Modelare si control predictivModelare si control predictivModelare si control predictivModelare si control predictiv

- proiect -- proiect -- proiect -

Controlul predictiv bazat pe Controlul predictiv bazat pe Controlul predictiv bazat pe

modele intrare-stare-iesiremodele intrare-stare-iesiremodele intrare-stare-iesire

Asist. ing. Constantin Florin Caruntu Asist. ing. Constantin Florin Caruntu

Controlul predictiv bazat pe 10.01.2012 Controlul predictiv bazat pe

modele intare-stare-iesireCuprins

10.01.2012

23:03modele intare-stare-iesire

Cuprins23:03modele intare-stare-iesire

1. Introducere1. Introducere1. Introducere

2. Modele intrare-stare-iesire2. Modele intrare-stare-iesire2. Modele intrare-stare-iesire

3. Control predictiv fara restrictii3. Control predictiv fara restrictii

4. Control predictiv cu restrictii4. Control predictiv cu restrictii4. Control predictiv cu restrictii

5. Analiza stabilitatii5. Analiza stabilitatii5. Analiza stabilitatii

6. Analiza robustetii6. Analiza robustetii6. Analiza robustetii

Modelare si control predictivModelare si control predictivModelare si control predictivModelare si control predictiv

- proiect -- proiect -- proiect -

Controlul predictiv bazat pe Controlul predictiv bazat pe Controlul predictiv bazat pe

modele intrare-stare-iesiremodele intrare-stare-iesiremodele intrare-stare-iesire

Curs 6 – Urmarirea referintelor si Curs 6 – Urmarirea referintelor si Curs 6 – Urmarirea referintelor si

rejectia perturbatiilorrejectia perturbatiilorrejectia perturbatiilor

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Urmarirea referintei23:03 Analiza robustetii Urmarirea referintei

� Pana acum a fost considerata doar problema de � Pana acum a fost considerata doar problema de � Pana acum a fost considerata doar problema de

controlare a starilor si intrarilor in jurul originii.controlare a starilor si intrarilor in jurul originii.controlare a starilor si intrarilor in jurul originii.

� In practica, se doreste urmarirea unei referinte diferite � In practica, se doreste urmarirea unei referinte diferite � In practica, se doreste urmarirea unei referinte diferite

de zero si varianta in timp.de zero si varianta in timp.de zero si varianta in timp.

• Aterizarea avioanelor pe pilot automat.• Aterizarea avioanelor pe pilot automat.• Aterizarea avioanelor pe pilot automat.

• Actionarea unui brat robotic pe o traiectorie predefinita.• Actionarea unui brat robotic pe o traiectorie predefinita.• Actionarea unui brat robotic pe o traiectorie predefinita.

• Probleme de urmarire prin radar.• Probleme de urmarire prin radar.• Probleme de urmarire prin radar.

�� In continuare, se va considera urmarirea unor semnale � In continuare, se va considera urmarirea unor semnale

de referinta constante pe portiuni.de referinta constante pe portiuni.

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Sisteme liniare discrete23:03 Analiza robustetii Sisteme liniare discrete

� Model pe stare liniar in timp discret� Model pe stare liniar in timp discret� Model pe stare liniar in timp discret

( ) ( ) ( )x kT T Ax kT Bu kT+ = +( ) ( ) ( )x kT T Ax kT Bu kT+ = +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x kT T Ax kT Bu kT+ = +

( ) ( ) ( )y kT Cx kT Du kT= +( ) ( ) ( )y kT Cx kT Du kT= +( ) ( ) ( )( ) ( )y kT Cx kT Du kT= +

( ) ( )z kT Hx kT=( ) ( )z kT Hx kT=

� → vectorul de stare

( ) ( )z kT Hx kT=nx∈ℝ� → vectorul de starenx∈ℝ� → vectorul de starex∈ℝ

� → vectorul intrarilor (comenzilor)mu∈ℝ� → vectorul intrarilor (comenzilor)mu∈ℝ� → vectorul intrarilor (comenzilor)u∈ℝ

� → vectorul iesilor (marimi masurabile)py∈ℝ� → vectorul iesilor (marimi masurabile)py∈ℝ� → vectorul iesilor (marimi masurabile)y∈ℝq∈ℝ� → vectorul marimilor controlabileqz∈ℝ� → vectorul marimilor controlabileqz∈ℝ

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Urmarirea referintei – problema generala23:03 Analiza robustetii Urmarirea referintei – problema generala

� Sa se controleze sistemul astfel incat atunci cand ( ) ( )z k r k→ k→∞� Sa se controleze sistemul astfel incat atunci cand ( ) ( )z k r k→ k→∞� Sa se controleze sistemul astfel incat atunci cand

daca semnalul de referinta tinde catre o valoare constanta (se ( ) ( )z k r k→

daca semnalul de referinta tinde catre o valoare constanta (se

presupune ca valorile viitoare ale lui sunt necunoscute).( )r kpresupune ca valorile viitoare ale lui sunt necunoscute).( )r kpresupune ca valorile viitoare ale lui sunt necunoscute).

�

( )r k

( )r k� La fiecare moment de timp, dandu-se valoarea curenta a referintei ( )r k� La fiecare moment de timp, dandu-se valoarea curenta a referintei ( )r k

( ) ( )� Target Calculator calculeaza valorile dorite si( )u k∞ ( )x k∞� Target Calculator calculeaza valorile dorite si( )u k∞ ( )x k∞

� Regulatorul controleza sistemul in jurul valorilor dorite � Regulatorul controleza sistemul in jurul valorilor dorite

( ) ( )( )( ) ( )( ),x k u k∞ ∞( ) ( )( ),x k u k∞ ∞

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Urmarirea referintei – problema generala23:03 Analiza robustetii Urmarirea referintei – problema generala

� Dandu-se o lege de reglare liniara pe stare (fie MPC fara restrictii, K� Dandu-se o lege de reglare liniara pe stare (fie MPC fara restrictii,

fie LQR) cu sa se implementeze legea de control:

K

( ) 1A BKρ + <fie LQR) cu sa se implementeze legea de control:( ) 1A BKρ + <fie LQR) cu sa se implementeze legea de control:( ) 1A BKρ + <

( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ |u k u k K x k k x k= + −( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ |u k u k K x k k x k∞ ∞= + −( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ |u k u k K x k k x k∞ ∞= + −

( )� Sistemul de control in bucla inchisa este stabil daca si ( )u k∞ ( )x k∞� Sistemul de control in bucla inchisa este stabil daca si

sunt constante

( )u k∞ ( )x k∞

sunt constantesunt constante

( ) ( )z k r k→� Se doreste proiectarea Target Calculator a.i. cand( ) ( )z k r k→ k→∞� Se doreste proiectarea Target Calculator a.i. cand( ) ( )z k r k→ k→∞

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Alegerea variabilelor controlate23:03 Analiza robustetii Alegerea variabilelor controlate

� Nu intotdeauna toate iesirile sunt marimi controlabile � Nu intotdeauna toate iesirile sunt marimi controlabile � Nu intotdeauna toate iesirile sunt marimi controlabile

(de ex, ).( ) ( ) a.i. H C z k y k≠ ≠(de ex, ).( ) ( ) a.i. H C z k y k≠ ≠(de ex, ).( ) ( ) a.i. H C z k y k≠ ≠

� In general, nu este posibil ca toate iesirile sau starile � In general, nu este posibil ca toate iesirile sau starile � In general, nu este posibil ca toate iesirile sau starile

sa fie controlate catre un punct de referinta arbitrarsa fie controlate catre un punct de referinta arbitrarsa fie controlate catre un punct de referinta arbitrar

� Exemplu: nu este posibil sa mentinem o masina � Exemplu: nu este posibil sa mentinem o masina � Exemplu: nu este posibil sa mentinem o masina

intr-o pozitie fixa in timp ce se mentine o viteza intr-o pozitie fixa in timp ce se mentine o viteza intr-o pozitie fixa in timp ce se mentine o viteza

diferita de zero.diferita de zero.diferita de zero.

� In general, variabilele controlate sunt o ( )z k� In general, variabilele controlate sunt o ( )z k� In general, variabilele controlate sunt o

combinatie liniara sau un subset al starilor sau

( )z k

( )x kcombinatie liniara sau un subset al starilor sau ( )x kcombinatie liniara sau un subset al starilor sau

iesirilor

( )x k

( )y kiesirilor ( )y kiesirilor ( )y k

� Problema: Ce valori ale lui H sunt permise ?� Problema: Ce valori ale lui H sunt permise ?� Problema: Ce valori ale lui H sunt permise ?

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Perechi tinta de echilibru23:03 Analiza robustetii Perechi tinta de echilibru

Definitie (Pereche tinta de echilibru): Dandu-se o o Definitie (Pereche tinta de echilibru): Dandu-se o o Definitie (Pereche tinta de echilibru): Dandu-se o

referinta r pentru un sistem liniar discret, perechea referinta r pentru un sistem liniar discret, perechea referinta r pentru un sistem liniar discret, perechea

se numeste pereche tinta de echilibru (fara ( ) ( ),x k u k se numeste pereche tinta de echilibru (fara ( ) ( ),x k u k∞ ∞ se numeste pereche tinta de echilibru (fara

eroare de regim stationar) daca

( ) ( ),x k u k∞ ∞

eroare de regim stationar) dacaeroare de regim stationar) daca

x Ax Bu= +x Ax Bu∞ ∞ ∞= +x Ax Bu∞ ∞ ∞= +

=Hx r∞ =Hx r∞ =

� Rearanjand ecuatiile rezulta� Rearanjand ecuatiile rezulta� Rearanjand ecuatiile rezulta

( ) 0x − − ( ) 0xI A B ∞ − − =

( ) 0xI A B ∞ − − =

0 u rH ∞

= 0 u rH ∞

� In functie de alegerile lui H si r, perechea tinta de echilibru

∞ � In functie de alegerile lui H si r, perechea tinta de echilibru � In functie de alegerile lui H si r, perechea tinta de echilibru

poate sa existe sau nu.poate sa existe sau nu.poate sa existe sau nu.

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Existenta perechilor tinta de echilibru23:03 Analiza robustetii Existenta perechilor tinta de echilibru

Propozitie: O conditie suficienta pentru garantarea o Propozitie: O conditie suficienta pentru garantarea o Propozitie: O conditie suficienta pentru garantarea

existentei unei perechi tinta de echilibru pentru orice existentei unei perechi tinta de echilibru pentru orice existentei unei perechi tinta de echilibru pentru orice

referinta r este ca matriceareferinta r este ca matriceareferinta r este ca matricea

( ) − − ( )I A B − − ( )I A B − −

0H 0H

sa aiba toate liniile linar independente.

sa aiba toate liniile linar independente.sa aiba toate liniile linar independente.

� Conditia de mai sus implica:� Conditia de mai sus implica:

• H trebuie sa aiba toate liniile liniar independente• H trebuie sa aiba toate liniile liniar independente• H trebuie sa aiba toate liniile liniar independente

• Numarul de intrari trebuie sa fie mai mare decat numarul • Numarul de intrari trebuie sa fie mai mare decat numarul

de variabile controlabile ( )m q≥de variabile controlabile ( )m q≥

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Calcularea perechilor tinta – fara restrictii23:03 Analiza robustetii Calcularea perechilor tinta – fara restrictii

� La fiecare moment de timp, target calculator rezolva � La fiecare moment de timp, target calculator rezolva � La fiecare moment de timp, target calculator rezolva

urmatorul set de ecuatii liniareurmatorul set de ecuatii liniareurmatorul set de ecuatii liniare

( ) 0xI A B − − ( ) 0xI A B ∞ − − =

( )0 u rH

∞ = 0 u rH ∞

=

� Daca exista solutie, aceasta poate sa nu fie unica.

0 u rH ∞ � Daca exista solutie, aceasta poate sa nu fie unica.� Daca exista solutie, aceasta poate sa nu fie unica.

� Daca sunt calculate ca mai sus atunci se poate ( ) ( )( ),x k u k� Daca sunt calculate ca mai sus atunci se poate ( ) ( )( ),x k u k∞ ∞� Daca sunt calculate ca mai sus atunci se poate

arata ca atunci cand daca:

( ) ( )( )∞ ∞

( ) ( )z k r k→ k→∞arata ca atunci cand daca:( ) ( )z k r k→ k→∞

• Secventa converge catre o valoare constanta( )r ⋅• Secventa converge catre o valoare constanta( )r ⋅• Secventa converge catre o valoare constanta( )r ⋅

• Legea de control este ( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ |u k u k K x k k x k= + −• Legea de control este ( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ |u k u k K x k k x k∞ ∞= + −

• Matricea si estimatorul sunt stabile

( )∞ ∞

A BK+• Matricea si estimatorul sunt stabileA BK+• Matricea si estimatorul sunt stabileA BK+

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Rejectia perturbatiilor – problema generala23:03 Analiza robustetii Rejectia perturbatiilor – problema generala

� Valorile viitoare are lui si sunt presupuse necunoscute( )r ⋅ ( )d ⋅� Valorile viitoare are lui si sunt presupuse necunoscute( )r ⋅ ( )d ⋅� Valorile viitoare are lui si sunt presupuse necunoscute( )r ⋅ ( )d ⋅

( ) ( )ˆ� Estimatorul estimeaza starea curenta si perturbatia( )ˆ |x k k ( )ˆ |d k k� Estimatorul estimeaza starea curenta si perturbatia( )ˆ |x k k ( )ˆ |d k k

o Problema: Sa se controleze sistemul astfel incat atunci ( ) ( )z k r k→o Problema: Sa se controleze sistemul astfel incat atunci

cand daca semnalul de referinta si perturbatia converg catre

( ) ( )z k r k→k→∞cand daca semnalul de referinta si perturbatia converg catre k→∞cand daca semnalul de referinta si perturbatia converg catre

valori constante

k→∞valori constante

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Model constant al perturbatiilor23:03 Analiza robustetii Model constant al perturbatiilor

� Se considera un model pe stare liniar in timp discret cu o � Se considera un model pe stare liniar in timp discret cu o � Se considera un model pe stare liniar in timp discret cu o

perturbatie constanta care actioneaza asupra starilor si perturbatie constanta care actioneaza asupra starilor si perturbatie constanta care actioneaza asupra starilor si

iesiriloriesirilor( ) ( ) ( ) ( )1x k Ax k Bu k B d k+ = + +

iesirilor( ) ( ) ( ) ( )1 dx k Ax k Bu k B d k+ = + +( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 dx k Ax k Bu k B d k+ = + +

( ) ( )1d k d k+ =( ) ( )1d k d k+ =( ) ( )( ) ( ) ( )

1d k d k+ =

( ) ( ) ( )y k Cx k C d k= +( ) ( ) ( )dy k Cx k C d k= +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

dy k Cx k C d k

z k Hx k H d k

= +

= +( ) ( ) ( )z k Hx k H d k= +( ) ( ) ( )dz k Hx k H d k= +( ) ( ) ( )d

( )� Perturbatiile , cu ( ) ld k ∈ℝ , si n l n l n lB C H× × ×∈ ∈ ∈ℝ ℝ ℝ� Perturbatiile , cu ( ) ld k ∈ℝ , si n l n l n l

d d dB C H× × ×∈ ∈ ∈ℝ ℝ ℝ

� Se va estima prin crearea unui model extins pentru

( ) ℝ d d dℝ ℝ ℝ

( )d k� Se va estima prin crearea unui model extins pentru ( )d k� Se va estima prin crearea unui model extins pentru

starile si perturbatiile ( )d k

( )x k ( )d kstarile si perturbatiile ( )x k ( )d kstarile si perturbatiile ( )x k ( )d k

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Model extins cu perturbatii23:03 Analiza robustetii Model extins cu perturbatii

� Modelul extins al sistemului cu perturbatii este dat de� Modelul extins al sistemului cu perturbatii este dat de� Modelul extins al sistemului cu perturbatii este dat de

( ) ( )1x k x kA B B+ ( ) ( )( )

1d

x k x kA B Bu k

+ = +

( )( )

( )( )

( )1

1 0 0

dx k x kA B B

u kd k d kI

+ = + + ( ) ( )

( )1 0 0

u kd k d kI

= + + ( ) ( )( )

1 0 0d k d kI+

( ) ( )( )x k

( ) ( )( )( )x k

y k C C

= ( ) ( )( )( )dy k C Cd k

=

( ) ( )( )dy k C Cd k

= ( )

( )

d k

( ) ( )( )x k

( ) ( )( )( )x k

y k H H

= ( ) ( )( )( )dy k H Hd k

=

( ) ( )( )dd k ( )d k

� Se va utiliza un estimator pentru a obtine starile estimate � Se va utiliza un estimator pentru a obtine starile estimate

( )ˆ� Se va utiliza un estimator pentru a obtine starile estimate

si perturbatiile estimate ( )ˆ |x k k ( )ˆ |d k ksi perturbatiile estimate ( )ˆ |x k k ( )ˆ |d k ksi perturbatiile estimate ( ) ( )|d k k

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Estimarea starilor si perturbatiilor23:03 Analiza robustetii Estimarea starilor si perturbatiilor

� Modelul extins poate sa nu fie detectabil pentru orice � Modelul extins poate sa nu fie detectabil pentru orice � Modelul extins poate sa nu fie detectabil pentru orice

si B C si d dB C si d dB C

o Propozitie (Detectabilitate): Modelul extins al sistemului o Propozitie (Detectabilitate): Modelul extins al sistemului

( ),C A

o

este detectabil daca si numai daca perechea este ( ),C Aeste detectabil daca si numai daca perechea este

detectabila si matricea

( ),C A

detectabila si matriceadetectabila si matricea

( ) − − ( )I A B − − ( )I A B − −

0H 0H

are toate liniile linar independente.

are toate liniile linar independente.are toate liniile linar independente.

� Conditia de mai sus implica:� Conditia de mai sus implica:� Conditia de mai sus implica:

• Numarul de perturbatii trebuie sa fie mai mic decat • Numarul de perturbatii trebuie sa fie mai mic decat • Numarul de perturbatii trebuie sa fie mai mic decat

numarul de iesiri (pentru asigurarea detectabilitatii)numarul de iesiri (pentru asigurarea detectabilitatii)numarul de iesiri (pentru asigurarea detectabilitatii)

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Calcularea perechilor tinta cu perturbatii23:03 Analiza robustetii Calcularea perechilor tinta cu perturbatii

� La fiecare moment de timp, target calculator rezolva � La fiecare moment de timp, target calculator rezolva � La fiecare moment de timp, target calculator rezolva

urmatorul set de ecuatii liniareurmatorul set de ecuatii liniareurmatorul set de ecuatii liniare

ˆx Ax Bu B d= + + ˆdx Ax Bu B d∞ ∞ ∞= + +

ˆ

dx Ax Bu B d∞ ∞ ∞= + +

ˆr Hx H d= + ˆdr Hx H d∞= +

sau in forma matricialad∞

sau in forma matricialasau in forma matriciala

( ) ˆB dx − − ( ) ˆdB dxI A B ∞

− − =

( ) ˆdB dxI A B ∞

− − = ˆ0 uH r H d∞

= − ˆ0d

uH r H d∞ −

� Ca si in cazul fara perturbatii, aceasta problema este

dr H d∞ − � Ca si in cazul fara perturbatii, aceasta problema este � Ca si in cazul fara perturbatii, aceasta problema este

rezolvabila in functie de rangul matricilor.rezolvabila in functie de rangul matricilor.rezolvabila in functie de rangul matricilor.

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Rejectia perturbatiilor - rezultate23:03 Analiza robustetii Rejectia perturbatiilor - rezultate

� Fie urmatoarele conditii indeplinite:� Fie urmatoarele conditii indeplinite:� Fie urmatoarele conditii indeplinite:

• Secventele si converg catre valori constante.( )r ⋅ ( )d ⋅• Secventele si converg catre valori constante.( )r ⋅ ( )d ⋅

• Conditiile de rang de pe slide-urile 10 si 15 sunt satisfacute.

( )• Conditiile de rang de pe slide-urile 10 si 15 sunt satisfacute.• Conditiile de rang de pe slide-urile 10 si 15 sunt satisfacute.

•• Estimatorul starilor/perturbatiilor este stabil.• Estimatorul starilor/perturbatiilor este stabil.

• Marimea de comanda este data de• Marimea de comanda este data de

( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ |u k u k K x k k x k= + −( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ |u k u k K x k k x k∞ ∞= + −

unde sunt alese ca in slide-ul anterior.

( ) ( ) ( ) ( )( )|u k u k K x k k x k∞ ∞= + −

( ) ( )( ),x k u kunde sunt alese ca in slide-ul anterior.( ) ( )( ),x k u k∞ ∞unde sunt alese ca in slide-ul anterior.( ) ( )( ),x k u k∞ ∞

• Matricea K este aleasa a.i. sa fie stabila.( )A BK+• Matricea K este aleasa a.i. sa fie stabila.( )A BK+

• Numarul de perturbatii = numarul de iesiri.• Numarul de perturbatii = numarul de iesiri.• Numarul de perturbatii = numarul de iesiri.

�� Daca toate conditiile de mai sus sunt satisfacute, atunci � Daca toate conditiile de mai sus sunt satisfacute, atunci

( ) ( )→ →∞( ) ( ) cand z k r k k→ →∞( ) ( ) cand z k r k k→ →∞

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Calcularea perechilor tinta cu restrictii23:03 Analiza robustetii Calcularea perechilor tinta cu restrictii

� Se presupune ca exista restrictii asupra starilor si intrarilor� Se presupune ca exista restrictii asupra starilor si intrarilor� Se presupune ca exista restrictii asupra starilor si intrarilor

, 0,1,..., 1u u u i N≤ ≤ = −, 0,1,..., 1low i highu u u i N≤ ≤ = −

, 1,...,

low i high

y y y i N≤ ≤ =, 1,...,low i highy y y i N≤ ≤ =, 1,...,low i highy y y i N≤ ≤ =

� Se mai presupune ca:� Se mai presupune ca:� Se mai presupune ca:

• Conditiile de rang de pe slide-urile 10 si 15 sunt • Conditiile de rang de pe slide-urile 10 si 15 sunt

satisfacute.satisfacute.satisfacute.

• Estimatorul starilor/perturbatiilor este stabil.• Estimatorul starilor/perturbatiilor este stabil.• Estimatorul starilor/perturbatiilor este stabil.

• Numarul de perturbatii = numarul de iesiri.• Numarul de perturbatii = numarul de iesiri.• Numarul de perturbatii = numarul de iesiri.

( ) ( )ˆ� Conditie in plus: sunt de asa natura incat ( ) ( )ˆ si |r k d k k� Conditie in plus: sunt de asa natura incat ( ) ( )ˆ si |r k d k k� Conditie in plus: sunt de asa natura incat

exista perechi tinta de echilibru care sa satisfaca conditiile.

( ) ( )exista perechi tinta de echilibru care sa satisfaca conditiile.

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Calcularea perechilor tinta cu restrictii23:03 Analiza robustetii Calcularea perechilor tinta cu restrictii

� La fiecare moment de timp, target calculator primeste � La fiecare moment de timp, target calculator primeste � La fiecare moment de timp, target calculator primeste

referinta curenta r si estimarea perturbatiei d̂referinta curenta r si estimarea perturbatiei d̂referinta curenta r si estimarea perturbatiei d̂

� Target calculator calculeaza perechea tinta prin ( ),x u� Target calculator calculeaza perechea tinta prin ( ),x u∞ ∞

rezolvarea unei probleme patratice (QP):rezolvarea unei probleme patratice (QP):

( ) ( )1 T− −( ) ( )1

minT

u u u u∞ ∞− −( ) ( ),

min2x uu u u u

∞ ∞∞ ∞− −

, 2x u∞ ∞

in raport cu: ( ) ˆB dxI A B − − in raport cu: ( ) ˆdB dxI A B ∞

− − =

( )ˆ0

dB dxI A B

uH

∞ − − = − ˆ0

duH r H d∞

= − ˆ0d

uH r H d∞ −

u u u≤ ≤low highu u u∞≤ ≤

ˆ

low high∞

≤ + ≤ˆlow d highy Cx C d y∞≤ + ≤ˆlow d highy Cx C d y∞≤ + ≤

� Valoarea ideala de regim stationar pentru comanda este .u� Valoarea ideala de regim stationar pentru comanda este .u

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Control predictiv cu rejectia perturbatiilor23:03 Analiza robustetii Control predictiv cu rejectia perturbatiilor

� Problema: Dandu-se sa se calculeze o ˆˆ, , si x u x d� Problema: Dandu-se sa se calculeze o ˆˆ, , si x u x d∞ ∞� Problema: Dandu-se sa se calculeze o

secventa de comenzi pe un orizont finit care { }, ,...,u u u

ˆˆ, , si x u x d∞ ∞

secventa de comenzi pe un orizont finit care { }0 1 1, ,..., Nu u u −secventa de comenzi pe un orizont finit care

minimizeaza

{ }0 1 1, ,..., Nu u u −

minimizeaza minimizeaza 1N−

( ) ( ) ( ) ( )1N

T Tx x Q x x u u R u u

− − − + − − +∑ ( ) ( ) ( ) ( )T T

i i i ix x Q x x u u R u u∞ ∞ ∞ ∞ − − + − − + ∑ ( ) ( ) ( ) ( )

0

i i i i

i

x x Q x x u u R u u∞ ∞ ∞ ∞=

− − + − − + ∑

( ) ( )0i

T

=

( ) ( )Tx x P x x+ − −( ) ( )N Nx x P x x∞ ∞+ − −

ˆx x=tinand cont de

( ) ( )N N∞ ∞

0ˆx x=

tinand cont de 0ˆ

ˆ

x x=tinand cont de

ˆ, 0,1,..., 1x Ax Bu B d i N= + + = −1ˆ, 0,1,..., 1i i i dx Ax Bu B d i N+ = + + = −1

, 0,1,..., 1

i i i d

u u u i N

+

≤ ≤ = −, 0,1,..., 1low highu u u i N∞≤ ≤ = −, 0,1,..., 1

ˆ

low highu u u i N∞≤ ≤ = −

ˆ , 0,1,...,y Cx C d y i N≤ + ≤ =ˆ , 0,1,...,low d highy Cx C d y i N∞≤ + ≤ =

� Poate fi scrisa ca o problema patratica (QP).

low d high∞

� Poate fi scrisa ca o problema patratica (QP).� Poate fi scrisa ca o problema patratica (QP).

10.01.2012 10.01.2012

23:03 Analiza robustetii Control predictiv cu rejectia perturbatiilor23:03 Analiza robustetii Control predictiv cu rejectia perturbatiilor

� La fiecare moment de timp k:� La fiecare moment de timp k:

( )• Estimatorul preia marimile de masura si calculeaza starile ( )y k• Estimatorul preia marimile de masura si calculeaza starile

estimate si perturbatiile estimate ( )y k

( )ˆ |x k k ( )ˆ |d k kestimate si perturbatiile estimate ( )ˆ |x k k ( )ˆ |d k kestimate si perturbatiile estimate

• Target calculator calculeaza rezolvand problema

( )ˆ |x k k ( )|d k k

( ) ( ) si x k u k• Target calculator calculeaza rezolvand problema

patratica de pe slide-ul 19( ) ( ) si x k u k∞ ∞

patratica de pe slide-ul 19( ) ( )∞ ∞

patratica de pe slide-ul 19

• Regulatorul calculeaza o comanda rezolvand problema patratica cu • Regulatorul calculeaza o comanda rezolvand problema patratica cu • Regulatorul calculeaza o comanda rezolvand problema patratica cu

orizont finit de pe slide-ul 20 si implementand prima comanda din orizont finit de pe slide-ul 20 si implementand prima comanda din

secventa ( ) ( )( )*u k u x k=secventa ( ) ( )( )*

0u k u x k=secventa

• Daca problemele patratice sunt fezabile si sistemul este stabil atunci

( ) ( )( )0u k u x k=• Daca problemele patratice sunt fezabile si sistemul este stabil atunci• Daca problemele patratice sunt fezabile si sistemul este stabil atunci

( ) ( ) cand z k r k k→ →∞( ) ( ) cand z k r k k→ →∞