definitie ensseggmm entt oorriientaatt : eclasa a x + xi -a geometrie - 4 vectori vectori definitie...
TRANSCRIPT
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 1
VECTORI
VECTORI
Definitie sseeggmmeenntt oorriieennttaatt :
- fie ๐จ si ๐ฉ doua puncte din plan sau din spatiu ;
- o pereche ordonata (๐จ, ๐ฉ) unde ๐จ si ๐ฉ sunt doua puncte , nu neaparat distincte , se
numeste segment orientat ( sau bipunct ) .
d A B
- segmentul orientat avand originea ๐จ si extremitatea ๐ฉ se noteaza ๐จ๐ฉ .
Definitie sseeggmmeenntt oorriieennttaatt nnuull :
- in cazul in care orifginea si extremitatea coincid , ๐จ = ๐ฉ , rezulta segmentul orientat nul .
Definitie ddrreeaappttaa ssuuppoorrtt aa sseeggmmeennttuulluuii oorriieennttaatt :
- Daca ๐จ๐ฉ este un segment orientat nenul , punctele ๐จ si ๐ฉ fiind distincte , ๐จ โ ๐ฉ , atunci
ele definesc o dreapta ๐ care se numeste dreapta suport a segmentului ๐จ๐ฉ .( vezi fig. de mai sus )
Caracteristicile sseeggmmeennttuulluuii oorriieennttaatt :
Un segment orientat ๐จ๐ฉ este caracterizat prin :
1). Marime sau modul :
- se noteaza cu : |๐จ๐ฉ | sau โ๐จ๐ฉ โ ;
- reprezinta lungimea segmentului neorientat ๐จ๐ฉ ; - segmentul orientat nul are marimea zero .
2). Directia :
- este determinata de orice dreapta paralela cu dreapta suport a segmentului orientat .
3). Sens :
- sensul segmentului orientat este dat de sensul deplasarii unui punct care parcurge
segmentul de la origine la extremitate : de la ๐จ la ๐ฉ in cazul nostru .
- sensul segmentului este indicat printr-o sageata trasata deasupra lui : ๐จ๐ฉ .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 2
VECTORI
VECTORI
Definitie sseeggmmeennttee eecchhiippoolleennttee ssaauu eecchhiippoolleennttii :
- doua segmente orientate care au acelasi modul , directie si acelasi sens se numesc echipolente
- ca notatie , daca ๐จ๐ฉ si ๐ช๐ซ sunt echipolente atunci se scrie : ๐จ๐ฉ ~๐ช๐ซ .
Definitie ccllaassee ddee eecchhiippoolleennttaa :
- multimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment dat ๐จ๐ฉ , iar ๐จ๐ฉ poate fi
luat drept reprezentant al acestei clase ;
- pe baza relatiei โ a fi echipolent cu โ multimea segmentelor orientate din spatiu se imparte in
clase de echipolenta , care au proprietatile :
1). - oricare doua segmente din aceeasi clasa sunt echipolente ;
2). - oricare segment apartine unei si numai unei clase de echipolenta ;
3). - doua segmente ce apartin laclase diferite nu sunt echipolente .
Observatie :
- prin conventie toate segmentele orientate nule sunt totdeuna echipolente intre ele .
Proprietatile rreellaattiieeii ddee eecchhiippoolleennttaa :
a). ๐จ๐ฉ ~๐จ๐ฉ ( reflexivitate ) ;
b). Daca ๐จ๐ฉ ~๐ช๐ซ atunci ๐ช๐ซ ~๐จ๐ฉ ( simetrie ) ;
c). Daca ๐จ๐ฉ ~๐ช๐ซ si ๐ช๐ซ ~๐ฌ๐ญ atunci ๐จ๐ฉ ~๐ฌ๐ญ ( tranzitivitate ) .
Definitie rreellaattiiee ddee eecchhiivvaalleennttaa :
- o relatie care este reflexiva , simetrica si tranzitiva se numeste relatie de echivalenta .
- rezulta ca relatia de echipolenta a segmentelor orientate este o relatie de echivalenta .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 3
VECTORI
VECTORI
Definitie vveeccttoorrii :
- se numeste vector multimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat
dat .
- Daca ๐จ๐ฉ este segmentul orientat ales ca reprezentant al acestei clase , atunci clasa respectiva
, sau vectorul respectiv se noteaza prin ๐จ๐ฉ sau ๏ฟฝ๏ฟฝ , si se reprezinta tot printr-o sageata : are originea
๐จ si extremitatea ๐ฉ .
A
Bv
w
u
Caracteristicile vveeccttoorruulluuii :
Un vector ๏ฟฝ๏ฟฝ este caracterizat prin :
1). Modul :
- se noteaza cu : |๏ฟฝ๏ฟฝ | sau โ๏ฟฝ๏ฟฝ โ sau simplu ๐ si este lungimea segmentului la o scara data
2). Directia :
- este data de directia definita de suportul vectorului .
3). Sens :
- sensul cel indicat de sageata .
Ultimile doua caracteristici deosebesc marimile vectoriale de cele scalare , intalnite mai ales in
fizica .
Definitie vveeccttoorruull nnuull :
- se noteaza cu ๏ฟฝ๏ฟฝ si este reprezentat prin orice punct din spatiu .
Definitie vveeccttoorrii eeggaallii :
- doi vectori care au aceeasi directie , acelasi sens si aceeasi marime se numesc vectori egali .
Definitie vveeccttoorrii ccoolliinniiaarrii :
- se numesc vectori coliniari doi vectori care au aceeasi directie indiferent de modul si sens .
- doi vectori sunt coliniari daca cel putin unul este nul sau daca amandoi sunt nenuli si au
aceeasi directie .
- vectorul nul este coliniar cu orice alt vector .
Definitie vveeccttoorrii nneeccoolliinniiaarrii :
- doi vectori nenuli care nu au aceeasi directie sunt vectori necoliniari .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 4
VECTORI
VECTORI
Definitie vveeccttoorrii lliibbeerrii :
- se numesc vectori liberi acei vectori al caror punct de aplicatie ( originea ) poate fi oriunde in
spatiu .
- operatiile cu vectori sunt definite pentru vectori liberi , iar operatiile cu celelalte categorii de
vectori se obtin din cele asupra vectorilor liberi functie de conditiile suplimentare ce se impun .
Definitie vveeccttoorrii oorrttooggoonnaallii :
- doi vectori care au dreptele suport perpendiculare se numesc ortogonali .
Definitie vveerrssoorr :
- vectorul liber cu modulul egal cu ๐ se numeste versor .
Definitie vveeccttoorrii lleeggaattii :
- se numesc vectori legati acei vectori care au originea intr-un anumit punct fix sau mobil .
- intalniti in mecanica , fizica .
Definitie vveeccttoorrii aalluunneeccaattoorrii :
- se numesc vectori alunecatori acei vectori al caror punct de aplicatie poate fi situat in orice
punct al dreptei suport , ei putand sa se deplaseze de-a lungul unei drepte fara ca actiunea lor sa se
modifice .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 5
VECTORI
VECTORI
Definitie pprrooiieeccttiiaa oorrttooggoonnaallaa (( ssaauu ssiimmpplluu pprrooiieeccttiiaa )) aa uunnuuii vveeccttoorr :
- fie in plan sau spatiu o axa ๐ cu vectorul unitate ๏ฟฝ๏ฟฝ si un vector arbitrar ๏ฟฝ๏ฟฝ ;
- proiectia ortogonala ( sau simplu proiectia ) vectorului ๏ฟฝ๏ฟฝ pe axa ๐ este un numar egal cu
produsul lungimii vectorului ๏ฟฝ๏ฟฝ cu cosinusul unghiului dintre vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ .
- notam proiectia vectorului ๏ฟฝ๏ฟฝ pe axa ๐ prin ๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ sau ๐๐๐โ๏ฟฝ๏ฟฝ sau ๐๐ .
- deci prin definitie : ๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ = โ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐๐จ๐ฌ๐ .
a
a
e0 A1d
A
.
- daca unghiul dintre vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ este ascutit ( vezi fig de mai sus ) avem :
๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ = โ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐๐จ๐ฌ๐ = ๐ถ๐จ ๐๐จ๐ฌ๐ = ๐ถ๐จ๐
a
a
0A1d
A
.
e
- daca unghiul dintre vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ este obtuz ( vezi fig de mai sus ) avem :
๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ = โ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐๐จ๐ฌ๐ = ๐ถ๐จ ๐๐จ๐ฌ๐ = โ ๐ถ๐จ๐
- Daca vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ este perpendicular pe ๐ , atunci ๐ = ๐
๐ si ๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ = โ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐๐จ๐ฌ
๐
๐= ๐ .
Proprietatile pprrooiieeccttiieeii uunnuuii vveeccttoorr ppee aaxxaa :
a). pentru orice doi vectori ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ are loc egalitatea : ๐๐๐ (๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = ๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ unde
๐ este o axa oarecare .
b). pentru orice vector ๏ฟฝ๏ฟฝ si orice scalar ๐ are loc egalitatea : ๐๐๐ ๐๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ โ ๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ , oricare
ar fi axa ๐ .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 6
VECTORI
VECTORI
Definitie ssuummaa aa ddooii vveeccttoorrii (( rreegguullaa ppaarraalleellooggrraammuulluuii )) :
- fie doi vectori liberi oarecare in spatiu ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ ;
- prin suma a doi vectori liberi ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ se intelege un nou vector notat ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ care originea
intr-un punct oarecare O si directia , modulul si sensul determinate de diagonala OM a
paralelogramului construit cu vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ , vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ fiind adusi cu originea in O
( vezi figura de mai jos ) .
- modul de constructie a sumei de doi vectori se numeste regula paralelogramului .
O
A
B
a
b
ba
M
๐ถ๐จ + ๐ถ๐ฉ = ๐ถ๐ด
Definitie ssuummaa aa ddooii vveeccttoorrii (( rreegguullaa ttrriiuunngghhiiuulluuii )) :
- un alt mod de a construi suma a doi vectori ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ este regula triunghiului .
O
A
ab
ba
ba
M
๐ถ๐จ + ๐จ๐ด = ๐ถ๐ด
Observatie :
- regula triunghiului poate fi extinsa la regula poligonului pentru determinarea sumei a ๐ vectori ( ๐ > 3 ) .
Proprietatile aadduunnaarriiii vveeccttoorriilloorr :
Notam cu ๐ฝ multimea vectorilor liberi :
1). ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ , (โ) ๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ ๐ฝ ( comutativitate ) .
2). (๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ) + ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ + (๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ) , (โ) ๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ ๐ฝ ( asociativitate ) .
3). Exista ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ ๐ฝ , astfel ca ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ ( ๏ฟฝ๏ฟฝ = vectorul nul ) pentru orice ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ ๐ฝ
4). Pentru orice vector ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ ๐ฝ , exista vectorul (โ๏ฟฝ๏ฟฝ ) ๐ ๐ฝ : astfel incat ๏ฟฝ๏ฟฝ + (โ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = ๏ฟฝ๏ฟฝ
unde (โ๏ฟฝ๏ฟฝ ) este vectorul opus lui ๏ฟฝ๏ฟฝ ( element opus ) .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 7
VECTORI
VECTORI
Definitie ddiiffeerreennttaa aa ddooii vveeccttoorrii :
- prin diferenta vectorilor liberi ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ notata ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ se intelege vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ + (โ๏ฟฝ๏ฟฝ ) ,
acesta fiind reprezentat de cealalta diagonala a paralelogramului , din regula paralelogramului ,
construit cu vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ .
M
M
B
A
OB,
a
bb
a
b
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐จ๐ฉ = ๐ถ๐ดโฒ unde ๐ถ๐ฉโฒ = โ๏ฟฝ๏ฟฝ , ๐ถ๐จ = ๐ , ๐ถ๐ฉ = ๐
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 8
VECTORI
VECTORI
Definitie iinnmmuullttiirreeaa vveeccttoorriilloorr ccuu ssccaallaarrii :
Fie vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ si scalarul ๐ ;
- prin produsul dintre scalarul ๐ si vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ se intelege vectorul ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ care are :
1). - aceeasi directie cu a vectorului ๏ฟฝ๏ฟฝ ;
2). - modulul |๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ | = |๐| โ |๏ฟฝ๏ฟฝ | .
Fie ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ , nenul , atunci :
- daca ๐ > 0 atunci ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ are acelasi sens cu vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ ;
- daca ๐ < 0 atunci ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ are sens contrar cu vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ .
Observatie :
- avem : ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ โบ ๐ = ๐ sau ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ .
Proprietatile iinnmmuullttiirriiii vveeccttoorriilloorr ccuu ssccaallaarrii :
Pentru (โ) ๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ ๐ฅ si (โ) ๐ถ , ๐ท ๐ โ au loc urmatoarele :
1). ๐ถ(๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = ๐ถ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๐ถ๏ฟฝ๏ฟฝ ;
2). ๐ถ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๐ท๏ฟฝ๏ฟฝ = (๐ถ + ๐ท)๏ฟฝ๏ฟฝ ;
3). ๐ถ โ (๐ท โ ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = (๐ถ โ ๐ท) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ ;
4). ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ .
Definitie vveeccttoorrii ccoolliinniiaarrii :
- Se numesc vectori coliniari doi vectori care au aceeasi directie ( indiferent de modul si sens )
- doi vectori nenuli ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ sunt coliniari daca si numai daca exista ๐ ๐ โ astfel incat
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ
- vectorul nul este coliniar cu orice alt vector .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 9
VECTORI
VECTORI
Fie ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ doi vectori liberi ( in plan sau spatiu ) .
Definitie pprroodduussuull ssccaallaarr aa ddooii vveeccttoorrii :
- produsul scalar al vectorilor ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ este numarul real notat :
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | โ |๏ฟฝ๏ฟฝ | โ ๐๐จ๐ฌ(๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ )
- mai notam ๐๐จ๐ฌ(๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = ๐๐จ๐ฌ๐ , unde ๐ = unghiul vectorilor ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ .
- in concluzie , produsul scalar a doi vectori liberi este o marime scalara egala cu produsul
modulelor celor doi vectori inumltit cu cosinusul unghiului format de ei .
Proprietatile pprroodduussuulluuii ssccaallaarr :
(1). ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ > 0 daca ๐ ๐ (๐ ,๐
๐) si ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ ;
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ daca ๐ = ๐
๐ sau ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ sau ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ ;
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ < 0 daca ๐ ๐ (๐
๐ , ๐ ) si ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ .
(2). ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ ( comutativitate ) ;
(3). ๏ฟฝ๏ฟฝ โ (๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ ( distributivitate ) ;
(4). ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = |๏ฟฝ๏ฟฝ |๐ ;
(5). - doi vectori nenuli sunt perpendiculari daca si numai daca produsul lor scalar este nul :
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ โบ ๏ฟฝ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ
(6). - produsul scalar a doi vectori de acelasi sens este egal cu produsul modulelor lor :
๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐ ๐ = ๐ โน ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | โ |๏ฟฝ๏ฟฝ |
(7). - patratul scalar al unui vector este egal cu patratul marimii lui :
(๏ฟฝ๏ฟฝ )๐ = |๏ฟฝ๏ฟฝ |๐
de aici se deduce formula care da modulul unui vector cu ajutorul produsului scalar :
|๏ฟฝ๏ฟฝ | = โ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ
(8). - pentru a inmulti un produs scalar cu un factor scalar oarecare m se poate considera ca
m inmulteste pe unul din cei doi vectori :
๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = (๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ )๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ (๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ )
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 10
VECTORI
VECTORI
Fie ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ doi vectori liberi ( in plan sau spatiu ) .
Definitie pprroodduussuull vveeccttoorriiaall aa ddooii vveeccttoorrii :
- produsul vectorial al vectorilor ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ este numarul real notat :
๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | โ |๏ฟฝ๏ฟฝ | โ ๐ฌ๐ข๐ง(๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ) sau ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | โ |๏ฟฝ๏ฟฝ | โ ๐ฌ๐ข๐ง๐
- mai notam ๐ฌ๐ข๐ง(๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = ๐ฌ๐ข๐ง๐ , unde ๐ = unghiul vectorilor ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ .
- in concluzie , produsul vectorial a doi vectori liberi este o marime scalara egala cu produsul
modulelor celor doi vectori inumltit cu sinusul unghiului format de ei .
Proprietatile pprroodduussuulluuii vveeccttoorriiaall :
(1). ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ > 0 daca ๐ ๐ (๐ , ๐ ) si ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ ;
๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ daca ๐ = ๐ , ๐ , ๐๐ sau ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ sau ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ ;
๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ < 0 daca ๐ ๐ (๐ , ๐๐ ) si ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ .
(2). ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = โ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ ;
(3). ๏ฟฝ๏ฟฝ ร (๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ distributiva la dreapta ,
(๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ) ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ distributiva la stanga ;
(4). ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ ;
(5). - doi vectori nenuli sunt perpendiculari daca si numai daca :
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | โ |๏ฟฝ๏ฟฝ | โบ ๏ฟฝ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ
(6). - doi vectori nenuli sunt paraleli daca si numai daca :
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ โบ ๏ฟฝ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ
(7). - pentru a inmulti un produs vectorial cu un factor scalar oarecare ๐ se poate considera ca
๐ inmulteste pe unul din cei doi vectori :
๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = (๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ ) ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ ร (๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ )
(8). - dublul produs vectorial :
(๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ ) ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ (๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ ) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ (๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ )
(9). - identitati vectoriale :
(๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ ) ร ๏ฟฝ๏ฟฝ + (๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ ) ร ๏ฟฝ๏ฟฝ + (๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ ) ร ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ
( ๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๐ )๐ = ๐๐ โ ๐๐ โ (๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ )๐
(10). - produsul mixt a trei vectori : ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = (๏ฟฝ๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๏ฟฝ ) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 11
VECTORI
VECTORI
Definitie vveeccttoorr ddee ppoozziittiiee :
- un punct oarecare ๐ด din spatiu are pozitia perfect determinata daca se da un punct fix ๐ถ in
spatiu numit origine si se cunoaste vectorul ๐ถ๐ด = ๏ฟฝ๏ฟฝ .
- punctul ๐ด este extremitatea vectorului ๏ฟฝ๏ฟฝ a carui origine este punctul fix ๐ถ .
- vectorul ๐ถ๐ด = ๏ฟฝ๏ฟฝ care determina pozitia lui ๐ด se numeste vectorul de pozitie al
punctului ๐ด si se scrie : ๐ด( ๐ ) .
O
rM
Definitie vveeccttoorruull ddee ppoozziittiiee ccaarree iimmppaarrttee uunn sseeggmmeenntt iinnttrr--uunn rraappoorrtt ddaatt :
Vectorul de pozitie ๏ฟฝ๏ฟฝ al punctului ๐ด care imparte un segment [๐จ๐ฉ] intr-un raport
dat ๐ unde
๐จ( ๏ฟฝ๏ฟฝ ) , ๐ฉ( ๏ฟฝ๏ฟฝ ) , ๐ด( ๏ฟฝ๏ฟฝ ) , ๐ด๐จ
๐ด๐ฉ =๐ ,
( ๐ < 0 daca ๐ด โ (๐จ๐ฉ) si ๐ > 0 daca ๐ด โ (๐จ๐ฉ) , ๐ด โ ๐จ๐ฉ )
este : ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ โ๐๏ฟฝ๏ฟฝ
๐ โ๐ si ๐ โ ๐
O
B
A
M
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 12
VECTORI
VECTORI
Definitie vveeccttoorruull ddee ppoozziittiiee aall cceennttrruulluuii ddee ggrreeuuttaattee aall uunnuuii ttrriiuunngghhii :
Vom determina vectorul de pozitie ๏ฟฝ๏ฟฝ al centrului de greutate al unui triunghi oarecare :
- fie โณ ๐จ๐ฉ๐ช cu ๐จ( ๐๐ ) , ๐ฉ( ๐๐ ) , ๐ช( ๐๐ ) si ๐ฎ( ๏ฟฝ๏ฟฝ ) centrul sau de greutate .
- atunci :
๏ฟฝ๏ฟฝ =๐
๐( ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ )
Definitie vveeccttoorruull ddee ppoozziittiiee aall cceennttrruulluuii ddee ggrreeuuttaattee aall uunnuuii tteettrraaeeddrruu :
Vom determina vectorul de pozitie ๏ฟฝ๏ฟฝ al centrului de greutate al unui tetraedru :
- fie ๐จ( ๐๐ ) , ๐ฉ( ๐๐ ) , ๐ช( ๐๐ ) , ๐ซ( ๐๐ ) varfurile tetraedrului ๐จ๐ฉ๐ช๐ซ si ๐ฎ( ๏ฟฝ๏ฟฝ )
centrul sau de greutate .
- atunci :
๏ฟฝ๏ฟฝ =๐
๐( ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ )
Observatie :
- in general pentru un sistem ๐ด๐(๐๐ ) de puncte materiale , de mase ๐๐ , vectorul de pozitie
๐ถ๐ฎ al acestui sistem este :
๐ถ๐ฎ = โ๐๐ ๐๐ / โ๐๐
Definitie vveecctt.. ddee ppoozz.. aall cceennttrruulluuii II aall cceerrcc.. iinnssccrriiss iinnttrr--uunn ttrriiuunngghhii AABBCC :
Fie ๐ถ un punct in spatiu fixat si fie ๐จ( ๐๐ ) , ๐ฉ( ๐๐ ) , ๐ช( ๐๐ ) fata de acest punct .
Atunci :
๐ถ๐ฐ = ๐๐๐ +๐๐๐ +๐๐๐
๐+๐+๐
Unde ๐, ๐, ๐ sunt lungimile laturilor triunghiului โณ ๐จ๐ฉ๐ช si ๐ฐ centrul cercului inscris .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 13
VECTORI
VECTORI
Definitie ccoonnddiittiiaa ddee ccoolliinniiaarriittaattee :
- Fie ๐ถ un punct fixat in spatiu si punctele ๐ฟ si ๐ care au vectorii de pozitie ๐ฟ(๏ฟฝ๏ฟฝ ) si
respectiv ๐(๏ฟฝ๏ฟฝ ) .
- Conditia necesra si suficienta ca extremitatea vectorului ๐ถ๐ = ๏ฟฝ๏ฟฝ sa se gaseasca pe dreapta
๐จ๐ฉ este ca in relatia de dependenta :
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๏ฟฝ๏ฟฝ + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ sa avem ๐ + ๐ = ๐
Definitie ccoonnddiittiiaa ddee ccooppllaannaarriittaattee :
Consideram trei vectori ๐ถ๐ผ = ๏ฟฝ๏ฟฝ , ๐ถ๐ฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ , ๐ถ๐พ = ๏ฟฝ๏ฟฝ avand originea comuna ๐ถ .
- conditia necesara si suficienta ca extremitatea ๐จ a unui vector ๐ถ๐จ = ๏ฟฝ๏ฟฝ sa se afle in planul
๐ผ๐ฝ๐พ , determinat de extremitatile vectorilor ๐ถ๐ผ , ๐ถ๐ฝ , ๐ถ๐พ , este ca in relatia de dependenta :
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๏ฟฝ๏ฟฝ + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ sa avem ๐ + ๐ + ๐ = ๐
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 14
VECTORI
VECTORI
Definitie aaxxaa ddee ccoooorrddoonnaattee :
- se numeste axa de coordonate o dreapta pe care sunt fixate : un punct ๐ถ ( numit origine ) ,
un segment ๐ถ๐ด , a carui lungime este egala cu unitatea si un sens pozitiv .
Definitie rreeppeerr ccaarrtteezziiaann iinn ppllaann :
- se numeste reper cartezian in plan un sistem format din doua axe ๐ถ๐ si ๐ถ๐ cu aceeasi
origine .
- un reper cartezian format cu axele ๐ถ๐ si ๐ถ๐ se noteaza ๐๐ถ๐ .
- daca axele ๐ถ๐ si ๐ถ๐ sunt perpendiculare , reperul ๐๐ถ๐ se numeste ortogonal ( sistem de
axe ortogonale ) .
- vom numi axa ๐ถ๐ - abscisa ;
- vom numi axa ๐ถ๐ - ordonata .
Teorema :
- intr-un reper cartezian , oricarui punct ๐จ (๐ , ๐ ) din plan ii corespunde un singur vector
๏ฟฝ๏ฟฝ = ( ๐ , ๐ ) โ โ๐ si reciproc .
Definitie rreeppeerr ccaarrtteezziiaann iinn ssppaattiiuu :
- se numeste reper cartezian in spatiu un sistem format din trei axe ๐ถ๐ , ๐ถ๐ , ๐ถ๐ cu
aceeasi origine ๐ถ si el se noteaza ๐๐ถ๐๐ .
- daca axele ๐ถ๐ , ๐ถ๐ , ๐ถ๐ sunt perpendiculare doua cate doua , atunci avem un :
reper ortogonal sau un sitem de axe ortogonale ale spatiului
unde ๐๐ฅ ( abscisa ) , ๐ถ๐ ( ordonata ) iar ๐ถ๐ ( cota ) .
Teorema :
- intr-un reper cartezian , oricarui punct ๐ด(๐, ๐. ๐) ii corespunde un singur vector
๏ฟฝ๏ฟฝ = ( ๐ , ๐, ๐ ) โ โ๐ si reciproc
pt orice vector ( ๐ , ๐, ๐ ) โ โ๐ exista un punct unic ๐ด(๐, ๐. ๐) unde ๐, ๐, ๐ sunt coordonatele
punctului ๐ด sau ( componentele ) coordonatele vectorului ๏ฟฝ๏ฟฝ .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 15
VECTORI
VECTORI
Definitie ccaaddrraannee :
- un reper cartezian in plan determina o impartire a planului in patru regiuni , numite cadrane ,
marcate cu cifrele romane ๐ฐ , ๐ฐ๐ฐ , ๐ฐ๐ฐ๐ฐ , ๐ฐ๐ฝ si definite dupa cum urmeaza :
๐ฐ = {๐ด(๐, ๐) โ ๐ > 0, ๐ฆ > 0} ๐ฐ๐ฐ = {๐ด(๐, ๐) โ ๐ < 0, ๐ฆ > 0}
๐ฐ๐ฐ๐ฐ = {๐ด(๐, ๐) โ ๐ < 0, ๐ฆ < 0} ๐ฐ๐ฝ = {๐ด(๐, ๐) โ ๐ > 0, ๐ฆ < 0}
Teorema distanta dintre doua puncte in plan :
- daca ๐จ(๐๐ , ๐๐) si ๐ฉ(๐๐ , ๐๐) sunt doua puncte din plan , atunci distanta dintre ele este :
๐จ๐ฉ = โ(๐๐ โ ๐๐)๐ + (๐๐ โ ๐๐)
๐
Teorema distanta dintre doua puncte in spatiu :
- daca ๐จ(๐๐, ๐๐, ๐๐) si ๐ฉ(๐๐, ๐๐, ๐๐) sunt doua puncte din spatiu , atunci distanta dintre ele este :
๐จ๐ฉ = โ(๐๐ โ ๐๐)๐ + (๐๐ โ ๐๐)
๐ + (๐๐ โ ๐๐)๐
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 16
VECTORI
VECTORI
Fie :
- un plan in care se considera reperul cartezian ortogonal ๐๐ถ๐ , ๐ถ๐ โฅ ๐ถ๐ ;
- consideram vectorii ๐ si ๐ cu proprietatea : | ๐ | = | ๐ | = ๐ numiti versori sau vectori
unitate ;
- pe axa ๐ถ๐ consideram versorul ๐ , iar pe axa ๐ถ๐ consideram versorul ๐ ;
- cuplul ( ๐ , ๐ ) se numeste baza ortonormata pentru multimea vectorilor din planul ๐๐ถ๐ ;
- reperul (๐ถ , ๐ , ๐ ) se numeste reper cartezian ortonormat .
Definitie vveeccttoorr ddee ppoozziittiiee iinn xxOOyy :
- fiecarui punct ๐ด din plan i se asociaza vectorul de pozitie ๐ถ๐ด , vector legat de ๐ถ , care
se exprima unic in functie de versorii ๐ si ๐ :
๐ถ๐ด = ๐ถ๐ด๐ + ๐ถ๐ด๐
= ๐๐ + ๐๐
- ๐ si ๐ reprezinta coordonatele vectorului ๐ถ๐ด in baza ( ๐ , ๐ ) , ele fiind coordonatele
carteziene ale punctului ๐ด ;
- vom scrie : ๐ถ๐ด = ( ๐ , ๐ ) ;
- vectorii ๐๐ , ๐๐ sunt componentele vectorului ๐ถ๐ด dupa cele doua axe ๐ถ๐ si ๐ถ๐ .
0 x
yM(x,y)
i
j
M 1
M 2M
O
- expresia care ne da descompunerea unui vector dupa doua axe dreptunghiulare se numeste
expresia analitica a vectorului .
Concluzie :
1). - daca ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ฝ este un vector oarecare din reperul (๐ถ , ๐ , ๐ ) atunci exista doua numere reale
๐ si ๐ unice determinate astfel ca : ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐ + ๐๐ , unde
unde ๐ si ๐ se numesc coordonatele vectorului ๏ฟฝ๏ฟฝ
si se scrie : ๏ฟฝ๏ฟฝ = ( ๐ , ๐ ) sau ๏ฟฝ๏ฟฝ ( ๐ , ๐ ) .
2). - intr-un plan doi vectori egali au aceleasi coordonate .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 17
VECTORI
VECTORI
Fie punctele arbitrare in plan ๐จ(๐๐, ๐๐) si ๐ฉ(๐๐, ๐๐) .
Definitie ccoooorrddoonnaatteellee vveeccttoorruulluuii ddeetteerrmmiinnaatt ddee AA ssii BB :
- vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐จ๐ฉ este vectorul ๐จ๐ฉ = (๐๐ โ ๐๐)๐ + (๐๐ โ ๐๐)๐ ;
- coordonatele vectorului ๐จ๐ฉ in baza ( ๐ , ๐ ) sunt ๐จ๐ฉ (๐๐ โ ๐๐ , ๐๐ โ ๐๐) .
x
y
0
A
B
v
a1 a2
b1
b2
Definitie ccoooorrdd.. uunnuuii ppuunncctt MM ccee iimmppaarrttee uunn sseegg.. AABB iinnttrr--uunn rraappoorrtt ddaatt :
Vom determina coordonatele unui punct ๐ด care imparte un segment ๐จ๐ฉ intr-un raport dat :
- in reperul (๐ถ, ๐ , ๐ ) avem :
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ถ๐จ = ๐๐๐ + ๐๐๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ถ๐ฉ = ๐๐๐ + ๐๐๐ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ถ๐ด = ๐๐ + ๐๐
atunci din egalitatea ๏ฟฝ๏ฟฝ =๏ฟฝ๏ฟฝ โ๐๏ฟฝ๏ฟฝ
๐โ๐ determinam :
๐ =๐๐โ๐๐๐
๐โ๐ si ๐ =
๐๐โ๐๐๐
๐โ๐
- avem aceleasi observatii asupra lui ๐ si cand : ๐ > 0 , ๐ < 0 .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 18
VECTORI
VECTORI
Definitie mmoodduulluull vveeccttoorruulluuii :
- modulul vectorului ๐ถ๐ด = ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐ + ๐๐ este : |๏ฟฝ๏ฟฝ | = โ๐๐ + ๐๐ .
Definitie ccoooorrddoonnaatteellee ssuummeeii aa ddooii vveeccttoorrii :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ sau ๏ฟฝ๏ฟฝ (๐๐, ๐๐) si ๏ฟฝ๏ฟฝ (๐๐, ๐๐)
- avem :
๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ = (๐๐ + ๐๐)๐ + (๐๐ + ๐๐)๐ sau (๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ )(๐๐ + ๐๐ , ๐๐ + ๐๐)
Definitie ccoooorrddoonnaatteellee pprroodduussuulluuii uunnuuii vveeccttoorr ccuu uunn nnrr.. rreeaall :
- fie vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐ + ๐๐ si numarul real ๐ถ ;
- avem :
๐ถ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ถ๐๐ + ๐ถ๐๐ sau ๐ถ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = (๐ถ๐ , ๐ถ๐)
Definitie ccoooorrddoonnaatteellee pprroodduussuulluuii aa ddooii vveeccttoorrii :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ sau ๏ฟฝ๏ฟฝ (๐๐, ๐๐) si ๏ฟฝ๏ฟฝ (๐๐, ๐๐)
- avem :
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = (๐๐๐ + ๐๐๐ ) โ (๐๐๐ + ๐๐๐ ) = ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ - Observatii :
๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ = ๐ iar ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ = ๐
Definitie ccoossiinnuussuull uunngghhiiuulluuii ddiinnttrree ddooii vveeccttoorrii :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ , iar ๐ถ unghiul dintre vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ
- atunci cosinusul unghiului ๐ถ este :
๐๐จ๐ฌ๐ถ =๏ฟฝ๏ฟฝ โ๏ฟฝ๏ฟฝ
|๏ฟฝ๏ฟฝ |โ|๏ฟฝ๏ฟฝ |=
๐๐โ๐๐+๐๐โ๐๐
โ๐๐๐+๐๐
๐โโ๐๐๐+๐๐
๐
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 19
VECTORI
VECTORI
Conditia ddee ppaarraalleelliissmm aa ddooii vveeccttoorrii :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ ;
- vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ sunt paraleli si scriem :
๏ฟฝ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ โบ ๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐ , pentru ๐๐ โ ๐ , ๐๐ โ ๐
- Important : in cazul in care un numitor se anuleaza , atunci se anuleaza si numaratorul !!!
Conditia ddee ppeerrppeennddiiccuullaarriittaattee aa ddooii vveeccttoorrii :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ ;
- vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ sunt perpendiculari si scriem :
๏ฟฝ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ โบ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ = ๐ sau ๐๐จ๐ฌ๐ถ = ๐ unde ๐ถ =๐
๐
Conditia ddee ccoolliinniiaarriittaattee aa ttrreeii ppuunnccttee :
- trei puncte distincte ๐จ(๐๐, ๐๐) , ๐ฉ(๐๐, ๐๐) si ๐ช(๐๐, ๐๐) sunt coliniare daca :
๐๐โ๐๐
๐๐โ๐๐=
๐๐โ๐๐
๐๐โ๐๐ cu conditia ๐๐ โ ๐๐ , ๐๐ โ ๐๐
sau
- conditia de coliniaritate a trei puncte ๐จ(๐๐, ๐๐) , ๐ฉ(๐๐, ๐๐) si ๐ช(๐๐, ๐๐) este sa existe un
numar real ๐ โ โ astfel incat :
๐จ๐ฉ = ๐ โ ๐จ๐ช โบ ๐๐โ๐๐
๐๐โ๐๐=
๐๐โ๐๐
๐๐โ๐๐ , ๐๐ โ ๐๐ , ๐๐ โ ๐๐
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 20
VECTORI
VECTORI
Definitie rreeppeerr ccaarrtteezziiaann iinn ssppaattiiuu :
- se numeste reper cartezian in spatiu un sistem format din trei axe ๐ถ๐ , ๐ถ๐ , ๐ถ๐ cu
aceeasi origine ๐ถ si el se noteaza ๐๐ถ๐๐ .
- daca axele ๐ถ๐ , ๐ถ๐ , ๐ถ๐ sunt perpendiculare doua cate doua , atunci avem un :
reper ortogonal sau un sitem de axe ortogonale ale spatiului
unde ๐ถ๐ ( abscisa ) , ๐ถ๐ ( ordonata ) iar ๐ถ๐ ( cota ) .
Definitie rreeppeerr oorrttoonnoorrmmaatt iinn ssppaattiiuu :
- fie versorii ๐ , ๐ si ๏ฟฝ๏ฟฝ , | ๐ | = | ๐ | = | ๐ | = ๐ , unde ๐ โ ๐ถ๐ , ๐ โ ๐ถ๐ iar ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ถ๐ ,
cu proprietatea ๐ โฅ ๐ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ atunci reperul (๐ถ , ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ , ๐ ) se numeste reper ortonormat in spatiu .
Definitie vveeccttoorr iinn rreeppeerr oorrttoonnoorrmmaatt iinn ssppaattiiuu :
- fiecarui punct ๐ด din spatiu i se asociaza vectorul de pozitie ๐ถ๐ด , vector legat de ๐ถ , care
se descompune dupa directiile ๐ , ๐ si ๏ฟฝ๏ฟฝ in :
๐ถ๐ด = ๐๐ + ๐๐ + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ
- ๐ , ๐ si ๐ reprezinta coordonatele vectorului ๐ถ๐ด in reperul ( ๐ , ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ) , ele fiind
coordonatele carteziene in spatiu ale punctului ๐ด , numite abscisa , ordonata si respectiv cota ;
- vom scrie : ๐ถ๐ด = ( ๐ , ๐ , ๐) ;
- vectorii ๐๐ , ๐๐ , ๐๏ฟฝ๏ฟฝ sunt componentele vectorului ๐ถ๐ด dupa cele trei axe ๐ถ๐ , ๐ถ๐ , ๐ถ๐
x
z
y
O
M
ij
k
Definitie mmoodduulluull vveeccttoorruulluuii :
- modulul vectorului ๐ถ๐ด = ๐๐ + ๐๐ + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ este : |๐ถ๐ด | = โ๐๐ + ๐๐ + ๐๐
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 21
VECTORI
VECTORI
Definitie ccoooorrddoonnaatteellee vveeccttoorruulluuii ddeetteerrmmiinnaatt ddee ddoouuaa ppuunnccttee :
- fie ๐ด๐(๐๐, ๐๐, ๐๐) si ๐ด๐(๐๐, ๐๐, ๐๐) doua puncte din spatiu atunci avem vectorul :
๐ด๐๐ด๐ = (๐๐ โ ๐๐)๐ + (๐๐ โ ๐๐)๐ + (๐๐ โ ๐๐)๏ฟฝ๏ฟฝ
- coordonatele vectorului ๐ด๐๐ด๐ in baza ( ๐ , ๐ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ) sunt (๐๐ โ ๐๐ , ๐๐ โ ๐๐ , ๐๐ โ ๐๐)
Definitie mmoodduulluull vveeccttoorruulluuii ddeetteerrmmiinnaatt ddee ddoouuaa ppuunnccttee :
- fie ๐ด๐(๐๐, ๐๐, ๐๐) si ๐ด๐(๐๐, ๐๐, ๐๐) doua puncte din spatiu ;
- modulul vectorului ๐ด๐๐ด๐ este : |๐ด๐๐ด๐
| = โ(๐๐ โ ๐๐)๐ + (๐๐ โ ๐๐)
๐ + (๐๐ โ ๐๐)๐
- modulul vectorului ๐ด๐๐ด๐ este egal cu lungimea diagonalei paralelipipedului dreptunghic .
Definitie ssuummaa aa ddooii vveeccttoorrii ddaattii pprriinn ccoooorrddoonnaattee :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ
- avem , ca si in plan , vectorul suma : (๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ )(๐๐ + ๐๐ , ๐๐ + ๐๐ , ๐๐ + ๐๐) sau :
๏ฟฝ๏ฟฝ + ๏ฟฝ๏ฟฝ = (๐๐ + ๐๐)๐ + (๐๐ + ๐๐)๐ + (๐๐ + ๐๐)๏ฟฝ๏ฟฝ
Definitie pprroodduussuull uunnuuii vveeccttoorr ccuu uunn nnrr.. rreeaall ddaatt pprriinn ccoooorrddoonnaattee :
- fie vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ si numarul real ๐ถ ;
- avem :
๐ถ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ถ๐๐๐ + ๐ถ๐๐๐ + ๐ถ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ sau ๐ถ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = (๐ถ๐๐ , ๐ถ๐๐ , ๐ถ๐๐) , โ ๐ถ โ โ
Definitie pprroodduussuull ssccaallaarr aa ddooii vveeccttoorrii ddaattii pprriinn ccoooorrddoonnaattee :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ
- avem :
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = (๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ ) โ (๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ ) = ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐
- Observatii :
๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ = ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ iar ๐ โ ๐ = ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๐ = ๐
Definitie ccoossiinnuussuull uunngghhiiuulluuii ddiinnttrree ddooii vveeccttoorrii iinn ssppaattiiuu :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ , iar ๐ถ unghiul dintre vectorii
๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ ;
- atunci cosinusul unghiului ๐ถ este : ๐๐จ๐ฌ๐ถ =๏ฟฝ๏ฟฝ โ๏ฟฝ๏ฟฝ
|๏ฟฝ๏ฟฝ |โ|๏ฟฝ๏ฟฝ |=
๐๐โ๐๐+๐๐โ๐๐+๐๐โ๐๐
โ๐๐๐+๐๐
๐+๐๐๐โโ๐๐
๐+๐๐๐+๐๐
๐
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 22
VECTORI
VECTORI
Conditia ddee ppaarraalleelliissmm aa ddooii vveeccttoorrii iinn ssppaattiiuu :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ ;
- vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ sunt paraleli si scriem :
๏ฟฝ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ โบ ๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐ , pentru ๐๐, ๐๐, ๐๐ โ ๐
- Important : in cazul in care un numitor se anuleaza , atunci se anuleaza si numaratorul !!!
Conditia ddee ppeerrppeennddiiccuullaarriittaattee aa ddooii vveeccttoorrii iinn ssppaattiiuu :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ ;
- vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ sunt perpendiculari si scriem :
๏ฟฝ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ๏ฟฝ โบ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ = ๐ sau ๐๐จ๐ฌ๐ถ = ๐ unde ๐ถ =๐
๐
Conditia ddee ccoolliinniiaarriittaattee aa ttrreeii ppuunnccttee iinn ssppaattiiuu :
- trei puncte distincte ๐จ(๐๐, ๐๐, ๐๐) , ๐ฉ(๐๐, ๐๐, ๐๐) si ๐ช(๐๐, ๐๐, ๐๐) sunt coliniare daca :
๐๐โ๐๐
๐๐โ๐๐=
๐๐โ๐๐
๐๐โ๐๐=
๐๐โ๐๐
๐๐โ๐๐ cu conditia ๐๐ โ ๐๐ , ๐๐ โ ๐๐ , ๐๐ โ ๐๐
Definitie ccoooorrdd.. uunnuuii ppuunncctt ccaarree iimmppaarrttee uunn sseeggmmeenntt iinnttrr--uunn rraappoorrtt :
- coordonatele unui punct ๐ด(๐, ๐, ๐) care imparte un segment ๐จ๐ฉ intr-un raport ๐ , adica
๐ด๐จ = ๐ โ ๐ด๐ฉ sunt :
๐ =๐๐โ๐๐๐
๐โ๐ , ๐ =
๐๐โ๐๐๐
๐โ๐ , ๐ =
๐๐โ๐๐๐
๐โ๐
Definitie eexxpprreessiiaa vveerrssoorruulluuii uunneeii ddiirreeccttiiii ooaarreeccaarree :
- fie ๏ฟฝ๏ฟฝ un vector care face cu axele ๐ถ๐, ๐ถ๐,๐ถ๐ unghiurile de masuri ๐ถ , ๐ท respectiv ๐ธ ;
- cum ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐ + ๐๐ + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ si ๐ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | ๐๐จ๐ฌ๐ถ , ๐ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | ๐๐จ๐ฌ๐ท , ๐ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | ๐๐จ๐ฌ ๐ธ
se obtine expresia versorului unei directii oarecare ๏ฟฝ๏ฟฝ notata ๐๐ astfel :
๐๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ถ + ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ท + ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐จ๐ฌ๐ธ
- din relatiile anterioare ๐ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | ๐๐จ๐ฌ๐ถ , ๐ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | ๐๐จ๐ฌ๐ท , ๐ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | ๐๐จ๐ฌ ๐ธ obtinem :
๐๐จ๐ฌ๐ถ =๐
โ๐๐+๐๐+๐๐ , ๐๐จ๐ฌ๐ท =
๐
โ๐๐+๐๐+๐๐ , ๐๐จ๐ฌ๐ธ =
๐
โ๐๐+๐๐+๐๐
care se mai numesc cosinusurile directoare ale directiei ๐๐ .
- coordonatele versorului ๐๐ sunt tripletele (๐๐จ๐ฌ๐ถ , ๐๐จ๐ฌ๐ท , ๐๐จ๐ฌ ๐ธ) .
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 23
VECTORI
VECTORI
Definitie uunngghhiiuull aa ddoouuaa ddiirreeccttiiii iinn ssppaattiiuu :
In cele ce urmeaza vom determina unghiul a doua directii in spatiu exprimat cu ajutorul
unghiurilor pe care acestea le fac cu axele de coordonate :
- fie vectorii ๏ฟฝ๏ฟฝ si ๏ฟฝ๏ฟฝ cu cei doi versori ai directiei lor :
๐๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ถ๐ + ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ท๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐จ๐ฌ๐ธ๐ si ๐๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ถ๐ + ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ท๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐จ๐ฌ๐ธ๐
- produsul scalar al lor ne conduce la :
๐๐ โ ๐๐ = ๐๐จ๐ฌ๐ฝ , unde ๐ฝ = ๐( ๐๐ , ๐๐ ) Prin urmare :
๐๐จ๐ฌ ๐ฝ = ๐๐จ๐ฌ๐ถ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ถ๐ + ๐๐จ๐ฌ๐ท๐ ๐๐จ๐ฌ๐ท๐ + ๐๐จ๐ฌ๐ธ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ธ๐
- in cazul particular cand directiile coincid rezulta relatia :
๐๐๐๐๐ถ + ๐๐๐๐๐ท + ๐๐๐๐๐ธ = ๐
Definitie pprrooiieeccttiiaa uunnuuii vveeccttoorr ppee oo ddrreeaappttaa (( dd )) :
- fie vectorul ๏ฟฝ๏ฟฝ (๐, ๐, ๐) care formeaza unghiurile de masuri ๐ถ , ๐ท , ๐ธ cu directia (๐ ) ;
- daca ๏ฟฝ๏ฟฝ este versorul dreptei ๐ avem : ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ถ + ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ท + ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐จ๐ฌ๐ธ ;
- numim proiectia vectorului ๏ฟฝ๏ฟฝ pe dreapta ๐ produsul :
๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = |๏ฟฝ๏ฟฝ | โ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ(๏ฟฝ๏ฟฝ , ๏ฟฝ๏ฟฝ ) = ๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ adica :
๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ถ + ๐๐๐จ๐ฌ๐ท + ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ธ
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 24
VECTORI
VECTORI
Definitie ttrraannssllaattiiaa :
- translatia este o transformare geometrica prin cate toate punctele unei figuri se deplaseaza
dupa acelasi vector .
Definitie ttrraannssllaattiiee ddee vveeccttoorr :
- fie un vector nenul ๏ฟฝ๏ฟฝ (๐, ๐) si un plan ๐ ; - se numeste translatie de vector ๏ฟฝ๏ฟฝ o functie ๐ป โถ ๐ โ ๐ prin care fiecarui punct ๐ด โ ๐ i se
asociaza un punct ๐ดโฒ โ ๐ astfel incat ๐ด๐ดโฒ = ๏ฟฝ๏ฟฝ .
x
y
O
vv
M
M'
Proprietati aallee ttrraannssllaattiieeii ddee vveeccttoorr :
Proprietatea 1 : ๐ป(๐ด) = ๐ดโฒ , unde ๐ดโฒ este imaginea sau translatul punctului ๐ด in
planul ๐ .
Proprietatea 2 : Translatia pastreaza lungimea , directia , sensul , segmentelor orientate ,
masura unghiurilor si aria suprafetelor .
Proprietatea 3 : Translatia conserva distantele dintre punctele planului ( este o izometrie ) si
transforma o dreapta data in una paralela cu aceasta , distincta de ea sau nu .
- in planul ๐ , se numeste izometrie o aplicatie ๐ฐ: ๐ โ ๐ , care are proprietatea :
๐ (๐ฐ(๐จ), ๐ฐ(๐ฉ)) = ๐ (๐จ,๐ฉ) , โ ๐จ, ๐ฉ โ ๐
Proprietatea 4 : Translatia conserva coliniaritatea punctelor planului si unghiurile .
Proprietatea 5 : Translatia transforma un poligon intr-un alt poligon egal cu primul si un
cerc dat intr-un cerc egal cu cel dat .
Proprietatea 6 : Daca ๐ดโฒ(๐โฒ, ๐โฒ) este imaginea lui ๐ด(๐, ๐) prin translatia ๐ป , atunci
avem :
๐โฒ = ๐ + ๐ , ๐โฒ = ๐ + ๐
Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 25
VECTORI
VECTORI
Definitie oommootteettiiaa :
- Omotetia este o transformare geometrica prin care se mareste / micsoreaza dimensiunile unei
figuri geometrice de acelasi numar de ori .
Definitie oommootteettiiee ddee cceennttrruu OO ssii rraappoorrtt kk :
- fie O un punct din plan si ๐ un numar real nenul ;
- se numeste omotetie de centru ๐ถ si raport ๐ o functie ๐ฏ โถ ๐ โ ๐ care asociaza
fiecarui punct ๐ด punctul ๐ดโฒ astfel incat :
๐ถ๐ดโฒ = ๐ โ ๐ถ๐ด
Proprietati aallee oommootteettiieeii :
Proprietatea 1 : ๐ฏ(๐ด) = ๐ดโฒ , unde ๐ดโฒ este imaginea lui ๐ด prin functia ๐ฏ .
Proprietatea 2 : O omotetie este definita daca se dau punctul ๐ถ impreuna cu un punct ๐ด si cu imaginea sa ๐ดโฒ .
Proprietatea 3 : Omotetia pastreaza directia si masura unghiurilor .
Proprietatea 4 : Prin omotetie lungimile cresc sau descresc de acelasi numar de ori .
Proprietatea 5 : Omotetia nu pastreaza distantele dintre puncte . Ea le amplifica cu raportul
omotetiei in modul , |๐| .
Proprietatea 6 : Omotetia invariaza dreptele ce trec prin pol .
Proprietatea 7 : Omotetia transforma o dreapta data intr-o dreapta paralela cu cea data , un
poligon dat intr-un poligon asemenea cu cel dat si cercurile in cercuri .
Proprietatea 8 : Daca ๐ดโฒ(๐โฒ, ๐โฒ) este imaginea lui ๐ด(๐, ๐) prin omotetia ๐ฏ๐ถ๐ , atunci
avem :
๐โฒ = ๐ โ ๐ , ๐โฒ = ๐ โ ๐
- ecuatiile omotetiei in spatiu sunt :
๐โฒ = ๐ โ ๐ , ๐โฒ = ๐ โ ๐ , ๐โฒ = ๐ โ ๐