Marcelina Popa  ‐ Vectori în plan. Coliniaritate și paralelism.   

 

Vectori în plan. Coliniaritate şi paralelism   

••   Egalitatea vectorilor.  

Doi vectori  sunt egali dacă au aceeasi direcție, același sens și aceeasi lungime (mărime, modul). 

 

••   Regula triunghiului sau relația lui Chasles.  

Oricare ar fi trei puncte P, Q, R în plan, are loc egalitatea:  PQ QR PR+ = .  

 

• RReegguullaa   ppaarraa llee llooggrraammuulluu ii 

Fie  ,u v ∈ ,  PQ u=  şi  PT v= . Construim paralelogramul PQRT.  

Atunci           u v PQ PT PQ QR PR+ = + = + =   

 

 

• Vectori coliniari 

DDoo ii      vveeccttoorr ii   ssee   nnuummeesscc      ccoo ll ii nn ii aa rr ii   ddaaccăă   aauu   aacceeeeaașș ii   ddii rreecc țț ii ee ..   AAcceess tt    ll uuccrruu   ssee    îî nnttââmmppllăă    îî nn   ddoouuaa   

ccaazzuurr ii ::      

‐ când  ambii vectori sunt nenuli și dreptele lor suport sunt paralele sau coincid;  ‐ când cel puțin unul dintre cei doi vectori este nul. 

„Paralelismul “ vectorilor reprezintă, așadar, un caz particular al coliniarității lor, lucru explicabil prin faptul că vectorii liberi nu au o poziție fixă și pot fi translatați în orice punct al planului. 

Teoremă. Fie  u  un vector nenul şi  v  un vector oarecare. 

1) Dacă  u  şi  v  sunt coliniari, atunci există un număr real  λ , unic, astfel încât  v u= λ . 

2) Dacă există  λ∈  astfel încât  v u= λ , atunci  u  şi  v  sunt coliniari. 

 

Marcelina Popa  ‐ Vectori în plan. Coliniaritate și paralelism.   

 • Descompunerea unui vector dupa direcțiile a doi vectori necoliniari dați. Fie  a  şi  b  doi vectori 

necoliniari. Oricare ar fi vectorul  v  din plan, există  ,α β∈  astfel încât  v a b= α +β . Scalarii α  şi β  cu 

această proprietate sunt unici. 

 

• Teorema bisectoarei.  Fie triunghiul ABC şi [AD  bisectoarea unghiului A, unde  [ ]D BC∈ . Atunci avem: 

AB BDAC DC

= . 

 

• Vectori de poziție  

Fie O un punct în plan, fixat. Fiecărui punct M din plan i se asociază vectorul  Mr OM= , numit vectorul 

său de poziție.  

Dacă AM kMB

= , atunci   11 1M A B

kr r rk k

= ++ +

. In particular, daca M este mijlocul segmentului [AB], 

avem 2

A BM

r rr

+= . 

Daca G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci 3

A B CG

r r rr

+ += . 

Daca I este punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului ABC şi a, b, c sunt lungimile 

laturilor lui, atunci  A B CI

ar br crr

a b c+ +

=+ +

. 

 

• Relația lui Sylvester 

Fie H ortocentrul și O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Atunci:    OH OA OB OC= + + . 

 

• Teorema lui Menelaus şi reciproca ei 

Fie ABC un triunghi şi M, N, P puncte astfel încât  ( ), ( ), ( ).M AB C BN P AC∈ ∈ ∈ Atunci M, N şi P sunt 

col iniare  dacă şi numai dacă  1AM BN CPMB NC PA

⋅ ⋅ = . 

Teorema ramâne valabilă şi în cazul în care toate cele trei puncte sunt pe prelungirile laturilor triunghiului ABC. 

Marcelina Popa  ‐ Vectori în plan. Coliniaritate și paralelism.   

  

• Teorema lui Ceva şi reciproca ei 

Fie ABC un triunghi şi M, N, P puncte astfel încât  ( ), ( ), ( ).M AB N BC P AC∈ ∈ ∈ Atunci dreptele AN, BP si 

CM sunt concurente  dacă şi numai dacă  1AM BN CPMB NC PA

⋅ ⋅ = . 

 

•  Produsul  scalar.  Pentru  orice  doi  vectori  nenuli  1 2,v v ,  numărul  real  1 2 1 2| | | | cosv v v v⋅ = ⋅ ⋅ α ,  unde 

1 2m( ( , ))v vα =  se numeşte produsul  scalar  al vectorilor  1v  şi  2v . Dacă  1v  sau  2v  este nul, atunci prin 

definiție produsul scalar  1 2v v⋅  este nul. 

Avem:  

  2 2| |v v=  

Daca  1 2 si v v sunt vectori nenuli, atunci:   1 2 1 2 0v v v v⊥ ⇔ ⋅ =