functioneaza ntr-un interval detimp dat, sau ca procentul de componente din cadrul sistemului care opereaza nacel interval de timp. La fel ca si abilitatea si mentenabilitatea, din punct devedere cantitativ disponibilitatea este o probabilitate ceea ce face ca teoria prob-abilitatilor si statistica matematica sa poata utilizate pentru studiul acesteicaracteristici a sistemelor tehnice.

xviii INTRODUCERE

Capitolul 1

ELEMENTE DE TEORIAPROBABILITATILOR

Scopul acestui capitol este de face prezentarea unor elemente de teoria pro-babilitatilor necesare pentru parcurgerea celorlalte capitole. Cititorul familiarizatcu notiunile de baza din teoria probabilitatilor poate trece direct la parcurgereacapitolului 2.

1.1 Evenimente. Operatii cu evenimente

Evenimente

n teoria probabilitatilor se lucreaza cu evenimente legate de o anume ex-perienta. Din punct de vedere matematic denirea experientei trebuie facuta nmod abstract, printr-o formulare n care sa nu e pus n evidenta mecanismul par-ticular de producere a experientei sau de obtinere a rezultatelor ei. O asemeneadenitie abstracta a experientei este urmatoarea: a efectua o experienta nseamnaa alege, printr-un procedeu susceptibil de a repetat, un element dintr-o multimedata. Multimea tuturor cazurilor posibile care se pot produce n cadrul uneiexperiente va notata cu -:

Fiecare repetare a experientei se numeste proba. Orice proba atrage dupa sinerealizarea sau nerealizarea oricarui eveniment legat de experienta considerata.Fiecarui eveniment i corespunde o multime de cazuri care realizeaza evenimentulrespectiv, numite cazuri favorabile producerii evenimentului. Multimea cazurilorfavorabile producerii unui eveniment este o submultime a multimii -.

Pentru ntelegerea conceptelor teoriei probabilitatilor, n primele aplicatii siexemplicari, se foloseste modelul aruncarii unui zar sau modelul urnelor cu bile.Aceste modele sunt folosite pentru a simplica exprimarea si a usura ntelegereaconceptelor. Odata familiarizati cu conceptele si tehnicile folosite n teoria pro-babilitatilor se poate renunta la modelele urnelor cu bile si formula problema ncazul real. De exemplu, n locul unei urne care contine bile albe si bile negre

1

2 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR

putem avea un lot de piese n care exista piese bune si piese defecte. Mareaarta n rezolvarea problemelor concrete de teoria probabilitatilor consta n ob-servarea atenta a conditiilor date si ncadrarea problemei ntr-o schema clasicade probabilitate, de regula, formulata n limbajul urnelor cu bile.

Exemplul 1.1.1 Sa consideram experienta aruncarii unui zar pe o suprafataplana. Multimea tuturor cazurilor posibile n aceasta experienta este- = f1; 2; 3; 4; 5; 6g: n legatura cu experienta data consideram urmatoarele eveni-mente:

A : aparitia unei fete cu un numar par de puncte;B : aparitia unei fete cu un numar impar de puncte;C : aparitia uneia dintre fetele 1 sau 2;D : aparitia uneia dintre fetele 2 sau 3;E : aparitia uneia dintre fetele 1 sau 3;F : aparitia unui numar > 4;G : aparitia unui numar 4;H : aparitia fetei 4;I : aparitia fetei 5;J : aparitia fetei 6.

Evenimentului A i corespunde submultimea f2; 4; 6g a multimii - si reciproc.De aceea nu vom face distinctie ntre eveniment si multimea cazurilor favorabile.Folosind aceasta conventie vom notaA = f2; 4; 6g: n mod analog, celelalte eveni-mente se pot scrie sub forma: B = f1; 3; 5g, C = f1; 2g, D = f2; 3g, E = f1; 3g,F = f5; 6g; G= f1; 2; 3; 4g, H = f4g, I = f5g, J = f6g:

Evenimentele care au un singur caz favorabil se numesc evenimente elementare.n exemplul de mai sus, H = f4g este un eveniment elementar. n general, daca! 2 -; evenimentul f!g este un eveniment elementar. Prin abuz de limbaj vomnumi evenimente elementare elementele ! ale multimii -:

Evenimentul sigur. Evenimentul imposibil

Printre evenimentele legate de o experienta consideram ntotdeauna eveni-mentul sigur si evenimentul imposibil. Evenimentul sigur este acela care se pro-duce cu certitudine la orice efectuare a experientei. Evenimentul sigur va notatcu -: De exemplu, la aruncarea unui zar pe o suprafata plana aparitia uneiadintre fetele 1; 2; 3; 4; 5; 6 este evenimentul sigur.

Evenimentul imposibil nu se produce la nici o efectuare a experientei. Deoareceacest eveniment nu are nici un caz favorabil va notat cu ;; simbolul multimiivide. De exemplu, la aruncarea unui zar aparitia fetei cu numarul 7 este uneveniment imposibil.

1.1. EVENIMENTE. OPERATII CU EVENIMENTE 3

Eveniment implicat de un alt eveniment

Se spune ca evenimentul A implica evenimentul B si se noteaza A B; dacarealizarea lui A atrage dupa sine realizarea lui B. Aceasta nseamna ca oricecaz care produce realizarea evenimentului A produce si realizarea evenimentuluiB; adica multimea cazurilor favorabile lui A este inclusa n multimea cazurilorfavorabile lui B. Evident, A A si A -: Se accepta ca evenimentul imposibilimplica orice eveniment, adica ; -:

n exemplul considerat anterior, evenimentele C;D;E siH implica evenimen-tul G:

Operatii cu evenimente

Fie A si B doua evenimente legate de o experienta. Pornind de la acesteevenimente se pot deni noi evenimente.

Evenimentul A sau B, notat A [ B; este evenimentul a carei realizarenseamna realizarea a cel putin unuia dintre cele doua evenimente.

Evenimentul A siB, notatA\B, este evenimentul a carei realizare nseamnarealizarea simultana a ambelor evenimente A si B:

Evenimentul non A, evenimentul contrar evenimentului A; notat A; esteevenimentul a carei realizare consta n nerealizarea evenimentului A: Multimeacazurilor favorabile lui A este formata din toate cazurile nefavorabile lui A:

Evenimente compatibile. Evenimente incompatibile

Doua sau mai multe evenimente se numesc incompatibile daca nu se pot realizasimultan la nici o efectuare a experientei. n caz contrar ele se numesc compatibile.Daca A1; A2; : : : ; An sunt evenimente incompatibile, atunci A1\A2\ : : :\An = ;;iar n cazul n care sunt compatibile A1 \A2 \ : : : \An 6= ;:

n exemplul 1.1.1, evenimentele A si B sunt incompatibile deoarece ele nuse pot produce simultan. Evenimentele C si D sunt compatibile deoarece elese pot realiza simultan, daca drept rezultat al aruncarii zarului apare fata 2.Evenimentele C;D;E sunt incompatibile (n totalitatea lor) deoarece nu se potrealiza simultan toate trei, dar sunt compatibile doua cte doua pentru ca C\D =f2g; C \E = f1g; D \E = f3g: Evenimentele C;F;H sunt incompatibile douacte doua.

ntre evenimentul A si evenimentul contrar A au loc relatiile: A [ A = -;A\A = ;: De aceea se spune ca A si A realizeaza o descompunere, sau o partitie,a evenimentului sigur -: Pentru cazul general se da urmatoarea denitie.

Denitie. Se spune ca evenimentele A1; A2; : : : ; An realizeaza o descom-punere a evenimentului A daca:

1) A1 [A2 [ : : : [An = A;2) A1; A2; : : : ; An sunt incompatibile doua cte doua, i.e., Ai\Aj = ;; pentru

i; j = 1; 2; : : : ; n; i 6= j:


Daca evenimentele A1; A2; : : : ; An realizeaza o descompunere a evenimentuluisigur, adica A = - n denitia de mai sus, atunci se spune ca fA1; A2; : : : ; Angconstituie un sistem complet de evenimente.

Dualitatea de limbaj

Din cele prezentate mai sus rezulta ca orice eveniment legat de o experientacu un numar nit de cazuri posibile poate interpretat ca o submultime a uneimultimi -, multimea tuturor cazurilor posibile ale experientei. Din aceasta con-ventie rezulta urmatoarea dualitate de limbaj, ntre limbajul evenimentelor folositn teoria probabilitatilor si limbajul din teoria multimilor.

Limbajul evenimentelor Limbajul multimilor

Eveniment Submultime a lui -Evenimentul sigur Multimea (totala) -Evenimentul imposibil Multimea vida ;A implica B A BA sau B A [ BA si B A \ BEvenimentul contrar lui A AEveniment elementar f!g sau !; cu ! 2 -

Cmp de evenimente

Fie - o multime nevida, numita, de regula, multimea evenimentelor ele-mentare. Notam cu K o familie (nevida) de submultimi ale lui -: De regula,K nu este multimea tuturor submultimilor lui -: Elementele lui K vor numiteevenimente si vor notate cu A;B;C; : : : .

Denitie. Multimea K se numeste cmp de evenimente daca satisface conditi-ile:

1) Daca A 2 K; atunci A 2 K:2) Daca A;B 2 K, atunci A [ B 2 K:

Orice cmp de evenimente K satisface si urmatoarele proprietati:3) - 2 K; ; 2 K, i.e., evenimentul sigur si evenimentul imposibil apartin

cmpului K.4) Daca A;B 2 K; atunci A \ B 2 K:

ntr-adevar, daca A este un eveniment din K (un astfel de eveniment existadeoarece multimea K este nevida), atunci A 2 K (conform 1) si deci - = A[A 2K (conform 2). n consecinta, folosind din nou 1), avem ; = - 2 K:

Daca A;B 2 K, atunci A;B 2 K (conform 1) si apoi A[B 2 K (conform 2).Folosind din nou 1) obtinem A \ B = (A [B) 2 K:

n continuare vom nota un cmp de evenimente prin perechea f-;Kg; punndn evidenta att multimea totala - ct si multimea de evenimente K:

1.2. PROBABILITATE. CMP DE PROBABILITATE 5

1.2 Probabilitate. Cmp de probabilitate

Frecventa

Fie A un eveniment legat de o anumita experienta. Daca ntr-o serie de nprobe, evenimentul A s-a realizat de nA ori si nu s-a realizat de nnA ori, atuncinumim frecventa relativa a evenimentului A n seria de probe consideratanumarul

fn(A) :=nAn:

Propozitia 1.2.1 Frecventa relativa are urmatoarele proprietati:1) 0 fn(A) 1:2) fn(-) = 1:3) fn(A [B) = fn(A) + fn(B); daca evenimentele A si B sunt incompatibile.4) fn(A B1) = fn(A) fn(B); daca evenimentul B A:5) fn(A B) = fn(A) fn(A \B):6) fn(A [B) = fn(A) + fn(B) fn(A \B):7) fn(A) = 1 fn(A):

Demonstratie. Primele doua proprietati sunt evidente. Pentru a justica ceade a treia proprietate se observa ca daca se efectueaza experienta de n ori sievenimentul A se realizeaza de nA ori, iar evenimentul B se realizeaza de nB ori,atunci evenimentul A[B se va realiza de nA+ nB ori (deoarece A si B nu se potrealiza simultan niciodata). Folosind denitia frecventei avem

fn(A [ B) = nA + nBn =nAn+nBn= fn(A) + fn(B):

Sa demonstram acum proprietatea 6): Daca evenimentele A si B sunt com-patibile, atunci numarul de probe care realizeaza evenimentul A [B este

nA[B = nA + nB nA\B:

Aceasta egalitate are loc deoarece numarul de probe care realizeaza evenimentulA \ B, nA\B, apare de doua ori n suma nA + nB : o data printre cele carerealizeaza pe A si o data printre cele care realizeaza pe B: Conform denitieifrecventei, obtinem

fn(A [B) = nA[Bn

=nA + nB nA\B

n= fn(A) + fn(B) fn(A \B):

La fel se pot demonstra si celelalte proprietati ale frecventei relative. 1Prin A B se ntelege A \ B:


Multe experiente prezinta fenomenul de regularitate statistica. Aceastanseamna ca daca n si m sunt numere mari si A este un eveniment legat de oastfel de experienta, atunci frecventele fn(A) si fm(A) nu difera prea mult ntreele si aceasta diferenta este cu att mai mica cu ct cele doua numere n si msunt mai mari. Cu alte cuvinte, frecventele oscileaza n jurul unei anumite valori,numita probabilitatea evenimentului A; notata P (A); si apropierea de aceastavaloare este cu att mai mare cu ct n este mai mare. n limbaj matematicaceasta nsemna existenta limitei lim

n!1fn(A) = P (A). Daca am putea cunoaste

valoarea acestei limite am avea probabilitatea evenimentului A: Cum o experientanu se poate repeta dect de un numar nit de ori, luam ca valoare aproximativa aprobabilitatii P (A) o valoare a frecventei fn(A);pentru un n ct mai mare posibil.

Denitia axiomatica a probabilitatii

Denitie. Fie f-;Kg un cmp de evenimente. Se numeste probabilitatepe cmpul de evenimente K, o functie P : K ! R; care asociaza ecarui eveni-ment A al cmpului K numarul P (A); numit probabilitatea lui A; astfel ncturmatoarele conditii sunt satisfacute:

1) 0 P (A) 1; pentru orice eveniment A 2 K; i.e., probabilitatea oricaruieveniment este un numar pozitiv subunitar.

2) P (-) = 1; i.e., probabilitatea evenimentului sigur - este egala cu unu.3) Daca A si B sunt doua evenimente incompatibile, i.e., A\B = ;; atunci

P (A [ B) = P (A) + P (B): (1.1)Un cmp de evenimente f-;Kg pe care s-a denit o functie de probabilitate

P se numeste cmp de probabilitate si se noteaza cu f-;K; Pg:Proprietati ale probabilitatii

Din conditiile 1), 2) si 3) de mai sus rezulta si urmatoarele proprietati pe carele satisface functia de probabilitate.

4) Conditia 3) se extinde imediat la un numar oarecare de evenimente in-compatibile doua cte doua. Mai precis, daca A1; A2; : : : ; An sunt evenimenteincompatibile doua cte doua, adica Ai\Aj = ;; pentru orice i; j = 1; 2; : : : ; n;i 6= j; atunci

P (A1 [ A2 [ : : : [An) = P (A1) + P (A2) + + P (An): (1.2)5) Probabilitatea evenimentului contrar se calculeaza pe baza formulei

P (A) = 1 P (A): (1.3)ntr-adevar, deoarece A [ A = - si A;A sunt evenimente incompatibile,

folosind conditiile 2) si 3) se obtine 1 = P (-) = P (A [ A) = P (A) + P (A);de unde rezulta P (A) = 1 P (A):

1.2. PROBABILITATE. CMP DE PROBABILITATE 7

Pentru A = - se obtine

P (;) = 0:Prin urmare, probabilitatea evenimentului imposibil este egala cu zero.

6) Daca A B; atunci are loc egalitateaP (B A) = P (B) P (A): (1.4)

n consecinta, daca A B atunci P (A) P (B); adica probabilitatea este ofunctie crescatoare n raport cu relatia de incluziune (implicare) a evenimentelor.

Reamintim mai nti ca prin BA se ntelege evenimentul B\A: n situatian care A B are loc egalitatea B = A [ (B A); iar evenimentele A si B Asunt incompatibile. Folosind conditia 3) se obtine P (B) = P (A) +P (B A); deunde rezulta P (B) P (A) = P (B A) 0:

7) Daca A si B sunt doua evenimente oarecare, atunci

P (B A) = P (B) P (A \B): (1.5)ntr-adevar, deoarece B se poate scrie sub forma B = (B\A)[ (B\A); folosindconditia 3), se obtine P (B) = P (B \A) + P (B A):

8) Daca A si B sunt doua evenimente oarecare ale cmpului de evenimenteK, atunci

P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \B): (1.6)Pentru demonstrarea acestei formule se scrie evenimentul A [ B sub forma

A [ B = A [ (B A) si se aplica formulele (1.1) si (1.5). Se obtineP (A [B) = P (A) +P (B A) = P (A) + P (B) P (A \B):

Formula (1.6) se poate extinde pentru calculul probabilitatii reuniunii a treisau mai multe evenimente. De exemplu, probabilitatea reuniunii a trei eveni-mente oarecare A;B;C se calculeaza pe baza formulei

P (A [B [C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A \ B) P (A \ C) P (B \C):(1.7)

9) Pentru oricare n evenimente A1; A2; : : : ; An este adevarata inegalitatea

P (A1 [A2 [ : : : [An) P (A1) + P (A2) + + P (An): (1.8)Demonstratia se face prin inductie dupa n: Pentru n = 2; sau n = 3, ine-

galitatea rezulta din formulele (1.6) sau (1.7). Presupunem inegalitatea (1.8)adevarata pentru n si o demonstram pentru n + 1: Pentru acesta se scrie reuni-unea

Sn+1i=1 Ai sub forma (

Sni=1Ai)\An+1 si se aplica apoi formula (1.6) si ipoteza

de inductie:

PSn+1

i=1 Ai= P (

Sni=1Ai) + P (An+1) P ((

Sni=1Ai) \An+1)

nPi=1

P (Ai) + P (An+1) =n+1Pi=1

P (Ai):


1.3 Probabilitate conditionata

Evenimente independente si evenimente dependente

Din punct de vedere intuitiv, doua evenimente A si B se numesc indepen-dente daca realizarea sau nerealizarea unuia dintre ele nu inuenteaza realizareasau nerealizarea celuilalt. Din punct de vedere matematic, pentru evenimenteleindependente se introduce urmatoarea denitie.

Denitie. Fie f-;K; Pg un cmp de probabilitate. Doua evenimente A si B;apartinnd cmpului de evenimente K, se numesc evenimente independente,daca

P (A \ B) = P (A) P (B):Evenimentele A si B se numesc dependente daca

P (A \ B) 6= P (A) P (B):Folosind proprietatile probabilitatii se poate demonstra ca daca A si B sunt

evenimente independente, atunci la fel sunt perechile: A si B; A si B; A si B([11], pag.29).

Daca A; B; C sunt trei evenimente ale unui cmp de probabilitate astfel nctA si B sunt independente, B si C sunt independente, n general nu rezulta ca A siC sunt independente. (Un exemplu simplu se poate vedea n [5], pag.78.) Tinndcont de aceasta observatie, pentru un numar nit de evenimente A1; A2; : : : ; An,n 3; se introduc denitiile.

Denitie. Evenimentele A1; A2; : : : ; An se numesc independente douacte doua daca

P (Ai \Aj) = P (Ai)P (Aj); i 6= j:Denitie. Evenimentele A1; A2; : : : ; An se numesc independente daca pen-

tru orice submultime de indici fi1; i2; : : : ; ing; 1 i1 < i2 < < in n, au locegalitatile

P (Ai1 \Ai2 \ \Ain ) = P (Ai1)P (Ai2) P (Ain):De multe ori evenimentele independente sunt numite si evenimente indepen-

dente n totalitatea lor pentru a se accentua diferenta dintre notiunea de eveni-mente independente si notiunea de evenimente independente doua cte doua.

De exemplu, trei evenimente A;B;C sunt independente (n totalitatea lor)daca si numai daca au loc egalitatile:

P (A \B) = P (A)P (B);P (B \C) = P (B)P (C);P (A \C) = P (A)P (C);

P (A \B \C) = P (A)P (B)P (C):

1.3. PROBABILITATE CONDITIONATA 9

Evident, daca trei evenimente A;B;C sunt independente (n totalitatea lor),atunci ele sunt independente doua cte doua. Armatia reciproca este falsa. Uncontraexemplu simplu este prezentat n [5], pag.79.

Probabilitatea conditionata

Denitie. Fie B un eveniment oarecare al cmpului de probabilitate f-;K; Pgcu probabilitatea P (B) > 0: Pentru orice eveniment A al cmpului de evenimenteK, probabilitatea evenimentului A conditionata de B; adica probabilitateade a se produce evenimentulA daca s-a realizat evenimentulB; este, prin denitie,numarul dat de formula

P (A jB) := P (A \B)P (B)

: (1.9)

Daca P (A) > 0; atunci se poate considera si probabilitatea evenimentului Bconditionata de A; adica

P (B j A) = P (B \ A)P (A)

:

Din relatiile anterioare rezulta egalitatile

P (A \B) = P (A) P (B j A) = P (B) P (A j B): (1.10)

Formula (1.10) pot interpretata ca o regula de calcul pentru probabilitateaintersectiei a doua evenimente A si B si se numeste regula de nmultire aprobabilitatilor.

Formula (1.10) poate generalizata pentru un numar de n evenimenteA1; A2; : : : ; An obtinndu-se urmatoarea regula generala de nmultire a proba-bilitatilor:

P (A1 \A2\ \An) = P (A1) P (A2 j A1) P (A3 j A1 \A2) (1.11) P (An j A1\ A2 \ \ An1):

Pentru a demonstra aceasta formula se scriu probabilitatile din membrul dreptconform denitiei (1.9) si se simplica factorii egali care apar.

Formula probabilitatii totale

Fie fA1; A2; : : : ; Ang un sistem complet de evenimente. Reamintim ca aceastanseamna ca evenimentele A1; A2; : : : ; An satisfac conditiile:

1) A1 [A2 [ [An = -:2) A1; A2; : : : ;An sunt incompatibile doua cte doua, deci Ai\Aj = ;; pentru

orice i 6= j:


n acest caz, probabilitatea unui eveniment oarecare B al cmpului de eveni-mente K se poate calcula cu ceea ce se numeste formula probabilitatii totale:P (B) = P (A1) P (B j A1) + P (A2) P (B j A2) + + P (An) P (B j An):

(1.12)

ntr-adevar, orice eveniment B 2 K se poate scrie sub forma

B = B \- = B \ (A1[ A2 [ [An) = (B \A1) [ (B \ A2)[ [ (B \An):

Deoarece evenimentele B \A1; B \A2; : : : ; B\An sunt incompatibile doua ctedoua, folosind formulele (1.2) si (1.10), se obtine

P (B) = P ((B \A1) [ (B \A2)[ [ (B \An)) =

= P (B \A1) + P (B \A2) + + (B \An) =

= P (A1) P (B j A1) +P (A2) P (B j A2) + + P (An) P (B j An):

Formula lui Bayes

Daca tinem cont de denitia probabilitatii conditionate

P (Ai j B) = P (Ai \ B)P (B)

si apoi de regula de nmultire a probabilitatilor P (Ai \B) = P (Ai) P (B j Ai);pentru calculul probabilitatii conditionate P (Ai jB) rezulta formula

P (Ai j B) =P (Ai)P (B j Ai)

P (A1) P (B j A1) + P (A2) P (B j A2) + + P (An)P (B j An) ;(1.13)

numita formula lui Bayes.

Pentru a se ntelege utilitatea formulei probabilitatii totale si a formulei luiBayes prezentam urmatorul exemplu.

Exemplul 1.3.1 Trei fabrici, notate F1; F2; F3, trimit spre vnzare ntr-unmagazin acelasi produs n cantitati proportionale cu numerele 3; 2; 5: Procenteleproduselor cu defecte primite de la ecare fabrica sunt 1%; 2; 5%; 2%:O cantitatede produse n valoare de 180:000:000 lei vnduta de magazin este restituita indnecorespunzatoare calitativ si suma respectiva trebuie recuperata de la fabricileproducatoare. Ce suma trebuie imputata ecarei fabrici, daca nu se stie de lacare fabrica s-au primit produsele defecte?

1.3. PROBABILITATE CONDITIONATA 11

Solutie. Suma care va imputata ecarei fabrici trebuie sa e proportionalacu probabilitatea ca produsele sa provina de la fabrica respectiva. Notam cuAi evenimentul ca produsul sa provina de la fabrica Fi, i = 1; 2; 3; si cu Bevenimentul ca produsul sa e defect. Evident, fA1; A2; A3g constituie unsistem complet de evenimente, ceea ce nseamna ca un produs vndut de magazinprovine de la una si numai una dintre cele trei fabrici. Conform datelor pe carele avem, putem calcula urmatoarele probabilitati:

P (A1) =3

10; P (A2) =

2

10; P (A3) =

5

10;

P (B j A1) = 1100

; P (B j A2) = 2; 5100

; P (B j A3) = 2100

:

Probabilitatea vnzarii unui produs defect, adica probabilitatea evenimentuluiB; se calculeaza cu ajutorul formulei probabilitatii totale.

P (B) = P (A1) P (B j A1) + P (A2) P (B j A2) + P (A3) P (B j A3) =

=3

10 1100

+2

10 2; 5100

+5

10 2100

=18

1000:

Probabilitatea ca produsul vndut sa provina de la fabrica F1 stiind ca pro-dusul este defect, adica P (A1 jB), se calculeaza cu formula lui Bayes:

P (A1 jB) = P (A1) P (B j A1)P (B)

=

3

10 110018

1000

=3

18:

Analog, avem

P (A2 j B) = P (A2) P (B j A2)P (B)

=

2

10 2; 510018

1000

=5

18;

P (A3 j B) = P (A3) P (B j A3)P (B)

=

5

10 210018

1000

=10

18:

Sumele imputate ecarei fabrici, proportionale cu probabilitatile ca produsulsa provina de la fabrica respectiva stiind ca produsul este defect, sunt:

3

18 180:000:000 = 30:000:000 lei,

5

18 180:000:000 = 50:000:000 lei,

10

18 180:000:000 = 100:000:000 lei.


1.4 Variabile aleatoare

Se numeste variabila aleatoare o functieX : -! R care asociaza ecaruielement (eveniment elementar) al spatiului de selectie! 2 - un numar real X(!).n functie de tipul de valori pe care le iau variabilele aleatoare acestea se mpartn variabile aleatoare discrete, cnd domeniul valorilor este o multime nitasau numarabila de numere reale, si variabile aleatoare de tip continuu, cnddomeniul valorilor este un interval (a; b) al axei reale R; unde eventual a = 1sau/si b = +1: Un caz particular de variabila aleatoare discreta este variabilaaleatoare simpla care ia un numar nit de valori.

Variabile aleatoare simple

Fie X o variabila aleatoare simpla si e x1; x2; : : : ; xn valorile ei posibile.Pentru ecare i (i = 1; 2; : : : ; n) denim evenimentul Ai ca ind multimea tuturorevenimentelor elementare ! 2 - carora prin aplicatia X li se asociaza numarulreal xi; adica,

Ai := f! 2 - j X(!) = xig:

Evenimentul Ai va notat simbolic fX = xig; iar probabilitatea acestui eveni-ment va notata simplu P (X = xi) n loc de P (fX = xig): Pentru simplitateascrierii vom folosi de cele mai multe ori notatia

pi := P (X = xi):

Sistemul de evenimente fA1; A2; : : : ; Ang este un sistem complet de eveni-mente, i.e., A1 [A2 [ : : : [An = -; cu Ai \Aj = ;; i 6= j: n consecinta,

p1 + p2 + + pn = 1:

ntr-adevar, folosind conditia 2) din denitia probabilitatii si formula (1.2), seobtine

1 = P (-) = P (A1 [A2 [ : : : [An)= P (A1) + P (A2) + : : :+P (An) = p1+ p2 + + pn:

Multimea perechilor ordonate (xi; pi); i = 1; 2; : : : ; n; se numeste repartitiavariabilei aleatoare simple X: n mod obisnuit, repartitia unei variabile aleatoaresimple se scrie sub forma unui tabel

X :

0@ x1 x2 : : : xnp1 p2 : : : pn

1An care p1 + p2 + + pn = 1:

1.5. FUNCTIA DE REPARTITIE 13

n cazul n care variabila aleatoare X are o multime numarabila de valori

atunci repartitia sa se scrie sub forma de mai jos, unde1Pn=1pn = 1:

X :

0@ x1 x2 : : : xn : : :p1 p2 : : : pn : : :

1AVariabile aleatoare de tip continuu

Se numeste variabila aleatoare de tip continuu pe cmpul de probabilitatef-;K; Pg orice functie X : - ! R cu proprietatea ca, pentru orice interval I alaxei reale, multimile

f! 2 - j X(!) 2 Ig

sunt evenimente al cmpului K.Intervalele I ale axei reale sunt de forma I = (a; b); I = (a; b]; I = [a; b);

I = [a; b]; I = (1; b); I = (1; b]; I = (a;1); I = [a;1); I = (1;1): Prinurmare, toate multimile enumerate mai jos sunt evenimente ale cmpului K.

fa < X < bg := f! 2 - j a < X(!) < bg;fa < X bg := f! 2 - j a < X(!) bg;fa X < bg := f! 2 - j a X (!) < bg;fa X bg := f! 2 - j a X(!) bg;fX < bg := f! 2 - j X(!) < bg;fa < Xg := f! 2 - j a < X(!)g:

Se poate vorbi atunci de probabilitatea evenimentului ca variabila aleatoareX sa ia valori n intervalul (a; b); adica P (fa < X < bg); probabilitate careva notata simplu P (a < X < b): Notatii similare se vor folosi si pentru celelaltetipuri de intervale considerate mai sus.

n practica, pentru determinarea acestor probabilitati se foloseste functia derepartitie asociata ecarei variabile aleatoare, functie care va studiata n secti-unea urmatoare.

1.5 Functia de repartitie

Fie X : - ! R o variabila aleatoare de tip continuu. Pentru ecare numarreal x se considera evenimentul fX < xg (notatie simplicata pentru multimeaf! 2 - j X(!) < xg), care, conform celor discutate n sectiunea 1.4, apartinecmpului de evenimente K:


Se noteaza cu F (x) probabilitatea evenimentului fX < xg; X ia valorimai mici dect x; adica

F (x) := P (X < x): (1.14)

Functia F : R ! [0; 1]; denita prin formula de mai sus, se numeste functiade repartitie sau functia de distributie a variabilei aleatoare X:

Proprietatile functiei de repartitie

Functia de repartitie F : R ! [0; 1] denita prin formula (1.14) are urma-toarele proprietati:

1) 0 F (x) 1; 8x 2 R; i.e., functia de repartitie are valori pozitive sub-unitare.

2) F (x) este o functie nedescrescatoare pe R : x1 < x2 ) F (x1) F (x2):3) F (1) := lim

x!1F (x) = 0 si F (+1) := lim

x!1F (x) = 1:

4) F (x) este o functie continua la stnga, ceea ce nseamna ca n orice punctx0 2 R are loc egalitatea F (x0 0) := lim

x!x0xx0

F (x) desemneaza limita la dreapta a functiei F (x) n x0

. De aici rezulta ca daca x0 este un punct de continuitate pentru F (x), atunci

P (X = x0) = 0:

n gura 1.1 se poate vedea imaginea unei functii de repartitie care are unsingur punct de discontinuitate x0:

Cu ajutorul functiei de repartitie a unei variabile aleatoare X se pot calculaprobabilitatile unor evenimente legate de aceasta variabila folosind formulele:

P (a X < b) = F (b) F (a); a; b 2 R; a < b:

P (X x) = 1 F (x); x 2 R:

P (a X b) = F (b+ 0) F (a); a; b 2 R; a b:

Variabilele aleatoare care se folosesc n mod obisnuit n practica au functiade repartitie continua pe R: (n cele mai multe cazuri functia de repartitie este

1.6. DENSITATEA DE REPARTITIE 15

1

x0

Fig. 1.1: Gracul unei functii de repartitie discontinua ntr-un punct x01

Fig. 1.2: Gracul unei functii de repartitie continua pe R

chiar derivabila pe R:) Gracul unei astfel de functii de repartitie este prezentatn gura 1.2.

Pentru o variabila aleatoare de tip continuu X; care are functia de repartitieF (x) continua pe R; sunt adevarate formulele:

P (x1 X x2) = F (x2) F (x1);P (x1 < X < x2) = F (x2) F (x1);P (x1 < X x2) = F (x2) F (x1); (1.15)P (x1 X < x2) = F (x2) F (x1);P (X = x0) = 0:

1.6 Densitatea de repartitie

Se spune ca variabila aleatoare X are o densitate de repartitie (sau deprobabilitate) daca exista o functie f : R ! [0;1) astfel nct

F (x) =

xZ1

f (t)dt; (1.16)


unde F (x) este functia de repartitie a variabilei aleatoare X: n acest caz, f(t) senumeste densitatea de repartitie sau densitatea de probabilitate a vari-abilei aleatoare X:

O consecinta importanta a existentei densitatii de repartitie pentru o variabilaaleatoare X este faptul ca functia sa de repartitie, F (x); este o functie continuape R: Prin urmare, calculul unor probabilitati legate de o astfel de variabilaaleatoare se face pe baza formulelor (1.15).

Daca variabila aleatoare X are densitatea de repartitie f (t); atunci valoareafunctiei de repartitie n punctul x; F (x) = P (X < x); reprezinta aria hasuratadin gura 1.3. (Gracul trasat este gracul densitatii de repartitie f (t).)

x

Fig. 1.3: Interpretarea geometrica a functiei de repartitie F (x) = P (X < x)

Daca n formula de denitie a densitatii de repartitie se face x ! 1 si se tineseama ca F (+1) = 1, atunci se obtine

+1Z1

f (t)dt = 1:

Este bine sa se remarcat ca o functie continua f : R ! R este o densitatede repartitie a unei variabile aleatoare X; daca:

1) f(x) 0; pentru orice x 2 R:2)

R +11 f(t)dt = 1:

Pentru o variabila aleatoare X care are densitatea de repartitie f(t), proba-bilitatea ca X sa ia valori n intervalul (a; b); unde a; b 2 R; a < b; sau n oricealt interval de forma [a; b]; [a; b); (a; b], este data de formula

P (a < X < b) =

bZa

f(t)dt:

1.7. OPERATII CU VARIABILE ALEATOARE 17

ntr-adevar, daca tinem seama de formulele (1.15) si de relatia de denitie afunctiei de repartitie (1.14), obtinem

P (a < X < b) = F (b) F (a) =Z b1f (x)dx

Z a1f (x)dx =

bZa

f (x)dx:

Formula ramne adevarata si daca a = 1 sau/si b = +1:Figura 1.4, n care curba trasata este gracul densitatii de repartitie f(t);

arata ca probabilitatea ca variabila aleatoare X sa ia valori n intervalul (a; b);P (a < X < b); este egala cu aria hasurata.

a b

Fig. 1.4: Interpretarea geometrica a probabitatii P (a < X < b)

1.7 Operatii cu variabile aleatoare

Adunarea variabilelor aleatoare

Fie X si Y doua variabile aleatoare care au legile de repartitie date detablourile

X :

0@ x1 x2 : : : xmp1 p2 : : : pm

1A ; Y :0@ y1 y2 : : : ynq1 q2 : : : qn

1A ;unde pi = P (X = xi), qj = P (Y = yj) si

Pmi=1 pi = 1;

Pnj=1 qj = 1:

Vom numi suma variabilelor aleatoareX si Y variabila aleatoare notataX+Ycare ia valorile xi + yj daca X ia valoarea xi si Y ia valoarea yj; i = 1; 2; : : : ;m;j = 1; 2; : : : ; n: Notam cu pij probabilitatea realizarii simultane a evenimentelorfX = xig; fY = yjg; adica,

pij = P (X = xi; Y = yj) = P (fX = xig \ fY = yjg):


Cu aceste notatii legea de repartitie a variabilei aleatoare X + Y se scrie subforma

X + Y :

0@ x1+ y1 x1 + y2 : : : xi + yj : : : xm + ynp11 p12 : : : pij : : : pmn

1A :Propozitia 1.7.1 Probabilitatile pij din denitia sumei a doua variabile aleatoareau urmatoarele proprietati

mPi=1

pij = qj;nPj=1

pij = pi;mPi=1

nPj=1

pij = 1:

Demonstratie. Demonstratia se bazeaza pe faptul ca evenimentele fX = xig,i = 1; 2; : : : ;m; respectiv fY = yjg; j = 1; 2; : : : ; n; formeaza un sistem completde evenimente. Aceasta nseamna ca reuniunea lor este egala cu evenimentulsigur si sunt disjuncte doua cte doua. Atunci

mXi=1

pij =mXi=1

P (X = xi; Y = yj) = P ([mi=1(fX = xig \ fY = yjg)) =

= P (([mi=1fX = xig) \ fY = yjg) = P (- \ fY = yjg) =

= P (Y = yj) = qj:

Analog se arata canPj=1

pij = pi: n nal, avem

mXi=1

nXj=1

pij =nXj=1

mXi=1

pij

!=

nXj=1

qj = 1:

Denitia sumei a doua variabile aleatoare se poate extinde la un numar nitde variabile n mod evident: date mai multe variabile aleatoareX;Y; : : : ; V; sumalor este variabila aleatoare notata X+Y + +V care ia valorile xi+yj+ +vkdaca X;Y; : : : ; V iau respectiv valorile xi;yj; : : : ; vk:

De exemplu, daca pe lnga variabilele aleatoare X si Y de mai sus mai avemo variabila aleatoare Z; care are legea de repartitie data mai jos,

Z :

0@ z1 z2 : : : zsr1 r2 : : : rs

1A ;atunci suma lor este variabila aleatoare X + Y + Z care are urmatoarea lege derepartitie

X + Y +X :

0@ x1+ y1 + z1 x1 + y1 + z2 xm + yn + zsp111 p112 pmns

1A ;unde pijk = P (fX = xig \ fY = yjg \ fZ = zkg):

1.7. OPERATII CU VARIABILE ALEATOARE 19

Produsul variabilelor aleatoare

Date doua variabile aleatoareX si Y , vom numi produsul lor variabila notataXY , care ia valoarea xiyj atunci cnd X ia valoarea xi si Y ia valoarea yj:Produsul XY are repartitia

XY :

0@ x1y1 x1y2 xiyj xmynp11 p12 pij pmn

1A ;unde pij = P (fX = xig \ fY = yjg):

Doua variabile aleatoareX si Y se numesc independente daca evenimentelefX = xig si fY = yjg sunt independente pentru toate valorile indicilor i si j: nacest caz au loc egalitatile

pij = piqj;

deoarece

pij = P (fX = xig \ fY = yjg) = P (X = xi) P (Y = yj) = pi qj:

La fel ca n cazul sumei se deneste produsul mai multor variabile aleatoareX;Y; : : : ; V ca ind variabila notata XY V care ia valoarea xiyj vk dacaX;Y; : : : ; V iau respectiv valorile xi; yj; ; vk: Variabilele aleatoare X;Y; : : : ; Vse numesc independente daca evenimentele fX = xig; fY = yjg; : : : ; fV = vkgsunt independente n totalitatea lor.

De exemplu, produsul celor trei variabile aleatoare X;Y; Z considerate maisus este variabila aleatoare XY Z care are repartitia data n tabelul de mai jos

XY X :

0@ x1y1z1 x1y1z2 xiyjzk xmynzsp111 p112 pijk pmns

1A :Daca X;Y; Z sunt independente atunci pijk = piqjrk:

Ridicarea la putere a unei variabile aleatoare

Data o variabila aleatoare X; vom numi puterea k a variabilei X si vomnota X k variabila aleatoare care ia valoarea xki atunci cnd X ia valoarea xi:Repartitia variabilei Xk este

Xk :

0@ xk1 xk2 xknp1 p2 pn

1A :


Produsul si suma dintre o constanta si o variabila aleatoare

Daca X este o variabila aleatoare si c o constanta reala, vom nota cu cXvariabila aleatoare care ia valoarea cxi, atunci cnd X ia valoarea xi; si cu c+Xvariabila aleatoare care ia valoarea c + xi cnd X ia valoarea xi: Distributiileacestor variabile aleatoare sunt

cX :

0@ cx1 cx2 cxnp1 p2 pn

1A ; c+X :0@ c+ x1 c+ x2 c+ xn

p1 p2 pn

1A :

1.8 Valori medii. Dispersie. Momente

Denitie. Fie X o variabila aleatoare simpla a carei repartitie este data detabelul de mai jos

X :

0@ x1 x2 : : : xnp1 p2 : : : pn

1A :Se numeste valoare medie a variabilei aleatoare X numarul

M (X ) := p1x1 + p2x2 + + pnxn =nPi=1

pixi:

Fie X si Y doua variabile aleatoare care au legile de repartitie date detablourile

X :

0@ x1 x2 : : : xmp1 p2 : : : pm

1A ; Y :0@ y1 y2 : : : ynq1 q2 : : : qn

1A ;unde pi := P (X = xi); iar qj := P (Y = yj):

Propozitia 1.8.1 Valoarea medie are urmatoarele proprietati:(M1) M(X + Y ) = M(X ) + M(Y ); adica valoarea medie a sumei a doua

variabile aleatoare este egala cu suma valorilor medii.(M2) Daca c este o constanta reala, atunci

i) M (c) = c:ii) M (cX) = cM(X ):iii) M (c+X) = c+M (X):

(M3) Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente, atunci

M (X Y ) = M(X ) M (Y );adica valoarea medie a produsului a doua variabile aleatoare independente esteegala cu produsul valorilor medii.

1.8. VALORI MEDII. DISPERSIE. MOMENTE 21

Demonstratie. (M1) Legea de repartitie a variabilei aleatoare X + Y este

X + Y :

0@ x1 + y1 x1+ y2 : : : xi + yj : : : xm + ynp11 p12 : : : pij : : : pmn

1A ;unde pij = P (fX = xig \ fY = yjg): Conform denitiei valorii medii si relatiilordate de propozitia 1.7.1, avem

M(X + Y ) =mPi=1

nPj=1

pij(xi + yj) =mPi=1

nPj=1

pijxi +mPi=1

nPj=1

pijyj

=mPi=1

xi

nPj=1

pij

!+

nPj=1

yj

mPi=1

pij

=

mPi=1

xipi +nPj=1

yjqj

= M (X) +M (Y ):

(M2) i) Legea de repartitie a unei variabile aleatoare care ia o singura valoare

estec1

: Prin urmare, valoarea sa medie este egala cu 1 c = c:

ii) Legea de repartitie a variabilei aleatoare cX este

cX :

0@ cx1 cx2 cxnp1 p2 pn

1A :Pentru valoarea medie obtinem

M(cX) =nPi=1picxi = c

nPi=1pixi = cM(X ):

iii) Rezulta din cele de mai sus: M (c+X) = M (c) +M (X) = c+M (X):

(M3) Deoarece variabilele aleatoareX si Y sunt independente, legea de repar-titie a variabilei aleatoare produs este data de tabelul

XY :

0@ x1y1 x1y2 xiyj xmynp1q1 p1q2 piqj pnqm

1A :Atunci avem

M (XY ) =mPi=1

nPj=1

piqjxiyj =

mPi=1

pixi

nPj=1

qjyj

!= M(X )M(Y ):

Proprietatile (M1) si (M3) ramn adevarate si pentru un numar nit oare-care de variabile aleatoare, dupa cum se arata n propozitia urmatoare a careidemonstratie o omitem.


Propozitia 1.8.2 Daca X1; X2; : : : ; Xn sunt n variabile aleatoare oarecare,atunci valoarea medie a sumei celor n variabile aleatoare este egala suma val-orilor medii

M (X1 +X2+ +Xn) =M (X1) +M (X2) + +M (Xn):Daca X1; X2; : : : ; Xn sunt n variabile aleatoare independente, atunci valoarea

medie a produsului celor n variabile aleatoare este egala cu produsul valorilormedii

M (X1X2 Xn) = M (X1) M (X2) M (Xn):

Denitie. Daca variabila aleatoare X ia o multime numarabila de valorix1; x2; : : : ; xn; : : : cu probabilitatile p1; p2; : : : ; pn; : : : atunci valoarea medie sedeneste prin formula

M (X) :=1Pi=1

pixi;

cu conditia ca seria din membrul drept sa e absolut convergenta, ceea ce nsemnaca

P1i=1 jpixij< 1: n caz contrar, se spune ca X nu are valoare medie. (Conditia

de absolut convergenta impusa seriei este necesara pentru ca valoarea sumei serieiP1i=1 pixi sa nu depinda de ordinea n care sunt nregistrate valorile variabilei X):

Denitie. Daca X este o variabila aleatoare de tip continuu care are densi-tatea de repartitie f(x); atunci numarul

M (X) :=

+1Z1

xf (x)dx

se numeste valoarea medie a variabilei aleatoareX; daca integrala din membruldrept este convergenta.

Toate proprietatile puse n evidenta pentru variabilele aleatoare discrete cu unnumar nit de valori sunt adevarate si daca variabilele sunt discrete cu o multimenumarabila de valori sau sunt de tip continuu, cu conditia ca valorile medii saexiste.

Valoarea medie face parte categoria caracteristicilor numerice ale variabileloraleatoare numite caracteristici de pozitie. Cunoasterea acestor caracteristicine furnizeaza informatii asupra valorilor variabilei aleatoare pe dreapta reala.Valoarea medie este un fel de valoare centrala a variabilei aleatoare, adica aceavaloare n jurul careia cad celelalte valori posibile, astfel nct media abaterilorde la aceasta valoare sa e nula (abaterile care cad la stnga valorii medii seconsidera cu semnul +; iar cele care cad la dreapta cu semnul ):


Alte caracteristici de pozitie ale variabilelor aleatoare mai des utilizate suntmodul si mediana.

Daca X este o variabila aleatoare discreta, prin modul lui X se ntelegevaloarea cea mai probabila a luiX:DacaX este variabila aleatoare de tip continuucare are densitatea de repartitie f(x), modul lui X este abscisa punctului demaxim al functiei f(x): Vom nota acest punct cu xmod: Deci

f(xmod) = maxx2R

f(x): (1.17)

Daca functia f(x) are un singur punct de maxim variabila aleatoareX se numesteunimodala. n caz contrar, se numeste plurimodala.

Mediana variabilei aleatoare X; notata med(X); sau xmed atunci cnd vari-abila aleatoare este subnteleasa, este valoarea care are proprietatea ca

P (X < xmed) = P (X > xmed): (1.18)

Daca X are densitatea de repartitie f(x); atunci xmed este valoarea pentru careare loc egalitatea Z xmed

1f (x)dx =

1

2:

Daca F (x) este functia de repartitie a lui X; relatia de mai sus se scrie sub forma

F (xmed) =1

2: (1.19)

Geometric, xmed este acel numar real care are proprietatea ca dreapta x = xmedmparte aria cuprinsa ntre gracul functiei f (x) si axa Ox n doua parti egale.

n gura 1.5 sunt ilustrate grac aceste caracteristici numerice ale unei vari-abile aleatoare X a carei densitate de repartitie f(x) este nula pentru x < 0; tipde variabila aleatoare care apare n teoria abilitatii.

O variabila aleatoare este mai bine caracterizata daca pe lnga valoarea mediem = M (X ) se cunoaste si gradul de mprastiere a valorilor variabilei n jurulvalorii medii. Pentru masurarea acestui grad de mprastiere o prima idee ar saconsideram variabila aleatoare Y =Xm: Deoarece Y ia valori att pozitive ctsi negative, dupa cum valorile lui X cad la dreapta sau la stnga lui m; valoareamedie a lui Y este nula. ntr-adevar, M (Y ) = M(X m) = M (X) m =mm = 0: Putem corecta acest neajuns lund n locul lui Y variabila aleatoareZ = jX mj: Aceasta are valoarea medie pozitiva. De exemplu, n cazul discreteste egala cu M (Z) =

Pi

pijxi mj > 0: Valoarea medie a modulului abateriijX mj poate luata ca o masura a gradului de mprastiere al valorilor lui X,dar, din cauza modulului, este greu de folosit n calcule. De aceea se nlocuiestecu o alta constanta asociata variabilei aleatoare si anume dispersia.


Fig. 1.5: Unele caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare

Denitie. Se numeste dispersie a variabilei aleatoare X si se noteaza cuD2(X); sau 2 atunci cnd variabila este subnteleasa, numarul

2 = D2(X ) := M [(X m)2];unde m = M (X): Pentru simplicarea notatiei vom scrie M (X m)2 n loc deM [(X m)2]:

Denitia data mai sus este valabila pentru orice tip de variabila aleatoare, cuconditia ca variabila aleatoare (X m)2 sa aiba valoare medie. Daca X este ovariabila aleatoare discreta care ia o multime innita de valori x1; x2; : : : ; xn; : : :cu probabilitatile p1; p2; : : : ; pn; : : : ; atunci dispersia este data de formula

D2(X) =1Pi=1pi(xi m)2;

cu conditia ca aceasta serie sa e convergenta. Daca X ia o multime nita devalori, atunci aceasta conditie dispare si dispersia exista ntotdeauna.

Daca X este o variabila aleatoare de tip continuu cu densitatea de repartitief (x); atunci formula dispersiei este

D2(X) =

+1Z1(x m)2f(x)dx; (1.20)

cu conditia ca aceasta integrala sa e convergenta.

Propozitia care urmeaza pune n evidenta proprietatile dispersiei. Acesteasunt adevarate pentru orice tip de variabila aleatoare. Demonstratiile acestorproprietati se bazeaza pe proprietatile valorii medii.


Propozitia 1.8.3 Dispersia are urmatoarele proprietati:(D1) D2(X ) 0; pentru orice variabila aleatoare X:

D2(X) = 0 daca si numai daca P (X =m) = 1:(D2) D2(X ) = M(X 2) [M (X)]2: n consecinta M (X2) [M (X)]2:(D3) D2(cX) = c2D2(X); pentru orice constanta c 2 R:(D4) Daca variabilele aleatoare X1; X2; : : : ; Xn sunt independente doua cte

doua, atunci

D2(X1 +X2 + +Xn) =D2(X1) +D2(X2) + +D2(Xn):Demonstratie. Proprietatea (D1) este evidenta conform denitiei dispersiei.

Demonstram (D2).

D2(X) = M (X m)2 = M (X2 2mX +m2) = M(X 2) 2mM (X) +m2 =

= M (X2) 2m2+m2 = M (X2) m2 = M (X2) [M (X)]2:(D3) rezulta din proprietatile valorii medii si egalitatea de la (D2):

D2(cX) =M (c2X2) [M (cX)]2 = c2M (X2) c2[M (X)]2 = c2D2(X):Pentru demonstrarea proprietatii (D4) se tine seama ca daca variabilele aleatoare

X1; X2; : : : ; Xn sunt independente doua cte doua, atunci

M (XiXj) = M (Xi)M (Xj); i 6= j:Folosind aceste egalitati, avem

D2(X1 +X2 + : : :+Xn) = Mh(Pn

i=1Xi)2i

[M (Pni=1Xi)]2= M

hPni=1X

2i + 2

Pi


Propozitia 1.8.4 (Inegalitatea lui Cebsev). Daca variabila aleatoare X arevaloarea medie m si dispersia 2; atunci

P (jX mj < ") 1 2

"2:

Demonstratie. Presupunem mai nti ca X este o variabila aleatoare dis-

creta care are legea de repartitie data de tabelul X :

0@ x1 x2 xn p1 p2 pn

1A :Putem presupune, fara a restrnge generalitatea, ca valorile x1; x2; : : : ; xn; : : :sunt notate astfel nct

jx1 mj jx2 mj : : : jxs mj < " jxs+1 mj jxs+2 mj : : :

Atunci evenimentul fjX mj < "g =Ssi=1fX = xig; de unde rezulta caP (jX mj < ") =

sPi=1

P (X = xi) =sPi=1

pi = 11P

i=s+1

pi: (1.21)

Pe de alta parte, avem inegalitatea

2 =1Pi=1pijxi mj2

1Pi=s+1

pijxi mj2 1P

i=s+1pi"

2 = "2 1Pi=s+1

pi

;

de unde rezulta1P

i=s+1pi

2

"2: (1.22)

Din inegalitatile (1.21) si (1.22) rezulta inegalitatea dorita

P (jX mj < ") 1 2

"2:

Daca X este o variabila aleatoare de tip continuu cu densitatea de repartitief (x); atunci demonstratia decurge astfel

2 =

+1Z1(xm)2f(x)dx

Zfx2Rj(xm)2"2g

(xm)2f(x)dx

"2Z

fx2Rj(xm)2"2gf (x)dx "2

0B@1 Zfx2Rj(xm)2


de unde rezulta inegalitatea dorita. Denitie. Data o variabila aleatoare X, se numeste moment de ordinul k

al variabilei X si se noteaza cu Mk(X) valoarea medie a variabilei Xk: Deci

mk = Mk(X) :=M (Xk):

Daca variabila X are distributia X :

0@ x1 x2 xn p1 p2 pn

1A ; atunci momen-tul de ordinul k este dat de formula

Mk(X) =1Pi=1pix

ki ;

cu conditia ca seria din membrul drept sa e convergenta (ceea ce se ntmpladaca X ia un numar nit de valori).

Daca X este o variabila aleatoare de tip continuu cu densitatea de repartitief (x); atunci momentul de ordinul k este denit prin formula

Mk(X) =

+1Z1

xkf (x)dx;

cu conditia ca integrala din membrul drept sa e convergenta.Se numeste moment centrat de ordinul k al variabilei aleatoareX numarul

k =Mk(X m);

unde m este valoarea medie a lui X:Se numeste moment absolut de ordinul k al variabilei aleatoareX numarul

Mk(jXj): Momentul centrat absolut al acestei variabile aleatoare este numarulMk(jX mj):

Conform denitiilor de mai sus, valoarea medie a unei variabile aleatoare estemomentul de ordinul nti al variabilei, iar dispersia este momentul centrat deordinul al doilea.


1.9 Legi clasice de distributie

n aceasta sectiune vom pune n evidenta cteva dintre legile clasice de dis-tributie, numite si legi de repartitie, care apar frecvent n teoria abilitatii. Vomncepe cu prezentarea unor legi de distributie discrete unidimensionale.

Distributia binomiala

Se spune ca variabila aleatoare simpla X are distributie binomiala cuparametrii n si p (unde n este numar natural, iar 0 < p < 1) daca ia valorile0; 1; : : : ; n cu probabilitatile

P (X = k) = Ckn pkqnk; k = 0; 1; : : : ; n; (1.23)

unde q = 1 p:Repartitia variabilei aleatoare X distribuita binomial cu parametrii n si p se

scrie sub forma

X :

kCkn p

kqnk

!; k = 0; 1; : : : n:

Folosind formula binomului lui Newton se observa ca suma probabilitatilorcare apar n linia a doua este egala cu 1: ntr-adevar,

nPk=0

P (X = k) =nPk=0

Ckn pkqnk = (p+ q)n = 1:

Propozitia 1.9.1 Valoarea medie M (X) si dispersia D2(X) unei variabilealeatoare X care are distributie binomiala cu parametrii n si p sunt date de for-mulele

M(X ) = np; D2(X) = npq; (q = 1 p): (1.24)

Demonstratie. Pentru a demonstra formulele de mai sus, se considera unnumar real oarecare t si dezvoltarea binomiala

(pt+ q)n =nPk=0

Ckn pkqnktk:

Prin derivarea relatiei de mai sus n raport cu t se obtine egalitatea

n(pt+ q)n1p =nPk=0

Ckn pkqnkktk1: (1.25)

de unde, pentru t = 1; rezulta np =Pn

k=0 kCknpkqnk: Aceasta ultima egalitate

nu este altceva dect np = M (X):

1.9. LEGI CLASICE DE DISTRIBUTIE 29

Pentru calculul dispersiei vom folosi formula D2(X ) = M(X 2) [M (X)]2: nacest scop, se determina mai nti valoarea medie a variabilei X2 care, conformdenitiei, este data de relatia M (X2) =

Pnk=0 k

2Cknpkqnk: Pentru calcularea

acestei sume se nmulteste egalitatea (1.25) cu t;

np(pt+ q)n1t =nPk=0

Ckn pkqnkktk;

si apoi se deriveaza n raport cu t :

np(n 1)(pt+ q)n2pt+ np(pt+ q)n1 =nPk=0

Ckn pkqnkk2tk1:

Pentru t = 1 rezulta egalitatea

nPk=0

k2Ckn pkqnk = n(n 1)p2 + np;

care arata ca

M(X 2) = n2p2 + npq; q = 1 p:

n nal, se obtine valoarea dispersiei

D2(X) = M (X2) [M (X)]2 = n2p2 + npq (np)2 = npq:

Distributia Poisson

Se spune ca variabila aleatoare discreta X are distributie Poisson deparametru > 0 daca poate lua orice valoare k 2 N cu probabilitatea

P (X = k) =k

k!e; k = 0; 1; 2; : : : : (1.26)

Simbolic, repartitia variabilei aleatoareX cu distributie Poisson de parametru se scrie sub forma

X :

0B@ kkk!e

1CA ; k = 0; 1; 2; : : : :Se observa mai nti ca suma probabilitatilor este egala cu 1: ntr-adevar

1Pk=0

P (X = k) = e1Pk=0

k

k!= ee = 1:


Propozitia 1.9.2 Valoarea medie si dispersia unei variabile aleatoareX care aredistributie Poisson de parametru sunt date de formulele

M(X) = ; D2(X) = : (1.27)

Demonstratie. ntr-adevar, utiliznd faptul pentru dezvoltarea n serie a luie putem folosi una dintre scrierile

e =1Pk=0

k

k!=

1Pk=1

k1

(k 1)! =1Pk=2

k2

(k 2)! ;

avem

M(X) =1Pk=0

kP (X = k) =1Pk=1

kk

k!e = e

1Pk=1

k1

(k 1)! = ee = :

Pentru a determina dispersia calculam mai nti M(X 2):

M (X2) =1Pk=0

k2P (X = k) =1Pk=1

k2k

k!e =

= e1Pk=1

kk1

(k 1)! = e

1Pk=1

[(k 1) + 1] k1

(k 1)!

=

= e1Pk=2

k2

(k 2)! +1Pk=1

k1

(k 1)!

= e

e + e

= 2 + :

Atunci

D2(X) = M (X2) [M (X)]2 = 2 + 2 = :

Observatia 1.9.3 Legatura dintre distributia binomiala si distributiaPoisson.

Pentru a stabili legatura care exista ntre distributia binomiala si distributiaPoisson, se ia un numar natural k, care o data ales ramne xat, si pentruorice n > k se considera variabilele aleatoare Xn avnd distributia binomi-ala cu parametrii n si pn astfel ca toate sa aiba aceeasi valoare medie : Deci

M (Xn) = npn = ; de unde rezulta pn =

n: n aceste conditii avem

limn!1

P (Xn = k) = limn!1

Ckn pknqnkn =

= limn!1

n(n 1) (n k +1)k!

n

k 1

n

nk=

=k

k!limn!1

n(n 1) (n k +1)nk

limn!1

1

n

nk=k

k!e:


Egalitatea de sus arata ca daca n este sucient de mare si pn sucient de mic,atunci putem aproxima distributia binomiala de parametri n si pn cu distributiaPoisson de parametru = npn: Din acest motiv distributia Poisson se mai nu-meste si legea evenimentelor rare. Pentru n 30 si np < 5 distributia Poisson cuparametrul = np este o buna aproximare a distributiei binomiale cu parametriin si p:

Distributia exponentiala

Se spune ca o variabila aleatoare X are distributie exponentiala deparametrul > 0; daca densitatea sa de repartitie este data de formula

f(t) :=

8 0:Functia de repartitie a acestei variabile aleatoare, denita prin formula

F (x) =R x1 f (t)dt, are expresia

F (x) =

8 0:n gurile 1.6 si 1.7 sunt reprezentate grac densitatea de repartitie, respectiv

functia de repartitie, a unei variabile aleatoare distribuite exponential cu = 0; 5:

6 4 2 0 2 4 6

0.2

0.4

0.6

Fig. 1.6: Gracul densitatii distributiei exponentiale de parametru = 0; 5

O variabila aleatoare X de distributie exponentiala de parametru arevaloarea medie

M(X ) =

Z 11tf(t)dt =

Z 10

te tdt =1

;

si dispersia

D2(X) =

Z 11(tm)2f(t)dt =

Z 10

(t 1)2e tdt =

1

2:


6 4 2 0 2 4 6

1

Fig. 1.7: Gracul functiei de repartitie a distributiei exponentiale pentru = 0; 5

Distributia Weibull

O variabila aleatoare X are distributie Weibull cu parametrii > 0 si > 0 daca densitatea sa de repartitie este data de formala

f (t) =

8 0:

Functia de repartitie a unei variabile aleatoare distribuite Weibull este

F (t) = 1 exp(t); t > 0:

n gurile 1.8 si 1.9 sunt reprezentate densitatea de repartitie, respectiv functiade repartitie, a unei variabile aleatoare distribuite Weibull cu = 2 si = 3:

3 2 1 0 1 2 3

1

2

Fig. 1.8: Densitatea de repartitie a distributiei Weibull pentru = 2; = 3


Fig. 1.9: Functia de repartitie a distributiei Weibull pentru = 2, = 3

Valoarea medie si dispersia corespunzatoare distributiei Weibull de para-metri si sunt

m = 1

1

+1

;

2 = 2

2

+ 1

2

1

+ 1

;

unde (p) :=R 10 x

p1exdx: (Pentru functia Gamma (p) si proprietatile salevezi Appendixul A.)

Legea Weibull este mai generala dect legea exponentiala. Depinznd de doiparametri, ea poate cuprinde un numar mai mare de cazuri concrete dect legeaexponentiala. De astfel, aceasta din urma este un caz particular al legii Weibull(cazul = 1).

Distributia normala

Daca densitatea de repartitie a unei variabile aleatoare de tip continuueste data de formula

f(t;m;) =1

p2exp

" (tm)222

#; t 2 R; (1.28)

unde > 0; se spune ca X are distributia normala sau ca urmeaza legea derepartitie normala de parametri m si ; notata pe scurt N(m;):

Dupa cum se observa n gura 1.10, gracul functiei f(t;m;)

carte fiabilitate

Documents