3. sisteme de propagare ghidată a câmpului...

Copyright Paul GASNER 1

3. Sisteme de propagare ghidată a câmpului

electromagnetic


● Componente transversale şi longitudinale în propagarea ghidată

● Moduri de undă în ghiduri metalice● Ghidul metalic de secţiune dreptunghiulară● Ghidul metalic de secţiune circulară● Puterea transmisă în ghidul metalic


3.1.1 Structuri de propagare ghidată

● Ghiduri metalice sau dielectrice


3.1.1 Structuri de propagare ghidată


3.1.2 Componente transversale şi longitudinale● În propagarea ghidată, vectorul de undă are aceeaşi direcţie cu direcţia de

propagare (uzual axa Oz)● Expresia generală pentru câmpurile armonice, electric şi magnetic (mărimi

complexe), în ghidul de undă este

trebuie avut în vedere

pentru coordonate carteziene de exemplu

ET= k×E ×k , H T= k× H ×k

∇T=i ∂∂ x

j ∂∂ y

k⋅ ET=0, k⋅ H T=0, k×∇T×ET =0, k×∇T×H T =0

∇=∇Tk ∂∂ z

A r , t = A0r ej t

A r , t = AT Az= A0T e− z e j t A0 z e− z e j t

r=k z(3.1.1)

(3.1.2)

(3.1.3)

(3.1.4)

(3.1.5)


3.1.2 Componente transversale şi longitudinale

constanta de propagare în ghid

Din ecuaţiile Maxwell staţionare rezultă

∇T×E0T∇T× k E0 z − k×E0T=− j H 0Tk H 0 z

∇T×H 0T∇T× k H 0 z − k×H 0T= j E0Tk E0 z

≡g=g j g

∇T⋅E0T−E0 z=0

∇ 2=∇T2 ∂2

∂ z2

k⋅∇T=0(3.1.6)

(3.1.9)

(3.1.10)

(3.1.7)

(3.1.8)

∇T⋅H 0T− H 0 z=0

(3.1.11)

(3.1.12)


3.1.2 Componente transversale şi longitudinalecomponentele transversale se obţin din

sau, efectuând un nou

componentele longitudinale se obţin din

în mod analog, se obţin componentele longitudinală şi transversală pentru câmpul electric din (3.1.10)

k⋅∇T×E0T =− jH 0 z

∇T E0 z−E0T=− j k×H 0T

k×∇T H 0 z k×H 0T=− jE0T

k×∇T E0 z k×E0T= jH 0T

k×3.1.9

(3.1.16)

(3.1.17)

(3.1.15)

k⋅∇T×H 0T = j E0 z(3.1.18)

(3.1.13) k×∇T E0 z×k − k× k×E0T =− j k×H 0T

(3.1.14)k×

k⋅3.1 .9


3.1.2 Componente transversale şi longitudinalesau, în final

∇TH 0 z− k×H 0T= jE0T

∇T⋅E0T= k⋅E0 z= E0 z

∇TE0 z− k×E0T=− jH 0T

(3.1.22)

(3.1.23)

(3.1.21)

(3.1.24)

(3.1.19) ∇T×E0T=− jH 0 z

(3.1.20) ∇T×H 0T= jE0 z

∇T⋅H 0T= k⋅H 0 z= H 0 z


3.2 Moduri de undă

Pentru câmpuri armonice de forma (3.1.1), se poate scrie

care, înlocuite în ecuaţia de propagare pentru câmpul electric (v. cap2)

unde

este numărul de undă transversal (număr de undă critic), γ este număr de undă longitudinal

k2=22=2k 2

∂2E r , t

∂ t 2 =−2E0T e− z e j t

[∇T2k

2 ]E0T =0

(3.2.4)

(3.2.3)

(3.2.1) ∇ 2E r , t =∇T22E0T e− z e j t

(3.2.2)


3.2 Moduri de undăîn mod analog şi pentru câmpul magnetic

şi pentru componentele longitudinale

● Ecuaţiile (3.2.4) - (3.2.7) sunt ecuaţii tip Helmholtz, vectoriale respectiv scalare

● mod de undă = configuraţie de câmp electromagnetic care se propagă într-un mediu sau structură date

● mod de undă transversal magnetic TM● mod de undă transversal electric TE

[∇T2k

2 ] H 0 z =0(3.2.7)

(3.2.5)

(3.2.6)

[∇T2k

2 ]H 0T =0

[∇T2k

2 ] E0 z =0

H 0 z=0E0 z=0


3.2.1 Mod de undă transversal magnetic TM (unda E) şi (3.1.19) – (3.1.24) devin

iar ecuaţia Helmholtz corespunzătoare este

(3.2.10)

(3.2.8)

(3.2.9)

H 0 z=0

− k×H 0T= jE0T

∇T⋅E0T= k⋅E0 z=E0 z

∇TE0 z− k×E0T=− jH 0T

∇T×E0T=0

∇T×H 0T= jE0 z

∇T⋅H 0T=0

(3.2.11)

(3.2.12)

(3.2.13)

[∇T2k

2 ] E0 z =0(3.2.14)


3.2.1 Mod de undă transversal magnetic TM (unda E)componentele longitudinale sunt date de

impedanţa de undă

● se consideră ghidul fără pierderi şi atunci γ=jβg, k=β0 şi din (3.2.4)

(3.2.16)

(3.2.15)

(3.2.17)

E0T=−k

2 ∇T E0 z

(3.2.18)

H 0T=j

k×E0T=−jk

2k×∇T E0 z

Z E=

j=

jk

0

g=k 2−k2 1/2=0 1−cr

2

2 1/2

=0 1− 2

cr2

1/2


3.2.2 Mod de undă transversal electric TE (unda H) şi (3.1.19) – (3.1.24) devin

iar ecuaţia Helmholtz corespunzătoare este

(3.2.21)

(3.2.19)

(3.2.20)

E0 z=0

∇T H 0 z− k×H 0T= jE0T

∇T⋅H 0T= k⋅H 0 z= H 0 z

k×E0T= jH 0T

∇T×E0T=− jH 0 z

∇TH 0T=0

∇T⋅E0T=0

(3.2.22)

(3.2.23)

(3.2.24)

[∇T2k

2 ] H 0 z =0(3.2.25)


3.2.2 Mod de undă transversal electric TE (unda H)componentele longitudinale sunt date de

impedanţa de undă

● există frecvenţă de tăiere ca la modul TM● se rezolvă ecuaţia Helmholtz pentru componenta longitudinală după care

se determină componentele transversale

(3.2.27)

(3.2.26)

(3.2.28)

H 0T=−k

2 ∇T H 0 z

E0T=jH 0T×k=

jk

2k×∇T H 0 z

Z H=j

= jk

0


3.3 Ghidul de undă metalic de secţiune rectangulară● Se consideră ghid uniform de secţiune dreptunghiulară, cu pereţi metalici

perfect conductori, dielectricul din interior fiind aer (sau vid)


3.3.1 Modul transversal magnetic TM (unda E)● La ecuaţia scalară Helmholtz

se adaugă condiţiile la limită tip Dirichlet la pereţii metalici

● se aplică metoda separării variabilelor

din (3.3.1) se obţine

(3.3.4)

(3.3.3)

(3.3.1)

(3.3.2)

[∇T2k

2 ] E0 z x , y =0

E0 z 0, y =0, E0 z a , y =0

E0 z x ,0 =0, E0 z x , b =0

E0 z x , y =X x Y y

1X

d 2 Xdx2 1

Yd 2 Ydy2 k

2=0

d 2 Xdx2 k x

2 X =0 , d 2 Ydy2 k y

2 Y=0

(3.3.5)

(3.3.6)


3.3.1 Numere de undă parţialeunde

kx, ky sunt numerele de undă tranversale parţiale

● soluţiile generale ale ecuaţiilor (3.3.6) sunt de forma

● din condiţia la limită (3.3.2)

iar din (3.3.3) se obţine

(3.3.9)

(3.3.8)

(3.3.7) k x2k y

2=k2

X x=A1 sin k x xA2 cos k x x

X 0≡X a=0 ⇒ A2=0, k x=m

a, m∈ℕ*(3.3.10)

(3.3.11)

Y y=B1 sin k y yB2 cos k y y

Y 0≡Y b=0 ⇒ B2=0, k y=nb

, n∈ℕ*


3.3.1 Componentele câmpului electromagnetic● componenta longitunidală este atunci

● componentele transversale ale câmpului electric se determină din (3.2.15)

● componentele transversale ale câmpului magnetic se determină din (3.2.16)

(3.3.13)

(3.3.12)

E0=A1 B1

E0 z x , y =E0 sinm x

asin

n yb

E0T x , y =i E0 x x , y j E0 y x , y =−k

2 [ i ∂ E0 z x , y ∂ x

j∂ E0 z x , y

∂ y ]

H 0T x , y =i H 0 x x , y j H 0 y x , y=j0

k×E0T x , y=

=−j0

k2

k×i ∂ E0 z x , y ∂ x

j∂ E0 z x , y

∂ y

E0 x x , y=−k

2

ma

E0 cosm x

asin

n yb

E0 y x , y =−k

2

nb

E0 sinm x

acos

n yb(3.3.14)


3.3.1 Componentele fizice ale câmpului electromagnetic

● componentele fizice ale câmpului sunt(3.3.17)

(3.3.15) H 0 x x , y =j0

k2

nb

E0 sinm x

acos

n yb

E x r , t =g

k2

ma

E0 cosm x

asin

n yb

sin t−g z

E y r , t =g

k2

nb

E0 sinm x

acos

n yb

sin t−g z

(3.3.18)

H 0 y x , y =−j0

k2

ma

E0 cosm x

asin

n yb(3.3.16)

E z r , t =E0 sinm

ax sin

nb

y cos t−g z

H x r , t =−0

k2

nb

E0 sinm x

acos

n yb

sin t−g z

H y r , t =j0

k2

ma

E0 cosm x

asin

n yb

sin t−g z

(3.3.19)

(3.3.20)

(3.3.21)


3.3.2 Fenomene de dispersie● funcţii proprii = funcţiile care satisfac ecuaţiile Helmholtz cu condiţiile le

limită corespunzătoare

● valori proprii = valorile kλ corespunzătoare funcţiilor proprii

● m, n = numărul de semilungimi de undă "spaţială” ale componentelor câmpului electric şi magnetic pe direcţiile x respectiv y

● structura câmpului depinde de valorile m şi n şi atunci modurile sunt notate prin TMmn respectiv TEmn (unda Emn respectiv unda Hmn)

● din (3.2.4) se obţin valorile critice pentru propagare

pentru γ=0 se obţine pulsaţia critică

(3.3.22) k2=k mn

2 = ma

2

nb

2

2=k2−k 2=k

2−2(3.3.23)

(3.3.24) cr=k

1/2


3.3.2 Fenomene de dispersie● ω<ωcr (k<kλ) şi nu există propagare (cel mult oscilaţii

amortizate)

● ω>ωcr (k>kλ) - există fenomene de propagare

● ω=ωcr (k=kλ) - regim critic

● constanta de fază

● viteza de fază

⇒∈ℝ

v ph=g

=

k 0 1−cr2

2 1/2=

c0

1−cr2

2 1 /2c0

(3.3.25)

(3.3.26)

g=k 02−k

2 1/2=k 0 1−cr2

2 1/2

, k 0= 1 /2

⇒= j g∈ℂ∖ℝ

⇒=0


3.3.2 Fenomene de dispersie● viteza de grup

● lungimea de undă (k0=β0)

v gr=d d g

=c0 1−cr2

2 1 /2

c0 , v ph v gr=c02

(3.3.27)

(3.3.26)

g=0 1−cr2

2 1/2

, 0=20

, g=2g

g=0

1−cr2

2 1/20(3.3.28)


3.3.2 Fenomene de dispersie● variaţia constantei de fază (normate) funcţie de frecvenţă


3.3.2 Fenomene de dispersie● variaţiile vitezelor de fază şi grup funcţie de frecvenţă


3.3.2 Fenomene de dispersievariaţia lungimii de undă din ghid funcţie de lungimea de undă de spaţiu liber

3.3.28⇒ 0

g 2

0

cr 2

=1


3.3.2 Fenomene de dispersie● impedanţa de undă

– din (3.2.16) şi (3.2.27) ,

Z 0 E=Z TM=g

0=0 1−cr

2

2 1/2

(3.3.30)

(3.3.29) ⇒H 0T=1Z 0

k×E0T

Z 0={Z TM=

j=Z 0 E

Z TE=j

=Z 0 H

(3.3.31)

H 0T=j

k×E0TE0T=

jH 0T×k

Z 0 H=Z TE=0

g=

0

1−cr2

2 1/2

(3.3.32)


3.3.2 Fenomene de dispersievariaţia impedanţelor de undă ale ghidului în funcţie de frecvenţă


3.3.2 Lungime de undă critică● definiţie

● mod fundamental (dominant) = modul cu lungimea de undă critică de valoare maximă: m=1, n=1 => TM11

● moduri superioare, m>1, n>1● ghidul are comportament de filtru „trece sus”

cr=2c0

cr

(3.3.34)

(3.3.33)

cr=2k

= 2

ma

2

nb

2, m , n∈ℕ*


3.3.3 Configuraţii particulare de câmp TM● din (3.3.17) – (3.3.21) se obţin

unde

(3.3.35)

E x r , t =E x0 cosm x

asin

n yb

sin t−g z

E y r , t =E y0 sinm x

acos

n yb

sin t−g z

E z r , t =E0 sinm

ax sin

nb

y cos t−g z

H x r , t =H x0 sinm x

acos

n yb

sin t−g z

H y r , t =H y0 cosm x

asin

n yb

sin t−g z

(3.3.36)

(3.3.37)

(3.3.38)

(3.3.39)

E x0=cr

2

g

m2 a

E0 ; E y0=cr

2

g

n2 b

E0 ;

H x=−cr

2

00

n2 b

E0 ; H y0=cr

2

00

m2 a

E0

(3.3.40)


3.3.3 Modul fundamental TM11 (unda E11)● m=1, n=1

unde

(3.3.41)

E x r , t ∣t=0=E x0 cos xa

sin yb

sin −g z

E y r , t ∣t=0=E y0 sin xa

cos yb

sin −g z

E z r , t ∣t=0=E0 sina

x sinb

y cos g z

H x r , t ∣t=0=H x0 sin xa

cos yb

sin −g z

H y r , t ∣t=0=H y0 cos xa

sin yb

sin −g z

(3.3.42)

(3.3.43)

(3.3.44)

(3.3.45)

(3.3.46) 11=2 ab

a2b2


3.3.3 Configuraţii câmp TM11 (unda E11)


3.3.3 Curenţi de deplasare pentru TM11 ● curenţi de deplasare sunt defazaţi cu π/2 faţă de câmpul generator:

J d=0∂E r , t

∂ t ∣t=0

(3.3.47)

J dz=k 0

∂E z r , t ∂ t ∣

t=0=k 0 E0 sin

xa

sin yb

sin g z

J dx=i 0

∂E x r , t ∂ t ∣

t=0=i 0

112

g

E0

2 acos

xa

sin yb

cos g z

J dy=j 0

∂E y r , t ∂ t ∣

t=0=j0

112

g

E0

2 bsin

xa

cos yb

cos g z

(3.3.48)

(3.3.49)

(3.3.50)


3.3.3 Curenţi de conducţie pentru TM11 ● curenţi de conducţie apar la suprafaţa interioară a pereţilor metalici

Hp – câmpul magnetic în aer, tangenţial la peretele metalic

● pereţi verticali:

● pereţi orizontali:

J c=n×H pr , t ∣t=0(3.3.51)

x=0, n=i ,cos xa

=1 ⇒ J c0y=i×jH y r , t ∣t=0=−kcr

2

00

E0

2 asin

yb

sin g z (3.3.52)

x=a , n=−i ,cos xa

=−1 ⇒ J cay=J c0y(3.3.53)

y=0, n=j ,cos yb

=1 ⇒ J c0x=j×iH x r , t ∣t=0=−kcr

2

00

E0

2 bsin

xa

sin g z (3.3.54)

y=a , n=−j ,cos yb

=−1 ⇒ J cbx=J c0x(3.3.55)


3.3.3 Distribuţia curenţilor pentru TM11 (unda E11)

doar componenta din plan vertical


3.3.4 Modul transversal electric TE (unda H)● La ecuaţia scalară Helmholtz

se adaugă condiţiile la limită tip Neumann– pereţi verticali

– pereţi orizontali

(3.3.56)

(3.3.57)

(3.3.58)

[∇T2k

2 ] H 0 z x , y =0

i⋅∇T H 0 z 0, y =∂ H 0 z x , y

∂ x ∣x=0

=0

−i⋅∇T H 0 z a , y =−∂ H 0 z x , y

∂ x ∣x=a

=0

j⋅∇T H 0 z x ,0=∂ H 0 z x , y

∂ y ∣y=0

=0

−j⋅∇T H 0 z x ,b=−∂ H 0 z x , y

∂ y ∣y=b

=0


3.3.4 Moduri TE● se aplică metoda separării variabilelor

şi procedând analog ca la modul TM se obţin:

cu soluţiile generale

şi se impun condiţiile la limită

(3.3.59)

(3.3.60)

(3.3.61)

(3.3.62)

(3.3.63)

H 0 z x , y =X x Y y

1X

d 2 Xdx2 1

Yd 2 Ydy2 k

2=0

d 2 Xdx2 k x

2 X =0 , d 2 Ydy2 k y

2 Y =0

k x2k y

2=k2

X x=A1 sin k x xA2 cos k x x

Y y=B1 sin k y yB2 cos k y y(3.3.64)


3.3.4 Moduri TE. Componente de câmp

şi atunci

● componenta longitunidală este atunci

● m şi n nu pot fi simultan egali cu zero● componentele transversale ale câmpului magnetic se determină din

(3.2.26)

(3.3.65)

(3.3.66)

(3.3.67)

(3.3.68)

dXdx

=A1 k x cos k x x−A2 k x sin k x x

dXdx ∣

x=0≡ dX

dx ∣x=a

=0 ⇒ A1=0, k x=m

a, m∈ℕ

dYdy ∣y=0

≡ dYdy ∣y=b

=0 ⇒ B1=0, k y=nb

, n∈ℕ

H 0=A1 B1

H 0 z x , y =H 0 cosm x

acos

n yb



● componentele transversale ale câmpului electric se determină din (3.2.27) şi se ţine seama de (3.3.69)

(3.3.70)

(3.3.71)

(3.3.72)

H 0 x x , y =−k

2

ma

H 0 sinm x

acos

n yb

E0T x , y =i E0 x x , y j E0 y x , y = jk

2k×∇T H 0 z=

=jk

2k×i ∂ H 0 z x , y

∂ xj

∂ H 0 z x , y ∂ y

H 0 y x , y = k

2

nb

H 0 cosm x

asin

n yb

H 0T x , y =i H 0 x x , y j H 0 y x , y =−k

2 ∇T H 0 z=

=−k

2 i ∂ H 0 z x , y ∂ x

j∂ H 0 z x , y

∂ y (3.3.69)



● componentele fizice ale câmpului sunt

(3.3.73)

(3.3.74)

(3.3.75)

E0 x x , y = jk

2

nb

H 0 cosm x

asin

n yb

E0 y x , y =−jk

2

ma

H 0 sinm x

acos

n yb

H z r , t =H 0 cosm x

acos

n yb

cos t−g z

H x r , t =−cr

2

g

ma

H 0 sinm x

acos

n yb

sin t−g z

H y r , t =−cr

2

g

nb

H 0 cosm x

asin

n yb

sin t−g z

E x r , t =−cr

2

g

n2 b

0 H 0 cosm x

asin

n yb

sin t−g z

E y r , t =cr

2

g

m2 a

0 H 0 sinm x

acos

n yb

sin t−g z

(3.3.76)

(3.3.77)

(3.3.78)

(3.3.79)


3.3.5 Configuraţii particulare de câmp TE ● Modul fundamental este TE10 (unda H10) m=1, n=0

(3.3.80)

(3.3.81)

(3.3.82)

(3.3.83)

(3.3.84)

(3.3.85)

10=2 a

H z r , t ∣t=0=H 0 cos xa

cos g z

H x r , t ∣t=0=−cr

2

g

ma

H 0 sin xa

sin −g z

H y r , t ∣t=0=0

E x r , t ∣t=0=0

E y r , t ∣t=0=cr

2

g0 H 0 sin

xa

sin −g z

E z r , t ∣t=0=0(3.3.86)


3.3.5 Modul TE10. Configuraţie de câmp


3.3.5 Modul TE10. Componente de câmp


3.3.5 Modul TE10. Configuraţie de curent● curentul de deplasare

● curenţi de conducţie pe pereţi verticali:

● curenţi de conducţie pe pereţi orizontali:

J dy=j ∂ E y r , t

∂ t ∣t=0

=jcr

00 H 0 sin

xa

cos g z (3.3.86)

x=0, n=i ,cos xa

=1 ⇒ J c0z=i×kH z r , t ∣t=0=−j H 0 cos g z

x=a , n=−i ,cos xa

=−1 ⇒ J caz=J c0z

y=0, n=j ,cos yb

=1 ⇒ { J c0z=j×kH z r , t ∣t=0=i H 0 cos xa

cos g z

J c0x=j×iH x r , t ∣t=0=−kcr

gH 0 sin

xa

sin g z

(3.3.87)

(3.3.88)

(3.3.89)

(3.3.90)


3.3.5 Modul TE10. Configuraţie de curent

respectiv(3.3.91)

y=b , n=−j ,cos yb

=−1 ⇒ {J cbz=−j×kH z r , t ∣t=0=−i H 0 cos xa

cos g z

J c0x=−j×iH x r , t ∣t=0=kcr

gH 0 sin

xa

sin g z (3.3.92)


3.4 Ghiduri de undă metalice de secţiune circulară● sistem cilindric de coordonate (ρ, ϕ, z)


3.4.1 Moduri TE● ecuaţia scalară Helmholtz

cu condiţii la limită tip Neumann

● operatorii transversali au expresiile

şi se obţine

(3.4.1)

(3.4.2)

[∇T2k

2 ] H 0 z ,=0

n⋅∇T H 0 z ,∣S=∂ H 0 z ,

∂ ∣=a

=0

∇T= ∂∂

1

∂∂

∇T2= ∂2

∂21

∂∂

12

∂2

∂2

(3.4.3)

(3.4.4)

∂2 H 0 z ,∂2 1

∂ H 0 z ,

∂ 1

2

∂2 H 0 z ,∂2 k

2 H 0 z ,=0(3.4.5)


3.4.1 Moduri TE● se aplică metoda separării variabilelor

soluţia generală a (3.4.8) este de forma

în structurile axiale se impune condiţia de ciclicitate

(3.4.6)

(3.4.7)

H 0 z ,=R

(3.4.8)

(3.4.9)

(3.4.10)

2

Rd 2 Rd 2

R

dRd

1

d 2d 2k

22=0

d 2d 2k

2 =0

2 d 2 Rd 2 dR

d k

22−k2 R=0

H 0 z ,=H 0 z ,2 ⇒ k=n∈ℤ

=A1 cos kA2 sin k

(3.4.11)


3.4.1 Moduri TE● se consideră în final soluţia

● (3.4.9) este o ecuaţie diferenţială de ordinul 2 tip Bessel:

cu soluţii de forma

● este funcţia cilindrică Bessel de speţa întâi şi ordin n● este funcţia cilindrică Bessel de speţa a doua şi ordin n (funcţia

Neumann)

(3.4.12)

(3.4.13)

(3.4.14)

=0 cos n

d 2 Rd 2

1

dRd

k2− n2

2 R=0

R =B1 J n kB2 N n kJ n kN n k

N n k∣0∞ ⇒ B2=0

H 0 z ,=H 0 J n kcos n , H 0=0 B1(3.4.15)


3.4.1 Moduri TE. Configuraţii de câmp● componentele transversale ale câmpului electromagnetic se găsesc din

ecuaţiile (3.2.26) – (3.2.27)

(3.4.16)

(3.4.17)

H 0T ,=H 0 , H 0 ,=−k

2 ∇T H 0 z ,=

=−k

2 ∂ H 0 z ,∂

1∂ H 0 z ,

∂ H 0 ,=−

k

H 0 J n' kcos n

H 0 ,= k

2 n H 0 J n ksin n(3.4.18)

E0T ,=E0 , E0 ,=−j

k×∇T H 0 z ,=

=jk

2k× ∂ H 0 z ,

∂ 1

∂ H 0 z ,

∂ (3.4.19)


3.4.1 Moduri TE. Configuraţii de câmp

● Din condiţiile la limită Neumann se alege

şi se obţine un număr infinit de valori proprii kλ. Rădăcina de ordinul m a derivatei funcţiei Bessel de ordin n este . Atunci:

(3.4.20)

(3.4.21)

E0 ,= jk

2n H 0 J n ksin n

E0 ,= jk

H 0 J n' kcos n

(3.4.22)

(3.4.23)

E0 ,∣=a=0

⇒ J n' ka =0

nm' =ka

k=k nm=nm

'

a=

2cr

(3.4.24)


3.4.1 Moduri TE. Frecvenţă critică

valorile proprii dau modurile TE în ghidul circular TEnm

● n reprezintă numărul (întreg) de lungimi de undă ale variaţiilor componentelor câmpurilor E şi H în lungul coordonatei unghiulare ϕ

● m reprezintă numărul de jumătăţi de lungimi de undă ale variaţiilor componentelor câmpului în lungul coordonatei radiale ρ

(3.4.25)

nm'

cr=2anm

' a, cr=

c0nm'

aRădăcini ale funcţiilor Bessel J n

' k λ a şi J n k λ a ρnm

' ρnm

n ρn1' ρn2

' ρn3' ρn4

' ρn1 ρn2 ρn3 ρn4

0 3,832 7,016 10,173 13,324 2,405 5,520 8,654 11,7921 1,841 5,331 8,536 11,706 3,832 7,016 10,173 13,3242 3,054 6,706 9,969 13,170 5,136 8,417 11,620 14,7963 4,201 8,015 11,346 14,586 6,380 9,761 13,015 16,223


3.4.1 Moduri TE. Câmpuri fizice

(3.4.26) H z r , t =H 0 J n kcos ncos t−g z

H r , t =cr

gH 0 J n

' kcos nsin t−g z

H r , t =−cr

2g n H 0 J n ksin nsin t−g z

E r , t =−cr

2

2g n0 H 0 J n ksin nsin t−g z

E r , t =−cr

g0 H 0 J n

' kcos nsin t−g z

(3.4.27)

(3.4.28)

(3.4.29)

(3.4.30)


3.4.2.1 Modul fundamental TE11

ia valori minime pentru m=1, n=1

(3.4.31) H z r , t ∣t=0=H 0 J 1 11'

acoscos g z

H r , t ∣t=0=11

gH 0 J 1

' 11'

acossin −g z

H r , t ∣t=0=−11

2g H 0 J 1 11

'

asinsin −g z

E r , t ∣t=0=−11

2

2g 0 H 0 J 1 11

'

asinsin −g z

E r , t ∣t=0=−11

g0 H 0 J 1

' 11'

acossin −g z

(3.4.32)

(3.4.33)

(3.4.34)

(3.4.35)

nm'


3.4.2.1 Modul fundamental TE11


3.4.2.1 Modul fundamental TE11. Distribuţie curenţi● Curenţii de deplasare

● Curenţii de conducţie

(3.4.36)

J c∣t=0=×k H z r , t ∣t=0=− H 0 J 1 11'

acoscos g z

J cz∣t=0=× H r , t ∣t=0=−k11

2g H 0 J 1 11

'

asinsin −g z

J d ∣t=0=0

d Er , t ∂ t ∣

t=0=0

112

2g 0 H 0 J 1 11

'

asincos g z

J d ∣t=0= 0

d Er , t ∂ t ∣

t=0= 0

11

g0 H 0 J 1

' 11'

acoscos g z (3.4.37)

(3.4.38)

(3.4.39)


3.4.2.1 Modul fundamental TE11. Distribuţie curenţi


3.4.2.2 Modul TE01

● m=1, n=0

● curentul de deplasare

● curentul de conducţie

(3.4.40) H z r , t ∣t=0=H 0 J 0 01'

acos g z

H r , t ∣t=0=01

gH 0 J 0

' 01'

asin −g z

E r , t ∣t=0=−01

g0 H 0 J 0

' 01'

asin −g z

(3.4.41)

(3.4.42)

J d ∣t=0= 0

d Er , t ∂ t ∣

t=0= 0

01

g0 H 0 J 0

' 01'

acos g z

J c∣t=0=×k H z r , t ∣t=0=− H 0 J 0 01'

acos g z

(3.4.43)

(3.4.42)


3.4.2.2 Modul TE01. Amplitudinilor componentelor de câmp


3.4.2.2 Modul TE01. Configuraţia liniilor de câmp


3.4.2.2 Modul TE01. Configuraţia liniilor de curent

● curenţii de deplasare au maxim la λg/4 faţă de maximul curenţilor de conducţie şi au sensuri diferite

● comportare anormală: pierderile pentru acest mod scad la creşterea frecvenţei


3.4.3 Moduri TM● ecuaţia scalară Helmholtz

cu condiţii la limită tip Dirichlet

● (3.4.43) devine

● se aplică metoda separării variabilelor şi analog modurilor TE se obţine

(3.4.43)

(3.4.44)

[∇T2k

2 ] E0 z ,=0

E0 z ,∣S=E0 z ,∣=a=0

(3.4.45)∂2 E0 z ,

∂2 1∂ E0 z ,

∂ 1

2

∂2 E0 z ,∂2 k

2 E0 z ,=0

(3.4.46) E0 z ,=E0 J n kcos n


3.4.3 Moduri TM. Configuraţii de câmp● componentele transversale ale câmpului electromagnetic conform (3.2.26)

(3.2.27) sunt

(3.4.47)

(3.4.48)

E0T ,=E0 , E0 ,=−k

2 ∇T E0 z ,=

=−k

2 ∂ E0 z ,∂

1∂ E0 z ,

∂ E0 ,=−

k

E0 J n' kcos n

E0 ,= k

2 n E0 J n ksin n(3.4.49)

H 0T ,=H 0 , H 0 ,= j

k×∇T E0 z ,=

=−jk

2k× ∂ E0 z ,

∂ 1

∂ E0 z ,

∂ (3.4.50)


3.4.3 Moduri TM. Configuraţii de câmp

● Aplicând condiţiile la limită Dirichlet ecuaţiei (3.4.46) se obţine

şi se gaseşte un număr infinit de valori proprii kλ. Rădăcina de ordinul m a funcţiei Bessel de ordin n este . Atunci numărul de undă transversal este:

(3.4.51)

(3.4.52)

H 0 ,=−jk

2n E0 J n ksin n

H 0 ,=−jk

E0 J n' kcos n

(3.4.53) J n ka =0

nm=ka

k=k nm=nm

a=

2cr

(3.4.54)


3.4.3 Moduri TM. Câmpuri fizicecu lungimi de undă şi frecvenţe critice date de:

● Câmpurile fizice sunt

(3.4.55)

E z r , t =E0 J n kcos ncos t−g z

E r , t =cr

gE0 J n

' kcos nsin t−g z

E r , t =−cr

2

g n E0 J n ksin nsin t−g z

H r , t =−cr

2

2g0n E0 J n ksin nsin t−g z

H r , t =−cr

g0E0 J n

' kcos nsin t−g z

(3.4.56)

(3.4.57)

(3.4.59)

(3.4.60)

cr=2anm

, cr=c0nm

a

(3.4.58)


3.4.4.1 Modul fundamental TM01

ia valori minime pentru m=1, n=0

(3.4.61) E z r , t ∣t=0=E0 J 0 01

acos g z

E r , t ∣t=0=01

gE0 J 0

' 11'

asin −g z

H r , t ∣t=0=−01

g0E0 J 0

' 01'

asin −g z

(3.4.62)

(3.4.63)

nm


3.4.4.2 Modul fundamental TM01


3.4.4.1 Modul fundamental TM01. Distribuţie curenţi● Curentul de deplasare

● Curentul de conducţie

(3.4.64)

(3.4.65)

(3.4.66)

J dz∣t=0=k 0

d E z r , t ∂ t ∣

t=0=−k 0E0 J 0 01

acos g z

J d ∣t=0=0

d Er , t ∂ t ∣

t=0=0

01

gE0 J 0

' 11'

acos g z

J cz∣t=0=× H r , t ∣t=0=−k01

00E0 J 0

' 01'

acos g z


3.4.4.2 Modul TM11

m=1, n=1

(3.4.67)

(3.4.68)

(3.4.69)

E z r , t ∣t=0=E0 J 1 11

acoscos g z

E r , t ∣t=0=11

gE0 J 1

' 11

acossin −g z

E r , t ∣t=0=−11

2

g E0 J 1 11

asinsin −g z

H r , t ∣t=0=11

2

2g 0E0 J 1 11

asinsin −g z

H r , t ∣t=0=11

g0E0 J 1

' 11'

acossin −g z

(3.4.70)

(3.4.71)


3.4.4.2 Modul TM11. Configuraţii de câmp


3.4.4.2 Modul TM11. Configuraţii de curent

Curentul de deplasare

Curentul de conducţie

(3.4.72)

(3.4.73)

(3.4.74)

(3.4.75)

J dz∣t=0=k 0d E z r , t

∂ t ∣t=0

=−k 0E0 J 1 11

acoscos g z

J d ∣t=0=0

d Er , t ∂ t ∣

t=0=0

11

gE0 J 1

' 11

acoscos g z

J d ∣t=0= 0

d Er , t ∂ t ∣

t=0=− 0

112

g E0 J 1 11

asincos g z

J cz∣t=0=× H r , t ∣t=0=k11

00E0 J 1

' 11

acossin −g z


3.4.4.2 Modul TM11. Configuraţii de curent


3.5 Puterea transmisă în ghidul metalic● vectorul Poynting (complex)

● este preferabilă reprezentarea în componente transversale şi longitudinale

● se presupune pentru început că pereţii metalici au conductivitate infinită, iar mediul din interiorul ghidului nu are pierderi dielectrice

● puterea care străbate secţiunea transversală S0 a ghidului este

S r =12

[ E r × H * r ](3.5.1)

E r =ET k E z

H r =H T k H z

(3.5.2)

(3.5.3)

P z=∫S 0

ℜ S ⋅d s ; d s=k ds(3.5.4)


3.5 Puterea transmisă în ghidul metalic


3.5 Puterea transmisă în ghidul metalic● sau

● pe de altă parte

● puterea transmisă devine

● componentele transversale sunt legate prin impedanţa de undă

P z=12ℜ∫

S 0

[ E r × H * r ]⋅k ds(3.5.5)

(3.5.6)

(3.5.7)

(3.5.8)

S=12 [ETk E z ×H T

*k H z* ]=1

2 [ET ×H T* ]=S z

S z=∣ET ∣∣H T* ∣

P z=12∫S 0

∣ET ∣∣H T* ∣ds

∣ET ∣=Z g∣H T ∣; ET* =Z g∣

H T* ∣(3.5.9)


3.5 Puterea transmisă în ghidul metalic

● Moduri TM

din (3.2.14) şi (3.2.15):

● Moduri TE

din (3.2.25) şi (3.2.26):

(3.5.10)

(3.5.11)

(3.5.12)

P z=1

2 Z g∫S 0

∣ET ∣2 ds=Z g

2 ∫S 0

∣H T ∣2 ds

∇T2 E0 z=−k

2 E0 zE0T=−

k

2 ∇T E0 z

P z=1

2 Z g E∫S 0

g2

k2 ∣ET ∣2 ds

∇T2 H 0 z=−k

2 H 0 zH 0T=−

k

2 ∇T H 0 z

P z=Z g H

2 ∫S 0

g2

k2 ∣H T ∣2 ds


● puterea transmisă este

unde

este puterea maximă transmisă în spaţiul liber raportată la unitatea de suprafaţă şi

(3.5.13)

(3.5.14)

(3.5.16)

3.5.1 Puterea transmisă în ghidul metalic rectangular modul TE10

ET x , y =j E y x , y ; E y x , y =E0 sin xa ; E0=10

0 0 H 0

P z=1

2 Z gH∫0

a

∫0

b ∣E0 sin xa ∣

2

dx dy

P z=E0

2

401−21/2 S 0=P z0 S 0

1−21/2

2(3.5.15)

S 0=ab , =0

cr=

cr

P z0=E0

2

20

(3.5.17)


● Câmpul de străpungere a aerului este

coeficient de siguranţă de 300 %● de obicei şi din (3.5.15) se obţine

● pentru ghidul standard de bandă X şi pentru TE10 se obţine Pz=117kW

● puterea normată:

(3.5.18)


(3.5.19)

(3.5.20)

E str≃30 kV /cm

P z0=E str

2

2 Z 0=1.19⋅106 W /cm2

⇒E0=Emax=10 kV /cm ⇒P z0≃130 kW /cm2

=1.5cr

P z=P z0 S 0⋅0.3725≃S 0 50 kW /cm2

S 0=2.286×1.016cm2

p0=P z

P z0 S 0 /2=1−21/2


(3.5.21)


p022=1


3.5.2 Pierderi în ghidul metalic● pierderi dielectrice● pierderi în pereţii metalici● constanta de atenuare este de forma

● puterea transmisă variază cu distanţa

● conform legii conservării energiei

● şi constanta de atenuare este atunci

(3.5.22)

(3.5.23)

(3.5.24)

g=dc

P z=P0 e−2g z , P0=P z∣z=0

Pd0=−∂ P z

∂ z=2g P z

g=Pd0

2 P z(3.5.25)


3.5.2 Pierderi în ghidul metalic● se utilizează noţiunea de atenuare pe distanţa l

● se exprimă în neperi sau decibeli

● randamentul ghidului de undă

(3.5.26)

(3.5.27)

(3.5.28)

A=P z z=0 P z z=l

=P0

P l

ANp=ln A=2g l [Np]

AdB=10 log A=8.69g l [dB ]

=P0−Pd0 l

P0=1−2g l


3.5.2 Pierderi dielectrice● pentru un ghid plin cu dielectric

● constanta de propagare

● în general şi dezvotând în serie Taylor se obţine

● constanta de atenuare

(3.5.29)

(3.5.30)

(3.5.32)

k 2=2=200r 1− j tanE

=d j d=[k2−200r 1− j tanE ]1/2

=[k2−k 2 jk 2 tanE ]1/2(3.5.31)

tanE≪1

≃k2−k 21/2 jk 2 tanE

2 k2−k 21/2

=k 2 tanE

2g j g , unde k

2−k 21/2= j g

d=k 2 tanE

2g[ Np /m ](3.5.33)


3.5.2 Pierderi în pereţii metalici

Pereţi metalici de conductivitate finită● dacă permitivitatea metalului se scrie

şi consanta de propagare:

● pierderile în pereţii metalici sunt datorate undelor electromagnetice care se propagă perpendicular pe peretele metalic

● considerăm moduri TEM şi atunci kλ=0

(3.5.34)

(3.5.36)

=c j g=[k2−k 2 jk 2/ ]1/2(3.5.35)

(3.5.37)

' '≪/

m= 1− j/ ; k 2=20 1− j/

=k [ j/−1 ]1/2≃ c1/2 [ j/ ]1 /2=1 j /s

s=1c

=[ 2c ]

1/2


3.5.2 Pierderi în pereţii metalici● în interiorul metalului curenţii de

conducţie sunt dominanţi

● atenuarea pe direcţia este mai puternică decât pe celelalte direcţii şi atunci se consideră operatorii de forma

(3.5.38)

(3.5.40)

(3.5.41)

∇×E=− jcH

∇× H= E(3.5.39)

∇≃−n ∂∂

∇ 2= ∂2

∂2



şi ecuaţiile Maxwell devin

de unde

● câmpurile electric şi magnetic în metal sunt paralele cu suprafaţa metalului● aplicând rotorul asupra ecuaţiilor Maxwell (3.5.38) (3.5.39) se obţine

cu soluţiile

(3.5.42)

(3.5.44)

(3.5.43)

(3.5.46)

−n×∂ H∂

= E ; −n×∂ E∂

=− jcH

n⋅E=0 ; n⋅H=0

∂2 E∂2 − j 2

s2E=0 ; ∂2 H

∂2 − j 2s

2H=0

E∥=E0∥e−/s e− j/s

H ∥=H 0∥e−/s e− j/s

(3.5.45)



din (3.5.42) se obţine

de unde

● condiţia de continuitate impune existenţa unei componente paralele a câmpului electric paralele cu peretele metalic în vid

● impedanţa de suprafaţă a metalului (spre metal)

(3.5.47)

(3.5.49)

(3.5.48)

(3.5.50)

1 js

n×H∥=E∥

E∥=1 js

n×H ∥

la =0 E0∥=1 js

n×H 0∥=1 js

J sf

E0∥

J sf

=Z sm=1 js

=RS jX S ; RS=X S=1

s


3.5.2 Pierderi în pereţii metalici● analog puterii transmise (3.5.10), puterea disipată în peretele metalic este

de unde Σ este aria suprafeţei metalice

● puterea disipată pe unitatea de lungime este

● Lg=2(a + b) este circumferinţa ghidului

● constanta de atenuare

(3.5.51)

(3.5.52)

(3.5.53)

Pc=ℜ Z sm

2 ∫∣H 0∥∣

2ds

Pc0=ℜ Z sm

2 ∫Lg

dL ∫z=0

1

∣H 0∥∣2dz=

RS

2 ∫Lg

∣H 0∥∣2dL

c=12

RS

Z

∫Lg

∣H 0∥∣2dL

∫S 0

∣H T∣2ds



Utilizarea curenţilor de suprafaţă● curentul poate fi definit pentru orice configuraţie de câmp

● puterea disipată în peretele metalic este

● puterea disipată pe unitatea de lungime în peretele metalic este

(3.5.54)

(3.5.55)

(3.5.56)

Pc=ℜ Z sm

2 ∫∣J sf∣

2ds=

RS

2 ∫∣H t∣

2dL

J sf =n× H

Pc0=RS

2 ∫Lg

∣J sf∣2dL


3.5.2 Mod TE10 în ghidul dreptunghiular

Avem doi pereţi orizontali şi doi pereţi verticali

● puterea transmisă în ghid este dată de (3.5.16) şi constant de atenuare va fi

● ghid de bandă X (a=22.86mm, b=10.16mm) la frecvenţa f=10GHz cu fcr=6.562GHz, cu pereţii din Cu de conductivitate σ=5.8x107S/m:

(3.5.57)

(3.5.58)

Pc0=RS

2 ∫Lg

∣J sf∣2dL=RS ∫

y=0

b

∣J c0z∣2dyRS ∫

x=0

a

[∣J c0z∣2∣J c0x∣

2 ]dx=

=RS∣H 0∣2 [ba

2 a3

22 g2 ]

c=Pc0

2 P z=

2 RS

Z gH

ba /2a3g2 /22

ab

Z TE=Z gH=c /g , g=[k 2−k2 ]=[k 2−/a]1/2=158 m−1 ; RS=c /2 1/2=0.026

c=0.0125 Np /m=−20 log e−c=0.11 dB /m

3. sisteme de propagare ghidată a câmpului...

Documents