bazele electrotehnicii curs 1

113
BAZELE ELECTROTEHNICII I -Note de curs-

Upload: mchis

Post on 02-Jul-2015

460 views

Category:

Documents


10 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bazele Electrotehnicii Curs 1

BAZELE ELECTROTEHNICII I

-Note de curs-

Page 2: Bazele Electrotehnicii Curs 1

2

Introducere Bazele electrotehnicii reprezintă o disciplină tehnică fundamentală care

studiază fenomenele electrice şi magnetice din punct de vedere al aplicaŃiilor tehnice inginereşti: descărcările electrice, orientarea cu busola, fenomenul de atracŃie între diferite minereuri, lumina.

Există mai multe teorii, care studiază fenomenele: • Teoria macroscopică MAXWELL-HERTZ (1870-1890) • Teoria macroscopică a lui LORENTZ • Teoria relativistă a lui EINSTEIN • Teoria cuantică

Teoria macroscopică MAXWELL-HERTZ studiază fenomenele electromagnetice la nivel macroscopic fără a face apel la structura substanŃei. Este o teorie care răspunde suficient de bine cerinŃelor obişnuite ale ingineriei, motiv pentru care se studiază in cadrul disciplinei. Ea prezintă limitări la viteze comparabile cu viteza luminii, dar acest lucru nu deranjează din punct de vedere al ingineriei electrice.

Conceptele fundamentale cu care lucrează „teoria macroscopică MAXWELL-HERTZ” sunt substanŃa şi câmpul, ce formează materia. SubstanŃa este reprezentată de corpurile sau obiectele materiale care au masă, iar câmpul este acea formă de existenŃă a materiei care poate exista atât in interiorul substanŃei cât şi în interiorul unor corpuri. Exemple de câmpuri: câmp gravitaŃional, câmp electromagnetic.

Instrumentele de bază necesare în cadru teoriei sunt: 1. mărimi fizice 2. unităŃi de măsură 3. legi 4. teoreme

Mărimile fizice sunt proprietăŃi ale materiei (fie corp, fie câmp), care permit o evaluare cantitativă a unor fenomene.

UnităŃile de măsură sunt concepte asociate mărimilor fizice care permit compararea mărimilor de aceeaşi natură.

Legile sunt afirmaŃii enunŃate pe bază de experiment care nu pot fi deduse din alte afirmaŃii cu grad de generalitate mai ridicat.

Teoremele sunt afirmaŃii care constituie cazuri particulare ale unor legi. Ele pot fi deduse din legi intuitiv sau pe bază de calcul analitic.

La baza fenomenelor electromagnetice stă conceptul de sarcină electrică. Cel

mai mic purtător de sarcină electrică este Ce 19106.1 −− ⋅−= (electronul), respectiv Cp 19106.1 −⋅= (protonul) [1C=1Coulomb].

Deşi sarcina electrică are un caracter discret, teoria macroscopică o consideră ca având caracter continuu în corpurile purtătoare de sarcină electrică. PrezenŃa sarcinii electrice este numai în substanŃă 31108.9 −⋅=−e

m kg (masa electronului). Sarcinile electrice pot fi în repaus sau în mişcare, iar în funcŃie de acest lucru fenomenele electromagnetice pot fi clasificate în:

Page 3: Bazele Electrotehnicii Curs 1

3

1. Fenomene statice (regim static) → 0=v ; 0;0 =∆=∂∂

Wt

.

Toate corpurile sunt în repaus, derivatele sunt nule şi nu există transformări energetice. Exemple: regimul electrostatic şi regimul magnetostatic.

Câmpul electric poate exista independent de câmpul magnetic şi se pot studia separat.

2. Fenomene staŃionare (regim staŃionar) → 0;0; ≠∆=∂∂

= Wt

ctv .

Exemplu: curentul continuu care străbate anumite corpuri conductoare sau fire. În acest regim avem câmpul magnetic staŃionar, care poate fi studiat separat de câmpul electric.

3. Fenomene cvasistaŃionare (regim cvasistaŃionar) → 0;0;0 ≠∆≠∂∂

≠ Wt

v .

Există variaŃii ale unor mărimi, însă ele sunt suficient de lente astfel încât să nu permită propagarea câmpului electromagnetic.

Exemplu: funcŃionarea circuitelor electrice la frecvenŃe joase.

4. Fenomene variabile (regim variabil) → 0;0;0 ≠∆≠∂∂

≠ Wt

σ .

În acest caz variaŃiile unor mărimi sunt relativ mari şi permit propagarea lor în spaŃiu. Exemplu: comunicaŃia în telefonia mobilă, radio-TV.

Page 4: Bazele Electrotehnicii Curs 1

4

ELECTROSTATICA

Sarcina electrică punctiformă (q) Sarcina punctiformă este un corp de dimensiuni neglijabile în raport cu spaŃiul

la care e raportat, încărcat cu o anumită sarcină electrică. Teorema lui Coulomb

Experimental s-a observat că r

r

r

qqkF ⋅

⋅⋅= 2

0 , unde 2

29109

C

mNk

⋅⋅= .

mFk /1094

14

190

0 ⋅⋅=⇒=π

επε

; 0ε - permitivitatea dielectrică a vidului

rr

qqF ⋅⋅= 3

0

041πε

(1) Teorema lui Coulomb

Se constată următoarele: - forŃa de interacŃiune F este direct proporŃională cu produsul sarcinilor ( qqF 0~ );

- forŃa F este invers proporŃională cu pătratul distanŃei dintre ele ( 2

1~r

F );

- dacă ⇒> 00qq F este o forŃă de respingere; dacă ⇒< 00qq F este o forŃă de atracŃie

Intensitatea câmpului electric produs de o sarcină punctiformă

q

q0

F

r

F−

Fig.1 Explicativă pentru teorema lui Coulomb

q

q0

F

r

Fig.2 Explicativă pentru calculul intensităŃii câmpului electric

Page 5: Bazele Electrotehnicii Curs 1

5

Eqrr

qqF ⋅=

⋅⋅⋅= 3

0

041πε

rr

qE ⋅⋅= 3

0

041πε

(2) - Intensitatea câmpului electric produs de o sarcină

punctiformă

[ ]m

VE SI 1=

Linia de câmp electric este o linie

imaginară în vecinătatea corpurilor încărcate cu sarcini electrice la care intensitatea câmpurilor electrice este tangentă. Totalitatea liniilor de câmp electric formează spectrul electric.

Teorema superpoziŃiei câmpurilor electrice Intensitatea câmpului electric corespunzător unui sistem de sarcini

punctiforme este egal cu suma vectorială a intensităŃii câmpului electric creat de fiecare sarcină considerat în absenŃa celorlalte sarcini.

321 EEEE ++=

∑∑==

⋅⋅==n

kk

k

kn

kn r

r

qEE

13

01 41πε

Dacă pentru un sistem de două sarcini +q şi –q se aplică ipotetic teorema

superpoziŃiei, prin punctele din vecinătate se pot trasa liniile de câmp care formează spectrul. Spectrul construit astfel arată că liniile de câmp sunt curbe deschise care pleacă de pe sarcini pozitive şi ajung pe sarcini negative sau se prelungesc până la infinit.

q>0

A AE

Fig.3 Linii de câmp

q1

q2

q3

1E

2E

3E

E

Fig.4 Teorema superpoziŃiei

q+ q−

dlcâmp de linie

E

Page 6: Bazele Electrotehnicii Curs 1

6

Punctul de la infinit este un concept care semnifică punctul aflat la distanŃă

mult mai mare decât dimensiunile sistemului fizic.

0=× dlE , dl - vectorul de lungime asociat curbei Aceasta este ecuaŃia liniilor de câmp; exprimă faptul că E este tangentă la liniile de câmp.

Corpul de probă este un concept idealizat care reprezintă o sarcină electrică punctiformă de valoare suficient de mică, încât să nu perturbe câmpul electric în care este amplasat; se foloseşte pentru investigarea câmpurilor electrice.

Teorema lui Gauss în electrostatică

Considerăm o sarcină punctiformă q şi construim în jurul ei o sferă ipotetică de rază r.

204

)(r

qrE

πε=

Notăm cu SΣ suprafaŃa sferei.

0

22

0

44

)(ε

ππε

qr

r

qSrE =⋅=⋅ Σ

Produsul Σ⋅ SrE )( reprezintă fluxul intensităŃii câmpului electric prin suprafaŃa Σ:

24)()(),cos( rrEdsrEdsdsEEdsE π⋅==⋅⋅=⋅ ∫∫∫ΣΣΣ

ds =element de suprafaŃă asociat suprafeŃei sferice Σ; este o mărime vectorială care are modulul egal cu aria unei porŃiuni foarte mici din suprafaŃa Σ, direcŃia este perpendiculară pe această porŃiune şi sensul către exterior; se vede din figură că ds respectă condiŃia.

Faptul că fluxul intensităŃii câmpului electric prin suprafaŃa sferei nu depinde de raza sferei permite extinderea acestei afirmaŃii la cazul general al unui sistem format din mai multe sarcini electrice, înconjurat de o suprafaŃă închisă care nu este neapărat sferică.

0εΣ

Σ

=⋅∫q

dsE (3) Teorema lui Gauss

∑=

Σ =n

kkqq

1

• •••q

1 q2q

3

ds

E

q

ds Er

Page 7: Bazele Electrotehnicii Curs 1

7

EnunŃul teoremei lui Gauss: Fluxul intensităŃii câmpului prin orice suprafaŃă închisă este proporŃional cu

sarcina electrică totală delimitată de aceea suprafaŃă. Factorul de proporŃionalitate

este 0

în sistemul de unităŃi internaŃional.

DistribuŃii spaŃiale de sarcini electrice

1) DistribuŃia pe corpuri filiforme

dl

dql =ρ [C/m] – densitatea lineică de sarcină electrică

∫∫ ⋅==B

A

l

B

A

dldqq ρ - sarcina electrică totală pe firul AB

2) DistribuŃia pe suprafeŃe

dS

dqS =ρ [C/m2] – densitatea superficială de sarcină electrică

∫∫ ⋅==S

S

S

dSdqq ρ - sarcina electrică totală pe suprafaŃă

3) DistribuŃia volumică

dl

A

B

dldqlρ=

S

ds)(dq

Page 8: Bazele Electrotehnicii Curs 1

8

dl

• •

• •

ME

V

S r

Cq1q

2 q3

qq

n 1−qn

dV

dqV =ρ [C/m3]

∫∫ ⋅==V

V

V

dVdqq ρ

Câmpul electric rezultant creat de distribuŃii spaŃiale de sarcini electrice se calculează pe baza teoremei superpoziŃiei.

r

r

dqr

r

dq

rr

dqr

r

qE

VS

C

k

n

k k

k

⋅+⋅+

+⋅+⋅=

∫∫

∫∑=

30

30

301

30

44

441

πεπε

πεπε

dldqC l ⋅= ρ:)( dSdqS S ⋅= ρ:)( dVdqV V ⋅= ρ:)(

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅= ∫∫∫∑

=

dVrr

dSrr

dlrr

rr

qE

V

V

S

S

C

lk

n

k k

k333

13

041 ρρρπε

(4) RelaŃia (4) reprezintă expresia teoremei superpoziŃiei pentru un sistem

oarecare de sarcini electrice. Această relaŃie permite calculul intensităŃii curentului electric în cazul general.

dv)(dq

Page 9: Bazele Electrotehnicii Curs 1

9

A

B

dl

E

m

nA

B

Tensiunea electrică

dlEUB

A

AB ⋅= ∫ [V] (5)

Tensiunea electrică între două

puncte amplasate în câmp electric este prin definiŃie integrala intensităŃii câmpului electric de-a lungul unei curbe arbitrare care uneşte cele două puncte.

AB

AnBAmB

AnBAmB

BnAAmB

UdlEdlE

dlEdlE

dlEdlE

=⋅=⋅

⇒=⋅−⋅

⇒=⋅+⋅

∫∫

∫∫

∫∫

)()(

)()(

)()(

0

0

Justificare: ÎnmulŃind relaŃia (5) cu q (sarcină unitate) avem:

AB

B

A

B

A

B

A

AB LdlFdlEqdlEqqU =⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫ )(

LAB - lucrul mecanic al forŃelor de natură electrică necesar pentru deplasarea

sarcinii q din punctul A în punctul B. Tensiunea electrică reprezintă lucrul mecanic necesar forŃelor de natură

electrică pentru a deplasa unitatea de sarcină electrică între două puncte.

0=−=+= AABAABAA WWLLL (6) ;

WA - energia câmpului electric corespunzătoare poziŃiei iniŃiale

0=⋅∫Γ

dlE (7) - Teorema potenŃialului electrostatic

RelaŃia (6) permite alegerea arbitrară a punctului B; prin urmare integrala pe orice curbă închisă este zero.

A

dl

Γ

Es d

l d

Γ

S Γ

Page 10: Bazele Electrotehnicii Curs 1

10

y

z

x

j

k

i

ConsecinŃe: - tensiunea electrică între două puncte nu depinde de drum; - se aplică teorema lui Stokes expresiei (7)

⇒=⋅=⋅ ∫∫Γ

0S

dSErotdlE 0=Erot (8) – forma locală a Teoremei

potenŃialului electrostatic

Corelarea sensurilor elementelor de linie şi elementelor de suprafaŃă se face după regula burghiului drept: sensul lui dS este dat de sensul de înaintare al unui burghiu care se roteşte în sensul indicat de dl .

Câmpul electric este un câmp irotaŃional. - se demonstrează în matematica superioară că orice câmp irotaŃional poate fi

scris ( ) EVgradErot =−⇒= 0 ; V este potenŃialul, iar semnul „-„ este conform unei convenŃii de semn.

VgradE −= (9)

Operatorii de derivare spaŃială

kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇ - expresia în sistemul de coordonate cartezian.

VgradV ≡∇ ; V este un câmp scalar

kz

Vj

y

Vi

x

VV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=−==×∇

z

V

y

V

x

Vzyx

kji

gradVrotErotE )(

0222222

=∂∂

∂−

∂∂∂

−∂∂

∂−

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

=zx

Vj

zy

Vi

yx

Vk

zx

Vj

yx

Vk

zy

Vi

Exprimăm variaŃia potenŃialului între două puncte apropiate în spaŃiu.

=∂∂

+∂∂

+∂∂

== dzz

Vdy

y

Vdx

x

VzyxdVdV ),,(

( ) dlEdVdlgradVkdzjdyidxkz

Vj

y

Vi

x

V⋅−=⇒⋅=⋅+⋅+⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Page 11: Bazele Electrotehnicii Curs 1

11

( )C

dl( )1

( )2

E

q1

q2

q3

qn

M

r1

r2

∫ ∫∫ =−=−=⋅=2

1

2

1

2

112 )( dVdVdlEU

2112 )( VVVV −=−−=

2112 VVU −= (10)

PotenŃialul unui punct se exprimă relativ la un potenŃial de referinŃă. Punctul de referinŃă poate fi ales arbitrar, ca şi valoarea potenŃialului acestuia. Se preferă valoarea „0” pentru potenŃialul de referinŃă (2). Consider punctul (2) ca referinŃă.

dlEVUV ⋅==⇒= ∫2

11122 0 (11)

PotenŃialul într-un punct se calculează ca integrală a lui E pe o curbă arbitrară care uneşte acel punct cu punctul de referinŃă.

PotenŃialul câmpului electric creat de sarcini punctiforme

∫∞

⋅=M

M drEV 0=∞V - referinŃă de potenŃial;

drr

qdrEdrEdrEdrE 2

04),cos(

πε=⋅=⋅⋅=⋅

a

q

r

qdr

r

qdr

r

qV

aaa

M00

20

20 4

14

144 πεπεπεπε

=

−===⇒∞∞∞

∫∫

Cazul general: r

qrV

04)(

πε= .

Teorema superpoziŃiei potenŃialelor

∑=

=+++=n

j

nM jEEEEE1

21 L

gradVE −=

11 gradVE −=

22 gradVE −= K

nn gradVE −=

+q M E ∞ r a

Page 12: Bazele Electrotehnicii Curs 1

12

S

ds)(dq

r

M

dv)(dq

V

dl

( )dq

l

• •

• •

q3

qq

n 1−qn

gradVVgradgradVjEEn

jj

n

jj

n

j

−=

−=−== ∑∑∑

=== 111

∑=

=⇒n

jjVV

1

(12) - Teorema superpoziŃiei potenŃialelor

PotenŃialul câmpului electric creat de o distribuŃie spaŃială de sarcini electrice este egală cu suma potenŃialelor create de fiecare sarcină punctiformă dacă ar exista singură, în absenŃa celorlalte.

∑=

=n

j j

j

r

qV

1041πε

PotenŃialul câmpului electric creat de distribuŃii oarecare de sarcini

Formulele potenŃialelor elementare sunt similare formulei potenŃialului

corespunzător sarcinilor punctiforme, de forma:

=

dV

dS

dl

dq

V

S

l

ρρ

ρ

r

dldV l

l04πε

ρ= ;

r

dSdV S

S04πε

ρ= ;

r

dVdV V

V04πε

ρ=

Teorema superpoziŃiei ∫∫ ==⇒C

l

C

ll dlr

dVVρ

πε 041

;

∫∫ ==S

S

S

SS dSr

dVVρ

πε 041

; ∫∫ ==V

V

V

VV dVr

dVVρ

πε 041

+++=+++= ∫ ∫ ∑∫∑

== S V

n

j j

jVS

C

ln

jjVSlM

r

qdV

rdS

rdl

rVVVVV

101 41 ρρρπε

EcuaŃiile Poisson / Laplace pentru câmpul electrostatic Teorema lui Gauss:

0εΣ

Σ

=⋅∫q

dSE ; ∫∫Σ

=⋅Σ V

dVEdivdSE )( ; dVqV

V∫=Σ ρ

Page 13: Bazele Electrotehnicii Curs 1

13

( ) ( ) VVgradVdiv ∆=∇∇=

00

)(1

)(ερ

ρε

V

V

V

V

EdivdVdVEdiv =⇒=⇒ ∫∫

În coordonate carteziene:

( )z

E

y

E

x

EkEjEiEk

zj

yix

EEdiv zyxzyx ∂

∂+

∂+

∂=++

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=

gradVE −= 0

)(ερVgradVdiv =− (EcuaŃia lui Poisson)

(∆ -operatorul Laplace) ⇒0ερVV −=∆

EcuaŃia lui Laplace este ecuaŃia de distribuŃie spaŃială a câmpurilor; ecuaŃia generală a câmpurilor în coordonate carteziene:

( ) 2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

Vk

z

Vj

y

Vi

x

Vk

zj

yi

xVV

∂+

∂+

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇∇=∆

⇒ ecuaŃia lui Poisson în coordonate carteziene: 0

2

2

2

2

2

2

ερV

z

V

y

V

x

V−=

∂+

∂+

În cele mai multe cazuri întâlnite în practica inginerească sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafeŃe si nu în volume.

⇒=⇒ 0Vρ 0=∆V - EcuaŃia lui Laplace

02

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂+

z

V

y

V

x

V - EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene

SuprafeŃe echipotenŃiale SuprafeŃele echipotenŃiale sunt suprafeŃe fictive care se desfăşoară în câmp

electrostatic, pentru care potenŃialul electric are aceiaşi valoare în orice punct al suprafeŃei.

- sferă concentrică cu sarcina q

Se consideră două puncte foarte aproape pe suprafaŃa echipotenŃială:

EM

M/

dl

q+- suprafaŃă echipotenŃială

Page 14: Bazele Electrotehnicii Curs 1

14

dl

ld/

a

αx

r

MEd

/

11

Ed 11

αα

Ed

Ed/

Ed x

Ed x

/

dlE

dlEdlEdVVVM

M

MM

=⋅⇒⋅−==− ∫ 0'

' - ecuaŃia suprafeŃei echipotenŃiale

ConsecinŃă: RelaŃia de mai sus arată că vectorul E - intensitatea câmpului electric - este perpendicular pe suprafeŃele echipotenŃiale, prin urmare liniile de câmp sunt la rândul lor perpendiculare pe suprafeŃele echipotenŃiale.

AplicaŃii: Calculul intensităŃii câmpului electric şi al potenŃialului electric în cazuri

particulare.

1) Se cere E şi V pentru câmpul creat de o spiră circulară încărcată cu sarcină electrică distribuită uniform cu densitatea ρl. Punctul de calcul va fi pe o axă perpendiculară pe planul spirei care cade în centrul acesteia. Raza spirei se notează cu a.

dldq lρ=

rr

dlr

r

dqEd l

30

30 44 πε

ρπε

==

0=V

q+ q−

suprafeŃe echipotenŃiale

Page 15: Bazele Electrotehnicii Curs 1

15

a

Mx

E

Se foloseşte teorema superpoziŃiei pentru E .

∫==⇒C

M EdxEE )(

||EdEdEd x +=

( )23

220

224

cosxa

xdl

xa

xdE

r

xdEdExEd l

+

⋅=

+===

πε

ρα

0'|||| =+ EdEd Oricare două elemente dl şi dl’ de pe spiră creează componente ale intensităŃii

câmpului paralele ( ) cu planul spirei care se anulează reciproc. În concluzie câmpul rezultant va avea componente numai pe direcŃia pe planul spirei.

( ) ( ) ( )23

220

2

023

220

23

220 244

)(xa

xadl

xa

xdl

xa

xdExE l

a

C

ll

C

x

+=

+=

+== ∫∫∫

ε

ρ

πε

ρ

πε

ρ π

2204 xa

dqdV

+=πε

220

2

022

022

0 244 xa

adl

xaxa

dldVVV l

al

C

l

C

xM+

=+

=+

==≡ ∫∫∫ε

ρ

πε

ρ

πε

ρ π

în ipoteza ( ) 0=∝V . Variantă de calcul a potenŃialelor

( ) ( )∫∫

∫∫∞∞

∞∞

+=

+=

=⋅⋅=⋅=≡

x

l

x

l

xx

M

dx

xa

xadx

xa

xa

dxEdxExVV

23

22023

220

22

0cos)(

ερ

ε

ρ

Notăm cu: 22 xat += ; 2

2dt

xdxdxxdt =⇒⋅=

22

0

21

0

23

0 2212222

22

22 xa

atadtt

aV l

xa

l

xa

lM

+=

−⋅

⋅=

⋅=

+

−∞

+

∫ε

ρερ

ερ

Calculul lui E pe altă cale!

gradVE −= ; x

VEx ∂

∂−=

Page 16: Bazele Electrotehnicii Curs 1

16

a

R

ds sd/

r/

r x

α

Ed 11Ed

/

11

α

Ed X

Ed X

/

EdEd

/

A B

CD

adl

R

ds

Θd

( ) ( )

( )23

220

23

22

0

21

22

022

0

2

221

222

xa

axE

xxaa

xadx

da

xa

a

dx

dE

l

lll

+=

⇒⋅+

−−=

+−=

+−=

−−

ε

ρ

ερ

ερ

ε

ρ

Particularizare:

=

=⇒=

02

00

ερ lV

Ex

→∞→

00

V

Ex

2) Cazul unui disc de rază a încărcat cu sarcini electrice dispuse uniform pe

suprafaŃa lui cu densitatea ρS. Punctul de calcul este amplasat pe o dreaptă pe planul discului care cade în centrul acestuia.

BCABdS ⋅≈ Θ⋅= dRBC dRAB = Θ⋅⋅= ddRRdS

( ) ( ) dRdxR

R

xR

dS

r

dqdE SS Θ

+=

+== 22

022

02

0 444 περ

περ

πε

dSdq Sρ=

∫==disc

xM dExEE )(

C C/m2 m2

Page 17: Bazele Electrotehnicii Curs 1

17

A

B

C

D

/A

//B

//C

//D sdE

sd

E

//A

S

( )Σ

( )

dRd

xR

Rx

Rx

xdEdEdE S

x Θ+

=+

==23

220

224

cosπε

ρα

( ) ( )

=

Θ

+=

Θ

+= ∫ ∫∫ ∫ dRd

xR

RxdRd

xR

RxE

aS

aS

M

0

2

023

220

0

2

0 23

220 44

ππ

πε

ρ

πε

ρ

( ) ( )

dRxR

RxdR

xR

Rx aS

aS ∫∫

+=

+=

0 23

2200 23

220

22 ερ

ε

ρ

Se face schimbare de variabilă: txR =+ 22 ; dtdRR =⋅2 ; dtRdR21

=

+−=

+−⋅==⇒

+

+−+−

∫ xax

xtxdtt

xE S

ax

x

Sxa

x

SM

1121

232222 22

0

123

0

23

0

22

2

22

2 ερ

ερ

ερ

+−=⇒

220

12

)(ax

xxE S

ερ

Cazuri particulare:

a) 02

)0(0ερ SEx =⇒=

b) 0)(lim)( ==∞⇒∞→∞→

xEExx

c) 02

)(lim)(ερ S

axEEaxa ==⇒∞→>>

∞→- În cazul unui plan de dimensiuni

infinite încărcat cu sarcini electrice distribuite uniform cu densitatea Sρ , câmpul electric în vecinătatea lui nu depinde de x.

Calculul intensităŃii câmpului electric în vecinătatea unui plan infinit cu ajutorul teoremei lui Gauss

Page 18: Bazele Electrotehnicii Curs 1

18

0εΣ

Σ

=⋅∫q

dSE ; SSq SABCDS ⋅=⋅=Σ ρρ

ESdsEdsEdSE

dSEdSEdSEdSEdSEdSE

DCBADCBABCCB

ABBADCCDADDADCBADCBA

2''''''''''''''''''

''''''''''''''''''''''''''''''

=+=⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫Σ

dSEdSEdSE ⋅=⋅⋅=⋅ 0cos - pentru '''''''','''' DCBADCBA

02

cos =⋅⋅=⋅π

dSEdSE - pentru toate celelalte feŃe laterale

⇒=⇒= Σ

00

22ερ

εS

ESq

ES S

02ερ SE =

Concluzie: Teorema lui Gauss permite calculul câmpurilor electrice pentru majoritatea cazurilor posibile în practica inginerească unde câmpurile electrice prezintă simetrie spaŃială( simetrie plană, cilindrică, sferică).

Câmpul electrostatic creat de două plăci plane, paralele între ele, de

dimensiuni foarte mari în raport cu distanŃa uneia faŃă de cealaltă, încărcate cu sarcini de polarităŃi opuse şi amplasate în vid.

iE

iE

SA

SA

0

2

0

1

2

2

ερ

ερ

=

−=

021 =+=⇒ AAA EEE

iE

iE

SB

SB

0

2

0

1

2

2

ερ

ερ

=

=

iEEE SBBB

0

21ερ

=+=⇒

+ρS -ρS

2E

1E 1E

2E

A B C

x 0 d

Page 19: Bazele Electrotehnicii Curs 1

19

q+ q− q+ q−

d

E0

E

vid

(izolant)dielectric material

0EE <

iE

iE

SC

SC

0

2

0

1

2

2

ερ

ερ

−=

=

0=⇒ CE

Calculul potenŃialului Se consideră 0)0( =V )00( =⇒= Vx

idxdxdl ⋅== Zona A ( 0<x );

00

00 00

0

0)(ερ

ερ

ερ d

xdxiidxEdxEdlExV SdSd

Sd

x

d

x

==⋅⋅+=⋅+⋅=⋅= ∫∫∫∫

Zona B ( )( )dx ,0∈

∫∫ −==⋅=d

x

SSd

x

B xddxdxExV )()(00 ερ

ερ

0)( =⇒= dVdx

Zona C ( dx > ) 0)( =⋅= ∫d

x

C dxExV

Câmpul electrostatic în prezenŃa câmpurilor polarizate

Se constată experimental că prin introducerea unor materiale dielectrice în câmp electric intensitatea câmpului electric se modifică atât ca direcŃie şi sens, cât şi ca modul. În cazul a două plăci paralele se constată scăderea intensităŃii curentului electric între ele.

ExplicaŃie: O explicaŃie la nivel microscopic a influenŃei corpurilor dielectrice asupra

câmpului electric constă în apariŃia dipolilor elementari, în masa materialului dielectric. Aceştia apar ca urmare a deformărilor orbitelor electronice sub acŃiunea câmpului electric exterior, astfel încât sarcinile pozitive şi negative ale atomului nu mai sunt concentrice, ci se decalează aşa cum se vede în figură. Aceste sarcini creează un câmp electric pe care-l vom calcula.

Page 20: Bazele Electrotehnicii Curs 1

20

e−

e−

e−

+

−−

+ +−

⋅⋅⋅⋅⋅≡ 00

elementar dipolelectroni etraiectori

M

12 rr −

1r

q−

q+

l∆

Θ

2r2

21 rrrlr ≅⇒∆>>

Θ∆≅−∆−

≅Θ cos;cos 1212 lrrl

rr

( ) bgradaagradbabgrad +=

Câmpul electric al dipolului elementar

Se determină mărimea lqp ∆= ce se numeşte moment electric.

21

12

0201021 444 rr

rrq

r

q

r

qVVV

−⋅=−=+=

πεπεπε

30

30

20 44

coscos4 r

rp

r

lrq

r

r

r

lqV

πεπεπε⋅

=Θ∆

=⋅Θ∆

⋅=

⋅−=

⋅−=−= 3

03

0

14

14 r

rpgradr

rpgradgradVE

πεπε

( ) pkpjpipzpypxpkz

jy

ix

rpgrad zyxzyx =++=++

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅ )(

kpjpipp zyx ++=

kzjyixr ++=

zpypxprp zyx ++=⋅

222 zyxr ++=

( ) ( ) −⋅++−=++

∂∂

+∂∂

+∂∂

=−−−

ixzyxzyxkz

jy

ixr

grad 2231 12/32222/3222

3

( ) ( ) =⋅++−⋅++−−−−−

kzzyxjyzyx 223

223 12/322212/3222

( ) ( )5

2/5222 33

r

rkzjyixzyx −=++⋅++−=

( )

−=

+

−−= 35

035

0

34

134

1r

p

r

rrp

r

p

r

rrpE

πεπε

Page 21: Bazele Electrotehnicii Curs 1

21

dv)(dq

Σ

M

r

( ) bgradaadivb +=abdiv

+= ∫ ∫V S

SV sdrvdrVρρ

επ 041

Câmpul electric suplimentar produs de un domeniu polarizat PolarizaŃia electrică P reprezintă momentul electric corespunzător unităŃi de

volum; se mai numeşte vector polarizaŃie. pd - suma momentelor electrice din

volumul dv

v

pP

∂∂

= PolarizaŃie electrică

dvPpd =

dvr

gradPdvr

rP

r

rdvP

r

rpddV

==⋅

=⋅

=1

41

41

44'

03

03

03

0 πεπεπεπε

=r

gradr

r 13

( )r

Pdiv

r

Pdiv

rgradPzyxk

zj

yi

x−

=

=++

∂∂

+∂∂

+∂∂

=− 12/1222 K

dvr

Pdiv

r

PdivdV

+−=

041

'πε

+−== ∫∫∫

ΣΣΣ VV

dvr

Pdivdv

r

PdivdVV

041

''πε

Gauss Ostrogradski:

∫∫∫ΣΣ

⋅==

Σ

dsr

nPsd

r

Pdv

r

Pdiv

V

; dsnsd ⋅=

⋅+−= ∫∫ΣΣ

dsr

nPdv

r

PdivV

V041

'πε

RelaŃia lui V’ este formal asemănătoare cu relaŃia potenŃialului creat de distribuŃii spaŃiale dispuse în volum şi pe suprafeŃe:

Page 22: Bazele Electrotehnicii Curs 1

22

PdivV

−=ρ/

1

( )nPPnPS 1221

/

1 −≡=ρ

1 2n12

P1

P2 ( )VE grad//

−=

Σ

dielectricpolarizat corp

V

Σ

V Σ

ds

qV

/

qV

∫ ∫∫Σ

−=−==VV

VV sdPvdPvdq divρ//

ρ /1

V-densitatea volumică a sarcinilor de polarizaŃie

ρ /1S

-densitatea superficială a sarcinilor de polarizaŃie

Folosind aceste două notaŃii problema calculului câmpului suplimentar se reduce la problema calculului unui câmp electric creat de sarcini adevărate distribuite pe corpurile polarizate cu densităŃile S'ρ şi V'ρ . DensităŃile superficiale ale sarcinilor de polarizaŃie apar numai la suprafaŃa de separaŃie a două medii cu proprietăŃi dielectrice diferite.

21 ,PP - polarizaŃiile electrice în cele două medii în imediata apropiere a suprafeŃei de separaŃie.

+= ∫ ∫

V S

SV dsr

dvr

V''

41

'0

ρρπε

Legea fluxului electric Sarcina totală de polarizaŃie dintr-un corp dielectric ce ocupă volumul V este:

Expresia teoremei lui Gauss pentru un domeniu care conŃine atât sarcini electrice adevărate, cât şi sarcini de polarizaŃie este:

⇒⋅−=⋅⇒+=⋅ ∫∫∫ΣΣΣ

0000

|11

)'(1

εεεε

dsPqdsEqqdsE VVV

( ) VqdsPE =+∫Σ

PED += 0ε (1) - legea legăturii între D , E şi P ; D - inducŃia electrică

Page 23: Bazele Electrotehnicii Curs 1

23

În prezenŃa corpurilor dielectrice nu este suficientă o singură mărime pentru a caracteriza câmpul electric, ci sunt necesare două mărimi, respectiv E şi D .

VqsdD =⋅∫Σ

(2) - legea fluxului electric (forma integrală)

EnunŃ: Fluxul electric prin orice suprafaŃă închisă este egal cu sarcina electrică adevărată delimitată de suprafaŃa respectivă. Legea este valabilă atât în vid, cât şi în medii dielectrice.

( ∫Σ

Σ ⋅=Ψ sdD - fluxul electric)

V

V

V

V

DdivdvdvDdiv ρρ =⇒=⋅ ∫∫ΣΣ

(3) - forma locală a fluxului electric

Legea fluxului electric reprezintă o generalizare a teoremei lui Gauss.

Legea polarizaŃiei temporare

pt PPP +=

unde: tP - polarizaŃie temporară PP - polarizaŃie permanentă

PP nu depinde de câmpul electric în care este amplasat dielectricul. În general corpurile dielectrice nu prezintă polarizaŃie permanentă.

0≅pP ; Totuşi există substanŃe cu polarizaŃie permanentă şi anume electreŃii.

tP depinde de E din masa corpului polarizabil. EP et χε 0= (4) –Legea polarizaŃiei temporare (χe -‘hi’)

EnunŃ: Legea polarizaŃiei temporare exprimă proporŃionalitatea dintre E (intensitatea câmpului electric) şi vectorul polarizaŃie. Această proporŃionalitate însă poate fi valabilă numai pentru domenii limitate ale lui M, iar factorul de proporŃionalitate eχ poate avea diferite valori în funcŃie de direcŃia câmpului.

În cazuri uzuale se consideră corpuri dielectrice liniare în care acest factor de proporŃionalitate este constant.

cte=χ - susceptibilitate electrică

EEEEDEPPP

reeept εεχεχεεχε

00000 )1(

)1(=+=+=⇒

=+=

( 0=pP )

ED ε= (5) - consecinŃă a relaŃiilor (1) şi (4) şi se foloseşte în aplicaŃii practice

er χε += 1 - permitivitatea relativă a materialului

10 >⇒> re εχ Pentru vid: 10 =⇒= re εχ

P

E

Material electric liniar

Page 24: Bazele Electrotehnicii Curs 1

24

mFSI

/1=><ε

⋅=≈

⋅=≈=

ceramice materialepentru /10330KV/mm

uscataer pentru /103/37

6

max mV

mVmmKVE

rεεε 0= - permitivitatea absolută a materialului

(Farad/metru) εr - adimensional

ProprietăŃile dielectrice ale materialelor se păstrează numai până la o valoare limită a intensităŃii câmpului electric care se numeşte rigiditate dielectrică. Odată atinsă această valoare, proprietăŃile se deteriorează.

În proiectarea aparatelor electrice rigiditatea dielectrică este un parametru

deosebit de important. În timp apare fenomenul de îmbătrânire a materialului sub acŃiunea câmpului electric; consecinŃa este scăderea rigidităŃii dielectrice.

Comportarea câmpului electric la suprafaŃa de separaŃie între medii cu proprietăŃi diferite

t - versorul tangentei 1=t

Γ = curbă închisă – dreptunghi( AB<<BC) Teorema potenŃialului pentru curba Γ:

0=⋅∫Γ

ldE

P

E

iceferoelectrmateriale

E

P

electreŃlelectreŃi

Pp

A B

CD

1 2

normală

genŃenŃitan

E t1

E t2

E1

E2t

Γ

ε 1 ε 2

tangentă

Page 25: Bazele Electrotehnicii Curs 1

25

12

ε 2

ε 1 ΣD1 D2

s1s2

S∆

normală

2α2α

1 2

ε 2ε 1

E t1

E t2

normală

E1

E2

∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅Γ

A

D

D

C

C

B

B

A

ldEldEldEldEldE

≅0 ≅0

Pentru BC : tdlld ⋅= =⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅=⋅⇒ ∫∫∫∫∫Γ

A

D

C

B

A

D

C

B

dltEdltEdltEdltEldE

DA: tdlld ⋅−= ( )=⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅= tEtElDAtEBCtE 1212

( ) 012 =−= tt EEl

BC =DA = l ⇒= 0l tt EE 21 = (6) - componenŃa tangenŃială a lui E se conservă la

suprafaŃa de separaŃie dintre două medii

Σ - suprafaŃa cilindrică plană; S∆ - aria bazei;

Legea fluxului electric : Σ

=⋅∫Σ

VqsdD

În ipoteza 0=ΣV

q =⋅+⋅+⋅=⋅⇒ ∫∫∫∫Σ lSSS

sdDsdDsdDsdD21

00 1221211212

11

=∆⋅⋅+∆⋅⋅−=+⋅+⋅−= ∫∫ SnDSnDdsnDdsnDSS

Pentru S1: dsnsd 12−= ⇒ nn DD 21 = (7)

Pentru S2: dsnsd 12= Se conservă componenta normală a lui D la suprafaŃa de separaŃie a două

medii.

Page 26: Bazele Electrotehnicii Curs 1

26

Σct

grad

VE

VE=⇒

=

−=

0

⇒==⋅=n

n

n

n

t

n

n

t

D

DD

D

E

E

E

E

tg

tg

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1 εε

ε

εαα

2

1

2

1

εε

αα

=tg

tg (8)

ED ⋅= ε RelaŃia (8) reprezintă teorema refracŃiei câmpului electric la suprafaŃa de separaŃie a două medii.

Comportarea corpurilor conductoare în câmp electric Corpurile conductoare prezintă următoarele particularităŃi:

1. densitatea volumică de sarcină electrică este întotdeauna zero 0=Vρ ; sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafaŃa conductoare 0≠Sρ ;

2. intensitatea câmpului electric în interiorul corpurilor conductoare este zero. 0int =E ;

3. copurile conductoare sunt echipotenŃiale: toate punctele lor au acelaşi potenŃial .ctV = ;

4. intensitatea câmpului electric pe frontiera corpurilor conductoare este perpendiculară pe aceasta: extnext EE = (componenta normală) şi

componenta tangenŃială 0=exttgE . Justificare: În electrostatică nu există deplasare de sarcini electrice. Toate sarcinile sunt în

repaus. În corpurile conductoare există −e liberi; pentru ca ei sa fie în repaus nu trebuie sa fie supuşi unor forŃe de natură electrică 00 =⇒=⋅= EEqF .

Considerăm un corp conductor şi construim în interiorul său o suprafaŃă închisă Σ aleasă arbitrar, pentru care să aplicăm teorema lui Gauss.

0εVqsdE =⋅∫

Σ

; 00 =⇒= VqE - nu avem

sarcini electrice în volumul corpului

Întrucât componenta tangenŃială se conservă şi dacă în interiorul corpului

aceasta este zero ⇒ că şi la exterior aceasta este zero 0=exttE .

ConsecinŃe: 1)Ecranarea electrică spre interior

••

ctV =A

B

conductor corp

cavitatedl

0≠E ext

Page 27: Bazele Electrotehnicii Curs 1

27

Se consideră un corp conductor în care este practicată o cavitate, corpul fiind amplasat într-un câmp electric exterior.

00 =⇒=⋅=− ∫ cav

B

A

BA EldEVV

Dacă se aleg pe frontiera cavităŃi două puncte oarecare şi se exprimă diferenŃa de potenŃial între ele integrând pe curbe arbitrare rezultatul ne conduce la concluzia că funcŃia de sub integrală, respectiv E trebuie să fie 0; deci E în interiorul cavităŃii este nulă⇒ o persoană aflată în interiorul cavităŃii este protejată total faŃă de acŃiunea câmpului electric; pe de altă parte dacă atingem oricare două puncte de pe frontiera cavităŃii diferenŃa de potenŃial va fi 0 iar pericolul de electrocutare este nul.

Acest sistem de protecŃie se mai numeşte „cuşca lui Faraday”, iar efectul de ecran se păstrează chiar dacă avem de-a face cu o plasă de sârmă, tablă perforată, etc.

2)Ecranarea electrică spre exterior Echipamentele electrice în care există tensiuni periculoase se închid de regulă

în carcase metalice conectate galvanic la pământ.

Carcasa metalică împreună cu pământul formează un singur corp conductor care este echipotenŃial; atunci o persoană care atinge carcasa nu este supusă unei diferenŃe de potenŃial faŃă de pământ, neexistând pericolul de electrocutare. În masa carcasei metalice sarcinile se distribuie conform figurii.

Sisteme conductoare în câmp electric

q+−

−−−

−−

− − − −−−

++

+

++ + + +

++

++

+++

0=V

0=∆

0=V

0=V

metalic ă carcas ă

potenŃialul pământului este nul

0=V

vq 11 vq 22

vq nn

1 2

n

U n0

VU 110=

VVU 2112−=

corpuri conductoare

suprafaŃa pământului

Page 28: Bazele Electrotehnicii Curs 1

28

0 jiij ≠<α

Se consideră n corpuri conductoare care au potenŃialele nVVV ⋅⋅⋅⋅⋅,, 21 .

Sarcinile de pe fiecare corp sunt nqqq ⋅⋅⋅⋅⋅,, 21 . PotenŃialul fiecărui se poate exprima conform teoremei superpoziŃiei. nVVVV 112111 ⋅⋅⋅⋅⋅++=

11V - potenŃialul ( componenta potenŃialului) măsurat pe corpul 1 şi datorat numai sarcinii 1q în absenŃa celorlalte;

12V - componenta potenŃialului măsurat pe corpul 1 şi datorat sarcinii 2q în absenŃa celorlalte.

=

=

L

21212

11111

qV

qV

α

α

ijα - coeficientul de potenŃial; 0>jjα ;

+++=

+++=

nnnnnn

nn

qqqV

qqqV

ααα

ααα

L

M

L

2211

12121111

(1)

EcuaŃiile (1) reprezintă ecuaŃiile lui Maxwell pentru potenŃiale (prima formă a ecuaŃiilor lui Maxwell).

Se rezolvă sistemul (1)

+++=

+++=

nnnnnn

nn

VVVq

VVVq

βββ

βββ

L

M

L

2211

12121111

(2)

EcuaŃiile (2) reprezintă a doua formă a ecuaŃiilor lui Maxwell. =βij coeficienŃii de influenŃă electrostatică (coeficienŃi de capacitate)

0;0 <> ββ ijij pentru (i≠ j)

111111311311211212121111 VVVVVVVVVq nnnn βββββββββ −++−+−++++= LL ( ) ( ) ( ) ( )nnn VVVVVVVq −−−−−−−+++= 11311321121112111 ββββββ LL

+++=

+++=

002211

11121210101

nnnnnnn

nn

UCUCUCq

UCUCUCq

L

M

L

(3)

02010 ,,, nCCC ⋅⋅⋅ - capacităŃile parŃiale ale fiecărui corp faŃă de pământ;

ijC - capacitatea parŃială a corpului i faŃă de j. ProprietăŃi ale capacităŃilor parŃiale

1. 0,,, 02010 >nCCC K 2. ),1(,,0 njiCij ∈∀> 3. C jiCij = - relaŃia de reciprocitate

4. Valorile Cij depind numai de configuraŃia geometrică a sistemului de

conductoare şi de natura mediului în care sunt amplasate şi nu depind de sarcini sau de potenŃial.

Page 29: Bazele Electrotehnicii Curs 1

29

Condensatorul electric DefiniŃie: Condensatorul electric este un sistem de două conductoare separate

printr-un material dielectric care îndeplinesc condiŃia 021 =+ qq . ConsecinŃă: Câmpul electric între cele două conductoare este un câmp

complet, adică toate liniile de câmp care pornesc de pe un conductor ajung pe celălalt. Cele două conductoare se numesc armături.

021 =+ qq (4)

Din (3)

+=

+=⇒

202021212

121210101

UCUCq

UCUCq

(4) 02010 =≅⇒ CC CCC == 2112 ⇒ UCq ⋅= (5)

UUU =−= 2112 U

qC = (6)

qq =1 ; qq −=2 C este capacitatea electrică a condensatorului şi reprezintă factorul de

proporŃionalitate între sarcină şi tensiune. Capacitatea depinde numai de geometria condensatorului şi de natura dielectricului; nu depinde de sarcină şi nici de tensiune.

Simbolul grafic al condensatorului:

Calculul capacităŃii condensatoarelor Capacitatea nu depinde de sarcină sau tensiune, ci numai de forma şi

dimensiunile condensatorului, precum şi de natura dielectricului. Pentru calculul capacităŃii unui condensator dat se parcurg următoarele etape:

1. se consideră condensatorul încărcat cu o sarcină de valoare arbitrară +q, respectiv –q;

2. se calculează inducŃia electrică a câmpului creat de aceste sarcini în zona dielectricului → se calculează E; K=→= EED rεε 0

3. se calculează diferenŃa de potenŃial între cele două armături:

ldEVVU ⋅=−= ∫2

121

4. se exprimă capacitatea cu relaŃia (6). Sarcina q se va simplifica.

Exemple: 1) Condensatorul plan cu un singur dielectric

Se dă: S; d; rε . Se cere C. q arbitrar

Se poate aplica legea fluxului electric pentru calculul lui D

ΣΣ

=⋅∫ qsdD

q+ q−

U

q+ q−

U

− − − −q+

q−

A

B

Dε r

S1

S 2

S

d

Σ

Page 30: Bazele Electrotehnicii Curs 1

30

SSS l∪∪=Σ 21

A

B

E

dld

Se îmbracă armătura superioară cu o suprafaŃă închisă de formă

paralelipipedică. Pentru această suprafaŃă se aplică legea fluxului electric. Se Ńine seama că avem un câmp electric complet, adică toate liniile de câmp care pornesc de pe armătura încărcată cu sarcini pozitive ajung pe cealaltă armătură. Se consideră că în afara dielectricului câmpul electric este nul.

; qq =Σ

DSdsDdsDsdDsdDsdDsdDsdDSSSSSS l

==⋅⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫Σ 11121

0cos

Pe suprafeŃele S2 şi Sl 0=D .

S

qDqSD =⇒=⋅ ;

S

qDE

rr εεεε 00

==

dS

qdl

S

q

dlEldEVVU

r

d

r

dB

A

εεεε 00 0

021 0cos

∫∫

==

=⋅⋅=⋅=−=

d

S

dS

qq

C r

r

εε

εε

0

0

==

2) Condensatorul plan cu dielectric stratificat

Se dă S , 1d , nd⋅⋅⋅ , rnr εε K,1 Se cere capacitate. q arbitrar.

S

qD =

S

qDE

S

qDE

S

qDE

rnrnn

rr

rr

εεεε

εεεε

εεεε

00

20202

10101

==

==

==

L

d1

d2

dn

ε1 ε2

εn

+q

-q

A

B

Page 31: Bazele Electrotehnicii Curs 1

31

∫∫∫∫++++

+++

+ −

⋅++⋅+⋅=⋅=−nnq

n

dddd

ddd

dd

d

dB

A

ldEldEldEldEVV11

121

21

1

1

021

L

L

L

=+++=−⇒⋅⋅=⋅ nndEdEdEVVdlEldE L2211210cos

+++=

rn

n

rr

ddd

S

q

εεεεL

2

2

1

1

0

21 VV

qC

−= ⇒

∑=

=n

k rk

kd

SC

1

0

ε

ε

3) Condensatorul sferic Se dau: două sfere conductoare cu raze 21 ,RR şi εr. Se cere capacitatea C. q - arbitrar. Câmpul electric are simetrie sferică datorită formei armăturilor; pentru calculul lui se aplică legea fluxului electric.

Pentru asta construim o sferă (suprafaŃă sferică concentrică cu armaturile). 21 RrR << .

qsdD =⋅∫Σ

dsDdsDsdD ⋅=⋅⋅=⋅ 0cos 24 rDdsDsdD π⋅=⋅=⋅ ∫∫

ΣΣ

22

44

r

qDqrD

ππ =⇒=⋅⋅

200 4 r

qDE

rr επεεε==

∫∫ ∫∫ ==⋅⋅=⋅=−=2

1

2

1

2

1

20

20

211

440cos

R

Rr

R

R

R

R r

B

A

drr

qdr

r

qdrErdEVVU

επεεπε

−=⇒

210

114 RR

qU

rεπε

==

210

114 RR

q

q

U

qC

rεπε

⇒12

2104RR

RRC r

−=

επε

Σ

ε r

R1

R2

A

B

rsd D

Page 32: Bazele Electrotehnicii Curs 1

32

SSS l∪∪Σ =21

4) Condensatorul cilindric

Se dă: rlRR ε,,, 21 . Se cere C. q - arbitrar Câmpul electric în dielectric are simetrie cilindrică datorită formei. Σ - suprafaŃă cilindrică de rază r, 21 RrR <<

rlDdsDdsDsdDsdDsdDsdDsdDllll SSSSSS

π20cos21

⋅==⋅⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫Σ

Pe suprafeŃele S1 şi S2 0=D .

rl

qDqrlD

ππ

22 =⇒=⋅

rl

qDE

rr επεεε 00 2==

===⋅⋅=⋅=−= ∫∫∫∫ drrl

qdr

rl

qdrErdEVVU

R

Rr

R

R r

R

R

B

A

2

1

2

1

2

1

122

0cos00

21 επεεπε

( )1

2

012

0

ln2

lnln2 R

R

l

qRR

l

q

rr επεεπε=−=

⇒=

1

2

0

ln2 R

R

l

qq

C

rεπε 1

2

0

ln

2

R

Rl

C rεπε=

CS

1= - elastanŃă [ ] FC SI 1= (Farad)

AB1R

2R

Σ

sdD

h

q−

q+

Σ

sdD

1S

2S

Sl

Page 33: Bazele Electrotehnicii Curs 1

33

A B

U

q→

U

q→

A B

U

q→

Sisteme de condensatoare Un sistem de condensatoare este un ansamblu format din mai multe

condensatoare conectate care poate avea sau nu borne exterioare şi care îndeplineşte o anumită funcŃie.

Sisteme de condensatoare cu două borne exterioare

Două sisteme de condensatoare cu borne exterioare sunt echivalente(„≡”) dacă prin aplicarea aceleiaşi diferenŃe de potenŃial între borne se absorb aceleaşi sarcini electrice.

A) Sisteme de condensatoare conectate în paralel. Capacitate echivalentă

Se dă nCCC ,,, 21 ⋅⋅⋅ conectate în paralel. Se cere capacitatea echivalentă

UCq 11 = ; UCq 22 = ; … UCq nn = CondiŃia de echivalenŃă: qqqq n =+++ L21

UCq p=

U

UCUCUCUC np

121 ⋅+++= L

∑=

=+++=n

kknp CCCCC

121 L

1q gCL

2q

nq

2CL

nCL

A BpCq+ q−

U

C1

C2

Cn

-q1

-q2

-qn

A B

Page 34: Bazele Electrotehnicii Curs 1

34

⋅⋅⋅A B

1C

q+ q− q+ q− q+ q− q+ q−2C 3C nC

1U 2U 3UnU

U

A Bq+ q−sqC

U

1C

SC

1

3C

4CrC

pCC

B) Sisteme de condensatoare conectate în serie. Capacitatea echivalentă

Se dă: nCC ⋅⋅⋅1 în serie. Se cere SC .

11 C

qU = ;

22 C

qU = …

nn C

qU =

⇒⋅+++==qC

q

C

q

C

q

C

qU

ns

1

21

L ∑=

=+++=n

k kns CCCCC 121

11111L

nUUUU +++= L21 (teorema potenŃialului)

∑=

=n

kks SS

1

(S-elastanŃa)

C) Conexiuni mixte paralel-serie (exemplu)

32

321

32

32

321

111CC

CCC

CC

CC

CCC ss +

=⇒+

=+=

5432

325411 CC

CC

CCCCCC sp ++

+=++=

p

p

p CC

CCC

CCC +=⇒+=

1

1

11

111

1C

2C 3C

4C

5C

C=?

Page 35: Bazele Electrotehnicii Curs 1

35

15432

32

5432

321

CCCCC

CC

CCCC

CCC

C+++

+

++

+=

Sisteme de condensatoare fără borne de acces (ReŃele izolate de conductoare) ConŃin atât condensatoare cât şi surse de tensiune interconectate. Se cunosc capacităŃile condensatoarelor reŃelei şi tensiunile surselor şi se

urmăreşte găsirea distribuŃiei sarcinilor electrice pe condensatoarele reŃelei. Pentru a rezolva această categorie de probleme se utilizează teoremele lui Kirchhoff pentru reŃele de condensatoare.

T1 Sarcina totală delimitată de o suprafaŃă închisă care nu are fire de conexiune, ci se închide numai prin armăturile condensatoarelor şi prin aerul sau vidul din vecinătate se conservă.

ctqk =∑ T2 Suma tensiunilor la bornele elementelor care formează o buclă a reŃelei

este zero. 0=∑ kU

Se dă: 41 ., CC ⋅⋅⋅ şi 0U Se cere: 41 ,, qq ⋅⋅⋅ şi

41 ,, UU ⋅⋅⋅

Etape de rezolvare: • se consideră condensatoarele încărcate cu sarcinile 41 ,, qq ⋅⋅⋅ şi se stabilesc

polarităŃile arbitrare. Recomandare! Armăturile conectate la borne de o anumită polaritate ale surselor se vor încărca cu sarcini de aceeaşi polaritate;

• se aplică teorema a doua a lui Kirchhoff pentru toate ochiurile reŃelei. Ochi = buclă care nu conŃine laturi diagonale. Pentru fiecare ochi se alege un sens convenŃional de parcurgere. Tensiunile la bornele condensatorului se consideră orientate de la armăturile

pozitive spre cele negative. o1 : 0021 =−+ UUU o2 : 0243 =−+ UUU • se construiesc atâtea suprafeŃe închise prin dielectricii condensatorului cât

este necesar pentru a completa sistemul de ecuaŃii cu expresii date de T1. nr. de necunoscute = 4 nr. de ecuaŃii deja construite = 2 nr. de ecuaŃii necesare = 4-2 = 2

q+

q+

q−

q−

q+ q−

U 0 o1 o2

q+

q−

U1

U 2

U 3

U 4

C1

C2

C3

C 4

+

1 1

2

2

3

3

4

4

Σ1

Σ2

Page 36: Bazele Electrotehnicii Curs 1

36

⇒ două suprafeŃe închise Σ1şi Σ2 ( ) 0: 431 =+−Σ qq

( ) 0: 3212 =++−Σ qqq

• se rezolvă sistemul de ecuaŃii: )41( K== kC

qU

k

kk

=++−

=+−

=++−

=+

00

0

321

43

4

4

3

3

2

2

02

2

1

1

qqq

qqC

q

C

q

C

q

UC

q

C

q

=

=

=

=

????

4

3

2

1

q

q

q

q

Energie în câmp electric 1) Sistem de n sarcini punctiforme Energia câmpului electric corespunzătoare unui sistem de sarcini punctiforme

este numeric egală cu lucrul mecanic necesar a fi efectuat din exterior pentru a încărca corpurile respective cu sarcină electrică.

01 =L

( )

120

122222

22

412

1212

12

R

qqLVqldEq

ldEqldFldFL

R

RR

R

πε=⇒=⋅+=

=−−=⋅−=⋅=

∫∫∫∞

∞∞

+==

230

2

130

13333 44 R

q

R

qqVqL

πεπε

Pentru aducerea sarcinii în punctul 3M se efectuează un lucru mecanic care trebuie să învingă forŃele de natură electrică de interacŃiune atât între 3q şi 1q , cât şi între 3q şi 2q .

3V este potenŃialul câmpului electric în punctul 3M datorat prezenŃei lui 1q şi

2q .

∑−

=

==1

1 04

n

k kn

knnnn R

qqVqL

πε

∑ ∑∑=

==

==n

j

j

k kj

kj

n

jje R

qqLW

1

1

1 01 4πε

jkkj RR = Dublăm numărul de termeni ai sumei,

∑∑ ∑∑∑==

≠==

≠=

===⇒n

jjj

n

j

n

jkk kj

kj

n

j

n

jkk kj

kje Vq

R

qq

R

qqW

11 1 01 1 0 21

421

421

πεπε

q1

q2

M3

M1

M2

R12

R13

R23 F

q3

Page 37: Bazele Electrotehnicii Curs 1

37

ρV

V S

ρS

C

ρl

••••

Σ1

q1

V 1

Σ2

Σn

q2

qn

V 2

V n

∑=

=n

jjje VqW

121

JW SIe 1=>< (Joule)

Exemplu:

321 LLLWe ++= 01 =L

++⋅=

230

2

130

13

120

122 444 R

q

R

qq

R

qqL

πεπεπε

=

+++++=

320

23

310

13

210

12

230

32

130

31

120

21

44444421

R

qq

R

qq

R

qq

R

qq

R

qq

R

qq

πεπεπεπεπεπε

∑∑= =

=3

1

3

1 0421

j k jk

kj

R

qq

πε

2)DistribuŃii oarecare de sarcini electrice

Prin analogie ∫∫∫ ++=)()()( 2

121

21

C

l

S

S

V

Ve VdlVdsVdvW ρρρ

3) Sisteme de n corpuri conductoare (sarcini distribuite pe suprafeŃe echipotenŃiale)

Page 38: Bazele Electrotehnicii Curs 1

38

q+

q−

E

D

S

U

d

⋅=

⋅= ∑ ∫∑ ∫

= Σ= Σ

n

kSk

n

kSe

k

kkdsVdsVW

11 21

21

ρρ ∑=

⋅=n

kkke VqW

121

Caz particular: 2=n (condensatorul)

qq +=1 ; qq −=2

( ) ( )⇒−=+= 212211 21

21

VVqVqVqWe qUWe 21

=

⇒= CUq 2

21CUWe =

⇒=C

qU

C

qWe

2

21

=

Densitatea volumică de energie a câmpului electrostatic

ole

e

VDEDSEdW

dEU

DSqS

qD

qUW

⋅==⇒

⋅=

=⇒=

=

21

21

21

,unde Vol –volumul dielectricului

0cos⋅⋅=⋅ EDED

olVEDW ⋅

⋅=21

ole VwW ⋅= EDwe ⋅=21

we – densitatea volumică de energie a câmpului electric; [ ] =SIew 1J/m3

Expresia energiei câmpului electrostatic poate fi generalizată pentru o distribuŃie de sarcini sub forma:

∫ ⋅=)(V

ee dvwW ; EDwe ⋅=21

,

unde (V) – domeniul ocupat de câmpul electric la care ne referim.

Page 39: Bazele Electrotehnicii Curs 1

39

Teoremele forŃelor generalizate în câmp electrostatic Coordonate generalizate Reprezintă ansamblul de mărimi scalare (cu dimensiuni de lungime sau

unghiuri) care caracterizează forma şi dimensiunile unui ansamblu de corpuri încărcate cu sarcini electrice.

⋅⋅⋅,, 21 xx NoŃiunea de forŃe generalizate ForŃele generalizate sunt forŃe mecanice sau cupluri care tind să modifice

coordonatele generalizate. ⋅⋅⋅,, 21 XX

kkk dxXL =δ - lucrul mecanic elementar efectuat de forŃa generalizată kX

ObservaŃie: Semnul forŃei generalizate se consideră pozitiv dacă ea acŃionează în sensul creşterii coordonatelor generalizate corespunzătoare.

XF ≡

xd ≡

T1- Teorema întâi a forŃelor generalizate EnunŃ: ForŃa generalizată care acŃionează în sensul creşterii coordonatelor

generalizate corespunzătoare este egală şi de semn contrar cu derivata energiei câmpului electrostatic în raport cu coordonatele generalizate.

ctqk

ek x

WX

=∂

∂−=

T2 - Teorema a doua a forŃelor generalizate EnunŃ: ForŃa generalizată care acŃionează în sensul creşterii coordonatelor

generalizate corespunzătoare este egală cu derivata energiei câmpului electrostatic în raport cu coordonata generalizată, calculată în condiŃiile menŃinerii constante a potenŃialelor.

ctVk

ek x

WX

=∂

∂+=

În cazul teoremei întâi, sistemul este izolat faŃă de exterior aşa încât nu apare transport de sarcină, iar în cazul teoremei a doua are loc transport de sarcină între sistem şi exterior, care duce la schimbarea stării acestuia.

q+

q−

Fd

Page 40: Bazele Electrotehnicii Curs 1

40

Ud

S

αR R

S

α

Exemple de calcul a forŃelor generalizate 1) Calculul forŃei ce tinde să modifice distanŃa dintre armăturile unui

condensator plan

Caz1: q = ct Se aplică tensiunea U provenită de la o sursă de tensiune. Ca urmare,

condensatorul se încarcă cu sarcina CUq = ; după care se îndepărtează sursa de tensiune şi condensatorul rămâne izolat.

S

dqW

d

SC

C

qW

re

r

e

εεεε 0

2

0

2

212

1

⋅=⇒

=

⋅=

⇒<⋅−=

∂∂

−=∂

∂−=

=

021

21

0

2

0

2

S

q

S

dq

td

WF

rrctq

e

εεεε ForŃa acŃionează în

sensul scăderii lui d

Caz2: V=ct. Se aplică tensiunea provenită de la o sursă care rămâne conectată permanent la

borne.

202

21

21

Ud

SCUW r

e

εε==

⇒<−=

∂∂

⋅=∂

∂+=

=

0211

21

2

202

0d

SU

ddSU

d

WF r

r

ctV

e εεεε ForŃa acŃionează

în sensul scăderii lui d 2) Voltmetrul electrostatic

q+

q−

F

S

d

Page 41: Bazele Electrotehnicii Curs 1

41

22

2

22

2

RRS

S

R

απ

απα

ππ

==

KKKK

KKK

<α>SI = 1 rad

U = ct.⇒ aplicăm T2

2

21CUWe =

2

200 R

dd

SC rr αεεεε

⋅==

⇒>⋅=⋅

=

⋅⋅⋅

∂∂

=∂∂

===

041

221 22

202

20 UkU

d

RU

R

d

WMX rr

ctU

εεαεεαα

M (cuplul mecanic) acŃionează în sensul creşterii unghiului α

Page 42: Bazele Electrotehnicii Curs 1

42

ELECTROCINETICA

Sarcinile electrice pot avea o mişcare ordonată:

• mişcarea electronilor acceleraŃi într-un tub catodic; • deplasarea particulelor pozitive(protoni) într-un accelerator de

particule; • deplasarea electronilor liberi în corpurile conductoare; • deplasarea electronilor şi golurilor în semiconductoare; • deplasarea ionilor + şi – în soluŃiile electrolitice; • deplasarea cu viteză, macroscopică a corpurilor încărcate cu sarcini

electrice; • deplasarea unei bile electrizate.

Electrocinetica studiază fenomenele legate de deplasarea electronilor liberi în corpuri conductoare.

Deplasarea ordonată a purtătorilor de sarcini în corpuri conductoare se numeşte conducŃie electrică. Se foloseşte explicit:”conductoare în stare de conducŃie electrică”.

În cadrul acestui capitol se vor trata cu precădere fenomenele aferente regimului staŃionar, caracterizat prin:

viteză medie constantă a purtătorilor de sarcini ctv = ; mărimile ce caracterizează fenomenele sunt invariabile în raport cu

timpul ( ) 0=⋅∂∂t

;

fenomenele sunt însoŃite de schimb de energie sub formă de căldură cu mediul înconjurător 0≠Q .

Mărimea fizică ce caracterizează starea de conducŃie este intensitatea curentului electric. Intensitatea curentului electric este prin definiŃie numeric egală cu sarcina −e transportată prin secŃiunea transversală în unitatea de timp.

dt

dq

t

qi

t=

∆∆

=→∆ 0

lim (1) Ai SI 1=>< s

CA

11

1 =

„i” este o mărime primitivă, iar amperul este intensitatea curentului care transportă cantitatea de sarcină de 1C în timp de o secundă prin secŃiunea transversală a unui conductor.

Fenomenul de conducŃie electrică nu poate fi perceput de simŃurile umane decât prin intermediul efectelor acestuia: efectul caloric; efect luminos; efect mecanic; efect chimic.

DefiniŃia Amperului: 1 Amper absolut este intensitatea curentului care, trecând printr-o baie de

electroliză cu nitrat de argint (AgNO3), provoacă depunerea la catod a unei cantităŃi de argint de 1,118 mg/s.

DefiniŃia amperului internaŃional 1 Amper internaŃional este intensitatea curentului care parcurgând două

conductoare rectilinii, paralele şi de lungime infinită, aflate la distanŃă de un metru între ele provoacă o forŃă de interacŃiune între cele conductoare de 7102 −⋅ N/m (pe

Page 43: Bazele Electrotehnicii Curs 1

43

A1 A1

m1

m1mNF /102 7−⋅=

metru de lungime). Dacă cei doi curenŃi au acelaşi sens forŃa este de atracŃie, iar dacă sunt de sens opus forŃa este de respingere.

ExplicaŃia microscopică a fenomenului de conducŃie lSV ∆⋅=∆ (volum)

Electronii liberi se deplasează în reŃeaua cristalină a conductorului sub acŃiunea câmpului electric cu mişcare uniform accelerată. Mişcarea este întreruptă de ciocniri cu reŃeaua cristalină, în urma cărora electronii îşi pierd întreaga energie cinetică.

Fiecare ciocnire este urmată de o nouă mişcare accelerată. ct - durata între două ciocniri succesive

ccc

tavtvtt

tatv⋅==⇒

=

⋅=max)(

)(

220 max c

med

tavvv

⋅=

+== (2)

q∆ - sarcina electrică totală existentă în volumul V∆ VNqq e ∆⋅⋅=∆

Cqe19106,1 −⋅= - sarcina elementară

N-concentraŃia de electroni liberi pe unitatea de volum N 2910≈ purtători liberi pe m3.

tvl ∆⋅=∆ , v – viteza medie Din definiŃia (1),

SjSvNqvSNqt

tvSNq

t

qi ee

e

tt⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

∆⋅⋅⋅⋅=

∆∆

=→∆→∆

)()(

limlim00

vvNqj e ⋅=⋅⋅= ρ (3)

S

ij = - densitatea de curent este proporŃională cu viteza medie a purtătorilor

de sarcină; mărime vectorială al cărei sens este opus sensului de deplasare al electronilor. Este o convenŃie. 2/1 mAj >=<

S

l∆

v∆

i

Page 44: Bazele Electrotehnicii Curs 1

44

ObservaŃie: „i” este mărime scalară, dar afectată de semn. Intensitatea este

pozitivă dacă corespunde sensului de deplasarea al sarcinilor pozitive. Dacă densitatea de curent „j” nu este constantă în secŃiunea transversală a unui conductor, atunci intensitatea curentului electric se calculează cu expresia:

sdjiS∫ ⋅=

)(

(4)

Problemă: Se dă secŃiunea 21mmS = ; Ai 6,1= Se cere ?=J ; ?=v

26

26 106,110

6,1m

A

m

A

S

iJ ⋅===

Din (3) smNq

Jv

e

/1010106,1

106,1 42919

6−

−=

⋅⋅

⋅=

⋅=⇒

ObservaŃie: Deşi viteza medie a purtătorilor este de 310− , 410− m/s, curentul electric se propagă în conductor cu viteza luminii: sm /103 8⋅ .

Legea conservării sarcinii electrice Se studiază cazul general în care există atât curent electric de conducŃie, cât şi

curent de convecŃie. Curentul de convecŃie corespunde purtătorilor de sarcini care se deplasează în vid sau gaze rarefiate (tubul catodic), dar şi corpurilor electrizate care se deplasează cu viteză macroscopică.

∫∫ ⋅=⋅=)()( S

V

S

cc sdvsdJi ρ

(intensitatea curentului electric de convenŃie)

vJ Vc ⋅= ρ (5)

(densitatea curentului electric de convecŃie) Vρ - densitatea volumică de sarcină

electrică v - viteza macroscopică medie

Se consideră o suprafaŃă închisă Σ străbătută de conductoare parcurse de

curenŃi de conducŃie şi prin care pot exista curenŃi de convecŃie. În interiorul suprafeŃei pot exista concentrări de sarcini electrice pe corpuri de

diferite forme. Legea conservării sarcinii este în acest caz :

( )dt

dqsdvJ V

Σ

Σ

−=⋅+∫ ρ (6) sau dt

dqi ΣΣ −= (6’)

(forma integrală a legii conservării sarcinii electrice)

S

j

i

S

i1

i2

q

Σ

S1 v

Page 45: Bazele Electrotehnicii Curs 1

45

sd

sd i1

i2

j

S1

S 2

Σ

curent de liniile

Este valabilă atât în regim staŃionar cât şi în regim variabil. EnunŃ: Curentul electric total care iese dintr-o suprafaŃă închisă ce

delimitează un sistem fizic neizolat este egal cu viteza de scădere a sarcini electrice totale din interiorul acelei suprafeŃe.

Curentul electric total este format din curentul de conducŃie şi din cel de convecŃie.

Cu formula Gauss-Ostrogradski (6) devine:

( ) ( )dvvJdivsdvJV

VV ∫∫Σ

⋅+=⋅+Σ

ρρ

∫∫ΣΣ∂

∂−=−=− Σ

V

V

V

V dvt

dvdt

d

dt

dq ρρ

⇒ ( )t

vJdiv VV ∂

∂−=⋅+ρ

ρ (7)- forma locală a legii conservării sarcinii

electrice Caz particular - pentru regim staŃionar:

=

=⋅⇒

∂= ∫

Σ

)9(0

)8(00V

Jdiv

sdJ

t

(formele integrală (8) şi locală (9) ale legii pentru regim staŃionar) ConsecinŃe: 1) ⇒= 0Jdiv liniile de curent sunt curbe închise. Liniile de curent sunt curbe imaginare la care J este tangent în orice punct.

Conductoarele aflate în regim electrocinetic nu au capete libere, ci formează în mod obligatoriu bucle.

2) Intensitatea curentului electric are aceeaşi valoare în orice secŃiune a aceluiaşi conductor filiform.

⇒=−⇒=⋅+⋅⇒=⋅ ∫∫∫Σ

000 21

21

iisdJsdJsdJSS

21 ii =

Page 46: Bazele Electrotehnicii Curs 1

46

l

1

2i

S

U

Legea conducŃiei electrice Purtătorii de sarcină electrică se deplasează atât sub acŃiunea câmpului

electric, forŃe de natură electrică, cât şi sub acŃiunea unor forŃe de natură neelectrică. neeleltot FFF +=

EqF eel = ; iee

neel

eneel Eqq

FqF ⋅=

=

Câmpul imprimat ( Ei ) este o mărime care are aceeaşi dimensiune ca şi intensitatea câmpului electric şi descrie acŃiunea forŃelor de natură neelectrică asupra purtătorilor de sarcină.

( )ietot EEqF +=

( )iee EEqam +=⋅ , a - acceleraŃia

(2) ct

va

⋅=⇒

2

( )c

eie t

vmEEq

⋅⋅=+2

(3) JNq

ve

⋅⋅

=⇒1

( ) JNtq

mEEJ

NqtmEEq

ce

ei

eceie ⋅

⋅⋅

⋅=+⇒⋅

⋅⋅⋅=+ 2

212

JEE i ⋅=+ ρ (10); ρ - rezistivitatea electrică, mSI Ω=>< 1ρ (Legea conducŃiei electrice în formă locală)

JEE i =+⇒= )(1

σρ

σ (10’)

σ - conductivitatea electrică , 111 −−Ω=>< mSIσ sau Siemens / metru

Câmpul imprimat se manifestă în conductoare neomogene şi poate fi de natură chimică (baterii alcaline) sau mecanică (generatoarele rotative de inducŃie electromagnetică).

Corpuri omogene:

JE ⋅= ρ (11)

JE =⋅σ (11’)

( ) ∫∫∫ =⋅⋅=+2

1

2

1

2

1 S

dli

S

SldJldEE i ρρ

SJi ⋅=

∫∫∫ =⋅+⋅2

1

2

1

2

1 S

dlildEldE i ρ

⇒ iReu ⋅=+ (12) RelaŃia (12) reprezintă forma integrală a legii conducŃiei electrice pentru o

porŃiune de conductor neomogen.

Page 47: Bazele Electrotehnicii Curs 1

47

• u - tensiunea la bornele porŃiuni de conductor; • e - forŃa (tensiunea) electromotoare, ce exprimă forŃele de natură

neelectrică; • R - rezistenŃa electrică a porŃiunii de conductor.

Pentru conductoarele de secŃiune constantă :

⇒=

=

.

.ct

ctS

ρ S

lR

⋅=ρ

(13)

Dacă se concentrează partea omogenă, respectiv cea neomogenă obŃinem

schema echivalentă din fig.:

Regim staŃionar: .ctu = ⇒ Uu ≡ , Ee ≡ , Ii ≡

IREU ⋅=+ (14) E - tensiunea electromotoare (nu intensitatea câmpului electric E !).

( )[ ]00 1 TT −+= αρρ (15) RelaŃia (15) arată dependenŃa rezistivităŃii în raport cu temperatura, valabilă în

domeniul temperaturilor uzuale pentru aplicaŃiile inginereşti. α - reprezintă coeficientul de temperatură; 0>α în general

0ρ - corespunde la KT 00 20273+=

m

mmmCu

228

0 107,1107,1Ω

⋅=Ω⋅≅ −−ρ

mAl Ω⋅≅ −80 104,2ρ

mAg Ω⋅≅ −80 106,1ρ

Constantan (aliaj) mΩ⋅≅→ −60 1050ρ

Există materiale care in vecinătatea temperaturii de 0 absolut prezintă fenomenul de supraconductibilitate, manifestat prin anularea rezistivităŃii ρ .

I R e

u

I R E

U

i

K10≈

ρ

T

15exp r

0

Page 48: Bazele Electrotehnicii Curs 1

48

l

1

2S

dv

dl V

Legea transformării energiei în procesul de conducŃie (Joule-Lenz)

lEqlFL eel ∆⋅=∆⋅=δ

tvl ∆⋅=∆ tvEqL e ∆⋅⋅=⇒ δ

(3) JNq

ve

⋅=→1

tJEN

L ∆⋅⋅⋅=⇒1

δ

Pentru unitatea de volum(N purtători elementari): tJELNL ∆⋅⋅=⋅= δδ '

JE ⋅ - reprezintă puterea pe unitatea de volum a unui material aflat în stare de conducŃie.

JEt

Lp

tj ⋅=

∆=

→∆

δ0

lim (16)

Această putere se transformă integral în căldură. RelaŃia (16) reprezintă forma locală a legii transformării energiei în procesul

de conducŃie electrică. EnunŃ: Puterea transformată în căldură corespunzătoare unităŃii de volum a

unui conductor aflat în stare de conducŃie este egală cu produsul scalar între E şi J.

23 111m

A

m

V

m

Wp SI ⋅==><

Pentru conductoarele omogene: ⇒⋅= JE ρ 2Jp j ⋅= ρ

Pentru conductoarele neomogene: ii EJEJEE −⋅=⇒⋅=+ ρρ

( ) gjii ppJEJJEJp −=⋅−⋅=⋅−= 2ρρ

gp - densitatea volumică a puterii corespunzătoare forŃelor neelectrice.

dvJEdvpVV

⋅⋅=⋅ ∫∫

dlSdvdvpPV

⋅=⋅= ∫

( ) uiPdlEidlSJEP ⋅=⇒⋅=⋅⋅= ∫∫2

1

2

1

Regim staŃionar: UIP ⋅= (17) (Forma integrală a legii transformării energiei)

Din relaŃia (14) ERIU −=⇒

( )⇒−= ERIIP EIRIP −= 2 (18)

Page 49: Bazele Electrotehnicii Curs 1

49

hKWJsWW ⋅=⋅=⋅⋅= 1106,3360010100 6

Forma (18) a legii exprimă faptul că puterea primită de o porŃiune de conductor filiform este egală cu suma dintre puterea disipată sub formă căldură ireversibil şi puterea generată de forŃele de natură neelectrică.

IEPg ⋅= - puterea generatorului ConvenŃii de semne şi sensuri pentru un dipol elementar

Expresia legii conducŃiei se corelează obligatoriu cu sensurile mărimilor, cele

două reprezentări fiind echivalente. Sensurile reale în cazul unor probleme complete, pot să fie diferite de sensurile

indicate pe desen, mărimile cu sens diferit rezultând cu semnul „-“ în urma calculelor.

0

02

<>=

>=

EIP

RIP

g

j

Ω=>< 1SIR (Ohm)

WP SI 1=>< (Watt)

Energia electrică Energia electrică consumată de o porŃiune de conductor aflat în stare de

conducŃie într-un interval oarecare de timp reprezintă integrala puterii în acel timp.

∫ ⋅=t

t

dtPW0

)(. 0ttPtPWctP −=∆⋅=⇒= JW SI 1=>< (Joule) 1s1W1J ⋅=

kWhW tehnic 1=>< JWssWhkW 663 106,3106,33600101 ⋅=⋅=⋅=⋅

Exemplu: Energia consumată de un bec cu putere nominală = W100 în 10 ore.

IREU =+ IREU =+−

U

I R EI R

E

U

Sensuri asociate după regula de la receptoare

Sensuri asociate după regula de la generatoare

0>Pq0<Pq

reale sensuri

Pg >0 Pg <0 E

E

I I

Page 50: Bazele Electrotehnicii Curs 1

50

Circuite electrice funcŃionând în regim staŃionar (circuite de curent continuu) Un circuit electric este un ansamblu de elemente conductoare interconectate

astfel încât să asigure conductoarelor intrări în stare de conducŃie (să existe porŃiuni neomogene şi să existe bucle închise). Este un obiect fizic.

Exemplu:

Schema electrică este reprezentarea grafică a unui circuit electric. Fiecărui element de circuit ideal i se asociază un simbol grafic. Elemente ideale de circuit

• Sursa ideală de tensiune

Sursa ideală de tensiune impune tensiunea între punctele în care este conectată, indiferent de structura circuitului din care face parte.

• Sursa ideală de curent

Sursa ideală de curent impune curentul prin latura de circuit din care face parte, indiferent de structura circuitului. I = J (a nu se confunda cu J ); AJ 1>=<

r

E

R

baterie

electrică schema

neomogenă parte

electriccircuit

omogenă parte

+

-

U

E

( )0=R

U = -E

U = E

sau

J

R → ∞

Page 51: Bazele Electrotehnicii Curs 1

51

IR

U

( )tu

( )ti L

( )tu

( )ti C( )

dt

duCti =

1E

3E

1I

1R

1n 2n

3n

1U

2U

2I 2R

3R

4I

4R

5I

5J

2b

1b

• Rezistorul ideal ⇒= 0E IRU ⋅=

RG

1= - conductanŃa electrică

SG SI 1=>< (Siemens), 1S = 1Ω -1

UGI ⋅=

• Bobina ideală L - inductanŃa

( )dt

diLtu =

În regim staŃionar:

)(00 itscurtcircuUdt

di=⇒=

→ Nu vom folosi bobina în acest capitol.

• Condensatorul ideal

În regim staŃionar: 00 =⇒= Idt

du(mers în

gol) → Nu vom folosi condensatorul în acest

capitol.

Elementele sunt concepte idealizate cu ajutorul cărora pot fi explicate fenomene reale. Un element de circuit ideal funcŃionează pe baza unei singure proprietăŃi considerată dominantă, neglijându-se efectele secundare.

Elemente de topologie a circuitelor electrice

Page 52: Bazele Electrotehnicii Curs 1

52

1n 2n

3n1b

2b

)1(

)2(

)3()4( )5(

1n 2n

3n

)2(

)4( )5()(a

Latură de circuit este o porŃiune fără ramificaŃii; ea poate să conŃină unul sau mai multe elemente; l - numărul de laturi.

Nod de circuit este un punct în care converg trei sau mai multe laturi.( 321 ,, nnn ); n - număr de noduri.

Buclă este un poligon format din laturi ale circuitului.(exemple:1-3; 1-2-4; 2-3-5)

Ochi de circuit este bucla care nu conŃine laturi interioare (exemple: 1-3; 2-3-4; 4-5).

1+−= nlo - numărul de ochiuri (relaŃia lui Euler) Circuitul electric se poate reprezenta grafic într-o formă simplificată prin

grafurile asociate.

Graful este o reprezentare simplificată, în care laturile circuitului sunt reprezentate prin arcuri cărora li se asociază sensuri în concordanŃă cu sensurile convenŃionale alese pentru curenŃi.

Subgraful este o parte a unui graf care nu conŃine toate laturile acesteia, în schimb el poate conŃine sau nu toate nodurile.

Exemplu:

Subgrafuri complementare sunt două sau mai multe subgrafuri ale aceluiaşi graf care împreună conŃin toate laturile grafului şi nu au nici o latură comună.

(a) şi (b) sunt complementare

Arborele este un subgraf ce conŃine toate nodurile grafului, dar nu conŃine bucle.

)(b

n1

n3

(a)

Page 53: Bazele Electrotehnicii Curs 1

53

1n2n

3n)1(

)2(

Arbore

)1(

)2(

)3(

)3( 3 buclab

)1(

)2(

4b

)1(

)2(

5b

)5(

1− 1+ 01+ 0

00 1− 1− 1−

1+ 0 1− 1+ 1+

1n

2n

3n

1l 2l 3l 4l 5l

=A

1−= nla (numărul de laturi

ale arborelui)

Laturile unui arbore se numesc ramuri.

Coarbore este subgraful complementar unui arbore. onllll ac =+−=−= 1

cl - coardele Prin adăugarea câte unei coarde la arbore se formează câte o buclă

independentă al cărei sens de parcurgere este impus de sensul coardei.

onllb c =+−== 1 (numărul de bucle independente) Descrierea topologiei prin matrice de conexiune 1) Matricea de incidenŃă laturi-noduri n - linii; l-coloane; lnA × Elementele matricei sunt:

• egale cu zero 0=jia dacă latura j nu este incidentă la nodul i;

• 1+=jia dacă latura j este incidentă la nodul i şi are sensul de ieşire din acesta;

• 1−=jia dacă latura j este incidentă la nodul i şi are sensul de intrare în acesta.

Liniile nu sunt liniar independente, ceea ce ne permite să păstrăm numai liniile independente ale matricei, fără să pierdem din informaŃie (n-1 linii)

Page 54: Bazele Electrotehnicii Curs 1

54

1−= nrangA

1−

1+

01+0

0 01− 1−

1− 01− 1+

3b

4b

5b

1l 2l 3l 4l 5l

=B0

0

−−−

++−=

1101000111

Ar- matricea rezistor

2)Matricea de conexiune laturi-bucle

lbB × 0=ijb (latura ij∉ )

1+=ijb (latura ij∈ şi are acelaşi sens cu aceasta)

1−=ijb (latura ij∈ , dar are sens contrar)

Matricea curenŃilor laturilor

[ ]

=

lI

I

I

IM

2

1

, [ ] 1×lI , l-numărul de laturi

Matricea (vectorul) tensiunilor laturilor

[ ]

=

lU

U

U

UM

2

1

, [ ] 1×lU

ObservaŃie: Sensurile tensiunilor coincid cu sensul curenŃilor. Sunt sensuri

convenŃionale care pot fi diferite de sensurile reale. Matricea(vectorul) potenŃialelor noduri Dacă potenŃialul unuia dintre noduri se alege ca referinŃă şi i se atribuie o

valoare arbitrară (preferabil valoarea zero), atunci acest potenŃial nu face parte din vectorul potenŃialelor nodurilor.

[ ]

=⇒=

−1

2

1

0

n

n

V

V

V

VVM

, [ ] 1)1( ×−= nV , n = numărul de noduri al circuitului

Page 55: Bazele Electrotehnicii Curs 1

55

Matricea tensiunilor electromotoare ale laturilor

[ ]

=

lE

E

E

EM

2

1

, [ ] 1×lE . Exemplu: [ ]

=

00

0

3

1

E

E

E

Matrice curenŃilor surselor ideale de curent

[ ]

=

lJ

J

J

JM

2

1

, [ ] 1×lJ . Exemplu: [ ]

=

5

0000

J

J

Matricea rezistenŃelor laturilor

[ ]

=

lR

R

R

R

K

MOMM

K

K

00

0000

2

1

, [ ] llR × .

Matricea conductanŃelor laturilor

[ ]

=

lG

G

G

G

K

MOMM

K

K

00

0000

2

1

, [ ] llG × . k

k RG

1=

RelaŃii matriceale utile: 1) 0=⋅=⋅ t

rt

r ABBA - matricea de incidenŃă laturi-noduri (redusă) Ar şi matricea de incidenŃă laturi-bucle B sunt ortogonale.

[ ] lnrA ×− )1( , [ ] [ ] bnbltB ×−× = )1(0 Λ≡rA

+−−

+−−

++

100110101100101

1l 2l 3l 4l 5l

4b3b

=B

−+

−−−

++++−

001011101011111 1n

2n

3n

1l 2l 3l 4l 5l

Page 56: Bazele Electrotehnicii Curs 1

56

=

=

=

++⇒−−=

⇒−−=

−−

−−

=

=

IIIIII

IIIIIIIIIII

IIIIIIII

III

IIIII

55

44

33

542542

15431

5

4

3

54

543

5

4

3

5

4

3

2

1

000010001110111

=

−−

−−

−−−

−=⋅Λ

000000

100010001110111

1101000111tB

2) [ ] [ ] [ ]VAU t ⋅=

[ ] [ ]213 0 VVV =⇒=

ObservaŃie: Matricea de incidenŃă laturi-noduri (redusă)Λ ( rA ) se obŃine eliminând linia corespunzătoare nodului ales cu referinŃa de potenŃial din matricea de incidenŃă laturi-noduri A.

3) [ ] [ ]Ct IBI ⋅= , IC - vectorul (matricea coloană) curenŃilor cu arborele

Exemplu:

=

5

4

3

I

I

I

IC - curenŃii arborelui. [ ] nbCI ×

Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite liniare de curent continuu Prima teoremă a lui Kirchhoff (Teorema curenŃilor): EnunŃ: Suma algebrică a intensităŃilor curenŃilor incidenŃi într-un nod de

circuit este zero.

+

=

=

VVVVVV

VV

UUUUU

2

2

1

21

2

1

5

4

3

2

1

1010

0111

01 VVVU 1131−=−=

VVU 212−=

VVVU 2235−=−=

Page 57: Bazele Electrotehnicii Curs 1

57

04321 =+−++ iiii

0)(

=∑∈ jnk

kI

0=⋅∫

Σ

sdJ - Regim staŃionar

+⋅⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫Σ 14321

0cosSsSSS

dsJsdJsdJsdJsdJsdJ

00cos0cos0cos 4321

432

=+−+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+ ∫∫∫ IIIIdsJdsJdsJSSS

Teorema a doua a lui Kirchhoff (Teorema tensiunilor) EnunŃ: Suma algebrică a tensiunilor la bornele laturilor care compun o buclă

de circuit este zero.

04321 =+−− UUUU

0)(

=∑∈ jbk

kU (1)- forma generală a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

1i2i

4i3i

)(nj

Σ

S1

S 2

S 3S 4

ds

ds

ds

I 1

I 2

I 3

I 4

J 3

J 1 ds

1E

3E

1I1R

1U

2U

2I

2R

4I

4R

3R3I

4U

convers

sens

bj

3U

1U 2U

3U4U

1n

2n

3n

4n

ΓdlSens

convenŃional

Page 58: Bazele Electrotehnicii Curs 1

58

U k

E kI k

DemonstraŃie: Se aplică teorema potenŃialului electric pentru regim staŃionar. Teorema este asemănătoare din punct de vedere formal cu teorema

potenŃialului electrostatic. 0=⋅∫

Γ

ldE

=+++=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫ ∫∫∫∫Γ

41342312

3

2

1

4

4

3

2

1

UUUUldEldEldEldEldEn

n

n

n

n

n

n

n

04321 =+−−= UUUU

Formă particulară a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

kkkk IREU ⋅=+

kkkk EIRU −⋅= (2)

Se înlocuieşte (2) în (1) ( ) ∑∑∑∑ −=−=⇒k

kk

kkk

kkkk

k EIREIRU

⇒=−∑∑ 0k

kk

kk EIR ∑∑ =k

kk

kk EIR

(forma particulară a teoremei a II-a a lui Kirchhoff)

EnunŃ: Suma algebrică a căderilor de tensiune la bornele rezistoarelor de pe laturile care compun o buclă de circuit este egală cu suma algebrică a tensiunilor electromotoare de pe acele laturi.

Ex: 3144332211 EEIRIRIRIR −=+−−

Teorema conservării puterilor în circuite de curent continuu EnunŃ: Suma puterilor primite de laturile circuitului este zero.

kkk UIP = - puterea primită de latura k

01

=∑=

l

kkkUI - forma generală

[ ] [ ] 0=⋅ UI t - forma matriceală

ll

l

t

l

UIUIUI

U

U

U

I

I

I

+++=

LMM

22112

1

2

1

Page 59: Bazele Electrotehnicii Curs 1

59

DemonstraŃie: [ ] [ ]ct IBI ⋅= [ ] [ ] BII t

ct ⋅=

[ ] [ ]VAU t ⋅= [ ] [ ] [ ] [ ] 0=⋅⋅⋅=⋅ VABIUI ttc

t

[ ]0=⋅ tAB Forma particulară:

( ) 011

2

1

=−=−⋅⇒−⋅= ∑∑∑===

l

kkk

l

kkk

l

kkkkkkkkk IEIREIRIEIRU

⇒ ∑∑==

=l

kkk

l

kkk IEIR

11

2 - forma particulară (bilanŃul puterilor)

EnunŃ: Suma puterilor consumate de toate rezistoarele circuitului este egală

cu suma totală a puterilor cedate de sursele de energie. Expresia matriceală a teoremei întâi a lui Kirchhoff pe întreg circuitul

[ ] [ ]

[ ] [ ] 1)1(1)1(

1)1(

0

0

×−××−

×−

=⋅Λ

nlln

n

I

I

Expresia matriceală a teoremei a II-a a lui Kirchhoff [ ] [ ] 10 ×=⋅ bUB - forma generală

[ ] [ ] 11 0 ××× =⋅ bllb UB

[ ] [ ] [ ] [ ]EIRUEIRU kkkk −⋅=⇒−= - Se înmulŃeşte cu B la stânga

[ ] [ ] [ ] [ ]⇒−⋅=⇒ EBIRBUB [ ] [ ] [ ]EBIRB =⋅ (forma particulară a teoremei a II-a a lui Kirchhoff.)

Analiza circuitelor liniare de curent continuu cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff Analiza unui circuit electric presupune calcularea curenŃilor şi tensiunilor

laturilor atunci când se cunosc: • natura elementelor componente; • modul de interconectare al lor (topologia circuitului); • parametrii elementelor componente 1) pentru elementele pasive - R. 2) pentru elementele active - E, J

Pentru analiza unui circuit cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se parcurg următoarele etape:

1)Se identifică elementele de topologie: numărul de laturi (l), numărul de

noduri (n), numărul de bucle independente (b). Laturile se indexează cu cifre arabe în ordine crescătoare, toate elementele

aceleiaşi laturi purtând ca indice indexul laturii respective. Nodurile circuitului se indexează cbannn ,,sau ,, 321 .

Page 60: Bazele Electrotehnicii Curs 1

60

Se aleg sensuri convenŃionale pentru curenŃii laturilor (sensul curentului ≡ sensul tensiunii electromotoare).

Se cere: 51 II K ; 51 UU K şi bilanŃul puterilor l =5; n =3; b = l-n+1 =3 Se identifică buclele independente şi se aleg sensuri convenŃionale de

parcurgere (sensuri arbitrare). 2) Se construiesc ( )1−n ecuaŃii cu teorema I a lui Kirchhoff. Se construiesc b ecuaŃii cu teorema a II-a a lui Kirchhoff. Ansamblul acestor ecuaŃii formează un sistem de ecuaŃii cu l necunoscute.

[ ][ ] [ ] [ ]EBIRBT

IT

=⋅

=⋅Λ

)(

0)(

2

1 ⇒ [ ] [ ] [ ][ ]

⋅=⋅

Λ ×−

EBI

RBn 1)1(0

(expresia matriceală a teoremelor lui Kirchhoff pentru întregul circuit) Pentru exemplu:

Ω=

Ω=

Ω=

Ω=

Ω=

=

=

=

1

4

4

2

2

8

12

12

5

4

3

2

1

4

2

1

RRRRREEE

V

V

V

1b

2b

3b

E1

E2

R1

R2R3

R4

R5

I 1

I 2

I 3

I 4

I 51n

2n

E4

n3

=

−−++

−−−=

−−

−−−=Λ 0

00111110011

4321

521

5

4

3

2

1

IIIIIII

IIIII

( )( )( )( )( )

−=−+

+=−++

−+=−+

=++−−

=−−−

EIRIRbEIRIRIRb

EEIRIRbIIIIn

IIIn

444333

25533222

2122111

43212

5211

:

:

:

0:

0:

−−

−−−

0111110011

1l 2l 5l4l3l

0110010111

00011=B 0

Page 61: Bazele Electrotehnicii Curs 1

61

[ ]

=

RR

RR

R

R

5

4

3

2

1

0

0

[ ]

=

=

4

2

21

4

2

1

0

00110010110

00011

E

E

EE

E

E

E

EB

3)Rezolvarea sistemului de ecuaŃii (De preferabil să se folosească forma matriceală şi să se aplice o metodă de

eliminare de tip Gauss) sau se poate aplica regula lui Cramer.) [ ] ⇒=⋅− NIMM 1 [ ] NMI ⋅= −1

)det(M=∆ ; ∆

∆= k

kI , k =1,2,…l

În urma calculelor

−=

=

=

=

=

A

A

A

A

A

IIIII

4

3

1

2

2

5

4

3

2

1

kkkk EIRU −=

−==

=−=

==

−=−=

−=−=

VIRU

VEIRU

VIRU

VEIRU

VEIRU

44

488

555

4444

333

2222

1111

[ ]

=

0110010110

00011

RB

RR

RR

R

5

4

3

2

1

0

0

=

00000

000

43

532

21

RRRRR

RR

[ ][ ]=IRB

00000

000

43

532

21

RRRRR

RR

=−

=−+

=−

=

0

0

0

4433

553322

2211

5

4

3

2

1

IRIRIRIRIR

IRIR

IIIII

Page 62: Bazele Electrotehnicii Curs 1

62

( ) 724134142222 222222

55

2

22

2

11=−+⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅⋅⋅++ IRIRIR

7238212212442211

=⋅+⋅+⋅=+⋅⋅⋅++ IEIEIE

ERI

U

Cele cu semnul „-” au sensurile reale opuse faŃă de sensurile convenŃionale alese la început.

4)Verificarea calculelor cu ajutorul bilanŃului puterilor

Puterea consumată:

Puterea cedată:

Metode operative de analiză a circuitelor liniare de curent continuu 1) Metoda curenŃilor de contur (metoda curenŃilor de buclă sau metoda

curenŃilor ciclici)

EIRUIREU −⋅=⇒⋅=+ Pentru întregul circuit:

(1) (2) Se înlocuieşte (2) în (1) după ce s-a înmulŃit expresia (1) la stânga cu matricea

B.

NotaŃie:

[ ]Rb bb×

- matricea rezistenŃelor buclelor

[ ]Eb b 1×-vectorul tensiunilor electromotoare ale buclelor

RelaŃiile ( )3 şi ( )3′ sunt expresiile metodei curenŃilor de contur, respectiv un

sistem de b ecuaŃii cu b necunoscute. Necunoscutele sunt curenŃii laturilor coarborelui asociat circuitului în număr 1+−= nlb .

∑ ∑= =

−5

1

5

1

2

k kkkkk IEIR

consumată putere

surse de cedată putere

[ ] [ ][ ] [ ]EIRBUB −=⋅ | [ ] [ ]IBI C

t=

[ ] [ ] [ ] [ ]EBIBRUB C

t−=

[ ] [ ]RBRB b

t=⋅ [ ] [ ]EEB b

=

[ ]EIR bCb=⋅ ( )3′

[ ] 0=UB [ ] [ ] [ ]EBIBRB C

t=−⇒(Teorema a II-a a lui Kirchhoff) (3)

Page 63: Bazele Electrotehnicii Curs 1

63

I C1

I C2 I C3

1b

2b3b

( ) EERIRRI CC 2122211+−=++

Aceşti curenŃi pot fi consideraŃi ca şi curenŃi fictivi care parcurg buclele formate prin adăugarea laturilor coarborelui la arbore ( bucle independente). După rezolvarea sistemului şi aflarea curenŃilor CI se calculează curenŃii tuturor laturilor cu ajutorul expresiei (2).

321 ,, ccc III - curenŃi de buclă

21 RR + - suma rezistenŃelor laturilor buclei parcurse de 1CI

2R - rezistenŃa laturii parcursă simultan de 21 , CC II

21 EE +− - suma algebrică a tensiunilor electromotoare de pe laturile buclei

Semnul celui de-al doilea termen ( R2 ) este „+” dacă 21 , CC II au acelaşi sens prin latura comună şi „-“ dacă au sensuri contrare.

ObservaŃie: Metoda nu se pretează pentru rezolvarea circuitelor care conŃin laturi de rezistenŃe infinite.

2) Metoda potenŃialelor noduri(metoda nodală) Se consideră laturile unui circuit de tip general care are următoarea

configuraŃie:

⋅=+−

=−+

⋅=+

1/2| 884

12472

1/2| 024

32

32C1

21

III

IIII

CC

C

CC

=+−

=−+

=+

22

12472

02

32

321

21

IIIII

II

CC

CCC

CC

A

A

II

IIIII

CC

CCC

C

32

2

422

1246

23

231

32

=+

=

=⇒=+−

=−⇒

A

A

A

A

A

IIII

IIIIII

II

C

C

CC

CC

C

4

3

1

2

2

25

34

323

212

11

−=−=

==

=−=

=+=

=−=

( )( )

=−+

+−+++

ERIRRIERIRIRRRI

CC

CCC

432433

233215322 |

IREU ′=+

EGUGI +=′

U

ER

I

A

J

I ′B

Page 64: Bazele Electrotehnicii Curs 1

64

JIIJII +=⇒=−− ′′ 0

JEGUGI ++=⇒

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JEGUGI +⋅+⋅= ( )4

[ ] [ ]VUt

Λ= ( )5

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛ

−⋅−=⇒=

+⋅+⋅=EGVG

IJEGVGI t

t

0( )6

[ ] [ ]ΛΛ=t

n GG

[ ] [ ] IVG S nn

=⋅ ( )6′

03=V

Teorema I a lui Kirchhoff în nodul A:

Se înlocuieşte (5) în (4) după ce s-a înmulŃit la stânga expresia (4) cu matricea

tΛ (matricea de incidenŃă laturi-noduri redusă).

- matricea conductanŃelor nodale

[ ] [ ][ ]EGI

nSΛ−= - vectorul curenŃilor de scurtcircuit nodali

Expresiile (6), respectiv (6’) reprezintă sistemul de ecuaŃii de dimensiuni 1−n care are ca necunoscute potenŃialele a 1−n dintre nodurile circuitului scrise compact sub forma vectorului V. PotenŃialul celui de-al n-lea nod este considerat ca referinŃă şi uzual i se atribuie valoarea zero.

( ) ( )6,6 ′ este expresia potenŃialelor nodurilor. După aflarea potenŃialelor se calculează curenŃii laturilor cu ajutorul relaŃiilor ( ) ( )5,4 .

Se alege potenŃialul de referinŃă şi i se atribuie valoarea zero.

( ) ( ) EGEGGGVGGGV 22112125211

+=+−++

521 GGG ++ - suma conductanŃelor tuturor laturilor incidente în nodul 1n .

2V - potenŃialul unui nod adiacent

21 GG + - suma conductanŃelor laturilor care unesc cele două noduri 1 şi 2. Termenii ce se referă la potenŃialele nodurilor adiacente au întotdeauna semnul

minus. Nod adiacent -este legat de nodul pentru care se scrie ecuaŃia printr-o latură

fără ramificaŃii (cel puŃin o latură).

111EGI S = curent de scurtcircuit a laturii 1.

Curentul de scurtcircuit al unei laturi este curentul care apare prin aceasta atunci când capetele ei se unesc cu un fir de rezistenŃă nulă.

REIEIR SS

1

111

11

=⇒=

I S1

n1

n2

Page 65: Bazele Electrotehnicii Curs 1

65

( )n

3R

( )1n

03

=I SE2

n1

n2

EGI S 222

=

( ) ( ) EGEGEGGGVGGGGV 44221121143212+−−=+−+++

GGG 521++

GG 21+−

GG 21+−

GGGG 4321+++

[ ]G n

VV

2

1

+−−

+=

EEGEGEGEG

42211

2211

[ ]V

I S n

66221

+=−VV2| ⋅266

23

21+−−=+− VV 2032

21−=+−⇒ VV

VVV 48222−=⇒−=⇒ VVVVV 44

2

1211

21

+=⇒+=+

( )( )( )( )( )( ) A

A

A

A

A

VVGIEVVGI

VVGIEVVGIEVVGI

EUGI kkkk

4

3

1

2

2

1355

42344

2333

31222

11211

−=−=

=+−=

=−=

=+−=

=+−=

+=

rrqq

F 321

4 επ=

E

+

E

mF

r

10941

9

0

πε

εεε

=

⋅=

CurenŃii de scurtcircuit se iau cu semnul „+” în membrul drept al ecuaŃiei nodale dacă sensul lor este către nod şi cu semnul „-” invers.

ObservaŃie: Metoda 2) nu se pretează pentru circuite care conŃin laturi de rezistenŃă nulă sau conductanŃă ∞ .

Seminar:

r - distanŃa de la sarcina 1q la 2q .

ε - permitivitate

Page 66: Bazele Electrotehnicii Curs 1

66

( )2cos1cos04

αααεπ

ρ+= lE x

x

VVE

∂∂

−=−∇=

[ ]r

qVmVEldEV

πε4;/; ==⋅= ∫

Γ

∫ ⋅−=P

P

ldEPVPV0

)()( 0

1) Se consideră un fir rectiliniu finit, încărcat uniform cu o sarcină electrică distribuită liniar, aflată în aer. Să se calculeze intensitatea câmpului electric E într-un punct aflat la distanŃa a de firul nostru.

CqvdqV

V1; =

= ∫ρ

EDq

sdE εε 00

; ==∫Σ

rq

EqEF επ 3

4=→=

ε r

α

1α−T

a

l r

M

dE

xEd

dE

dl

π

1

2

y

ldrr

rEdl

24 επρ

= αsinEdEd x= αcosEdEd y

=

αααα daldala

lctgctg

−==⇒= 2sin

; 1

( )∫−

∫−

+=−=

=⇒

=⇒=

2

1

2

12cos1cos

04sin

042sin

2

sin2sin

1

04

sinsin

α

απ

α

απαα

επ

ραα

επ

ρ

α

ααα

επ

ρ

αα

ald

al

a

dalEx

ar

r

a

ααεπρ

sinsin 2

04ld

rEdEd l

x−=

Page 67: Bazele Electrotehnicii Curs 1

67

( )∫−

∫−

−=−=

=2

1

2

12sin1sin

04cos

042sin

2

cos2sin

1

04

α

απ

α

απαα

επ

ραα

επ

ρ

α

ααα

επ

ρ

ald

al

a

dalE y

( )21

0

sinsin4

ααεπρ

−=aE l

y

0;cos0

21 2==⇒=− EaE y

lx

αεπρ

ααα

0;00

21 2==⇒== EaE y

lx επ

ραα

h

a 1n

2n

E

3nE

E

E

r1

ar I< ε 0

qsdE =∫

Σ

∫ ∫ ∫∫ ∫∫Σ

⋅===+++=S SS SS ll

rnEsdEsdEsdnEsdnEsdnEsdE iiiiii

2 31

13212π

∫ ∫ ===V V

vVV hrvdvdq 2

11 πρρρ

ερ

επρ

π0

1

0

2

1

1 22 r

Ehr

hrE Vi

Vi

=⇒=ερ

0

1

2r

E Vi=

ερ

0

1

2r

EV

i=

∫Σ

=ε 0

qsdE e

hrEsdEsdESS ll

eee 22∫∫ == π

Cazuri:

2) Se consideră un fir infinit lung cilindric cu raza a uniform încărcat cu o sarcină q cu densitatea Vρ , materialul având permeabilitatea .0ε

Să se calculeze intensitatea câmpului electric şi potenŃialul electric într-un punct aflat la distanŃa r de axa cilindrului. ??; == VE

I.

II. ar II

>

Page 68: Bazele Electrotehnicii Curs 1

68

r2

0=V

E ∫ ∫ ===V

VV

VV havdvdq 2

πρρρ

ra

Eha

hrE Ve

Ve ε

ρεπρ

π0

2

0

2

2 22 =⇒==

( )aRrdrrdrrEV VR

a

R

a

R

a

R

a

VVVii

22

0000 4|

222−−=−=−=−=−= ∫ ∫ ∫ ε

ρερ

ερ

ερ

aRa

rdra

rdra

EV VR

a

R

a

R

a

VVee

ln0

2

0

2

0

2

21

22 ερ

ερ

ερ

−=−=−=−= ∫ ∫ ∫

⋅⋅⋅⋅ ≡

1C 2C kC SCC

∑=q ks CC

11 ∑=k

kp CCdA

dA

Cr

pl

εεε 0==

UQUCWdA

C

rk

kpl 2

121 20 ; ===

Σ ε

ε

pC

FCFCFCFCFCFC µµµµµµ 1;1;5;5,0;5,0;10 654321 ======

Seminar

Probleme: 1) Şase condensatoare sunt legate ca în figură. Sarcina condensatorului

Cq 45 10,5 −= . Se mai cunosc

Să se găsească tensiunea.

Page 69: Bazele Electrotehnicii Curs 1

69

A

B

1C

2C

3C

4C

5C

6C

M

N

MNU

Cqq 4

6510−==

21111

65

6556

65566

5 ; =+

=⇒+==CCCCCCCCC

qU AB

VU AB200

10

10

6

4

21

==−

CCCUCq AB4334

3434

111; +==

Cq 462

341010

21

102 −− =⋅=

A

B

1C

2C

34C56

C

M

N

1C

2C

ABC

FCCCCCCq

U eABee

MNµ

3110

1031

; 111121

=⇒=++==

VUU MNMN620

1010312

103110

102 2

6

4

=⋅⋅

=⇒⋅

=−

FCCCCC µ502

1 ,43

4334

=+

=⇒

FC CCCqqq ABABµ1;102

21

21

34564

5634=+=+=⋅=+= −

2) Între armăturile unui condensator plan ce are 0ε se introduc succesiv: a)o lamă dielectrică cu grosimea cmd 46,0=′ şi 3,2=′rε ; b)o placă metalică cu grosimea ;46,0 cmd =′′ lamele fiind paralele şi de

aceeaşi dimensiune cu armăturile.

Page 70: Bazele Electrotehnicii Curs 1

70

d

1d2d

d ′

x

y

d ′′

+++++

++

+

−−−−−

−−−−− 1C 2C

1

h

2

Să se calculeze capacitatea condensatoarelor în stare iniŃială 0C în cazul a) şi

b) ba CC , ştiind că 22512cm . 22512;8,0;46,0'';3,2';46,0' cmAcmdcmdcmd r ===== ε

R: FC 80 10

361 −= FCa

8103,24

1 −= FCb810

3,151 −=

a)

Fd

AC 8

2

4

90

0 10361

108,0102512

10941 −

⋅=⋅⋅

⋅⋅

=⋅

ε

Fd

dd

Ad

dd

Addd

AC

rrrrr

a8

'

0

'21

0

''2

'''1

0 103,24

1'

'''

−⋅=+−

=++

=++

=

ε

ε

ε

ε

εεε

ε

b)

21

111CCCb

+= 21

21

CC

CCCb +=

x

AC 0

1

ε=

y

AC 0

2

ε=

Fdd

A

yx

A

y

A

x

Ay

A

x

A

Cb800

00

00

103,15

1''

−⋅=−

=+

=+

⋅=

εεεε

εε

3) Determinarea capacităŃii unui condensator cilindric

Page 71: Bazele Electrotehnicii Curs 1

71

?0 =C ?=rε

1d2d

δ

d

kiR kiE

==⋅⋅

=⋅⋅

=⋅

=⋅

==−

= ∫∫∫∫

ΣΣ

2

1222

1 2

1

2

1

2

1

2

11221r

r rh

dr

rhE

dlE

rhE

dlE

sdE

ldE

sdD

ldE

Q

U

Q

VV

C πεπεπεε

1

2ln2

12

1 2

1r

r

hr

dr

h

r

r πεπε== ∫

1

2ln

2

r

rh

Ccil

πε=

4) Se consideră un condensator plan de capacitate 0C ale cărui armături sunt

două discuri cu raza cmR 6= separate de un strat de aer cu grosimea cmd 1= . Între armăturile condensatorului este introdusă o placă izolantă de grosime mm3=δ ; paralel cu condensatorul. Capacitatea condensatorului devine 025,1 CC ⋅=′ .

Se cere: 1)capacitatea iniŃială a condensatorului 2)permitivitatea relativă a materialului dielectric introdus Se cunosc: 025,1;3;1;6 CCmmcmdcmR ⋅=′=== δ

Fd

AC 11

2

4

90

0 10101036

10941 −

=⋅

⋅⋅

==π

π

ε

−−

=+−

=++

=++

=

rrrrrr

d

A

d

A

dd

Add

AC

εδ

ε

εδ

δ

ε

εδ

ε

εεδ

ε

ε

11

' 00

21

0

2

2

1

1

0

3

1025,11031036

10941

310

1

1

'1

1

113

4

90

=

⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅+−

=

⋅+−

=⇒

−−

− ππδ

εδ

ε

C

Adr

Seminar

∑= kS RR ; ∑=kp RR

11

TK: ∑ = 0kI ; ∑ ∑=k

kkk EIR

Page 72: Bazele Electrotehnicii Curs 1

72

IC1 IC 2

MCC: ∑ ∑∑ =k k

kj

kCjk EIR ;

MPN: ∑ ∑ ∑=⋅−j j j jk

jk

jkj

jkk R

E

RV

RV

11

Problemă: E1=E2=10V R1= 2Ω R2= 3Ω R= 1Ω E =8V I1 , I2 , I = ? (I): n -1=2-1=1 (II): o = l - n+1=2 Metoda I

+=+

+=+

=−−

EERIIR

EERIIR

III

222

111

21 0

+=⋅+

+=⋅+

=−−

8101381012

0

2

1

21

II

II

III

318

;2

1821

II

II

−=

−=⇒ I

II=

−+

−⇒

318

218

AI1190

=⇒ ; AI1154

1 = ; AI1136

2 =

Metoda II

o = l - n+1=2

=+

=+)2(

222211

)1(122111

ERIRI

ERIRI

CC

CC

RRR += 111 ; RRR += 222 RRR == 2112 EEE += 1

)1( ; EEE += 2)2(

( )

( )

+=++

+=++

EERRIRI

EERIRRI

CC

CC

2221

1211 ⇒( )

( )

+=++

+=++

8101381012

21

21

CC

CC

II

II

=+

=+

184183

21

21

CC

CC

II

II21 418 CC II −=⇒ ( ) 184183 22 =+−⇒ CC II

AIC 1136

2 =⇒ ; AIC 1154

1 =

1I2I

1R

1E

2R

2E

I

1

2

1 2

R

I1 I2

E

Page 73: Bazele Electrotehnicii Curs 1

73

V p

I p

V 1

V 2

V 3

V k

I1I 2

I 3

I k

multipol ≡

V 1

I1

V 2

I 2

V 3I 3

V k

I kV p

I p

multipol

=+=

==

==

AIII

AII

AII

CC

C

C

1190

11361154

21

22

11

Metoda III

02 =V

2

2

1

1

211

111R

E

R

E

R

E

RRRV +−=

++ ⇒

310

18

210

31

11

21

1 +−=

++V

VV112

1 =⇒

( )

( )

( )

=−+

=

=−+

=

=−+

=

AR

VVEI

AR

VVEI

AR

VVEI

119011361154

21

2

1222

1

1211

Circuite echivalente Multipol Este un circuit electric cu mai multe borne de acces. Multipolii particulari sunt:

• dipol, cu două borne • tripol, cu trei borne • cuadripol, cu patru borne

Doi multipoli sunt echivalenŃi dacă au acelaşi număr de borne de acces şi dacă

impunând acelaşi potenŃial bornelor corespondente prin ele circulă aceiaşi curenŃi. Procedeul de găsire a unui multipol echivalent cu un multipol dat (cu

configuraŃia cunoscută) se numeşte transfigurare. În general se urmăreşte găsirea unui

Page 74: Bazele Electrotehnicii Curs 1

74

U

1U 2U

A B1R 2R1E 2E

≡esR esE

U

I

EIRUEIRU

222

111

−=

−=

( ) ( ) ( ) ( )EEIRRUEEIRRUU 212212121+−+=⇒+−+=+

EIRU eses−=

RRR es 21+=

EEE es 21+= ( )9

multipol echivalent cu structură mai simplă decât multipolul dat, care uşurează studiul circuitului din care face parte.

Cazuri particulare de circuite echivalente

1) Transfigurarea unei surse reale de tensiune intr-o sursă reală de curent Este vorba de un multipol cu două borne care conŃine şi o sursă.

⇒⋅+=+=

+=⇒⋅=+

SSS

SSS

SS

GUJIJI

ER

UR

IIREU

'

11

S

S

SS

S

RG

ER

J

1

1

=

= (7)

2) Transfigurarea unei surse reale de curent într-o sursă reale de tensiune

⇒)7(

SS

S

SS

GR

G

JE

1=

= (8)

3) Conexiunea serie a dipolilor elementari

seR - rezistenŃa echivalentă serie

=

=

=

=

n

kkse

n

kkse

EE

RR

1

1 (9’)

≡ SJ GS USR

I

I

I ′

ES

U

I

Page 75: Bazele Electrotehnicii Curs 1

75

1R

U

I 2R

1U 2U

1I

2I

1R

2R

1E

2E

A B ≡ A BepR epE

I epR

RRRRRRR

RRRRR ep

ep 21

21

21

21

21

111+

=⇒+

=+=

RRIR

IRI

RRRR

RIR

IIRU

URUGI ep

ep

21

2

1121

2111

11

1+

=⇒⋅+

==⇒

=

==

Pentru dipoli pasivi( fără surse):

URR

R

R

URIRU

se 21

1111 +

===

URR

RU

21

11 +=

URR

RU

21

22 += (10)

Conform acestei reguli se poate exprima cu uşurinŃă fiecare dintre cele două

tensiuni în funcŃie de tensiunea totală. 4) Conexiunea paralel a dipolilor elementari

pepe G

EGEGE 2211 +

=⇒

Pentru laturi pasive:

( )GGG

EGUGIEGEGGGUI

ep

epep

21

221121+=⇒

+=

+++=

EGEREG eep 2211+=

=

=

=

=

=

n

kk

n

kkk

ep

n

kkep

G

EGE

GG

1

1

1

( )11

( )( ) III

EUGIEIRUEUGIEIRU

212222222

1111111+=⇒

+=⇒−=

+=⇒−==>

Page 76: Bazele Electrotehnicii Curs 1

76

1V

1I

3V 2V

2I3I

31I

23I

12I

12R

23R

31R ≡

1I

2I3I

1R

2R3R

( )RRRRRRRe

312312

31231212 ++

+=

( )RRRRRRRe

312312

12312323 ++

+=

( )RRRRRRRe

313.212

23123131 ++

+=

( ) ( )212

2 /312312

123131232312321

1331

3223

2112

RRRRRRRRRRRR

RRRRRRRRR

e

e

e

++

++=++⇒

+=

+=

+=

( )13

RRRRRR

312312

31233 ++=

RRRRRR

312312

23122 ++=

RRRRRR

312312

12311 ++=

5) Transfigurarea triunghi-stea ( Y→∆ ) Se cunosc: 312312 ,, RRR . Se cere 321 ,, RRR .

Pentru ∆ :

Pentru Y:

Din (13) se scade relaŃia lui 12eR şi rezultă:

Analog, se obŃine (14)

Dacă ⇒=== ∆RRRR 312312 3Y∆=

RR

IRRRI

IRRRI

21

12

21

21

+=

+=

( )12 - Regula divizorului de curent

serie

esR

12R

23R

31R

12R

esR

paralel

12

1212 RR

RRR

es

ese +=

Page 77: Bazele Electrotehnicii Curs 1

77

1

32 −

1R

2R3R

paralel

1G

epG

serie

( ) ( )GGGGGG

GGGRRR epe321

321

321132

111 +

++=

++=+=

( )

( )GGGGGGGe

321

213213

2 ++

+=

− ( )

( )GGGGGGGe

321

21312

3 ++

+=

6) Transfigurarea Y→∆

Se cunosc ),,(,, 321321 GGGRRR Se cere 312312 ,, RRR .

( )Ge 321−

Se exprimă condiŃia de echivalenŃă între borna 1 şi bornele (2-3) scurtcircuitate între ele; apoi între borna 2 şi (1-3) scurtcircuitate între ele şi apoi borna 3 şi (1-2) scurtcircuitate între ele.

Pentru Y:

Pentru ∆ :

Se adună cele trei relaŃii, după care se înmulŃeşte rezultatul cu 1/2 în ambii membri şi se scade pe rând expresia corespunzătoare fiecărei condiŃii de echivalenŃă, rezultând:

( ) GGGe 3112321+=

( ) GGGe 1223132

+=−

( ) GGGe 2331213

+=−

31R 13RR12

Page 78: Bazele Electrotehnicii Curs 1

78

GGGGGG

321

2112 ++=

GGGGGG

321

3223 ++=

GGGGGG

321

1331 ++=

( )15

Dacă ⇒=== YGGGG 321 3YGG =∆

⇒⋅=∆ 3

111

YRRYRR 3=∆

Teoreme utile în studiul circuitelor electrice de c.c. 1) Teorema superpoziŃiei EnunŃ: IntensităŃile curenŃilor laturilor unui circuit izolat reprezintă suma

algebrică a intensităŃilor curenŃilor stabiliŃi prin acele laturi sub acŃiunea câte uneia dintre sursele de energie (surse de tensiune şi de curent) când toate celelalte surse sunt pasivizate.

A pasiviza o sursă de energie înseamnă a o înlocui cu rezistenŃa ei internă. Sursele ideale de tensiune se înlocuiesc cu rezistenŃe nule (scurtcircuite), iar sursele ideale de curent se pasivizează înlocuindu-le cu rezistenŃe infinite (întreruperi).

Exemplu:

111 "' III += , 222 "' III += , 333 "' III += Teorema superpoziŃiei este o consecinŃă a faptului că ecuaŃiile care descriu

funcŃionarea circuitului sunt liniare în raport cu parametrii aferenŃi surselor independente. CurenŃii care rezultă prin rezolvarea ecuaŃiilor lui Kirchhoff, prin

regula lui Cramer, au forma ∆

∆= k

kI (pentru latura k).

lklkkk EEE ∆++∆+∆=∆ L2211

lklkklklkk

k EGEGEGEEEI +++=∆

∆++

∆+

∆= LL 22112

21

1

Ik – combinaŃie liniară de E1…El ;

I1 I2 I3

R1 R2 R3

E1 E3

=

I’1

R1 R2 R3

E1

I’2 I’3 I”1

R1 R2 R3

E3

I”2 I”3

+

Page 79: Bazele Electrotehnicii Curs 1

79

activ

CircuitUR

I

UE =

I

activ

Circuit

activ

CircuitIJ =

I

U

U

Gkj – conductanŃa de transfer între laturile k şi j. jkkj GG = (relaŃie de reciprocitate).

Există situaŃii practice când teorema superpoziŃiei permite calculul curenŃilor fără a fi necesară construirea unui sistem de ecuaŃii, ci printr-o succesiune de calcule simple.

2) Teorema reciprocităŃii EnunŃ: Teorema reciprocităŃii se referă la un circuit pasiv în care prezintă

interes două dintre laturile sale j şi k. O sursă ideală de tensiune inserată în latura k provoacă un curent în latura j egal cu curentul pe care aceeaşi sursă inserată în latura j îl provoacă în latura k. Această teoremă este o consecinŃă a relaŃiei de reciprocitate.

kj II =

kjjk GG = , EGI kjk ⋅= , EGI jkj ⋅= ⇒ kj II =

3) Teorema compensaŃiei

Conform teoremei compensaŃiei, orice rezistenŃă parcursă de curentul I şi care

are la borne tensiunea RIU = dintr-un circuit izolat poate fi înlocuită fie cu o sursă ideală de tensiune a cărei tensiune electromotoare îndeplineşte condiŃia UE = , fie cu

Circuit pasiv

Rj Rk

Rj Rk

E

Ik

Rj Rk

E

Ij

Page 80: Bazele Electrotehnicii Curs 1

80

E

E

E

b

( )∑∈

=−+nk

k JJI 0

o sursă de curent care îndeplineşte condiŃia IJ = , circuitul obŃinut fiind echivalent cu cel iniŃial.

4) Teorema surselor cu acŃiune nulă (Teorema lui Vaschy) Teorema are două componente:

a) Dacă în toate laturile incidente într-un nod al circuitului se inserează surse ideale de tensiune identice şi orientate la fel faŃă de nodul comun, se obŃine un circuit echivalent cu cel iniŃial. Th. II a lui Kirchhoff pentru bucla (b). Membrul stâng = membrul drept EE −+

b) Dacă în paralel cu fiecare latură a unei bucle de circuit se adaugă surse ideale de curent identice şi orientate în acelaşi sens, se obŃine un circuit echivalent cu cel iniŃial. Th. I a lui Kirchhoff pentru nodul (n).

5) Teorema transferului maxim de putere

IUP ⋅= - puterea consumată de R

R – consumator (receptor)

Th. II a lui Kirchhoff: ( )s

sss RR

EIEIRR

+=⇒=+

( )2

22

s

s

RR

RERIP

+== . Valoarea maximă a lui P =?

( ) ( )( ) ( )34

22 2

s

s

s

sss

RR

RR

RR

RRRRRE

dR

dP

+

−=

+

+⋅−+=

( )n( )b

sR

sE

a

b

RU

I

Circuit dipolar activ cu rol de sursă

Page 81: Bazele Electrotehnicii Curs 1

81

a

b

Rab

activ

liniar

circuit iab

⇒=−⇒= 00 RRdR

dPs sRR = valoarea care corespunde puterii maxime

s

RR

RRdR

Pd

s

=⇒<=

02

2

este punct de maxim pentru funcŃia P(R)

⇒= 2

2

max 4 s

ss

R

ERP

s

s

R

EP

4

2

max = - puterea maximă consumată de receptor

Puterea cedată de sursă

sssced R

EIEP2

12==

Randamentul 5,0max ==cedP

EnunŃ: Puterea transferată de o sursă reală de tensiune spre un consumator are valoarea maximă atunci când rezistenŃa consumatorului este egală cu rezistenŃa internă a sursei; în acest caz randamentul transferului de putere între sursă şi consumator este 0,5.

6) Teoremele generatoarelor echivalente a) Teorema generatorului echivalent de tensiune (Teorema lui Thévenin)

abe

abab RR

UI

+= 0 (1)

Această teoremă permite calcularea curentului unei laturi a circuitului fără a fi necesară determinarea celorlalŃi curenŃi; mărimile care intervin sunt:

• 0abU - tensiunea între bornele a şi b cu latura respectivă îndepărtată (tensiunea în gol)

• eR - rezistenŃa echivalentă a circuitului pasivizat în raport cu bornele a,b după îndepărtarea laturii la care ne-am referit.

• abR - rezistenŃa din latura al cărei curent se calculează.

DemonstraŃie: Se transfigurează circuitul liniar activ care rămâne după îndepărtarea laturii a b, aducându-se la forma unui dipol elementar.

eRpasivizat

liniar

Circuit

neliniar

activ

Circuit

a

babU

liniar

Page 82: Bazele Electrotehnicii Curs 1

82

abR

abU

activ

liniar

Circuit

eabeabe EUEUR =⇒=+⋅ 000

( )abe

ab

abe

eabeabeab RR

U

RR

EIEIRR

+=

+=⇒=+ 0

b) Teorema generatorului echivalent de curent (Teorema lui Norton)

abe

abscab GG

IU

+= (2)

Teorema permite calcularea tensiunii la bornele unei laturi a circuitului fără a fi necesar să se calculeze curentul laturii, curenŃii sau tensiunile altor laturi; semnificaŃia mărimilor:

• abscI - curentul care apare între bornele a,b prin scurtcircuitarea acestora

(prin înlocuirea rezistenŃei abR cu o rezistenŃă de valoare zero); se mai numeşte curent de scurtcircuit.

• eG - reprezintă conductanŃa măsurată la bornele a,b după îndepărtarea

laturii a,b şi pasivizarea circuitului rămas. e

e RG

1=

• ab

ab RG

1=

DemonstraŃie:

abe

ababababab RR

RURIU

+== 0

)1(

eR

a

b

eR

pasivizare

0abU

eR

eE

0=Ia

b

R

abI

Re

Ee

Rab

activ

liniar

Circuit

a

b

Iabsc

Page 83: Bazele Electrotehnicii Curs 1

83

eeabsc ERI = 0abeabsc URI =

=+

=+

=

abe

abeabsc

abe

abeabscab

GG

GGI

RR

RRIU

11

11

abe

absc

abeabe

absc

GG

I

GGGG

I

+=

⋅⋅

+

=11

Câmpul electrocinetic în conductoare masive

0=⋅∫Σ

sdJ (legea conservări sarcinii electrice pentru regimul staŃionar).

0=⋅∫Σ

sdD (legea fluxului electric pentru cazul 0=Vρ - corpuri

conductoare) EJ σ= (legea conducŃiei electrice în absenŃa câmpului imprimat) ED ε= (legea legăturii dintre PED ,, )

Concluzie: Analogii între câmpul electrostatic şi câmpul electrocinetic

staŃionar. JD↔ σε ↔

RefracŃia câmpului electrocinetic la suprafaŃa de separaŃie a două medii cu

conductivitate electrică diferită.

⇒= nn DD 21 nn JJ 21 = Componenta normală la suprafaŃă a

densităŃii de curent se conservă.

t

n

n

t

n

t

n

t

E

J

J

E

J

JJ

J

tg

tg

22

2

1

11

2

2

1

1

2

1

σσ

αα

⋅==

⇒= tt EE 212

1

2

1

σσ

αα

=tg

tg - teorema

refracŃiei liniilor de câmp electrocinetic

Iabsc Re

Ee

nJ1

1α2α

tJ1

tJ 2

2J

nJ 2

σ 1 σ 2normala axa

separatiede suprafata la

la tangentiaaxa

J1

J1n

Page 84: Bazele Electrotehnicii Curs 1

84

Analogia între câmpul electrostatic şi câmpul electrocinetic staŃionar permite calcularea rezistenŃelor electrice pe baza unui algoritm asemănător cu cel folosit pentru calculul capacităŃilor.

AplicaŃie: Priza de pământ emisferică:

Se dă o priză de pământ emisferică. Se cunosc: raza 0R a emisferei, conductivitatea pământului σ şi potenŃialul 0V la care se găseşte conductorul de legătură al prizei de pământ. Se cere: rezistenŃa prizei de pământ şi tensiunea de pas în vecinătatea prizei.

Prizele de pământ se folosesc în scopul prevenirii accidentelor prin electrocutare a personalului care lucrează cu echipamente aflate sub tensiune.

Electrocutarea este o consecinŃă a trecerii curentului prin corpul uman atunci când două părŃi ale acestuia se găsesc la potenŃiale electrice diferite. Curentul care se

scurge prin corp este: R

VVI 21 −= , unde R - rezistenŃa totală a căii de curent

(rezistenŃa corpului + rezistenŃa echipamentului de protecŃie). Leziunile interne ale organismului sunt provocate de curentul care trece prin

el, nu de tensiunea aplicată. Când o parte metalică, care în mod obişnuit nu se găseşte sub tensiune (carcasa metalică a unui aparat), este pusă sub tensiune ca urmare a unui defect, legătura permanentă a acestei părŃi metalice la pământ printr-o priză de împământare asigură egalarea potenŃialului acesteia cu potenŃialul pământului.

Prin urmare, dacă o persoană aflată cu picioarele pe pământ atinge aceea parte metalică ea nu este supusă unei diferenŃe de potenŃial; deci 0021 =⇒=− IVV şi pericolul de electrocutare nu există.

Prizele de pământ nu sunt ideale. Se consideră că potenŃialul pământului este la distanŃă foarte mare de priza de

pământ (V∞=0).

22 22

4 R

I

R

IJ

ππ== , 22 Rπ - aria emisferei de rază R

221

R

IJEEJ

πσσσ ==⇒=

022 2

122

0cos00 00

R

IdR

R

IdR

R

IdRERdEVV

RR RR πσπσπσ===⋅⋅=⋅=− ∫∫ ∫∫

∞∞ ∞∞

0

00

212RI

R

I

I

VVR p πσ

πσ==

−= - rezistenŃa prizei de pământ

A B→

R

0R

dr

J E

00 =dV

pamantului

rafatasup

conductor materialdin emisfera

V0

I

V∞=0

p

dR

Page 85: Bazele Electrotehnicii Curs 1

85

M

α

U

IMU

MI

1M

2M

U

I

2U

1U

1α 2α

RezistenŃa prizelor de pământ trebuie să fie cât mai mic posibilă. Conform standardelor, ele nu trebuie să depăşească 3, 4, 8 Ω. În cazul în care o singură priză de pământ nu asigură rezistenŃa, se folosesc mai multe prize de pământ care funcŃionează cu nişte rezistenŃe conectate în paralel.

Un individ care se găseşte în apropiere este supus unei diferenŃe de potenŃial între tălpile picioarelor. Cu cât lungimea pasului (p) este mai mare, cu atât diferenŃa de potenŃial este mai mare şi poate deveni periculoasă.

pU - tensiunea de pas. ?=−= BAp VVU

=

+−=

−=⋅=⋅=−+++

∫∫ pRR

I

R

IdR

R

IdREVV

pR

R

pR

R

pR

R

BA

112

122 2 πσπσπσ

+

=+

⋅=

p

RR

I

pRR

pI

12)(2

πσπσ

VRIR

IV ⋅=⇒= 0

0

22

πσπσ

+

⋅=

p

RR

VRU p

12

2 0

πσ

πσV

p

RR

RU p

+

=

1

0

maxpU pentru ⇒= 0RR

p

RV

U p0

max

1+=

Se consideră ca limită V200max ≤pU .

NoŃiuni de circuite neliniare în regim staŃionar

I

UR =

-caracteristica tensiune-curent pentru o rezistenŃă liniară.

RI

Utg

M

M ==α

-caracteristica unei rezistenŃe neliniare.

Page 86: Bazele Electrotehnicii Curs 1

86

U

I

1M

1U

1I

I

U

toaresemiconduc

dioda

V6,0≈

V1000≈

Pentru rezistoarele neliniare dependenŃa tensiune - curent se exprimă printr-o

funcŃie neliniară. Se definesc următorii parametri: 1) RezistenŃa statică

αtgI

URS ==

Pentru M1 : 11

11 αtg

I

URS == 21 SS RR ≠

Pentru M2 : 22

22 αtg

I

URS ==

2)RezistenŃa dinamică

Se notează:

11

1

βtgdI

dUR

IId ==

=

22 βtgRd =

21 dd RR ≠

Atât rezistenŃa statică cât şi cea dinamică depind de punctul de funcŃionare la

care se referă. Pentru o rezistenŃă liniară, ctRRR dS === . Exemple de rezistenŃe neliniare: - lampa cu incandescenŃă; - dioda semiconductoare.

Metode de studiu al circuitelor neliniare Circuitele electrice care conŃin cel puŃin un element neliniar se numesc circuite

neliniare. Studiul acestora presupune în general calcule laborioase, iar metodele analitice

sunt aplicabile numai în cazuri cu totul particulare, pentru circuite cu 1,2 elemente neliniare.

Metoda generală utilizează algoritmi numerici implementaŃi în programe specializate.

Page 87: Bazele Electrotehnicii Curs 1

87

( )1

( )2

U

I1I ′ I ′′

1U ′2U ′21 UU ′+′

2U ′′

21 UU ′′+′′echivalent

uirezistorul

ticacaracteris

UUU 21+=

A BI

1I

2I

U

A BI≡

III 21+=

1) Metoda grafică a) conexiunea serie

Se cunosc caracteristicile celor două rezistenŃe neliniare conectate în serie şi se cere caracteristica unui rezistor echivalent.

Caracteristica rezistorului echivalent se obŃine prin însumarea grafică a

caracteristicilor celor două rezistenŃe componente, după tensiuni. b)Conexiunea paralel

În acest caz caracteristica rezistenŃei echivalente se obŃine prin însumarea grafică a caracteristicilor rezistenŃelor componente după curenŃi.

Cele două reguli pot fi aplicate şi pentru mai mult de două elemente interconectate, una sau mai multe rezistenŃe putând fi chiar liniare.

Metoda grafică poate fi folosită şi pentru conexiuni mixte serie-paralel.

≡U

aechivalent

neliniara

rezistenta

A B

1U 2U

I

U

Page 88: Bazele Electrotehnicii Curs 1

88

activ

liniar

circuit

A

B

nI

nU

Uliniar

circuit

I a

b

nU

nIa

b

eE

eR

I

U

2) Metoda caracteristicii de sarcină (metoda dreptei de sarcină) Metoda permite determinarea punctului de funcŃionare al unui rezistor

neliniar, toate celelalte elemente ale circuitului fiind liniare.

Se cunoaşte caracteristica elementului neliniar şi parametrii tuturor celorlalte elemente ale circuitului şi se cere determinarea mărimilor In şi Un.

( )nn IU , - punctul de funcŃionare al elementului neliniar.

Metoda presupune parcurgerea următorilor paşi:

• Se separă elementul neliniar de restul circuitului

• Se determină dipolul elementar echivalent al circuitului liniar

Se construieşte caracteristica U-I în raport cu bornele a,b.

⇒=+ EURI ERIU +−=

• Se trasează grafic caracteristica de mai sus la aceeaşi scară cu caracteristica rezistorului neliniar.

=⇒=

=⇒=

R

EIU

EUI

0

0

Page 89: Bazele Electrotehnicii Curs 1

89

CondiŃia ca aceste două părŃi sa funcŃioneze este nn IIUU == , şi este îndeplinită de punctul de intersecŃie al celor două caracteristici (punctul M).

E

I In=I

Un=U M

R

E

U

0

Caracteristica elementului

neliniar

Caracteristica dipolului liniar (dreapta de sarcină)

Page 90: Bazele Electrotehnicii Curs 1

90

CÂMPUL MAGNETIC STAłIONAR

Anumite fenomene din natură manifestate prin forŃe de interacŃiune sunt explicate prin existenŃa câmpului magnetic.

Câmpul magnetic poate fi studiat independent faŃă de câmpul electric numai pentru cazul regimului staŃionar. În regim variabil, cele două câmpuri coexistă şi se generează reciproc, propagându-se în spaŃiu.

Câmpul magnetic staŃionar este produs de conductoare parcurse de curent continuu sau de magneŃi permanenŃi.

Câmpul magnetic poate fi pus în evidenŃă prin forŃe ce se manifestă asupra sarcinilor electrice aflate în mişcare.

ForŃe care se manifestă într-un câmp magnetic 1) ForŃa Lorentz

Sarcina q se deplasează în câmp magnetic cu viteza v .

BvqF ×= (1) - forŃa Lorentz

F are valoare maximă când unghiul ∠ ( ) ⇒=⇒= qvBFBv max2,

πqv

FB max=

B-inducŃia magnetică )(1 TeslaTB >=<

s

mC

NT

11

11

⋅=

O sarcină electrică punctiformă aflată în mişcare în vid într-un câmp magnetic este supusă forŃei Lorentz, cu expresia (1).

Mărimea ce caracterizează câmpul magnetic în vid este B, inducŃia magnetică. Este o mărime primitivă în teoria magnetismului.

ForŃa Lorentz nu produce lucru mecanic. DemonstraŃie:

( ) ( ) 02

cos,cos =⋅⋅×⋅=×⋅⋅×⋅=⋅×=⋅π

vBvqvBvvBvqvBvqvF

dt

vdmamF ⋅=⋅=

⇒==

=⋅⋅=⋅ 0

2

2

dt

dEmv

dt

dv

dt

vdmvF c .ctEc = 0=⇒ dL

cE - energia cinetică a particulei, L – lucrul mecanic

2) ForŃa Laplace Se manifestă asupra conductoarelor parcurse de curent electric amplasate în

câmp magnetic.

F

V

B q v

Page 91: Bazele Electrotehnicii Curs 1

91

FFF ==21

BldiFd ×⋅=

Pentru o porŃiune rectilinie de conductor:

∫∫ ×⋅==lN

M

BldiFdF0

⇒=

⋅⋅⋅=⇒=∠ ∫∫ll

dliBBdliFBld00 2

sin2

),(ππ

iBlF =

3) ForŃa electrodinamică Se manifestă între două conductoare parcurse de curenŃi de conducŃie.

Pentru cazul particular a două conductoare paralele de lungime infinită (mult mai mare decât distanŃa dintre ele), forŃa electrodinamică corespunzătoare unui tronson de lungime l este:

r

lIIkF ⋅⋅= 21

• DirecŃia forŃei este perpendiculară pe cele două conductoare • Sensul este de atracŃie (curenŃii au acelaşi sens) sau de respingere

(curenŃii au sensuri opuse)

Această forŃă se explică prin faptul că în vecinătatea fiecărui conductor parcurs de curent apare un câmp magnetic. Acest câmp magnetic, interacŃionând cu celălalt conductor parcurs de curent, conform forŃei Laplace, conduce la fenomenul interacŃiunii electrodinamice.

i

ld Fd

B

M N

l B

lr

1I 2I

1F 2F

1I 2I

1F 2F

respingere

Page 92: Bazele Electrotehnicii Curs 1

92

B

ds

ΓS

dl

2iΓ

i

rB

I

⇒=⋅⇒⋅=

=lBI

r

lIIk

r

lIIkF

lBIF

1221212

122

r

IkB 1

1

⋅=

πµ2

0=k ⇒r

IB

πµ2

101 =

0µ - permeabilitatea absolută a vidului. Este o constantă universală a cărei

valoare este m

H7104 −π .

rπ2 - lungimea cercului de rază r.

Teorema lui Ampère

∫∫Γ

⋅=⋅Γ S

sdJldB 0µ (1)

(Forma integrală a teoremei lui Ampère)

∫Γ

Γ⋅=Θ

S

S sdJ - solenaŃia din suprafaŃa ΓS

EnunŃ: CirculaŃia inducŃiei magnetice calculată pentru o curbă arbitrară este proporŃională cu solenaŃia prin suprafaŃa care se sprijină pe această curbă. Factorul de proporŃionalitate în vid este 0µ .

Caz particular:

• Γ - cerc de rază r • I - curent, perpendicular pe planul curbei

r Ipoteză: B tangent la Γ.

∫∫ΓΓ

⋅=⋅⋅=⋅ rBdlBldB π20cos

∫∫ΓΓ

=⋅⋅=⋅SS

IdsJsdJ 0cos

⇒=⋅ IrB 02 µπr

IB

πµ2

0=

SolenaŃia este egală cu suma algebrică a curenŃilor de conducŃie care străbat

ΓS .

B

M

I

r

I

ds

dl

B

Page 93: Bazele Electrotehnicii Curs 1

93

Σ

ΣV

Aplicând Stokes lui (1) ( ) sdBrotldBS

⋅=⋅⇒ ∫∫ΓΓ

( ) ⇒⋅=⋅ ∫∫ΓΓ SS

sdJsdBrot 0µ JBrot 0µ= (2)

(forma locală a teoremei lui Ampère)

Legea fluxului magnetic

0=⋅∫Σ

sdB (3)

EnunŃ: Fluxul magnetic prin orice suprafaŃă închisă este egal cu zero.

Cu Gauss-Ostrogradski 0=⋅=⋅⇒ ∫∫ΣΣ V

dvBdivsdB

⇒ 0=Bdiv (4) - forma locală a legii fluxului magnetic.

Analogie cu 0=Jdiv (teorema continuităŃii liniilor de curent) Din (4) şi teorema continuităŃii liniilor de curent rezultă că liniile de câmp

magnetic sunt curbe închise.

(4)⇒ ArotB = (5) (inducŃia magnetică B reprezintă rotorul unui câmp vectorial)

=A potenŃialul magnetic vector ( ) 0=Arotdiv

( ) 0≠=×⋅

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba -în coordonate carteziene; 3,, Rcba ∈

( ) 0)( =≡×∇∇ ArotdivA

( )zyx AAA

kz

jy

ix

kz

jy

ix

A∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇∇

Din relaŃiile (5) şi (2) JArotrot 0)( µ=⇒ Folosim relaŃia:

( ) ( ) ( )baccabcba ⋅⋅−⋅⋅=×× Ac = , ∇== ba ( ) ( ) ( ) ( ) JAAdivgradAAAArotrot 0)( µ=∆−=⋅∇⋅∇−∇⋅∇=×∇×∇=

Page 94: Bazele Electrotehnicii Curs 1

94

rMdl

i

Γ

Dacă se impune condiŃia 0=Adiv (relaŃie de etalonare pentru A ), care nu alterează modul de definire a lui A⇒ JAArotrot 0)( µ=∆−= ⇒ JA 0µ−=∆ (6)

RelaŃia (6) este o ecuaŃie de tip Poisson care reprezintă ecuaŃia distribuŃiei câmpului magnetic în spaŃiu.

Pe baza acesteia se poate calcula câmpul magnetic produs de o distribuŃie oarecare de curenŃi de conducŃie. Pe ecuaŃia (6) se bazează programele de calcul numeric al câmpurilor magnetice staŃionare.

Calculul câmpului creat de conductoare filiforme Formula Biot-Savart-Laplace

∫Γ

×= 3

0

4 r

rldiB

πµ

(7)

Formula Biot-Savart-Laplace

30

4 r

rldiBd

×⋅=

πµ

(7’)

InducŃia magnetică elementară Se observă o asemănare între formula (7) şi formula:

rr

qE ⋅⋅= 3

041επ

AplicaŃie:

Se cere inducŃia magnetică a câmpului creat de o spiră circulară parcursă de curent într-un punct de pe axa spirei situat la distanŃa x faŃă de planul acesteia.

30 2

sin

4 r

rdlidBdlr

π

πµ ⋅⋅

⋅=⇒⊥

20

4 r

dlidB ⋅=⇒

πµ

r

adBdBdB ⋅==⊥ αsin

Un element diametral opus conduce la producerea unui câmp magnetic elementar a cărui componentă paralelă cu planul spirei este egală şi de sens contrar cu dB creat de elementul .dl

Oricare ar fi două elemente diametral opuse, dau componente paralele cu planul care se anulează reciproc; rezultă că inducŃia magnetică totală va avea numai componentă perpendiculară pe planul spirei.

a

rx

α

α

M

i

ld

lBd ρ||

lBd ρ⊥

O

α

Page 95: Bazele Electrotehnicii Curs 1

95

B

i

dl

BI

r

ds

( )Γ

( )ineltor

camp

de

linie

ar

aidl

r

ai

r

dli

r

adBBB

aa

cerc

M ππµ

πµ

πµ ππ

2444 3

02

03

02

02

0

)(

⋅⋅

=⋅

=⋅

⋅=== ∫∫∫ ⊥⊥

( ) 2/322

2022

2 xa

aiBxar M

+

⋅=⇒+=

µ

Particularizare:

Pentru ⇒= 0x a

iB

2)0( 0µ=

0→⇒∞→ Bx Câmpurile magnetice care prezintă simetrie spaŃială se pot calcula cu ajutorul

teoremei lui Ampère. Exemplul 1:

Ne propunem să calculăm inducŃia magnetică a câmpului creat într-o bobină de formă toroidală parcursă de curentul I şi având N spire.

Se consideră că liniile de câmp magnetic sunt cercuri concentrice cu torul bobinei.

ΓΘ=⋅∫

ΓSldB 0µ (Teorema lui Ampère)

rBdlBdlBldB π20cos ⋅==⋅⋅=⋅ ∫∫∫ΓΓΓ

INdsJdsJsdJ

SSS

S ⋅−=⋅−=⋅⋅=⋅=Θ ∫∫∫ΓΓΓ

Γπcos

r

NIBNIrB

πµ

µπ2

2 00 −=⇒−=⋅

Semnul „-” sugerează că sensul real al lui B este opus faŃă de sensul indicat pe figură.

sd

S Γ

Γ

ldJ

Page 96: Bazele Electrotehnicii Curs 1

96

Exemplul 2:

Solenoidul este o bobină realizată pe un miez din material izolant sau nemagnetic (poate fi aer), cu lungimea mult mai mare ca dimensiunile transversale. Se face aproximarea că liniile de câmp magnetic sunt drepte paralele în interiorul solenoidului şi se închid în exteriorul acestuia prin arce de curbă. Se consideră că în exteriorul bobinei intBBext << .

lBdlBdlBldBldBldBldBN

M

N

M

N

M

M

N

N

M

⋅==⋅⋅=⋅=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫Γ

interior)(interior)(exterior)(interior)(

0cos

NIS −=ΘΓ

⇒−=⋅⇒ NIlB 0µ l

NIB 0µ−=

Câmpul magnetic în prezenŃa corpurilor magnetizate S-a constatat experimental că la introducerea unor corpuri într-un câmp magnetic existent inducŃia magnetică se modifică. ExplicaŃia acestui fapt este că acele corpuri au un câmp magnetic propriu care se suprapune peste cel existent iniŃial.

-material diamagnetic -material paramagnetic

-material feromagnetic

10 BBB +=

1B - câmpul magnetic propriu al materialului 0B - câmpul magnetic iniŃial

B - câmpul magnetic rezultant

l

dl BM N

sdSΓspireN

magnetica

camp

de

linie

Γ

1B

B

0B

0B

0B

0B

B

1B

0B

0B 1BB

BB 0<

BB 0>

BB 0>>

corp

Page 97: Bazele Electrotehnicii Curs 1

97

ExplicaŃie microscopică a fenomenului magnetizării Mişcarea electronilor în jurul nucleelor atomilor poate fi asimilată cu un curent

electric ce parcurge o spiră circulară; aceasta creează un câmp magnetic perpendicular pe planul mişcării (a se vedea aplicaŃia la formula Biot-Savart-Laplace).

În mod obişnuit mişcările electronilor sunt relativ haotice astfel încât câmpul magnetic rezultant este nul. Dacă toate orbitele electronilor sunt orientate în acelaşi plan, atunci câmpurile magnetice create au aceeaşi direcŃie şi sens şi câmpul magnetic rezultant este diferit de zero. În natură există materiale care prezintă această calitate; este forma de magneŃii permanenŃi.

Alte categorii de materiale prezintă fenomenul magnetizării numai la introducerea lor într-un câmp magnetic exterior. Acest tip de magnetizare se numeşte magnetizare temporară; cealaltă se numeşte magnetizare permanentă.

Mărimea fizică ce descrie fenomenul la nivel macroscopic se numeşte magnetizaŃie (M - magnetizaŃie).

Asupra unui corp magnetizat cu magnetizaŃia m aflat într-un câmp magnetic exterior de inducŃie B se manifestă un cuplu mecanic

BmC ×= [ ]Nm

∫ ⋅=V

dvMm m - moment magnetic, V-volumul corpului magnetizat

Între inducŃia magnetică şi magnetizaŃie există o relaŃie care depinde de natura

corpului magnetizat. ( )MHB += 0µ (8) - legea legăturii între HB, şi M

H - intensitatea câmpului magnetic, m

AH SI 1=><

Mărimile H şi M nu sunt independente, ci între ele există o relaŃie de forma:

HM m ⋅= χ (9) - legea magnetizaŃiei temporare

mχ - constantă de material, numită „susceptibilitate magnetică” 0<mχ - pentru materialele diamagnetice 0>mχ - pentru materialele paramagnetice

0>>mχ - pentru materialele feromagnetice Din (9) şi (8) rezultă că:

( ) ( ) HHHHHB rmm µµµχµχµ ==+=+= 000 1

mr χµ += 1 - permeabilitatea magnetică relativă a materialului. Este adimensională.

HB µ= (10) - exprimă global legea magnetizaŃiei temporare şi legea

legăturii dintre MHB ,, . • 10 << rµ - materiale diamagnetice • 1>rµ - materiale paramagnetice • 1>>rµ - materiale feromagnetice

Page 98: Bazele Electrotehnicii Curs 1

98

mHSI

/1=><µ

S Γ

dl

ds

( )0µµ ≠

rµµµ 0= →permeabilitatea absolută a materialelor Există o mare categorie de materiale pentru care mχ respectiv rµ nu sunt

constante în raport cu valoarea lui H şi nici în raport cu direcŃia lui H. Acestea sunt materiale magnetice neliniare (cu referire la modulul lui H), respectiv neizotrope (cu referire la direcŃia şi sensul lui H). Astfel de materiale sunt materialele feromagnetice.

Teorema lui Ampère în mediu oarecare

Teorema lui Ampère în vid:

∫∫Γ

⋅=⋅Γ S

sdJldB 0µ sau Γ

Θ=⋅∫Γ

SldB 0µ

ΓΘS - solenaŃia

⇒≠ 0µµΓ

Θ=⋅∫Γ

SldB 0µ ⇒Γ

Θ=⋅∫Γ

SldB0

⇒ ⇒Θ=⋅Γ∫

ΓSld

B

0µΓ

Θ=⋅∫Γ

SldH (1)

ObservaŃie: Această teoremă este valabilă numai la sistemele aflate în repaus

)0( =v .

HB µ=

∫∫Γ

⋅=⋅Γ S

sdJldH (1’)

RefracŃia câmpului magnetic la suprafeŃe de discontinuitate

Σ este o suprafaŃă închisă de forma unui cilindru cu înălŃimea mult mai mică decât diametrul bazei care înconjoară punctul.

Legea fluxului magnetic pentru Σ : ∫Σ

=⋅ 0sdB .

∫∫∫ ∫ ⋅+⋅+⋅=⋅Σ lSSS

sdBsdBsdBsdB21

1 2

1u 2u

1B

tB1

tB2 2B

nB2

nnB1

Σnormala

gentatan

lS

dsds

S 2S1

n

n - versorul normalei

Page 99: Bazele Electrotehnicii Curs 1

99

A

BC

D 2α

1α dl

t

2H

Γ2H

( )n

( )t

1 2

⇒<< 1SS l =⋅⋅+−⋅=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫ ∫Σ 2121

21 )(SSSS

dsnBdsnBsdBsdBsdB

221121

21

SBSBdsBdsB nn

S

n

S

n ⋅+⋅−=⋅+⋅−= ∫∫

( ) ⇒=−=⋅⇒== ∫Σ

01221 nn BBSsdBSSS nn BB 21 = (2)

Teorema lui Ampère pentru Γ :

0=⋅∫Γ

ldH - dacă nu există curenŃi de

conducŃie pe suprafaŃa de separaŃie ( 0=J ).

∫∫∫

∫∫∫∫

⋅+⋅=⋅+

+⋅+⋅+⋅=⋅Γ

D

C

B

A

A

D

D

C

C

B

B

A

ldHldHldH

ldHldHldHldH

S-a considerat că ABBC << şi ABDA << t - versorul tangentei

( ) CDHABHdltHdltHldH tt

D

C

B

A

⋅+⋅−=⋅⋅+−⋅=⋅ ∫∫∫Γ

2121

⇒=−∆=⋅⇒∆== ∫

Γ

0)( 12 tt HHlldHlCDAB tt HH 21 = (3)

La suprafaŃa de separaŃie a două medii se conservă componenta tangenŃială a lui H.

2

1

22

2

1

11

2

2

1

1

2

1

µµ

µµ

αα

=⋅==t

n

n

t

n

t

n

t

H

B

B

H

B

BB

B

tg

tg

2

1

2

1

µµ

αα

=tg

tg (4) - teorema refracŃiei liniilor de câmp magnetic

Circuite magnetice Un circuit magnetic este un ansamblu de piese din material feromagnetic între

care pot exista porŃiuni de aer (întrefier) şi pe care pot fi amplasate bobine. Aceste bobine, atunci când sunt parcurse de curent, creează câmpuri magnetice care se închid în cea mai mare parte prin materialul feromagnetic şi întrefier.

Page 100: Bazele Electrotehnicii Curs 1

100

Φ

AB

S

µ

dl

icferomagnet

material

din

portiune

A B

dl

H

∫ ⋅=B

A

Def

mAB ldHU (5) - tensiune magnetică. Φ⋅= mABmAB RU (6)

mABR - reluctanŃa magnetică

HSdsHsdHsdBSSS

µµµ ==⋅=⋅=Φ ∫∫∫

(5) ABmAB lHU ⋅=⇒

Se înlocuiesc Φ şi mABU în (6) ⇒⋅=⋅⇒ HSRlH mABAB µS

lR ABmAB ⋅

(7)

RelaŃia (7) arată că reluctanŃa magnetică depinde numai de dimensiunile geometrice şi de proprietăŃile magnetice ale materialului, prin constanta µ .

În cazul general când secŃiunea porŃiunii de material nu este constantă, iar materialul nu este omogen, reluctanŃa magnetică are expresia:

∫=B

A

mAB dlS

Rµ1

(7’)

Analogia formală intre expresia (6) şi legea lui Ohm de la circuite electrice, precum şi analogia între expresia reluctanŃei magnetice şi expresia rezistenŃei electrice permit numirea expresiei (6) „Legea lui Ohm” pentru circuite magnetice.

Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice Reprezintă instrumente de calcul care permit determinarea distribuŃiei

câmpului magnetic în circuite magnetice.

icferomagnet

material

bobine

refierintÎntrefier (aer)

Page 101: Bazele Electrotehnicii Curs 1

101

dsdl

A B

CD

1N

2NΓ

magnetic

circuit

de

ochi

Legea fluxului magnetic pentru suprafaŃa

Σ care înconjoară nodul de circuit magnetic se scrie:

+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫Σ 321 SSS

sdBsdBsdBsdB

04321

4

=Φ+Φ+Φ−Φ=⋅+ ∫S

sdB

Teorema întâi a lui Kirchhoff:

∑=

=Φn

kk

1

0 (8)

EnunŃ: Suma fluxurilor magnetice incidente într-un nod de circuit magnetic

este zero.

Se aplică teorema lui Ampère pentru curba Γ :

ΓΘ=⋅∫

ΓSldH ⇒

+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫Γ

D

C

C

B

B

A

ldHldHldHldH

mDAmCDmBCmAB

A

D

UUUUldH +++=⋅+ ∫

2211 ININS −=ΘΓ

2211 ININUUUU mDAmCDmBCmAB −=+++

Teorema a doua a lui Kirchhoff:

∑∑==

=p

kkk

p

kmk INU

11

(9)

EnunŃ: Suma algebrică a tensiunilor magnetice ale laturilor de circuit

magnetic ce compun un ochi este egală cu suma algebrică a solenaŃiilor date de bobinele de pe laturile ochiului.

(9)⇔ ∑∑==

Θ=Φp

kk

p

kkmkR

11

(9’)

Analogia formală între teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice şi

cele pentru circuite electrice permite studiul circuitelor magnetice cu ajutorul unor circuite electrice echivalente descrise de ecuaŃii formal identice.

1S

2S3S

4S

2B

1B

sd

Page 102: Bazele Electrotehnicii Curs 1

102

• •

• •

A B C

D E F

1Φ 2Φ 3Φ

1I 2I

I1 I 2 I 3

E1 E 2

R1 R2

R3

R4 R5

R6 R7

Circuit magnetic Circuit electric

Φ I Rm R Um U

Θ = NI E (t.e.m.)

Exemplu: Se dă circuitul magnetic din figură :

Se cunosc:dimensiunile geometrice, 211 ,, NNµ Se cere: 321 ,, ΦΦΦ .

mEF

mBE

mAD

RR

RR

RR

7

2

1

M

33

22

11

222

111

Φ≡

Φ≡

Φ≡

I

I

I

INE

INE

6411 RRRRS ++= (serie) 7532 RRRRS ++= (serie)

Se aplică T1K şi T2K:

−=Φ−Φ

+=Φ−Φ

=Φ+Φ+Φ

222233

11221122

321 0

INRR

ININRR

mSmS

mSmS 321 ,, ΦΦΦ⇒

Circuitul poate fi rezolvat prin orice metodă cunoscută, nu numai prin metoda teoremelor lui Kirchhoff.

Aceste calcule sunt valabile numai dacă materialul magnetic care intră în structura circuitului magnetic este liniar. .ctRm = .

Φ1 Φ2 Φ3

RmS1 RmS2 RmS3

N1I1 N2I2

Page 103: Bazele Electrotehnicii Curs 1

103

liniar

magnetic

material

H

B Dacă materialul este neliniar, atunci teoremele lui Kirchhoff rămân valabile, cu precizarea că reluctanŃele magnetice care intervin în teorema a doua nu sunt constante, ci depind de fluxuri. Rezolvarea sistemului de ecuaŃii în acest caz, care este un sistem de ecuaŃii neliniare, este mult mai dificilă şi se face prin metode de aproximaŃie sau numerice.

)(Φ= fRm

⇒≠⋅=⋅⋅

= ctB

H

S

l

SB

lHUR mm ( )Φ= fRm

În practica inginerească materialele feromagnetice se folosesc adesea în zona liniară a caracteristicilor. În această situaŃie teoremele lui Kirchhoff şi analogiile pot fi utilizate şi pentru exemplul anterior.

InductivităŃi

a) Inductivitatea sau inductanŃa proprie a unei bobine sau a unui conductor oarecare

IL

Def Φ= (10) ,

ΓΦ=Φ S

H

B

pierderi

farasi

histerezis

fara

icferomagnet

material

remanenta

inductieB

rB

cH

coerativ

camp

magnetica prima

de curba

SB

saturatie de inductie−SB

B

H

Curbă de primă magnetizare

câmp coercitiv

( material feromagnetic cu histerezis şi pierderi prin curenŃi turbionari )

I

Γ

sd

sd dl

Page 104: Bazele Electrotehnicii Curs 1

104

B

I

r

N

S

( )1

( )2

21ϕ21dϕ

1I

InductanŃa proprie a unei bobine este egală cu raportul pozitiv între fluxul magnetic printr-o suprafaŃă delimitată de spirele bobinei şi o curbă arbitrară care uneşte capetele ei şi curentul care parcurge spirele bobinei şi provoacă apariŃia câmpului magnetic.

1H=>< SIL , 1A

1m1TA

Wb11H

2⋅== , 0>L

Metodă practică de calcul

Se consideră cazul particular al unei

bobinei amplasate pe un miez magnetic de formă toroidală.

Câmpul magnetic se va închide în totalitate prin acest miez.

fSB Φ≡⋅=Φ - flux fascicular Acesta corespunde secŃiunii delimitate de o singură spiră.

ϕ⋅=Φ⋅=Φ NN f - flux total (se consideră la calculul lui L)

I

NL

ϕ⋅=

FeFe l

INHINlHINldH

⋅=⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅∫

Γ

, )2( rlFe π=

⇒=

⋅⋅

=⇒⋅=

==

S

lN

I

Sl

NIN

LSBl

NIHB

Fe

Fe

Fe

µ

µ

ϕ

µµ 2

mR

NL

2

= (11)

RelaŃia (11) poate fi utilizată la calculul inductanŃei proprii. Ea arată că inductanŃa proprie nu depinde de curent ci numai de numărul de spire al bobinei şi de dimensiunile geometrice ale miezului, precum şi de proprietăŃile lui magnetice.

b) InductivităŃi mutuale şi de dispersie

Se consideră două spire, una din ele fiind parcursă de curent. Acest curent creează un câmp magnetic.

11ϕ - fluxul magnetic prin suprafaŃa spirei 1 parcursă de curentul I1.

21ϕ - fluxul magnetic prin suprafaŃa spirei 2.

211121 ϕϕϕ −=d

21dϕ - flux de dispersie

11ϕ - flux propriu

21ϕ - flux mutual

Page 105: Bazele Electrotehnicii Curs 1

105

11ϕ

21dϕspire 2N

cu

bobnia

1I

spirecu

Bobina

1N

1

11

1

1111 IIL

ϕ=

Φ= (avem 11 =N )

1

21

1

2121 IIL

ϕ=

Φ= - inductivitate mutuală a spirei 2 faŃă de spira 1

1

21

1

2121 II

L ddd

ϕ=

Φ= - inductivitate de dispersie a spirei 1

InductanŃa mutuală poate fi pozitivă sau negativă după cum fluxul 21Φ străbate suprafaŃa delimitată de a doua spiră în acelaşi sens sau în sens opus faŃă de un sens de referinŃă al acestuia corelat cu sensul curentului prin spira 2, dacă acesta există.

1

111

1

1111 I

N

IL

ϕ=

Φ=

(inductanŃa proprie a bobinei 1)

1

212

1

2121 I

N

IL

ϕ=

Φ=

21Φ - fluxul total care corespunde întregii suprafeŃe delimitate de spirele bobinei 2.

12

21

1

11211121 N

NNd ⋅Φ

−Φ

=−= ϕϕϕ

⇒Φ⋅−

Φ=

Φ⇒⋅Φ−Φ=

1

21

2

1

1

11

1

21

121

2

111211

1IN

N

IIIN

NN d

212

11121 L

N

NLLd −= (12)

ObservaŃie: Dacă şi a doua bobină este parcursă de curent, atunci fluxul 21Φ

şi implicit 21L pot fi negative, iar relaŃia (12) devine:

212

11121 L

N

NLLd ⋅−= (12’)

Dacă fluxul de dispersie este zero (cazul a două bobine foarte apropiate) atunci

:

111

2

1

11

1

2

1

1

112

1

112211121 L

N

N

IN

N

I

NN

I

NL ⋅=

Φ⋅=

Φ

==⇒=ϕ

ϕϕ

Cuplaj perfect:

⋅=

=

111

221

21 0

LN

NL

Page 106: Bazele Electrotehnicii Curs 1

106

a

b

c

d

*

*

a

b

c

d

*

*

În mod similar se pot defini:

2

2222 IL

Φ= ,

2

1212 IL

Φ= , 12

1

22212 L

N

NLLd ⋅−=

În practică avem MLL == 2112 (reciprocitate).

Coeficientul de cuplaj:2211LL

Mk = ; 10 << k

Cuplaj perfect k=1. Dacă ambele bobine sunt parcurse de curent, fluxul total corespunzător

fiecărei bobine se obŃine prin însumarea fluxului propriu datorat propriului curent şi fluxului mutual datorat celeilalte bobine.

21222 ϕϕϕ +=

⇒⋅+Φ=+==Φ2

121222212222222 N

ILNNNN ϕϕϕ 1212222 ILIL +=Φ

Analog, 2121111 ILIL +=Φ

Marcarea bornelor la bobine cuplate magnetic

Dacă sensurile curenŃilor prin cele două bobine determină fluxuri proprii de acelaşi sens prin circuitul magnetic comun, atunci se marchează la fiecare bobină câte o bornă (borna prin care curentul intră în bobină). Dacă sensurile curenŃilor determină fluxuri care se opun, atunci la una din bobine se marchează borna de intrare, iar la cealaltă borna de ieşire a curentului.

11Φ 22Φ1I 2I

2I1I 11Φ 22Φ

1N2N

Page 107: Bazele Electrotehnicii Curs 1

107

B

H

S

l

I

Energie şi forŃă în câmp magnetic

Se consideră un sistem de n bobine parcurse fiecare de curent electric. Bobinele pot fi cuplate magnetic între ele. Fiecărei bobine îi corespunde un flux magnetic

nΦΦΦ ,..., 21 . Fluxul 1Φ reprezintă suma dintre fluxul propriu al primei bobine, creat de curentul 1I , şi fluxul mutual datorat cuplajului cu celelalte bobine, provocat de curenŃii nII ...2 .

Energia proprie a câmpului magnetic total corespunzător celor n bobine este:

∑=

Φ=n

kkkm IW

121

(1)

⇒=Φ⇒

Φ=

Φ=⇒=

LII

L

IWn m 21

12

21LIWm = (2)

⇒Φ

=L

IL

Wm

2

21 Φ

= (3) J1=>< SImW (Joule)

NSB ⋅⋅=Φ

lHIN ⋅=⋅ (T. Ampère)

VHBlSHBINSBIWm ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=Φ=21

)(21

)(21

21

Generalizare:

∫∫ =⋅⋅=V

m

V

m dvwdvHBW21

(4)

HBwm ⋅=21

- densitatea volumică de energie, 3J/m1=>< SImw

V – volumul ocupat de câmpul magnetic

Teoremele forŃelor generalizate în câmp magnetic

1. ct

m

x

WX

=Φ∂

∂−= (5) - prima teoremă a forŃelor generalizate în câmp magnetic

1e2e

1I

2I

nI

1Φ 2Φ

Φn

en

Page 108: Bazele Electrotehnicii Curs 1

108

I

N

lFc

S

δ

Rmδ

NI

Rmδ

R Fem

( )fascicularϕ

2. ctI

m

x

WX

=∂

∂+= (6)- a doua teoremă a forŃelor generalizate în câmp magnetic

Coordonata x poate avea dimensiuni de lungime sau de unghi. Corespunzător, forŃa generalizată X poate fi o forŃă sau un cuplu.

AplicaŃii: 1)

Se dă: N, I, lFe, δ, S. Se cere: L, Wm Fel - lungimea unei linii de câmp

magnetic în interiorul miezului feromagnetic sau fibra medie a miezului.

m

D

R

N

IL

2

=

T2K: ( ) INRR mFem ⋅=+⋅ δϕ 2

mFem RR

IN

+⋅⋅

=⇒δ

ϕ2

mFem RR

N

I

NL

+⋅=

⋅=

δ

ϕ2

2

mFemm RRR +⋅= δ2

S

lR

r

FemFe µµ0

= , S

Rm0µδ

δ =

r

Fe

r

Fe lSN

S

l

S

NL

µδ

µ

µµµδ

+=

+=⇒

22

02

00

2

ObservaŃie: L nu depinde de I.

În general rµ >>1, practic )1010( 43 ÷≈rµ , astfel încât se poate face

aproximarea δµ

20

2 SNL = .

+

==

r

Fe

ml

SINLIW

µδ

µ

2221 2

02

2

Page 109: Bazele Electrotehnicii Curs 1

109

δ

1N 2N

1I2I

ϕ

**

δ

N

I

S

mobila

armatura

rµ lFe

F

2) Se dă: rFe SLNN µδ ;;;;; 21 Se cere: a) 2112 LL = b) marcarea bornelor

Consider 1I arbitrar.

⇒+

===⇒=⇒

⋅=

Φ=

⋅=

Φ=

r

FelSN

N

NL

N

N

IN

ILNL

N

IL

I

N

IL

I

N

IL

µδ

µ

ϕϕ

ϕ

2

02

1

1

21

1

2

11

11221

1

111

1

11

1

11

1

12

1

2121

r

FelSNN

L

µδ

µ

+=⇒

2

02121

Bornele marcate sunt bornele de intrare ale curenŃilor în cele două bobine, curenŃi ce determină fluxuri proprii de acelaşi sens în circuitul magnetic comun.

3)

Se dă un electromagnet pentru care se cunosc: rFelSIN µδ ;;;;; Se cere: ?=F (forŃa portantă)

ctI

mWF=∂

∂+=

δ

F - forŃa generalizată δ - coordonata generalizată

( )LILIFctI

δδ ∂∂

=

∂∂

==

22

21

21

20

22

20

220

22

22

2222

1

+

−=

+

−⋅=

+∂∂

=

r

Fe

r

Fe

r

Fe l

SNI

l

SNIlSN

IF

µδ

µ

µδ

µ

µδ

µδ

⇒< 0F forŃa acŃionează în sensul scăderii lui δ. Deci sensul real este la fel ca pe figură.

Page 110: Bazele Electrotehnicii Curs 1

110

dl

ds

B

Γ

v

O

Mr

B

Legile generale ale electrodinamicii (regim variabil) (Legile de evoluŃie a câmpului electromagnetic)

Fenomenele naturale au o evoluŃie în timp care se caracterizează în general

prin viteze nenule şi prin mărimi de stare variabile în timp. Regimurile statice şi staŃionare studiate până în prezent constituie

particularizări ale regimului variabil şi reprezintă un suport teoretic deosebit de important pentru studiul fenomenelor reale.

(1) Legea inducŃiei electromagnetice

a) Forma generală

∫∫Γ

⋅−=⋅Γ S

sdBdt

dldE (1)

ΓΓ

=⋅∫ eldE - tensiunea electromotoare

corespunzătoare curbei Γ.

Γ

Γ

Φ=⋅∫ S

S

sdB - fluxul magnetic

dt

de

SΓΦ

−=Γ (1’)

EnunŃ: Tensiunea electromotoare (t.e.m.) corespunzătoare oricărei curbe închise este egală cu viteza de scădere a fluxului magnetic prin suprafaŃa delimitată de această curbă. Legea inducŃiei electromagnetică explică fenomenul de apariŃie a câmpului electric in prezenŃa unui câmp magnetic.

b) Forma integrală dezvoltată

( )∫∫∫Γ

⋅×+⋅∂∂

=⋅⇒=ΓΓ

ldvBsdt

BsdB

dt

drtBB

SS

),(

⇒)1( ( )∫∫∫ΓΓ

⋅×+⋅∂∂

−=⋅Γ

ldBvsdt

BldE

S

(2)

tresd

t

B

S

Γ=⋅∂∂

− ∫Γ

- tensiune electromotoare indusă transformatorică

( )v

eldBv ΓΓ

=⋅×∫ -tensiune electromotoare indusă de mişcare

tr

eΓ -se datorează variaŃiei câmpului magnetic în raport cu timpul

v

eΓ - se datorează deplasării curbei Γ sau a unor părŃi ale curbei în raport cu o referinŃă

v - viteza elementului de lungime dl. c) Forma locală Teorema lui Stokes în relaŃia (2) ⇒

Page 111: Bazele Electrotehnicii Curs 1

111

dl

ds

B

i

( )∫∫∫ΓΓΓ

⋅×+⋅∂∂

−=⋅SSS

sdBvrotsdt

BldErot

( )Bvrott

BErot ×+

∂∂

−= -(3) Forma locală a legii

Este valabilă in medii continue ; deci nu pe suprafeŃe de discontinuitate. În cazul particular al mediilor imobile

t

BErotv

∂∂

−=⇒= 0 (4) - ecuaŃia a doua a lui Maxwell

Particularizare pentru regim staŃionar:

00;0 =⋅⇒=∂∂

= ∫Γ

ldEt

Bv (5)

(teorema potenŃialului electrostatic)

(2) Legea circuitului magnetic (a) Forma generală

∫∫∫ΓΓ

⋅+⋅=⋅Γ

SS

sdDdt

dsdJldH (6)

ΓΓ

=⋅∫ mmuldH -tensiune magnetică

Γ

Γ

=⋅∫ S

S

isdJ -curent de conducŃie total prin SΓ (solenaŃie)

Γ

=⋅∫ S

S

isdDdt

d -curent hertzian prin SΓ

'ΓΓ

+=Γ SSmm iiu (6’) EnunŃ: Tensiunea magnetică corespunzătoare oricărei curbe închise este egală cu

suma dintre curentul de conducŃie şi curentul Hertzian prin suprafaŃa delimitată de această curbă.

(b) Forma integrală dezvoltată a legii

),( rtDD = ( ) ldvDsdDdivvsdt

DsdD

dt

d

SSS∫∫∫∫Γ

⋅×+⋅⋅+⋅∂∂

=⋅⇒ΓΓΓ

⇒ ( ) ldvDsdDdivvsdt

DsdJldH

SSS∫∫∫∫∫Γ

Γ⋅×+⋅⋅+⋅

∂∂

+⋅=⋅ΓΓΓ

(7)

∫Γ

⋅∂∂

S

sdt

D - curent de deplasare

Page 112: Bazele Electrotehnicii Curs 1

112

D

ΓS

Γ

( )ti

+

Γ

rcondensato armatura

ΓS

D

i

∫Γ

⋅⋅S

sdDdivv - curent de convecŃie

∫∫ΓΓ

⋅⋅=⋅⋅S

V

S

sdvsdDdivv ρ - se datorează deplasării sarcinilor electrice

macroscopice prin suprafaŃa ΓS

( ) ldvD∫Γ

⋅× -curent Roentgen (are numai valoarea teoretică în aplicaŃiile

practice inginereşti la frecvenŃe joase şi medii el fiind neglijabil).

(c) Forma locală Aplicând Stokes în (7) rezultă:

( )vDrotDdivvt

DJHrot ×+⋅+

∂∂

+= (8)

Caz particular pentru medii în repaus:

t

DJHrotv

∂∂

+=⇒= 0 (9) - principala ecuaŃie a lui Maxwell

Particularizare pentru regim staŃionar: sdJldH

S∫∫Γ

⋅=⋅Γ

(10) – teorema lui Ampère

Curentul de deplasare explică trecerea curentului variabil în timp prin

dielectricul condensatoarelor. AplicaŃie: 1)

∫∫∫ΓΓ

⋅+⋅=⋅Γ

SS

sdDdt

dsdJldH ; 0≠⋅∫

Γ

sdJS

; 0=⋅∫ΓS

sdDdt

d

∫∫∫ΓΓ

⋅+⋅=⋅Γ

'' SS

sdDdt

dsdJldH

0'

=⋅∫Γ

sdJS

; 0'

≠⋅∫ΓS

sdDdt

d

Page 113: Bazele Electrotehnicii Curs 1

113

r

( )tBM

NMNU

tBmaxB

( )tUMN

t

∫∫∫ΗΓΓ

⋅∂∂

=⋅=⋅⇒'' SSS

sdt

DsdD

dt

dsdJ )0( =v

2) Se dă o spiră deschisă de forma unui cerc de rază r amplasată într-un câmp magnetic uniform în spaŃiu dar variabil în timp de forma

( ) tBtB ωsinmax= ; ct=ω

Se cere: ?=MNU

∫∫Γ

⋅∂∂

−=⋅Γ S

sdt

BldE )0( =v

MN

M

N

MN

M

firN

N

aerM

UldJUldEldEldE =⋅+=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫Γ

ρ

)()(

JE ⋅= ρ -legea conducŃiei electrice valabilă între conductoare J=0-pentru că spira este deschisă

tBt

Bωω cosmax=

∂∂

2max cos rtBsd

t

B

S

πωω ⋅=⋅∂∂∫Γ

trBUMN ωπω cos2max−=

EcuaŃiile lui Maxwell

1)t

DJHrot

∂∂

+= -legea circuitului magnetic

2)t

BErot

∂∂

−= -legea inducŃiei electromagnetice

3) VDdiv ρ= -legea fluxului electric

4) 0=Bdiv -legea fluxului magnetic