61 | |(((((((

=RRRRRR5432100 | |((((

=(((((((

((((

=422 1421000 1 1 0 01 0 1 1 00 0 0 1 1EEE EEEEE B 3)Rezolvarea sistemului de ecuaii (Depreferabilssefoloseascformamatricealisseapliceometodde eliminare de tip Gauss) sau se poate aplica regula lui Cramer.) | | = N I M M1| | N M I =1 ) det(M = ;=kkI ,k =1,2,l n urma calculelor =====AAAAAIIIII4312254321 k k k kE I R U = = == == = = = = =V I R UV E I R UV I R UV E I R UV E I R U444885 5 54 4 4 43 3 32 2 2 21 1 1 1 | |((((

=0 1 1 0 01 0 1 1 00 0 0 1 1R B(((((((

RRRRR5432100((((

=0 0 00 00 0 04 35 3 22 1R RR R RR R| || |=I R B((((

0 0 00 00 0 04 35 3 22 1R RR R RR R(((((

= = += =(((((((

0004 4 3 35 5 3 3 2 22 2 1 154321I R I RI R I R I RI R I RIIIII62 ( ) 72 4 1 3 4 1 4 2 2 2 22 2 2 2 225 522 221 1= + + + + = + + +I R I R I R72 3 8 2 12 2 124 4 2 2 1 1= + + = + + +I E I E I EERIUCelecusemnul-ausensurilerealeopusefadesensurileconvenionale alese la nceput. 4)Verificarea calculelor cu ajutorul bilanului puterilor Puterea consumat: Puterea cedat: Metode operative de analiz a circuitelor liniare de curent continuu 1)Metodacurenilordecontur(metodacurenilordebuclsaumetoda curenilor ciclici) E I R U I R E U = = +Pentru ntregul circuit: (1)(2) Se nlocuiete (2) n (1) dup ce s-a nmulit expresia (1) la stnga cu matricea B. Notaie: | |Rb b b- matricea rezistenelor buclelor | |Eb b 1 -vectorul tensiunilor electromotoare ale buclelor Relaiile( ) 3 i() 3 suntexpresiilemetodeicurenilordecontur,respectivun sistem de b ecuaii cu b necunoscute. Necunoscutele sunt curenii laturilor coarborelui asociat circuitului n numr1 + = n l b . = =51512k kk k k k I E I R{{consumat puteresurse de cedat putere| | | || || |E I R B U B = | | | | |I B I Ct=| | | | | | | |E B I B R U B Ct =| | | |R B R B bt= | | | |E E B b=| |E I R b C b= ( ) 3| | 0 =U B| | | | | |E B I B R B Ct= (Teorema a II-a a lui Kirchhoff)(3) 63 IC1IC2 IC31b2b3b( )E E R I R R I C C 2 1 2 2 2 1 1+ = + +Aceticurenipotficonsideraicaicurenifictivicareparcurgbuclele formateprinadugarealaturilorcoarboreluilaarbore(bucleindependente).Dup rezolvarea sistemului i aflarea curenilor CIse calculeaz curenii tuturor laturilor cu ajutorul expresiei (2). 3 2 1, ,c c cI I I - cureni de bucl 2 1R R + - suma rezistenelor laturilor buclei parcurse de 1 CI2R - rezistena laturii parcurs simultan de 2 1,C CI I2 1E E + - suma algebric a tensiunilor electromotoare de pe laturile buclei Semnul celui de-al doilea termen( R2 ) este +dac 2 1,C CI Iau acelai sens prin latura comun i - dac au sensuri contrare. Observaie:Metodanusepreteazpentrurezolvareacircuitelorcareconin laturi de rezistene infinite. 2) Metoda potenialelor noduri(metoda nodal) Seconsiderlaturileunuicircuitdetipgeneralcareareurmtoarea configuraie: = + = + = +1/2 | 8 8 412 4 7 21/2 |0 2 43 23 2 C12 1II II II IC CCC C= + = += +2 212 4 7 20 23 23 2 12 1I II I II IC CC C CC CAAIII I II ICCC C CC3224 2 212 4 6232 3 13 2=+== = + = AAAAAI II II I II I II ICCC CC CC431222 53 43 2 32 1 21 1 = == == == + == =( )( )= ++ + + +E R I R R IE R I R I R RRIC CC C C4 3 2 4 3 32 3 3 2 1 5 322|I R E U = +E G U G I+ =UERIAJI B 64 J I I J I I+ = = 0J E G U G I+ + = | | | | | || || || |JEG U G I+ + =( ) 4| | | |V Ut= ( ) 5| | | | | | | | | | | || || | | | | | | | = =+ + =E G V GIJ E G V G I tt0( ) 6| | | | =tn G G| | | |I V GS nn= () 603 =V Teorema I a lui Kirchhoff n nodul A: Se nlocuiete (5) n (4) dup ce s-a nmulit la stnga expresia (4)cu matricea t (matricea de inciden laturi-noduri redus). - matricea conductanelor nodale | | ||| | E G InS = - vectorul curenilor de scurtcircuit nodali Expresiile (6), respectiv (6) reprezint sistemul de ecuaii de dimensiuni1 ncare are ca necunoscute potenialele a1 ndintre nodurile circuitului scrise compact sub forma vectorului V. Potenialul celui de-al n-lea nod este considerat ca referin i uzual i se atribuie valoarea zero. ( ) () 6 , 6 esteexpresiapotenialelornodurilor.Dupaflareapotenialelorse calculeaz curenii laturilor cu ajutorul relaiilor( ) ( ) 5 , 4 . Se alege potenialul de referin i i se atribuie valoarea zero. ( ) ( )E G E G G G V G G G V 2 2 1 1 2 1 2 5 2 1 1+ = + + +5 2 1G G G + + - suma conductanelor tuturor laturilor incidente n nodul 1n . 2V - potenialul unui nod adiacent 2 1G G + - suma conductanelor laturilor care unesc cele dou noduri 1 i 2. Termenii ce se refer la potenialele nodurilor adiacente au ntotdeauna semnul minus. Nodadiacent-estelegatdenodulpentrucaresescrieecuaiaprintr-olatur fr ramificaii (cel puin o latur). 1 11E G IS =curent de scurtcircuit a laturii 1. Curentuldescurtcircuitaluneilaturieste curentulcareapareprinaceastaatuncicnd capeteleeiseunesccuunfirderezisten nul. REI E I RS S111 11 1= =IS1n1n265 ( ) n3R( )1n03 =ISE2n1n2E G IS2 22 =( ) ( )E G E G E G G G V G G G G V 4 4 2 2 1 1 2 1 1 4 3 2 1 2+ = + + + +G G G 5 2 1+ +G G 2 1 + G G 2 1 + G G G G 4 3 2 1+ + +| |Gn((

VV21(((

+ +=E E G E GE G E G4 2 2 1 12 2 1 1| | V ((

ISn6 6 22 1+ = V V2 | 2 6 6232 1+ = + V V20 3 22 1 = + V VVV V4 8 22 2 = = VV VVV4 42121 121+ = + =+( )( )( )( )( )( ) AAAAAV V G IE V V G IV V G IE V V G IE V V G IE U G I k k k k431221 3 5 54 2 3 4 42 3 3 33 1 2 2 21 1 2 1 1 = == + == == + == + =+ =rrq qF32 14 =E+EmFr10 9 4190 = = Cureniidescurtcircuitseiaucusemnul+nmembruldreptalecuaiei nodale dac sensul lor este ctre nod i cu semnul - invers.

Observaie:Metoda2)nusepreteazpentrucircuitecareconinlaturide rezisten nul sau conductan. Seminar: r - distana de la sarcina 1qla 2q . - permitivitate 66 ( )2cos1cos04 + =lEx xVV E = =| |rqV m V E l d E V 4; / ; = = = =PPl d E P V P V0) ( ) (0 1)Seconsiderunfirrectiliniufinit,ncrcatuniformcuosarcinelectric distribuit liniar, aflat n aer. S se calculeze intensitatea cmpului electricEntr-un punct aflat la distana a de firul nostru.

Cqv dqVV1 ; =((

=E DqsdE00; = =rqEqE F 34= = r 211 TalrMdExE ddEdl 1 2 y l drrrEdl24 = sinEdEdx = cosE d E d y = d a l d a lalctg ctg|||

\| = = =2sin;1( )+ = =|||

\|= = =21212cos1cos04sin042sin2sin2sin104sinsin aldalad alExarra sin sin20 4l drEdEdlx =67 ( ) = =|||

\|=21212sin1sin04cos042sin2cos2sin104 aldalad alEy( )2 10sin sin4 =aEly0 ; cos02 12= = = EaE ylx 0 ; 002 12= = = =EaE ylx ha 1n2nE3nEEEr1a rI 68 r20 = VE = = =VVVV Vh a v d v dq2 raEh ah r EVeVe0202222= = =( )a R r d r r d rrE VVRaRaRaRaV V Vi i2 20 0 0 0 4|2 2 2 = = = = = aR ar drar draE VVRaRaRaV Ve eln020202212 2 = = = = 1C2CkCSCC=qk s C C1 1=kk p C CdAdACrpl 0= =UQU C WdACrkkpl2121 2 0; = = = pCF C F C F C F C F C F C 1 ; 1 ; 5 ; 5 , 0 ; 5 , 0 ; 106 5 4 3 2 1= = = = = = Seminar Probleme:1)asecondensatoaresuntlegatecanfigur.Sarcinacondensatorului C q4510 , 5= . Se mai cunosc S se gseasc tensiunea. 69 AB1C2C3C4C5C6CMNMNUCq q46 510= =21 1 1 16 56 5566 5 56 65; =+= + = =C CC CCC C C CqUABVUAB20010106421= =C C CU CqAB4 3 3434341 1 1; + = =Cq4 6 23410 102110 2 = =AB1C2C34C56CMN1C2CABCFCC C C C CqU eAB e eMN31101031;1 1 1 12 1= = + + = =VU U MN MN6201010 31 210311010 2264= = = FC CC CC5 021,4 34 334=+= F CC C Cq q qABAB 1 ; 10 2212134 56456 34= + = + = = + = 2) ntre armturile unui condensator plan ce are 0se introduc succesiv: a)o lam dielectric cu grosimeacm d 46 , 0 = i3 , 2 = r ; b)oplacmetaliccugrosimea; 46 , 0 cm d = lamelefiindparaleleide aceeai dimensiune cu armturile. 70 d1d2ddxyd ++++++++1C2C1h2Ssecalculezecapacitateacondensatoarelornstareiniial 0C ncazula)i b) b aC C , tiind c 22512cm . 22512 ; 8 , 0 ; 46 , 0 ' ' ; 3 , 2 ' ; 46 , 0 ' cm A cm d cm d cm dr= = = = = R: F C8010361= F Ca8103 , 241=F Cb8103 , 151=a) FdAC8249001036110 8 , 010 251210 9 41 === Fdd dAdd dAd d dACr r r r ra8'0'2 10' '2' ' '10103 , 241''' ' =+ =+ +=+ += b) 2 11 1 1C C Cb+ =2 12 1C CC CCb+= xAC01= yAC02= Fd dAy xAyAxAyAxACb8 0 00 00 0103 , 151' ' ==+=+= 3) Determinarea capacitii unui condensator cilindric 71 ?0 = C ? =r1d2ddkiRkiE = ===== == 212 2 2121212121 12 2 1rrrhdrrh Edl Erh Edl Es d El d Es d Dl d EQUQV VC 12ln212121rrh rdrhrr = = 12ln2rrhCcil= 4)Seconsideruncondensatorplandecapacitate 0C alecruiarmturisunt dou discuri cu razacm R 6 =separate de un strat de aer cu grosimeacm d 1 = . ntre armturilecondensatoruluiesteintrodusoplacizolantdegrosimemm 3 = ; paralel cu condensatorul. Capacitatea condensatorului devine 025 , 1 C C = . Se cere: 1)capacitatea iniial a condensatorului 2)permitivitatea relativ a materialului dielectric introdus Se cunosc: 025 , 1 ; 3 ; 1 ; 6 C C mm cm d cm R = = = = FdAC1124900101010 3610 9 41== =

|||

\| =+ =+ +=+ +=rr r r r rdAdAd dAd dAC 11'0 02 1022110 310 25 , 1 10 310 3610 9 4131011'1111 3490= + =+ = CA dr Seminar =k SR R ; =k pR R1 1 TK: = 0kI ; =kk k kE I R72 IC1IC2MCC: =k kkjk C j kE I R ; MPN: = j j j j kj kj kjj kkRERVRV1 1 Problem: E1=E2=10V R1= 2 R2= 3 R= 1 E =8V I1 , I2 , I = ? (I): n -1=2-1=1 (II): o = l - n+1=2 Metoda I + = ++ = += E E RI I RE E RI I RI I I2 2 21 1 12 10 + = ++ = += 8 10 1 38 10 1 20212 1I II II I I318;2182 1IIII== II I=+318218 A I1190= ;A I11541 = ;A I11362 = Metoda II o = l - n+1=2 = += +) 2 (22 2 21 1) 1 (12 2 11 1E R I R IE R I R IC CC C R R R + =1 11;R R R + =2 22 R R R = =21 12 E E E + =1) 1 (;E E E + =2) 2 ( ( )( )+ = + ++ = + +E E R R I RIE E RI R R IC CC C2 2 2 11 2 1 1 ( )( )+ = + ++ = + +8 10 1 38 10 1 22 12 1C CC CI II I = += +18 418 32 12 1C CC CI II I2 14 18C CI I = ( ) 18 4 18 32 2= + C CI IA IC11362 = ;A IC11541 =1I2I1R1E2R2EI1212RI1I2 E 73 V pI pV1V2V3VkI1I2I3IkmultipolV1I1V2I2V3 I3VkIkV pI pmultipol = + == == =A I I IA I IA I IC CCC1190113611542 12 21 1 Metoda III 02 = V22112 111 1 1RERERER R RV + =|||

\|+ + 310182103111211+ = ||

\|+ + VV V1121 = ( )( )( )= +== +== +=ARV V EIARV V EIARV V EI1190113611542 121 2 2211 2 11 Circuite echivalente Multipol Este un circuit electric cu mai multe borne de acces. Multipolii particulari sunt:dipol, cu dou borne tripol, cu trei borne cuadripol, cu patru borne Doi multipoli sunt echivaleni dac au acelai numr de borne de acces i dac impunnd acelai potenial bornelor corespondente prin ele circul aceiai cureni. Procedeuldegsireaunuimultipolechivalentcuunmultipoldat(cu configuraia cunoscut) se numete transfigurare. n general se urmrete gsirea unui 74 U1U2UA B1R2R1E2EesResEUIE I R UE I R U2 2 21 1 1 = =( ) ( ) ( ) ( )E E I R R U E E I R R U U 2 1 2 2 1 2 1 2 1+ + = + + = +E I R U es es =R R Res 2 1 + =E E Ees 2 1 + =( ) 9multipol echivalent cu structur mai simpl dect multipolul dat, care uureaz studiul circuitului din care face parte. Cazuri particulare de circuite echivalente 1) Transfigurarea unei surse reale de tensiune intr-o surs real de curent Este vorba de un multipol cu dou borne care conine i o surs. + = + =+ = = +S S SSS SS SG U J I J IERURI I R E U'1 1SSSSSRGERJ11==(7) 2) Transfigurarea unei surse reale de curent ntr-o surs reale de tensiune ) 7 (SSSSSGRGJE1==(8) 3) Conexiunea serie a dipolilor elementari s eR - rezistena echivalent serie ====nkk s enkk s eE ER R11(9) SJGS USRIII ES U I 75 1RUI2R1U2U1I2I1R2R1E2EABA BepRepEIepRR RR RRR RR RR R Repep 2 12 12 12 12 11 1 1+= += + =R RI RIRIR RR RRI RII R UURU G I epep2 1211 2 12 1111 11+= += = == =Pentru dipoli pasivi( fr surse): UR RRRUR I R Us e 2 111 1 1+= = =UR RRU2 111+=UR RRU2 122+= (10) Conformacesteiregulisepoateexprimacuuurinfiecaredintreceledou tensiuni n funcie de tensiunea total. 4) Conexiunea paralel a dipolilor elementari p ep eGE G E GE2 2 1 1+= Pentru laturi pasive: ( )G G GE G U G IE G E G G G U Iepep ep2 12 2 1 1 2 1+ = + =+ + + =E G E R E G e ep 2 2 1 1+ ======nkknkk kepnkk epGE GEG G111( ) 11( )( )I I IE U G I E I R UE U G I E I R U2 12 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1+ = + = =+ = ==> 76 1V1I3V 2V2I3I31I23I12I12R23R31R1I2I3I1R2R3R( )R R RR R RRe31 23 1231 23 1212+ ++=( )R R RR R RRe31 23 1212 31 2323+ ++=( )R R RR R RRe31 3 . 2 1223 12 3131+ ++=( )( )2122/31 23 1212 31 31 23 23 123 2 11 3 313 2 232 1 12R R RR R R R R RR R RR R RR R RR R Reee+ ++ += + + + =+ =+ =( ) 13R R RR RR31 23 1231 233+ +=R R RR RR31 23 1223 122+ +=R R RR RR31 23 1212 311+ += 5) Transfigurarea triunghi-stea ( Y ) Se cunosc: 31 23 12, , R R R . Se cere 3 2 1, , R R R . Pentru: Pentru Y: Din (13) se scade relaia lui 12 eR i rezult: Analog, se obine (14) Dac = = =R R R R31 23 123Y=RRIR RRIIR RRI2 1122 121+=+=( ) 12- Regula divizorului de curent serieesR12R23R31R12ResRparalel121212R RR RResese+=77 13 2 1R2R3Rparalel1GepGserie( )( )G G GG G GG G GR R R epe3 2 13 2 13 2 11 3 21 11++ +=++ = + =( )( )G G GG G GGe3 2 121 3 21 32+ ++= ( )( )G G GG G GGe3 2 12 1 31 23+ ++= 6) Transfigurarea Y Se cunosc) , , ( , ,3 2 1 3 2 1G G G R R RSe cere31 23 12, , R R R . ( ) Ge3 21 Seexprimcondiiadeechivalenntreborna1ibornele(2-3) scurtcircuitatentreele;apointreborna2i(1-3)scurtcircuitatentreeleiapoiborna 3 i (1-2) scurtcircuitate ntre ele. Pentru Y: Pentru: Seadunceletreirelaii,dupcaresenmuleterezultatulcu1/2nambii membri i se scade pe rnd expresia corespunztoare fiecrei condiii de echivalen, rezultnd: ( ) G G Ge 31 12 3 21+ =( ) G G Ge12 23 1 32+ =( ) G G Ge23 31 2 13+ =31R13RR12 78 G G GG GG3 2 12 112+ +=G G GG GG3 2 13 223+ +=G G GG GG3 2 11 331+ +=( ) 15 Dac = = =YG G G G3 2 13YGG= =31 1 1YR RYR R 3 = Teoreme utile n studiul circuitelor electrice de c.c. 1) Teorema superpoziiei Enun:Intensitilecurenilorlaturilorunuicircuitizolatreprezintsuma algebric a intensitilor curenilor stabilii prin acele laturi sub aciunea cte uneia dintresurseledeenergie(sursedetensiuneidecurent)cndtoatecelelaltesurse sunt pasivizate.Apasivizaosursdeenergienseamnaonlocuicurezistenaeiintern. Surseleidealedetensiunesenlocuiesccurezistenenule(scurtcircuite),iarsursele ideale de curent se pasivizeaz nlocuindu-le cu rezistene infinite (ntreruperi). Exemplu: 1 1 1" ' I I I + = , 2 2 2" ' I I I + = , 3 3 3" ' I I I + = Teoremasuperpoziieiesteoconsecinafaptuluicecuaiilecaredescriu funcionareacircuituluisuntliniarenraportcuparametriiaferenisurselor independente.CureniicarerezultprinrezolvareaecuaiilorluiKirchhoff,prin regula lui Cramer, au forma =kkI (pentru latura k). l kl k k kE E E + + + = L2 2 1 1 l kl k k lkl k kkE G E G E G E E E I + + + =+ ++= L L2 2 1 1 2211 Ik combinaie liniar de E1El ; I1 I2 I3 R1R2R3 E1E3 = I1 R1R2R3 E1 I2 I3 I1 R1R2R3 E3 I2 I3 + 79 activCircuitURIU E =IactivCircuitactivCircuitI J =IUUGkjconductanadetransferntrelaturilekij. jk kjG G= (relaiede reciprocitate). Existsituaiipracticecndteoremasuperpoziieipermitecalcululcurenilor fr a fi necesar construirea unui sistem de ecuaii, ci printr-o succesiune de calcule simple. 2) Teorema reciprocitii Enun:Teoremareciprocitiisereferlauncircuitpasivncareprezint interes dou dintre laturile sale j i k. O surs ideal de tensiune inserat n latura k provoacuncurentnlaturajegalcucurentulpecareaceeaisursinseratn laturajlprovoacnlaturak.Aceastteoremesteoconsecinarelaieide reciprocitate. k jI I =kj jkG G = ,E G Ikj k =,E G Ijk j = k jI I = 3) Teorema compensaiei Conform teoremei compensaiei, orice rezisten parcurs de curentul I i care arelabornetensiuneaRI U = dintr-uncircuitizolatpoatefinlocuitfiecuosurs ideal de tensiune a crei tensiune electromotoare ndeplinete condiiaU E = , fie cu Circuit pasiv Rj Rk Rj Rk E Ik Rj Rk E Ij 80 EEEb( )= +n kk J J I0o surs de curent care ndeplinete condiiaI J = , circuitul obinut fiind echivalent cu cel iniial. 4) Teorema surselor cu aciune nul (Teorema lui Vaschy) Teorema are dou componente: a)Dacntoatelaturileincidententr-un nodalcircuituluiseinsereazsurse idealedetensiuneidenticeiorientatela felfadenodulcomun,seobineun circuit echivalent cu cel iniial. Th. II a lui Kirchhoff pentru bucla (b). Membrul stng = membrul dreptE E + b) Dac n paralel cu fiecare latur a unei bucle de circuit se adaug surse ideale de curent identice i orientate n acelai sens, seobineuncircuitechivalentcucel iniial. Th. I a lui Kirchhoff pentru nodul (n). 5) Teorema transferului maxim de putere I U P = - puterea consumat de R R consumator (receptor) Th. II a lui Kirchhoff:( )sss sR REI E I R R+= = + ( )222ssR RRERI P+= = . Valoarea maxim a lui P =? ( ) ( )( ) ( )3 4222ssss ssR RR RR RR R R R REdRdP+=++ +=( ) n( ) bsRsEabRUI Circuit dipolar activ cu rol de surs