- 1 -

PROBLEME CUADRICE

1. Să se figureze următoarele submulţimi din R3 :

A12 2 2 2 4 0:x y z x y+ + - + + = ; A2

2 2: z x y= + ; ( )A32 21 1 0: x y z z+ + + - = ;

( )A42 2 2 0:sin x y z+ + = ; A5

2 2 22 3 4 0: x y z- + + = ; A62 2:y z x= - ;

( )A72 2 1:cos x y+ = ; A8

22 1: z y= - ; A92 24 4 2 2 0: y z y z+ + - + = ;

A102 4 1 0:z z+ + = ; A11

2 2 2 2 0:x y x y- - - = ; A122 2 2 2 3 0:x y x y+ - + + = ;

A13 :xy z= ; A142 2 22 2 2 0: x y z- + - = ; A15

2 2

2 2

1

1:

x y

y z

+ =

+ =

ìíï

îï;

ïî

ïíì

=+

=+222

22

162

:xzy

zyxA ;

A17

2 2 2

2 2

2 2 1

2 2 2 0:

x y z

x y z

+ + =

+ + + =

ìíï

îï; A18

2 2:

,z x yx y z= ++ + = Î

ìíîï l l R

; A19

2 2 2

2 2

2:

x y z

y x z

+ + =

= +

ìíï

îï;

[ ]A202 2 1: x y+ = ; A21

2:z x y y= - .

R. Pentru ( ) ( )x y z A x y z A, , Î Þ ± + +æèç

öø÷

+ + = Þ = Æ12

22

11 12

114

0 .

Explicitând modulul se obţine că A2 estereuniunea a doi paraboloizi eliptici simetrici.

Pentru ( )x y z A x y z k, , Î Þ + + =42 2 2 p ,

k ÎZ , deci A4 va fi reuniunea tuturor sferelor cu

centrul în origine, de raze k kp , ÎN (pentru

k = 0 se obţine chiaroriginea).

A5 este un hiperboloidcu două pânze orientatdupă Oy , A6 un paraboloid

hiperbolic iar A14 unhiperboloid cu o pânzăorientat după Oy .

A10 este reuniunea a două plane paralele cu xOy : z + = ±2 3 .

A15 este intersecţia a doi cilindri circulari, de aceeaşi rază, cu axele perpendiculare.

A15 este intersecţia unui paraboloid eliptic cu un con circular.

z

y

x

A2

z

y

x

A5

z

y

x

A6

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 2 -

2. Pentru ce valori lÎR planul x y z- - + =2 2 0l este tangent la cuadrica

x y z2 2 23 1 0+ + - = ?R. Dacă presupunem că planul e tangent cuadricei în punctul de tangenţă ( )M x y z0 0 0 0, ,

rezultă că x y z x y z02

02

02

0 0 03 1 0 2 2 0+ + - = - - + =, l şi vectorul normal la plan ( )1 2 2, ,- -

este coliniar cu ( ) ( )gradf M x y z0 0 0 02 6 2= , , , deci21

62

22

0 0 0x y z=-

=-

= r . Se obţine

r lr2 12

1919

6196

1219

193

= = - = ± = ±, , deci există două plane.

3. Să se determine planele tangente la cuadrica 2 3 1 02 2 2x y z+ - - = paralele cu

planul 2 6 1 0x y z+ + + = .

Indicaţie. Ca şi la problema precedentă se determină l ÎR , considerând planele

2 6 0x y z+ + + =l paralele cu planul dat.

4. Pentru ce valori ale lui lÎR planele din familia x z+ - =l 1 0 intersectează

cuadrica S : x y z2 2 2 1 0+ - + = după a) elipse, b) hiperbole ?

R. Pentru a găsi intersecţia se elimină z din sistemulx y zx z

2 2 2 1 01 0

+ - + =+ - =

ìíîï l

şi se

obţine ecuaţia 0)1()1( 22212221 =-+++-lll

xyx , care în planul z = 0 ,

reprezintă proiecţia intersecţiei pe acest plan. Intersecţiile vor fi elipse sau hiperbole, după

cum d > 0 sau d < 0 , unde10

01 21l

-=d .

5. Fie cuadrica S : z x y= +2 2 2 şi punctul ( )A 11 0, , . Să se determine mulţimea

punctelor M ÎS astfel încât dreapta AM să fie tangentă la S .

Indicaţie. Se consideră un punct ( )M z x y0 0 02

022Î = +S şi se pune în plus

condiţia ca planul tangent în M0 la S ( )2 12

00 0 0xx yy z z+ - + =æèç

öø÷

să conţină punctul A .

6. Să se determine distanţa de la planul a :x y z+ + - =1 0 la cuadrica

S : +2 02 2z x y+ = .

Indicaţie. Se stabileşte mai întâi că aIS =Æ (în caz contrar distanţa este 0 !); sedetermină apoi planul tangent la S paralel cu a ; distanţa căutată va fi distanţa

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 3 -

dintre cele două plane. În acest caz ( ) Þ--=--=Sa 22122: yxyxzI

( ) ( ) Þ=-+- 011 22 yx ( ){ }1,1,11,1 0 -=SaÞ-=== Mzyx I ,deci ( ) .0, =Sad7. Să se determine distanţa de la planul a :x y z+ + - =1 0 la cuadrica

S : x y z2 2 22 3 1 0+ + - = .

Indicaţie. Aceeaşi metodă ca la problema precedentă, cu deosebirea că există două

plane a a1 2, tangente laS paralele cu a , iar ( ) ( )[ ( )}d d da a a a a, min , , ,S = 1 2 .

Planele a1 şi a2 se determină ca în problema 2.

8. Să se determine distanţa de la punctul ( )P 0 0 1, , la cuadrica S :x y z2 22 0+ - = .

Soluţie. Din punctul P ducem normale la cuadrica S în punctele Pi (în general

sunt 5 asemenea puncte); atunci ( ) ( )d P d P Pi, min ,S = .

Determinarea punctelor Pi . Fie ( )M x y zo 0 0 0, , ÎS şi deci ecuaţiile normalei în

punctul M0 sunt: ( )x xx

y yy

z z t x t x-=

-=

--

= Û = +0

0

0

0

002 4 1

2 1 , ( )y t y= +4 1 0 ,

z z t= -0 . Punem condiţia ca P să aparţină normalei în punctul M0 la S . Rezultă

( )2 1 00t x+ = , ( )4 1 00t y+ = , - + =t z0 1. Ţinând cont că x y z02

02

02+ = obţinem

punctele P1212

0 12

񑊇

öø÷

, , , P34 0 38

34

, ,æ

èç

ö

ø÷ , ( )P5 0 0 0, , , deci ( ) ( )d P d P P, ,S = =34

74

.

9. Se consideră cuadrica S : x y z2 2 2 1 0- + - = şi planula :y = 3 . Să se aratecă normalele la S în puncte M ÎaIS sunt concurente.

Indicaţie. Fie ( )M x z0 03, , .ÎaIS Se determină intersecţia dintre normala în

punctul M la S x xx

y z zz

-=

--

=-0

0

0

0

33

şi axa Oy x z= =0 0, , arătând că se

obţine punctul fix ( )0 6 0, , ce nu depinde de M .

10. Să se recunoască cuadricele de mai jos, reducându-le la forma canonică. Să se

figureze: a) x y z= -2 2 ,

b) xy z+ - =2 1 0 ,

c) x y yz x y z2 23 4 6 14 4 11 0+ + - + + + = ,

d) 2 2 2 2 02 2 2x y z x y z+ + - + + = ,

e) y x y2 1 0+ + + = ,

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 4 -

f) z x y2 2 0- + - = ,g) 2 2 2 2 1 0xy xz yz x+ + - + = ,

h) 2 2 02xy y yz z+ + + = .R. a) Este un paraboloid hiperbolic.

este chiar originea, deci nu e nevoie de translaţie, iar pentru a determina rotaţia se calculează

şi vectorii proprii ortonormaţi corespunzători

f112

12

0= -æèç

öø÷

, , , f212

12

0= æèç

öø÷

, , ,

( )f3 0 0 1= , , . Matricea rotaţiei va fi

ecuaţia canonică va fi: - ¢ + ¢ + ¢ - =12

12

1 1 02 2 2x y x. ,

prin urmare cuadrica este un hiperboloid cu opânză (după axa Ox ¢ ).c) d = - =4 36, D , deci cuadrică cu centru,

nedegenerată. Se determină centrul ( )C 3 1 2, ,- - şi

se face translaţia ( )Oxyz Cx y z® ¢ ¢ ¢ în centru, cuecuaţiile x x y y z z= ¢ + = ¢ - = ¢ -3 1 2, , .

Ecuaţia redusă la centru va fi: ¢ + ¢ + ¢ ¢ - =x y y z2 23 4 9 0 . Pentru rotaţie se determină

y

z

x

b) d = =

0 12

0

12

0 0

0 0 1

14

, D , deci este o cuadrică cu centru nedegenerată. Centrul

valorile proprii: ( )

-

-

-

= - -æèç

öø÷= Þ = - = =

l

l

l

l l l l l

12

0

12

0

0 0 1

1 14

0 12

12

121 2 3, ,

f3

f2f1

z

y

x

¢x ¢y

¢¢y

¢z

¢¢z

¢ ¢¢x x,f1

f3

f2

z

y

x ¢y

R= -

é

ë

êêêêêê

ù

û

úúúúúú

12

12

0

12

12

0

0 0 1

, cu detR= +1, deci după transformarea de coordonate

xyz

Rxyz

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷=

¢¢¢

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 5 -

valorile proprii l1 1= , l2 4= , l3 1= - , cu vectorii proprii ortonormaţi: ( )f1 1 0 0= , , ,

f2 0 25

15

= æèç

öø÷

, , , f3 0 15

25

=-æ

èçöø÷

, , ce determină matricea cu det R = +1 şi

transformarea

¢¢¢

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷=

¢¢¢¢¢¢

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

xyz

Rxyz

. Ecuaţia canonică va fi 1 4 9 02 2 2. ¢¢ + ¢¢ - ¢¢ - =x y z sau

( )¢¢

+¢¢

-¢¢

=x y z2

2

2

2

2

23 3 2 31 deci un hiperboloid cu o pânză orientat după Oz¢¢ .

d) Este o cuadrică cu centrul C 14

14

12

, ,- -æèç

öø÷ şi după translaţia în centru se obţine

ecuaţia x y z-æèç

öø÷+ +æèç

öø÷+ +æèç

öø÷=

14

14

12

38

2 2 2, deci cuadrica este o sferă de rază

38

.

e) Cuadrica este degenerată, fără centru

( )d = =D 0 . Ecuaţia se rescrie y x+æèç

öø÷=- +æ

èçöø÷

12

34

2,

deci cu translaţia x x y y z z= ¢ - = ¢ - = ¢34

12

, , în

A - -æèç

öø÷

34

12

0, , se obţine cilindrul parabolic ¢ = - ¢y x2 ,

cu generatoarea paralelă cu Oz .f) Se foloseşte cazul III din teorema prezentată în lecţia Noţiunea generală de

cuadrică şi transformarea( )

( )

¢ = - +

¢ = - -

¢ =

ì

í

ïï

î

ïï

x x y

y x y

z z

12

12

care conduce la ecuaţia

¢ + ¢ - =z x2 22

2 0 , deci ( )¢ =-

¢ -z x2 22

2 , ceea ce reprezintă un cilindru

parabolic cu generatoarea paralelă cu Oy¢ (prima bisectoare a planului xOy ).

g) Hiperboloid cu o pânză cu centrul C -æèç

öø÷

12

12

12

, , , valorile proprii

l l1 2 31 2, ,= - = şi forma canonică¢¢

+¢¢

-¢¢

=x y z2 2 2

3 2 3 2 3 41 .

1

2

¢x

¢y

y

z

A

¢z

x

½

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 6 -

h) d l l l= = = = = -0 14

0 2 11 2 3, , , ,D , deci un paraboloid hiperbolic.

11. Fie cuadrica S : x y z2 2 2 1 0- + - = şi punctul ( )M 1 11, ,- ÎS . Fie TM planul

tangent în M la S . Să se arate că S ITM este reuniunea a două drepte concurente.

R. Deoarece S este un hiperboloid cu o pânză, cele două drepte vor fi chiar

generatoarele ce trec prin M . Planul tangent se obţine prin dedublare T x y zM : + + - =1 0 ,

deci intersecţia va fi dată de x y z= - -1 , ( )z z y y2 1 0+ - - = , deci se obţin

generatoarelex y zz= - -=

ìíî

11

şix y zz y= - -+ =

ìíî

10

.

12. Fie 221: zxy +=-S . Să se determine punctele de pe cuadrica S în careplanele tangente conţin axa Ox .

R. Se obţin punctele ( )M 0 2 1, ,± din condiţia ( )0 0 0, , ÎTM şi din condiţia de

ortogonalitate ( )i x z, , ,2 12 00 0- = , unde pentru TM se scrie ecuaţia prin dedublare.

13. Se consideră cuadrica S : x y z2 2 2 1 0- + - = . Să se determine generatoarele

rectilinii ale cuadricei S care trec prin punctul ( )M - Î111, , .S

R. Se obţin generatoarele Gz

x y11 0

0:

- =+ =

ìíî

şi Gx y zx y z2

11

:- = ++ = -

ìíî

punând condiţiile

M DÎ l , M DMÎ ¢ (vezi teorema 5.2).14. Să se arate că S : z xy+ - =2 1 0 este un paraboloid hiperbolic. Să se

determine generatoarele rectilinii ale cuadricei S ce trec prin punctul ( )M 0 11, , .ÎSIndicaţie. Se arată că d = ¹0 0, D şi că valorile proprii ale părţii pătratice

sunt: 0, 1 şi -1. Folosind ca în problema 11 TM IS se obţin generatoarele

z xx= -=

ìíî

1 20

şiîíì

=-=

121

yxz

.

15. Se consideră cuadricele S :3 2 4 02 2 2x y z- - + = şi S :x y z2 2 2 4 0+ + - = .

Să se figureze S1 şi S 2 . Să se arate că mulţimea S S1 2I este reuniunea a două cercuri.Să se determine centrele acestor cercuri.

Indicaţie. S1 este u hiperboloid cu o pânză, S 2 este o sferă iar S S1 2I va fidefinită de ecuaţiile:

x y z

x yx y z

x y

2 2 2

2 2

2 2 24 0

4 04 0

2 0+ + - =

- =

ìíï

îïÛ + + - =

- =

ìíîï

saux y zx y

2 2 2 4 02 0+ + - =+ =

ìíîï

, etc.

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 7 -

16. Se consideră cuadrica S :1 2 2- = -x y z . Să se figureze S . Fie aP planul ce

conţine punctul ( )P 4 12, , ÎS şi care este paralel cu planul b:y z+ = 5 . Să se determine

generatoarea rectilinie a lui S ce trece prin P şi care este paralelă cu planul b .Indicaţie. S este un paraboloid hiperbolic, planul aP are ecuaţia y z+ = 3 iar

aP IS este o dreaptă de ecuaţii y z+ = 3 şi ( )1 3- = -x y z , care este chiargeneratoarea căutată.

17. Se consideră cuadrica S :2 2 02 2 2x y z y+ + - = . Să se determine MÎSastfel încât prin M să se poată duce o tangentă la S paralelă cu Oy . Să se determine

ecuaţia conturului proiecţiei ortogonale a mulţimii S pe xOz .Indicaţie. Ca în problema 12 se pune condiţia de ortogonalitate

( ) 0,22,4, 000 =- zyxj . Se obţine y0 1= şi prin dedublare planul tangent

T xx zzM :2 10 0+ = , paralel cu Oy . Punctele căutate sunt pe elipsa S :y

x z

=

+ =

ìíîï

1

2 12 2 , iar

conturul căutat va fi la intersecţia lui xOz cu cilindrul 2 12 2x z+ = .

18. Se consideră cuadrica S :x z xy x2 2 2 1 0+ - + + = şi planul a :x z+ - =1 0 .

Să se determine natura şi genul conicei G S= aI . Să se determine centrul conicei G .

Soluţie. G : x z xy xz x

2 2 2 1 01+ - + + == -

ìíîï

deci G se găseşte pe cilindrul hiperbolic

( )x xy x x2 22 1 1 0- + + - + = care are generatoarea paralelă cu Oz . Atunci

( )¢ - + + - + =G :x xy x x2 22 1 1 0 este proiecţia conicei G pe planul z = 0 . Dar G şi

¢G au acelaşi gen şi aceeaşi natură (vezi problema 25). Centrul lui G se proiectează încentrul hiperbolei ¢G .

19. Se consideră cuadrica S :x z xy yz z2 2 2 2 4 1 0+ + - + + = şi punctele

( )A -110, , , ( )B - - Î2 0 1, , S . Să se cerceteze dacă dreapta AB este conţinută în S .

Indicaţie. Ecuaţiile parametrice ale dreptei AB sunt: ( )x t= - + -1 2 1 ,

y t z t= + =1 , . Intersectând dreapta cu S obţinem conform ecuaţiei 8 din lecţiaNoţiunea generală de cuadrică

( ) ( ) ( )t l m n t lf mf nf f x y zx y z2

0 0 00 0 0

0

0j , , , ,+ + + + =

=6 74 84

.

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 8 -

Se cercetează dacă: ( )j l m n, , = 0 şi lf mf nfx y z0 0 00+ + = , unde ( ) ( )l m n, , , ,= -2 1 11 ,

( ) ( )A x y z0 0 0 1 1 0, , , ,= - .

20. Se consideră cuadrica: S :x y z2 2 22 2 0+ - - = . Să se determine un plan

tangent la S paralel cu planul a :x y z+ - =2 0 . Să se determine generatoarele rectilinii

ale lui S paralele cu a .

Indicaţie. Se consideră un punct ( )M x y z0 0 0 0, , pe hiperboloidul cu o pânză S .

Se scrie ecuaţia planului tangent la S în M . Se pune condiţia ca planul tangent să fie paralel

cu a . Se obţin două puncte ( )M1 111, , şi ( )M2 1 1 1- - -, , şi două plane tangente

paralele cu a . Unul dintre ele este de exemplu b1 2 2 0:x y z+ - - = . Atunci

b1IS este reuniune de două drepte:( )( )b1 2 2 2

2 1

2 1 0IS :

x z y

x z y

- = -

- + - =

ìíï

îïÛ

Û( )

( )( ) ( )( )x z y

y x z y y

- = -

- + + - + =

ìíï

îï

2 1

2 1 2 1 1 0Û

( )x z yy

- = -

- =

ìíî

2 11 0

sau( )x z y

x z y- = -

+ - - =

ìíî

2 11 0

.

În acest caz obţinem patru generatoare cu proprietatea cerută.

21. Se cosideră cuadrica: S :x y z2 2 28 2 4 0- + - = şi planul a ll :z y= +3 . Fie

G Sl la= I . Să se arate că Gl este un cerc, un punct sau mulţimea vidă. Discuţie

după l ÎR .

Indicaţie.Gll

:z y

x y z

= +

- + - =

ìíîï

3

8 2 4 02 2 2 Û( )

z y

x y z y

= +

- + + + - =

ìíï

îï

3

8 3 4 02 2 2 2

l

lÛ

Ûx y z yz y

2 2 2 26 4 03

+ + + + - == +

ìíîï

l ll

. Întrucât prima ecuaţie reprezintă ecuaţia unei

sfere rezultă că Gl este cerc, punct sau mulţimea vidă, în funcţie de raza sferei

x y z y2 2 2 26 4 0+ + + + + =l l . Cum raza sfcerei este 2 1 2 02+ >l , Gl este un cerc.

22. Să se demonstreze că printr-un punct al unui hiperboloid cu o pânză treccel mult două drepte conţinute în suprafaţă.

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 9 -

Indicaţie. Fie ( )M x y z xa

yb

zco 0 0 0

2

2

2

2

2

2 1 0, , :Î + - - =S şi fie d y y mtz z nt

x x lt= += +

= +ìíï

îï0

0

0,

o dreaptă conţinută în S . Atunci: ( ) ( ) ( )t l m n t lf mf nf f x y zx y z2

0 0 00 0 0

00j , , , ,+ + + +

=

=1 24 34

pentru orice t ÎR . Rezultă:( )j l m n

lf mf nfx y z

, , =

+ + =

ìíï

îï

00

0 0 0

. Obţinem două direcţii pentru d.

23. Acelaşi enunţ ca în problema precedentă, pentru un paraboloid hiperbolic.

24. Să se determine generatoarele rectilinii ale cuadricei S :x y z2 2 22 4 0- + - =paralele cu planul yOz (vezi problema 20).

25. Să se arate că dacă proiectăm ortogonal o conică G (nevidă) pe un plan care nueste perpendicular pe planul conicei G , obţinem o conică ¢G care are aceeaşi natură şiacelaşi gen ca şi G .

Soluţie. Este evident că proiecţia ortogonală de pe un plan pe altul (pe care nu esteperpendicular) are următoarele proprietăţi: este o aplicaţie bijectivă; duce mijlocul unuisegment în mijlocul segmentului proiecţie; trei puncte sunt coliniare dacă şi numai dacăproiecţiile lor sunt coliniare; două drepte sunt concurente dacă şi numai dacă proiecţiile lorsunt concurente; etc. Deoarece ¢G este intersecţia dintre un plan şi un cilindru, rezultă că¢G este o conică. Din proprietăţile de mai sus rezultă că proiecţia ortogonală păstrează

centrul unei conice, păstrează direcţia asimptotică faţă de o conică, păstrează asimptotele(mai precis, dacă d este o dreaptă cu direcţia asimptotică pentru G , atunci proiecţiaacestei drepte are direcţie asimptotică faţă de ¢G ), etc.

Să presupunem mai întâi că D=0; Atunci G este:unpunct,dacã

douãdrepteconcurente,dacã

drepteparalelesauconfundate,dacã

dd

d

><

=

ì

íï

îï

00

0.

Evident, ¢G se află în aceeaşi situaţie. Să presupunem că D ¹ 0 . Dacă d < 0 , atunci Geste hiperbolă şi are două asimptote. Rezultă că şi ¢G are două asimptote, deci este ohiperbolă, etc.

26. Presupunem că o cuadrică nedegenerată este intersectată de două plane paraleledupă două conice nedegenerate. Dacă una dintre conice este un cerc, atunci şi cealaltă conicăeste un cerc.

Soluţie. Printr-o schimbare convenabilă de coordonate, putem presupune că cele douăplane paralele au ecuaţiile z = 0 şi z = l . Fie ( )S : , ,f x y z = 0 o cuadrică nedegenerată.

Presupunem că intersecţia dintre S şi planul z = 0 este un cerc G deci

( )G : , , , , .f x y z z a x a y a z a z= = Û + + + + = =0 0 0 0112

222

332

44L Deoarece

conica nedegenerată G este un cerc, rezultă că a a11 22 0= ¹ şi a12 0= . Prin ipoteză,Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 10 -

intersecţia dintre cuadrica S şi planul z = l este o conică nedegenerată ¢G . Deci

( ) ( )¢ + + + + + + + = =G : a x a y a a x a a y a a z112

222

14 13 24 23 34 442 2 2 0l l l l, .Cum a a11 22 0= ¹ , rezultă că şi ¢G este un cerc.

- – — o O o — – -

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u