7/17/2019 am_IEEIA_s1_2015

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SEMINAR 1, Analiza matematica, semestrul I, 2014–2015

1 Siruri

Exercitiul 1.1   S˘ a se calculeze urm˘ atoarele limite de siruri:

1. limn→∞

1 + 3n

2 − n4

.   2. limn→∞

3 + 4n − n4

2 + 3n + 5n4. 3. lim

n→∞

4 − n2 + 5n

4

3 +  n3  .

4. limn→∞

4 − 3n − n2

6 + 3n2 +  n4.   5. lim

n→∞

√ n2 − 5n + 3.   6. lim

n→∞

3√ 

2 + 4n2 − 5n3.

7. limn→∞

√ n2 + 3 − 2n.   8. lim

n→∞

5 · 7n − 8n

7n + 8n+1  .   9. lim

n→∞

13n + (−5)n

4

·13n + (

−11)n

.

10. limn→∞

  n + 1

3n + 2

n

2

n+4

.   11. limn→∞

1 + 2 +  ... +  n

n2 +  n + 5  .

12. limn→∞

1

1 · 3 +

  1

2 · 4 +  ... +

  1

n(n + 2).   13. lim

n→∞

1 + 3 + 32 +  ... + 3n

5 · 3n + 2n.

14. limn→∞

√ n2 + 2n + 3 − n.   15. lim

n→∞

3√ 

n3 + 6n2 − 2 − n.

16. limn→∞

3√ 

n3 + 5n2 + 6 −√ 

n2 + 3n + 4.   17. limn→∞

n(   3√ 

n3 + 2n + 5 − n).

18.   3√ 

n3 + 5n2 + 6 −√ 

n2 + 3n + 4 19. limn→∞

n + 2

n + 5

n

.

20. limn→∞

  n2 + 2

n

2

+ 3n + 7

n2+1

n+2

.   21. limn→∞

n ln(√ 

n2 + 2n + 5

−n).

22. limn→∞

n ln(   3√ n3 + 3n2 + 4n + 7 − n).

Exercitiul 1.2   Folosind criteriul Cesaro-Stolz, s˘ a se calculeze limitele sirurilor:

1.   an =  ln n!

n ln n.

2.   an =  1

n

1 +

 1

2 +

 1

3 +  ... +

 1

n

.

3.   an =  1√ 

n

1 +

  1√ 2

+  1√ 

3+  ... +

  1√ n

.

4.   an =  1

ln n1 +

 1

2

 + 1

3

 +  ... + 1

n .

Exercitiul 1.3   S˘ a se studieze convergent a urm˘ atoarelor siruri:

I. Monotonie si marginire:

1.   an = 4 · 7 · 10 · ... · (3n + 1)

5 · 9 · 13 · ... · (4n + 1), ∀n ∈ N.

2.   an = 3n + 1

5n + 1, ∀n ∈N.

1

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3.   an =  n

2 + 3n + 1

2n2 − 5n + 1, ∀n ∈N.

4.   an =  5 · 7 · 9 · ... · [5 + 2(n − 1)]

4 · 7 · 10 · ... · [4 + 3(n − 1)], ∀n ∈N∗.

II. Subsiruri:

5.   an =   (−1)n3n2 + 1(−1)n+1n2 + 5n + 6

, n ≥ 4.

6.   an = (−1)n2n + 1

(−1)n4n, ∀n ∈N.

7.   an =sin

nπ

2

2n + 1

(−1)n4n2 − 2n + 3, ∀n ∈ N.

III. Recurente:

8.   a1 = 1, an+1 = 5 + 1

3an, ∀n ∈ N.

9.   a0 = 1, a1 =   1

2,  12an+2 = 7an+1 −an, ∀n ∈N.

Exercitiul 1.4   S˘ a se calculeze limita sirurilor cu termenul general:

1.   xn  =

  n

√ n!

n,

n − 1

n + 2

n

,(−4)n + 7n+1

5n + 3 · 7n

n∈N∗

.

2.   xn  =√ 

n2 − 3n + 1 − n, n sin   1

n

n∈N∗

.

2