“In matematica nu intelegi lucrurile. Doar te obisnuiesti cu ele”

John von Neumann

3Functii complexe

Numere complexe

Orice numar complex are o unica reprezentare:

𝑧 = 𝑥 + 𝑖 · 𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ R

Numerele complexe pot fi reprezentate grafic printr-un vector orientat cuoriginea in originea reperului si varful in punctul 𝐴(𝑥, 𝑦). Spunem ca 𝑧 esteafixul punctului 𝐴(𝑥, 𝑦). Mai jos putem observa cum numarul complex 𝑧 = 2+3𝑖

este reprezentat atat prin intermediul unui vector de pozitie−→𝑂𝐴 cat si prin

intermediul punctului 𝐴(2, 3):

Numim 𝑥 = Re(𝑧) parte reala si 𝑦 = Im(𝑧) parte imaginara a numaruluicomplex 𝑧. Daca 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ C numim 𝑧 = 𝑥− 𝑖𝑦 conjugatul numaruluicomplex 𝑧. Imaginea conjugatului se obtine prin simetrie fata de axa 𝑂𝑥:

1

Partea reala si partea imaginara satisfac relatiile:

𝑅𝑒(𝑧) =𝑧 + 𝑧

2, 𝐼𝑚(𝑧) =

𝑧 − 𝑧

2𝑖

Suma a doua numere complexe 𝑧1, 𝑧2 este definita prin:

𝑧1 +𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1)+(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1 +𝑥2 + 𝑖(𝑦1 +𝑦2)

si imaginea sa se obtine prin regula paralelogramului:

Diferenta a doua numere complexe 𝑧1, 𝑧2 este definita prin:

𝑧1−𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1)−(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1−𝑥2 + 𝑖(𝑦1−𝑦2)

si imaginea sa se obtine cu regula triunghiului apoi se aplica o translatie panain originea reperului:

2

Pentru produsul a doua numere complexe 𝑧1 si 𝑧2 avem regula naturala:

𝑧1 ·𝑧2 = (𝑥1+𝑖𝑦1)·(𝑥2+𝑖𝑦2) = 𝑥1 ·𝑥2−𝑦1𝑦2+𝑖(𝑦1𝑥2+𝑥1𝑦2)

E de fapt inmultirea obisnuita a doua paranteze tinand cont de noutatea:

𝑖2 = −1

Reprezentarea grafica a produsului o vom prezenta mai tarziu, dupa ce vomintelege mai bine informatiile codificate in scrierea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.

Lungimea vectorului prin care un numar complex este reprezentat se numestemodulul numarului complex. Modulul numarului complex 𝑧 = 𝑥+ 𝑖𝑦 se noteaza|𝑧| sau folosind litera 𝑟.

|𝑧| =√𝑧 · 𝑧 =

√𝑥2 + 𝑦2

Modulul coincide cu norma euclidiana a vectorului prin care 𝑧 este reprezentat:

3

Daca 𝑧 = 0, putem forma inversul sau folosind regula:

1

𝑧=

𝑧

|𝑧|2=

𝑥− 𝑖𝑦

𝑥2 + 𝑦2

Inversul unui numar complex se reprezinta prin simetrie fata de axa 𝑂𝑥 apoiinversiune fata de cercul unitate. Vectorul care reprezinta numarul complex 1

𝑧indica in acelasi sens ca si 𝑧 dar are lungimea 1

𝑟 , cand 𝑧 are lungimea 𝑟.

Catul a doua numere complexe 𝑧1, 𝑧2 e de fapt produsul lui 𝑧1 cu inversul lui𝑧2:

𝑧1𝑧2

= 𝑧1 ·1

𝑧2= (𝑥1 + 𝑖𝑦1) · 1

𝑥2 + 𝑖𝑦2= (𝑥1 + 𝑖𝑦1) · 𝑥2 − 𝑖𝑦2

𝑥22 + 𝑦22

=𝑥1 · 𝑥2 + 𝑦1𝑦2 − 𝑖(𝑦1𝑥2 + 𝑥1𝑦2)

𝑥22 + 𝑦22

Unghiul 𝜃 format de semiaxa pozitiva 𝑂𝑥 si vectorul−→𝑂𝐴, prin care numarul

complex e reprezentat, se numeste argumentul numarului complex 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.

4

Avem urmatoarea formula pentru a obtine acest unghi:

𝜃 = arctg(𝑦𝑥

)+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z

Deoarece cos si sin sunt 2𝜋-periodice, argumentul nu este unic determinat, ci𝜃 ± 2𝜋, 𝜃 ± 4𝜋, . . . reprezinta alte argumente posibile ale lui 𝑧.

Din aceasta cauza vom nota cu:

arg(𝑧) = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z

multimea tuturor argumentelor.Pentru 𝑟 := |𝑧| =

√𝑥2 + 𝑦2 se observa pe baza figurii anterioare ca:

Reprezentarea trigonometrica (polara) a unui numar complex:Fiecare numar comlex poate fi reprezentat sub forma:

𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)

unde 𝑟 si 𝜃 se vor numi coordonatele polare ale lui 𝑧.

Cautam sa aflam reprezentarea trigonometrica a lui 𝑧 = −√

3−𝑖. Deoarece𝑥 = −

√3 si 𝑦 = −1 obtinem:

𝜃 = arctg(𝑦𝑥

)= arctg

(√3

3

)=

𝜋

6+ 𝑘𝜋

Punctul 𝐴(−√

3,−1) (imaginea lui 𝑧) se afla in cadranul III din aceastacauza ar trebui sa avem:

𝜋 < 𝜃 <3𝜋

2.

O astfel de valoare se obtine pentru 𝑘 = 1, deci 𝜃 = 𝜋6 +1·𝜋 = 7𝜋

6 . Modulul

Exemplu:

5

sau este 𝑟 = |𝑧| =√

(−√

3)2 + (−1)2 = 2. Prin urmare reprezentarea

trigonometrica (polara) este:

𝑧 = 2

(cos

7𝜋

6+ sin

7𝜋

6

)�

Argument principal: Vom nota unghiul 𝜃 pentru care are loc:

−𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋

prin Arg(𝑧) si il vom numi argumentul principal a lui 𝑧. Are loc relatia:

arg(𝑧) = Arg(𝑧) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ZZ.

In exemplul anterior argumentul ales a fost 𝜃 = 7𝜋6 . Cu ajutorul for-

mulei Arg(𝑧) = 𝜃 ± 2𝑘𝜋 ∈ (−𝜋, 𝜋], 𝑘 ∈ N, cautam sa obtinem argumentulprincipal.

Din aceasta cauza: Arg(𝑧) = 7𝜋6 − 2𝜋 = − 5𝜋

6 .

Asadar avem inca o posibila reprezentare trigonometrica:

𝑧 = 2

(cos

(−5𝜋

6

)+ sin

(−5𝜋

6

))�

Exemplu:

In acest moment putem sa dam o semnificatie grafica produsului a douanumere complexe cu ajutorul reprezentarilor polare:

𝑧1 · 𝑧2 = 𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 + 𝜃2))

6

Putem astfel intelege ce se intampla la inmultirea lui 𝑧2 cu 𝑧1. Numarul complex𝑧1 transforma vectorul de pozitie a lui 𝑧2 rotindu-l cu un unghi 𝜃1 = 𝐴𝑟𝑔(𝑧) injurul originii apoi scalandu-l incat sa aibe lungimea egala cu produsul lungimilorcelor doi vectori. Asadar o inmultire cu un numar complex este din punct devedere geometric o rotatie si apoi o scalare. O situatie asemanatoare are locpentru catul lor:

𝑧1𝑧2

=𝑟1𝑟2

(cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 − 𝜃2))

Una dintre motivatiile formei trigonometrice este posibilitea de a exprima ele-gant puterea unui numar complex:

Formula lui Moivre:

(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃), pentru orice 𝑛 ∈ Z.

Radacinile ecuatiei 𝑤𝑛 = 𝑧:Pentru orice numar natural 𝑛 ecuatia 𝑤𝑛 = 𝑧 are exact 𝑛 solutii, mai exact:

𝑛√𝑧 = 𝑛

√|𝑧|(

cos𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛

),

unde 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛− 1.

Ecuatia 𝑤𝑛 = 𝑖, 𝑤 ∈ C va avea trei solutii. Se observa usor, reprezentandgrafic numarul 𝑖, ca |𝑖| = 1 si 𝜃 = 𝜋

2 , asadar:Pentru 𝑘 = 0 :

Exemplu:

7

𝑤1 =3√

1

(cos

𝜋2

3+ 𝑖 sin

𝜋2

3

)= cos

𝜋

6+ 𝑖 sin

𝜋

6

=

√3

2+

1

2𝑖

Pentru 𝑘 = 1 :

𝑤2 =3√

1

(cos

𝜋2 + 2𝜋

3+ 𝑖 sin

𝜋2 + 2𝜋

3

)= cos

5𝜋

6+ 𝑖 sin

5𝜋

6

= cos(𝜋 − 𝜋

6

)+ 𝑖 sin

(𝜋 − 𝜋

6

)= − cos

𝜋

6+ 𝑖 sin

𝜋

6= −

√3

2+

1

2𝑖

si pentru 𝑘 = 2 :

𝑤3 =3√

1

(cos

𝜋2 + 4𝜋

3+ 𝑖 sin

𝜋2 + 4𝜋

3

)= cos

9𝜋

6+ 𝑖 sin

9𝜋

6

= cos3𝜋

2+ 𝑖 sin

3𝜋

2= cos

(2𝜋 − 𝜋

2

)+ 𝑖 sin

(2𝜋 − 𝜋

2

)= cos

𝜋

2− 𝑖 sin

𝜋

2= −𝑖

�

Pentru orice 𝑛 ∈ N exista exact 𝑛 radacini de ordinul 𝑛 ale numarului𝑧 = 1, mai precis:

𝜀1 = cos2𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

2𝜋

𝑛

𝜀2 = cos4𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

4𝜋

𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝜀𝑘 = cos2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

2𝑘𝜋

𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝜀𝑛 = 1

Radacinile de ordinul n ale unitatii 𝜀𝑛 = 1:

Din punct de vedere grafic imaginile acestora sunt 𝑛 puncte situate pe cercul deraza 1 si origine 𝑂 (cercul unitate).

Functii complexe

O functie cu valori complexe este o functie 𝑓 : 𝐷 → C pentru care domeniulde valori este o submultime a lui C. Atunci cand 𝐷 ⊂ C spunem ca avem ofunctie complexa.

8

De obicei scriem:𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 · 𝑣(𝑥, 𝑦),

unde 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, pentru o functie complexa 𝑓. Astfel 𝑢, 𝑣 vor fi functii reale.

Functii liniare: O functie complexa 𝑓 se numeste liniara daca exista con-stantele complexe 𝑎, 𝑏 ∈ C, 𝑎 = 0, astfel incat:

𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.

∙ Pentru 𝑎 = 1 se obtine ceea ce in geometrie numim translatie in directiaindicata de 𝑏:

𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.

∙ Cand 𝑎 ∈ R+ si 𝑏 = 0 obtinem o scalare cu factorul de scalare a>0:

𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧, 𝑧 ∈ C.

adica modulul lui 𝑧 va fi marit (𝑎 > 1) sau micsorat (0 < 𝑎 < 1).∙ Daca 𝑎 ∈ C astfel ca |𝑎| = 1 si 𝑏 = 0 atunci obtinem o rotatie in

jurul originii, in sens pozitiv trigonometric, de unghi 𝜃 = Arg(𝑎):

𝑓(𝑧) = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧, 𝑧 ∈ C.

Remarca:

Structura unei aplicatii liniare:Orice aplicatie liniara 𝑓 : C → C se descompune in:

𝑓 = 𝑓3 ∘ 𝑓2 ∘ 𝑓1

unde cele trei functii reprezinta:1) 𝑓1(𝑧) == (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧 o rotatie in jurul originii

2) 𝑓2(𝑧) = |𝑎|𝑧 o scalare

3) 𝑓3(𝑧) = 𝑧 + 𝑏 o translatie de ”vector” 𝑏

In continuare vom incepe sa studiem varianta complexa a unor functii ele-mentare. Unele astfel de extinderi nu conduc la functii propriu-zise ci la ceeace vom numi functii multivalente: adica functii care asociaza unui numar 𝑧 maimulte posibile valori.

Functia exponentiala complexa:Functia exponentiala exp : C → C este definita prin:

exp(𝑧) = 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 := 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑖𝑒𝑥 sin 𝑦

9

Se observa usor ca de fapt |𝑒𝑧| = 𝑒𝑥 si arg(𝑧) = 𝑦 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z.

Proprietatile functiei exponentiale:

i) functia exponentiala este o functie 2𝜋𝑖-periodica:

𝑒𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒𝑧, 𝑧 ∈ C.

ii) 𝑒𝑧𝑒𝑤 = 𝑒𝑧+𝑤, 𝑧, 𝑤 ∈ C,

iii)𝑒𝑧

𝑒𝑤= 𝑒𝑧−𝑤

iv) (𝑒𝑧)𝑛 = 𝑒𝑛𝑧, 𝑛 ∈ Z.

Logaritmul complex:Functia mutivalenta:

Ln(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 · arg(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 · (𝐴𝑟𝑔(𝑧) + 2𝑘𝜋)

se numeste logaritm complex Ln : C* → C si reprezinta solutia ecuatiei:

𝑒𝑤 = 𝑧.

Proprietatile logaritmului complex:Pentru orice 𝑧, 𝑤 = 0 au loc:

i) Ln(𝑧) + Ln(𝑤) = Ln(𝑧𝑤)

ii) Ln𝑧 − Ln(𝑤) = Ln(𝑧𝑤

)iii) Ln(𝑧𝑛) = 𝑛 · Ln(𝑧), 𝑛 ∈ Z.

Egalitatile de mai sus trebuie interpretate ca identitati intre multimi si nuintre numere complexe, caci functia multivalenta complexa returneaza ca valoareo multime de numere si nu un numar.

”Functia” putere:Putem defini ridicarea la putere complexa cu ajutorul logaritmului complex:

𝑧𝛼 = 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖 arg(𝑧))

unde 𝛼 ∈ C este o constanta complexa.

10

Functia putere definita mai sus este tot multivalenta deci nu e propriu-ziso functie. Insa expresia 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖Arg(𝑧)) numita valoare principala a functieiputere 𝑓(𝑧) = 𝑧𝛼 este o functie complexa de 𝑧 (atribuie o unica valoare fiecaruinumar 𝑧).

Proprietatile alegbrice obisnuite ale functiei putere nu se aplica varianteicomplexe. Regula 𝑧𝛼 · 𝑤𝛼 = (𝑧𝑤)𝛼, de exemplu, nu e valabila pentruorice 𝑧, 𝑤 ∈ C* si 𝛼, 𝛽 ∈ C. Spre exemplu, tinand cont de definitia functieimutivalente putere:

(−1)𝑖 · (−1)𝑖 = 𝑒𝑖(0+𝑖arg(−1))𝑒𝑖(0+𝑖arg(−1)))

= 𝑒−(𝜋+2𝑘𝜋)𝑒−(𝜋+2𝑘𝜋) =1

𝑒2𝜋+4𝑘𝜋

dar si:

[(−1) · (−1)]𝑖 = 1𝑖 = 𝑒𝑖(0+𝑖arg(1)) = 𝑒−(0+2𝑘𝜋) =1

𝑒2𝑘𝜋

Remarca:

Functiile trigonometrice si hiperbolice complexe:Urmatoarele functii sunt extinderi ale functiilor reale corespunzatoare:

sin 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧

2𝑖, sinh 𝑧 =

𝑒𝑧 − 𝑒−𝑧

2

cos 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧

2, cosh 𝑧 =

𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧

2

Aceste functii sunt continue si derivabile pe C !

Proprietati elementare :Pentru orice 𝑧 ∈ C :

i) cos2 𝑧 + sin2 𝑧 = 1 si cosh2 𝑧− sinh2 𝑧 = 1

ii) cosh(𝑖𝑧) = cos 𝑧 si sinh(𝑖𝑧) = 𝑖 sin 𝑧

iii) in C au loc, la fel ca in R, regulile:

sin(𝑧1 ± 𝑧2) = sin 𝑧1 cos 𝑧2 ± sin 𝑧2 cos 𝑧1,

cos(𝑧1 ± 𝑧2) = cos 𝑧1 cos 𝑧2 ∓ sin 𝑧1 sin 𝑧2.

11

Complex versus real

In planul complex distanta se calculeaza prin:

𝑑(𝑧, 𝑤) = |𝑧 − 𝑤| =√

(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2, 𝑧, 𝑤 ∈ C.

Tinand cont de aceasta putem sa vizualizam o vecinatate deschisa in jurul lui𝑧0 ca fiind un disc centrat in 𝑧0 si de raza 𝛿, adica multimea:

𝐷(𝑧0, 𝛿) = {𝑧 ∈ C : |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿}.

Siruri convergente:Fie (𝑧𝑛)𝑛 un sir de numere complexe si 𝑧 ∈ C. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

𝑧𝑛 → 𝑧, cand 𝑛 → ∞ ⇔ Re(zn) → Re(z) si Im(zn) → Im(z), cand 𝑛 → ∞

In C o functie 𝑓 : 𝐷 → C are limita 𝐿 in punctul 𝑧0 daca si numai dacapentru toate sirurile (𝑧𝑛)𝑛, care converg la 𝑧0, sirul 𝑓(𝑧𝑛) converge la 𝐿.

Diferenta dintre cazul complex si cel real este ca in C sirurile nu se apropiede limita doar dintr-o directie ci se pot apropia dintr-o infinitate de directii sautraiectorii:

12

In cazul sirurilor reale aproprierea de limita se face doar pe o traiectorie ori-zontala (axa 𝑂𝑥). In complex convergenta este mai greu de realizat dupa cumarata urmatorul exemplu.

Limita lim𝑧→0

𝑧

2𝑧nu exista !

Consideram un sir (𝑧𝑛)𝑛, care converge pe directia axei 𝑂𝑥 la 0, deexemplu 𝑧𝑛 = 1

𝑛 . Atunci vom avea:

𝑓(𝑧𝑛) =𝑧𝑛2𝑧𝑛

=1𝑛2𝑛

=1

2→ 1

2.

Dar pentru un alt sir (𝑤𝑛)𝑛, care converge pe directia axei 𝑂𝑦 la 0, deexemplu 𝑤𝑛 = 1

𝑛 𝑖, va rezulta:

𝑓(𝑤𝑛) =𝑤𝑛

2𝑤𝑛=

− 𝑖𝑛

2𝑖𝑛

= −1

2→ −1

2.

Deci o contradictie cu criteriul lui Heine. �

Ilustrare:

Limita unei functii complexe:Fie 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦), 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 si 𝐿 = 𝑎 + 𝑖𝑏, atunci lim

𝑧→𝑧0𝑓(𝑧) = 𝐿

daca si numai daca:

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎 und lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑏.

Calculam limita lim𝑧→1+𝑖

(𝑧2 + 1). Fie 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, ca de obicei. Atunci:

𝑓(𝑧) = 𝑧2 + 𝑖 = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 + 𝑖 = 𝑥2 − 𝑦2 + (2𝑥𝑦 + 1)𝑖

Pentru a aplica ultima teorema, consideram 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 si 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 + 1.Aici 𝑧0 = 1 + 𝑖, deci 𝑥0 = 1 si 𝑦0 = 1.

Atunci:lim

(𝑥,𝑦)→(1,1)(𝑥2 − 𝑦2) = 0

si:lim

(𝑥,𝑦)→(1,1)(2𝑥𝑦 + 1) = 3

si limita exista si e 𝐿 = lim𝑧→1+𝑖

(𝑧2 + 1) = 0 + 3𝑖. �

Exemplu:

13

Continuitatea functiilor complexe:Fie 𝐷 ⊂ C o vecinatate deschisa a lui 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0. O functie 𝑓 : 𝐷 → C :

𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

este continua in 𝑧0, daca functiile reale 𝑢, 𝑣 sunt continue in (𝑥0, 𝑦0).

Functia exponentiala 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 este continua pe C, caci 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦 si𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 sin 𝑦 sunt ambele produse de functii reale continue.

Derivabilitatea functiilor complexe:Fie 𝐷 ⊂ C un domeniu. O functie 𝑓 : 𝐷 → C se numeste derivabila complexin 𝑧0 ∈ 𝐷, daca exista limita:

𝑓 ′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)

𝑧 − 𝑧0

Numarul complex 𝑓 ′(𝑧0) se numeste derivata lui 𝑓 in 𝑧0.O functie se numeste olomorfa in 𝑧0 ∈ C cand este definita intr-o vecinatatedeschisa a acestuia 𝐷(𝑧0, 𝛿) ⊂ C si este derivabila complex in toate punctelevecinatatii.

Functia 𝑓(𝑧) = 𝑥 + 4𝑖𝑦 nu este derivabila complex in niciun punct 𝑧0 !Sa consideram 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 si sa formam limita:

𝑓 ′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)

𝑧 − 𝑧0= lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(4𝑦 − 4𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(𝑦 − 𝑦0)

Daca ne apropiem de (𝑥0, 𝑦0) vertical, adica prin siruri (𝑥0, 𝑦𝑛) cu 𝑦𝑛 → 𝑦0obtinem:

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(4𝑦 − 4𝑦0)

(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(𝑦 − 𝑦0)= lim

𝑛→∞

(𝑥0 − 𝑥0) + 𝑖(4𝑦𝑛 − 4𝑦0)

(𝑥0 − 𝑥0) + 𝑖(𝑦𝑛 − 𝑦0)= 4

�

Exemplu:

Derivabilitatea complexa este ceva mai pretentioasa decat simpla derivabi-litate a componentelor 𝑢 si 𝑣 dupa cum arata teorema Looman-Menchoff :

14

Derivabilitate complexa vs. derivabilitate reala:Fie functia 𝑓 : 𝐷 → C definita prin 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 · 𝑣(𝑥, 𝑦), atunci cand𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 si sunt indeplinite urmatoarele conditii:

i) 𝑓 este continua intr-o vecinatate a lui 𝑧0 ∈ 𝐷.

ii) derivatele partiale 𝜕𝑢𝜕𝑥 ,

𝜕𝑢𝜕𝑦 si 𝜕𝑣

𝜕𝑥 ,𝜕𝑣𝜕𝑥 exista intr-o vecinatate a lui 𝑧0.

iii) functiile 𝑢, 𝑣 satisfac intr-o vecinatate a lui 𝑧0 conditiile Cauchy-Riemann:

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝜕𝑣

𝜕𝑦,

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −𝜕𝑣

𝜕𝑥.

Atunci functia 𝑓 este derivabila complex in 𝑧0 (chiar olomorfa).

Vom studia olomorfia functiei 𝑓(𝑧) = cos 𝑧 intr-un punct oarecare notat𝑧0 = 𝑥0+𝑖𝑦0 �

Exemplu:

Reguli de derivare pentru functii olomorfe (ca si in cazul real):

i) liniaritate: (𝛼𝑓(𝑧) + 𝛽𝑔(𝑧))′ = 𝛼𝑓(𝑧)′ + 𝛽𝑔(𝑧)′

ii) regula produsului: (𝑓(𝑧)𝑔(𝑧))′ = 𝑓 ′(𝑧)𝑔(𝑧) + 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)

iii) regula catului:

(𝑓(𝑧)

𝑔(𝑧)

)′

=𝑓 ′(𝑧)𝑔(𝑧) − 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)

𝑔2(𝑧)

iv) derivarea functiilor compuse: 𝑓(𝑔(𝑧))′ = 𝑓 ′(𝑔(𝑧))𝑔′(𝑧)

Integrarea functiilor complexe

Integrala Riemann a unei functii cu valori complexe se defineste in mod naturalprin:

Integrala Riemann:Fie 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → C o functie continua. Definim integrala lui 𝑓 pe [𝑎, 𝑏] prin:∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑡)𝑑𝑡 :=

∫ 𝑏

𝑎

Re(𝑓(𝑡))𝑑𝑡 + 𝑖

∫ 𝑏

𝑎

Im(𝑓(𝑡))𝑑𝑡

15

∫ 𝜋

0

cos 𝑡 + 𝑖 · sin 𝑡𝑑𝑡 =

∫ 𝜋

0

cos 𝑡𝑑𝑡 + 𝑖 ·∫ 𝜋

0

sin 𝑡𝑑𝑡 = sin 𝑡

𝜋

0

+ 𝑖

(− cos 𝑡

𝜋

0

)= 0 + 𝑖 · 2 = 2𝑖.

�

Exemplu:

Pentru a defini insa integrala unor functii complexe este nevoie de un studiuamanuntit al curbelor si al unor clase de multimi in planul complex.

Curbe in planul complex:Prin curba in planul complex vom intelege o aplicatie continua:

𝑐 : [𝑎, 𝑏] → C, 𝑎 < 𝑏,

intre un interval compact si multimea numerelor complexe. Orice curba va aveao reprezentare:

𝑐(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖 · 𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]

O curba se numeste neteda daca este derivabila cu derivata continua.

∙ Fie 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 si 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2. Segmentul dintre punctele 𝐴(𝑥1, 𝑦1)si 𝐵(𝑥2, 𝑦2) reprezinta de fapt o curba 𝑐 : [0, 1] → C :

𝑐(𝑡) = 𝑧1 + 𝑡(𝑧2 − 𝑧1) = 𝑥(𝑡) + 𝑖 · 𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1],

unde 𝑥(𝑡) = 𝑥1 + 𝑡(𝑥2 − 𝑥1) si 𝑦(𝑡) = 𝑦1 + 𝑡(𝑦2 − 𝑦1).∙ Un cerc de raza 𝑅 si centru 𝑀(𝑥0, 𝑦0) poate fi interpretat ca fiind o

curba 𝑐 : [0, 2𝜋] → C :

𝑐(𝑡) = (𝑥0 + 𝑅 cos 𝑡) + 𝑖 · (𝑦0 + 𝑅 sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].

�

Exemplu:

Curbe netede pe portiuni :O curba se numeste neteda pe portiuni daca exista o partitie:

𝑎 = 𝑎0 < 𝑎1 < . . . < 𝑎𝑛 = 𝑏

astfel ca 𝑐 sa fie neteda pe fiecare interval (𝑎𝑘, 𝑎𝑘+1), 0 ≤ 𝑘 < 𝑛− 1.

16

Domeniu:

Multimea 𝐷 ⊂ C se numeste dome-niu daca este deschisa si pentru orice𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐷 exista o curba 𝑐 ⊂ 𝐷 careuneste 𝑧1 cu 𝑧2.

Domeniu simplu conex:

𝐷 este un domeniu si curba inchisa 𝛾aflata in 𝐷 poate fi contractata panadevine un punct al multimii respective.(nu are gauri)

Domeniu multiplu conex:

Un domeniu care nu este simplu conexse numeste multiplu conex.(are gauri)

Integrala in planul complex:Fie 𝐷 ∈ C un domeniu, 𝑓 : 𝐷 → C o functie continua si 𝑐 : [𝑎, 𝑏] → 𝐷 o curbaneteda. Atunci definim integrala curbilinie complexa a lui 𝑓 pe curba 𝑐 prin:∫

𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 =

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑐(𝑡)) · 𝑐′(𝑡)𝑑𝑡

Cand 𝑐 este doar neteda pe portiuni definim:∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 =

𝑛−1∑𝑘=0

∫ 𝑎𝑘+1

𝑎𝑘

𝑓(𝑧)𝑑𝑧.

pentru partitia corespunzatoare.

17

Calculam: ∫𝑐

1

𝑧𝑑𝑧,

unde 𝑐 este cercul unitate.Pentru inceput curba 𝑐 are reprezentarea parametrica:

𝑐(𝑡) = cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡, 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].

Conform definitiei:∫𝑐

1

𝑧𝑑𝑧 =

∫ 2𝜋

0

1

cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)′𝑑𝑡

=

∫ 2𝜋

0

cos 𝑡− 𝑖 sin 𝑡

cos2 𝑡 + sin2 𝑡(− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡)𝑑𝑡

=

∫ 2𝜋

0

(cos 𝑡− 𝑖 sin 𝑡)(− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡)𝑑𝑡 =

∫ 2𝜋

0

𝑖 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑖.

�

Exemplu:

Proprietati elementare ale integralelor complexe:

i)

∫𝑐

𝛼𝑓(𝑧) + 𝛽𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝛼

∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 + 𝛽

∫𝑐

𝑔(𝑧)𝑑𝑧, 𝛼, 𝛽 ∈ C.

ii)

∫𝑐1∪𝑐2

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 =

∫𝑐1

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 +

∫𝑐2

𝑓(𝑧)𝑑𝑧,

∙ Integrala complexa nu depinde de parametrizarea curbei.∙ Integrala complexa curbilinie depinde de orientarea curbei ! Daca notamprin 𝑐− curba 𝑐 data cu orientarea inversa, atunci:∫

𝑐−𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = −

∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧.

Remarca:

18

Recuperarea unui rezultat clasic:Fie 𝐷 ⊂ C deschisa si 𝑓 : 𝐷 → C continua. O primitiva a lui 𝑓 este o functieolomorfa 𝐹 : 𝐷 → C pentru care 𝐹 ′ = 𝑓. Atunci pentru orice curba neteda peportiuni 𝑐 aflata in 𝐷 are loc:∫

𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝐹 (𝑐(𝑏)) − 𝐹 (𝑐(𝑎)).

Functia 𝑓(𝑧) = 𝑧 are primitiva:

𝐹 (𝑧) =𝑧2

2.

Fie acum 𝑐 semicercul cercului unitate (considerat cu orientarea pozitiva)situat intre punctele 𝐴(−1, 0) si 𝐵(1, 0). Acest semicerc considerat cafiind o curba admite parametrizarea 𝑐(𝑡) = cos 𝑡+ 𝑖 sin 𝑡 pentru 𝑡 ∈ [𝜋, 2𝜋],deoarece 𝑧𝐴 = −1 + 0𝑖 = cos𝜋 + 𝑖 sin𝜋 si 𝑧𝐵 = 1 + 0 · 𝑖 = cos 2𝜋 + 𝑖 sin 2𝜋.

∫𝑐

𝑧𝑑𝑧 = 𝐹 (𝑐 (2𝜋)) − 𝐹 (𝑐(𝜋)) = (1 + 𝑖 · 0)2 − (−1 + 𝑖 · 0)2 = 1 − 1 = 0

Pe de alta parte:∫𝑐

𝑧𝑑𝑧 =

∫ 2𝜋

𝜋

(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)′𝑑𝑡

=

∫ 2𝜋

𝜋

(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)(− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡)𝑑𝑡

=

∫ 2𝜋

𝜋

− sin(2𝑡) + 𝑖 sin(2𝑡)𝑑𝑡 =cos(2𝑡)

2

2𝜋

𝜋

− 𝑖cos(2𝑡)

2

2𝜋

𝜋

= 0

�

Exemplu:

19

Dezvoltari in serii de puteri in jurul lui 0

1

1 − 𝑧= 1 + 𝑧 + 𝑧2 + . . . 𝑧𝑛 + . . . =

∞∑𝑛=0

𝑧𝑛, |𝑧| < 1

𝑒𝑧 = 1 + 𝑧 +𝑧2

2!+ . . .

𝑧𝑛

𝑛!+ . . . =

∞∑𝑛=0

𝑧𝑛

𝑛!

sin 𝑧 = 𝑧 − 𝑧3

3!+

𝑧5

5!− . . . =

∞∑𝑛=0

(−1)𝑛𝑧2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

cos 𝑧 = 1 − 𝑧2

2!+

𝑧4

4!− . . . =

∞∑𝑛=0

(−1)𝑛𝑧2𝑛

(2𝑛)!

Serii de puteri in jurul unui 𝑧0 oarecare:In general pentru functii olomorfe are loc formula de dezvoltare in serie Taylor:

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=0

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!· (𝑧 − 𝑧0)𝑛

in jurul lui 𝑧0 ∈ C.

Dezvoltarea in serie Laurent:

Fie 𝑓 o functie olomorfa in coroanacirculara 𝑟 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝑅. Atunci eapoate fi dezvoltata in serie Laurent inpunctele acestei multimi:

𝑓(𝑧) =

𝑛=∞∑𝑛=−∞

𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛.

Coeficientii dezvoltarii sunt dati prin:

𝑎𝑘 =1

2𝜋𝑖

∫𝑐

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧0)𝑘+1𝑑𝑤, 𝑘 = 0,±1,±2, . . . ,

unde 𝑐 este o curba inchisa simpla, positiv orientata, care este situata in totali-tate in 𝑟 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝑅 si contine punctul 𝑧0 in interiorul sau.

20

Consideram functia 𝑓(𝑧) =sin 𝑧

𝑧2pe care dorim sa o dezvoltam in serie

Laurent in jurul lui 𝑧0 = 0 si putem considera 𝑧 ca facand parte dincoroana circulara 0 < |𝑧| < ∞.

Cu ajutorul dezvoltarii in serie Taylor:

sin 𝑧 = 𝑧 − 𝑧3

3!+

𝑧5

5!− 𝑧7

7!+ . . .

obtinem dezvoltarea in serie Laurent in jurul lui 𝑧0 = 0:

𝑓(𝑧) =sin 𝑧

𝑧2=

1

𝑧− 𝑧

3!+

𝑧3

5!− 𝑧5

7!+ . . .

deci 𝑎𝑛 = 0 pentru 𝑛 < −1, 𝑎−1 = 1, 𝑎0 = 0, 𝑎1 = − 13! , 𝑎2 = 0, 𝑎3 = 1

5! siasa mai departe. �

Exemplu:

Singularitati izolate:Fie 𝐷 ⊂ C, 𝑧0 ∈ 𝐷 si 𝐹 : 𝐷∖{𝑧0} → C olomorfa. Atunci numim 𝑧0 singularitateizolata a lui 𝑓.

In cele ce urmeaza vom dori sa clasificam singularitatile izolate ale uneifunctii.

Caracterizarea singularitatilor izolate prin intermediul seriilor Lau-rent:

Functia 𝑓 poseda in 𝑧0 ∈ C o singularitate izolata. Atunci numim 𝑧0:i) o singularitate aparenta a lui 𝑓 , daca in dezvoltarea in serie Laurent in

jurul lui 𝑧0 toti 𝑎𝑛 cu 𝑛 < 0 sunt nuli:

𝑓(𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑧 − 𝑧0) + 𝑎2(𝑧 − 𝑧0)2 + . . .

ii) un pol de ordinul m al lui 𝑓, daca in dezvoltarea in serie Laurent 𝑎𝑛 = 0pentru 𝑛 < −𝑚 :

𝑓(𝑧) =𝑎−𝑚

(𝑧 − 𝑧0)𝑚+

𝑎−(𝑚−1)

(𝑧 − 𝑧0)𝑚−1+ . . .+ 𝑎0 + 𝑎1(𝑧− 𝑧0) + 𝑎2(𝑧− 𝑧0)2 + . . .

iii) o singularitate esentiala, cand dezvoltarea Laurent admite o infinitate determeni cu exponent negativ:

𝑓(𝑧) = . . . +𝑎−2

(𝑧 − 𝑧0)2+

𝑎−1

𝑧 − 𝑧0+ 𝑎0 + 𝑎1(𝑧 − 𝑧0) + 𝑎2(𝑧 − 𝑧0)2 + . . .

21

Teorema de caracterizare a polilor:Functia 𝑓 are in 𝑧0 un pol de ordin 𝑚 daca si numai daca exista o functie 𝑔olomorfa in 𝑧0 astfel ca 𝑔(𝑧0) = 0 iar intr-o vecinatate a lui 𝑧0 avem:

𝑓(𝑧) =𝑔(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑚

Daca functia 𝑓 are in 𝑧0 un pol, atunci:

lim𝑧→𝑧0

|𝑓(𝑧)| = ∞

Consecinta

𝑓(𝑧) =cos 𝑧

(𝑧 − 𝑖)2are in 𝑧0 = 𝑖 un pol de ordin 2, verificam usor ca cos(𝑖) = 0

iar cos 𝑧 este olomorfa in orice punct din C. �

Exemplu:

Teorema de caracterizare a singularitatilor aparente:Singularitatea 𝑧0 este o singularitate aparenta daca si numai daca limitalim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) exista in C.

Functia 𝑓(𝑧) =sin 𝑧

𝑧are o singularitate aparenta in 𝑧0 = 0. Daca incercam

sa aplicam teorema de caracterizare a polilor observam ca sin 0 = 0 decinu se poate aplica. In schimb fie dezvoltam in serie Laurent in jurul lui 𝑧0si folosind deja mentionata dezvoltare:

sin 𝑧 = 𝑧 − 𝑧3

3!+

𝑧5

5!− . . .

vedem ca:sin 𝑧

𝑧= 1 − 𝑧2

3!+

𝑧4

5!− . . .

si prin urmare nu avem termeni cu exponent negativ deci 𝑧0 este singular-itate aparenta conform definitiei.

In acelasi timp putem observa ca

lim𝑧→0

sin 𝑧

𝑧= 1

Exemplu:

22

deci aplicand teorema de caracterizare ajungem la acelasi rezultat.�

Teorema de caracterizare a singularitatilor esentiale:Singularitatea 𝑧0 este o singularitate esentiala daca si numai daca limitalim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) nu exista iar lim𝑧→𝑧0

|𝑓(𝑧)| = ∞.

Functia 𝑓(𝑧) = 𝑒1𝑧 are in 𝑧0 = 0 o singularitate esentiala.

Metoda 1: Limita lim𝑧→0 𝑒1𝑧 nu exista si lim𝑧→0 |𝑒

1𝑧 | = ∞.

Pentru prima limita alegem 𝑧𝑛 = 1𝑛 → 0 si 𝑤𝑛 = − 1

𝑛 → 0. Atunci𝑓(𝑧𝑛) = 𝑒𝑛 si 𝑓(𝑤𝑛) = 𝑒−𝑛 dar:

lim𝑛→∞

𝑓(𝑧𝑛) = ∞=0 = lim𝑛→∞

𝑓(𝑤𝑛)

Pentru a argumenta relatia lim𝑧→0 |𝑓(𝑧)| = ∞ putem considera aceleasisiruri. Atunci |𝑒𝑧| = 𝑒𝑥, pentru 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ C si prin urmare:

lim𝑛→∞

|𝑓(𝑧𝑛)| = ∞=0 = lim𝑛→∞

|𝑓(𝑤𝑛)|.

Metoda 2: Pe de alta parte putem sa dezvoltam in serie Laurent functia𝑓(𝑧) = 𝑒

1𝑧 in jurul punctului 𝑧0 = 0. Pornim din nou de la dezvoltarea in

serie Taylor, de data aceasta a lui 𝑒𝑧 in 𝑧0 = 0:

𝑒𝑧 = 1 + 𝑧 +𝑧2

2!+

𝑧3

3!+ . . .

De unde rezulta:

𝑒1𝑧 = 1 +

1

𝑧+

1

2!𝑧2+

1

3!𝑧3+ . . .

Aceasta ultima identitate arata ca dezvoltarea Laurent a lui 𝑓 in jurul lui𝑧0 = 0 are o infinitate de termeni cu exponent negativ. �

Exemplu:

Reziduul unei functii:

Fie 𝐷 ⊂ C deschisa, 𝑧0 ∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 ∖ {𝑧0} → C olomorfa si 𝜀 > 0, astfel ca𝐷(𝑧0, 𝜀) ⊂ 𝐷. Atunci numim:

Res(𝑓, 𝑧0) =1

2𝜋𝑖

∫|𝑧−𝑧0|=𝜀

𝑓(𝑧)𝑑𝑧

reziduul lui 𝑓 in 𝑧0.

23

∙ Reziduul nu depinde de alegerea razei 𝜀.∙ 𝑧0 nu trebuie sa fie in mod obligatoriu o singularitate dar cand nu estesingularitate reziduul va fi 0.

Remarca:

Curba inchisa simpla:O curba inchisa 𝑐 : [𝑎, 𝑏] → C se numeste simpla, atunci cand pe intervalul [𝑎, 𝑏)este injectiva. Din punct de vedere geometric asta inseamna ca nu are punctede auto-intersectii.

Teorema reziduurilor:Fie 𝐷 ⊂ C un domeniu, 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 puncte distincte in 𝐷 si 𝑓 :𝐷 ∖ {𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛} → C olomorfa.

Atunci pentru orice curba neteda peportiuni, inchisa simpla si pozitivorientata 𝑐, care se afla in totalitatein 𝐷 si contine in interior punctele𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 avem relatia:

∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑛∑𝑘=1

Res(𝑓, 𝑧𝑘).

Pentru o curba 𝑐 orientata negativ se obtine:∫𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖

𝑛∑𝑘=1

Res(𝑓, 𝑧𝑘).

Remarca:

24

Vom evalua urmatoarea integrala:

∫𝑐

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧

unde 𝑐 este curba din desenul ala-turat:

Se observa usor ca 𝑐 = 𝑐1 ∪ 𝑐2 si 𝑐2 este orientata pozitiv iar 𝑐1 este

orientata negativ. Functia 𝑓(𝑧) =𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2are o singularitate izolata in

𝑐1 in punctul 𝑧1 = 0 si alta in 𝑐2 in punctul 𝑧2 = 𝑖.Pentru inceput avem:∫

𝑐1∪𝑐2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 =

∫𝑐1

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 +

∫𝑐2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧

Apoi conform teoremei reziduurilor:

(⋆)

∫𝑐1

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖 · Res

(𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 0

)si

(⋆⋆)

∫𝑐2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 · Res

(𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 𝑖

).

�

Exemplu:

Din moment ce reziduurile devin instrumente importante in calculul integraleloravem nevoie de metode mai rapide de evaluare a acestora.

Calculul reziduurilor:

i) Daca functia olomorfa 𝑓 are in punctul 𝑧0 un pol de ordin 𝑚, 𝑚 ≥ 1,atunci:

Res(𝑓, 𝑧0) =1

(𝑚− 1)!lim𝑧→𝑧0

𝑑𝑚−1

𝑑𝑧𝑚−1((𝑧 − 𝑧0)𝑚𝑓(𝑧))

Pentru un pol simplu (𝑚 = 1) avem:

Res(𝑓, 𝑧0) = lim𝑧→𝑧0

(𝑧 − 𝑧0)𝑓(𝑧).

25

Calculul reziduurilor:

ii) In general:

Res(𝑓, 𝑧0) = 𝑎−1,

unde 𝑎−1 este coeficientul lui1

𝑧 − 𝑧0dezvoltarea Laurent a lui 𝑓 in jurul

punctului 𝑧0.

=⇒ Fie 𝐺 un domeniu simplu conex si 𝑓 : 𝐷 → C olomorfa. Atuncipentru orice curba inchisa neteda pe portiuni 𝑐 din 𝐷 are loc:∫

𝑐

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0,

deoarece Res(𝑓, 𝑧0) = 𝑎−1 = 0 pentru o functie olomorfa in 𝑧0.=⇒ Fie 𝐺 un domeniu si 𝑓 : 𝐷 → C olomorfa. Atunci pentru o multime𝐷(𝑧0, 𝜀) ⊂⊂ 𝐷 : ∫

|𝑧−𝑧0|=𝜀

𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!,

deoarece 𝑧0 este un pol pentru functia din interiorul integralei si:

Res

(𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1, 𝑧0

)=

1

𝑛!lim𝑧→𝑧0

𝑑𝑛

𝑑𝑧𝑛

((𝑧 − 𝑧0)𝑛+1 𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1

)=

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!

pentru orice functie olomorfa 𝑓 .

Formulele integrale ale lui Cauchy

In ultimul exemplu ambele singularitati sunt poli, deoarece:

𝑓(𝑧) =𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2=

𝑧3+3(𝑧−𝑖)2

𝑧

si notand 𝑔(𝑧) = 𝑧3+3(𝑧−𝑖)2 avem scrierea 𝑓(𝑧) = 𝑔(𝑧)

𝑧 , iar 𝑔 este olomorfa in

𝑧1 = 0 si 𝑔(0) = 0.Din teorema de carcterizare a polilor rezulta ca 𝑓 are in 𝑧1 = 0 un pol

simplu. Din aceasta cauza:

Res

(𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 0

)= lim

𝑧→0(𝑧 − 0)

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2= lim

𝑧→0

𝑧3 + 3

(𝑧 − 𝑖)2=

3

−1= −3

Exemplu:

26

Prin urmare:

(⋆)

∫𝑐1

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖 · (−3) = 6𝜋𝑖.

Pe de alta parte:

𝑓(𝑧) =𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2=

𝑧3+3𝑧

(𝑧 − 𝑖)2

si ℎ(𝑧) = 𝑧3+3𝑧 este olomorfa si are proprietatea ℎ(𝑖) = 0. Asadar 𝑓 are in

𝑧2 = 𝑖 un pol de ordinul doi. Deci:

Res

(𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 𝑖

)= lim

𝑧0→𝑖

𝑑

𝑑𝑧

((𝑧 − 𝑖)2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2

)= lim

𝑧0→𝑖

𝑑

𝑑𝑧

(𝑧3 + 3

𝑧

)= lim

𝑧0→𝑖

3𝑧2 · 𝑧 − (𝑧3 + 3)

𝑧2

=−2𝑖− 3

−1= 2𝑖 + 3.

=⇒ (⋆⋆)

∫𝑐2

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 · (2𝑖 + 3) = −4𝜋 + 6𝜋𝑖

si in concluzie:∫𝑐

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = 6𝜋𝑖 + −4𝜋 + 6𝜋𝑖 = −4𝜋 + 12𝜋𝑖.

�

Teorema semireziduurilor:Fie 𝐷 ⊂ 𝐷 un domeniu simplu conex si 𝑐 o curba simpla inchisa, neteda peportiuni in domeniul 𝐷. Consideram o functie 𝑓 care admite in interiorul curbei𝑐 un numar finit de singularitati izolate 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 si un numar finit de polisimpli 𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤𝑝 situati pe curba 𝑐 astfel ca:

𝑓 : 𝐷 ∖ {𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛, 𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤𝑝} → C

este olomorfa. Atunci:i) daca 𝑐 admite o tangenta unica in 𝑤1, 𝑤2, . . . 𝑤𝑝 atunci:∫

𝑐

𝑓𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑛∑𝑘=1

Rez(𝑓, 𝑧𝑘) + 𝜋𝑖

𝑝∑𝑗=1

Rez(𝑓, 𝑤𝑗)

ii) daca 𝛼𝑗 este unghiul dintre semitangentele in 𝑤𝑗 la 𝑐:∫𝑐

𝑓𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑛∑𝑘=1

Rez(𝑓, 𝑧𝑘) + 𝑖

𝑝∑𝑗=1

(𝜋 − 𝛼𝑗)Rez(𝑓, 𝑤𝑗)

27

Vom calcula integrala:∫𝑐

𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)𝑑𝑧,

unde 𝑐 este curba alaturata. Se ob-serva usor ca cele doua singularitatiale integrandului sunt 𝑧1 = 0 si𝑧2 = 2 ambele fiind poli simpli iarultima fiind siituata pe curba.

In punctul 𝑧2 curba nu admite o tangenta unica iar unghiul format desemitangente va fi 𝛼 = 𝜋

2 . Conform teoremei semireziduurilor avem:∫𝑐

𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖Rez(𝑓, 0) + 𝑖(𝜋 − 𝜋

2)Rez(𝑓, 2)

Pentru poli simpli avem formulele:

Rez(𝑓, 0) = lim𝑧→0

(𝑧 − 0)𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)= −1

2,

Rez(𝑓, 2) = lim𝑧→0

(𝑧 − 2)𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)=

𝑒2

2.

In concluzie: ∫𝑐

𝑒𝑧

𝑧(𝑧 − 2)𝑑𝑧 = −𝜋𝑖 + 𝑖

𝜋

2

𝑒2

2

�

Exemplu:

Probleme propuse

Problema 1. Demonstrati ca: sinh 𝑧 = 0 daca si numai daca 𝑧 = 𝑛𝜋𝑖 sicosh 𝑧 = 0 daca si numai daca 𝑧 =

(12 + 𝑛

)𝜋𝑖.

Problema 2. Scrieti urmatoarele numere complexe in forma polara:

𝑧1 = −√

2 −√

2𝑖, 𝑧2 = 1 − 𝑖.

i) Aflati argumentul principal 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) si apoi calculati (−√

3 − 𝑖)50.

ii) Pentru numerele complexe 𝑧1 = −1, 𝑧2 = 5𝑖, verificati ca au loc:

𝐴𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) + 𝐴𝑟𝑔(𝑧2)

𝐴𝑟𝑔

(𝑧1𝑧2

)= 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) −𝐴𝑟𝑔(𝑧2)

28

in schimb:𝑎𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧1) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2)

𝑎𝑟𝑔

(𝑧1𝑧2

)= 𝑎𝑟𝑔(𝑧1) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2).

Problema 3. Aratati ca |Re 𝑧| ≤ |𝑧| si |Im 𝑧| ≤ |𝑧|. Demonstrati identitatea:

|𝑧 + 𝑤|2 = |𝑧|2 + |𝑤|2 + 2𝑅𝑒(𝑧𝑤), 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐶

si inegalitatea triunghiului |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤|.

Problema 4. Schitati multimea punctelor 𝑧, in planul complex, care satisfacurmatoarele conditii:

i) 1 < |𝑧 − 1 − 𝑖| ≤ 2

ii) |𝑧 − 𝑖| = |𝑧 − 1|

iii) |𝐴𝑟𝑔(𝑧)| < 𝜋4

iv) Re ((1 + 𝑖)𝑧 − 1) = 0

v) 0 < Re 𝑧 < 1.

Problema 5. Rezolvati in C ecuatiile:

sin 𝑧 = 2

cos 𝑧 = −3 + 𝑖

Problema 6. Rezolvati in C ecuatiile:

𝑧6 = 1 + 𝑖

𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0

𝑧4 + 1 = 0

Calculati apoi√

3 +√

3𝑖.

Problema 7. Aratati ca urmatoarele functii sunt olomorfe in 𝑧0 = 0:

𝑓(𝑧) = cos 𝑧, 𝑔(𝑧) = sinh 𝑧, ℎ(𝑧) = 𝑒𝑧.

Problema 8. Demonstrati identitatile:

cos(𝑧 + 𝑤) = cos 𝑧 cos𝑤 − sin 𝑧 sin𝑤

sin(2𝑧) = 2 sin 𝑧 cos 𝑧

sin2 𝑧 + cos2 𝑧 = 1

pentru orice 𝑧, 𝑤 ∈ C.

29

Problema 9. Calculati reziduurile functiilor de mai jos in punctele specificate

i) 𝑓(𝑧) = 1𝑧3(𝑧−1)3 , 𝑅𝑒𝑧(𝑓, 0) =?

ii) 𝑓(𝑧) = sin 𝑧𝑧4 , 𝑅𝑒𝑧(𝑓, 0) =?

iii) 𝑓(𝑧) = 𝑧 cos 1𝑧 , 𝑅𝑒𝑧(𝑓, 0) =?

iv) 𝑓(𝑧) = 𝑒1𝑧2 𝑅𝑒𝑧(𝑓, 0) =?

Problema 10. Calculati integralele:

i) 𝐼 =

∫𝑐

𝑑𝑧

𝑧5 + 1, unde 𝑐 : 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥

ii) 𝐽 =

∫𝑐

𝑧 − 𝑒

𝑧4 + 6unde 𝑐 : |𝑧| = 3

iii) 𝐾 =

∫|𝑧+2|=5

3𝑖 + 𝑧4

(𝑧 + 3)3𝑑𝑧

iv)

∫|𝑧|=3

𝑒𝑧−1

𝑧3𝑑𝑧

Problema 11. Calculati integrala:∫𝑐

2𝑧 − 1

𝑧2(𝑧3 + 1)𝑑𝑧

unde c este dreptunghiul definit de 𝑥 = −2, 𝑥 = 1, 𝑦 = − 12 si 𝑦 = 1.

Problema 12. Calculati integrala:∫𝑐

1

𝑧6 + 1𝑑𝑧

unde c semicercul definit de 𝑦 = 0 si 𝑦 =√

4 − 𝑥2.

Problema 13. Calculati integrala:∫𝑐

𝑧2𝑒1𝑧 +

𝑧𝑒𝑧

𝑧4 − 𝜋4𝑑𝑧

unde c este curba 4𝑥2 + 𝑦2 = 16

30

Bibliografie

[1] D. G. Zill, P. D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis withApplications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., 2003.

[2] C. I. Hedrea. Notite de curs: Matematici speciale, 2016.

[3] R. Negrea. Notite curs: Matematici speciale, 2020

[4] K. Fritzsche. Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einfuhrung in die kom-plexe Analysis und ihre Anwendungen, Spektrum Akademischer VerlagHeidelberg, 2009.

31

32