Download - AEF-T.4.5
Fig.
Fig. 1
AEF-T.4.5
PROBLEME DE OPTIMIZARE CONSTRUCTIVĂ
CUPRINS AEF-T.4.5.1 ASPECTE GENERALE
AEF-T.4.5.2 TIPURI DE PROBILE REZOLVABILE PRIN AEF
AEF-T.4.5.3 MODEL TEORETIC CVASIGENERAL DE AEF
AEF-T.4.5.1 ASPECTE GENERALE
Procesul de proiectare a unui element constructiv, de obicei, începe cu proiectarea formei, care urmăreşte
optimizarea principială privind uniformizarea tensiunilor interne şi de suprafaţă bazat pe experienţele
anterioare şi principii şi reguli din literatura de specialitate. Stabilirea formei se corelează permanent cu
procesele tehnologice ale materialului, de manufacturare şi de asamblare.
În vederea modelării şi analizelor cu elemente finite pentru proiectare a structurilor mecanice se impune
dezvoltarea unui model de calcul de predimensionare (fig. 1) pentru determinarea unei structuri iniţiale cu
relaţiile clasice ale rezistenţei materialelor, astfel ca structura să fie acoperitoare (supradimensionată) adică să
reziste în condiţii sigure la un sistem de sarcini impuse, considerând desigur coeficienţi de siguranţă măriţi. De obicei, în proiectarea clasică, numărul necunoscutelor (parametrilor) independente este mai mare decât
cel al relaţiilor de calcul din modelele de predimensionare/dimensionare şi, pentru a avea un sistem de ecuaţii
determinat se impune adoptarea unor valori predefinite (din considerente de standardizare, tehnologice etc.)
şi/sau a unor restricţii pentru parametrii de proiectare dependenţi. Procesul este repetitiv până la verificarea a
tuturor restricţiilor impuse preliminar.
Calculele de dimensionare
(predimensionare) şi verificare în funcţie de
situaţiile concrete, de obicei, urmăresc aspecte
de: rezistenţă, prin asigurarea unui raport bine
definit între valorile efective şi cele admisibile
ale tensiunilor; deformare, prin limitarea
deplasărilor sau a rigidităţilor (flexibilităţilor)
efective la valorile admisibile, de regulă,
dictate de condiţii de bună funcţionalitate;
stabilitate, prin evitarea condiţiilor de apariţie
a flambajului (elastic sau plastic); rezonanţă,
prin nesuprapunerea frecvenţelor excitaţiilor
interne sau externe peste frecvenţele proprii ale
structurii; vibraţii şi zgomote, prin studii
legate de analize asupra răspunsului în
Principii şi algoritmi de proiectare a sistemelor
mecanice frecvenţă şi spectrelor de zgomote;
durabilitate, prin evaluarea duratei de
funcţionare în condiţii impuse sau
determinarea unor parametri funcţionali pentru
o durată de funcţionare dată; termice, prin
evitarea dilataţiilor datorate variaţiilor de
temperatură care apar în timpul funcţionării;
uzare, prin evitarea efectelor fenomenelor de
uzare adezivă, abrazivă, de oboseală, prin
gripare sau prin coroziune; fiabilitate, prin
evaluarea previzională a funcţionării cu
indicatori cantitativi.
2
În cazul proiectării moderne (fig. 1), bazat pe sisteme informatice complexe CAD/CAE, structura
obţinută în urma proiectării clasice grosiere (fără verificarea restricţiilor) se va analiza cu elemente finite
folosind module program performante. În urma analizelor rezultatelor obţinute, inginerul proiectant (analist)
poate să modifice dimensiunile şi/sau chiar forma iniţială a structurii în vederea uniformizării solicitării
materialului, minimizarea deplasărilor şi/sau a tensiunilor maxime etc. Această operaţie ce urmăreşte
optimizarea intuitivă a structurii iniţiale se face manual şi conduce la rezultate nesigure, frecvent, dependente
de experienţa inginerului analist.
Multe variante de sisteme CAD/CAE actuale conţin tehnici şi proceduri de optimizare algoritmică (bazate
pe modele matematice), uzual, implementate ca module şi proceduri de calcul de optimizare cu elemente finite
care operează postanalizele cu elemente finite.
Procesul de optimizare trebuie să determine extremul (de ex, valoarea minimă) uneia sau mai multor
funcţii dependente de variabilele de proiectare, numite funcţii obiectiv (scop) în condiţiile respectării unor
restricţii (de obicei, de tip egalitate şi/sau inecuaţie). Practic,de exemplu, minimizarea unor astfel de funcţii
obiectiv pot conduce la o structură cu rezistenţă maximă şi masă şi minimă.
Modelul matematic, general, al unei probleme de optimizare are forma,
Fi (x1, x2, … xn) – max (min),
gj (x1, x2, … xn) = 0, (1)
hk (x1, x2, … xn) < 0,
unde, x1, x2, … xn sunt necunoscutele independente; Fi, i = 1,2, … m – funcţii obiectiv (scop); gj, i = 1,2, … p –
restricţii de tip egalitate, hk, i = 1,2, … q – restricţii de tip inegalitate. Rezolvarea acestui model se face cu
modele matematice şi algoritmi dedicaţi diferenţiaţi în funcţie de numărul şi tipul funcţiilor (liniare şi/sau
neliniare) obiectiv şi restricţiilor (mărimi de răspuns dependente de necunoscutele independente). În general,
funcţia obiectiv fiind neconvexă, sunt posibile multiple puncte de extrem. Găsirea extremului este o problemă
dificilă, ce, frecvent în practica actuală se limitează la găsirea unui minim local în spaţiul admisibil variabilelor
independente determinat de restricţii.
Cele mai utilizate funcţii obiectiv sunt: preţul de cost, volumul, masa (greutatea), rigiditatea, rezistenţa
mecanică, stabilitatea (ca răspuns la acţiunea unei forţe), energia potenţială de deformaţie sub sistemul de
sarcini etc.
Metode matematice de rezolvare a modelelor de optimizare frecvente sunt: Kuhn-Tucker – formalismul
entropiei maxime, simplex, direcţiei realizabile, minimizării neconstrânse secvenţiale, dezvoltării în serii
Taylor. Având în vedere că de multe ori condiţiile restrictive sunt contradictorii, determinarea parametrilor cu
algoritmii de mai sus se face anevoios, prin multe încercări şi cu erori.
Tehnicile şi procedurile de optimizare s-au impus – mai ales în ultimul deceniu – ca mijloace şi instrumente
inginereşti foarte valoroase şi puternice pentru a realiza structuri eficiente şi competitive. Dintre acestea în
ultimul timp s-au impus tehnicile şi metodele de optimizare bazate pe metoda elementelor finite.
AEF-T.4.5.2 OPTIMIZAREA CU ELEMENTE FINITE A STRUCTURILOR
MECANICE
Procesul de optimizare cu elemente finite ca o componentă a proiectării şi dezvoltării unui produs, cu
pachete CAD/CAE performante, implică pornind de la un model de analiză cu elemente finite elaborarea unui
model de optimizare cu elemente finite (fig. 2). Acesta ia considerare de noi condiţii (restricţii) ca parte a unui
model dedicat. Restricţiile sunt formulate matematic sub forma unor relaţii (de obicei inecuaţii) între variabilele
de proiectare necunoscute. Ele limitează domeniul de variaţie al acestor variabile şi deci “spaţiul de proiectare”
în care se caută soluţia optimă. Rezultatele obţinute în urma rezolvării modelului de optimizare trebuie validat,
în final, de considerente tehnologice, de montaj, de transport, de exploatare, estetice, ergonomice, ecologice etc.
Pentru a realiza optimizarea unei structuri se elaborează un model de analiză cu elemente finite preliminar
pentru o variantă “iniţială” a structurii, bazat pe un model geometric parametrizat. Pornind de la acest model se
definesc unul sau mai mulţi parametri de proiectare – denumiţi şi variabile de proiectare (dimensiuni,
caracteristici ale materialelor etc.) - şi valori şi (sau) intervale de valori posibile ale acestora denumite restricţii
de proiectare, sub forma unor egalităţi sau inegalităţi. În plus, referitor la comportarea structurii, se definesc
variabilele de stare (tensiuni, deplasări, deformaţii etc.) ca mărimi dependente (răspuns) de variabilele de
proiectare fiind, de asemenea limitate inferior şi/sau superior, prin restricţii (constrângeri) de stare.
3
Fig. 2
a b. c.
Fig. 3
Modelul de optimizare cu elemente finite, dependent de mediul
CAD/CAE folosit, presupune definirea conform formalismului impus a
parametrilor de proiectare şi de stare, restricţiilor de proiectare şi de
stare. Una sau mai multe din funcţiile de stare sunt definite ca funcţii
obiectiv pentru care se va urmări determinarea valorii extreme
(minime/maxime). În aplicaţia se prezintă modelul de optimizare
dimensională a unei structuri folosind mediul CAD/CAE ANSYS
Workbanch. Frecvent, în practica de proiectare, se defineşte ca funcţie
obiectiv, masa (volumul, greutatea) structurii, urmărindu-se
minimizarea acesteia astfel ca deplasările şi tensiunile maxime să nu
depăşească valori limită impuse prin restricţii de stare.
Procesul de optimizare are la bază unul sau mai multe seturi de
valori iniţiale şi soluţii de plecare definite de utilizator sau generate
aleatoriu de program. Un set de valori iniţiale presupune cunoaşterea
unor variabile de proiectare (resurse), variabile de stare (atribute) şi
funcţia obiectiv. Algoritmul de optimizare cu elemente finite generează
succesiv seturi de variabile de proiectare fezabile (care respectă
restricţiile de proiectare şi de stare) conducând către un set optim (cel
mai bun). În spaţiul de proiectare definit ca fiind fezabil se consideră
toleranţe pentru fiecare limită a variabilei de stare. Pentru fiecare set de
variabile de proiectare generat se determină valoarea funcţiei obiectiv.
Din mai multe seturi fezabile se reţine setul cel mai bun pentru care
funcţia obiectiv are valoarea extremă (minimă/maximă).
Optimizarea constructivă cu elemente finite bazată pe medii CAD/CAE comerciale s-a dezvoltat în două
direcţii: optimizarea dimensională sau optimizarea formei. Optimizarea dimensională presupune păstrarea
formei modelului de analiză preliminar (fig. ,a) şi modificarea valorilor parametrilor de proiectare adoptaţi (fig.
3,b). Optimizarea formei presupune modificarea formei prin îndepărtarea din structură a unui volum de
material (fig. 3,c) unde solicitările sunt reduse cu respectarea restricţiilor impuse.
În faza de elaborare a modelului de optimizare trebuie avute în vedere toate aspectele structurale,
funcţionale şi tehnologice ale procesului analizat, care de multe ori sunt dificil de formulat integrat în termeni
numerici, cantitativi. Ieşirea din impas se face cu ajutorul pachetelor performante CAD/CAE care prin tehnica
optimizării prin simulare a comportării permite proiectantului (analistului FEA) procesul iterativ de
elaborare, rezolvare şi simulare de modele de optimizare cu nivele de precizie din ce în ce mai mărite..