12-oscilatii

5/11/2018 12-Oscilatii - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/12-oscilatii 1/13

12. Oscilaţii

Oscilaţiile sunt foarte des intâlnite în fizică şi tehnică (de exemplu atomii, ionii seconsider ă că execută mici vibraţii în jurul poziţiei de echilibru în interiorul reţelei cristaline).Orice oscilaţie se poate obţine prin compunerea de oscilaţii simple sinusoidale (teoremaFourier).

12.1. Oscilatorul armonic

Oscilatorul armonic reprezintă o abstractizare a unui punct material care execută omişcare sub acţiunea unei for ţe care nu este constantă în timp, ci este propor ţională cudistanţa dintre poziţia instantanee a mobilului şi poziţia sa de echilibru. În paragraful „Tipuride for ţe” am definit o astfel de for ţă ca fiind for ţa elastică kxF e −= de sens opus înaintării

punctului material (k – constanta elastică), iar pe x îl vom numi elongaţie (distanţa dintre poziţia instantanee a mobilului şi poziţia sa de echilibru). În acest caz, principiul doi almecanicii se scrie:

00 2 =+⇒=+⇒−= x xkx xmkxmanotatie

ω &&&& 12.1.1.

unde am notat . Aceasta este o ecuaţie diferenţială – funcţia asupra căreia aplică de două ori derivarea în raport cu timpul fiind: . Se demonstrează în teoria analizeimatematice că soluţia unei astfel de ecuaţii este de forma:

mk /2

=ω )(t x

( ) ( ) ( )'sin2/sincos)( α ω π α ω α ω +=++−=+= t At At At x , A x A ≤≤− 12.1.2.

Aceasta este ecuaţia mişcării unui punct material care execută o mişcare oscilatorie de-alungul axei Ox.

În expresia soluţiei, constantele se determină din condiţiile iniţiale (poziţie şi viteză înmomentul t=0 )şi au următoarea semnificaţie fizică:

A este amplitudinea mişcării – distanţa maximă dintre poziţia instantanee amobilului şi poziţia sa de echilibru

ω este pulsaţia mişcării sau frecvenţa unghiulară – πν ω 2= numărul de oscilaţiiefectuate în π 2 secunde

ν este frecvenţa mişcării – T /1=ν numărul de oscilaţii efectuate de punctulmaterial în unitatea de timp

T este perioada mişcării – timpul în care punctul material efectuează o oscilaţiecompletă (pleacă dintr-o poziţie şi se întoarceînapoi în ea).



α ω +t este faza mişcării – unghiul la centrul unui cerc care are centrul în poziţia deechilibru a punctului material şi raza egală cuamplitudinea, pe care îl face proiecţia poziţiei instantanee a punctului material pe cerc, faţă de o poziţie iniţială

α este faza iniţială – unghiul la centrul unui cerc care are centrul în poziţia deechilibru a punctului material şi raza egală cuamplitudinea, pe care îl face proiecţia poziţieiiniţiale a punctului material pe cerc

În acest caz, viteza instantanee a punctului material înt-o mişcare oscilatorieunidimensională este:

( ) ( )2/cossinv π α ω ω α ω ω ++=+−== t At A x& , ω ω A A ≤≤− v ,12.1.3.

iar acceleraţia instantanee este:( ) xt A xa 22 cosv ω α ω ω −=+−=== &&& , , 12.1.4.22 ω ω Aa A ≤≤−

Se observă că avem două cazuri extreme:

1. când elongaţia este maximă, atunci viteza este minimă şiacceleraţia este maximă dar de sens contrar (în momentele în care punctul material trece prin poziţiile cele mai depărtate faţă de poziţia de echilibru)

2. când elongaţia este minimă, atunci viteza exte maximă şiacceleraţia este minimă dar de sens contrar (în momentele în care punctul maerial trece prin poziţia de echilibru)

vmax

maxa

maxavmax

A = x max

A = x max

tT/2 T 2T

Fig.12.1.1.

Mişcarea armonică poate fi reprezentată geometric prin proiecţia pe o axă a unui vector de modul A care se roteşte în sens trigonometric cu viteza unghiular ă ω . Reprezentareagrafică a celor trei funcţii ca funcţie de timp este în Fig. 12.1.1.

Energia cinetică şi potenţială a punctului material care execută o mişcare oscilatoriearmonică sunt variabile în timp:

( α ω ω +== t Amm

E c222

2

sin22

v) 12.1.5.



( ) ( )α ω ω α ω +=+== t Am

t Ak kx

U 222222

cos2

cos22

12.1.6.

Faţă de acestea, energia totală a punctului material care execută o mişcare oscilatoriearmonică este o constantă în timp:

( ) ( ) 22cos2sin222

v 222222222

22 kA Am

t A

m

t A

mkxm

U E E c==+++=+=+=

ω

α ω ω α ω ω 12.1.7.

Dependenţa de spatiu a energiei potenţiale este sub formă de parabolă, iar for ţa carederivă din ea (considerând doar o componentă nenulă a gradientului) este chiar for ţa elastică şi are o dependenţă liniar ă de timp:

12.1.8.kxdxdU F −=−= /For ţa se anulează acolo unde energia potenţială are un minim (fig. 12.1.2.).

12.2. Reprezentarea complexă a oscilaţiilor sinusoidale

Folosind formulele lui Euler:,sincos,sincos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ieie ii −=+= − 12.2.1.

orice număr complex poate fi scris sub formă exponenţială:)exp()sin(cos ϕ ρ ϕ ϕ ρ iiiba z =+=+= 12.2.2.

undei

eeeeabba

iiii

2sin,

2cos),/arctan(,22

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ρ −− −

=+

==+= 12.2.3.

atunci, 12.2.4.2/π iei =

R

I

a

b

z

i

i

i

i

Fig. 12.2.1.

Cu aceste noţiuni de matematică introduse, putem scrie ecuaţia mişcării punctuluimaterial care execută o mişcare oscilatorie armonică:

( ) ( ){ } ( )[ ]{ }α ω α ω α ω +==+= + t i A Aet At x

t i expReRecos)( , A x A ≤≤− 12.2.5.

La derivarea unor astfel de mărimi, apare în faţă factorul , adică derivataeste defazată faţă de mărimea nederivată cu

2/π ω ω iei =

2/π , aşa cum am obţinut şi în cazul scrieriisinusoidale. Astfel, vom scrie viteza şi acceleraţia punctului material care execută o mişcareoscilatorie armonică:

( )[ ]{ } ( )[ ]{ }2/expReexpRev π α ω ω α ω ω ++=+== t i At iiA x& , ω ω A A ≤≤− v , 12.2.6.



( )[ ]{ } ( )[ ]{ }π α ω ω π α ω ω ω ω ω ++=++=−==== t i At iiA x xii xa expRe2/expRe)(v 222&&&

22 ω ω Aa A ≤≤−

cu

, 12.2.7.

12.3. Compunerea oscilaţiilor armonice paralele

I. Consider ăm compunerea a două oscilaţii de aceeaşi direcţie (paralele) şi de aceeaşifrecvenţă, descrise de ecuaţiile:

( ) ( )222111 cos)(,cos)( α ω α ω +=+= t At xt At x 12.3.1.Rezultatul suprapunerii trebuie să fie tot o oscilaţie cu aceeaşi frecvenţă:

( )α ω += t At x cos)( 12.3.2.dar cu amplitudinea şi faza iniţială date de:

)cos(2 122122

21 α α −++= A A A A A , 12.3.3.

2211

2211

coscos

sinsintan

α α

α α α

A A

A A

+

+= 12.3.4.

A

A

A

1

2

1

2

O D

C

B

Fig. 12.2.1.

II.

Grafic, compunerea oscilaţiilor se reduce la compunerea după regula paralelogramului a vectorilor rotitori. Dacă avem mai multe oscilaţii care se compun,atunci acestea sunt reprezentate fiecare cu vectorul său. Se descompun pe cele două axe, se calculează rezultanta pe axe, iar rezultanta finală este calculată princompunerea rezultantelor de pe cele două axe. În cazul a două oscilaţii, vom scrie întriunghiul OAA1 teorema cosinuşilor:

[ ] )cos(2)(cos2 122122

211221

22

21

2α α α α π −++=−−−+= A A A A A A A A A ,

12.3.5.iar în triunghiul OAC vom scrie tangenta unghiului care reprezintă faza iniţială aoscilaţiei rezultante:

2211

2211

coscos

sinsintan

α α

α α α

A A

A A

DC OD

AB BC

OC

AC

+

+=

+

+== 12.3.6.

Amplitudinea oscilaţiei rezultante depinde de diferenţa de fază a oscilaţiilor componente. Această diferenţă este constantă în timp. Astfel, de exemplu:1. dacă π α α n212 =− atunci 21 A A A += 12.3.7.

2. dacă π α α )12(12 −=− n atunci 21 A A A −= , unde n este număr întreg



În primul caz oscilaţiile sunt în fază şi amplitudinea rezultantă este egală cu sumaamplitudinilor componente. În al doilea caz oscilaţiile sunt în opoziţie de fază şiamplitudinea rezultantă este egală cu diferenţa amplitudinilor componente.

III. Dacă frecvenţele oscilaţiilor difer ă între ele, atunci oscilaţia rezultantă nu mai este

armonică. Vectorii reprezentativi se rotesc cu viteze unghiulare diferite, deci unghiuldintre ei variază în timp. Rezultă că şi amplitudinea oscilaţiei rezultante va fi variabilă în timp.În cazul particular în care oscilaţiile iniţiale au aceeaşi amplitudine, 021 A A A ==

paralelogramul construit pentru compunerea lor devine romb, iar din construcţiagrafică din Fig. putem scrie amplitudinea şi faza rezultantă:

2

)(cos2

2cos2 1212

012

0

α α ω ω ϕ ϕ −+−=

−=

t A A A 12.3.8.

2

)(

2121212 α α ω ω ϕ ϕ

ϕ +++

=+

=t

12.3.9.

2

O

A

1

A

A

0

0

Fig. 12.2.2.

Acelaşi rezultat se obţine şi trigonometric dacă transformăm suma de cosinuşi în produs:

( ) ( ) ( ) ( )

)cos(

2cos

2cos2

)cos()cos(

121212120

220110

ϕ

α α ω ω α α ω ω

α ω α ω

A

t t A

t At A X

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−=

=+++=

12.3.10.Primul factor temporal dă amplitudinea iar al doilea dă oscilaţia sinusoidală defrecvenţă ( ) 2/12 ω ω + . Dacă cele două frecvenţe unghiulare sunt apropiate între ele,

atunci:

2,12121 , ω ω ω ω ω <<−≈ 12.3.11.

adică oscilaţia rezultantă va fi aproape sinusoidală, de frecvenţă ( ) 2/12 ω ω + , având

amplitudinea lent variabilă cu frecvenţa2

12 ω ω −. Acesta este fenomenul bătăilor.



În cazul frecvenţelor acustice, sunetul de frecvenţă ( ) 2/12 ω ω + se aude succesivîntărindu-se şi slă bindu-se cu frecvenţa şi perioada bătăilor:

1212

2112

21,

ω ω

π

ν ν ν ν

−=

−==−=

T T

T T T

b

bb 12.3.12.

IV. Fenomenul bătăilor de mai sus este un caz particular al aşa numitelor „oscilaţiisinusoidale modulate” (ca în radiofonie), adică oscilaţii de tip sinusoidal, dar cuamplitudine variabilă lent după o anumită lege. De exemplu oscilaţia de ecuaţie:

( )( ) ( ) A Bt t B A x <<<+= ,,coscos 00 ω ω ω ω 12.3.13.

se poate descompune în trei oscilaţii armonice de frecvenţe diferite:

( ) ( t B

t B

t A x ω ω ω ω ω −+++= 000 cos2

cos2

cos ) 12.3.14.

În radiofonie,ω este frecvenţa sunetului (audiofrecvenţa sau frecvenţa anvelopei),

0ω este frecvenţa purtătoare, înaltă (radiofrecvenţa)

ω ω ±0

sunt frecvenţele laterale

Mai general, o oscilaţie compusă din oscilaţii armonice este caracterizată de spectrulsău – o diagramă în care sunt reprezentate frecvenţele oscilaţiilor sinusoidalecomponente şi amplitudinile lor (nu apar în diagramă defazajele).

12.4. Compunerea oscilaţiilor armonice perpendiculare

I. Consider ăm compunerea a două oscilaţii de direcţii perpendiculare şi de aceeaşifrecvenţă:

)cos()(),cos()( β ω α ω +=+= t Bt yt At x 12.4.1.Acestea sunt ecuaţiile parametrice ale mişcării – cu t parametru – iar prin eliminarea

sa se obţine ecuaţia traiectoriei, în cazul acesta – o elipsă:

( ) )(sincos2 2

2

2

2

2

α β α β −=−⋅

−+ B A

xy

B

y

A

x12.4.2.

Dacă ( ) 0=−α β sau ( ) π α β =− atunci elipsa degenerează în două drepteconfundate de-a lungul cărora oscilează punctul material:

, x A

B y ±= 12.4.3.

Dacă ( ) 2/π α β =− sau ( ) 2/3π α β =− atunci elipsa va fi parcursă în sens inverstrigonometric şi respectiv în sens trigonometric. Ea va avea axele de simetrie îndirecţiile oscilaţiilor componente:

12

2

2

2=+

B

y

A

x12.4.4.

Dacă B A = atunci elipsa devine cerc.Dacă suprapunem două mişcări circulare de aceeaşi rază (parcurse în sensuri opuse,cu faze egale în modul), se obţine o oscilaţie armonică liniar ă de amplitudine dublă:

( )α ω += t At x sin2)( . 12.4.5.



Invers, o oscilaţie armonică liniar ă poate fi descompusă în două oscilaţii circulare deaceeaşi frecvenţă, de sensuri opuse şi de amplitudini pe jumătate. Acest fapt estefolosit în optică pentru legătura dintre lumina polarizată liniar şi lumina polarizată circular.

II.

Dacă frecvenţele difer ă, iar raportul lor nu este raţional, atunci punctul descrie otraiectorie complicată (o curba care acoper ă treptat o arie).Dacă raportul frecvenţelor este raţional, atunci traiectoria este stabilă, dar formadepinde de diferenţa de fază. În acest caz traiectoriile se numesc figuri Lissajoux.

12.5. Oscilaţii amortizate

Oscilatorul armonic este o idealizare care de obicei nu se întâlneşte în practică datorită existenţei frecării dintre punctul material şi mediul prin care trece; acesta pierde continuuenergie. Amplitudinea oscilaţiilor scade în timp ducând la oprirea punctului material, iar mişcarea sa se numeşte oscilatorie amortizată. Efectele mediului asupra punctului material

sunt descrise de o for ţă de rezistenţă propor ţionale cu viteza şi orientate în sens opusmişcării:vrr

r F r −= unde r se numeşte coeficient de rezistenţă. 12.5.1.Ecuaţia mişcării se scrie pe baza principiului fundamental al mecanicii:

xr kx xm &&& −−= 12.5.2.Mutând toţi termenii în stânga, împăr ţind cu m şi renotând constantele

m

r b

2= = coeficient de amortizare, 12.5.3.

mk /2 =ω = frecvenţa oscilaţiilor proprii în absenţa amortizării, 12.5.4.se obţine o ecuaţie diferenţială cu necunoscuta funcţia :)(t x

022

=++ x xb x ω &&& 12.5.5.ale cărei soluţii sunt de forma: )exp()( t C t x ⋅= ρ . 12.5.6.Aceasta se introduce în ecuaţia diferenţială şi se obţine ecuaţia caracteristică pentru ρ :

02 22 =++ ω ρ ρ b 12.5.7.

cu r ădăcinile 222,1 ω ρ −±−= bb 12.5.8.

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este o suprapunere a celor două soluţii:

212211 ),exp()exp()( ρ ρ ρ ρ ≠⋅+⋅= t C t C t x . 12.5.9.După cum r ădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complex conjugate, reale distincte sauconfundate, distingem trei cazuri care ne dau trei comportări diferite ale punctului material:

I. Oscilaţii amortizate pseudoperiodice ω <b sau kmr 2< 12.5.10.În acest caz coeficientul de rezistenţă este mic, adică frecarea nu are un rol foarte

însemnat, iar 22b p −= ω ω este frecvenţa unghiular ă sau pulsaţia oscilaţiilor libere

amortizate sau pseudopuldaţie (ne dă informaţii despre timpul necesar efectuării unei oscilaţiicomplete, numai că punctul material nu se mai întoarce exact de unde a plecat).

R ădăcinile 2,1 ρ sunt complexe, iar soluţiile pentru elongaţie sunt reale dacă

constantele sunt complex conjugate:2,1C



2,

20

20

1

α α iie A

C e A

C −

== 12.5.11.

unde α ,0 A sunt alte două constante arbitrare reale care se detremină de obicei din condiţiile

la limită (în fizică condiţiile la limită sunt exprimate prin condiţiile iniţiale). Ţinând cont deformulele lui Euler, soluţia care ne dă poziţia punctului material la orice moment de timpeste:

( ) ( )α ω α ω +=+= −t At e At x p p

bt coscos)( 0 12.5.12.

Dacă reprezentăm grafic această expresie (Fig. 12.5.1.) se vede caracterul oscilant al mişcăriidar amplitudinea oscilaţiilor este scăzătoare în timp (exponenţial). Pseudopulsaţia oscilaţiilor este mai mică decât pulsaţia proprie în absenţa frecării, deoarece frecările se opun mişcăriiîncetinind-o, deci mărindu-i perioada.

t

A0

x

Fig.12.5.1.

Raportul a două elongaţii ale punctului material atinse la un interval de o pseudoperioadă este:

( )( )

p

p

bT

p pT t b

pbt

p

e

T t e A

t e A

T t x

t x =++

+=+ +−

−

α ω

α ω

)(cos

cos)(

)()(

0

0 12.5.13.

Logaritmul natural al acestui raport este adimensional, caracterizează gradul deamortizare şi se numeşte decrement logaritmic:

2

222

4

22

m

r

m

k

r

b

bbbT D

p

p

−

=−

===π

ω

π

ω

π 12.5.14.

Cu ajutorul acestui coeficient se poate compara gradul de amortizare a două oscilaţiide naturi diferite.

O măsur ă a duratei oscilaţiilor amortizate este inversul coeficientului de amortizare, numit timp de relaxare:b r mb /2/1 ==τ . 12.5.15.El ne arată în cât timp amplitudinea scade de e ori. Între el şi decrementul logaritmic

există următoarea relaţie:

0

11 N

T bT D p p

===τ

12.5.16.

care ne arată că inversul decrementului este egal cu numărul de oscilaţii efectuate într-untimp egal cu timpul de relaxare.



Dacă amortizarea este mică, adică ω <<b atunci pω ω ≅ , , adică

numărul de oscilaţii dintr-o perioadă este mare, amplitudinea aproape că nu se schimbă şi putem calcula energia cu formula de la oscilatorul armonic:

1<< D 10 >> N

t m

r

bt

bt

p pe E e E

e Am Am E

−−

−

=≅== 02

0

220

222

22

ω ω 12.5.17.

adică energia scade exponenţial cu timpul cu coeficientul de atenuaremr b /2 = 12.5.18.

Pentru a calcula puterea disipată, adică scăderea energiei în timp, vom ţine cont deteorema variaţiei energiei mecanice, egală cu lucrul mecanic al for ţelor neconservative:

222 v2v mbr xr E dt

dE dx xr dE −=−=−==⇒−= &&& 12.5.19.

Definim funcţia de disipaţie ca fiind: . 12.5.20.222 v2/v2/ mbr xr Q === &

Ea are două proprietăţi: 1) derivata sa în raport cu viteza este egală cu for ţa disipativă cu semn schimbat şi 2) puterea disipată este egală cu dublul funcţiei de disipaţie.

II. Oscilaţii amortizate aperiodice ω >b sau kmr 2>

În acest caz frecarea este importantă, coeficientul de amortizare are o valoare mare şir ădăcinile 2,1 ρ sunt reale, negative, iar soluţia pentru elongaţie este:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=+=

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −−

−⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −−−⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+− t bt b

bt t bbt bb

eC eC eeC eC t x22222222

2121)(ω ω ω ω

12.5.21.

Adică elongaţia tinde asimptotic către zero, corpul trece cel mult o dată prin poziţiade echilibru, în funcţie de condiţiile iniţiale. Ca exemplu putem considera cazul real al unui pendul care oscilează într-un mediu vâscos (miere de exemplu). Scos din poziţia de echilibruşi ridicat la o înălţime, el tinde să ajungă din nou în poziţia de echilibru dar dacă înălţimea de

la care cade este mică, el s-ar putea să se oprească înainte de a ajunge in punctul cel mai de jos (Fig.12.5.2.).

x

t

1

2

3O

Fig. 12.5.2.

III. Oscilaţii amortizate aperiodice critice ω =b r ădăcinile 2,1 ρ coincid, iar soluţia pentru elongaţie este:

( ) bt eC C t x−+= 21)( 12.5.22.



12.6. Oscilaţii forţate

În natur ă sau tehnică nu există posibilitatea izolării corpurilor care oscilează astfelîncât să nu fie supuse frecării. Totuşi, în practică ne interesează să avem corpuri careoscilează cu amplitudine constantă. O posibilitate de a realiza acest lucru este să aplicăm din

exterior o nouă for ţă corpului, care să compenseze efectele for ţei de rezistenţă. Intuim că această for ţă exterioar ă trebuie să fie şi ea periodică ( )t F F Ω= cos0 . După trecerea unui

regim tranzitoriu, se stabileşte regimul permanent în care corpul efectuează oscilaţiiîntreţinute de amplitudine constantă şi cu frecvenţa for ţei periodice exterioare, numiteoscilaţii for ţate:

În acest caz, scriind principiul doi al mecanicii, obţinem ecuaţia:

( ) ( t F m

x xb xt F xr kx xm Ω=++⇒Ω+−−= cos1

2cos 02

0 ω &&&&&& )

)

12.6.1.

În matematică se demonstrează că soluţia generală a ecuaţiei cu partea dreaptă nenulă se compune din soluţia generală a ecuaţiei omogene corespunzătoare (cu zero în parteadreaptă) plus o soluţie particular ă a ecuaţiei complete.

Soluţia generală a ecuaţiei omogene, f ăr ă membrul drept, reprezintă oscilaţiileamortizate care au fost studiate în paragraful anterior. Soluţia particular ă a ecuaţiei completereprezintă tocmai oscilaţiile for ţate care r ămân în regimul permanent după stingereaoscilaţiilor amortizate (datorită factorului exponenţial descrescător).

Soluţia particulară a ecuaţiei 12.6.1. se obţine dacă facem apel la compunereaoscilaţiilor sinusoidale. Deoarece membrul drept este periodic cu frecvenţa , trebuie ca şimembrul stâng să fie periodic cu aceeaşi frecvenţă, de aceea căutăm o soluţie particular ă deforma:

Ω

( β +Ω= t Bt x cos)( , 12.6.2.in continuare trebuind să determinăm valorile pentru B şi β . Vom deriva această soluţie

particular ă o dată pentru a obţine viteza( ) )2/cos(sin)( π β β ++ΩΩ=+ΩΩ−= t Bt Bt x& 12.6.3.şi încă o dată pentru a obţine acceleraţia

( β +ΩΩ−= t Bt x cos)( 2&& ) 12.6.4.

pe care le vom introduce în ecuaţia 12.6.1. şi obţinem:

( ) ( ) ( ) ( t F m

t b Bt B Ω=++ΩΩ++ΩΩ− cos1

2/cos2cos 022 π β β ω ) 12.6.5.

În membrul stâng al formulei 12.6.5. aplicăm formula de compunere a oscilaţiilor sinusoidale şi obţinem:

( ) ( ) ( t F

m

t b B Ω=Φ+ΩΩ+Ω− cos1

cos4 022222ω ) 12.6.6.

Cu aplicarea formulei de la compunerea oscilaţiilor pentru aflarea fazei iniţiale a oscilaţieirezultante prin compunere:

( ) ( )( ) ( )2/cos2cos

2/sin2sintan

22

22

π β β ω

π β β ω

+Ω+Ω−

+Ω+Ω−=Φ

b B B

b B B12.6.7.

Făcând o analogie între membrul stâng şi membrul drept ale ecuaţiei 12.6.6., se observă că:



1. amplitudinea din partea stângă trebuie să fie egală cu amplitudinea din partea

dreaptă ( ) ( )22

0

22222

0

/4 Ω−Ω+Ω=

Ω+Ω−=⇒

k mr

F

bm

F B

ω

12.6.8.

2. faza din partea stângă trebuie să fie egală cu faza din partea dreaptă de unde

rezulta 0=Φ de unde rezultă 0tan =Φ . Atunci din ecuaţia 12.6.7. se obţine:

Ω−Ω=

Ω−

Ω−=

/

2tan

22 k m

r b

ω β 12.6.9.

Atunci, soluţia particular ă a ecuaţiei 12.6.1. pe care am scris-o în general în forma din12.6.2 în cazul oscilaţiilor for ţate, care ne dă elongaţia punctului material la orice moment detimp va fi:

( )⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Ω−Ω+Ω

Ω−Ω+Ω=

/arctancos

/)(

22

0

k m

r t

k mr

F t x 12.6.10.

Iar soluţia generală va fi dată de suprapunerea oscilaţiilor amortizate cu oscilaţiilefor ţate:

( )( )

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

Ω−Ω+Ω

Ω−Ω+Ω++= −

/arctancos

/cos

22

00

k mr t

k mr

F t e A x pbt α ω

12.6.11.Regimul tranzitoriu în care sunt importante oscilaţiile proprii durează de ordinul

timpului de relaxare, după care primul termen devine neglijabil şi r ămânem în cazuloscilaţiilor for ţate. Derivând o dată şi apoi încă o dată soluţia 12.6.10. scrisă în general înforma 12.6.2., obţinem viteza şi respectiv acceleraţia punctului material în mişcare oscilatoriefor ţată la orice moment de timp:

)2/cos()sin()()(v π β β ++ΩΩ=+ΩΩ−== t Bt Bt xt & 12.6.12.

)cos()()( 2 β +ΩΩ−== t Bt xt a && 12.6.13.

În formula vitezei, coeficientul din faţa sinusului se numeşte „amplitudinea vitezei” şi areexpresia explicită dată de:

( ) 22222

00

4v

bm

F B

Ω+Ω−

Ω=Ω=

ω

. 12.6.14.

Deoarece mereu 0< β , atunci oscilaţiile au o întârziere faţă de for ţa exterioar ă În concluzie putem spune că:- frecvenţa oscilaţiilor for ţate este egală cu cea a for ţei exterioare- amplitudinea şi defazajul nu depind de condiţiile iniţiale dar depind de structura

sistemului (k, m) şi de frecvenţa for ţei exterioare- oscilaţiile for ţate nu sunt amortizate deşi asupra punctului material acţionează for ţe de

frecare (care influenţează amplitudinea oscilaţiilor for ţate)

12.7. Rezonanţa

Dacă variază frecvenţa for ţei exterioare Ω , atunci se schimbă şi amplitudinea B aoscilaţiilor for ţate. Această dependenţă o punem în evidenţă dacă vom considera ecuaţia12.6.8. ca o funcţie cu reprezentarea grafică în Fig.7.1. Curbele din acestă figur ă se( )Ω B



numesc curbe de rezonanţă. Pentru a găsi amplitudinea maximă, este evidentă condiţia de aavea minimă cantitatea de sub radical (anulăm derivata în raport cu 2Ω ):

( )

mk r saubdacamr mk b

b

rez 2,2/,'2//2

042

2222

222

<<<−=−=Ω=Ω→

=+Ω−−

ω ω ω

ω

La această frecvenţă a for ţei exterioare spunem că avem rezonanţa elongaţiilor şiamplitudinea oscilaţiilor for ţate este maximă:

22

000max ''2 b

F

r

F

bm

F B

−==

ω ω ω r =

Eliminând coeficientul de amortizare între aceste două ultime ecuaţii, atunci se obţineecuaţia curbei pe care se află maximele fiecărei curbe ( )Ω B în Fig. 12.7.1.

B

Orez

b b b

b b b

1

23

45

6

Dacă aceeaşi for ţă ar fi aplicată punctului material ca for ţă elastică, atunci

deplasarea punctului material ar fi0

F

200

ω m

F

k

F Bstat == . Raportul celor două amplitudini este:

( )2

max

/12 ω

ω

bb B

B

stat −=

Dacă coeficientul de amortizare este mic ω <<b , atunci avem o creştere mare a

amplitudinii: 1/

2max >>=≈

r

k m

b B

B

stat

ω

În acest caz, amplitudinea mişcării adică deplasarea punctului material de la poziţiade echilibru este atât de mare încât sistemul care oscilează se poate chiar autodistruge larezonanţă.

În acelaşi mod se poate discuta rezonanţa vitezelor, adică trebuie să determinămfrecvenţa for ţei exterioare pentru care „amplitudinea vitezei” este maximă. Aceasta se află din ecuaţia 12.6.14 pentru care punem derivata în raport cu Ω să fie zero:

( )r

F

mb

F Bmk k m vit rez

00maxmax0 2

v/0/ ==Ω=⇒==Ω⇒=Ω−Ω ω



În acest caz, adică la această frecvenţă a for ţei exterioare, amplitudinea de oscilaţie asistemului nu este maximă, ci este:

( )ω ω ω ω ω

<=<== ''2

0max

000

r

F B

r

F

mb

F B

Deci avem două cazuri:1. rezonanţa elongaţiilor când amplitudinea oscilaţiilor este maximă la o frecvenţă a

for ţelor exterioare mai mică decât frevanţa oscilaţiilor proprii libere neamortizate

ω ω ω ω <−=<−=Ω=Ω 2222 '2 bbrez

2. rezonanţa vitezelor când „amplitudinea vitezei” este maximă la frecvenţaω =Ω egală cu frevanţa oscilaţiilor proprii libere neamortizate

Dacă coeficientul de amortizare este mic, ω <<b , atunci cele două rezonanţe practiccoincid şi au loc la frecvenţa for ţei exterioare egală cu ω ≅Ω . În acest caz maximulamplitudinii este foarte mare şi curba de rezonanţă foarte ascuţită.

Dacă coeficientul de amortizare este mare, 2/ω >b , nu există o rezonanţă a

elongaţiilor, curba amplitudinii B scade monoton cu frecvenţa Ω , dar există o rezonanţă a vitezelor.

12-oscilatii

Documents