teorie mate liceu stan adrian

Click here to load reader

Post on 24-May-2015

4.310 views

Category:

Career

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1. Dreptul de copyright:Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt site i nu poate fi folosit nscopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului Adrian StanEditura Rafet 2007

2. 1. Mulimea numerelor reale1.. Scrierea n baza zece:abcd = a 103 + b 102 + c 10 + da-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;a,efg = a 10+ e 101 + f 102 + g 103 == a 10+ e 0.1+ f 0.01+ g 0.001e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.2. Fraciiababc-Fracii zecimale finite: a, b = ;a, bc = ;10100-Fracii zecimale periodice:- ab a abc asimple: a, (b) =; a, (bc) = ; 999abc ab abcd abmixte: a, b(c ) =; a, b(cd ) = ; 90 9903.. Rapoarte i proporii aa an se numeste raport b 0; = = k, n Q* , bb b nk se numete coeficient de proporionalitate ;Proprietatea fundamental a proporiilor: a c= a d = b c b d4. Proporii derivate:bddc a b=sau =sau = a c ba c da c ac a b c d= = sau =b d a bc d b daa + c aa c a2c2=sau = sau= .bb + d bb d b 2 d 2 2 3. 5. Sir de rapoarte egale:a1a a a + a 2 + a 3 + .... + a n ; = 2 = ......... = n = 1b1b2bnb1 + b 2 + b 3 + ..... + b n(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt directa1 a 2 aproporionale == .. = n = k .b1 b2bn (a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt inversproporionale a1 b1 = a 2 b2 = .. = a n bn6. Modulul numerelor reale Proprieti: a,a0 adef 0,a = 0 a,a 01.a 0, a R ; 2. a = 0, a = 0;3. a = a, a R ; 4. a = b, a = b ; a a5.a b = a b; 6. =; b b7.a b ab a + b ;8.x = a, x = a, a 0 ;9. x a, x [ a, a],a 0 ;10.x a, x [, a] [a,+],a 0 .7. Reguli de calcul n R1. (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ; 22. (a b ) = a 2 2ab + b 2 ; 23. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;3 4. 4. (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 25. (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;36. (a b ) = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 ;37. a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) ;8. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) .8. Puteri cu exponent ntreg a n defa a a ...... a n factori1. a o = 1; a1 = a;0 n = 0;5. ( a m ) n = a m n 12. a m + n = a m a n 6. a n = ,a 0 an naan3. ( a b ) = a bnnn 7. = n , b 0bb am4. n = amn ; a 08. a m = a n m = n. a9. Proprietile radicalilor de ordinul doi1. a 2 = a 0, a R2. a b = a ba a3.= ,b 0b bn4. an = ( a )n = a 2 , a + a2 b a a2 b5.a b = 22 unde a-b=k . 4 5. 10. Mediix+ yMedia aritmetic m a =2Media geometric m g = x y px+q yMedia ponderat m p = ; p, q ponderile p+q22 xyMedia armonic m h = =. 1 1x+ y+ x yInegalitatea mediilor2 xyx+ y xy x+ y 211. Ecuaii ba x + b = 0 x = ,a 0 ax2 = a x = a , a 0 ; b b 2 4aca x 2 + b x + c = 0 x1, 2 = .2aa 0, b 2 4ac 0.x = a, a 0 x = a. x = a, a 0 x = a 2[x] = a a x a + 1 x [a, a + 1).12. Procentepp % din N =N 1005 6. S pnD=. Dobnda obinut prin depunerea la banc a unei 100 12sume S de bani pe o perioad de n luni cu procentul p al dobndeianuale acordate de banc .Ct la sut reprezint numrul a din N.a 100x % din N =a x =. N13. Partea ntreag1. x = [x ] + {x} , x R , [x ] Z i {x} [0,1)2. [x ] x < [x ] + 1[x] = a a x < a + 13. [x ] = [ y ] K Z a. . x, y [k , k + 1] x y < 14. [x + k ] = k + [x ] , k Z , x R5. {x + k } = {x}, x R , k Z6. Dac{x} = {y} x y Z7. Dac x R [[x]] = [x] Z[{x}] = 0 , {[x]} = 0 , {{x}} = {x}8. Identitatea lui Hermite[x] + x + 1 = [2 x] , x R 29. [x + y ] [x ] + [ y ] , x, y R10. Prima zecimal, dup virgul, a unui numr N este dat de [10 {N }] sau [( N [N ]) 10] 6 7. 2. Inegaliti1. a > 1 a k 1 < a k k 1 a (0,1) a k < a k 1 k 12. 0 < a b (a m b m )(a n b n ) 0 m, n N 113. a + 2 () a > 0 a + 2 a < 0. aa 114. = k +1- k . 2 k k + k +12 a2 + b2a+b5. ab a, b R2 2 a2 + b2a+b 26. ab , a, b > 0a+b2 1 1+ a b7. a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca a, b, c R ( )8. 3 a 2 + b 2 + c 2 (a + b + c ) a, b, c R 2 a 2 + b2 + c2 19. (a + b + c ) a, b, c R a+b+c310. a + b + c 33(a + b + c a, b, c 0 ) ()11. (n 1) a12 + ... + an 2(a1a2 + ...a1an + a2 a3 + ... + an 1an )2 (12. n a + ... + a 2 1 2 n ) (a 1 + ... + a n ) , n N 22a n + bn a + b 13. , n N , a, b > 0.2 2 a a a+r14. 0 < < 2 < , r > 0. b b b+raa a+r1< > , r > 0bb b+r7 8. 15. x a (a > 0 ) a x a.16. a b a + b , a, b R sauC .17. a1 a 2 ... a n a1 + ... + a n , in R sau C .18. a b a b in R sau C .1 1 11 119.== n 2 n n (n 1)n n 1 n1 11 1< =n! (n 1)n n 1 nm20. a, b Z , m, n Z , Q ma 2 nb 2 1. n21. Numerele pozitive a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghidac i numai dac x, y, z R+ a.i*a = y + z , b = x + z, c = x + y. a ba22. 1 a b a, b > 0 ,ba+b b+c c+a23. a, b, c R+ *+ + 6.ca b24. Dac x1 ,..., x n 0 si x1 + ... + x n = k constant atunci produsul kx 2 x 2 ...x n e maxim cnd x1 = ... = x n = . n n25. Dac. x1 ,..., xn < 0 sii =1 xi = k constant x1 + ... + x n eminim atunci cnd x1 = ... = xn =nk.26. Dac x1 ,..., xn 0 si x1 + ... + x n = k = constant atuncix 2p1 x 2p1 ...x npn este maxim cndx1xx k= 2 = ... n =, pi N * , i = 1, np1 p2pnp1 + ... + pn8 9. 27. Teorema lui Jensen: x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 )Dac f : R, ( interval) si f ( ) 2 2 x + ... + xn f ( x1 ) + ... + f ( xn )x1 , x2 f 2 ( ) n nxi , i = 1, n. n a1 + ... + a n28. Inegalitatea mediilor n a1 ...a n . 11n+ ... + a1 an 1 129. (a1 + a 2 + ... + a n ) + ... + n 2 . ai 0, i = 1, n. a1 an egalitate cnd ai = aj , i, j = 1, n.30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.(a+ ... + an )(b12 + ... + bn ) (a1b1 + ... + anbn ) ai , bi R.21 222 ai aj31. Inegalitatea mediilor generalizate: " =" = . bi bj11 a1 + ... + an a1 + ... + an , ai , bi R+ , , n n , R. 1 a + ... + a2 22 a + ... + a n32. 1 n 1 n n33.Inegalitatea lui Bernoulli: (1 + a )n 1 + na, a 1, n N .9 10. 3.Mulimi. Operaii cu mulimi.1. Asociativitatea reuniunii si a interseciei:A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C2. Comutativitatea reuniunii si a interseciei:A B=B A A B=B A3. Idempotena reuniunii si interseciei:A A=A A A=A4. A =A A =5. Distributivitatea reuniunii fa de intersecie: A (B C)=(A B) (A C)6. Distributivitatea interseciei fa de reuniune: A (B C)=(A B) (A C)7. A,B E,(A B)=A B(A B)= A B8. A E, ( A)=A9. AB= (A B)10. A(B C)=(AB)C A(B C)=(AB) (AC) (A B)C=(AC) (BC) (A B)C=A (BC)=(AC) B11. A(B C)=(AB) (AC)A(B C)=(AB) (AC)A(BC)=(AB) (AC)ABBA A B ( x) (x A=>x B) A B ( x)((x A) (x B)) x A B (x A) (x B) x A B (x A) (x B) x C EA (x E) (x A) x AB (x A) (x B)10 11. 12. Relaiile lui de Morgan1. ( p q)=p q, (p q)= p q .2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).3. p p=A, p p = F.4. p q p q.5. p q (p q) (q p) (p q) ( q p).6. p A = p , p A=A7. p q = q p , p q = q p8. (p)=p9. p p =F , p p =A10. (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r)11. p F = p p F = F 11 12. 4. Progresii1. iruriSe cunosc deja irul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,irulnumerelor pare 2,4,6, Din observaiile directe asupra acestor iruri,un ir de numere reale este dat n forma a1 , a 2 , a3 ,..... undea1 , a 2 , a3 sunt termenii irului iar indicii 1,2,3, reprezint poziia pecare i ocup termenii n ir.Definiie: Se numete ir de numere reale o funcie f: N*R ,definit prin f(n)=a nNotm (a n )nN * irul de termen general , a nObservaie: Numerotarea termenilor unui ir se mai poate face ncepndcu zero: a 0 , a1 , a 2 ,.....ai , i 1 se numete termenul de rang i.Un ir poate fi definit prin :a) descrierea elementelor mulimii de termeni. 2,4,6,8,..b) cu ajutorul unei formulea n =2n c) printr-o relaie de recuren. a n +1 = a n + 2Un ir constant este un ir n care toi termenii irului sunt constani :5,5,5,5,..Dou iruri ( a n ) n , (bn ) n sunt egale dac a n = bn , n NOrice ir are o infinitate de termeni. 12 13. 2. Progresii aritmeticeDefiniie: Se numete progresie aritmetic un ir n care diferenaoricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raiaprogresiei aritmetice.1. Relaia de recuren ntre doi termeni consecutivi:an+1 = an + r, n 12. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice a n 1 + a n +1an =23. Termenul general este dat de :an = a1 + (n 1)r4. Suma oricror doi termeni egal departai de extremi este egal cusuma termenilor extremi :ak + ank+1 = a1 + an5. Suma primilor n termeni : (a1 + a n ) n Sn = 26. irul termenilor unei progresii aritmetice: a1 , a1 + r , a1 + 2r , a1 + 3r ,.a m a n = (m n )r7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie aritmetic de forma :x1 = u vx2 = ux3 = u + v u,v . 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie aritmeticastfel:x1 = u 3v, x2 = u v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, u,v .ak ak +1 9. Dac ai ak +1 ak + 213 14. 4. Progresii geometrice Definiie : Se numete progresie geometric un ir n care raportuloricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numitraia progresiei geometrice.1. Relaia de recuren : b n +1 = b n q , n 12. b1,b2, bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cutermeni pozitivi bn = b n 1 b n + 1n 13. Termenul general este dat de : b n = b1 q4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egalcu produsul extremilorbk bn k +1 = b1 bn5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :1 qnSn = b1 1 q6. irul termenilor unei progresii geometrice : b1 , b1 q, b1 q 2 ,...b1 q n ,....7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie geometric de forma : u x1 =x2 = ux3 = u v , u , v R*+ v8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie geometric astfel :u x1 =v3u x2 =v x3 = u v x4 = u v 3 u , v R*+ 14 15. 5. FunciiI. Fie : AB.1) Funcia este injectiv,dac x,y A, x y=>(x) (y).2) Funcia este injectiv,dac din (x)=(y) =>x=y.3) Funcia f este injectiv, dac orice paralel la axa 0xintersecteaz graficul funciei n cel mult un punct.II.1)Funcia este surjectiv, dac y B, exist cel puin unpunct x A, a.. (x)=y.2) Funcia este surjectiv, daca (A) =B.3) Funcia este surjectiv, dac orice paralel la axa 0x, dusprintr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n celpui