teorie mate liceu stan adrian

Click here to load reader

Post on 24-May-2015

4.311 views

Category:

Career

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1. Dreptul de copyright:Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt site i nu poate fi folosit nscopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului Adrian StanEditura Rafet 2007

2. 1. Mulimea numerelor reale1.. Scrierea n baza zece:abcd = a 103 + b 102 + c 10 + da-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;a,efg = a 10+ e 101 + f 102 + g 103 == a 10+ e 0.1+ f 0.01+ g 0.001e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.2. Fraciiababc-Fracii zecimale finite: a, b = ;a, bc = ;10100-Fracii zecimale periodice:- ab a abc asimple: a, (b) =; a, (bc) = ; 999abc ab abcd abmixte: a, b(c ) =; a, b(cd ) = ; 90 9903.. Rapoarte i proporii aa an se numeste raport b 0; = = k, n Q* , bb b nk se numete coeficient de proporionalitate ;Proprietatea fundamental a proporiilor: a c= a d = b c b d4. Proporii derivate:bddc a b=sau =sau = a c ba c da c ac a b c d= = sau =b d a bc d b daa + c aa c a2c2=sau = sau= .bb + d bb d b 2 d 2 2 3. 5. Sir de rapoarte egale:a1a a a + a 2 + a 3 + .... + a n ; = 2 = ......... = n = 1b1b2bnb1 + b 2 + b 3 + ..... + b n(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt directa1 a 2 aproporionale == .. = n = k .b1 b2bn (a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt inversproporionale a1 b1 = a 2 b2 = .. = a n bn6. Modulul numerelor reale Proprieti: a,a0 adef 0,a = 0 a,a 01.a 0, a R ; 2. a = 0, a = 0;3. a = a, a R ; 4. a = b, a = b ; a a5.a b = a b; 6. =; b b7.a b ab a + b ;8.x = a, x = a, a 0 ;9. x a, x [ a, a],a 0 ;10.x a, x [, a] [a,+],a 0 .7. Reguli de calcul n R1. (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ; 22. (a b ) = a 2 2ab + b 2 ; 23. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;3 4. 4. (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 25. (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;36. (a b ) = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 ;37. a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) ;8. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) .8. Puteri cu exponent ntreg a n defa a a ...... a n factori1. a o = 1; a1 = a;0 n = 0;5. ( a m ) n = a m n 12. a m + n = a m a n 6. a n = ,a 0 an naan3. ( a b ) = a bnnn 7. = n , b 0bb am4. n = amn ; a 08. a m = a n m = n. a9. Proprietile radicalilor de ordinul doi1. a 2 = a 0, a R2. a b = a ba a3.= ,b 0b bn4. an = ( a )n = a 2 , a + a2 b a a2 b5.a b = 22 unde a-b=k . 4 5. 10. Mediix+ yMedia aritmetic m a =2Media geometric m g = x y px+q yMedia ponderat m p = ; p, q ponderile p+q22 xyMedia armonic m h = =. 1 1x+ y+ x yInegalitatea mediilor2 xyx+ y xy x+ y 211. Ecuaii ba x + b = 0 x = ,a 0 ax2 = a x = a , a 0 ; b b 2 4aca x 2 + b x + c = 0 x1, 2 = .2aa 0, b 2 4ac 0.x = a, a 0 x = a. x = a, a 0 x = a 2[x] = a a x a + 1 x [a, a + 1).12. Procentepp % din N =N 1005 6. S pnD=. Dobnda obinut prin depunerea la banc a unei 100 12sume S de bani pe o perioad de n luni cu procentul p al dobndeianuale acordate de banc .Ct la sut reprezint numrul a din N.a 100x % din N =a x =. N13. Partea ntreag1. x = [x ] + {x} , x R , [x ] Z i {x} [0,1)2. [x ] x < [x ] + 1[x] = a a x < a + 13. [x ] = [ y ] K Z a. . x, y [k , k + 1] x y < 14. [x + k ] = k + [x ] , k Z , x R5. {x + k } = {x}, x R , k Z6. Dac{x} = {y} x y Z7. Dac x R [[x]] = [x] Z[{x}] = 0 , {[x]} = 0 , {{x}} = {x}8. Identitatea lui Hermite[x] + x + 1 = [2 x] , x R 29. [x + y ] [x ] + [ y ] , x, y R10. Prima zecimal, dup virgul, a unui numr N este dat de [10 {N }] sau [( N [N ]) 10] 6 7. 2. Inegaliti1. a > 1 a k 1 < a k k 1 a (0,1) a k < a k 1 k 12. 0 < a b (a m b m )(a n b n ) 0 m, n N 113. a + 2 () a > 0 a + 2 a < 0. aa 114. = k +1- k . 2 k k + k +12 a2 + b2a+b5. ab a, b R2 2 a2 + b2a+b 26. ab , a, b > 0a+b2 1 1+ a b7. a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca a, b, c R ( )8. 3 a 2 + b 2 + c 2 (a + b + c ) a, b, c R 2 a 2 + b2 + c2 19. (a + b + c ) a, b, c R a+b+c310. a + b + c 33(a + b + c a, b, c 0 ) ()11. (n 1) a12 + ... + an 2(a1a2 + ...a1an + a2 a3 + ... + an 1an )2 (12. n a + ... + a 2 1 2 n ) (a 1 + ... + a n ) , n N 22a n + bn a + b 13. , n N , a, b > 0.2 2 a a a+r14. 0 < < 2 < , r > 0. b b b+raa a+r1< > , r > 0bb b+r7 8. 15. x a (a > 0 ) a x a.16. a b a + b , a, b R sauC .17. a1 a 2 ... a n a1 + ... + a n , in R sau C .18. a b a b in R sau C .1 1 11 119.== n 2 n n (n 1)n n 1 n1 11 1< =n! (n 1)n n 1 nm20. a, b Z , m, n Z , Q ma 2 nb 2 1. n21. Numerele pozitive a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghidac i numai dac x, y, z R+ a.i*a = y + z , b = x + z, c = x + y. a ba22. 1 a b a, b > 0 ,ba+b b+c c+a23. a, b, c R+ *+ + 6.ca b24. Dac x1 ,..., x n 0 si x1 + ... + x n = k constant atunci produsul kx 2 x 2 ...x n e maxim cnd x1 = ... = x n = . n n25. Dac. x1 ,..., xn < 0 sii =1 xi = k constant x1 + ... + x n eminim atunci cnd x1 = ... = xn =nk.26. Dac x1 ,..., xn 0 si x1 + ... + x n = k = constant atuncix 2p1 x 2p1 ...x npn este maxim cndx1xx k= 2 = ... n =, pi N * , i = 1, np1 p2pnp1 + ... + pn8 9. 27. Teorema lui Jensen: x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 )Dac f : R, ( interval) si f ( ) 2 2 x + ... + xn f ( x1 ) + ... + f ( xn )x1 , x2 f 2 ( ) n nxi , i = 1, n. n a1 + ... + a n28. Inegalitatea mediilor n a1 ...a n . 11n+ ... + a1 an 1 129. (a1 + a 2 + ... + a n ) + ... + n 2 . ai 0, i = 1, n. a1 an egalitate cnd ai = aj , i, j = 1, n.30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.(a+ ... + an )(b12 + ... + bn ) (a1b1 + ... + anbn ) ai , bi R.21 222 ai aj31. Inegalitatea mediilor generalizate: " =" = . bi bj11 a1 + ... + an a1 + ... + an , ai , bi R+ , , n n , R. 1 a + ... + a2 22 a + ... + a n32. 1 n 1 n n33.Inegalitatea lui Bernoulli: (1 + a )n 1 + na, a 1, n N .9 10. 3.Mulimi. Operaii cu mulimi.1. Asociativitatea reuniunii si a interseciei:A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C2. Comutativitatea reuniunii si a interseciei:A B=B A A B=B A3. Idempotena reuniunii si interseciei:A A=A A A=A4. A =A A =5. Distributivitatea reuniunii fa de intersecie: A (B C)=(A B) (A C)6. Distributivitatea interseciei fa de reuniune: A (B C)=(A B) (A C)7. A,B E,(A B)=A B(A B)= A B8. A E, ( A)=A9. AB= (A B)10. A(B C)=(AB)C A(B C)=(AB) (AC) (A B)C=(AC) (BC) (A B)C=A (BC)=(AC) B11. A(B C)=(AB) (AC)A(B C)=(AB) (AC)A(BC)=(AB) (AC)ABBA A B ( x) (x A=>x B) A B ( x)((x A) (x B)) x A B (x A) (x B) x A B (x A) (x B) x C EA (x E) (x A) x AB (x A) (x B)10 11. 12. Relaiile lui de Morgan1. ( p q)=p q, (p q)= p q .2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).3. p p=A, p p = F.4. p q p q.5. p q (p q) (q p) (p q) ( q p).6. p A = p , p A=A7. p q = q p , p q = q p8. (p)=p9. p p =F , p p =A10. (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r)11. p F = p p F = F 11 12. 4. Progresii1. iruriSe cunosc deja irul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,irulnumerelor pare 2,4,6, Din observaiile directe asupra acestor iruri,un ir de numere reale este dat n forma a1 , a 2 , a3 ,..... undea1 , a 2 , a3 sunt termenii irului iar indicii 1,2,3, reprezint poziia pecare i ocup termenii n ir.Definiie: Se numete ir de numere reale o funcie f: N*R ,definit prin f(n)=a nNotm (a n )nN * irul de termen general , a nObservaie: Numerotarea termenilor unui ir se mai poate face ncepndcu zero: a 0 , a1 , a 2 ,.....ai , i 1 se numete termenul de rang i.Un ir poate fi definit prin :a) descrierea elementelor mulimii de termeni. 2,4,6,8,..b) cu ajutorul unei formulea n =2n c) printr-o relaie de recuren. a n +1 = a n + 2Un ir constant este un ir n care toi termenii irului sunt constani :5,5,5,5,..Dou iruri ( a n ) n , (bn ) n sunt egale dac a n = bn , n NOrice ir are o infinitate de termeni. 12 13. 2. Progresii aritmeticeDefiniie: Se numete progresie aritmetic un ir n care diferenaoricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raiaprogresiei aritmetice.1. Relaia de recuren ntre doi termeni consecutivi:an+1 = an + r, n 12. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice a n 1 + a n +1an =23. Termenul general este dat de :an = a1 + (n 1)r4. Suma oricror doi termeni egal departai de extremi este egal cusuma termenilor extremi :ak + ank+1 = a1 + an5. Suma primilor n termeni : (a1 + a n ) n Sn = 26. irul termenilor unei progresii aritmetice: a1 , a1 + r , a1 + 2r , a1 + 3r ,.a m a n = (m n )r7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie aritmetic de forma :x1 = u vx2 = ux3 = u + v u,v . 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie aritmeticastfel:x1 = u 3v, x2 = u v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, u,v .ak ak +1 9. Dac ai ak +1 ak + 213 14. 4. Progresii geometrice Definiie : Se numete progresie geometric un ir n care raportuloricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numitraia progresiei geometrice.1. Relaia de recuren : b n +1 = b n q , n 12. b1,b2, bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cutermeni pozitivi bn = b n 1 b n + 1n 13. Termenul general este dat de : b n = b1 q4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egalcu produsul extremilorbk bn k +1 = b1 bn5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :1 qnSn = b1 1 q6. irul termenilor unei progresii geometrice : b1 , b1 q, b1 q 2 ,...b1 q n ,....7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie geometric de forma : u x1 =x2 = ux3 = u v , u , v R*+ v8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie geometric astfel :u x1 =v3u x2 =v x3 = u v x4 = u v 3 u , v R*+ 14 15. 5. FunciiI. Fie : AB.1) Funcia este injectiv,dac x,y A, x y=>(x) (y).2) Funcia este injectiv,dac din (x)=(y) =>x=y.3) Funcia f este injectiv, dac orice paralel la axa 0xintersecteaz graficul funciei n cel mult un punct.II.1)Funcia este surjectiv, dac y B, exist cel puin unpunct x A, a.. (x)=y.2) Funcia este surjectiv, daca (A) =B.3) Funcia este surjectiv, dac orice paralel la axa 0x, dusprintr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n celpuin un punct.III.1) Funcia este bijectiv dac este injectiv i surjectiv.2) Funcia este bijectiv dac pentru orice y B exist unsingur x A a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singursoluie,pentru orice y din B)3) Funcia este bijectiv dac orice paralel la axa 0x, dusprintr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei ntr-unpunct i numai unul.IV.1A: AA prin 1A(x) =x, x A.1) Funcia : AB este inversabil , dac exist o funcieg:BA astfel nct g o = 1A si o g =1B, funcia g esteinversa funciei i se noteaz cu -1.2) (x) = y x= -1(y)3) este bijectiv este inversabil.15 16. V. Fie :AB si g: BC, dou funcii. 1) Dac si g sunt injective, atunci g o este injectiv. 2) Dac si g sunt surjective,atunci g o este surjectiv. 3) Dac si g sunt bijective, atunci g o este bijectiv. 4) Dac si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o este (strict) crescatoare. 5) Dac si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o este (strict) descrescatoare. 6) Dac si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci g o este descrescatoare. 7) Dac este periodic, atunci g o este periodic. 8) Dac este par, atunci g o este par. 9) Dac si g sunt impare, atunci g o este impar, 10)Dac este impar si g par, atunci g o este par. VI. Fie : A B si g:BC, dou funcii.Dac g o este injectiv, atunci este injectiv.Dac g o este surjectiv, atunci g este surjectiv.Dac g o este bijectiv, atunci este injectiv si gsurjectiv. Dac ,g: A B iar h: B C bijectiv si h o = h o ,atunci = g.VII. Fie : AB si X,Y mulimi oarecare. Funcia este bijectiv, dac i numai dac oricare ar fi funciileu,v: XA,din o u = o v, rezult u=v. Funcia este surjectiv, daca i numai dac oricare ar fifunciile u,v :BY, din u o = v o , rezult u=v 16 17. VIII.1)Dac :AB este strict monoton,atunci este injectiv.2) Daca : RR este periodic i monoton, atunci esteconstant.3) Daca : RR este bijectiv i impar,atunci -1 esteimpar.4) Fie A finit i :AA. Atunci este injectiv estesurjectiv.IX. Fie : E F, atunci1) injectiv () g : F E (surjectiv) a.i. g o =1E.2) surjectiv () g : EF (injectiv) a.i. o g =1F3) bijectiv inversabil.X. Fie : E F.1)Funcia este injectiv dac i numai dac () A,B E (A B) = (A) (B).2) Funcia este surjectiv dac i numai dac () B Fexist A E, astfel nct (A)=B.3) Funcia este injectiv dac (A B)=(A) (B), A, B E.XI. Fie : E F si A E, B E, atunci (A) ={y F x A a.i. (x)=y} -1 (B) = {x E (x) B}.1.Fie : E F si A,B E, atuncia) A B => (A) (B),b) (A B)= (A) (B),c) (A B) (A) (B),d) (A) (B) (A B). 17 18. 2.Fie : E F si A,B F atuncia) A B => -1 (A) -1 (B),b)-1 (A) -1 (B) --1 (A B),c)-1 (A) -1 (B) = -1 ( A B),d) -1 (A) -1 (B) = -1 (A B),e) -1 (F) = E. Funcia de gradul al doileaForma canonic a funciei f:RR,f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c R, a 0 este2 b f ( x ) = a x + , x R ; 2a 4a b Graficul funciei este o parabol de vrf V , , unde 2a 4a = b2 4ac a 0f este convex;0 ; x1,x2 Cf(x) >0, x R ; b V, - punct 2a 4a de minim;18 19. = 0 , x1=x2 R f(x) 0, x R ; b f(x)=0 x = 2a 0, x1 x 2 R f(x) 0, x (, x1 ] [ x 2 ,+) ; f(x)..>Cnn daca n este par, n=2k28 29. Cno..>Cnn daca n este impar, n=2k+1.2. Coeficienii binomiali din dezvoltare, egal deprtai de termeniiextremi ai dezvoltrii sunt egali ntre ei. k nkCn = Cn(2)3. Termenul de rang k+1 al dezvoltrii (sau termenul general aldezvoltrii) este k Tk+1 =Cn ank bk , k =0,12,...., , n(3) Formula binomului lui Newton scris restrns are forma: n (a + b )n = C n k a n k b k . k =0(4)4. Relaia de recuren ntre termenii succesivi ai dezvoltrii esteurmtoarea: Tk + 2 n k b = Tk +1 k + 1 a(5)5. Pentru a=b=1 se obine 0 12n C +C +C +.......... C =(1+1 nnn ...+ ) nn (6)ceea ce nseamn c numrul tuturor submulimilor unei mulimi cu nelemente este 2n . 29 30. 9. Vectori i operaii cu vectoriDefiniie: Se numete segment orientat, o pereche ordonat depuncte din plan; Se numete vector, mulimea tuturor segmentelororientate care au aceeai direcie, aceeai lungime i acelaisens cu ale unui segment orientat.Observaii:Orice vector AB se caracterizeaz prin:- modul(lungime,norm), dat de lungimea segmentuluiAB;- direcie, dat de dreapta AB sau orice dreapt paralelcu aceasta;- sens, indicat printr-o sgeat de la originea A laextremitatea B.Notaii: AB vectorul cu originea A i extremitatea B;AB = ( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 - modulul vectorului AB undeA(x0,y0), B(x.y).Definiie:Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeai direcie,acelai sens i acelai modul. Doi vectori se numesc opui dacau aceeai direcie, acelai modul i sensuri contrare: - AB = BA .Adunarea vectorilor se poate face dup regula triunghiului saudup regula paralelogramului: 30 31. v = 0 = 0 sau v = 0, RDaca 0, v 0 v = v , v are direcia i sensulvectorului v dac 0 i sens opus lui v dac 0 .Definiie:Doi vectori se numesc coliniari dac cel puin unul este nul saudac amndoi sunt nenuli i au aceeai direcie. n caz contrarse numesc necoliniari. vectori coliniarivectori necoliniariTeorem:Fie u 0 i v un vector oarecare.Vectorii u i v sunt coliniari R a.i. v = u .31 32. Punctele A, B, C sunt coliniare AB si AC sunt coliniari Ra.i. AB = AC .AB CD AB si CD sunt coliniari;Dac u i v sunt vectori necoliniari atuncix, y R a.i. x u + y v = 0 x = y = 0 .Teorem: Fie a i b doi vectori necoliniari. Oricare ar fivectorul v , exist , R(unice) astfel nct v = a + b .Vectorii a i b formeaz o baz. ( ) , se numesc coordonatele vectorului v n baza a, b .Definiie:Fie XOY un reper cartezian. Considerm punctele A(1,0),B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelorde coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direciile axelor isensurile semiaxelor pozitive cu OX i OY.( )Baza i, j se numete baz ortonormat.32 33. v = A B+ AB = x i + y j x=xB- xA, y=yB- yAv = prOX v i + prOY v jAB = ( x B x A ) 2 + ( y B y A ) 2Teorem:Fie u ( x, y ), v( x , y) . Atunci:1) u + v are coordonatele (x+x.y+y);2) R, v are coordonatele ( x, y);3) u ( x, y ), v( x , y) sunt coliniarix y = = k , x , y 0. xy x y = 0.x y 4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.u v = u v cos unde = m(u, v), [0, ]. x x+ y y cos =x 2 + y 2 ( x ) 2 + ( y) 2 [0, ] u v 0; ( , ] u v02 2Fie u ( x, y ), v( x , y) nenuli. Atunci:u v = 0 u v x x+ y y= 0. 2u u = u 0, u.u u = 0 u = 0.i i = j j = 1; i j = 0.Vectori de poziie. Dac rA , rBsunt vectori de poziie, atunci: AB = rB rA33 34. 10. Funcii trigonometriceSemnul funciilor trigonometrice: Sin: , [ 1,1] 2 2 arcsin:[-1,1] , 2 2 [ ] [Cos: 0, 1,1 ]arccos:[-1,1] [0, ]34 35. Tg: , R 2 2 arctg:R , 2 2Reducerea la un unghi ascuitFie u (0, ) Notm sgn f= semnul funciei f; cof = cofuncia lui f2 sgn f (k 2 u ) sin u, k = parsin k u = Analog pentru 2 sgn f (k u ) cos u, k = impar 2celelalte; sgn f (k 2 u ) f (u ), k = parn general, f ( k u ) = 2sgn f (k u ) cof (u ), k = impar 235 36. Ecuaii trigonometriceFie x un unghi, a un numr real i k Z .sin x = a, a 1 x = (1) k arcsin a + k , dac a [0,1] = ( 1)k +1 arcsin a + k , dac a [ 1,0 ]cos x = a, a 1 x = arccos a + 2k , dac a [0,1]= arccos a + ( 2 k + 1) , dac a [ 1,0 ]tgx = a, a R x = arctga + karcsin(sin x) = a x = (1) k a + karccos(cos x) = a x = a + 2karctg (tgx) = a x = a + ksin f ( x) = sin g ( x) f ( x) = (1) k g ( x) + kcos f ( x) = cos g ( x) f ( x) = g ( x) + 2ktgf ( x) = tgg ( x) f ( x) = g ( x) + k , k ZEcuaii trigonometrice reductibile la ecuaii care conin aceeaifuncie a aceluiai unghi;Ecuaii omogene n sin x i cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0Ecuaii trigonometrice care se rezolv prin descompuneri n factori;Ecuaii simetrice n sin x i cos x;Ecuaii de forma: ca sin x + b cos x + c = 0 : a sin x + tg cos x = a cx + = (1) k arcsin( cos ) + k a a sin x + b cos x a2 + b2Observaie important: Prin ridicarea la putere a unei ecuaiitrigonometrice pot aprea soluii strine iar prin mprirea unei ecuaiitrigonometrice se pot pierde soluii; 36 37. FORMULE TRIGONOMETRICEsin 2 + cos 2 = 1 cos = 1 sin 2 ;1. Rsin = 1 cos 22. sin 1 cos 2 1tg = = tg 2 + 1 = ; 1 sin 2cos cos 2 1 tg3. cos = ; sin = ;1 + tg 21 + tg 24. cos( + ) = cos cos sin sin ;5. cos( ) = cos cos + sin sin ;6. sin( + ) = sin cos + sin cos ;7. sin( ) = sin cos sin cos ;tg + tgtg tg8. tg ( + ) = ; tg ( ) =; 1 tg tg1 + tg tg9.ctg ctg 1 ctg ctg + 1ctg ( + ) =;ctg ( ) = ; ctg + ctg ctg ctg10. sin 2 = 2 sin cos ;11. cos 2 = cos 2 sin 2 = 2 cos 2 1 = 1 2 sin 2 1 + cos 21 cos 212. cos 2 = ; sin 2 =;2 2 1 + cos 1 cos 13. cos = ; sin = ;2 2 2 2 1 cos 1 + cos 14. tg = ; ctg = 21 + cos 21 cos 2tgctg 1215. tg 2 =; ctg 2 = ;1 tg 22ctg37 38. 2tg 1 tg 216. tg = 2 ; ctg =2; 1 tg 22tg2 217. 3tg tg 3sin 3 = 3 sin 4 sin ;3 tg 3 =1 3tg 2 ctg 3 3ctgcos 3 = 4 cos 3 cos ;3ctg 3 =; 3ctg 2 1 sin 1 cos 118. tg = = =; 2 1 + cos sin ctg2 2tg1 tg 219. sin = 2 ; cos = 2;2 2 1 + tg 1 + tg2 2a+b absin a + sin b = 2 sin cos 2 2ab a+bsin a sin b = 2 sin cos 2 2 a+b abcos a cos b = 2 sin sin 22ab a+bcos a + cos b = 2 sin cos 2 2sin( a + b)tga + tgb = cos a cos b sin( a b) sin(a + b)tga tgb = ctga + ctgb =cos a cos bsin a sin bsin(b a )ctga ctgb = sin a sin b38 39. sin( a + b) + sin( a b)sin a cos b =2cos(a + b) + cos(a b)cos a cos b = 2cos( a b) cos( a + b)sin a sin b =2arcsin x + arcsin y = arcsin( x 1 y 2 + y 1 x 2 ) arcsin x+arccos x= arctg x +arcctg x=2 2 1 arctg x+arctg =arccos(-x)= -arccos x x 2 39 40. 11. ECUAIILE DREPTEI N PLAN1. Ecuaia cartezian general a dreptei:ax+by+c=0 (d)Punctul M(x0,y0) d a x0 + b y 0 + c = 02. Ecuaia dreptei determinat de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):y y1 x x1 = y 2 y1 x 2 x13. Ecuaia dreptei determinat de un punct M(x0,y0) i odirecie dat( are panta m) y-y0=m(x-x0)4. Ecuaia explicit a dreptei (ecuaia normal):y y1 y=mx+n, unde m = tg = 2este pantax 2 x1dreptei i n este ordonata la origine.x y5. Ecuaia dreptei prin tieturi: + = 1, a, b 0.a b6. Fie (d): y=mx+n i (d): y=mx+n Dreptele d i d sunt paralele m=mi n n.Dreptele d i d coincid m=mi n=n. Dreptele d i d sunt perpendiculare mm= -1. Tangenta unghiului a celor dou drepte este m mtg =1 + m m7. Fie d: ax+by+c=0 i d: ax+by+c=0 cu a,b,c 0. i = m( d , d)a b cDreptele d i d sunt paralele = ab c40 41. a b cDreptele d i d coincid = =ab c a b Dreptele d i d sunt concurente abab-ba 0. v v a a+b bcos ==unde2222 v v a +b a+bv (b , a ), v (b , a) sunt vectorii directori ai dreptelord i d.Dreptele d i d sunt perpendiculare,d d a a+b b= 08. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) n plan. Dreptele AB i CD sunt paralele, AB|| CD R*, a. AB = CD sau mAB=mCD.DrepteleABi CDsunt perpendiculare, AB CD AB CD = 0Condiia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) s fiecoliniare este:y 3 y1 x x1 = 3y 2 y1x 2 x19. Distana dintre punctele A(x1,y1) i B(x2,y2) esteAB= (x2 x1 ) + ( y2 y1 ) 2 2Distana de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecuaie(h): ax+by+c=0 este dat de:ax0 + by 0 + c d ( M 0 , h) =. a2 + b241 42. 12. CONICE1.CERCULDefiniie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal deprtate de unpunct fix, numit centru se numete cerc.C ( O , r ) = { M ( x , y ) | OM = r }1. Ecuaia general a cerculuiA(x + y) + Bx + Cy + D = 02. Ecuaia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza r(x - a) + (y + b) = r ; x + y = r3. Ecuaia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2)(x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 04. Ecuaia tangentei dup o direcieO(0,0) : y = mx r 1 + mO(a,b) : y-b = m(x-a) r 1 + m5. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0)(x x0) + (y y0) = r respectiv(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r6. Ecuatia normala a cercului 42 43. x + y + 2mx + 2ny + p = 0 cuO(-m; -n) i r = m + n - p7. Ecuaia tangentei n punctul M(x0,y0)x x0 + y y0 + m(x + x0) + n(y + y0) + p = 08. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuaiey = mx + n este | ma b + n | | ax 0 + by 0 + c |d(0,d) =sau ( d = ) m + 1 a + b9. Ecuaiile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0)I. Se scrie ecuaia 4 i se pune condiia ca M s aparin cercului deecuaie 4.II. y - y0 = m(x - x0)x + y = r , =02. ELIPSADefiniie: Locul geometric al punctelor din plan care au sumadistanelor la dou puncte fixe, constant, se numete elips.F,F- focare, FF distana focalE= {M ( x, y ) MF + MF= 2a}MF,MF- raze focale1. Ecuaia elipsei43 44. x y + =1 ,b = a - ca b2. Ecuaia tangentei la elips y = mx a m + b3. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0) la elips x x0 y y0 b x0 + =1 ,m= ab a y04. Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) laelipsVAR I Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M s aparinelipsei de ecuaie 2 de unde rezult mVAR II Se rezolv sistemul y y0 = m(x-x0) x y ,+ = 1 cu conditia = 0 a b3. HIPERBOLADefiniie: Locul geometric al punctelor din plan a crordiferen la dou puncte fixe este constant, se numetehiperbol 44 45. H: = { M(x,y) | |MF MF| = 2a }by= x --ecuaia asimptotelora1. Ecuaia hiperboleix y = 1 , b = c - a ;a bDaca a = b => hiperbola echilateral2.Ecuaia tangentei la hiperboly = mx a m b 3. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0)x x0 y y 0 b x0=1 ,m= a b a y04. Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)VAR I. Se scrie ecuaia 2 si se pune condiia ca M s aparinhiperbolei de ecuaie 2, de unde rezult m.VAR II. Se rezolva sistemuly - y0 = m(x - x0)x y =1 ,cu = 0a b4. PARABOLADefiniie: Locul geometric al punctelor egal deprtate de un punctfix, (numit focar) i o dreapt fix (numit directoare), se numeteparabol. 45 46. P: = { M(x, y) | MF = MN } p(d): x = ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem 2duce tangente la o parabol).1. Ecuaia paraboleiy = 2px2. Ecuaia tangentei la parabolPy = mx + 2m3. Ecuaia tangentei n M (x0, y0)yy0 = p(x + x0)4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)VAR I. Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M (ecuatia 2) =>mVAR II. Se rezolv sistemuly - y0 = m(x - x0)y = 2px cu = 046 47. 13. ALGEBRA LINIAR1. MATRICE. a b x y a + x b + yAdunarea matricelorc d +z t = c + z d +t x y a x a ya = z t a z a t nmulirea matricelora b x y a x + b z a y + bt c d z t = c x + d z c y + d t T a b a c c d = b d Transpusa unei matrice 2. DETERMINANI.a b = a d b c;c d a b cd e f = aei + d hc + g b f ce g f h a i b dg h iProprieti:1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantulmatricei transpuse;2. Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matricesunt nule, atunci determinantul matricei este nul;3. Dac ntr-o matrice schimbm dou linii(sau coloane) ntreele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusuldeterminantului matricei iniiale.4. Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice atuncideterminantul su este nul; 47 48. 5. Dac toate elementele unei linii(sau coloane) ale uneimatrice sunt nmulite cu un element a, obinem o matrice alcrei determinant este egal cu a nmulit cu determinantulmatricei iniiale.6. Dac elementele a dou linii(sau coloane) ale unei matricesunt proporionale atunci determinantul matricei este nul;7. Dac la o matrice ptratic A de ordin n presupunem celementele unei linii i sunt de forma aij = aij +aijatunci det A = det A +det A;8. Dac o linie (sau coloan) a unei matrice ptratice este ocombinaie liniar de celelate linii(sau coloane) atuncideterminantul matricei este nul.9. Dac la o linie (sau coloan) a matricei A adunmelementele altei linii (sau coloane) nmulite cu acelai elementse obine o matrice al crei determinant este egal cudeterminantul matricei iniiale;10. Determinantul Vandermonde:11 1a b c = (b a )(c a )(c b) ; a2 b2 c211. Dac ntr-un determinant toate elementele de deasupradiagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero,atunci determinantul este egal cu a c f ; a 0 0 b c 0 = ac f d e f12. Factor comun axa y az x y zb m b n b p = a b m n puv r u v r48 49. 3. Rangul unei matriceFie A M m , n (C ) , r N, 1 r min(m, n) .Definiie: Se numete minor de ordinul r al matricei A,determinantul format cu elementele matricei A situate laintersecia celor r linii i r coloane.Definiie: Fie A Om , n o matrice . Numrul natural r esterangul matricei A exist un minor de ordinul r al lui A,nenul iar toi minorii de ordin mai mare dect r+1 (dac exist)sunt nuli.Teorema: Matricea A are rangul r exist un minor deordin r al lui A iar toi minorii de ordin r+1 sunt zero.Teorema: Fie A M m, n (C ), B M n , s (C ) . Atunci orice minorde ordinul k , 1 k min(m, s) al lui AB se poate scrie ca ocombinaie liniar de minorii de ordinul k al lui A (sau B).Teorema: Rangul produsului a dou matrice este mai mic sauegal cu rangul fiecrei matrice.Definiie: M n (C ) . A este inversabil det A 0.( A estenesingular).Teorema: Inversa unei matrice dac exist este unic.Observaii: 1) det (AB) =det A det B. 1 2) A1 = A* det A( AA A* = ((1)i+ j dij)i, j A1 )3) A-1 M n ( Z ) det A = 1 .Stabilirea rangului unei matrice:Se ia determinantul de ordinul k-1 i se bordeaz cu olinie (respectiv cu o coloan). Dac noul determinant este nulrezult c ultima linie(respectiv coloan )este combinaieliniar de celelalte linii (respectiv coloane). 49 50. Teorema: Un determinant este nul una din coloanele(respectiv linii) este o combinaie liniar de celelaltecoloane(respectiv linii).Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numrulmaxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintrecoloanele (respectiv liniile) lui A astfel nct nici una dintre eles nu fie combinaie liniar a celorlalte.4. Sisteme de ecuaii liniareForma general a unui sistem de m ecuaii cu n necunoscuteeste: a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1n xn = b1 (1 ............................................. sau a x + a x + .......... + a x = b m1 1 m2 2mn nm n j =1a ij x j = biUnde A (aij) 1 i m , 1 j n - matricea coeficienilornecunoscutelor. a11 ... a1n b1 Matricea A = ... se numete matricea extins a m1 .... amn bm a sistemului.Definiie: Un sistem de numere 1 , 2 ,....... n se numetesoluie a sistemului (1) na j =1 ij j = b i , i = 1, m .Definiie: - Un sistem se numete incompatibil nu are soluie; - Un sistem se numete compatibil are cel puin o soluie; - Un sistem se numete compatibil determinat are osingur soluie;50 51. - Un sistem se numete compatibil nedeterminat are oinfinitate de soluii;Rezolvarea matriceal a unui sistem Fie A, B M n (C ) . 1 nA1 A X = B X = A1 B X j = aij bi , j = 1, n . det A i =1 Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:Teorema lui Cramer: Dac det A not 0 , atunci sistemul iAX=B are o soluie unic Xi=. Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaii liniareeste compatibil rangul matricei sistemului este egal curangul matricei extinse.Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaii liniare estecompatibil toi minorii caracteristici sunt nuli.Notm cu m-numrul de ecuaii; n- numrul de necunoscute; r -rangul matricei coeficienilor. Im=n=r Sistem compatibil 0determinat II m=r n Sistem compatibilMinorulnedeterminat principal este nenulSistem compatibilDac toideterminat sau minorii IIIn=r mcaracteristici sunt nuli51 52. SistemExist cel incompatibilpuin un minor caracteristic nenul IV r n, r m Sistem compatibil Dac toi nedeterminat sauminorii caracteristici sunt nuli SistemExist cel incompatibilpuin un minor caracteristic nenulTeorema: Un sistem liniar i omogen admite numai soluiabanal 052 53. 14. SIRURI DE NUMERE REALE1. Vecinti. Puncte de acumulare.Definiia 1 : Se numete ir , o funcie f : N R definit prin f(n) =an .Notm (a n )nN : a 0 , a1 , a 2 ,.............sau a1 , a 2 , a3 ,...........Orice ir are o infinitate de termeni; a n este termenul general alirului (a n )nN .Definiia2: Dou iruri(a n )nN , (bn )nN sunt egale a n = bn , n k NDefiniia 3: Fie a R. Se numete vecintate a punctului a R, omulime V pentru care >0 i un interval deschis centrat n a deforma (a- , a+ ) V.Definiia 4: Fie D R. Un punct R se numete punct deacumulare pentru D dac n orice vecintate a lui exist cel puinun punct din D- { } V (D- { }) . Un punct x D care nu e punct de acumulare se numete punct izolat.2. iruri convergenteDefiniia 5 : Un ir (a n )nN este convergent ctre un numr a Rdac n orice vecintate a lui a se afl toi termenii irului cu excepia lim a n = aunui numr finit i scriem a n n a sau na se numete limita irului .Teorema 1: Dac un ir e convergent , atunci limita sa este unic.Teorema 2: Fie (a n )nN un ir de numere reale. Atunci:(a n )nNeste monoton cresctor a n a n +1 , n N sau a n +1a n +1 a n 0, sau 1;an53 54. (a n )nN este stict cresctor a n a n +1 , n N saua n +1a n +1 a n 0, sau1 ; an(a n )nNeste monoton descresctor a n a n +1 , n N saua n +1a n +1 a n 0, sau 1; an(a n )nNeste strict descresctor a n a n +1 , n N saua n +1a n +1 a n 0, sau1 . anDefiniia 6. Un ir (a n )nN este mrginit M R astfelnct a n Msau , Rastfel nct an .Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice ir monoton imrginit este convergent.Definiia 7: Dac un ir are limit finit irul este convergent.Dac un ir are limit infinit + sau irul estedivergent.Teorema 4: Orice ir convergent are limit finit i este mrginit darnu neaprat monoton.Teorema 5: Lema lui Cesaro:Orice ir mrginit are cel puin un subir convergent.Definiia 8: Un ir e divergent fie dac nu are limit, fie dac are olimit sau dac admite dou subiruri care au limite diferite.OBS: Orice ir cresctor are limit finit sau infinit.Teorema 6: Dac (a n )nN R+ este un ir strict cresctor i * 1lim a n = + lim=0nemrginit atuncian. Un irndescresctor cu termenii pozitivi este mrginit de primul termen i de0.54 55. 3. Operaii cu iruri care au limitTeorema 7: Fie (a n )nN , (bn )nN iruri care au limit:a n n a , b n n b . Dac operaiilea+b,aba b, a au sensatunci irurileb. aan + bn , an bn , an , an bn , n , an n aublim it bnlim( a n + bn )= lim a n +lim bn ;lim( a n bn )=lim a n .lim bn ;n n n a n lim a nlim( a n )=lim a n ; lim= bn lim bnbnlim a n= (lim a n ) lim bnlim (log a a n ) = log a (lim a n )lim ka n = klim a nPrin convenie s-a stabilit: += ; a+=,a R; a+(-)=-; -+(-)=-; a= ,a>0;a=-,a1nudac q 1exist, 60 61. 0, dac p q a0 , dac p = q a 0 x + a1 x + ....... + a p b0pp 1 lim q 1=a0x b0 x + b1 x+ ..... + bqq , dac p q i 0 b0 a , dac p q i 0 0. b0 lim a= limax = 0xa>1 x x a (0,1)lim ax=0 lim a x= x x a>1 lim logx a x=lim log x 0a x = a (0,1) lim log a x = lim log a x=x x 0sin xsin u ( x )limx 0x=1 u x lim( ) 0 u ( x ) =1tgx tgu ( x ) lim x 0x=1 u xlim ( ) 0 u ( x )=1 arcsin x arcsin u ( x )limx 0x=1lim ( )u x 0u (x ) =1 arctgx arctgu ( x )limx 0 x=1 lim( ) u x 0 u(x ) =1 1 1lim (1 + x )x 0 x =e lim (1 + u(x )) ( ) = e ( )u x 0u x 61 62. x u(x ) 11 lim 1 + x = ex lim 1 + u (x ) u(x ) =0 ln (1 + x ) ln (1 + u ( x ))limx 0x =1lim( ) u x 0u (x )=1 a x 1 au( x) 1limx 0x= ln a lim 0 u(x ) = ln a u(x ) (1 + x )r 1 = r (1 + u (x ))r 1 = rlimx 0xlim 0 u (x ) u(x ) u (x ) k xklim a x = 0x lim a u ( x ) = 0 u(x ) ln xln u (x )limx xk=0 lim u (x )( ) u x k =0 62 63. 16. FUNCII CONTINUEDEFINIIE. O funcie f : D R R se numete continu npunctul de acumulare x0 D oricare ar fi vecintatea V a lui f(x0) ,exist o vecintate U a lui x0, astfel nct pentru orice x U D f(x) V.DEFINIIE. f : D R R este continu n x0 D f are limit nx0 i lim f(x) = f(x0)sau ls (x0 ) = ld (x0 ) = f(x0).x0 se numete punct de continuitate.Dac funcia nu este continu n x0 f.se numete discontinu n x0i x0 se numete punct de discontinuitate. Acesta poate fi:- punct de discontinuitate de prima spe dac ls (x0 ), ld (x0 )finite, dar f(x0);- punct de discontinuitate de a doua spe dac cel puin olimit lateral e infinit sau nu exist.DEFINIIE. f este continu pe o mulime ( interval) estecontinu n fiecare punct a mulimii ( intervalului). Funciile elementare sunt continue pe domeniile lor dedefiniie. Exemple de funcii elementare: funcia constant c, funciaidentic x, funcia polinomial f(x) = a0xn + a1xn-1 + .......an , funciaraional f(x)/g(x), funcia radical n f ( x) , funcia logaritmic logf(x), funcia putere xa, funcia exponenial ax, funciiletrigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x.PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCIINTR-UN PUNCT DE ACUMULAREDEFINIIE. Fie f : D R R. Dac f are limital R n punctul de acumulare x0 D f ( x), x Df: D { x0} R, f(x) = l , x = x0 63 64. este o funcie continu n x0 i se numete prelungirea princontinuitate a lui f n x0.OPERAII CU FUNCII CONTINUET1. Dac f,g:DR sunt continue n x0( respectiv pe D) atunci f+g, f, fg,f/g, fg, fsunt continue n x0 ( respectiv pe D); R, g 0.T2. Dac f:DR e continu n x0 D ( respectiv pe D) f (x) econtinu n x0 ( respectiv pe D).Reciproca nu e valabil.T3. Fie f:DR continu n n x0 A i g:B A continu n x0 B,atunci gf e continu n x0 A. lim f( g (x) = f( lim g(x)) xx0xx0Orice funcie continu comut cu limita.PROPRIETILE FUNCIILOR CONTINUE PE UN INTERVALLEM. Dac f este o funcie continu pe un interval [ a,b] i dac arevalori de semne contrare la extremitile intervalului( f(a) ( f(b) 0 pe I f e strict cresctoare pe I.Daca f( x ) < 0 pe I f e strict descresctoare I. Consecina 4. f : i R, x0 I Daca f s ( x0 ) = f d ( x0 ) = l R . f are derivata n x0 i = f( x 0 ).Dac l < f e derivabila in x0 .Consecina 5.Daca f( x ) 0 pe I fpstreaz semn constant peI. ETAPELE REPREZENTRII GRAFICULUI UNEI FUNCII1. Domeniul de definiie;2. Intersecia graficului cu axele de coordonate :Intersectia cu axa Ox conine puncte de forma{x,0},unde x esteo rdcin a ecuaiei f(x)=0 {daca exist}.Intersecia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {dacpunctul 0 aparine domeniului de definitie}3. Studiul continuitii funciei pe domeniul de definiie : 72 73. Dac funcia este definit pe R se studiaz limita funciei la iar dac este definit pe un interval se studiaz limita lacapetele intervalului.4.Studiul primei derivate :a. Calculul lui f.b. Rezolvarea ecuaiei f(x)=0.Rdcinile acestei ecuaii vor fieventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ;c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant.Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f.5.Studiul derivatei a doua :a.Se calculeaz fb.Se rezolva ecuatia f(x)=0. Rdcinile acestei ecuaii vor fieventuale puncte de inflexiune ale graficuluic.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant.Astfel,pe intervalele pe care f>0 functia este convex i pecele pe care f xx 332007 2006 =1 (*)Din monotonia funciei f(x) = (1+ a)x ax care e strictcresctoare => ecuaia (*) are soluie unic: x = 317. S se determine numrul de cifre din care este compusnumrul 72007.Rezolvare:102 < abc lg 10p-1 lg N p-1 lg N

lg N = 2007 lg 7 1696 de cifre. 91 92. a b c d M 2 (Z ) e18. S se arate c matricea A = inversabil , unde : a = 2005 2006b = 6 + 6 2 + 6 3 + ... + 6 2006c = 1 + 11 + 111 + ... + 111 ... 11 2006 ori de 1d = 2006 2005Rezolvare :A e inversabil det A 0 ultima cifr a numrului det Ae0u (a ) = 5u (d ) = 6 u (det A) = 5 6 6 6 = 0 6 = 4 0 det A 0.u (b ) = 6u (c ) = 6 92 93. Probleme - sintezeI. NUMERE REALE. APLICAII.1. S se calculeze: a)98 44 50 + 99 . b) (7 2 8 3 ) (5 2 6 3 ) + ( 2 + 2 3 ).c)( 20 18 ) ( 45 + 50 ) 10 .d) (520 + 330 520 ) : 914.e)( 287 358 358 ) : 1620. 3 2 12 f) .2 3 3 2 3 32 2g){ 5 2 + 3 8 3 + 4 3 2 + 2[()]}3 2 2 : 22. 12 2 3 12 + 3 2 2 6 6h) +. 2 33 2 6 1 1 1 1 i) : . 5 20 2 5 93 94. j)6561 + 1225 5184 .k) 1 2+1 : 3 2 ( )1 3 2 32 2 2 l) 2 2+ 2 2+ 2+ 2 2 2+ 2.m)(3 7 ) + (2 7 ) .22n) (3 2 ) + (2 2 3) (3 2 5) . 2 2 2 3 + 2 2 + 6 4 2 ( 2 1) .2o)16 x16p). 25 y 24 q)3 + 7 ( 13 7 5 7 ). r)2 3 ( 6 2 ) (2 + 3 ). s)11 6 2 + 6 4 2 + 9 + 4 2 . 2+ 3 2 3t)+. 2 3 2+ 3 2+ 32 3u) +. 2+ 2+ 3 2 2 3 v)( 3+ 2 ) (2 3 2 + ) ( 2 3+ 2 )( ) 3 2.2. Dac a=2006.2007, artai c a + a + a 2007.3. S se calculeze numrul a 2 b 2 pentru a = 242,5 i b = 46,5 94 95. 4. Comparai numerele:a=( 5 3 + )2 ( 3 5 +2 )2 ( )25 + 3 +46 5 . ()b = 6 2 5 + 6 + 2 5 + 2 14 6 5 .a 3b5. Dac = 1996 , calculati.ba 499 + 3b6. Artai c numrul(a = 1,41 2 + 251 334 + 251 : 32 + 1,41 2) 5e ptrat perfect.7. S se arate c expresia 2a bE=Qstiind ca a = 3 5 + 9 4 5 a + 2bb=7 1 11 4 78. S se aduc la o form mai simpl expresia:E (a) = 6a 4 + 6a 8 + 5a 16 + 16a 32 , a 0. 329. Care numr este mai mare:2 sau 3 .a) 5n + 7 R Q10*. S se arate c: a)b) 5n + 13 R Qa) 3 2 n + 2 4 2 n + 3 2 2 n +1 6 2 n + 3 Q, n N11. S se arate c: .n +1n+ 2b) 2 92n +4 3 2n N , n N12. Stabilii valoarea de adevr a propoziiei: 1 2 3 ....... 31 + 32 Q.13. S se afle x tiind c2 x = 1 + 2 0 + 21 + 2 2 + 2 3 + ....... + 2 999.2x 414. S se afle numerele ntregi x pentru care Z. x+5 a)3 5 2 +7 3 5 2 7 = 215. S se verifice egalitile: b)3 9+4 5 +3 94 5 =3316. S se ordoneze cresctor numerele: 2 ,3, 6 6 .17. S se raionalizeze numitorii fraciilor:95 96. 1 1 1 a) 3 . b) 3; c) 3; d)5 3 2 2 +1 9 +3 52 2 3 1 ; e).2+ 2 323 318. S se determine rdcina ptrat a numrului a= 6 + 2 3 2 2 2 619. S se determine cel mai mare numr natural n cu proprietatea: 111 ++ .................... + 3 2. 2+ 34 + 152n + 4n 2 120. Fie a,b,c numere raionale astfel nct ab+ac+bc=1. S se demonstreze c:(a 2)( )( +1 b2 +1 c2 +1 Q . )21. S se demonstreze c 2+ 3+ 5nu este un numr raional.II. PROGRESII ARITMETICE1. S se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (a n )n dac :a) a1 =-3 ; r=5 b) a1 =7 ;r=2c) a1 = 1,3 ; r= 0,32. S se gseasc primii doi termeni ai progresiei aritmetice (a n )n :a) a1 , a 2 ,15,21,27,...... b) a 1 , a 2 , 9 , 2 , 5 ,........3. S se calculeze primii cinci termeni ai irului cu termenul general a n c) a n = n +n + 1 n2a) a n =3n+1 ; b) a n = 3 + (-1)4. Fie (a n )n o progresie aritmetic . Dac se dau doi termeni ai progresieis se afle ceilali : a )a3 = 7, a5 = 13, a9 = ?, a15 = ? b)a8 = 40, a 20 = 20, a 7 = ?, a10 = ? c)a 6 = 2, a10 = 36, a9 = ?, a11 = ? d )a 2 = 5, a9 = 125, a 7 = ?, a19 = ?5. Fie (a n )n o progresie aritmetic. Se dau : 96 97. a )a1 = 2, r = 0,5 se cere a 12 b) a1 = 3, r = 1,5 se cere a 19c) a10 = 131, r = 12 se cere a1 d) a 200 = 0, r = 3 se cere a16. S se gseasc primul termen i raia unei progresii aritmetice dac :a )a5 = 27, a 27 = 60b)a 20 = 0, a 60 = 92c)a1 + a 7 = 42, a10 a3 = 21d )a 2 + a 4 = 16, a1 a5 = 28e) S10 = 8S 5 , S 3 = 3f )a1 + a 2 + a3 = a 7 , a3 + a 4 + a5 = a12 + 27. irul ( x n )n este dat prin formula termenului general. a) x n =2n-5 ; b) x n =10-7n. S se arate c ( x n )n e o progresie aritmetic.S se afle primul termen i raia.a)a1 =10 a100 =150,8. ai . S se afle S 100 dac : b)a1 = 2, r = 5c)a1 = 5,5, a100 = 7,59.Cunoscnd Sn s se gsesc : 2a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice dac Sn =5n +3n ; Sn =3 n2n2; Sn = n. 42b) a1 = ?, r= ? dac Sn = 2 n +3n ;10. Este progresie aritmetic un ir pentru care : 2 2a) Sn = n -2n ; b) Sn= 7n-1 ; c) Sn = -4 n +11.11. ai , S10 = 100, S30 =900 . S se calculeze S50.12. Determin x R astfel nct urmtoarele numere s fie n progresiearitmetic. 97 98. + 2, (3x ) ,4 2 x + x2 2 2a) x-3, 9, x+3 ; b) x c) x + 2 ,18, x 213. S se rezolve ecuaiile :a) 1+7+13+.+x =280 ;b) 1+3+5+..+x = 169 ;c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+..+(x+28) = 155 ;d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ..+(x+25) = 338 ;e) x+(x+5)+(x+10)++(x+100) = 2100.14. S se arate c urmtoarele numere sunt n progresie aritmetic :a) (a+b) , a+b , (a-b) ;aa+bbb) , , ; b(a b) 2ab a (b a) a x + a 1 x2 + a 1c),,, x 1, x 0. x +1 2x x( x + 1) 11115. S se arate c dac numerele ,,sunt n progresie b+c c+a b+a2 2 2aritmetic atunci numerele a , b , c sunt n progresie aritmetic.16. Fie (a n )n o progresie aritmetic.11 1n 1S se arate c : ++ ....... + = , n 2 . a1 a 2 a 2 a 3 a n 1 a n a1 a n17. Fie ecuaia ax +bx+c =0 cu soluiile x1,x2. Dac numerele a,b,c sunt nprogresie aritmetic atunci exist relaia : 2(x1+x2)+x1.x2 +1 = 018. S se demonstreze : a) a bc, b ca, c ab a, b, c2 2 2b)1 1 1 a 2 + 2bc, b 2 + 2ca, c 2 + 2ab , , bc ca abc) a2 3 b2 3 c2 d2 a3,b ,c ,d3 a 2 , b 2 , c 2 , d 2bcdacdabd abc 98 99. III. PROGRESII GEOMETRICE1. S se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (b n ) n dac :a) b1 = 6, q = 2b) b1 = 24, q = 0,5 1c) b2 = 10, q = d) b2 = 0,5, q = 3 2e) b1 = 1, q = 52. S se gseasc primii doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n :a) b1 , b2 ,24,36,54,....... b) b1 , b2 ,225,135.81,......,.......3. Dac se cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) na) b3 = 6, b5 = 24 , s se gseasc b7 , b9 , b10b) b5 = 10, b8 = 10 ,. b6 , b12 , b3 .4. S se scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin :a) b1 = 2, bn +1 = 3bn b) b1 = 4, bn +1 = 3bn 1c) b1 = 9, bn +1 = 2bn d) b1 = 10, bn +1 = bn 55. Este progresie geometric un ir pentru care suma primilor n termenieste :b) Sn = 2 1 ; c) Sn = 3 + 1 nna) Sn = n -1 ;6. S se determine x a.. numerele urmtoare s fie n progresiegeometric : c) 1, x ,6 x ;2 4 2 2a) a+x, b+x, c+x ; b) 2 x , x ,32 ;7. S se gseasc primul termen b1 i raia q a progresiei geometrice(b n ) n dac :99 100. b2 b1 = 4b3 b2 = 12 b6 = 25a) b) c) b3 b1 = 8 b4 b2 = 48 b8 = 98.S se calculeze sumele :a) 1 + 2 + 2 + 2 + ......... + 2 2 3 2008b) 1 2 + 2 23 + ......... + 22008 21 1 11c) ++ 3 + ....... + 20082 22 2 21 1 11d) 2+ 3 ....... 20082 22 2e) 1+11+111+1111+1111111 (de n ori 1)f) 3+33+333+..33333..3g) 7+77+777+..77777(de n ori 7)h) 1 + 2 2 + 3 2 + 4 23 + .....100 22007 29. S se rezolve ecuaiile :a) 1 + x + x + x + .....x= 0, x 1 2 32007b) 1 + (1 + x) + (1 + x ) + ........ + (1 + x )= 0, x 0 22007 IV. LOGARITMI 1. S se logaritmeze expresiile n baza a : a) E=a27ab 6 .a3b) E= 4.b5a3 bc) E=a b21 2. S se determine expresia E tiind c : lg E=2 lga- lgb-3 lg3.2 3. S se arate c log26+log62>2.log 25 4. S se calculeze expresiile: a) 11 121 100 101. 1 49log 4 b) 7 c) E=log225-log2 20 4 + log 2 . 3 21 d) log 5 (log 3 (log 6 216))e) log 2 (log 5 (log 3 243)) log 5 125 log 3 3 9f)64 log 8 2 + log 2 249 log 7 3 + log 3 81g) log 2 3 2 log 3 3 log 2 x + log 2 y + log 2 3 z 5. S se arate c expresia: E=estelog 3 x + log 3y + log 3 3 zindependent de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelorx,z,y.log 2 24 log 2 1926. S se calculeze expresiile: a) E= .log 96 2 log12 2b) E= 31+log3 7 2 log 4 121 7.S se calculeze suma: 1 1+ log 2 1 + log 2 2 + ... + log 2 n log 3 1 + log 3 2 + .... + log 3 n 1 + ... + log n 1 + log n 2 + ... + log n n 8. S se arate c dac a,b,c sunt n progresie geometric atunci are locegalitatea: 2 1 1= + a, b, c R * + { }, x 01 log b x log a x log c x 9. S se arate c dac x, y, z sunt n progresie geometric atunci log a x, log b y, log c z sunt n progresie aritmetic. 101 102. PRIMITIVE1. S se calculeze primitivele urmtoarelor funcii.1. (3x 5 2 x 3 + 3 x 2)dx 2. x(x-1)(x-2)dx13. ( x + 1)( x x + 1)dx 4. (3 x + 3 )dx x x (2 ) 532 5. x 3 x + 45 x dx6. 5 3 + dx x xx 5 3 7. x ( x 1) 3 dx 8. 2 x + 2 dx x x 19. ( e x +)dx 10. (x 5 +5 x )dxex (x + 2)3 dx 2 5 + 4x 11. x dx12.x313. x 2 + 4dx14. x 2 9dx115. 4 x 2 dx 16. dx x + x2 1x2 + 3x2 217. x2 + 2dx 18. x2 3 dx1119. dx 20. dxsin x. cos 2 x2 sin x . cos x 1+ x21. dx 1 x 102 103. 2..S se calculeze primitivele urmtoarelor funcii compuse.1. 5 2 5 x dx 2. 3 4 x dx3. 4 sin 4 xdx 1 14. 3 cos 3 xdx5. 5x + 3 dx 6. dx4x + 9 2 11 17. 4x 162dx8. 25 9 x 2dx9. cos 2 3 x dx 110. dx11. tg 4 xdx12. 2ctg 2 xdxsin 2 5 x 1113. dx 14. dx16 x 2 + 4 2 9 16 x 23. S se calculeze primitivele urmtoare utiliznd metodaintegrrii prin pri:1. ln xdx 2. x ln xdx 3. x ln xdx211ln(ln x)4.xln xdx5. x ln xdx 2 6. x dx 2 ln 3 x7. ln 2 xdx 8. ln(1 + )dx9. dx xx2 ln 2 x10. dx 11. cos(ln x)dx12. sin(ln x)dx x213. ( x 2 x + 3) ln xdx x ln( x 1)dx214.xx 115. x +1 2 ln(1 + x 2 + 1)dx 16. x ln x +1dx () x e dxx17. x + 1 e x dx2 18.19. (x + 2 x ) e2 3x dx 20. x e dx2 x21. x e dx2 2x22. ( x 3 + 5 x 2 2) e 2 x dx3 2x + 2 ex 24. x23.x e dx2 dx 2x103 104. e sin xdx26. e x cos xdxx25.27. e sin 2 xdxx28. e cos 2 xdx x29. x sin xdx 30. x cos xdx31. x sin xdx 232. x cos xdx233. x sin 2 xdx234. x cos 2 xdx 235. x sin xdx 236. x cos xdx2xx37. dx238. dx2 cos xsin xx arcsin x arcsin x39. 1 x2dx40. x2dx41. e x sin 2 xdx 42. cos 2 (ln x)dx43.xx 2 9dx44. x x 2 + 16dx45. x 4 x 2 dx 46. x ln xdxx 2 2x + 547. dx ex3. S se calculeze integralele prin metoda substituiei (ax + b ) dx (2 x 1) dxn91.2.3. x(2 x 1) dx4. x(5 x 3) dx9 275. x (x + 1) dx 6. x (x + 1) dx2 3 6 k k +1 n ex x 7 dx e x + 1dx2x7.8. ex9. 2 x dx10. e x dxe +1e x e2x11. dx 12. e x 1dxx 104 105. e3x13. 2 x dx14.xx 1dx e 1 2 x + 5dx x 1 + x dx 215. 16.17. x 1 x dx3 4 18. x x + 2dx25 319. 32 x + 5dx 20. x 6 x 7 dx 2 ln x21. x 2 x + 2dx 22.xdxln x23. x dx24. x ln xdxx2 x (1 x )2 dx25. 3xdx26. x x1127. 4x + 2x 3 2 dx28. x + 3x + 42dxxx29. 4dx 30. dx x +1x2 +11131. dx 32. dxx(1 + ln x ) 4 ( x ln x + 82 ) 1 133. dx34. dx x 3 ln x2x ln x 1 + ln x335. dx 36 . x 3 x 2 + 2dxx 1 137. dx 38. xdxx(2005 + ln x) 2006x2 14. S se calculeze primitivele urmtoarelor funciitrigonometrice:1. sin 3 x cos xdx2. cos 3 x sin 2 xdx3. sin(2 x + 5)dx 4. sin 3 x cos 2 xdx 105 106. (tgx + tg x )dxcos x 1 + sin 35. 6. 2dxx sin 3 x 17. cos x dx8. xcos x dxx9. dx 10. sin 3 xdx 1 cos xarcsin x11. cos 3 xdx 12. dx 1 x 2sin xsin 2 x13. dx14. dxcos 2 x 4 1 (cos x )2 2 1115. dx16. dx 1 x 2 arcsin 2 x sin x117. dx 18. sin 10 x cos 3 xdxcos x19. 1dx 20. (arctgx )2006 dx 1 x 2 (2005 + arcsin x) 20061+ x25.S se calculeze primitivele urmtoarelor funcii raionale:12x + 3x1. 3x + 5 dx2. 2 x + 1 dx3. x + 4 dx1 3x114. 2 x + 3 dx5. (2 x + 3) 2005dx6.x 29 dx1 x2x27. x 2 + 4 dx 8. x 2 2 dx 9. x 2 + 1 dx 1110. 2dx 11. dx3x + 5(x 1)(x 2)1 112. dx13. x(x + 2) dx(x + 1)(x + 2)106 107. 1114. x 3x + 2 2dx 15. 2x x 32dx 1 116. 2 dx17. 2 dx3x + x + 1x 2x + 5 4x 36x 218. 2dx 19. 2dx2 x 3x + 13x 2 x + 5 3x 25x 220. 2 dx 21. 2dxx 5x + 6 x +4 x +1 x2 22. 2dx 23. 6dx x + 2 x + 10x 3x 2x24. dx 25. dx11+ x4 x + 44 3x x326. dx27. (x 1)dx1 + x8 12 xx228. (x 1)10dx 29. x 6 + 4 dx 107 108. ISTORICUL NOIUNILOR MATEMATICESec. 18 .e.n. mesopotamienii creeaz primele tabele denmulire;sec. 6 .e.n. este cunoscut asemnarea triunghiurilorde ctre Thales;Sec. 5 .e.n. pitagorienii introduc noiunile de numrprim, numr compus, numere relativ prime, numere primeperfecte;Sec. 4 .e.n.Aristotel (384-322 .e.n) filozof grec a introdusnoiunile de perimetru, teorem, silogism.Sec. 3 .e.n.Matematicianul grec Euclid(330-275 .e.n ) cel care antemeiat celebra coal din Alexandria (n 323 .e.n)a introdus noiunile de semidreapt, tangent la o curb,puterea unui punct fa de un cerc sau sfer, saudenumirile de paralelogram, poliedru, prism, tetraedru.A enunat teorema catetei i a nlimii pentru un triunghidreptunghic i a demonstrat concurena mediatoarelorunui triunghi;Apolonius din Perga(262-200 .e.n), unul din cei maimari geometri ai antichitii introduce pentru prima datdenumirile pentru conice, de elips, hiperbol, paraboli noiunile de focare, normale i definete omotetia iinversiunea i d o aproximare exact a lui cu patruzecimale. este dat aria triunghiului n funcie de laturi sau nfuncie de raza cercului nscris i semiperimetru;Eratostene din Cyrene(275-195 .e.n) introducemetoda de determinare a tuturor numerelor prime maimici dect un numr dat, metod cunoscut sub numelede Ciurul lui Eratostene108 109. n prima carte din Elementele lui Euclid estecunoscut teorema mpririi cu rest i algoritmul luiEuclid pentru aflarea c.m.m.d.c. a dou numere ntregi85-168 matematicianul grec Ptolemeu prezint ncartea sa Almagest, pe lng vaste cunotine deastronomie i trigonometrie i diviziunea cercului n 360de pri congruente i exprimarea acestora n fraciisexagesimale. Sec. 3 s-a dat formularea teoremei celor trei perpendiculare de ctre Pappos; acesta a mai dat i definiia conicelor precum i teorema despre volumul corpurilor de rotaie Sec. 7 sunt cunoscute regulile de trei direct i invers de ctre Bragmagupta, matematician indian;Arhimede(287-212 .e.n) precursor al calculului integral, a determinat aria i volumul elipsoidului de rotaie i ale hiperboloidului de rotaie cu pnze. 1202- Leonardo Fibonacci (1170-1240) matematician italian introduce notaia pentru fracia ordinar; 1228- Fibonacci introduce denumirea pentru numrul zero, precum i sistemul de numeraie zecimal. Tot prin opera sa Liber abaci sunt introduse pentru dat n Europa numerele negative, fiind interpretate ca datorii; 1150- este descris extragerea rdcinii ptrate i a celei cubice n cartea Lilavati a matematicianului indian Bhaskara(1114-1185), tot el prezint i operaiile de nmulire i mprire cu numere negative; 1515- rezolvarea ecuaiilor de gradul al treilea cu o necunoscut de ctre Scipio del Fero, iar mai trziu de Niccolo Tartaglia n 1530, i pe acelea de gradul al patrulea de Ludovico Ferrari n 1545. Acestea au fost fcute cunoscute abia n 1545 de ctre Girolamo Cardano(1502-1576) n lucrrile sale, dei promisese autorilor lor s nu le divulge;109 110. 1591-matematicianul francez Francois Viete(1540-1603) introduce formulele cunoscute sub numele derelaiile lui Viete;1614- inventarea logaritmilor naturali de ctre JohnNeper(1550-1617);1637- este introdus noiunea de variabil de ctreRene Descartes(1596-1650), cel care a introdus literelealfabetului latin pentru notaii i a folosit coordonatelecarteziene (definite dup numele su), reducndproblemele de geometrie la probleme de algebr;1640- este introdus denumirea pentru cicloid de ctreGalileo Galilei (1564-1642);1654- nceputul crerii teoriei probabilitilor datoratcorespondenei dintre Pierre Fermat(1601-1665) iBlaise Pascal(1623-1662) i dezvoltarea combinatoriciiodat cu apariia lucrrii lui Pascal, Combinaiones;1656- matematicianul englez John Wallis(1616-1703) 11introduce simbolul cu notaiile= , = 0 i a 0denumirilor de interpolare respectiv mantis1670- este determinat semnul sinusului i desenatsinusoida respectiv secantoida de ctre John Wallis);1678- este dat teorema lui Ceva de ctre CevaGiovani(1648-1734);1679- n Varia opera mathematica aprut postum, alui Pierre Fermat(1601-1665), a fost dat Mareateorem a lui Fermat, reguli de integrare, definiiaderivatei.1692- este scris primul manual de calcul integral dectre matematicianul elveian Jean Bernoulli(1667-1748) Lectiones mathematicae de methodointegralium aliisque, tiprit abia n 1742 i deasemenea a mai scris un manual de calcul diferenial,descoperit abia n 1920.Regula lui lHospital este dat de ctre Jean Bernoullilui Guillaume de lHospital pe care acesta o public n1696;110 111. 1690- este propus denumirea de integral de ctre Jacques Bernoulli(1654-1705) 1692- sunt descoperite proprietile spiralei logaritmice (Jacques Bernoulli) 1694- este descoperit curba numit lemniscat, caracterizat de inegalitatea (1+x)n 1+nx (Jacques Bernoulli); 1696-1697- introducerea calculului variaional, punerea problemei izoperimetrelor de ctre Jean Bernoulli. 1705- este dat Legea numerelor mari de ctre Jacques Bernoulli; 1711- realizarea dezvoltrii n serie a funciilor ex, sinx, cosx,arcsinx, de ctre matematicianul englez Isaac Newton(1642-1727) cel care a pus bazele calculului diferenial i integral concomitent cu Gottfried Leibniz(1646-1716); 1729- este demonstrat existena rdcinilor complexe n numr par a unei ecuaii algebrice cu coeficieni reali de ctre Mac Laurin Colin(1698-1746; 1731- utilizarea sistemului de axe perpendiculare pentru a determina poziia unui obiect n funcie de cele trei coordonate; 1733- crearea trigonometriei sferoidale de ctre Alexis Clairaut(1713-1765); 1735- Matematicianul elveian Leonhard Euler(1707- 1783)introducei calculeazconstanta1 1 1 e= lim(1 + + + ... + ln n) =0,577215..., n;2 3 n 1739- introducerea conceptului de integral curbilinie de ctre Alexis Clairaut; 1746- relaia lui Stewart este demonstrat de Mathew Stewart dup ce n prealabil ea i fusese comunicat de ctre Robert Simson n 1735; 1747este enunat problema celor trei corpuri de ctreClairaut; 111 112. introducerea metodei multiplicatorilor nedeterminain studiul sistemelor de ecuaii difereniale de ctreJean Le Rond DAlembert(1717-1783);1750- Gabriel Cramer d o regul de rezolvare asistemelor cunoscut sub denumirea de metoda luiCramer;1755- sunt puse bazele calculului variaional de ctreLagrange(1736-1813) concomitent cu Euler,1765- nceputul crerii geometriei descriptive de ctreGaspard Monge(1746-1818);1766- crearea mecanicii analitice de ctre JosephLagrange(1736-1813) cu enunarea principiuluivitezelor virtuale i a ecuaiilor Lagrange;1767- demonstrarea iraionalitii lui de ctreHeinrich Lambert(1728-1777);1768- demonstrarea existena factorului integrant laecuaiile difereniale de ordinul nti de ctreDAlembert;1771- a fost dat ecuaia planului normal i formuladistanei dintre dou puncte din spaiu de ctrematematicianul francez G. Monge;1775- introducerea noiunilor de soluie general isoluie particular n teoria ecuaiilor difereniale dectre Leonhard Euler; acesta a introdus i funcia (n ) - indicatorul lui Euler, precum i notaiile e, i,f(x)i a creat teoria fraciilor continue;1780- au fost introduse liniile de curbur alesuprafeelor(G. Monge); sunt descoperite funciile automorfe dematematicianul francez Henri Poincare(1854-1912);1785- a fost dat ecuaia planului tangent(G. Monge);1796- este dat Teorema lui Fourier de determinare anumrului rdcinilor reale cuprinse ntr-un interval, dectre Joseph Fourier(1768-183);1797- este dat formula creterilor finite, cunoscut subdenumirea de teorema lui Lagrange; 112 113. 1798- au fost considerate cosinusurile directoare ale unei drepte(G. Monge); este introdus simbolul [.], pentru partea ntreag de ctre Arien Marie Legendre (1752-1833); 1807-, 1822 sunt date seriile Fourier care au contribuit la crearea teoriei analitice a cldurii. 1812- este introdus seria hipergeometric de ctre Carl Friedrich Gauss(1777-1855) matematician german, cel care a demonstrat teorema fundamental a algebrei; 1816-1835- Augustin Cauchy(1789-1857), fondatorul analizei matematice moderne, a enunat criteriul de convergen al seriilor, criteriu care-i poart numele, a dat primele teoreme de existen din teoria ecuaiilor difereniale i al ecuaiilor cu derivate pariale, a introdus noiunile de afix, modul al unui numr complex, numere conjugate, transpoziie; 1820- introducerea noiunii de raport anarmonic de ctre ChaslesMichel(1793-1880), fondatorul geometriei proiective alturi de matematicianul francez Jean Poncelet; 1822introducerea funciilor Bessel de ctre FriedrichBessel; este introdus notaia pentru integrala definitb f ( x)dx , de ctre Fourier.;a este propus denumirea de reprezentare conformde ctre Gauss;cercul lui Euler sau cercul celor nou puncte este considerat pentru prima dat de ctre Charles Brianchon , Jean Poncelet i Karl Feuerbach, atribuinduse din greeal numele lui Euler acestei teoreme; 113 114. 1823-1831- nceputul crerii primei geometriineeuclidiene de ctre Jano Bolyai(1802-1860)concomitent i independent de cea a lui Lobacevski.1824-este dat denumirea de geometrie neeuclidian dectre Gauss; Niels Abel(1802-1829)demonstreazimposibilitatea rezolvrii cu ajutorulradicalilor, aecuaiilor algebrice de grad mai mare dect patru;1825- Abel introduce integralele ce-i poart numele;1827- este creat teoria funciilor eliptice de ctre Abel;1828 sunt introduse formele fundamentale ale suprafeelori curburii total a unei suprafee(curbura Gauss) dectre Gauss; demonstrarea teoremei lui Fermat pentru n=5 de ctrematematicianul german Dirichlet (1805-1859);1830- este propus denumirea de grup cu nelesulactual de ctre matematicianulfrancez EvaristeGalois(1811-1832); 1831- definitivarea calculului cu numere complexe dectre Gauss ;1834- introducerea noiunii de factor de discontinuitate,referitor la integralele1837- introducerea notaiilor pentru limite laterale dectre Dirichlet i a funciei care i poart numele,funcia Dirichlet;W. Hamilton introduce termenul de asociativitate aunei legi de compoziie;1839- introducerea noiuniideintegralemultiple(Dirichlet);1840- este dat o form a eliminantului a dou ecuaiialgebrice de ctre James Sylvester(1814-1897),matematician englez;1841- descoperireainvarianilor dectrematematicianul irlandez George Bole (1815-1864); 114 115. introducerea noiunilor de margine inferioar i superioar ale unei funcii, de convergen uniform de ctre Weierstrass(1815-1897); 1843- descoperirea cuaternionilor de ctre William Hamilton (1805-1865); 1845- Teorema limit central este dat de matematicianul rus Pafnuti Cebev; 1846- Legea numerelor mari Cebev; introducerea variabilei complexe n teoria numerelor imaginare de ctre DAlembert;1847 este introdus calculul logic de George Boole, creatorul algebrei booleene;este introdus noiunea de ideal de ctre ErnestKummel(1810-1893); 1851- sunt introduse noiunile de rang i signatur a unei forme ptratice i sunt propuse noiunile de matrice i jacobian(J. Sylvester);introducereasufrafeelor riemann de ctre matematicianul german Bernhard Riemann(1826-1866), lui datorndu-se studiul integralei definite. 1852- introducerea segmentelor orientate AB de ctre Chasles Michael(1793-188) care a formulat i proprietile axei radicale a dou cercuri precum i a conicelor i cuadricelor. 1853- Kronecker(1823-1891) introduce notaiaa ij = det(a ij ) ; 1854- este introdus noiunea de oscilaie ntr-un punct de ctre Riemann care creeaz o nou geometrie neeuclidian, numit geometria sferic; 1858- crearea calculului matriceal de ctre Arthur Cayley(1821-1895) matematician englez ; 1871 Dedekind introduce noiunile de corp i modul ceeace n limbajul actual exprim noiunile de subcorp i Z-submodul ale lui C. Tot el introduce mulimea ntregilor unui corp de numere algebrice, definind i115 116. idealele acestei mulimi i demonstreaz teoremafundamental de descompunere unic a oricrui ideal nprodus de ideale prime;1872- introducerea structurilor de subinel i modul de ctreDirichlet; introducerea numerelor raionale prin teturi dectre Dedekind;1873- Charles Hermite(1822-1901) demonstreaz 1transcendena numrului e= lim (1 + ) n = 2,718281....n n1874- este dat denumirea de subgrup de ctre SophusLie(1842-1899);1874-1897- crearea teoriei mulimilor de ctre GeorgCantor(1845-1918). El a introdus noiunile de mulimedeschis, mulime nchis, mulime dens, mulime bineordonat, mulime numrabil, punct de acumulare,punct izolat, produs cartezian, reuniune, intersecie.1878- rezolvarea problemei celor patru culori pentrucolorarea hrilor de ctre Cayley;1880-sunt descoperite funciile automorfe dematematicianul francez Henri Poincare(1854-1912);1882-FerdinandLindemann(1852-1939) ademonstrat trascendena numrului =3,141592......;(un numr se numete transcedent dac nu este soluianiciunei ecuaii algebrice cu coeficieni raionali); tot eldemonstreaz imposibilitatea cvadraturii cercului curigla i compasul;1893- H. Weber, asociaz conceptului de corp, sensulde astzi, ca o structur cu o lege de grup aditiv i onmulire asociativ, distributiv i n care orice elemente inversabil;1897- introducerea denumirii de inel de ctreHilbert(1862-1943); 1899 -axiomatizarea geometriei de ctre DavidHilbert;116 117. 1900- introducereaaxiomatic anumerelorntregi(D.Hilbert);1905- este introdus noiunea de distan ntre doumulimi nchise de ctre matematicianul romn DimitriePompeiu(1873-1954); 1910- este introdus denumirea de funcional de ctreJacques Hadamard (1865-1963), unul din fondatoriianalizei funcionale;1912 -este descoperit noiunea de derivatareolar(Pompeiu) 1927-s-a stabilit formula Onicescu referitoare lageodezice dat de Octav Onicescu(1892-1983); 1928 -este introdus funcia areolar-conjugat de ctrematematicianul romn Miron Nicolescu(1903-1975);1933 -introducerea funciilor convexe de ordin superiorde ctre Tiberiu Popoviciu(1906-1975);1936 -Matematicianul romn Gheorghe Mihoc(1906-1981) d o metod cunoscut sub numele de metodaSchulz-Mihoc, de determinare a legilor limit ale unuilan Markov;1941 -teorema lui Moisil referitoare la geodezicele unuispaiu riemannian este introdus de GrigoreMoisil(1906-1973);1944 -este introdus n domeniul algebrei modernenoiunea de signatur de ctre matematicianul romnDan Barbilian(1895-1961);1950 -este introdus noiunea de - derivat de ctreDan Barbilian;1996 -celebra conjectur a lui Fermat este demonstratde ctre Andrew Wiles de la institutul Isaac Newtondin Cambridge.2000 -este determinat cel mai mare numr prim 26972593-1, avnd dou milioane de cifre, obinut cu ajutorul a 20de mii de calculatoare puse n reea; 117 118. BIBLIOGRAFIE.1: N. Mihileanu- Istoria matematicii,vol.1,vol2.,Edituratiinific i enciclopedic; Bucureti,1974/ 1981;2: Vasile Bobancu- Caleidoscop matematic, Editura Niculesu;3. Neculai Stanciu, 100 de probleme rezolvate. Editura Rafet;4. Mic enciclopedie matematic, Editura Tehnic, Bucureti 118 119. CuprinsAplicaii ale numerelor complexe n geometrie.............5Sinteze matematiceMulimea numerelor reale...........................................37Inegaliti....................................................................42Mulimi. Operaii cu mulimi..................................... 45Progresii......................................................................47Funcii.........................................................................50Numere complexe.......................................................56Funcia exponenial i logaritmic............................59Binomul lui Newton....................................................63Vectori i operaii cu vectori..................................... .65Funcii trigonometrice.................................................69Formule trigonometrice...............................................72Ecuaiile dreptei n plan..............................................75Conice..........................................................................77Algebr liniar..............................................................82iruri de numere reale..................................................88Limite de iruri.............................................................93Funcii continue...........................................................98Derivate.......................................................................101Studiul funciilor cu ajutorul derivatelor.....................103Primitive......................................................................109Probleme propuse i rezolvate....................................117Probleme.sinteze.........................................................128Istoricul noiunilor matematice...................................143 119 120. 120