Fig.

Fig. 1

AEF-T.4.5

PROBLEME DE OPTIMIZARE CONSTRUCTIVĂ

CUPRINS AEF-T.4.5.1 ASPECTE GENERALE

AEF-T.4.5.2 TIPURI DE PROBILE REZOLVABILE PRIN AEF

AEF-T.4.5.3 MODEL TEORETIC CVASIGENERAL DE AEF

AEF-T.4.5.1 ASPECTE GENERALE

Procesul de proiectare a unui element constructiv, de obicei, începe cu proiectarea formei, care urmăreşte

optimizarea principială privind uniformizarea tensiunilor interne şi de suprafaţă bazat pe experienţele

anterioare şi principii şi reguli din literatura de specialitate. Stabilirea formei se corelează permanent cu

procesele tehnologice ale materialului, de manufacturare şi de asamblare.

În vederea modelării şi analizelor cu elemente finite pentru proiectare a structurilor mecanice se impune

dezvoltarea unui model de calcul de predimensionare (fig. 1) pentru determinarea unei structuri iniţiale cu

relaţiile clasice ale rezistenţei materialelor, astfel ca structura să fie acoperitoare (supradimensionată) adică să

reziste în condiţii sigure la un sistem de sarcini impuse, considerând desigur coeficienţi de siguranţă măriţi. De obicei, în proiectarea clasică, numărul necunoscutelor (parametrilor) independente este mai mare decât

cel al relaţiilor de calcul din modelele de predimensionare/dimensionare şi, pentru a avea un sistem de ecuaţii

determinat se impune adoptarea unor valori predefinite (din considerente de standardizare, tehnologice etc.)

şi/sau a unor restricţii pentru parametrii de proiectare dependenţi. Procesul este repetitiv până la verificarea a

tuturor restricţiilor impuse preliminar.

Calculele de dimensionare

(predimensionare) şi verificare în funcţie de

situaţiile concrete, de obicei, urmăresc aspecte

de: rezistenţă, prin asigurarea unui raport bine

definit între valorile efective şi cele admisibile

ale tensiunilor; deformare, prin limitarea

deplasărilor sau a rigidităţilor (flexibilităţilor)

efective la valorile admisibile, de regulă,

dictate de condiţii de bună funcţionalitate;

stabilitate, prin evitarea condiţiilor de apariţie

a flambajului (elastic sau plastic); rezonanţă,

prin nesuprapunerea frecvenţelor excitaţiilor

interne sau externe peste frecvenţele proprii ale

structurii; vibraţii şi zgomote, prin studii

legate de analize asupra răspunsului în

Principii şi algoritmi de proiectare a sistemelor

mecanice frecvenţă şi spectrelor de zgomote;

durabilitate, prin evaluarea duratei de

funcţionare în condiţii impuse sau

determinarea unor parametri funcţionali pentru

o durată de funcţionare dată; termice, prin

evitarea dilataţiilor datorate variaţiilor de

temperatură care apar în timpul funcţionării;

uzare, prin evitarea efectelor fenomenelor de

uzare adezivă, abrazivă, de oboseală, prin

gripare sau prin coroziune; fiabilitate, prin

evaluarea previzională a funcţionării cu

indicatori cantitativi.

2

În cazul proiectării moderne (fig. 1), bazat pe sisteme informatice complexe CAD/CAE, structura

obţinută în urma proiectării clasice grosiere (fără verificarea restricţiilor) se va analiza cu elemente finite

folosind module program performante. În urma analizelor rezultatelor obţinute, inginerul proiectant (analist)

poate să modifice dimensiunile şi/sau chiar forma iniţială a structurii în vederea uniformizării solicitării

materialului, minimizarea deplasărilor şi/sau a tensiunilor maxime etc. Această operaţie ce urmăreşte

optimizarea intuitivă a structurii iniţiale se face manual şi conduce la rezultate nesigure, frecvent, dependente

de experienţa inginerului analist.

Multe variante de sisteme CAD/CAE actuale conţin tehnici şi proceduri de optimizare algoritmică (bazate

pe modele matematice), uzual, implementate ca module şi proceduri de calcul de optimizare cu elemente finite

care operează postanalizele cu elemente finite.

Procesul de optimizare trebuie să determine extremul (de ex, valoarea minimă) uneia sau mai multor

funcţii dependente de variabilele de proiectare, numite funcţii obiectiv (scop) în condiţiile respectării unor

restricţii (de obicei, de tip egalitate şi/sau inecuaţie). Practic,de exemplu, minimizarea unor astfel de funcţii

obiectiv pot conduce la o structură cu rezistenţă maximă şi masă şi minimă.

Modelul matematic, general, al unei probleme de optimizare are forma,

Fi (x1, x2, … xn) – max (min),

gj (x1, x2, … xn) = 0, (1)

hk (x1, x2, … xn) < 0,

unde, x1, x2, … xn sunt necunoscutele independente; Fi, i = 1,2, … m – funcţii obiectiv (scop); gj, i = 1,2, … p –

restricţii de tip egalitate, hk, i = 1,2, … q – restricţii de tip inegalitate. Rezolvarea acestui model se face cu

modele matematice şi algoritmi dedicaţi diferenţiaţi în funcţie de numărul şi tipul funcţiilor (liniare şi/sau

neliniare) obiectiv şi restricţiilor (mărimi de răspuns dependente de necunoscutele independente). În general,

funcţia obiectiv fiind neconvexă, sunt posibile multiple puncte de extrem. Găsirea extremului este o problemă

dificilă, ce, frecvent în practica actuală se limitează la găsirea unui minim local în spaţiul admisibil variabilelor

independente determinat de restricţii.

Cele mai utilizate funcţii obiectiv sunt: preţul de cost, volumul, masa (greutatea), rigiditatea, rezistenţa

mecanică, stabilitatea (ca răspuns la acţiunea unei forţe), energia potenţială de deformaţie sub sistemul de

sarcini etc.

Metode matematice de rezolvare a modelelor de optimizare frecvente sunt: Kuhn-Tucker – formalismul

entropiei maxime, simplex, direcţiei realizabile, minimizării neconstrânse secvenţiale, dezvoltării în serii

Taylor. Având în vedere că de multe ori condiţiile restrictive sunt contradictorii, determinarea parametrilor cu

algoritmii de mai sus se face anevoios, prin multe încercări şi cu erori.

Tehnicile şi procedurile de optimizare s-au impus – mai ales în ultimul deceniu – ca mijloace şi instrumente

inginereşti foarte valoroase şi puternice pentru a realiza structuri eficiente şi competitive. Dintre acestea în

ultimul timp s-au impus tehnicile şi metodele de optimizare bazate pe metoda elementelor finite.

AEF-T.4.5.2 OPTIMIZAREA CU ELEMENTE FINITE A STRUCTURILOR

MECANICE

Procesul de optimizare cu elemente finite ca o componentă a proiectării şi dezvoltării unui produs, cu

pachete CAD/CAE performante, implică pornind de la un model de analiză cu elemente finite elaborarea unui

model de optimizare cu elemente finite (fig. 2). Acesta ia considerare de noi condiţii (restricţii) ca parte a unui

model dedicat. Restricţiile sunt formulate matematic sub forma unor relaţii (de obicei inecuaţii) între variabilele

de proiectare necunoscute. Ele limitează domeniul de variaţie al acestor variabile şi deci “spaţiul de proiectare”

în care se caută soluţia optimă. Rezultatele obţinute în urma rezolvării modelului de optimizare trebuie validat,

în final, de considerente tehnologice, de montaj, de transport, de exploatare, estetice, ergonomice, ecologice etc.

Pentru a realiza optimizarea unei structuri se elaborează un model de analiză cu elemente finite preliminar

pentru o variantă “iniţială” a structurii, bazat pe un model geometric parametrizat. Pornind de la acest model se

definesc unul sau mai mulţi parametri de proiectare – denumiţi şi variabile de proiectare (dimensiuni,

caracteristici ale materialelor etc.) - şi valori şi (sau) intervale de valori posibile ale acestora denumite restricţii

de proiectare, sub forma unor egalităţi sau inegalităţi. În plus, referitor la comportarea structurii, se definesc

variabilele de stare (tensiuni, deplasări, deformaţii etc.) ca mărimi dependente (răspuns) de variabilele de

proiectare fiind, de asemenea limitate inferior şi/sau superior, prin restricţii (constrângeri) de stare.

3

Fig. 2

a b. c.

Fig. 3

Modelul de optimizare cu elemente finite, dependent de mediul

CAD/CAE folosit, presupune definirea conform formalismului impus a

parametrilor de proiectare şi de stare, restricţiilor de proiectare şi de

stare. Una sau mai multe din funcţiile de stare sunt definite ca funcţii

obiectiv pentru care se va urmări determinarea valorii extreme

(minime/maxime). În aplicaţia se prezintă modelul de optimizare

dimensională a unei structuri folosind mediul CAD/CAE ANSYS

Workbanch. Frecvent, în practica de proiectare, se defineşte ca funcţie

obiectiv, masa (volumul, greutatea) structurii, urmărindu-se

minimizarea acesteia astfel ca deplasările şi tensiunile maxime să nu

depăşească valori limită impuse prin restricţii de stare.

Procesul de optimizare are la bază unul sau mai multe seturi de

valori iniţiale şi soluţii de plecare definite de utilizator sau generate

aleatoriu de program. Un set de valori iniţiale presupune cunoaşterea

unor variabile de proiectare (resurse), variabile de stare (atribute) şi

funcţia obiectiv. Algoritmul de optimizare cu elemente finite generează

succesiv seturi de variabile de proiectare fezabile (care respectă

restricţiile de proiectare şi de stare) conducând către un set optim (cel

mai bun). În spaţiul de proiectare definit ca fiind fezabil se consideră

toleranţe pentru fiecare limită a variabilei de stare. Pentru fiecare set de

variabile de proiectare generat se determină valoarea funcţiei obiectiv.

Din mai multe seturi fezabile se reţine setul cel mai bun pentru care

funcţia obiectiv are valoarea extremă (minimă/maximă).

Optimizarea constructivă cu elemente finite bazată pe medii CAD/CAE comerciale s-a dezvoltat în două

direcţii: optimizarea dimensională sau optimizarea formei. Optimizarea dimensională presupune păstrarea

formei modelului de analiză preliminar (fig. ,a) şi modificarea valorilor parametrilor de proiectare adoptaţi (fig.

3,b). Optimizarea formei presupune modificarea formei prin îndepărtarea din structură a unui volum de

material (fig. 3,c) unde solicitările sunt reduse cu respectarea restricţiilor impuse.

În faza de elaborare a modelului de optimizare trebuie avute în vedere toate aspectele structurale,

funcţionale şi tehnologice ale procesului analizat, care de multe ori sunt dificil de formulat integrat în termeni

numerici, cantitativi. Ieşirea din impas se face cu ajutorul pachetelor performante CAD/CAE care prin tehnica

optimizării prin simulare a comportării permite proiectantului (analistului FEA) procesul iterativ de

elaborare, rezolvare şi simulare de modele de optimizare cu nivele de precizie din ce în ce mai mărite..