UNIVERSITATEA ”OVIDIUS” CONSTANTA

FACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICASCOALA DOCTORALA

TEZA DE DOCTORAT

REZUMAT

Conducator stiintific,

Prof. univ. dr. Dumitru Popa

Doctorand,

Maria-Gabriela Badea

CONSTANTA2010

PROPRIETATI DESUMABILITATE

ALE OPERATORILOR

MULTILINIARI SI CONTINUI

Multumiri

Ii multumesc domnului profesor Dumitru Popa pentru coordonarea si spri-jinul oferit pe durata realizarii acestui demers stiintific. Ii sunt profund re-cunoscatoare pentru sfaturile si ıncurajarile permanente care m-au ajutat, peparcursul acestor ani de pregatire, sa trec peste diferite obstacole inevitabile.

As vrea, de asemenea, sa le multumesc parintilor mei care m-au ınvatatprimii pasi ın matematica si care m-au sprijinit ın toate deciziile pe care le-amluat. Le multumesc totodata, fratelui meu si bunicilor mei, care mi-au fostalaturi tot timpul.

Mentionez ca atat rapoartele de cercetare, cat si prezentarea tezei ın Catedra,au fost sustinute ın cadrul Seminarului Stiintific al Catedrei de Matematica, Fac-ultatea de Matematica si Informatica, Universitatea Ovidius Constanta, motivpentru care as dori sa le multumesc profesorilor coordonatori ai acestui seminarpentru ca mi-au oferit acesta posibilitate.

i

Prefata

Primele repere ale teoriei operatorilor p-sumabili le gasim ın lucrarea lui A.Grothendieck, aparuta ın 1958. Ideile sale au fost preluate si prelucrate ın douaarticole, aparute la sfarsitul anilor 1960, care au pus bazele acestei teorii.

In primul articol [33], A. Pietsch defineste clasa operatorilor p-sumabili sidemonstreaza multe dintre proprietatile lor fundamentale, care atrag atentiamatematicienilor asupra acestui tip de operatori. Printre rezultatele principaledin acest articol, gasim teorema de factorizare a operatorilor p-absolut sumabili,dar si proprietati care-i leaga de alte clase de operatori, cum ar fi operatoriiHilbert-Schmidt si operatorii nucleari. (vezi si articolul [26]).

In cel de-al doilea articol [19], J. Lindenstrauss si A. Pelczynski reiau rezul-tatele lui Grothendieck si le prezinta ıntr-un alt mod, fara a folosi notiunea deprodus tensorial, adaungand si noi aplicatii ale acestor rezultate.

Intre timp, au aparut numeroase articole, dar si lucrari ample ın care sestudiaza acesti operatori, cum ar fi monografia [11] a lui J. Diestel, H. Jarchow,A. Tonge sau [9] a lui A. Defant si K. Floret, astfel ca aceasta teorie s-a dezvoltatfoarte mult.

In ultimul timp, a aparut ıntr-o maniera extrem de naturala, interesul matem-aticienilor de a extinde conceptul de operator liniar absolut sumabil la cazulmultiliniar. Aceasta directie a fost indicata mai ıntai de catre A. Pietsch ın lu-crarea sa [34] din 1980. Apoi, au aparut mai multe rezultate interesante, astfelca acest domeniu s-a dezvoltat foarte repede. Principala motivatie care a gen-erat aceasta dezvoltare a fost gasirea acelui concept care extinde cel mai bineproprietatile de sumabilitate de la cazul liniar la cel multiliniar. Astfel, s-audefinit mai multe concepte analoage conceptului liniar, cum ar fi p-absolut sum-abilitatea, p-dominarea, tare p-sumabilitatea, care au fost introduse si studiatede catre diferiti autori, printre care Pietsch, Alencar, Matos, Melendez, Tonge,Schneider, Botelho, Dimant.

Un alt concept care extinde cazul liniar este operatorul multiplu p-sumabil,care a fost definit de catre M. Matos ın [23], care l-a numit “fully absolutelysumming”, si independent de catre F. Bombal, D. Perez-Garcıa si I. Villanuevaın [4], care l-au numit ”multiple summing”, denumire care s-a ıncetatenit, desioriginile acestui tip de operator se gasesc ın lucrarea [45]. Recent, s-au demon-strat mai multe rezultate privind aceasta clasa de operatori care arata ca acestconcept se pare ca exinde cel mai bine cazul liniar, vezi [4], [10], [23], [27], [28],[40], [41].

Ceea ce ne propunem ın aceasta teza, ın cele trei capitole ale sale, este saprezentam o trecere ın revista a cazului liniar, pentru a fixa cateva repere de bazaın studiul ulterior. Apoi, ne propunem studiem clasa operatorilor multiplu p-sumabili si legatura ei cu alte clase, cum ar fi cea a operatorilor Hilbert-Schmidt

ii

sau cea a operatorilor nucleari.Operatorii Hilbert-Schmidt au fost studiati si folositi ın diverse lucrari, cum

ar fi [23], [27]. In aceste articole, M. Matos ın [23] si mai tarziu, D. Perez-Garcıa ın [27], demonstraza faptul ca un operator Hilbert-Schmidt este multiplup-sumabil pentru orice 1 ≤ p <∞, rezultat care reprezinta varianta multiliniaraa rezultatului clasic demonstrat de catre A. Pelczynski ın [26]. Pe de alta parte,operatorii nucleari au fost extinsi de la cazul liniar si studiati de catre M. Matosın [22] si [23].

Asadar, scopul nostru este de a surprinde proprietatile acestor trei clase deoperatori, de a gasi legaturile dintre ele, altele decat cele precizate deja si de ada diverse exemple de operatori care sa ilustreze aceste legaturi.

iii

Rezumat

Capitolul 1.Preliminarii

Primul capitol ıncepe cu o sectiune dedicata atat notatiilor utilizate ın teza,cat si prezentarii notiunilor de baza ın cazul liniar, dar si multiliniar. Astfel,notatiile utilizate sunt standard ın teoria spatiilor Banach, vezi [9], [11], [48],[33], [37]. Aceste carti reprezinta principalele referinte pentru orice alta notatieutilizata fara a fi explicata ınainte. Prin Xi, Y, Z,W vom nota spatiile Banachpeste corpul scalarilor K = R sau C, iar prin H1, . . . ,Hn, H notam spatiileHilbert.

Definitia 1. Fie n ∈ N. O aplicatie U : X1 × · · · × Xn → Y se numesten-liniara daca este liniara ın fiecare variabila i, 1 ≤ i ≤ n i.e. oricare ar fiα1, α2 ∈ K, x1i , x

2i ∈ Xi si xk ∈ Xk, 1 ≤ k ≤ n, k 6= i avem

U(x1, . . . , α1x

1i + α2x

2i , . . . , xn

)= α1U

(x1, . . . , x

1i , . . . , xn

)+

+ α2U(x1, . . . , x

2i , . . . , xn

).

Definitia 2. O aplicatie n-liniara U : X1 × · · · × Xn → Y se numestecontinua daca este continua ca functie ıntre doua spatii normate.

In continuare prezentam o teorema de caracterizare a aplicatiilor liniare sicontinue, care este extensia naturala de la cazul liniar la cel multiliniar.

Teorema 3. Fie U : X1 × · · · ×Xn → Y o aplicatie n-liniara. Urmatoareleafirmatii sunt echivalente:(i) U este continua(ii) U este continua ın (0, 0, . . . , 0)(iii) ∃M > 0 astfel ıncat oricare ar fi xi ∈ Xi, 1 ≤ i ≤ n, avem ‖U (x1, . . . , xn)‖ ≤M ‖x1‖ · · · ‖xn‖ .

Notam prin L (X1, . . . , Xn;Y ) spatiul vectorial al tuturor aplicatiilor n−liniaresi continue definite pe produsul cartezianX1×· · ·×Xn cu valori ın Y, care, atuncicand n este clar din context, se va numi multimea operatorilor multiliniari si con-tinui. Pentru X1, . . . , Xn;Y spatii Banach, acest spatiu este un spatiu Banachınzestrat cu norma operatorila ‖U‖ = sup‖x1‖≤1,...,‖xn‖≤1 ‖U (x1, . . . , xn)‖ .

Pentru n = 1, L (X,Y ) desemneaza spatiul operatorilor liniari si continuidefiniti pe X cu valori ın Y , care este un spatiu Banach ın raport cu normaoperatoriala ‖U‖ = sup‖x‖≤1 ‖U (x)‖ .

1

Operatori p-absolut sumabili

Capitolul I se continua cu acesta sectiune mai ampla, care se ocupa cu studiulclasei operatorilor liniari p-absolut sumabili, studiu care reprezinta baza ınstudierea operatorilor sumabili ın cazul multiliniar.

Definitia 4. Fie 1 ≤ p < ∞. Un operator liniar si continuu U : X → Y senumeste p−summing daca exista C > 0 astfel ıncat oricare ar fi (xi)1≤i≤m ⊂ X,avem (

m∑i=1

‖U (xi)‖p) 1

p

≤ Cwp (xi | 1 ≤ i ≤ m) .

In acest caz, definim norma p-absolut sumabila a lui T ca fiind πp (U) = infC :C verifica relatia de mai sus si notam prin Πp (X,Y ) clasa operatorilor p-absolut sumabili.

Dupa ce ne ocupam de unele dintre cele mai importante rezultate ale acesteiclase de operatori, anume Teorema de dominare Grothendieck-Pietsch,Teorema de multiplicare a lui Pietsch si Teorema de factorizare a op-eratorilor 2-absolut sumabili, (tratata ıntr-o sectiune ulterioara), prezentamun alt rezultat binecunoscut si anume, Lema de ”splitting”, careia ıi dam oalta demonstratie decat cele care apar ın cartile de specialitate, vezi de exemplu[11, Lemma 2.23]. Demonstratia noastra este inspirata de ideea lui A. Pietsch,pe care o foloseste ın demonstratia teoremei de multiplicare. Facem precizareaca acest rezultat este extrem de util ın aplicatii si ca teorema de multiplicaredevine o consecinta a sa. In plus, extinderea sa la cazul multiliniar este o prob-lema deschisa, un singur astfel de rezultat fiind obtinut de catre D. Popa pentruclasa operatorilor multiliniari p-dominati, vezi [42, Theorem 3].

Lema 5. Lema de ”splitting”. Fie 1 ≤ p, q, r <∞ astfel ıncat 1r = 1

p + 1q .

Fie T : X → Y un operator q-absolut sumabil. Atunci, oricare ar fi x1, . . . , xn ∈X, exista σ = (σ1, . . . , σn) ∈ Kn si y1, . . . , yn ∈ Y astfel ıncat(a) T (xi) = σiyi, 1 ≤ i ≤ n,(b) ‖σ‖q ≤ [wr (xi | 1 ≤ i ≤ n)]

rq ,

(c) wp (yi | 1 ≤ i ≤ n) ≤ [wr (xi | 1 ≤ i ≤ n)]rp · πq (T ) .

Apoi se trec ın revista o serie de rezultate clasice pentru teoria operatorilorp-absolut sumabili, anume: Teorema de incluziune, Inegalitatea lui Hincin, Teo-rema lui Grothendieck, Inegalitatea lui Kahane, Teorema lui Orlicz. Urmeazadefinitia tipului si cotipului unui spatiu Banach, cu ajutorul carora se pot enuntasi demonstra cele doua Teoreme de coincidenta.

Operatori Hilbert-Schmidt

In aceasta sectiune, studiem operatorii Hilbert-Schmidt si prezentam trei ex-emple de operatori liniari si continui pentru care determinam conditiile necesaresi suficiente de a fi Hilbert-Schmidt. Este vorba de operatorul de multiplicare,operatorul Hardy si operatorul Hilbert. Din cate cunoastem, nu putem indica oreferinta exacta ın care sa se fi considerat operatorii Hardy si Hilbert din acestpunct de vedere. Facem precizarea ca acest exemplu ne va fi util ulterior ın aconstrui si studia sumabilitatea extensiilor acestor operatori la cazul biliniar.

2

Exemplul 6. Fie a = (an)n∈N ∈ l∞.(i) Operatorul Ma : l2 → l2,Ma (x) = ax = (a1x1, . . . , anxn, . . .) este Hilbert-Schmidt daca si numai daca (an)

n∈N∈ l2;

(ii) Operatorul Ha : l2 → l2, Ha (x) =(a1x1+···+anxn

n

)n∈N este Hilbert-Schmidt

daca si numai daca(an√n

)n∈N∈ l2;

(iii) Operatorul Ha : l2 → l2,Ha (x) =(∑∞

k=1akxk

n+k

)n∈N

este Hilbert-Schmidt

daca si numai daca(an√n

)n∈N∈ l2.

Operatori nucleari

Ultima clasa de operatori liniari si continui pe care o trecem ın revista este clasaoperatorilor nucleari. Acest tip de operatori a fost studiat ın detaliu de catre A.Pietsch ın [33] si este tratat si ın monografiile aparute ulterior, de exemplu [9],[11]. Noi consideram acesta clasa doar din punct de vedere al relationarii salecu clasele definite anterior. Astfel, prezentam Lema lui Pietsch si faimoasaTeorema a lui Grothendieck.

Sumabilitatea operatorului de multiplicare Ma

Capitolul I se ıncheie cu studiul sumabilitatii operatorului de multiplicare Ma.Acest operator a fost studiat de catre D.J.H. Garling ın [14, Theorem 9], carea dat o caracterizare aproape completa a sumabilitatii sale. Abordarea noastraeste diferita de cea a lui Garling si foloseste ın mod esential teorema de incluzi-une, teoremele de coincidenta si cele doua teoreme ale lui Grothendieck. In plus,se folosesc diverse evaluari ale normei wp(xi|1 ≤ i ≤ n). Pentru mai multe de-talii asupra evaluarii ın diverse situatii ale normei wp, recomandam consultareaarticolului lui D. Popa, [43].

Reamintim ca daca a = (an)n∈N, b = (bn)n∈N sunt doua siruri de numere,atunci ab = (anbn)n∈N. Pentru un sir a = (an)n∈N, vom nota cu Ma operatorulde multiplicare ıntre doua spatii de siruri, definit prin Ma (x) = ax. Dupa cumeste binecunoscut, daca 1 ≤ p, q < ∞ si a = (an)n∈N este un sir de numere,atunci Ma : lq → lp, Ma (x) = ax este corect definit daca si numai daca a ∈ l∞pentru q ≤ p, sau a ∈ lr pentru p < q, unde 1

p = 1q + 1

r .Exemplul 7. Fie a ∈ l∞ si Ma : l1 → l1 operatorul de multiplicare. Atunci

Ma este 2-absolut sumabil daca si numai daca a ∈ l2.Mentionam ca urmatorul exemplu este inclus ın articolul realizat ın colabo-

rare cu dl. profesor D. Popa, [3], care este trimis spre a fi publicat.Exemplul 8. (a) Fie 1 ≤ s <∞ si Ma : ls → l2 operatorul de multiplicare.

Atunci(i) Daca 1 ≤ s ≤ 2, 1 ≤ p <∞, Ma este p-absolut sumabil daca si numai dacaa ∈ ls∗ ;(ii) Daca 2 < s, 2 ≤ p < ∞, Ma este p-absolut sumabil daca si numai dacaa ∈ l2;(iii) Daca 2 < s, 1 < s∗ ≤ p ≤ 2, Ma este p-absolut sumabil daca si numai dacaa ∈ lp;

3

(iv) Daca 2 < s, 1 ≤ p ≤ s∗ ≤ 2, Ma este p-absolut sumabil daca si numai dacaa ∈ ls∗ .

(b) Fie 1 ≤ s ≤ 2 si Ma : l2 → ls operatorul de multiplicare. Daca 1 ≤ p <∞, Ma este p-absolut sumabil daca si numai daca a ∈ ls.

4

Capitolul 2.Operatorii multiplu sumabili si Hilbert-Schmidt

In acest capitol studiem extinderea la cazul multiliniar a doua dintre claseledefinite anterior ın cazul liniar, anume clasa operatorilor p-absolut sumabili sicea a operatorilor Hilbert-Schmidt. Astfel, ıntr-o prima sectiune ne vom ocupade operatorii multiliniari Hilbert-Schmidt si vom prezenta cateva proprietati aleacestui tip de operatori, inclusiv legatura dintre un operator Hilbert-Schmidt sioperatorii liniari si k-liniari asociati lui.

Apoi, ıntr-o sectiune mai ampla, ne vom concentra asupra clasei operatorilormultiplu p-sumabili. Acest tip de operatori reprezinta una dintre extinderile lacazul multiliniar ale conceptului de operator liniar p-absolut sumabil si, tinandcont de recentele rezultate aparute ın revistele de matematica, se pare ca esteconceptul care preia cel mai bine proprietatile de sumabilitate de la cazul liniar.

Facem precizarea ca operatorii multiplu p-sumabili reprezinta un domeniu decercetare foarte recent, ın care multe probleme sunt ınca deschise, de exemplu,stabilirea unor rezultate de incluziune sau de coincidenta. In aceasta directie,noi obtinem un rezultat care aduce o completare unor rezultate obtinute dejade catre D. Perez Garcıa ın [27, Theorem 3.4] si, mai tarziu, de catre D. Popaın [40, Theorem 6, Theorem 10]. Astfel, dupa ce vom da o caracterizare aoperatorilor multiplu p-sumabili pentru p ≥ 2, vom prezenta un corolar care daun rezultat de coincidenta, ce nu are un analog liniar. Pe de alta parte, aceastacaracterizare ne va permite sa studiem sumabilitatea a trei exemple de operatoribiliniari, anume operatorul de multiplicare, operatorul Hardy si cel Hilbert.

Mentionam ca rezultatele pentru operatorii multiplu p-sumabili amintite maisus, exceptand operatorul Hilbert, sunt incluse ın articolul realizat ımpreuna cudl. prof. D. Popa, care este trimis spre publicare, [3].

Operatorii Hilbert-Schmidt

In cele ce urmeaza, ne vom referi la clasa operatorilor Hilbert-Schmidt.Definitia 9. Fie H1, . . . ,Hn, H spatii Hilbert. Un operator multiliniar si

continuu T : H1×· · ·×Hn → H se numeste Hilbert-Schmidt daca exista o baza

ortonormata(ejij

)ij∈Ij

⊂ Hj (1 ≤ j ≤ n) astfel ıncat

‖T‖HS =

∑i1∈I1,...,in∈In

∥∥T (e1i1 , . . . , enin)∥∥2 1

2

<∞.

Multimea operatorilor Hilbert-Schmidt de la H1 × · · · ×Hn la H se noteaza cuHS (H1, . . . ,Hn;H) si norma Hilbert-Schmidt a lui T , cu ‖T‖HS .

Urmatorul rezultat demonstreaza ca definitia nu depinde de alegerea bazeiortonormate. Desi acest rezultat apare cu o indicatie de demonstratie ın articolullui M. Matos, [23], demonstratia noastra completeaza acea indicatie.

Propozitia 10. Daca T ∈ L (H1, . . . ,Hn;H) , atunci valoarea sumei∑i1∈I1,...,in∈In

∥∥T (e1i1 , . . . , enin)∥∥2 nu depinde de alegerea bazei ortonormate(ejij

)ij∈Ij

∈ Hj , 1 ≤ j ≤ n.

5

In cele ce urmeaza, vom stabili notatia pentru operatorii liniari si cei k-liniariasociati unui operator dat T . Astfel, pentru un operator n-liniar si continuu, T :X1×· · ·×Xn → X notam cu Tk : Xk → L (X1, . . . , Xk−1, Xk+1, . . . , Xn;X) , 1 ≤k < n

Tk (xk) (x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn) = T (x1, . . . xk−1, xk, xk+1, . . . , xn) ,

operatorul liniar asociat lui T . De asemenea, pentru acelasi operator T , con-sideram operatorul k-liniar asociat lui, ca fiind TC : X1×· · ·×Xk → L (Xk+1, . . . , Xn;X) ,

TC (x1, . . . , xk) (xk+1, . . . , xn) = T (x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn) ,

unde C = 1, 2, . . . , k ∈ 1, . . . , n. Mentionam ca acest tip de notatie a fostfolosita ın lucrarea [10] si ca notatia noastra urmeaza ideea din [10].

Propozitia urmatoare face legatura unui operator Hilbert-Schmidt T cufiecare operator liniar asociat Tk, dar si cu operatorul k-liniar asociat TC . Facemprecizarea ca pentru k = 1, M. Matos da o demonstratie pentru T1 ın [23], dardin cate stim, cea de-a doua parte a acestui rezultat nu apare ın literatura.

Propozitia 11. Fie T ∈ HS (H1, . . . ,Hn;H) . Atunci(i) Tk : Hk → HS (H1, . . . ,Hk−1, Hk+1, . . . ,Hn;H) este Hilbert-Schmidt si‖Tk‖HS = ‖T‖HS , 1 ≤ k < n.(ii) Pentru C = 1, . . . , k , TC : H1 × · · · × Hk → HS (Hk+1, . . . ,Hn;H) esteHilbert-Schmidt si

∥∥TC∥∥HS

= ‖T‖HS , 1 ≤ k < n.

Operatorii multiplu p-sumabili

In aceasta sectiune, dupa ce aratam ca multimea operatorilor multiplu p-sumabili formeaza un ideal de operatori multiliniari, ne ocupam de studiullegaturii ıntre un operator multiplu p-sumabil si operatorul k-liniar asociatlui. Astfel, demonstram urmatorul rezultat, care apare fara demonstratie ın[28, Proposition 2.5] si este implicit inclus ın [45, proof of Proposition 3.7].Mentionam faptul ca pentru C = 1, obtinem rezultatul care apare, de aseme-nea fara demonstratie, ın [23, Proposition 2.5].

Definitia 12. Fie 1 ≤ p < ∞. Un operator multiliniar si continuu T :X1 × · · · × Xn → Y se numeste multiplu p−sumabil daca exista o constanta

C > 0 astfel ıncat, oricare ar fi(xjij

)1≤ij≤mj

⊂ Xj (1 ≤ j ≤ n), avem

m1,...,mn∑i1,...,in=1

∥∥T (x1i1 , . . . , xnin)∥∥p 1

p

≤ Cwp(x1i1 | 1 ≤ i1 ≤ m1

)· · ·

· wp(xnin | 1 ≤ in ≤ mn

). (1)

In acest caz, definim norma multiplu p−sumabila a lui T prin πmultp (T ) =

minC : C verifica (1) si notam cu Πmultp (X1, . . . , Xn;Y ) multimea operato-

rilor multiplu p−sumabili.Propozitia 13. Fie un operator multiliniar si continuu T : X1×· · ·×Xn →

Y si C = 1, . . . , k o submultime a multimii 1, . . . , n, 1 ≤ p <∞.(i) Daca T : X1×· · ·×Xn → Y este multiplu p-sumabil, atunci TC : X1×· · ·×Xk → Πmult

p (Xk+1, . . . , Xn;Y ) este un operator k-linear continuu ın raport cu

6

norma multiplu p-sumabila de pe spatiul Πmultp (Xk+1, . . . , Xn;Y ).

(ii) Daca TC : X1×· · ·×Xk → Πmultp (Xk+1, . . . , Xn;Y ) este multiplu p-sumabil,

atunci T : X1 × · · · ×Xn → Y este multiplu p-sumabil.In continuare, pentru ca prezentarea sie cat mai clara, vom folosi urmatoarea

notatie pentru operatorul k-liniar asociat, notatie pe care o folosim ın articolultrimis spre publicare [3], realizat ımpreuna cu D. Popa. Astfel, avem

Remarca 14. Pentru un operator (n + k)-liniar, T : X1 × · · · × Xn ×Xn+1 × · · · × Xn+k → Y , definim operatorul k-liniar asociat lui T , ca fiind

T : Xn+1 × · · · ×Xn+k → L (X1, . . . , Xn;Y ) i.e.

T (xn+1, . . . , xn+k) (x1, . . . , xn) = T (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xn + k)

Observam ca operatorul T asociat lui T ca mai sus, este ın notatia din [10],operatorul TC , unde C = n+ 1, n+ 2, . . . , n+ k, pe care l-am folosit panaacum.

Fie 1 ≤ p <∞ si consideram urmatoarele afirmatii:(α) T : Xn+1 × · · · ×Xn+k → Πmult

p (X1, . . . , Xn;Y ) este k-liniar continuu

ın raport cu norma multiplu p-sumabila de pe spatiul Πmultp (X1, . . . , Xn;Y );

(β) T : Xn+1×· · ·×Xn+k → Πmultp (X1, . . . , Xn;Y ) este multiplu p-sumabila

ın raport cu norma multiplu p-sumabila de pe spatiul Πmultp (X1, . . . , Xn;Y );

(γ) T este multiplu p-sumabil.

Asadar, tinand cont de propozitia anterioara, avem ca implicatiile (β) ⇒(γ)⇒ (α) sunt mereu adevarate si ne intereseaza sa studiem care sunt conditiileın care implicatiile inverse sunt si ele adevarate. In rezultatul urmator, careeste inclus ın articolul nostru [3], putem indica trei situatii particulare ın careimplicatiile inverse sunt ıntr-adevar adevarate.

Propozitia 15. (i) Fie spatiile Hilbert H1, . . . ,Hn, H. Daca Xn+1, . . . ,Xn+k sunt L∞,λn+1 ,. . . , L∞,λn+k

-space, sau Xn+1, . . . , Xn+k sunt toate GTspatii GT, atunci un operator (n + k)-liniar si continuu T : H1 × · · · × Hn ×Xn+1×· · ·×Xn+k → H este multiplu 2-sumabil daca si numai daca T ia valoriin HS (H1, . . . ,Hn;H).

(ii) Fie a ∈ l∞. Atunci operatorul de multiplicareMa : l2 × · · · × l2︸ ︷︷ ︸

n times

× c0 × · · · × c0︸ ︷︷ ︸k times

→ l2,Ma (x1, . . . , xn+k) = ax1 · · ·xn+k este

multiplu 2-sumabil daca si numai daca a ∈ l2.(iii) Fie a ∈ l∞.AtunciMa : l2 × · · · × l2︸ ︷︷ ︸

n times

× l1 × · · · × l1︸ ︷︷ ︸k times

→ l2,Ma (x1, . . . , xn+k) =

ax1 · · ·xn+k este multiplu 2-sumabil.

O caracterizare a operatorilor multiplu p-sumabili, p ≥ 2

In aceasta sectiune, rezultatul principal ıl constituie o teorema de caracteri-zare a operatorilor multiplu p-sumabili, pentru p ≥ 2, rezultat care este continutın articolul trimis spre publicare [3]. Astfel, caracterizarea pe care o obtinemeste pentru cazul ın care operatorul este definit pe un produs cartezian, ın careo parte dintre factori sunt spatii Hilbert, iar ceilalti factori sunt spatii Banach.

7

Pentru a demonstra aceasta teorema, avem nevoie de o lema, care de asemeneaface parte din articolul [3].

Lema 16. Fie spatiile HilbertH1, . . . ,Hn, H, k un numar natural, T1, . . . , Tk :H1 × · · · ×Hn → H un operator n-liniar continuu si consideram T : H1 × · · · ×Hn → lk2 (H) definit prin

T (x1, . . . , xn) = (T1 (x1, . . . , xn) , . . . , Tk (x1, . . . , xn)) .

Atunci T este Hilbert-Schmidt daca si numai daca toti operatorii T1, . . . , Tk suntHilbert-Schmidt. Mai mult, avem ‖T‖2HS = ‖T1‖2HS + · · ·+ ‖Tk‖2HS .

Teorema 17. Fie H1, . . . ,Hn, H spatii Hilbert, Xn+1, . . . , Xn+k spatii Ba-nach, T : H1 × · · · ×Hn ×Xn+1 × · · · ×Xn+k → H un operator (n+ k)-liniarcontinuu si 2 ≤ p <∞. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) T este multiplu p-sumabil.

(ii) T : Xn+1 × · · · × Xn+k → HS (H1, . . . ,Hn;H) este multiplu p-sumabil ınraport cu norma Hilbert-Schmidt de pe spatiul HS (H1, . . . ,Hn;H). In plus,avem

[Ap]nπmultp (T ) ≤ πmultp

(T : Xn+1 × · · · ×Xn+k → HS (H1, . . . ,Hn;H)

)≤

≤ [Bp]nπmultp (T ) ,

unde Ap, Bp sunt constantele lui Hincin.

Un rezultat de coincidenta fara analog liniar

In acest paragraf, demonstram o consecinta a teoremei de caracterizare demai sus, anume un rezultat de coincidenta pentru operatorii multiplu p-sumabili,care completeaza rezultatele obtinute anterior de catre D. Perez Garcıa ın [27,Theorem 3.4] si, mai tarziu, de catre D. Popa ın [40, Theorem 6, Theorem 10].Acest corolar este inclus ın articolul, trimis spre publicare [3].

Corolarul 18. (i) Fie X un spatiu Banach si H1, . . . ,Hn, H spatii Hilbert.Atunci, oricare ar fi 2 ≤ p <∞, avem coincidenta

Πmultp (H1, . . . ,Hn, X;H) = Πmult

2 (H1, . . . ,Hn, X;H) .

(ii) Fie X un spatiu Banach de cotip 2 si H1, . . . ,Hn, H spatii Hilbert. Atunci,oricare ar fi 1 ≤ p <∞, avem coincidenta

Πmultp (H1, . . . ,Hn, X;H) = Πmult

2 (H1, . . . ,Hn, X;H) .

Sumabilitatea operatorilor de multiplicare, Hardy si Hilbert

Ca aplicatie a teoremei de caracterizare si corolarului de mai sus, prezentamo descriere completa a sumabilitatii operatorilor biliniari de multiplicare, apoiHardy si Hilbert. Exceptand operatorul Hilbert, celelalte doua constituie parteafinala a articolului [3].

Incepem cu extensia biliniara a operatorului de multiplicare de la cazul liniar,anume pentru 1 ≤ p, q, r < ∞ si a un sir de scalari, definim Ba : lr × lq → lp,Ba (x, y) = axy. Din teorema graficului ınchis, rezulta ca Ba este corect definit

8

daca si numai daca a ∈ l∞ pentru 1p ≤

1q + 1

r , sau a ∈ ls pentru 1p >

1q + 1

r , unde1p = 1

q + 1r + 1

s .Exemplul 19. Operatorul de multiplicare. Fie 1 ≤ s < ∞, a ∈ l∞ si

Ba : l2 × ls → l2 operatorul biliniar de multiplicare.(i) Daca 1 ≤ s ≤ 2, 1 ≤ p <∞, Ba este multiplu p-sumabil daca si numai dacaa ∈ ls∗ ;(ii) Daca 2 < s, 2 ≤ p < ∞, Ba este multiplu p-sumabil daca si numai dacaa ∈ l2;(iii) Daca 2 < s, 1 < s∗ ≤ p < 2, Ba este multiplu p-sumabil daca si numai dacaa ∈ lp;(iv) Daca 2 < s, 1 < p ≤ s∗ < 2, Ba este multiplu p-sumabil daca si numai dacaa ∈ ls∗ .

Urmeaza apoi extensia operatorului Hardy.Exemplul 20.Operatorul Hardy. Fie a = (an)n∈N ∈ l∞, 1 ≤ s < ∞ si

Ha : l2 × ls → l2,

Ha (x, y) =

(a1 〈x, e1〉 〈y, e1〉+ · · ·+ an 〈x, en〉 〈y, en〉

n

)n∈N

.

(i) Daca 1 ≤ s ≤ 2, 1 ≤ p <∞, Ha este multiplu p-sumabil daca si numai daca(an√n

)n∈N∈ ls∗ ;

(ii) Daca 2 < s, 2 ≤ p < ∞, Ha este multiplu p-sumabil daca si numai daca(an√n

)n∈N∈ l2;

(iii) Daca 2 < s, 1 < s∗ ≤ p < 2, Ha este multiplu p-sumabil daca si numai

daca(an√n

)n∈N∈ lp;

(iv) Daca 2 < s, 1 ≤ p ≤ s∗ < 2, Ha este multiplu p-sumabil daca si numai daca(an√n

)n∈N∈ ls∗ .

La sfarsitul acestei sectiuni, prezentam extensia biliniara a operatoruluiHilbert.

Exemplul 21.Operatorul Hilbert. Fie a = (an)n∈N ∈ l∞, 1 ≤ s < ∞ siHa : l2 × ls → l2,

Ha (x, y) =

( ∞∑k=1

akxkykn+ k

)n∈N

=

( ∞∑k=1

akxkyk1 + k

,

∞∑k=1

akxkyk2 + k

, . . . ,

∞∑k=1

akxkykn+ k

, ...

).

(i) Daca 1 ≤ s ≤ 2, 1 ≤ p <∞, Ha este multiplu p-sumabildaca si numai daca(an√n

)n∈N∈ ls∗ ;

(ii)Daca 2 < s, 2 ≤ p < ∞, Ha este multiplu p-sumabil daca si numai daca(an√n

)n∈N∈ l2;

(iii) Daca 2 < s, 1 < s∗ ≤ p < 2, Ha este multiplu p-sumabil daca si numai

daca(an√n

)n∈N∈ lp;

(iv) Daca 2 < s, 1 ≤ p ≤ s∗ < 2, Ha este multiplu p-sumabil daca si numai

daca(an√n

)n∈N∈ ls∗ .

9

Exemple de operatori multiliniari definiti cu ajutoruldeterminantului unei matrici

Capitolul II se ıncheie cu o sectiune ın care construim trei exemple de oper-atori Hilbert-Schmidt si multiplu 1-sumabili cu ajutorul determinantului uneimatrici, pentru care norma Hilbert-Schmidt si cea multiplu 1-sumabila depindde permanentul unei anumite matrici. Primul este forma n-liniara care general-izeaza determinantul unei matrici, cel de-al doilea este o extensie n − 1-liniaraa produsului vectorial, iar cel de-al treilea exemplu, face trecerea catre oper-atorii infinit dimensionali si determina conditiile necesare si suficiente pentrua fi Hilbert-Schmidt si, respectiv, multiplu 1-sumabil. Facem precizarea ca ex-ceptand articolul [6, Theorem 5.1], unde Cobos, Kuhn si Peetre evalueaza normaoperatoriala a formelor multiliniare determinant si permanenent, nu cunoastemalte referinte ın care sa se considere cele doua forme multiliniare din acest punctde vedere. In aceasta sectiune, pentru o matrice patratica de ordin n,

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...an1 an2 ... ann

, notam cu |A|2 matricea

|A|2 =

|a11|2 |a12|2 ... |a1n|2

|a21|2 |a22|2 ... |a2n|2... ... ... ...

|an1|2 |an2|2 ... |ann|2

.

Exemplul 22. Fie A o matrice de scalari patratica de ordin n. Atunci(i) DA : ln2 × · · · × ln2︸ ︷︷ ︸

n-ori

→ K,

DA (x1, . . . , xn) = det

a11 〈x1, e1〉 a12 〈x1, e2〉 ... a1n 〈x1, en〉a21 〈x2, e1〉 a22 〈x2, e2〉 ... a2n 〈x2, en〉

... ... ... ...an1 〈xn, e1〉 an2 〈xn, e2〉 ... ann 〈xn, en〉

.

este Hilbert-Schmidt si ‖DA‖HS =

√per

(|A|2

).

(ii)DA : ln∞ × · · · × ln∞︸ ︷︷ ︸n-ori

→ K,

DA (x1, . . . , xn) = det

a11 〈x1, e1〉 a12 〈x1, e2〉 ... a1n 〈x1, en〉a21 〈x2, e1〉 a22 〈x2, e2〉 ... a2n 〈x2, en〉

... ... ... ...an1 〈xn, e1〉 an2 〈xn, e2〉 ... ann 〈xn, en〉

.

este multiplu 1−sumabil si πmult1 (DA) = per (|A|) .

Exemplul 23. FieA =

1 1 ... 1a11 a12 ... a1n... ... ... ...

an−11 an−12 ... an−1n

o matrice patratica

de ordin n si fie Rn : ln2 × · · · × ln2︸ ︷︷ ︸n−1-ori

→ ln2 ,

Rn (x1, . . . , xn−1) =(DA(1|1) (x1, x2, . . . , xn−1) , . . . , DA(1|n) (x1, x2, . . . , xn−1)

).

10

Atunci

(i) Rn este Hilbert-Schmidt si ‖Rn‖HS =

√per

(|A|2

).

(ii) Rn : ln∞ × · · · × ln∞︸ ︷︷ ︸n−1-ori

→ ln1 este multiplu 1−sumabil si πmult1 (Rn) = per (|A|) .

Remarca 24. Daca vom considera matricea A =

1 1 ... 1... ... ... ...1 1 ... 1

,

atunci operatorul Rn : Rn × · · · × Rn︸ ︷︷ ︸n−1 ori

→ Rn devine operatorul n− 1-liniar care

reprezinta extensia produsului vectorial, pentru care avem ‖Rn‖HS =√n! si

πmult1 (Rn) = n!.Ultimul exemplu de acest tip, necesita cateva precizari privind notatiile

folosite. Astfel, oricare ar fi n, numar natural si oricare ar fi sirurile de scalari,(a1k)k∈N , (a2k)k∈N , . . . , (ank)k∈N , definim sirul de matrici

Ank =

a1k a1k+1 ... a1k+n−1a2k a2k+1 ... a2k+n−1.... .... ... ....ank ank+1 ... ank+n−1

, k ≥ 1.

De exemplu, pentru n = 3, avem sirul

A31 =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, A32 =

a12 a13 a14a22 a23 a24a32 a33 a34

, . . . ,

A3k =

a1k a1k+1 a1k+2

a2k a2k+1 a2k+2

a3k a3k+1 a3k+2

, ....

In cele ce urmeaza, pentru k ≥ 1, vom asocia matricii Ank , operatorul DAnk

:l∞ × · · · × l∞︸ ︷︷ ︸

n−ori

→ K,

DAnk

(x1, x2, . . . , xn) = det

a1k 〈x1, ek〉 ... a1k+n−1 〈x1, ek+n−1〉a2k 〈x2, ek〉 ... a2k+n−1 〈x2, ek+n−1〉.... ... ....ank 〈xn, ek〉 ... ank+n−1 〈xn, ek+n−1〉

.

Astfel, pentru n = 3, avem

DA31

(x1, x2, x3) = det

a11 〈x1, e1〉 a12 〈x1, e2〉 a13 〈x1, e3〉a21 〈x2, e1〉 a22 〈x2, e2〉 a23 〈x2, e3〉a31 〈x3, e1〉 a32 〈x3, e2〉 a33 〈x3, e3〉

,

DA32

(x1, x2, x3) = det

a12 〈x1, e2〉 a13 〈x1, e3〉 a14 〈x1, e4〉a22 〈x2, e2〉 a23 〈x2, e3〉 a24 〈x2, e4〉a32 〈x3, e2〉 a33 〈x3, e3〉 a34 〈x3, e4〉

, ....

Exemplul 25. Fie n ∈ N. Atunci(i) D : l2 × · · · × l2︸ ︷︷ ︸

n−ori

→ l2,

D (x1, x2, . . . , xn) =(DAn

1(x1, x2, . . . , xn) , . . . , DAn

k(x1, x2, . . . , xn) , . . .

)11

este Hilbert-Schmidt daca si numai daca seria∑∞k=1 per

(|Ank |

2)

este conver-

genta si ‖D‖HS =(∑∞

k=1 per(|Ank |

2)) 1

2

.

(ii) D : l∞ × · · · × l∞︸ ︷︷ ︸n−ori

→ l1,

D (x1, x2, . . . , xn) =(DAn

1(x1, x2, . . . , xn) , . . . , DAn

k(x1, x2, . . . , xn) , . . .

)este multiplu 1-sumabil daca si numai daca seria

∑∞k=1 per (|Ank |) este conver-

genta. In plus, πmult1 (D) =∑∞k=1 per (|Ank |) .

Capitolul 3Operatorii nucleari si multiplu sumabili

In acest capitol, studiem extinderea ultimului concept liniar considerat ıncapitolul de preliminarii, anume operatorul nuclear. Astfel, demonstram camultimea operatorilor biliniari nucleari formeaza un ideal Banach de operatorisi mai mult, ca este cel mai mic ideal Banach de operatori biliniari. Acestrezultat reprezinta analogul de la cazul liniar, demonstrat de catre A. Pietschın [33]. Apoi, studiem operatorii nucleari definiti pe c0 × c0 si demonstram caacestia coincid cu operatorii multiplu 1-sumabili.

Acest capitol se ıncheie cu un exemplu de operator definit pe c0× c0, pentrucare determinam conditiile necesare si suficiente de a fi multiplu 1-sumabil,deci, folosind caracterizarea anterioara, nuclear. Mai mult, precizam si cazul ıncare acest operator este multiplu 2-sumabil, obtinand astfel o clasa intreaga deoperatori care sunt multiplu 2-sumabil, dar nu sunt multiplu 1-sumabil.

Toate aceste rezultate, care se pot extinde la cazul n-liniar, fac parte dinarticolul nostru deja publicat ın revista Quaestiones Mathematicae, [2]. Ex-tinderea conceptului de operator nuclear la cazul multiliniar a fost studiata decatre M. Matos ın lucrarile [22], [23]. Astfel, el da urmatoarea definitie, pe carenoi o reamintim la cazul biliniar.

Definitia 26. Un operator U ∈ L(X,Y ;Z) este nuclear daca are o reprezentarede forma U =

∑∞n=1 λnx

∗n ⊗ y∗n ⊗ zn, adica pentru orice (x, y) ∈ X × Y avem

U (x, y) =

∞∑n=1

λnx∗n (x) y∗n (y) zn, (2)

cu∑∞n=1 |λn| <∞, supn∈N ‖x∗n‖ <∞, supn∈N ‖y∗n‖ <∞, supn∈N ‖zn‖ <∞.

Spatiul vectorial al operatorilor nucleari se noteaza cu N (X,Y ;Z) si normanucleara se defineste prin

‖U‖nuc = inf

∞∑n=1

‖λn‖ · ‖x∗n‖ · ‖y∗n‖ · ‖zn‖

unde infimumul este luat ın raport cu toate reprezentarile nucleare ale lui U caın (2).

Teorema 27. Fie U : c0× c0 → X un operator biliniar si continuu. Atunci,urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

12

(i) U este multiplu 1-sumabil(ii) Seria

∑∞n,m=1 ‖U (en, em)‖ <∞, unde (en)n∈N este baza canonica din c0.

(iii) U este nuclear.In plus, avem

πmult1 (U) =

∞∑n,m=1

‖U (en, em)‖ .

Teza se ıncheie cu urmatorul exemplu de operator, care este definit cu aju-torul lui Average, o tehnica asemanatoare cu cea folosita de catre D. Popa ınarticolul [39, Example 3].

Exemplul 28. Fie (αni)1≤i≤n,n∈N o matrice triunghiulara infinita de scalari,αn = (αn1, . . . , αnn) ∈ Kn si α = (αn)n∈N. Consideram U : c0 × c0 → l1 definitprin

U (x, y) =

(Average

(1

2nαni 〈x, ei+kn〉 〈y, ei+kn〉 | 1 ≤ i ≤ n

))n∈N

,

unde kn = (n−1)n2 , n ≥ 1. Atunci

(i) U este corect definit daca si numai daca seria∑∞n=1 ‖(αn1, . . . , αnn)‖ln2 =

∑∞n=1

√|αn1|2 + · · ·+ |αnn|2 este convergenta, i.e.

α ∈ l1 (ln2 | n ∈ N) . In acest caz, U este multiplu 2-sumabil.(ii) U este nuclear daca si numai daca U este multiplu 1-sumabil daca si numaidaca seria

∑∞n=1 ‖(αn1, . . . , αnn)‖ln1 =

∑∞n=1 (|αn1|+ · · ·+ |αnn|) este conver-

genta, i.e. α ∈ l1 (ln1 | n ∈ N).Asadar, suntem ın masura sa gasim exemple concrete de operatori multiplu

2-sumabili care nu sunt multiplu 1-sumabil.Remarca 29. Considerand sirul

α =

(1,

(1

22,

1

22

), . . . ,

(1

n2, . . . ,

1

n2

), . . .

)∈ l1 (ln2 , n ∈ N) \l1 (ln1 , n ∈ N) ,

avem exemple concrete de operatori multiplu 2-sumabili care nu sunt multiplu1-sumabil

Mai mult, pentru η ∈(32 , 2], sirul

α =

(1,

(1

2η,

1

2η

), . . . ,

(1

nη, . . . ,

1

nη

), . . .

)defineste diverse exemple concrete de operatori multiplu 2-sumabili care nu suntmultiplu 1-sumabili.

13

Bibliografie

[1] T.Apostol, Mathematical analysis (2nd edition), Addison-Wesley, 1974.

[2] G. Badea, On nuclear and multiple summing bilinear operators on c0 × c0,Quaest. Math. 33 (2) (2010), 253-261.

[3] G. Badea, D. Popa, Hilbert-Schmidt and multiple summing operators, sub-mitted (2010).

[4] F. Bombal, D. Perez-Garcıa, I. Villanueva, Multilinear extensions ofGrothendiecks theorem, Quart. J. Math. 55 (2004), 441-450.

[5] G. Botelho, C. Michels and D. Pellegrino, Complex interpolation andsummability properties of multilinear operators, Rev Mat Complut 23(2010), 139-161.

[6] F. Cobos, T.Kuhn and J. Peetre, Multilinear forms of Hilbert type andsome other distinguished forms, Integr. equ. oper. theory 56 (2006), 57-70.

[7] C. Costara, D. Popa, Exercises in Functional Analysis, Kluwer Acad. Pub-lishers, 2003.

[8] R. Cristescu, Analiza functionala, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1983.

[9] A. Defant and K. Floret, Tensor norms and operator ideals, Math. Studies,176, North-Holland, 1993.

[10] A. Defant, D. Popa, U. Schwarting, Coordinatewise multiple summing op-erators in Banach spaces, Journ. Funct. Anal. 259, no. 1 (2010), 220-242.

[11] J. Diestel, H. Jarchow, and A. Tonge, Absolutely summing operators, Cam-bridge Univ. Press, 1995.

[12] N. Dinculeanu, Integrarea pe spatii local compacte, Editura Academiei, Bu-curesti, 1965.

[13] K. Floret, D. Garcia, On ideals of polynomials and multilinear mappingsbetween Banach spaces, Arch.der Math.81, no 3 (2003), 300-308.

[14] D.J.H. Garling, Diagonal maps between sequence spaces, Stud. Math. 51(1974), 129-138.

[15] U. Haagerup, The best constants in Khintchine inequality, Studia Mathe-matica 70 (1982), 231-283.

14

[16] G.J.O. Jameson, Summing and nuclear norms in Banach space theory, Lon-don Mathematical Society Student Texts 8, Cambridge University Press,1987.

[17] S. Kwapien, Isomorphic characterizations of inner product spaces by orthog-onal series with vector valued coefficients, Studia Math. 44 (1972), 583-595.

[18] R. Latala, K. Oleszkiewicz, On the best constant in the Khinchine-Kahaneinequality, Studia Math. 109 (1994), 101-104.

[19] J. Lindenstrauss, A. Pelczynski, Absolutely summing operators in Lp-spacesand their applications, Studia Math. 29 (1968), 257-326.

[20] L. Lindenstrauss, L. Tzafririri, Classical Banach spaces I, Sequence spaces,Springer Verlag, New York, 1977.

[21] L. Lindenstrauss, L. Tzafririri, Classical Banach spaces II, Function spaces,Springer Verlag, New York, 1979.

[22] M.C. Matos, On multilinear mappings of nuclear type, Rev. Mat. Univ.Complut. Madrid 6 (1993), 61-81.

[23] M.C. Matos, Fully absolutely summing and Hilbert-Schmidt multilinearmappings, Collect. Math. 54 (2003), 111-136.

[24] H. Minc, Permanents, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications,vol. 6, Section Linear Algebra, Adison Wesley Publishing Company, Mas-sachusetts, U.S.A, 1978.

[25] C. Niculescu, N. Popa, Elemente de teoria spatiilor Banach, Ed. Academiei,Bucuresti, 1981.

[26] A. Pelczynski, A characterization of Hilbert-Schmidt operators, StudiaMath. 28 (1967), 355-360.

[27] D. Perez-Garcıa, The inclusion theorem for multiple summing operators,Stud. Math. 165,No. 3 (2004), 275-290.

[28] D. Perez-Garcıa, I. Villanueva, Multiple summing operators on C(K)spaces, Ark. Mat. 42 (2004), 153-171.

[29] D. Perez-Garcıa, I. Villanueva, A composition theorem for multiple sum-ming operators, Monatsh. Math.146 (2005), 257-261.

[30] D. Perez-Garcıa, Comparing different classes of absolutely summing multi-linear operators, Archiv der Math. 85 (3), (2005), 258-267.

[31] A. Pietsch, Nukleare Localkonvexe raume, Akademie-Verlag, Berlin, 1965.

[32] A. Pietsch, Absolut p-summierende Abbildungen in normierten Raumen,Studia Math. 28 (1967), 333-353.

[33] A. Pietsch, Operator ideals, North Holland, 1980.

[34] A. Pietsch, Ideals of multilinear functionals (designs of a theory), Proc.2nd

Int. Conf. Operator Alg, Leipzig, Germany, Teubner-Texte zur Mathematik62 (1983), 185-199.

15

[35] A. Pietsch, Eigenvalues and s-Numbers, Akad. Verlagsgesellschaft Geest &Portig K-G., Leipzig, 1987.

[36] A. Pietsch, J. Wenzel, Orthonormal systems and Banach space geometry,Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[37] G. Pisier, Factorization of linear operators and geometry of Banach spaces,Reg. Conf. Ser. Math. 60, X, (1986).

[38] D. Popa, Operatori pe spatii de functii, Ed. ExPonto, Constanta, 2001,ISBN 973-82227-24-0.

[39] D. Popa, Examples of operators on C[0, 1] distinguishing certain operatorideals, Arch. Math. 88 (2007), 349-357.

[40] D. Popa, Reverse inclusions for multiple summing operators, J. Math. Anal.Appl. 350 no. 1 (2009), 360-368.

[41] D. Popa, Multilinear variants of Maurey and Pietsch theorems and appli-cations, J. Math. Anal. Appl. 368 no. 1 (2010), 157-168.

[42] D. Popa, Multilinear variants of Pietsch’s composition theorem, J. Math.Anal. Appl. 370, No. 2 (2010), 415-430.

[43] D. Popa, Averages, compact, absolutely summing snd nuclear operators onC (Ω), J. Korean Mat. Soc. 47, No. 5 (2010), 899-924.

[44] N. Popa, Produse tensoriale topologice si bornologice, Ed. Academiei, Bu-curesti, 1976.

[45] M.S. Ramanujan, E. Schock, Operator ideals and spaces of bilinear opera-tors, Linear Multilinear Algebra 18 (1985), 307-318.

[46] R.A. Ryan, Introduction to tensor products of Banach spaces, SpringerMonographs in Mathematics, Springer, 2002.

[47] S.J. Szarek, On the best constants in Khincin inequality, Studia Mathemat-ica 58 (1976), 197-208.

[48] N. Tomczak-Jagermann, Banach-Mazur distances and finite dimensionaloperator ideals, Pitman Monogr. Surveys Pure Appl. Math., vol. 38, Long-man Scientific & Technical, Harlow, 1989; John Wiley & Sons, Inc., NewYork, 1989.

16