l1 expresii fundamentale vectori si matrici.pdf

Facultatea de Constructii Informatica Aplicata An univ. 2013-2014 Semestrul I

1/20

LABORATOR 1

INTRODUCERE N QTOCTAVE Generalitati GNU Octave este un limbaj de nivel inalt utilizat pentru calcule numerice;

este considerat o clona gratuita si redusa dpdv al capabilitatilor a lui MATLAB;

sistemul poate fi folosit in mod interactiv sau pentru rularea unor fisiere de comenzi;

limbajul este portat pe o multitudine de sisteme de operare;

este utilizat la ora actuala atat in industrie cat si in mediu academic;

limbajul este interpretat si poate fi extins prin adaugarea de module;

codul Octave poate fi apelat din C++ si invers;

are suport intrinsec pentru numere complexe si lucru cu matrice;

are o colectie bogata de functii matematice;

Octave este de cele mai multe ori exemplificat in linie de comanda, dar exista si interfete

grafice de lucru cu acesta.

Instalarea Octave In cele ce urmeaza se presupune ca instalarea se face pe un sistem de operare de tip Windows. Kitul de instalare se descarca de la http://octave.sourceforge.net/, varianta Windows installer. La ora scrierii acestui document, varianta disponibila este octave-3.6.4-vs2010-setup.exe. Se creaza un director, de exemplu C:\Octave\Octave3.6.4 in care se dezarhiveaza continutul fisierului descarcat anterior. Se poate lansa executabilul octave.exe cu calea completa:

c:\octave\Octave3.6.4\bin\octave.exe Interpretorul este incarcat intro fereastra de tip linie de comanda. La prompt se pot scrie comenzi, de exemplu: 1+1 sau cos(pi): Iesirea se face cu comanda quit sau exit.

Infor

matic

a apli

cata


2/20

Instalarea mediului grafic de lucru QtOctave Desi se poate lucra din linia de comanda, e poate mai comod sa se foloseasca un mediu grafic de lucru. Acesta poate fi QtOctave, program gratuit disponibil aici. Se va descarca arhiva zip si se va dezarhiva intr-un fisier, de exemplu C:\QtOctave. Lansarea in executie a programului QtOctave Pentru a lansa in executie programul QtOctave, se va apela fisierul

C:\QtOctave\bin\qtoctave.exe

La pornirea pentru prima oara a programului QtOctave in fereastra va aparea o eroare

din cauza ca mediul nu stie unde se afla instalat Octave. Pentru corectare se va proceda astfel: din meniul Config -> General Configuration se alege Octave

si in casuta de Octave Path se introduce calea completa catre directorul unde se afla fisierul octave.exe, asa cum a fost precizat mai sus:

c:\octave\Octave3.6.4\bin\ Dupa repornirea lui QtOctave se poate lucra.

Infor

matic

a apli

cata


3/20

Ferestrele de lucru Programul QtOCTAVE lucreaz cu cinci tipuri de ferestre: o fereastra pentru afisarea variabilelor locale si a functiilor disponibile, o fereastra tip navigator, o fereastra tip editor, o fereastra de comenzi (terminal) si o fereastra pentru afisarea comenzilor lansate in terminal, si a rezultatelor acestora. Ferestrele pot fi inchise sau deschise din meniul View.

Fig.1 - Interfata implicita QtOCTAVE

Fiecare comand din meniul principal furnizeaz un meniu specific, selecia comenzii dorite fcndu-se prin deplasarea zonei active cu ajutorul sgeilor sau prin selecia direct cu ajutorul mouse-lui. Aceste submeniuri sunt prezentate n Fig.2.

Infor

matic

a apli

cata


4/20

Fig. 2. - Submeniurile programului OtOCTAVE

Expresii fundamentale

OCTAVE lucreaz cu expresii matematice ca i celelalte limbaje de programare, dar spre deosebire de majoritatea acestor limbaje, aceste expresii implic la scar larg lucrul cu matrici. Expresiile sunt alctuite cu ajutorul urmtoarelor tipuri:

Infor

matic

a apli

cata


5/20

Variabile Constante numerice Operatori Funcii

Variabile OCTAVE nu necesit declararea dimensiunii variabilelor, deoarece la ntlnirea unui nou

nume de variabil genereaz automat variabila respectiv i aloc spaiul necesar de memorie.

Numele unei variabile este o liter, urmat de un numr orict de mare de litere, cifre sau simboluri. Din acest numr orict de mare sunt oprite primele 31 de caractere.

OCTAVE este case sensitive - face distincie ntre literele mici i cele mari. Ex: A si a reprezinta doua variabile distincte Exemplu:

a = 30 creeaz o matrice 1 x 1 cu numele a i stocheaz valoarea acesteia 30 ntr-o singur locaie corespunztoare singurului element al matricei. Constante numerice

OCTAVE utilizeaz notaia zecimal, cu punct zecimal opional i cu semn + sau -. Se utilizeaz i notaia tiinific cu litera e pentru a specifica o putere a lui 10. Reprezentarea numerelor imaginare este realizat cu litera i sau j ca sufix.

Exemple: 3 -99 0.0001 9.6397238 1.60210e-20 6.02252e23 -3.14159j 3e5i Constante speciale:

pi 3.14159265

i unitate imaginar

j la fel ca i

eps precizia relativ n virgul mobil, 2-52

realmin cel mai mic numr n virgul mobil, 2-1022

realmax cel mai mare numr n virgul mobil, 21023

Inf infinit

NaN nu este numr (Not-a-Number)

Numele constantelor speciale nu sunt rezervate i deci este posibil suprascrierea lor.

Exemplu:

Infor

matic

a apli

cata


6/20

>> eps = 1.e-6 Funcia original este reconstituit prin comanda: clear eps

Operatori

Expresiile utilizeaz operatori aritmetici uzuali:

+ Adunare

- Scdere

* Multiplicare

/ mprire

\ mprire la stnga

^ Ridicarea la o putere

' Transpusa complex conjugat

( ) Operatorul de specificare a ordinii de evaluare

Funcii

OCTAVE furnizeaz un mare numr de funcii matematice elementare standard (abs, sqrt, exp, sin ).

Exist i funcii matematice avansate O parte din funcii (cum ar fi sqrt, sin) sunt de tip built-in, adic sunt o parte a

nucleului OCTAVE, au o mare eficien, dar detaliile constructive nu sunt accesibile utilizatorului.

Alte funcii sunt implementate ca fiiere OCTAVE (M-files) i pot fi chiar modificate. Cele mai utilizate funcii:

funcii trigonometrice sin sinus asin arcsinus cos cosinus acos arccosinus tan tangent atan arctangent cot cotangent acot arccotangent sec secant asec arcsecant csc cosecant acsc arccosecant

Infor

matic

a apli

cata


7/20

funcii putere exp funcia exponenial log logaritm natural log2 logaritm n baza 2 log10 logaritm n baza 10 sqrt funcia radical;

alte funcii

abs valoarea absolut, modul min minimum max maximum

Exemplu: Pentru a calcula expresia

17.05.1)7ln(53

cos4

sin

+

+

Se va scrie comanda:

>> (sin(pi/4)+cos(pi/3))/(sqrt(5+log(7))-1.5^0.17)

ans =

0.7717

>>

Observatii:

1. ans este numele unei variabile careia i se asigneaza rezultatul evaluarii expresiei, daca ceea ce s-a introdus nu este o atribuire.

2. Daca se scrie o expresie (fie ea si de atribuire) si nu se finalizeaza randul cu caracterul ; atunci rezultatul evaluarii acelei expresii este scris in mediul de rulare. Pentru a se inhiba afisarea rezultatului se pune la sfarsit ;

3. Pentru tergerea tuturor variabilelor curente din memoria de lucru se poate utiliza comanda clear.

Infor

matic

a apli

cata


8/20

Vectori si matrice

>> A = [1 2; 3 4; 5 6]

A =

1 2

3 4

5 6

In secventa de mai sus s-a definit o matrice cu 3 linii si 2 coloane; trecerea de la o linie la alta se face cu punct si virgula. Accesarea unui element al matricei se face cu formatul matrice(linie, coloana), cu indicele de linie si de coloana pornind de la 1:

>> A(1, 2)

ans = 2

Pentru definirea unui vector linie se foloseste:

>> v = [1 2 3]

iar pentru un vector coloana: >> u = [1; 2; 3]

u =

1

2

3

v si u sunt in mod evident matrice de 1x3 si respectiv 3x1: >> size(v)

ans =

1 3

>> size(u)

ans =

3 1

Pentru scrierea unei progresii aritmetice incepand de la vi, cu pasul pas si cu termeni nu mai mari decat vf se foloseste expresia

vi:pas:vf: >> [1:0.5:5]

ans =

Columns 1 through 9:

1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000

>> size([1:0.5:5])

ans =

1 9

>> [0:0.3:1]

ans =

0.00000 0.30000 0.60000 0.90000

Numerele ntregi de la 10 la 100 din 5 n 5:

Infor

matic

a apli

cata


9/20

>> 10:5:100

ans =

Columns 1 through 14

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Columns 15 through 19

80 85 90 95 100

Numerele de la 1 la 0 din 0.2 n 0.2: >> 1:-0.2:0

ans =

1.0000 0.8000 0.6000 0.4000 0.2000 0

Dupa cum se observa, rezultatul este un vector linie. Daca pasul lipseste, se presupune a fi implicit 1: >> v = 1:6

v =

1 2 3 4 5 6

Pentru generarea unor matrice particulare avem functiile: ones(nrLnii, nrColoane) zeros(nrLnii, nrColoane) eye(nrLnii, nrColoane)

>> ones(2, 3)

ans =

1 1 1

1 1 1

>> zeros(2, 3)

ans =

0 0 0

0 0 0

>> v = 2 * ones(2, 3)

v =

2 2 2

2 2 2

Matricea unitate se obtine cu functia eye: >> I = eye(4)

I =

Diagonal Matrix

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Obtinerea unei matrice cu valori aleatoare, uniform distribuite intre 0 si 1 se face cu: >> w = rand(1,3)

w =

Infor

matic

a apli

cata


10/20

0.23989 0.18998 0.47958

iar pentru a obtine numere dintr-o distributie normala, centrata in 0 si cu dispersia 1 se foloseste: >> w = randn(1,3)

w =

-1.60819 -1.30364 -0.41856

Evident, functiile se pot folosi si pentru generarea de matrice: >> rand(3, 3)

ans =

0.72054 0.84622 0.20286

0.16965 0.15998 0.73834

0.56582 0.47004 0.67899

>> randn(3, 3)

ans =

0.14664 -1.41418 -0.57935

-0.39136 -1.15935 0.85834

-1.00617 -0.12719 -0.80026

Se pot combina expresii; unele functii (radical, logaritm) care functioneaza pe scalari pot fi de asemenea folosite si pentru vectori sau matrice: >> x = 1:10

x =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>> y = sqrt(x)

y =

Columns 1 through 10:

1.0000 1.4142 1.7321 2.0000 2.2361 2.4495 2.6458 2.8284 3.0000 3.1623

Determinarea dimensiunii unei matrice se face cu functia size: >> A = [1 2; 3 4; 5 6]

A =

1 2

3 4

5 6

11

>> size(A)

ans =

3 2

Rezultatul functiei size este o matrice de 1 linie si 2 coloane, date care se pot accesa individual: >> size(A, 1) %numarul de linii

ans = 3

>> size(A, 2) %numarul de coloane

ans = 3

Pentru vectori se poate inca folosi functia size, dar este disponibila si functia length:

Infor

matic

a apli

cata


11/20

>> v = 1:4

v =

1 2 3 4

>> length(v)

ans = 4

>> length([1; 2; 3; 4; 5])

ans = 5

Referirea elementelor dintr-o matrice se poate face pe baza indicilor; indicii incep de la 1. Putem sa referim elemente individuale cu forma

numeMatrice(linie, coloana) sau portiuni intregi din ea: >> A(3,2) % elemental de pe linia a 3-a si coloana a 2-a

ans = 6

>> A(2,:) % toate elementele de pe linia a 2-a

ans =

3 4

":" inseamna toate elemente de pe acea linie/coloana

>> A(:,2) % toate elementele de pe coloana a 2-a

ans =

2

4

6

>> A([1 3],:) % toate elementele de pe liniile 1 si 3

ans =

1 2

5 6

Exemple: >> A=[1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1]

A =

1 2 0

2 5 -1

4 10 -1

o Elementele de pe linia 1, ncepnd cu a doua coloan: >> A(1,2:end)

ans =

2 0

o Elementele aflate n poziii impare de pe linia 2: >> A(2,1:2:end)

ans =

2 -1

o Elementele aflate n poziii pare de pe coloana 1:

>> A(2:2:end,1)

Infor

matic

a apli

cata


12/20

ans =

2

o Elementele pozitive:

>> A(A>0)

ans =

1

2

4

2

5

10

o Toate elementele:

>> A(:)

ans =

1

2

4

2

5

10

0

-1

-1

Datele din matrice pot fi si modificate folosind adresarea pe portiuni: >> A(:,2) = [10; 11; 12] % modifica a 2-a coloana

A =

16

1 10

3 11

5 12

La o matrice se pot adauga linii si coloane: >>A = [A, [100; 101; 102]]; % adauga o coloana

sau se pot concatena chiar doua matrice cu conditia ca operatia sa aiba sens: >>B = [11 12; 13 14; 15 16] % aceeasi dimensiune cu A

>>[A B]

>>[A; B]

Obs. Concatenarea: Pentru concatenarea pe orizontal a matricelor A cu B se scrie [A,B] matricele A i B

trebuind s aib acelai numr de linii. Pentru concatenarea pe vertical se scrie [A;B] de data aceasta matricele A i B

trebuind s aib acelai numr de coloane.

Infor

matic

a apli

cata


13/20

Efectuarea de calcule >> A=[1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1]

A =

1 2 0

2 5 -1

4 10 -1

Calculul transpusei matricei A:

>> B = A

B =

1 2 4

2 5 10

0 -1 -1

Adunarea matricelor: >> C=A+B

C =

2 4 4

4 10 9

4 9 -2

Adunarea cu matricea identitate:

>> D=A+eye(3)

D =

2 2 0

2 6 -1

4 10 0

nmulirea matricelor:

>> E=A*B

E =

5 12 24

12 30 59

24 59 117

Dup cum se tie, nmulirea matricelor nu este comutativ:

>> F=B*A

F =

21 52 -6

52 129 -15

-6 -15 2

Infor

matic

a apli

cata


14/20

nmulirea elementelor corespunztoare a 2 matrice: >> G=A.*B

G =

1 4 0

4 25 -10

0 -10 1

Obs. S-a utilizat o aa-numit operaie punctuala (produs Hadamard), cu conditia

ca matricele sa aiba aceleasi dimensiuni:

Ridicarea la o putere a unei matrice:

>> A^2

ans =

5 12 -2

8 19 -4

20 48 -9

Ridicarea la o putere a elementelor matricei: >> A.^2

ans =

1 4 0

4 25 1

16 100 1

Numrul elementelor matricei: >> numel(A)

ans =

9

Elementul maxim de pe fiecare coloan a unei matrice:

>> max(A)

ans =

4 10 0

Elementul minim de pe fiecare coloan a unei matrice:

>> min(A)

ans =

1 2 -1

Suma elementelor de pe fiecare coloan: >> sum(A)

ans =

7 17 -2

Infor

matic

a apli

cata


15/20

Produsul elementelor de pe fiecare coloan: >> prod(A)

ans =

8 100 0

Elementele de pe diagonala principal: >> diag(A)

ans =

1

5

-1

Produsul scalar a doi vectori >>a = [1 2 3]

a =

1 2 3

>>b = [1;2;3]

b =

1

2

3

>>prod_scalar = a*b

prod_scalar =

14

Produsul tensor a doi vectori

>>a = a

a =

1

2

3

>>b = [1;2;3]

b =

1

2

3

>>prod_tensor = a*b

prod_tensor =

14

Produsul vectorial a doi vectori un vector perpendicular pe planul format de cei doi vectori

Infor

matic

a apli

cata


16/20

>> b = [-2 1 2];

>>cp = cross(a,b)

cp =

1 -8 5

Norma euclidiana a unui vector se calculeaza prin functia norm. >>a = -2:2

a =

-2 -1 0 1 2

>>ne = norm(a)

ne =

3.1623

Pentru un vector sau o matrice, o expresie logica va produce un vector sau matrice de acelasi fel cu cea initiala in care avem valoarea 1 (adevarat) acolo unde expresia este adevarata si 0 (fals) in rest: >> a = [1 15 2 0.5]

a =

1.00000 15.00000 2.00000 0.50000

>> a < 3

ans =

1 0 1 1

Pentru a determina care sunt indicii pentru care o expresie este adevarata se poate folosi functia find: >> find(a < 3)

ans =

1 3 4

Pentru cazul in care se aplica functia find pe o matrice: >> A = magic(3)

A =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

>> [r,c] = find(A>=7)

Infor

matic

a apli

cata


17/20

r =

1

3

2

c =

1

2

3

Functie Descriere Floor Rotunjeste la cel mai mic intreg Ceil Rotunjeste la cel mai mare intreg Fix Rotunjeste la 0 Round Rotunjeste la cel mai apropiat intreg >>T = randn(5)

T =

1.1650 1.6961 -1.4462 -0.3600 -0.0449

0.6268 0.0591 -0.7012 -0.1356 -0.7989

0.0751 1.7971 1.2460 -1.3493 -0.7652

0.3516 0.2641 -0.6390 -1.2704 0.8617

-0.6965 0.8717 0.5774 0.9846 -0.0562

>>A = floor(T)

A =

1 1 -2 -1 -1

0 0 -1 -1 -1

0 1 1 -2 -1

0 0 -1 -2 0

-1 0 0 0 -1

>>B = ceil(T)

B =

2 2 -1 0 0

1 1 0 0 0

1 2 2 -1 0

1 1 0 -1 1

0 1 1 1 0

>>C = fix(T)

C =

1 1 -1 0 0

0 0 0 0 0

0 1 1 -1 0

0 0 0 -1 0

0 0 0 0 0

>>D = round(T)

D =

Infor

matic

a apli

cata


18/20

1 2 -1 0 0

1 0 -1 0 -1

0 2 1 -1 -1

0 0 -1 -1 1

-1 1 1 1 0

Exerciii:

1. S se calculeze:

2

51+=

( )3

2

=

3cos10 22

=

3

3

3

31

3

+

=

2. Pentru x=0.5 i t= 2 s se calculeze expresiile:

( ) ( )23 1ln1 ttx +++ =

( )txe tx cos1 +++ =

tx

etx

arctgtx

++

+2cos

=

3. S se defineasc vectorii i matricele de mai jos:

( )3,2,1=v

( )6,5,4=w

=

1

0

1

u

Infor

matic

a apli

cata


19/20

=

1

0

2

z

=

100

010

001

A

=

221

111

102

B

4. S se genereze vectorii avnd urmtoarele elemente:

v1: 2, 4, 6, 8,, 100 v2: 50, 48, 46,, -50

5. Prin concatenarea vectorilor i matricelor de la ex. 1, s se genereze vectorii i

matricele de mai jos:

( )654321=r

=

1

0

1

1

0

2

t

=

333221

333111

333102

500000

050000

005000

C

6. Cu vectorii i matricele de la ex. 1, 2, 3 s se calculeze:

=+

=

=

=

333 15 EDC

zBuA

tr

zv

Infor

matic

a apli

cata


20/20

7. Fie matricea

=

334524644332

343323234322

324543433432

A

a. S se calculeze elementele maxim si minim ale matricei A. b. Sa se calculeze elementul maxim de pe pozitiile pare de pe linia a doua a

matricei A. 8. Utiliznd matricele A i B s se genereze matricele:

=

221000

111000

102000

000100

000010

000001

G

=

221221

111111

102102

100100

010010

001001

H

9. S se genereze:

a) Vectorul elementelor impare ale lui r ; b) Vectorul elementelor pozitive ale lui H; c) Suma elementelor lui H; d) Matricea elementelor lui H aflate la intersecia liniilor 1, 2 i 3 cu coloanele 2, 4 i 6; e) vectorul ri n care elementele lui r sunt n ordine invers.

10. Utiliznd matricea B s se scrie comenzile necesare pentru a obine:

a) un vector format din elementele primei linii a lui B; b) o matrice format cu ultimele dou linii ale lui B; c) un vector ale crui elemente sunt sumele elementelor din coloanele lui B; d) un vector ale crui elemente sunt sumele elementelor din liniile lui B; e) o matrice format din elementele din colurile lui B.

Infor

matic

a apli

cata

l1 expresii fundamentale vectori si matrici.pdf

Documents