introducere teoria sistemelor - profs.info.uaic.rofliacob/an2/2016-2017/modelare matematica... ·...

1 INTRODUCERE

IN TEORIA SISTEMELOR

Teoria sistemelor reprezintă un ansamblu de concepte, cunoştinţe, metode şi principii independente de aplicaţii, necesare şi utile studiului structurii, proprietăţilor şi caracteristicilor dinamice ale sistemelor în general, ale sistemelor automate în mod special. Având ca obiect de studiu sistemul abstract, desprins de natura sa fizică concretă, sub forma unui model matematic, teoria sistemelor este un domeniu de studiu care îmbină armonios aspectele fenomenologice ale sistemelor reale şi elementele matematice abstracte necesare descrierii comportamentului şi interacţiunii dinamice a sistemelor. Teoria sistemelor introduce un mod de gândire ştiinţific de tip logic, aşa zis sistemic, având la bază principiul cauzalităţii, care permite abordarea interdisciplinară a realităţii înconjurătoare.

1.1. DEFINIREA ŞI CARACTERIZAREA SISTEMELOR

Conceptul de sistem a apărut şi s-a dezvoltat de-a lungul timpului, ca rezultat al evidenţierii unor trăsături şi comportamente comune pentru o serie de procese şi fenomene din diferite domenii, fapt ce a permis tratarea acestora, din punct de vedere structural-funcţional, într-un mod unitar, sistemic.

Noţiunea de sistem are o sferă de cuprindere foarte largă, fiind frecvent întâlnită în ştiinţă şi tehnică (în general, în toate domeniile gândirii şi acţiunii umane), însă aproape întotdeauna în asociaţie cu un atribut de specificare; de exemplu, sistem automat, sistem de transmisie, sistem informaţional, sistem de semnalizare, sistem de producţie, sistem filozofic, sistem social etc.

TEORIA SISTEMELOR

2

In literatura de specialitate există diverse definiţii ale conceptului de sistem, unele reflectând tendinţa definirii sistemului într-o cât mai largă generalitate, altele tendinţa de particularizare la un anumit domeniu al cunoaşterii.

In cele ce urmează, prin sistem vom înţelege un ansamblu de elemente ce interacţionează între ele şi cu exteriorul, cu respectarea unor reguli, legi şi principii, în vederea realizării unui sens, obiectiv, scop.

Un sistem este structurat ca o conexiune de elemente, fiecare element constituind la rândul său un sistem (subsistem). Interacţiunea dintre elementele unui sistem poate conferi sistemului proprietăţi, caracteristici şi comportamente noi, diferite de cele ale fiecărui element component.

In cazul sistemelor fizice (reale), interacţiunea se realizează pe baza legilor fizico-chimice generale, prin intermediul fluxurilor de masă şi energie, purtătoare de informaţie. Sistemele fizice pot fi naturale sau artificiale (create de om).

Teoria sistemelor operează cu conceptul de sistem abstract, de obicei sub forma unui model matematic, care permite descrierea caracteristicilor şi comportamentului dinamic al unei clase de sisteme fizice.

Să subliniem în continuare câteva trăsături fundamentale ale sistemelor. • Caracterul structural-unitar reflectă proprietatea unui sistem de a fi repre-

zentat ca o conexiune de subsisteme a căror acţiune este orientată spre un anumit sens (scop).

• Caracterul cauzal-dinamic reflectă proprietatea unui sistem de a evolua în timp sub acţiunea unor factori interni şi externi, cu respectarea principiului cauzalităţii (conform căruia, orice efect este rezultatul unei cauze, efectul este întârziat faţă de cauză şi, în plus, cauze identice generează în aceleaşi condiţii efecte identice).

• Caracterul informaţional reflectă proprietatea unui sistem de a primi, prelucra, memora şi transmite informaţie.

In sensul teoriei sistemelor, prin informaţie se înţelege orice factor care contribuie calitativ şi/sau cantitativ la descrierea comportamentului unui sistem. La sistemele tehnice, mărimile fizice utilizate ca suport pentru transmisia şi stocarea informaţiei se numesc semnale.

Mărimile variabile asociate unui sistem pot fi de trei feluri: mărimi de intrare, mărimi de stare şi mărimi de ieşire.

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR

3

Mărimile de intrare sunt mărimi independente de sistem (deci de tip cauză), care influenţează din exterior starea şi evoluţia sistemului.

Mărimile de stare sunt mărimi dependente de mărimile de intrare (deci de tip efect), având rolul de a caracteriza şi descrie starea curentă a sistemului.

Mărimile de ieşire sunt mărimi dependente de mărimile de stare şi/sau de mărimile de intrare (deci de tip efect), având rolul de a transmite în exterior (sistemelor învecinate) informaţie despre starea curentă a sistemului. Unele mărimi de ieşire pot fi în acelaşi timp mărimi de stare.

Teoria sistemelor operează cu două concepte de sistem: sistem de tip I-S-E (intrare-stare-ieşire) şi sistem de tip I-E (intrare-ieşire). Sistemele de tip I-S-E conţin mărimi de intrare, mărimi de stare şi mărimi de ieşire, în timp ce sistemele de tip I-E conţin explicit numai mărimi de intrare şi mărimi de ieşire. Teoria clasică a sistemelor operează cu sisteme de tip I-E, în timp ce teoria modernă a sistemelor operează cu sisteme de tip I-S-E. Unui sistem fizic i se poate asocia un sistem abstract (model) de tip I-S-E (fig. 1.1, a) şi un sistem abstract (model) de tip I-E (fig. 1.1, b).

( a) (b)

Fig. 1.1. Transferuri cauzale între mărimile unui sistem: (a) de tip I-S-E; (b) de tip I-E.

La sistemele de tip I-S-E, transferul de informaţie intrare-ieşire se realizează în mod indirect, prin intermediul stării. Transferul intrare-stare (I→S) are loc cu întârziere strictă, după o dinamică proprie sistemului, în timp ce transferul stare-ieşire (S→E) se realizează instantaneu. In cazul unor sisteme care respectă la limită principiul cauzalităţii, mărimea de ieşire are o componentă ce urmăreşte instantaneu variaţiile mărimii de intrare. La aceste sisteme există un canal direct intrare-ieşire (I→E), prin care transferul se realizează instantaneu.

Teoria sistemelor operează şi cu sisteme triviale, la care mărimea de ieşire, în ansamblul său, urmăreşte instantaneu variaţiile mărimii de intrare. Sistemele de acest tip (numite sisteme statice), nu conţin mărimi de stare, iar transferul intrare-

TEORIA SISTEMELOR

4

ieşire se realizează numai pe canalul direct I→E. Sistemele netriviale la care mărimea de ieşire urmăreşte cu întârziere variaţiile mărimii de intrare se numesc sisteme dinamice.

La sistemele de tip I-E (care nu conţin în mod explicit mărimi de stare), transferul intrare-ieşire se realizează direct (fig. 1.1, b), cu întârziere strictă (la sistemele dinamice) sau instantaneu (la sistemele triviale de tip static).

Un sistem interacţionează cu sistemele învecinate numai prin intermediul mărimilor de intrare şi de ieşire. Mărimile de ieşire ale unui sistem sunt mărimi de intrare pentru sistemele învecinate. Mărimile de ieşire ale sistemelor tehnice sunt măsurabile, în timp ce mărimile de stare nu sunt întotdeauna accesibile măsurării.

In figura 1.2 este arătat modul de reprezentare a unui sistem Σ ; T

21 ][ muuuU = este vectorul coloană m-dimensional al mărimilor de intrare, T

21 ][ pyyyY = - vectorul coloană p-dimensional al mărimilor de ieşire, iar T

21 ][ nxxxX = - vectorul coloană n-dimensional al mărimilor de stare.

Numărul n al variabilelor de stare ale unui sistem reprezintă dimensiunea sau ordinul sistemului.

Atunci când variabilele unui sistem sunt separate în variabile cauză şi variabile efect, sistemul se numeşte orientat. La sistemele abstracte, orientarea este formală, în timp ce la sistemele reale, orientarea rezultă din aplicarea legilor fizico-chimice specifice, cu respectarea necondiţionată a principiului cauzalităţii.

Mărimile de stare ale unui sistem au două proprietăţi esenţiale: - de mediere a transferului intrare-ieşire (I→E), care devine astfel transfer

intrare-stare-ieşire (I→S→E); - de acumulare într-o formă concentrată (sintetică) a întregii informaţii utile

privind evoluţia anterioară a sistemului, adică a istoriei trecute a sistemului. Ultima proprietate poate fi exprimată matematic astfel: Starea X la momentul

t , adică )(tX , este complet determinată de starea 0X la momentul iniţial 0t şi de intrarea U pe intervalul de timp ),[ 0 tt , adică ),[ 0 ttU . De aici reiese existenţa unei

Fig. 1.2. Reprezentarea unui sistem.


5

funcţii de tranziţie a stării ϕ , care exprimă evoluţia în timp a stării X dintr-o stare iniţială 0X sub acţiunea intrării ),[ 0 ttU , adică

),,;()( ),[00 0 ttUXtttX ϕ= , 0tt ≥ . (1)

Axiomatica funcţiei de tranziţie include proprietatea de consistenţă, adică

00000 ))(,,;( XtUXtt =ϕ , 00, Xt∀ .

La sistemele continue, funcţia de tranziţie a stării este de tip integral, conţinând o integrală de timp cu limita de integrare inferioară 0t şi limita de integrare

superioară t . Astfel, sistemul la care transferul intrare-stare este descris de ecuaţia diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi

buaxtx +=d

d , R∈t ,

are funcţia de tranziţie a stării

ττϕ τ d)(ee),,;(0

00

)(0

)(),[00 ubxuxtt

t

ttatta

tt ∫ −− += , 0tt ≥ . (2)

In cazul particular 0=a (când sistemul este de tip pur integral), funcţia de tranziţie are forma

∫+=t

ttt ubxuxtt00

d)(),,;( 0],[00 ττϕ .

La sistemele discrete cu perioada de discretizare a timpului egală cu 1, funcţia de tranziţie a stării este sub forma unei sume de termeni ce conţin valorile funcţiei de intrare U la momentele de timp anterioare momentului curent t , adică

)( 0tU , )1( 0 +tU , ... , )1( −tU .

Astfel, sistemul cu transferul intrare-stare descris de ecuaţia cu diferenţe cu coeficienţi constanţi

)()()1( tbutaxtx +=+ , Z∈t ,

are funcţia de tranziţie a stării

)(),,;(1

10),[00

0

00

iuabxauxttt

ti

ittttt ∑

−

=

−−− +=ϕ , 0tt ≥ . (3)

TEORIA SISTEMELOR

6

In cazul particular 1=a (când sistemul este de tip pur integral), funcţia de tranziţie are forma

∑−

=

+=1

0),[000

0)(),,;(

t

ti

iubxuxtt ttϕ .

Pentru o stare iniţială 0X şi o intrare dată ),0[ ∞tU , curba de evoluţie a stării T

21 )]()()([)( txtxtxtX n= în spaţiul stărilor (n-dimensional) se numeşte

traiectorie de stare. Pentru 2=n , traiectoriile de stare pot fi reprezentate grafic. O traiectorie de stare definită prin starea iniţială 00 ≠X şi intrarea (comanda)

0),0[ =∞tU se numeşte liberă. Dacă însă 00 =X şi 0),0[ ≠∞tU , atunci traiectoria

este forţată (fig. 1.3).

La rândul ei, ieşirea Y poate fi exprimată în funcţie de starea curentă X şi de intrarea curentă U prin intermediul funcţiei de ieşire

))(),(;()( tUtXttY η= . (4)

In afara mărimilor variabile de intrare, de stare şi de ieşire, în descrierea comportamentului unui sistem intervin şi unele mărimi constante sau pseudo-constante, numite parametri. La sistemele fizice, mărimile parametrice sunt de regulă mărimi ce caracterizează proprietăţile fizico-chimice ale sistemului: densitate, viscozitate, lungime, arie, volum, rezistenţă electrică, capacitate electrică, conductivitate termică etc.

Fig. 1.3. Traiectorii de stare.


7

♦ Un exemplu de sistem îl constituie circuitul electric RLC din figura 1.4. Dacă tensiunea variabilă 1u este generată din exterior, independent de circuit, şi dorim să cunoaştem modul de variaţie în timp a tensiunii Lu de la bornele inductivităţii L, atunci circuitul RLC poate fi considerat un sistem orientat, în care 1u este mărime de intrare, Lu mărime de ieşire, tensiunile Ru şi Cu de la bornele rezistorului R şi condensatorului C sunt mărimi de stare. Rezistenţa R , capacitatea C şi inductivitatea L sunt parametri ai sistemului.

Fig. 1.4. Exemplu de sistem fizic.

Sistemul are două variabile de stare, deoarece conţine 2 elemente capabile să înmagazineze şi să transfere energie cu viteză finită (capacitatea C şi inductivitatea L).

Dacă, pe lângă Lu , ne interesează şi modul de variaţie în timp a tensiunii Cu , atunci avem două mărimi de ieşire ( Lu şi Cu ), iar Cu este atât variabilă de ieşire, cât şi variabilă de stare.

1.2. CLASIFICAREA SISTEMELOR

Pe baza unor proprietăţi derivate din caracterul structural-unitar, cauzal-dinamic şi informaţional al sistemelor, acestea pot fi împărţite în clase (categorii), sistemele aparţinând unei clase având trăsături, proprietăţi şi comportamente asemănătoare.

1.2.1. Sisteme continue şi discrete

Sistemele cu timp continuu sunt acele sisteme la care mărimile de intrare, de stare şi de ieşire iau valori la orice moment de timp t aparţinând mulţimii numerelor reale R.

Sistemele cu timp continuu pot fi continue (netede sau analogice) sau discontinue. Sistemele continue satisfac următoarea proprietate: Pentru orice stare

TEORIA SISTEMELOR

8

iniţială şi orice funcţie de intrare continuă (în sens matematic), funcţia de stare )(tX şi funcţia de ieşire )(tY sunt, de asemenea, funcţii continue. Sistemele cu

timp continuu care nu satisfac această proprietate sunt sisteme discontinue. Sistemele cu timp continuu sunt descrise prin ecuaţii diferenţiale.

♦ Un circuit electronic care conţine elemente analogice şi un releu electromagnetic având un contact într-o ramură a circuitului este un sistem discontinuu.

Sistemele cu timp discret sunt acele sisteme la care mărimile de intrare, de stare şi de ieşire iau valori numai la anumite momente discrete ale timpului kt .

Sistemele cu timp discret la care discretizarea timpului este uniformă (cu pas constant), adică kTtk = , unde T este perioada (tactul) şi Z∈k , se numesc

sisteme discrete. Alegând, prin convenţie, 1=T , rezultă că la sistemele discrete timpul t este o variabilă de tip întreg ( Z∈= kt ). Sistemele discrete sunt descrise prin ecuaţii cu diferenţe. Sistemele fizice discrete conţin un generator de tact (ceas), deci sunt sisteme artificiale, create de om. Sistemele discrete la care variabilele iau numai două valori distincte (“0” şi “1”) se numesc sisteme logice sau binare, iar sistemele finite la care variabilele iau un număr mare de valori se numesc sisteme numerice sau digitale.

♦ Dispozitivele de semnalizare optică şi acustică (pentru alarmare la ieşirea unei mărimi fizice în afara limitelor admise) sunt sisteme logice, iar calculatoarele sunt sisteme numerice.

Sistemele care conţin atât elemente continue cât şi elemente discrete se numesc sisteme cu eşantionare sau sisteme eşantionate. Interconectarea subsistemelor continue şi discrete se realizează prin intermediul convertoarelor analog-numerice şi numeric-analogice. Semnalele numerice obţinute prin eşantionarea (discreti-zarea) periodică a semnalelor continue se numesc semnale eşantionate.

1.2.2. Sisteme liniare şi neliniare

Sistemele liniare sunt acelea care, în orice condiţii, verifică principiul superpoziţiei (suprapunerii efectelor): suma efectelor cauzelor este egală cu efectul sumei cauzelor, adică


9

)()()()( 2121 kk cccEcEcEcE +++=+++ , (5)

unde prin )( icE am notat efectul cauzei ic . Considerăm un sistem cu intrarea u şi ieşirea y , aflat până la momentul iniţial 00 =t în regim staţionar, cu 0== yu . Aşadar, funcţia de intrare )(tu şi funcţia de

ieşire )(ty sunt funcţii de tip original, nule pentru 0<t . Dacă pentru intrarea )(1 tfu = avem răspunsul )(1 tgy= , iar pentru intrarea )(2 tfu = avem răspunsul )(2 tgy= , atunci pentru intrarea

)()( 2211 tftfu αα += ,

răspunsul sistemului liniar va fi

)()()( 2211 tgtgty αα += .

Sistemul obţinut prin interconectarea a două sau mai multor subsisteme liniare este, de asemenea, liniar. Reciproca acestei afirmaţii nu este totdeauna adevărată, adică liniaritatea unui sistem nu implică în mod necesar liniaritatea subsistemelor componente. Pentru sistemele liniare a fost elaborată o teorie unitară, suficient de riguroasă şi închegată.

Sistemele neliniare sunt acele sisteme care nu satisfac în toate cazurile principiul superpoziţiei (adică acele sisteme care nu sunt liniare). Modul neconstructiv de definire a sistemelor neliniare (prin negarea unei proprietăţi) şi multitudinea modurilor de manifestare a neliniarităţilor conduc la ideea imposibilităţii construirii unei teorii unitare a sistemele neliniare. In consecinţă, sistemele neliniare sunt studiate pe clase de sisteme, definite constructiv pe baza unor proprietăţi comune (de exemplu, clasa sistemelor continue şi liniare pe porţiuni, clasa sistemelor cu caracteristică statică de tip releu, clasa sistemelor neliniare de ordinul unu etc.).

Sistemele liniare sunt descrise prin ecuaţii matematice liniare (algebrice, diferenţiale sau cu diferenţe), iar sistemele neliniare prin ecuaţii neliniare. Studiul sistemelor liniare se poate efectua într-un mod unitar, mult mai simplu, mai uşor şi mai precis.

Sistemele fizice sunt, de regulă, sisteme neliniare. Un sistem fizic poate fi considerat liniar cel mult într-un anumit domeniu de funcţionare, delimitat de zone de funcţionare neliniare (de blocare şi de saturaţie). Sistemele cu neliniarităţi slabe în domeniul de funcţionare studiat sunt considerate, de cele mai multe ori, ca fiind liniare sau liniare pe porţiuni.

TEORIA SISTEMELOR

10

1.2.3. Sisteme statice şi dinamice

Sistemele statice (numite şi fără memorie) sunt sisteme de ordinul zero (fără variabile de stare), având valoarea ieşirii Y la momentul t complet determinată de valoarea intrării U la momentul t . La aceste sisteme, ieşirea (în totalitatea sa) urmăreşte instantaneu (fără întârziere) variaţiile în timp ale intrării. Sistemele fizice statice nu conţin în componenţa lor elemente capabile să înmagazineze şi să transfere cantităţi semnificative de masă şi energie.

Sistemele dinamice (numite şi cu memorie) au ordinul mai mare decât zero şi caracterizează prin prezenţa regimurilor tranzitorii. Sistemele fizice dinamice includ în componenţa lor elemente capabile să acumuleze şi să transfere, cu viteză finită, cantităţi semnificative de masă şi energie.

Sistemele statice sunt descrise prin ecuaţii algebrice, iar sistemele dinamice prin ecuaţii diferenţiale sau cu diferenţe.

Studiul unui sistem complex, alcătuit din mai multe subsisteme interconectate, este considerabil mai simplu atunci când o parte din subsisteme sunt de tip static. Un subsistem este considerat de tip static atunci când are un timp de răspuns neglijabil (de cel puţin 8…10 ori mai mic) faţă de timpul de răspuns al altui subsistem din cadrul sistemului studiat.

♦ Sistemul reprezentat de circuitul electric RLC din figura 1.4 este un sistem dinamic. Un circuit electric pur rezistiv (format numai din rezistenţe) este un sistem static. De asemenea, un dispozitiv mecanic tip pârghie (perfect rigidă), având ca variabile de intrare-ieşire deplasările capetelor pârghiei, este un sistem static. Un traductor tip termocuplu, deşi are un timp de răspuns la o variaţie treaptă a temperaturii de ordinul minutelor, poate fi considerat un subsistem de tip static în cazul unui sistem automat de reglare a unui cuptor tubular de mari dimensiuni, caracterizat printr-un timp de răspuns de ordinul zecilor de minute.

1.2.4. Sisteme monovariabile şi multivariabile

Sistemele monovariabile au o singură intrare şi o singură ieşire. Sistemele multivariable au cel puţin două intrări şi două ieşiri; în plus, cel puţin o ieşire este influenţată de minimum două intrări.

Sistemele cu o singură intrare ( 1=m ) şi mai multe ieşiri ( 1>p ), precum şi sistemele cu mai multe intrări ( 1>m ) şi o singură ieşire ( 1=p ), pot fi reduse la p ,


11

respectiv m sisteme monovariabile. Sistemele monovariabile se mai numesc sisteme SISO (single input-single output), iar sistemele multivariabile se mai numesc sisteme MIMO (multi input-multi output).

♦ Circuitul electric de tip RC din figura 1.5, având ca intrări tensiunile u1 şi u2, iar ca ieşiri tensiunile 1v şi 2v , constituie un sistem multivariabil.

Fig. 1.5. Sistem multivariabil.

1.2.5. Sisteme deschise şi închise

Sistemele deschise (cu structură deschisă) sunt caracterizate printr-un flux de informaţie unidirecţional. Sistemele închise (cu structură închisă sau cu buclă închisă) sunt sisteme la care poate fi evidenţiat un flux de informaţie bidirecţional, prin care mărimea de ieşire a unui element al sistemului influenţează starea viitoare a elementului respectiv, prin intermediul altor elemente ale sistemului.

♦ Un sistem automat este format din două subsisteme principale: procesul (instalaţia) de automatizat P şi dispozitivul de automatizare DA (fig. 1.6). Sistemele automate cu structurile (a) şi (b) sunt sisteme deschise, iar cele cu structura (c) sunt sisteme închise. Sistemul cu structura (a) este un sistem de supraveghere sau monitorizare automată (de măsurare şi/sau semnalizare), sistemul cu structura (b) este un sistem de comandă automată în buclă deschisă, iar sistemul cu structura (c) este un sistem de reglare automată în buclă închisă a procesului P.

Fig. 1.6. Sisteme automate deschise şi închise.

TEORIA SISTEMELOR

12

In cazul sistemului de reglare automată, dispozitivul de automatizare DA primeşte informaţie despre valoarea curentă a mărimii de ieşire a procesului reglat P şi, pe baza acestei informaţii, generează comenzi convenabile asupra procesului, în vederea aducerii şi menţinerii mărimii de ieşire Y a procesului (numită mărime reglată) la o valoare cât mai apropiată de cea a mărimii de referinţă R , în condiţiile acţiunii perturbaţiei P asupra procesului şi a modificării în timp a mărimii de referinţă R .

1.2.6. Sisteme cu timp mort

In cazul sistemelor fizice cu parametri distribuiţi, la care viteza de propagare a fenomenului este relativ redusă (cazul proceselor cu transfer de masă şi al celor cu transfer caloric), între mărimile de ieşire şi mărimile de intrare poate fi evidenţiată o întârziere pură, de tip „timp mort". Astfel, dacă mărimea de intrare se modifică sub formă de treaptă la momentul 00 =t (fig. 1.7), efectul devine observabil la

ieşire începând de la un anumit moment 0>τ . Intervalul de timp τ în care efectul este insesizabil la ieşire se numeşte timp mort.

Analiza şi sinteza (proiectarea) sistemele cu timp mort se realizează mult mai dificil decât la sistemele fără timp mort. In cazul cel mai simplu, ecuaţiile matematice ale sistemelor cu timp mort conţin variabila de intrare )( τ−tu în locul variabilei de intrare )(tu .

♦ Un cuptor tubular pentru încălzirea petrolului, având ca mărime de intrare debitul de produs (sau temperatura de intrare a produsului) şi ca mărime de ieşire temperatura produsului la ieşirea din cuptor, constituie un exemplu de sistem cu timp mort.

1.2.7. Sisteme cu parametri constanţi şi variabili

Sistemele cu parametri constanţi (numite şi invariante) au o structură fixă şi parametri interni constanţi în timp, iar sistemele cu parametri variabili (numite şi

Fig. 1.7. Răspunsul la intrare treaptă al unui sistem cu timp mort.


13

variante) au cel puţin un parametru intern variabil în timp. Starea unui sistem cu parametri constanţi aflat iniţial în regim staţionar (caracterizat prin constanţa în timp a tuturor variabilelor de intrare, de stare şi de ieşire) se poate modifica numai din exterior, prin acţiunea variabilelor de intrare.

Sistemele cu parametri constanţi sunt descrise prin ecuaţii cu coeficienţi constanţi, iar sistemele cu parametri variabili prin ecuaţii cu coeficienţi variabili în timp.

♦ Un exemplu de sistem cu parametri variabili este cuptorul tubular cu flacără directă, utilizat la încălzirea produsului care circulă prin tubulatură. Datorită fenomenului de cocsare a materialului tubular, parametrii de transfer termic al căldurii de la flacără la produsul încălzit se modifică în timp. Fenomenul de modificare a parametrilor de transfer termic este însă foarte lent (fiind sesizabil după una sau mai multe luni de funcţionare), motiv pentru care cuptorul tubular este în mod uzual considerat cu parametri constanţi. Circuitul electric din figura 1.8, cu întrerupătorul I acţionat la anumite momente de timp, este un exemplu de sistem cu structură variabilă.

1.2.8. Sisteme cu parametri concentraţi şi distribuiţi

Sistemele fizice cu parametri concentraţi sunt acelea la care se poate considera, cu suficientă precizie, că mărimile fizice asociate oricărui element al sistemului au aceeaşi valoare în toate punctele elementului.

Sistemele fizice cu parametri distribuiţi sunt acelea la care cel puţin o mărime fizică asociată unui element dimensional al sistemului are valori care diferă sensibil de la un punct la altul, adică are valori distribuite de-a lungul unei linii, în plan sau în spaţiu.

Deoarece toate obiectele fizice sunt de tip spaţial, pentru determinarea caracterului concentrat sau distribuit al unui obiect se ţine seama de timpul de propagare a fenomenului (masei, energiei) pe direcţiile spaţiale ale obiectului, care depinde de dimensiunile obiectului şi de viteza de propagare.

Fig. 1.8. Sistem cu structură variabilă.

TEORIA SISTEMELOR

14

♦ Pentru exemplificare, în timp ce presiunea unui gaz într-un vas are practic aceeaşi valoare în toate punctele vasului, presiunea unui gaz într-o conductă de transport cu lungimea mare are valori diferite de-a lungul traseului. Prin urmare, primul proces poate fi considerat cu parametri concentraţi, iar cel de-al doilea cu parametri distribuiţi.

Comportamentul dinamic al sistemelor continue cu parametri concentraţi este descris prin ecuaţii diferenţiale ordinare, iar cel al sistemelor cu parametri distribuiţi prin ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale.

Având în vedere complexitatea formalismului matematic la sistemele cu parametri distribuiţi, în condiţiile în care eroarea de modelare datorată renunţării la ipoteza de distributivitate se încadrează în limite acceptabile (este sub 10 %), se preferă considerarea sistemului analizat ca fiind cu parametri concentraţi. In asemenea situaţii, sistemele cu parametri distribuiţi pot fi tratate în maniera specifică sistemelor cu parametri concentraţi, alegând ca variabile de ieşire mărimi fizice locale asociate unor puncte sau poziţii reprezentative (de obicei extreme) ale obiectului fizic.

1.2.9. Clasificarea sistemelor automate

Sistemele automate sunt sisteme tehnice de supraveghere, comandă şi control al proceselor şi instalaţiilor tehnologice, fără intervenţia directă a omului.

Un sistem automat (SA) este alcătuit din două părţi principale: procesul de automatizat (P) şi dispozitivul de automatizare (DA). In unele aplicaţii este convenabilă o altă structurare a sistemului automat: în partea fixată (PF) şi dispozitivul de comandă (DC). Partea fixată conţine procesul împreună cu dispozitivul de execuţie şi dispozitivul de măsurare (traductorul).

a) După natura elementelor din componenţa dispozitivului de automatizare şi a semnalelor de comunicaţie între elemente, sistemele automate pot fi: electronice, pneumatice, hidraulice, mecanice şi mixte.

Sistemele electronice sunt superioare celorlalte în privinţa performanţelor tehnice şi a posibilităţilor de cuplare la echipamentele de calcul numeric şi de transmisie a semnalelor la distanţă. In mediile cu pericol mare de explozie, sistemele electronice pot fi însă utilizate numai în construcţie antiexplozivă sau la puteri foarte mici. Elementele pneumatice şi hidraulice sunt utilizate mai ales ca


15

dispozitive de execuţie (acţionare), deoarece permit generarea prin mijloace simple a unor forţe, momente şi puteri relativ mari, fără pericol de explozie..

Când sistemul automat conţine elemente de natură diferită, interconectarea acestora se face prin intermediul unor elemente convertoare (de interfaţă).

b) După gradul de universalitate a elementelor din componenţa dispozitivului de automatizare, sistemele automate pot fi unificate sau specializate. Sistemele unificate conţin elemente universale care funcţionează cu semnal unificat (standard).

Sistemele automate electronice de putere medie funcţionează cu semnal electronic unificat 204=I mA c.c. Semnalul de tip curent, spre deosebire de semnalul tip tensiune, poate fi transmis fără pierderi la distanţe mari, de până la 2000 m.

Domeniul de variaţie al semnalului unificat este deplasat faţă de zero, astfel încât raportul

zgomot

utilsemnal=r

să aibă o valoare ridicată (pentru a avea o transmisie la distanţă mai puţin influenţată de factorii perturbatori), chiar şi în cazul în care semnalul util are valoarea minimă (4 mA). De regulă, semnalul unificat este curentul de colector al unui tranzistor de putere (final). Deplasarea faţă de zero a curentului de colector permite menţinerea punctului de funcţionare al tranzistorului în zona de amplificare liniară.

Receptoarele de semnal unificat 4 … 20 mA sunt conectate în serie. Prin conectarea unei rezistenţe de 250 Ω la bornele de intrare ale fiecărui receptor, curentul 4 … 20 mA este transformat în tensiune în gama 1 … 5 V. Numărul total de receptoare este limitat, pentru a nu influenţa valoarea curentului, ca urmare a depăşirii puterii şi/sau tensiunii maxime a generatorului.

In ultimii 20 ani, s-au dezvoltat şi extins reţelele digitale de comunicaţie între elementele componente ale sistemelor automate (reţele FIELDBUS, PROFIBUS etc.), care oferă o serie de avantaje tehnico-economice, cum ar fi: creşterea calităţii operaţiilor de automatizare, reducerea costurilor şi a dimensiunilor, posibilitatea interfaţării elementelor inteligente la nivelul traductoarelor şi elementelor de execuţie, creşterea flexibilităţii, siguranţei în funcţionare etc.

TEORIA SISTEMELOR

16

Sistemele automate pneumatice de presiune medie funcţionează cu semnal pneumatic unificat în gama 0,12,0=P bar; 1 bar = 105 Pa (N/m2)≈ 1kgf/cm2. Presiunea de 1 bar nu implică probleme deosebite de etanşare şi nici consum energetic ridicat pentru prepararea aerului instrumental de alimentare a dispozitivelor pneumatice unificate (aer din atmosferă, curăţat de impurităţi, uscat şi comprimat la 1,4 bar); în acelaşi timp, presiunea de 1 bar este suficient de mare pentru a crea forţe de ordinul sutelor sau miilor de kgf (prin intermediul unor membrane circulare cu raza de 5…40 cm), necesare în comanda şi acţionarea robinetelor de reglare.

Sistemele automate specializate sunt utilizate în cazul unor automatizări de complexitate mai redusă, când nu se pune problema transmiterii semnalelor la mare distanţă. Acestea sunt de obicei sisteme simple şi robuste, fără energie auxiliară.

c) In raport cu funcţia îndeplinită, sistemele automate se clasifică în: - sisteme automate de supraveghere sau monitorizare (prin măsurare şi/sau

semnalizare); - sisteme automate de protecţie; - sisteme automate de comandă cu program fix (prestabilit); - sisteme automate de reglare în buclă deschisă, la care comanda este elabo-

rată numai pe baza valorilor unor mărimi de tip cauză (cu rol de referinţă sau de tip perturbaţie);

- sisteme automate de reglare în buclă închisă, la care comanda este elaborată în principal pe baza valorilor unei mărimi de tip efect (de ieşire a procesului);

- sisteme automate de conducere (prin supraveghere, protecţie, comandă pres-tabilită, reglare).

Măsurarea este o operaţie cantitativă, în timp ce semnalizarea este o operaţie calitativă. Prin măsurarea unei mărimi fizice se determină valoarea acesteia, iar prin semnalizare se determină (prin mijloace optice şi acustice) starea mărimii fizice respective (care poate fi normală sau de depăşire). Starea unei mărimi fizice se defineşte prin raportare la o limită de semnalizare, care poate fi superioară (de exemplu, 90 %) sau inferioară (de exemplu, 15 %). Există situaţii în care unei mărimi fizice i se asociată două sisteme de semnalizare, pentru depăşirea limitei superioare de semnalizare şi pentru scăderea sub limita inferioară de semnalizare.


17

Protecţia automată presupune oprirea (blocarea) parţială sau totală a procesului (instalaţiei), atunci când o mărime de ieşire a procesului iese în afara domeniului admisibil de funcţionare, afectând calitatea produsului finit şi/sau securitatea instalaţiei şi personalului de operare. Există situaţii în care unei mărimi fizice i se asociată două sisteme de protecţie, pentru depăşirea limitei superioare de protecţie şi pentru scăderea sub limita inferioară de protecţie. Limita superioară de protecţie este mai mare decât limita superioară de semnalizare (de exemplu, 95 % limita de protecţie şi 90 % limita de semnalizare)

Sistemele automate cu comandă prestabilită sunt sisteme cu structură deschisă, la care elementul de conducere generează semnal de comandă după un program prestabilit. Sistemele clasice de semaforizare a unei intersecţii rutiere sunt exemple de sisteme cu comandă prestabilită, deoarece timpii de semaforizare sunt apriori fixaţi, deci au valori independente de starea curentă a traficului rutier.

Reglarea automată a unui proces constă în aducerea şi menţinerea mărimii de ieşire a procesului la valoarea sau în vecinătatea unei mărimi de referinţă, în condiţiile modificării în timp a mărimii de referinţă şi a acţiunii perturbaţiilor asupra procesului reglat.

Sistemele de reglare după perturbaţie sunt sisteme deschise care sesizează cauza perturbatoare (perturbaţia) şi, anticipând efectul acesteia asupra mărimii reglate (de ieşire a procesului), intervine asupra procesului (în paralel, simultan cu acţiunea perturbatoare) pentru a genera un efect opus (egal şi de semn contrar) asupra mărimii reglate.

Sistemele de reglare după abatere sunt sisteme închise care sesizează efectul (abaterea mărimii reglate în raport cu mărimea de referinţă) şi intervine asupra procesului pentru a reduce şi elimina abaterea respectivă, indiferent de cauza care a generat-o (acţiunea unei perturbaţii asupra procesului sau modificarea mărimii de referinţă).

Sistemele de reglare în buclă închisă sunt mai robuste, mai sigure şi mai precise decât cele în buclă deschisă deoarece elementul de conducere realizează operaţii permanente de autocorecţie, pe baza informaţiei referitoare la valoarea curentă a mărimii reglate (de ieşire a procesului).

Un sistem de semaforizare în buclă închisă are timpii de semaforizare ajustabili în funcţie de starea curentă a traficului rutier pe toate arterele intersecţiei, măsurabilă în timp real cu ajutorul camerelor video echipate cu programe performante de procesare a imaginii.

TEORIA SISTEMELOR

18

1.3. APLICAŢII

♦ Aplicaţia 1.1. Transferul intrare-stare al unui sistem continuu cu intrarea u şi starea x este descris de ecuaţia diferenţială cu coeficienţi constanţi

buaxtx

+=dd , R∈t .

Să se arate că sistemul are funcţia de tranziţie a stării

ττϕ τ d)(ee(.)),,;(0

0 )(0

)(00 ubxuxtt

t

ttatta ∫ −− += .

Soluţie. Inmulţind ambii membri ai ecuaţiei diferenţiale cu exponenţiala at−e , obţinem succesiv

ubaxx atat −− =− e)(e ,

ubx atat −− =′ e)(e ,

τττ d)(ed)(e00 ∫∫ −− =′t

tat

tat ubtx ,

τττ d)(e)(e)(e0

00 ∫ −−− =−

t

taatat ubtxtx ,

τττ d)(ee)(0

0 )(0

)( ubxtxt

ttatta ∫ −− += , 0tt ≥

Se poate verifica uşor că funcţia de tranziţie verifică proprietatea de consistenţă

0000 (.)),,;( xuxtt =ϕ .

♦ Aplicaţia 1.2. Transferul intrare-stare al unui sistem discret cu intrarea u şi starea x este descrisă de ecuaţia cu diferenţe

)()()1( tbutaxtx +=+ , Z∈t .

Să se arate că sistemul are funcţia de tranziţie a stării

)((.)),,;(1

1000

0

0 iuabxauxttt

ti

ittt ∑−

=

−−− +=ϕ .

Soluţie. Avem )()()1( 000 tbutaxtx +=+ ,

)1()()()2( 0002

0 +++=+ tbutabutxatx , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )1()1()()()( 00

20

100 −++++++=+ −− ktbutbuatbuatxaktx kkk .

In ultima relaţie, înlocuind pe k cu 0tt − , obţinem


19

)1()1()()()( 02

01

0000 −+++++= −−−−− tbtbuatbuatxatx utttttt , 0tt ≥ .

♦ Aplicaţia 1.3. Un sistem electronic unificat de măsurare a presiunii are domeniul 4010=P bar şi semnalul de ieşire 204=I mA.

a) Care este valoarea presiunii P dacă 10=I mA ? b) Care este valoarea curentului de ieşire I dacă presiunea este 15=P bar ?

Soluţie. Corespondenţa dintre valorile mărimii măsurate şi cele ale semnalului unificat poate fi stabilită uşor pe baza exprimării procentuale a ambelor mărimi, valoarea procentuală *P a mărimii măsurate fiind egală cu valoarea procentuală *I a semnalului unificat. Valoarea procentuală se obţine prin raportarea variaţiei mărimii (faţă de limita inferioară a domeniului) la lungimea domeniului de măsurare:

%10030

10* ⋅−

=PP ,

%10016

4* ⋅−

=II .

Din ** IP = , rezultă

)4(8

1510 −+= IP ,

)10(1584 −+= PI .

(a) Presiunea are valoarea

25,21)410(8

1510 =−+=P bar.

(b) Curentul are valoarea

320)1015(

1584 =−+=I bar.

2 REPREZENTAREA MATEMATICA

A SISTEMELOR

Comportamentul unui sistem în regim dinamic (care include regimul staţionar şi regimul tranzitoriu) poate fi descris cu ajutorul unui model matematic, format din ecuaţii algebrice şi din ecuaţii diferenţiale sau cu diferenţe, după cum sistemul este cu timp continuu sau discret. In teoria sistemelor se utilizează două moduri distincte de reprezentare matematică a sistemelor în domeniul timpului: prin ecuaţii de tip I-E (intrare-ieşire) şi prin ecuaţii de tip I-S-E (intrare-stare-ieşire).

Caracterizarea prin ecuaţii de tip I-E implică un formalism matematic aparent mai simplu, care însă nu pune în evidenţă toate aspectele referitoare la structura internă a sistemului. Astfel, la un sistem continuu dinamic de tip I-E, valoarea ieşirii y la momentul t poate fi determinată pe baza intrării ],0[ tu şi a unor

condiţii iniţiale ( )0(y , )0(y etc.). In acelaşi scop, la un sistem continuu dinamic de tip I-S-E, în locul condiţiilor iniţiale se utilizează starea iniţială 0X a sistemului.

Conceptele de stare şi de sistem I-S-E sunt esenţiale în teoria modernă a sistemelor. In general, numărul n al variabilelor de stare, adică dimensiunea vectorului de stare X , determină dimensiunea sau ordinul sistemului.

Reprezentarea matematică a sistemelor dinamice continue cu parametri distribuiţi se face prin ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale, deoarece în afara variabilei temporale t mai intervine cel puţin una dintre variabilele spaţiale x , y , z . Aceste sisteme fac parte din categoria sistemelor infinit dimensionale.

Modelul unui sistem cu timp mort se obţine, în cazul cel mai simplu, din modelul sistemului fără timp mort, prin înlocuirea funcţiei de intrare )(tu cu

)( τ−tu , unde τ este valoarea timpului mort.

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR

21

2. 1. MODELAREA SISTEMELOR

Modelul matematic al unui sistem este un set de relaţii şi ecuaţii matematice care permit descrierea comportamentului sistemului, adică transferul intrare-ieşire sau intrare-stare-ieşire.

Unui sistem dinamic (cu memorie) i se poate asocia un model dinamic - pentru caracterizarea regimului de funcţionare dinamic, şi un model staţionar - pentru caracterizarea regimului de funcţionare staţionar. Regimul staţionar poate fi de tip static (când variabilele sistemului sunt constante în timp) sau de tip permanent (când forma de variaţie în timp a variabilelor sistemului este constantă - de tip rampă, de tip sinusoidal etc.). In continuare, vom considera modelul staţionar ca fiind asociat regimului staţionar de tip static.

Modelele sistemelor statice (fără memorie) şi modelele staţionare ale sistemelor dinamice sunt constituite din ecuaţii algebrice, în timp ce modelele sistemelor dinamice sunt constituite din ecuaţii diferenţiale (la sistemele continue) sau din ecuaţii cu diferenţe (la sistemele discrete). Modelul dinamic include şi modelul staţionar, ultimul putând fi obţinut din primul printr-o particularizare convenabilă (prin anularea derivatelor de timp ale variabilelor – la sistemele continue, respectiv prin egalarea valorilor fiecărei variabile la toate momentele de timp – la sistemele discrete). Modelul staţionar (de tip static) nu conţine variabila timp t .

Sistemelor liniare le corespund modele liniare (formate din ecuaţii liniare), iar sistemelor neliniare - modele neliniare (care conţin cel puţin o ecuaţie neliniară). In majoritatea aplicaţiilor practice, pentru simplificarea formalismului matematic, sistemelor cu neliniarităţi slabe li se asociază modele liniare sau liniarizate pe porţiuni ale domeniului de lucru.

Modelarea unui sistem fizic, adică operaţia de obţinere a modelului matematic, se poate efectua prin metode analitice, experimentale sau mixte. Simularea este operaţia de descriere a comportamentului unui sistem pe baza modelului acestuia. Precizia de simulare este dată în principal de precizia şi acurateţea modelului matematic.

Indiferent de metodă, operaţia de modelare se bazează pe luarea în consideraţie a unor ipoteze de lucru, cu rol simplificator. După modul de alegere a ipotezelor simplificatoare şi gradul de concordanţă a acestora cu fenomenul real, modelul

TEORIA SISTEMELOR

22

obţinut este mai simplu sau mai complex, reflectând realitatea fizică cu un grad de precizie mai mare sau mai mic. Dacă numărul ipotezelor simplificatoare luate în consideraţie este mare, atunci modelul obţinut este simplu, robust, uşor de prelucrat şi de interpretat, dar mai puţin precis. Nici modelele foarte complicate nu sunt recomandate, datorită lipsei de acurateţe în determinarea unor parametri, a imposibilităţii calculului analitic, a erorilor de rotunjire şi trunchiere care apar în procesarea numerică etc.

Modelarea analitică a sistemelor tehnice se efectuează pe baza legilor generale şi particulare care guvernează fenomenele fizico-chimice specifice ale sistemului real (legea conservării masei/volumului/energiei/impulsului/sarcinii electrice, legile echilibrului fizico-chimic etc.).

Legea conservării masei este aplicată frecvent în forma

t

tmtQtQ amm d

)(d)()( 21 =− , (1)

care exprimă faptul că diferenţa dintre debitul masic de intrare 1mQ şi debitul masic de ieşire 2mQ este egală cu viteza de variaţie a masei acumulate am . Relaţia

(1) se obţine prin derivarea în raport cu variabila t a ecuaţiei de bilanţ material

)()()( 21 tmtmtm a=− ,

unde )(1 tm , )(2 tm şi )(tma reprezintă respectiv masa intrată, masa ieşită şi masa acumulată în intervalul de timp ],0[ t .

Ecuaţia de bilanţ material (1) poate fi extinsă la bilanţul energetic, cu observaţia că în cazul reacţiilor chimice trebuie să se ţină seama şi de căldura degajată sau absorbită prin reacţie.

In cazul sistemului reprezentat de amestecătorul de produse lichide din figura 2.1, considerăm că aria secţiunii orizontale a vasului este constantă (egală cu A), iar debitele volumice 1Q , 2Q şi Q pot fi modificate în mod independent, cu

ajutorul unor pompe cu piston reglabile. In consecinţă, cele trei debite sunt mărimi de intrare ale sistemului, iar nivelul h şi densitatea ρ sunt mărimi de ieşire. Pentru obţinerea modelului analitic, acceptăm următoarele două ipoteze simplificatoare:

a) lichidele sunt incompresibile (nu conţin gaze dizolvate); b) amestecarea este perfectă, adică densitatea ρ are aceeaşi valoare în toate

punctele amestecului.


23

Aplicând legea conservării masei sub forma (1) şi apoi, în mod similar, legea conservării volumului, avem

thAQQQ d

)d(2211

ρρρρ =−+ , (2)

thAQQQ d

d21 =−+ . (3)

Din aceste relaţii rezultă următorul model al sistemului:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=++

−+=

QQQQt

Ah

QQQthA

221121

21

)dd

dd

ρρρρ ( (4)

Fig. 2.1. Amestecător cu debite comandabile (cu ajutorul pompelor).

Din forma modelului obţinut reiese că sistemul este dinamic, determinist, neliniar (cu prima ecuaţie liniară, iar a doua neliniară), cu parametri concentraţi şi fără timp mort.

Dacă scurgerea amestecului din vas are loc liber (fig. 2.2), debitul evacuat Q depinde de presiunea hidrostatică, deci de nivelul h . Prin urmare, debitul Q se transformă din variabilă de intrare în variabilă de ieşire.

In regim laminar de curgere, corelaţia nivel-debit evacuat are forma liniară

hQ α= , (5)

iar în regim turbulent, are forma neliniară

hQ β= , (6)

TEORIA SISTEMELOR

24

unde α şi β sunt coeficienţi dependenţi de vâscozitatea lichidului, de forma şi dimensiunile elementului obturator al robinetului.

In regim laminar de curgere, corelaţia nivel-debit evacuat are forma liniară

hQ α= , (5)

iar în regim turbulent, are forma neliniară

hQ β= , (6)

unde α şi β sunt coeficienţi dependenţi de vâscozitatea lichidului, de forma şi dimensiunile elementului obturator al robinetului.

Fig. 2.2. Amestecător cu scurgere liberă.

Tinând seama de aceste relaţii, obţinem modelul de regim laminar

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

+=++

+=+

hQ

QQQQtAh

QQhthA

α

ρρρρ

α

221121

21

)(dd

dd

, (7)

respectiv modelul de regim turbulent

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

+=++

+=+

hQ

QQQQtAh

QQhthA

β

ρρρρ

β

221121

21

)(dd

dd

. (8)


25

Prin anularea derivatelor, din (7) rezultă modelul staţionar de regim laminar

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

=

+=

hQQQ

QQQQh

α

ρρρ

α

21

2211

21 )(1

, (9)

iar din (8) rezultă modelul staţionar de regim turbulent

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=

+=

hQQQ

QQ

QQh

β

ρρρ

β

21

2211

221 )(

. (10)

In cazul în care amestecătorul conţine un deversor pentru menţinerea constantă a nivelului (h=h0), sistemul are ca variabile de intrare debitele 1Q şi 2Q , iar ca variabile de ieşire debitul Q şi densitatea ρ (fig. 2.3). Tinând seama de (4), rezultă modelul

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+

+=

22110

21

dd QQQtAh

QQQ

ρρρρ . (11)

Gradul de complexitate al sistemului creşte atunci când o parte a debitului de ieşire este recirculată (reintrodusă în vas).

Fig. 2.3. Amestecător cu deversor.

Modelarea experimentală (numită şi identificare) presupune efectuarea unor teste directe asupra sistemului fizic, permiţând fie identificarea globală a

TEORIA SISTEMELOR

26

sistemului (cazul sistemelor de tip black box), fie numai determinarea valorii unor parametri ai modelului, atunci când se cunoaşte structura şi forma modelului (din modelarea analitică).

Pentru exemplificare, să considerăm un sistem fizic (proces) aflat iniţial în regim staţionar (cu intrarea u şi ieşirea y nule pentru 0<t ), şi să presupunem că în urma modificării treaptă a mărimii de intrare, )(1)( ttu ⋅=α , răspunsul )(ty determinat experimental are forma din figura 2.4.

Fig. 2.4. Răspunsul la intrare treaptă al sistemului

de întârziere de ordinul unu.

Având în vedere forma concav-monotonică a răspunsului, sistemului i se poate asocia modelul

KuytyT =+d

d1 (12)

în care

αβ

=K , 395

1T

T ≅ sau 498

1T

T ≅ , (13)

unde 95T şi 98T reprezintă timpul în care mărimea de ieşire devine egală cu 95 %,

respectiv 98 %, din valoarea sa finală. Expresia factorului de proporţionalitate K rezultă imediat din modelul staţionar Kuy = (obţinut din modelul dinamic (12) prin anularea derivatei ieşirii y ) aplicat regimului staţionar final (teoretic, pentru

∞→t ), cînd α=u şi β=y . De asemenea, expresiile factorului K şi constantei de timp 1T rezultă din soluţia ecuaţiei diferenţiale (12) pentru α=u şi 0)0( =y ,

anume

)e1()( 1Tt

Kty−

−=α , 0≥t . (14)

In cazul sistemelor automate este dificil să se realizeze modelarea experimen-tală a procesului propriu-zis, fiind mai convenabil să se efectueze modelarea experimentală a părţii fixate, formate din proces, element de execuţie şi traductor.


27

Modelarea mixtă îmbină metodele şi procedeele de tip analitic cu cele de tip experimental. O variantă de modelare mixtă este aceea în care forma modelului este determinată pe cale analitică, iar unii parametri necunoscuţi sau cu un grad ridicat de incertitudine sunt determinaţi pe cale experimentală.

2.2. SISTEME CONTINUE DE TIP I-E

In cazul unui sistem liniar şi cu parametri constanţi, modelul dinamic are forma primară (standard)

ububububyayayaya rr

rr

nn

nn 01

)1(1

)(01

)1(1

)( ++++=++++ −−

−− , (15)

unde ia şi ib sunt coeficienţi constanţi ( 0≠na ). La sistemele cu parametri variabili, cel puţin un coeficient ia sau ib este variabil în timp.

Prin convenţie, variabila de intrare u şi cea de ieşire y reprezintă variaţiile mărimilor fizice corespunzătoare ale sistemului real faţă de valorile lor iniţiale. Prin urmare, dacă sistemul se află în regim staţionar înainte de momentul iniţial

00 =t , atunci toate variabilele sistemului sunt nule pentru 0<t (sunt de tip original).

Sistemele liniare sunt proprii pentru nr ≤ (strict proprii pentru nr < şi semiproprii pentru nr = ) şi, respectiv, improprii pentru nr > .

Sistemele improprii nu verifică riguros principiul cauzalităţii. Astfel, în cazul 1+= nr , pentru intrarea treaptă unitară )1(tu = , mărimea de ieşire va conţine

componenta improprie

)(0 taby

n

nim δ⋅= ,

unde )(0 tδ este funcţia impuls Dirac.

Fig. 2.5. Funcţia impuls Dirac )(0 tδ .

Deoarece sistemele fizice satisfac principiul cauzalităţii, ele sunt sisteme proprii. Sistemele cu modele improprii sunt deci irealizabile fizic. Uneori însă,

TEORIA SISTEMELOR

28

pentru simplificarea formalismului matematic, în analiza şi sinteza unor sisteme compuse pot fi utilizate şi subsisteme improprii, dar numai în condiţiile în care caracterul impropriu al acestora este neutralizat de caracterul strict propriu al altor subsisteme învecinate.

Sistemele strict proprii satisfac în mod strict principiul cauzalităţii, transferul intrare-ieşire realizându-se cu întârziere strictă.

Sistemele semiproprii satisfac la limită principiul cauzalităţii, ieşirea acestora conţinând o componentă prin care transferul intrare-ieşire se realizează instantaneu (fără întârziere). In cazul 0==nr , sistemul este semipropriu, de tip static (de ordinul zero, fără memorie).

Prin anularea tuturor derivatelor intrării u şi ieşirii y , din modelul dinamic (15) se obţine modelul staţionar

uKy = , (16)

cu factorul de proporţionalitate 00 /abK = .

Dacă la intrarea sistemului se aplică un semnal de tip treaptă, iar răspunsul sistemului tinde spre o valoare finită, atunci deosebim două regimuri staţionare: un regim staţionar (trivial) pentru 0<t , în care 0=u şi 0=y , şi un regim staţionar final, pentru t suficient de mare (teoretic, pentru ∞→t ). Ambele regimuri staţionare sunt descrise de modelul staţionar (16).

In cazul 00 ≠a şi 00 ≠b , în care panta K a caracteristicii statice este finită şi

nenulă (caracteristica statică este o dreaptă oblică), sistemul este de tip proporţional. Majoritatea sistemelor fizice sunt sisteme de tip proporţional. Răspunsul la intrare treaptă al unui sistem proporţional (stabil) se stabilizează la o valoare finită şi nenulă.

In cazul 00 =a şi 00 ≠b , sistemul este de tip integral. Sistemul pur integral are modelul ubya 01 = , echivalent cu

∫=t tua

by

0d

1

0 . (17)

Răspunsul unui sistem pur integral la o intrare treaptă este de tip rampă (cu panta constantă pentru 0≥t ). Sistemele de tip pur integral sunt sisteme cu caracter „persistent”, deoarece ieşirea y se stabilizează numai atunci când intrarea u este nulă. In general, răspunsul la intrare treaptă al unui sistem integral (stabil) tinde asimptotic la o dreaptă oblică, fiind de tip “rampă întârziată”.


29

Un rezervor cu aria transversală constantă A , având ca intrări debitul volumic de lichid admis 1Q şi debitul volumic de lichid evacuat 2Q , iar ca ieşire nivelul h , este pur integral pe ambele canale hQ →1 şi hQ →2 :

00 21 d1)( htQQAh

t+= ∫ − , ∫ Δ−Δ=Δ

ttQQAh

0 21 d1)( .

In cazul 00 ≠a şi 00 =b , sistemul este de tip derivativ. Un sistem de tip derivativ are modelul staţionar 0=y . Deoarece variabila de ieşire y are valoarea nulă în regim staţionar, răspunsul la intrare treaptă al unui sistem derivativ (stabil) se stabilizează la valoarea 0.

Modelul

tu

ab

y dd

0

1 ⋅= (18)

caracterizează un sistem pur derivativ impropriu, iar modelul

tubyat

ya dd

dd

101 =+ (19)

caracterizează un sistem semipropriu de tip derivativ. Un condensator electric ideal cu capacitatea C , având ca intrare tensiunea u şi

ca ieşire curentul i , este un sistem pur derivativ, cu modelul impropriu tuCi d

d= .

Un circuit serie de tip RC, având ca intrare tensiunea globală u şi ca ieşire curentul i , este un sistem derivativ semipropriu, cu modelul

tuCit

iRC dd

dd =+ . (20)

Pe baza principiului superpoziţiei, modelul primar (20) este echivalent cu următorul model secundar:

( ) ( 1)

1 1 0( )

1 0

......

n nn n

rr

a w a w a w a w uy b w b w b w

−−+ + + + =⎧

⎨= + + +⎩

. (21)

Strict matematic, se poate verifica faptul că ecuaţia (15) devine identitate prin înlocuirea variabilelor u şi y din (21) în funcţie de derivatele variabilei w .

Deoarece nu conţine derivate ale mărimii de intrare u , modelul secundar poate fi utilizat şi pentru intrări nederivabile sau chiar discontinue.

TEORIA SISTEMELOR

30

O a treia formă de reprezentare matematică în domeniul timpului a sistemelor continue liniare monovariabile şi cu parametri constanţi o constituie modelul de convoluţie

∫ −=t

utgty0

d)()()( τττ , (22)

unde )(tg este aşa numita funcţie pondere, reprezentând răspunsul sistemului la funcţia de intrare impuls Dirac )(0 tu δ= .

Funcţia pondere poate fi obţinută din funcţia indicială, definită ca fiind răspunsul sistemului la intrarea tip treaptă unitară )(1 tu = - figura 2.6. Intre funcţia pondere )(tg şi funcţia indicială )(th există relaţiile

∫ −=

tdgth

0)()( ττ ,

tthtg

d)(d)( = . (23)

Aceste relaţii sunt consecinţe ale principiului superpoziţiei şi relaţiei între cauze

∫ −= t dt 0 )()(1 0 ττδ .

Fig. 2.6. Funcţia treaptă unitară.

Modelul de convoluţie poate fi uşor dedus din principiul superpoziţiei, conform căruia, dacă între două cauze există o anumită formă de corelaţie, atunci aceeaşi formă de corelaţie se păstrează şi între efecte. In cazul nostru, între intrarea particulară )(0 tδ şi intrarea arbitrară )(tu există relaţia

∫ −= t uttu 0 )d()()( 0 τττδ ,

iar intrărilor )(0 tδ şi )(tu le corespund respectiv răspunsurile )(tg şi )(ty . Modelul de convoluţie (22) este foarte important din punct de vedere teoretic,

deoarece are o formă mult mai compactă decât cele ale modelului primar (15) şi modelului secundar (21), care sugerează posibilitatea deducerii unui model dinamic cu forma similară celei a modelului staţionar (16). Intr-adevăr, prin aplicarea transformării Laplace ambilor membri ai modelului de convoluţie (22) se obţine modelul operaţional (complex)


31

)()()( sUsGsY = , (24)

în care )(sU , )(sY şi )(sG sunt respectiv transformatele Laplace ale funcţiilor de tip original )(tu , )(ty şi )(tg . Funcţia )(sG se numeşte funcţie de transfer.

Datorită formei sale simple, modelul operaţional este cel mai frecvent utilizat în studiul sistemelor liniare continue. Funcţia pondere )(tg şi funcţia de transfer

)(sG înglobează toate proprietăţile şi caracteristicile dinamice ale sistemului, fiind deci echivalente ale parametrilor ia şi ib din componenţa modelului primar (15)

şi modelului secundar (21).

2.3. SISTEME DISCRETE DE TIP I-E

Dacă sistemul este liniar şi cu parametri constanţi, modelul dinamic are forma primară (standard)

)()1()()()1()( 1010 rtubtubtubntyatyatya rn −++−+=−++−+ , (25)

unde ia şi ib sunt coeficienţi constanţi ( 00 ≠a ). Prin înlocuirea variabilei t cu

variabila (întreagă) Z∈k , modelul primar poate fi scris sub forma simplificată

rkrkknknkk ubububyayaya −−−− +++=+++ 110110 . (26)

Sistemul cu modelul (25) sau (26) este propriu (strict propriu dacă 00 =b , respectiv semipropriu dacă 00 ≠b ). La sistemele semiproprii, transferul intrare-

ieşire conţine şi o componentă instantanee. De exemplu, în cazul intrării treaptă unitară )(10 tu = - figura 2.7, componenta instantanee a mărimii de ieşire este tot o

treaptă, cu expresia

0 0

0( ) 1 ( )inst

by t t

a= ⋅ ,

care rezultă din faptul că răspunsul indicial are valoarea iniţială 0 0(0) /y b a= .

Fig. 2.7. Funcţia discretă tip treaptă unitară.

TEORIA SISTEMELOR

32

In regim staţionar, când variabilele de intrare şi de ieşire au valori constante la toate momentele de timp, din modelul dinamic (26) sau (27) obţinem modelul staţionar

Kuy= , (27)

cu factorul de proporţionalitate

n

r

aaabbbK

++++++

=...10

10 . (28)

In cazul K finit şi nenul ( 0...10 ≠+++ naaa şi 010 ≠+++ rbbb ), în care caracteristica statică este o dreaptă oblică, sistemul este de tip proporţional.

In cazul 0...10 =+++ naaa şi 010 ≠+++ rbbb , sistemul este de tip integral. Sistemul pur integral are modelul

)()1()( 0 tubtyty =−− . (29)

In cazul 0=K ( 0...10 ≠+++ naaa şi 010 =+++ rbbb ), sistemul este de tip derivativ. Sistemul pur derivativ are modelul

)1()()(0 −−= tututya . (30)

In conformitate cu principiul superpoziţiei, modelul primar (25) poate fi scris sub forma secundară echivalentă

⎪⎩

⎪⎨⎧

−++−+=

=−++−+

)()()()

)()()()(

rtwb...twbtwby(t

tuntwa...twatwa

r

n

1

1

10

10. (31)

O a treia formă de reprezentare matematică în domeniul timpului a sistemelor discrete liniare monovariabile o constituie modelul de convoluţie

∑=

−=t

iiuitgty

0)()()( , (32)

unde )(tg este funcţia pondere, reprezentând răspunsul sistemului la funcţia de intrare tip impuls unitar )(0 tu δ= - figura 2.8 Modelul de convoluţie (32) poate fi uşor dedus din principiul superpoziţiei, ţinând seama că între cauzele )(0 tδ şi

)(tu există relaţia

∑=

−=t

iiuittu

0)()()( 0δ .


33

Fig. 2.8. Funcţia discretă tip impuls unitar.

Intre funcţia pondere )(tg şi funcţia indicială )(th (definită ca fiind răspunsul sistemului la intrarea treaptă unitară )(1)( 0 ttu = - figura 2.7), există relaţiile

)1()()( −−= ththtg , )()1()0()( tgggth +++= . (33)

Aceste relaţii sunt consecinţe ale principiului superpoziţiei şi relaţiilor între cauze

)1(1)(1)( 000 −−= tttδ , )0()1()()(1 0000 δδδ ++−+= ttt .

Din modelul de convoluţie (33), prin aplicarea transformării Z , se obţine modelul operaţional (complex)

)()()( zUzGzY = , (34)

în care )(zU , )(zY şi )(zG sunt respectiv transformatele Z ale funcţiilor de tip original )(tu , )(ty şi )(tg . Modelul dinamic operaţional (34) are aceeaşi formă (simplă) ca a modelului staţionar (27) şi a modelului operaţional (24) al sistemelor continue.

2.4. SISTEME CONTINUE DE TIP I-S-E

Modelul general intrare-stare-ieşire (I-S-E) al unui sistem cu timp continuu, cu parametri concentraţi, are următoarea formă:

⎪⎩

⎪⎨⎧

))(,)(,()(

))(,)(,()(

tUtXt=gt Y

tUtXt=ftX , (35)

în care mtU RR→:)( este funcţia de intrare, ntX RR→:)( este funcţia de stare şi mtY RR →:)( este funcţia de ieşire.

La sistemele continue (netede), funcţiile f şi g sunt continue în raport cu X şi U , iar la sistemele discontinue, cel puţin una dintre funcţiile f şi g este discontinuă în raport cu X sau U.

TEORIA SISTEMELOR

34

Prima ecuaţie a modelului (36) este ecuaţia stării, iar cea de-a doua - ecuaţia ieşirii. Deoarece ecuaţia stării este de tip diferenţial, starea X urmăreşte variaţiile intrării U cu întârziere.

Un sistem continuu liniar are modelul sub forma

⎪⎩

⎪⎨⎧

)()()(

)()()(

t+DUtCX=t Y

t+BUtAX=tX , (36)

unde )( nnA × este matricea pătrată a parametrilor de stare, )( mnB × - matricea parametrilor de intrare, )( npC × - matricea parametrilor de ieşire şi )( mpD × -

matricea parametrilor de transmisie directă. In cazul 0=D , sistemul este strict propriu. La sistemele cu parametri constanţi, matricele A , B , C şi D sunt constante, în timp ce la sistemele cu parametri variabili, cel puţin una dintre acestea este funcţie de t .

Ecuaţiile (36) pot fi scrise explicit (pe componente), astfel :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmn

m

nnn

n

n u

u

bb

bb

+

x

x

aa

aa

=

x

x

n

1

1

111

1

1111 1

,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

mpmp

m

npnp

n

p u

u

dd

dd +

x

x

cc

cc =

y

y

1

1

1111

1

1111 .

Prin convenţie, variabilele de intrare, de stare şi de ieşire ale unui sistem liniar nu reprezintă valorile absolute ale mărimilor fizice corespunzătoare ale sistemului real, ci variaţiile acestora faţă de valorile lor iniţiale.

La sistemele monovariabile (cu o singură intrare şi o singură ieşire), B este matrice coloană, C este matrice linie, iar D este scalar :

u

b

b

+

x

x

aa

aa

=

x

x

nnnnn

n

n⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ 11

1

1111

,


35

[ ] ud + cc =y

n

n

x

x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ 1

1 .

Scris sub formă scalară, modelul monovariabil are forma

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++++=

++++=

ubxaxaxax

ubxaxaxax

nnnnnnn

nn

2211

112121111

duxcxcxcy nn ++++= 22111 .

De remarcat faptul că forma I-S-E de reprezentare matematică a unui sistem nu este unică. Această observaţie este confirmată şi de faptul că sistemele liniare monovariabile de ordinul n de tip I-S-E au 2)1( +n parametri scalari, în timp ce sistemele similare de tip I-E au maxim )1(2 +n parametri scalari.

2.5. SISTEME DISCRETE DE TIP I-S-E

Modelul I-S-E al unui sistem discret are forma

⎩⎨⎧

))(),(,(=)(

))(),(,(=1)(

tUtXtgtY

tUtXtft+X , (37)

unde mtU RZ→:)( , ntX RZ→:)( , ptY RZ→:)( , iar f şi g au aceeaşi semni-ficaţie ca la modelul (41) al unui sistem continuu.

Sistemele discrete liniare şi cu parametri constanţi au modelul I-S-E de forma

⎩⎨⎧ +

)()(=)()()(=)1(

tDU+tCXtYtBU+tAXtX

, (38)

unde A , B , C , D sunt matrice constante cu aceleaşi dimensiuni ca la sistemele continue. Modelul (39) poate fi scris şi sub forma

⎩⎨⎧ +

kkk

kkk

DU+=CXBU+=AXX

Y1 , Z∈k . (39)

TEORIA SISTEMELOR

36

2.7. APLICAŢII

♦ Aplicaţia 2.1. Considerăm circuitul electric din figura 1.4. Să se afle: a) modelul I-E pentru 1u intrare şi Cu ieşire; b) modelul I-E pentru 1u intrare şi Lu ieşire; c) modelul I-S-E pentru 1u intrare, Cu ieşire şi Cux =1 şi Rux =2 ; d) modelul I-S-E pentru 1u intrare, Lu şi Cu ieşiri, Cux =1 şi Rux =2 .

Să se arate că: e) tensiunile Lu şi Cu nu pot fi variabile de stare; f) tensiunile Ru şi Lu nu pot fi variabile de stare.

Soluţie. Avem :

RiuR = , tiLuL d

d= , tu

Ci dd C= , (40)

LCR uuuu ++=1 . (41)

a) Din relaţiile (40), rezultă

tu

RCuR dd C= , 2

2

dd

tu

LCu CL = .

Inlocuind pe Ru şi Lu în relaţia (71), obţinem modelul intrare-ieşire

1C

12

22

2 dd

dd

uutu

Ttu

T CC =++ , (42)

unde constantele de timp 1T şi 2T au expresiile RCT =1 , LCT =2 . Sistemul este liniar,

continuu, de ordinul doi, cu parametri constanţi.

b) Din relaţiile (40), rezultă

LR uLRu = , LC uLCu 1= .

Derivând de două ori relaţia (41) şi înlocuind apoi pe Ru şi Cu , obţinem modelul intrare-ieşire

11 uuLCuL

Ru LLL =++ ,

care poate fi scris sub forma

12

212

2 uTuuTuT LLL =++ . (43)

c) Din relaţiile


37

RC uRC

u 1= , )( 1uuu

LRu

LRu RCLR +−−== ,

rezultă 21

1 xRCx = ,

)( 1212 uxxLRx +−−= .

Cu notaţiile TCp 1= şi LRq = , modelul I-S-E devine astfel :

12

1

2

1 00u

qxx

qqp

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡, 1xuC = . (44)

Rezultă

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=qq

pA

0

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

qB

0 , [ ]01=C , 0=D . (45)

d) Tinând seama de (44) şi de relaţia

121 uxxuL +−−= ,

modelul I-S-E cerut are forma

12

1

2

1 00u

qx

x

qq

p

x

x⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡, 1

2

1

1

0

11

01u

x

x

u

u

L

C⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡, (46)

deci

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=

qq

pA

0, ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

qB

0, ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=

11

01C , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10

D . (47)

e) Pentru Cux =1 şi Lux =2 , din relaţiile (40) şi (41) rezultă

tiLx d

d2 = , t

xCi d

d 1= , 211 xxRiu ++= .

Prin eliminarea variabilei i , obţinem

2121 xxTT = , 21111 xxxTu ++= ,

unde RCT =1 , LCT =2 . Din aceste relaţii obţinem ecuaţiile de stare

)(1121

11 uxx

Tx +−−= , 1

112

211

12

1)11(1 uT

uxTT

xT

x −+−+= .

TEORIA SISTEMELOR

38

A doua ecuaţie de stare nu se încadrează în forma generală admisă, datorită prezenţei derivatei mărimii de intrare 1u .

f) Pentru Rux =1 şi Lux =2 , din relaţiile (40) şi (41) rezultă

Rix =1 , tiLx

dd

2 = , t

xCi

tx

tu

dd

dd

dd 211 ++= .

Prin eliminarea variabilei i , obţinem ecuaţiile de stare

21

11 xTx = , 12

21

12

11 uxTxTx +−−= .

Ca şi în cazul anterior, cea de-a doua ecuaţie de stare nu se încadrează în forma generală admisă, datorită prezenţei derivatei mărimii de intrare 1u .

♦ Aplicaţia 2.2. Fie circuitul electric din figura 2.9, având ca intrări tensiunile 1u şi 2u , iar ca ieşire tensiunea 1v . Să se afle:

a) modelul I-E; b) modelul I-S-E, cu variabila de stare 1v .

Fig. 2.9. Circuit tip RC.

Soluţie. a) Din

Ciii =+ 21 ,

rezultă

dtd

CRu

Ru 1

2

12

1

11 vvv=

−+

−,

deci

2

2

1

11

21

1 11(Ru

Ru

RRdtd

C +=++ )vv . (48)

Modelul I-E poate fi scris sub forma

221111

1 ukukdtd

T +=+vv

, (49)

unde


39

CRRRR

T21

211 += ,

21

21 RR

Rk

+= ,

21

12 RR

Rk

+= .

Sistemul este liniar, continuu, de ordinul unu, cu parametri constanţi.

b) Pentru 11 v=x , obţinem modelul I-S-E

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

++−=

11

2211111

x

ukukxxT

v , (50)

cu

1

1TA −= , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=1

2

1

1Tk

TkB , 1=C , [ ]00=D .

♦ Aplicaţia 2.3. Fie circuitul electric din figura 2.10, având ca intrări tensiunile 1u şi 2u , iar ca ieşiri tensiunile 1v şi 2v . Să se afle:

a) modelul I-E; b) modelul I-S-E cu variabilele de stare 1v şi 2v .

Fig. 2.10. Circuit multivariabil tip RC.

Soluţie. a) Sistemul poate fi descompus în două subsisteme interconectate S1 şi S2 (fig. 2.11), având fiecare aceeaşi structură ca sistemul din figura 2.9.

In conformitate cu (48), avem

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++−=

+++−=

2

212

222

2

1

11

111

)11(

)11(

Ru

RRRC

RRu

RRC

vvv

vvv

. (51)

Prin eliminarea succesivă a variabilelor 2v şi 1v între cele două ecuaţii (se înlocuieşte

2v din prima ecuaţie în a doua, apoi 1v din a doua ecuaţie în prima), obţinem modelul

I-E sub forma

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−=−++++

−++=−++++

21211222121221221

21121212111221121

)1()1()(

)1()1()(

ukuTukkkTkTkTT

ukukuTkkTkTkTT

vvv

vvv , (52)

în care

TEORIA SISTEMELOR

40

RR

k 11 1+= , R

Rk 2

2 1+= , 111 CRT = , 222 CRT = .

Sistemul este continuu, liniar, multivariabil, de ordinul doi, cu parametri constanţi.

Fig. 2.11. Circuit multivariabil tip RC descompus.

b) Considerând 11 v=x şi 22 v=x , din (52) rezultă modelul I-S-E sub următoarea

formă:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

2

1

2

1

22

11

22

11

10

01

1

1

u

u

x

x

kk

k

xT

xT k

= + ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

2

1

2

1

10

01

x

x

v

v. (53)

♦ Aplicaţia 2.4. Să se determine un model de tip I-S-E al sistemului continuu cu modelul I-E

uuyyy +=++ 258 .

Soluţie. Se formează modelul secundar

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=++

zzy

uzzz

2

58

şi se aleg variabilele de stare zx =1 , zx =2 . Rezultă modelul I-S-E

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−=

=

uxxx

xx

81

85

81

212

21 , 21 2xxy += ,

cu forma matriceală

ux

x

x

x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

810

85

81

10

2

1

1

1 , [ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

2

121

x

xy .

♦ Aplicaţia 2.5. Pentru sistemul cu modelul I-E

uuuyyy ++=++ 2358 ,

să se determine un model de tip I-S-E.

Soluţie. Se formează modelul secundar


41

⎩⎨⎧

++=

=++

wwwy

uwww

23

58

şi se aleg variabilele de stare wx =1 , wx =2 . Obţinem modelul I-S-E cu ecuaţia de stare

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−=

=

uxxx

xx

81

85

81

212

21 ,

iar din

1221122 2)81

85

81(323 xxuxxxxxy +++−−=++= ,

obţinem ecuaţia de ieşire

uxxy83

81

85

21 ++= .

2.8. APLICAŢII DE AUTOCONTROL

♦ C2.1. Să se determine modelul I-E al circuitului electric de mai jos, cu intrarea 1u şi ieşirea 2u .

♦ C2.2. Circuitul electric alăturat are intrarea 1u şi ieşirea 2u . Să se determine:

a) modelul I-E; b) modelul I-S-E, considerând stările 11 ix = şi 22 ix = .

♦ C2.3. Pentru sistemul continuu cu modelul I-E

uuyyyy +=+++ 4585 ,


TEORIA SISTEMELOR

42

♦ C2.4. Pentru sistemul continuu cu modelul I-E

uuyy +=+ 45 ,


♦ C2.5. Pentru sistemul continuu cu modelul I-S-E

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−=

+−=

uxxx

mxxx

24 212

211 ,

uxxy −−= 21 ,

să se determine modelul de tip I-E.

♦ C2.6. Pentru sistemul discret cu modelul I-S-E

)(7)()1( 11 tutxtx +−=+ ,

)()()( 1 tutxty −= ,

să se determine modelul de tip I-E.

3 ELEMENTE DE ANALIZĂ

IN DOMENIUL TIMPULUI A SISTEMELOR LINIARE

In cadrul analizei sistemelor liniare de tip intrare-ieşire, considerăm că până la momentul iniţial 00 =t , sistemul s-a aflat într-un regim staţionar, în care toate

variabilele de intrare şi de ieşire sunt nule (variabile de tip original). Pentru ca această ipoteză să fie valabilă la un sistem fizic, vom considera că variabilele de intrare şi de ieşire ale sistemului reprezintă variaţiile mărimilor fizice respective faţă de valorile lor iniţiale. De exemplu, în cazul unui cuptor tubular în care produsul este încălzit la temperatura T prin arderea unui combustibil cu debitul Q , variabila de intrare este variaţia debitului de combustibil

0QQQu −=Δ= ,

iar variabila de ieşire este variaţia temperaturii produsului la ieşirea din cuptor

0TTTy −=Δ= .

In plus, considerăm că pentru 0<t , cuptorul s-a aflat într-un regim staţionar, caracterizat prin debitul de combustibil 0Q şi temperatura produsului la ieşirea din cuptor 0T . Prin urmare, variabilele sistemice u şi y sunt nule pentru 0<t ,

adică sunt de tip original. Analiza elementară de tip intrare-ieşire constă, în principal, în abordarea şi

rezolvarea următoarelor probleme: - determinarea modelului unui sistem compus din modelele subsistemelor

componente; - determinarea răspunsului sistemului la anumite semnale de intrare standard,

de tip original; - minimizarea sistemelor liniare pe baza criteriului de echivalenţă intrare-

ieşire; - discretizarea sistemelor continue de tip I-E.

TEORIA SISTEMELOR

44

Determinarea modelului unui sistem compus din modelele subsistemelor componente este o operaţie relativ complicată, care se face, în cazul sistemele continue, prin eliminarea tuturor variabilelor intermediare şi a derivatelor acestora. De asemenea, calculul răspunsului unui sistem compus cu structură închisă este o operaţie complicată, mai ales atunci când ordinul sistemului este mare.

3.1. RASPUNSUL IN TIMP AL SISTEMELOR CONTINUE

In faza de stabilire a modelului unui sistem compus (tip serie, paralel, cu reacţie etc.) se utilizează forma primară (standard) de reprezentare a sistemelor liniare, anume

ububububyayayaya rr

rr

nn

nn 01

)1(1

)(01

)1(1

)( ++++=++++ −−

−− . (1)

In faza de calcul al răspunsului sistemului la o intrare dată de tip original se utilizează însă forma secundară de reprezentare a sistemului, care nu conţine derivate ale mărimii de intrare

⎪⎩

⎪⎨⎧

++++=

=++++−

−

−−

wbwbwbwby

uwawawawar

rr

r

nn

nn

01)1(

1)(

01)1(

1)(

. (2)

Forma de reprezentare secundară permite calculul răspunsului sistemului la intrări )(tu de tip original nederivabile, chiar discontinue (cazul intrării de tip treaptă).

In conformitate cu modelul secundar, răspunsul sistemului pentru 0≥t la orice funcţie de intrare finită de tip original )(1)( ttu f ⋅= este dat de relaţia

wbwbwbwbty rr

rr 01

)1(1

)()( ++++= −− , (3)

unde )(tw este soluţia ecuaţiei diferenţiale

)(01)1(

1)( twawawawa fn

nn

n =++++ −− , (4)

corespunzătoare condiţiilor iniţiale nule

0)0()0()0( )1( ==== +++−nwww . (5)

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E

45

Cele n condiţii iniţiale nule (5) exprimă proprietatea funcţiilor )(tw , )(tw , ... , )()1( tw n− de a fi continue la momentul 0=t . Din ecuaţia (3) şi condiţiile iniţiale

(5) rezultă că răspunsul )(ty al sistemului satisface următoarele condiţii iniţiale nule:

0)0()0()0( )1( ==== ++−++ rnyyy , (6)

Rezultatul obţinut poate fi formulat astfel:

Teorema condiţiilor iniţiale nule. Răspunsul la orice funcţie de intrare finită de tip original al unui sistem liniar continuu descris de ecuaţia diferenţială (1) cu 0≠na este caracterizat prin cel puţin rn− condiţii iniţiale nule.

Răspunsul )(th al sistemului la intrare treaptă unitară, )(1 tu = , se numeşte funcţie indicială sau răspuns indicial, iar răspunsul )(tg al sistemului la intrare impuls Dirac, )(0 tu δ= , se numeşte funcţie pondere sau răspuns pondere. Tinând seama de principiul superpoziţiei, rezultă că între răspunsul indicial )(th şi răspunsul pondere )(tg există următoarele relaţii:

∫ −=

tgth

0d)()( ττ , (7)

tthtg d)(d)( = . (8)

Observaţii. 10. In cazul 00 ≠a şi 0≠na , soluţia )(tw a ecuaţiei diferenţiale (4) pentru intrarea treaptă unitară )(1 tu = are forma

tn

tt nsss CCCa

tw eee1)( 2121

0++++= , 0≥t , (9)

unde nsss ,,, 21 sunt rădăcinile (distincte) ale ecuaţiei caracteristice

0011

1 =++++ −− asasasa n

nn

n , (10)

iar nCCC ,,, 21 sunt constante reale sau complexe (constanta iC este reală/complexă după cum rădăcina is este reală/complexă). Polinomul monic

)())(()( 21111 0

nnn

n

n

nn ssssssaa

saas

aa

ss −−−=++++= −−P , (11)

se numeşte polinomul caracteristic al sistemului. In cazul 21 ss = , suma tt ss CC 21 ee 21 + din expresia (9) a răspunsului )(tw

trebuie înlocuită cu

TEORIA SISTEMELOR

46

tsCtC 1e)( 21 + ,

iar dacă rădăcinile 1s şi 2s sunt complex-conjugate, adică jbas ±=2,1 , în locul

sumei tt ss CC 21 ee 21 + (cu 1C şi 2C constante complex-conjugate) se recomandă

utilizarea expresiei )cossin(e 21 btCbtCat + , (12)

unde 1C şi 2C sunt constante reale. Constantele nCCC ,,, 21 din expresia (9) a răspunsului )(tw se determină din condiţiile iniţiale nule (5).

20. Tinând seama de ecuaţia ieşirii (3) şi de forma (9) a răspunsului )(tw , răspunsul indicial )(th al sistemului (în cazul în care ecuaţia caracteristică are rădăcinile nsss ,,, 21 distincte) are forma

tn

tt nsss DDDab

th eee)( 2121

0

0 ++++= , 0≥t , (13)

unde nDDD ,,, 21 sunt constante reale sau complexe ( iD este real/complex dacă is este real/complex). Dacă rădăcinile 1s şi 2s sunt complex-conjugate,

adică jbas ±=2,1 , atunci suma tt ss DD 21 ee 21 + este de forma

)cossin(e 21 btEbtEat + , unde 1E şi 2E sunt constante reale. Din expresia (13) a răspunsului indicial )(th , rezultă că acesta este mărginit dacă toate rădăcinile

nsss ,,, 21 ale ecuaţiei caracteristice au partea reală negativă. Acest rezultat

este valabil şi în cazul în care ecuaţia caracteristică are rădăcini multiple. In plus, răspunsului indicial )(th este aperiodic (fără oscilaţii) atunci când toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale. Dacă două rădăcini ale ecuaţiei caracteristice sunt complex-conjugate, jbas ±=2,1 , atunci răspunsul indicial are

şi o componentă de tip oscilant sinusoidal (cu amplitudine descrescătoare, constantă sau crescătoare, după cum 0<a , 0=a sau 0>a , respectiv).

30. La sistemele compuse de tip serie (fig. 3.1), paralel (fig. 3.2) sau cu reacţie (fig. 3.3), calculul răspunsului la o intrare dată se face de regulă pe baza modelului sistemului compus, obţinut din modelele subsistemelor componente prin eliminarea tuturor variabilelor intermediare (a variabilei v la conexiunea serie, a variabilelor 1v şi 2v la conexiunea paralel, a variabilelor e şi v la

conexiunea cu reacţie), inclusiv a derivatelor acestora. La conexiunile deschise


47

(tip serie sau paralel), calculul răspunsului se poate face şi pas cu pas, prin calculul succesiv al răspunsului fiecărui subsistem, în ordinea transmisiei informaţiei.

Fig. 3.1. Conexiune serie.

Fig. 3.2. Conexiune paralel.

Fig. 3.3. Conexiune cu reacţie.

In cadrul pachetului de programe de reglare “Control System Toolbox” din mediul MATLAB, modelul obiect de tip transfer intrare-ieşire ("input-output transfer") al unui sistem continuu liniar propriu se construieşte cu ajutorul funcţiei tf, astfel • sis = tf (b,a) . unde argumentele de intrare b şi a sunt vectori linie formaţi respectiv cu coeficienţii derivatelor intrării şi ieşirii din modelul primar (1):

][ 011 bbbbb nn −= , ][ 011 aaaaa nn −= .

In cazul nr< , argumentul de intrare b poate fi scris şi sub forma ][ 011 bbbbb rr −= . Pachetului de programe “Control“ conţine funcţiile step, impulse şi lsim (fişiere cu

extensia m) pentru calculul şi reprezentarea grafică a răspunsului indicial, a răspunsului pondere şi a răspunsului la o intrare arbitrară tip original dată U , în formă de scară: • [Y,t] = step (sis,t) ; • [Y,t] = impulse (sis,t) ; • [Y,t] = lsim (sis,U,t) ;

TEORIA SISTEMELOR

48

Argumentul de intrare t , reprezentând vectorul timp, poate fi introdus printr-o comandă de forma

• t=t0:T:t1,

unde t0 este valoarea iniţială (de regulă egală cu 0), T este pasul de calcul, iar t1 - valoarea finală. Argumentul de intrare t poate omis la funcţiile step şi impulse, caz în care acesta este generat automat de funcţia respectivă. Argumentele de intrare U şi t ale funcţiei lsim sunt vectori cu aceeaşi dimensiune. Componentele vectorilor U şi Y reprezintă respectiv valorile mărimilor de intrare şi de ieşire la momentele de timp specificate de vectorul t .

Dacă funcţiile sunt apelate cu unul sau ambele argumente de ieşire, atunci se efectuează numai evaluarea acestor argumente, fără reprezentarea grafică a răspunsului. In cazul contrar, se efectuează numai reprezentarea grafică a răspunsului.

Pentru realizarea unei sistem compus format din două subsisteme sis1 şi sis2 conectate în serie, în paralel sau în reacţie se utilizează funcţiile: • s1 = series(sis1,sis2) ; • s2 = parallel(sis1,sis2) ; • s3 = feedback(sis1,sis2,sign).

Mai uşor, cele trei tipuri de conexiuni pot fi implementate astfel:

• s1 = sis1*sis2; • s2 = sis1+sis2; • s3 = sis1/(1+sis1*sis2);

La funcţia feedback, dacă parametrul sign este omis sau are valoarea 1− , atunci reacţia este negativă (ca în figura 3.3), iar dacă are valoarea 1, atunci reacţia este pozitivă.

3.2. RASPUNSUL IN TIMP AL SISTEMELOR DISCRETE

In faza de stabilire a modelului unui sistem compus se utilizează forma primară (standard) de reprezentare a sistemelor, anume

)()1()()()1()( 101 rtubtubtubntyatyaty rn −++−+=−++−+ . (14)

In faza de calcul al răspunsului la o intrare dată de tip original este însă preferată forma secundară echivalentă

⎪⎩

⎪⎨⎧

−++−+=

=−++−+

)(1)()()

)()(1)()(

10

1

rtwb...twbtwby(t

tuntwa...twatw

r

n . (15)


49

In ecuaţiile (14) şi (15), variabilele u , y şi w sunt de tip original, adică sunt nule pentru orice valoare negativă a argumentului.

Calculul numeric al răspunsului )(tw pentru 0≥t la o intrare dată de tip original u se efectuează cu relaţia recurentă:

niniii wawauw −− −−−= 11 , ,2,1,0=i , (16)

unde )(iwwi = , )(iuui = . Mai departe, valorile numerice ale răspunsului y sunt date de relaţia

ririii wbwbwby −− +++= 110 , ,2,1,0=i (17)

Calculul analitic al răspunsului )(ty al sistemului la o intrare analitică de tip original dată, )(1)( 0

0 ttuu ⋅= se poate face pe baza modelului primar (14) sau, mai bine, a modelului secundar (15). Funcţia treaptă unitară de timp discret )(10 t are expresia

⎩⎨⎧

=<

=,2,1,0,1

0,0)(10

tt

t .

In cazul utilizării modelului secundar (15), răspunsul )(tw la o funcţie de intrare analitică dată, )(1)( o ttu f ⋅= , poate fi scris sub forma

)()()( omp twtwtw += , (18)

unde )(p tw este o soluţie particulară a ecuaţiei cu diferenţe

)()(1)()( 1 tntwa...twatw fn =−++−+ , (19)

iar )(om tw este soluţia ecuaţiei omogene cu diferenţe

0)(1)()( 1 =−++−+ ntwa...twatw n . (20)

Soluţia particulară )(p tw şi soluţia ecuaţiei omogene )(om tw sunt valabile

pentru nt ≥ . Soluţia particulară )(p tw a ecuaţiei (19) are, de regulă, o formă similară cu

cea a funcţiei de intrare )(tf . Astfel, pentru intrare treaptă unitară, adică )(1o tu = , ecuaţia (19) devine

111 =−++−+ )()()( ntwa...twatw n , 0≥t , (21)

TEORIA SISTEMELOR

50

iar

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++++

≠++++++++=

01,

01,1

1)(

21

2121p

n

nn

aaat

aaaaaatw

...

...... . (22)

Soluţia ecuaţiei omogene are forma

tnn

tt zCzCzCtw +++= 2211om )( , (23)

unde nzzz ,,, 21 sunt rădăcinile (distincte) ale ecuaţiei caracteristice

011

1 =++++ −−

nnnn azazaz , (24)

iar nCCC ,,, 21 sunt constante reale sau complex-conjugate. Polinomul monic

)())(()( 2111

1 nnnnn zzzzzzazazazz −−−=++++= −−P (25)

reprezintă polinomul caracteristic al sistemului. Dacă rădăcinile 1z şi 2z sunt reale şi egale, atunci suma tt zCzC 2211 + trebuie

înlocuită cu tzCtC 121 )( + ,

iar dacă 1z şi 2z sunt complex-conjugate, adică )sin(cos2,1 ααρ jz ±= , atunci în

locul sumei tt zCzC 2211 + (cu constantele 1C şi 2C complex-conjugate) se

recomandă utilizarea expresia

)sincos( 21 tCtCt ααρ + ,

în care constantele 1C şi 2C sunt reale. Constantele nCCC ,,, 21 se determină astfel încât soluţia )(tw de forma

(18), iniţial valabilă pentru nt ≥ , să verifice condiţiile iniţiale

)0(w , )1(w , … , )1( −nw , (26)

care pot fi determinate direct din ecuaţia cu diferenţe (21), înlocuind succesiv pe t cu 0 , 1, … , 1−n . In acest fel soluţia )(tw devine valabilă pentru orice 0≥t .

Pe baza formulei răspunsului )(tw , valabilă pentru 0≥t , obţinem răspunsul sistemului )(ty din ecuaţia ieşirii

)(1)()() 10 rtwb...twbtwby(t r −++−+= .

Formula analitică obţinută este valabilă pentru rt ≥ . Pentru 1,,1,0 −= rt , avem


51

)0()0( 0wby = ,

)0()1()1( 10 wbwby += , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , )0()1()()( 10 wbrwbrwbry r++−+= .

Răspunsul )(ty al sistemului la intrare impuls unitar, )(o tu δ= , reprezintă funcţia pondere a sistemului şi se notează cu )(tg , iar răspunsul la intrare treaptă unitară, )(1o tu = , reprezintă funcţia indicială şi se notează cu )(th . In conformi-tate cu principiul superpoziţiei, din relaţiile

)1(1)(1)( ooo −−= tttδ , )0()1()()(1 oooo δδδ ++−+= ttt , (27)

rezultă că între funcţia pondere )(th şi funcţia indicială )(tg există corelaţiile

)1()()( −−= ththtg , )0()1()()( gtgtgth ++−+= . (28)

Observaţie. In cazul în care sistemul este de tip proporţional ( 0...1 21 ≠++++ naaa ) şi ecuaţia caracteristică are rădăcinile nzzz ,,, 21 distincte, soluţia )(tw a ecuaţiei cu diferenţe (30) are forma

tnn

tt

nzCzCzCaaatw ++++++++= 2211

21 ...11)( , 0≥t , (29)

unde nCCC ,,, 21 sunt constante reale sau complexe ( iC este real/complex, dacă iz este real/complex). Tinând seama de ecuaţia ieşirii

)(1)()() 10 rtwb...twbtwby(t r −++−+=

răspunsul indicial )(th al sistemului are forma

tnn

tt

n

r zDzDzDaaa

bbbth ++++++++

+++= 2211

21

1

...1)( 0 , rt ≥ , (30)

unde nDDD ,,, 21 sunt constante reale sau complexe ( iD este real/complex, după cum iz este real/complex). Dacă rădăcinile 1z şi 2z sunt complex-

conjugate, adică )sin(cos2,1 ααρ jz ±= ,

atunci suma tt zDzD 2211 + este de forma

TEORIA SISTEMELOR

52

)sincos( 21 tEtEt ααρ + ,

unde 1E şi 2E sunt constante reale. Din expresia răspunsului indicial )(th rezultă că acesta este mărginit atunci când toate rădăcinile nzzz ,,, 21 ale ecuaţiei

caracteristice a sistemului au modulul subunitar. Acest rezultat este valabil şi în cazul în care ecuaţia caracteristică are rădăcini multiple. In plus, dacă două rădăcini ale ecuaţiei caracteristice sunt complex-conjugate (cu modulul ρ ), atunci răspunsul indicial are o componentă de tip oscilant sinusoidal (cu amplitudinea descrescătoare, constantă sau crescătoare, după cum 1<ρ , 1=ρ sau 1>ρ , respectiv). De asemenea, răspunsul indicial are o componentă de tip oscilant atunci când ecuaţia caracteristică are o rădăcină reală negativă. Dacă toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi pozitive, atunci răspunsul indicial este aperiodic (fără oscilaţii).

In MATLAB, modelul obiect de tip transfer intrare-ieşire ("input-output transfer") al unui sistem discret liniar monovariabil se construieşte tot cu ajutorul funcţiei tf, astfel: • sisd= tf (b,a,T);

unde b şi a sunt vectori linie, formaţi cu coeficienţii termenilor intrării, respectiv cu coeficienţii termenilor ieşirii din ecuaţia primară (1), iar T este perioada de discretizare a timpului. Vectorii a şi b trebuie să aibă aceeaşi dimensiune, anume max(n+1, r+1):

b=[b0 b1 ... bn], a=[a0 a1 ... an] – în cazul nr≤ ;

b=[b0 b1 ... br], a=[a0 a1 ... ar] – în cazul nr> .

Prin urmare, în cazul rn≠ , ultimele elemente (din dreapta) ale unuia din cei doi vectori se aleg 0. Dacă însă b0=b1=…=bj=0, atunci argumentul de intrare b poate fi introdus şi sub forma b=[bj+1 bj+2 ... bn] sau b=[bj+1 bj+2 ... br], după cum nr≤ sau nr> .

Pentru calculul şi reprezentarea grafică a răspunsului se utilizează aceleaşi funcţii ca la sistemele continue de tip I-E (step, impulse, lsim). De asemenea, implementarea sistemelor compuse (tip serie, paralel, cu reacţie) se face la fel ca la sistemele continue.

3.3. DISCRETIZAREA SISTEMELOR CONTINUE DE TIP I-E

Sistemele discrete, fizice sau abstracte, sunt sisteme artificiale, concepute şi construite de om. Sistemele discrete apar fie ca sisteme de sine stătătoare, fie ca rezultat al discretizării unor sisteme (procese) continue, în vederea simulării sau implementării lor în varianta numerică.


53

Două funcţii de timp de tip original, una de timp continuu ( R∈t ) şi cealaltă de timp discret ( kTt = , Z∈k ), se numesc T-echivalente dacă au aceleaşi valori la toate momentele de timp kTtk = . Atunci când funcţia de timp continuu )(tu este de tip T-scară, adică este constantă pe fiecare interval de timp ),[ 1+kk tt ,

)()( ktutu = , ),[ 1+∈ kk ttt

echivalenţa este de ordinul zero. Dacă )(tu este de tip T-rampă, adică liniară pe fiecare interval ),[ 1+kk tt şi continuă pe R , atunci echivalenţa este de ordinul

unu. Prin definiţie, un sistem liniar discret 0Σ reprezintă discretizatul intrare-

ieşire (sau echivalentul discret intrare-ieşire) cu perioada T al unui sistem liniar continuu Σ dacă pentru orice intrări T-echivalente de ordinul zero, ieşirile celor două sisteme sunt T-echivalente.

Deoarece funcţiile treaptă unitară )(1 t şi )(10 t sunt T-echivalente de ordinul zero, răspunsul indicial )(th al unui sistem continuu şi răspunsul indicial )(0 th al discretizatului acestuia sunt T-echivalente.

Discretizatul 0Σ se obţine fizic prin conectarea unui convertor discret-analogic (sau numeric-analogic) CD-A la intrarea sistemului continuu Σ şi a unui convertor analog-discret (sau analog-numeric) CA-D la ieşirea lui Σ (fig. 3.4).

Fig. 3.4. Schema discretizatului 0Σ al sistemului continuu Σ .

Convertorul CD-A transformă, prin extrapolare de ordinul zero, semnalul de timp discret 0U în semnalul de timp continuu de tip T-scară U , iar convertorul CA-D transformă semnalul de timp continuu Y în semnalul de timp discret 0Y , cu perioada T .

TEORIA SISTEMELOR

54

Pentru obţinerea discretizatului intrare-ieşire al sistemului continuu

ububububyayayaya rr

rr

nn

nn 01

)1(1

)(01

)1(1

)( ++++=++++ −−

−− , (31)

se procedează astfel: a) se determină funcţia de transfer a sistemului continuu

01

01)(asasabsbsbsG n

r

n

r

++++++

= ; (32)

b) se calculează funcţia de transfer a discretizatului, cu relaţia1

∑ −−

−−=

)e1()(rez)1()( 1

10

zssGzzG Ts

is, (33)

unde is sunt polii funcţiei ssG /)( , iar T perioada de discretizare (eşantionare); c) se aduce )(0 zG la forma

nn

rr

zazazbzbbzG−−

−−

++++++

= 11

110

1)(0 (34)

şi se scrie apoi ecuaţia discretizatului I-E, sub forma ecuaţiei cu diferenţe

rkrkknknkk ubububyayay −−−− +++=+++ 11011 . (35)

O altă metodă de obţinere a unui discretizat aproximativ al sistemului continuu descris prin modelul primar (31) constă în înlocuirea funcţiei de ieşire

)(ty cu 1−ky , a funcţiei de intrare )(tu cu 1−ku , a derivatei )(ty cu Tyy kk /)( 1−− , a derivatei )(tu cu Tuu kk /)( 1−− , a derivatei )(ty cu

221

2111 2

Tyyy

TT

yyTyy

Tyy kkk

kkkkkk −−

−−−

− +−=

−−

−

=−

şi aşa mai departe. In general, derivata )(}{ ty i se înlocuieşte cu raportul

1 Reziduul funcţiei F(s) relativ la polul simplu p este dat de relaţia

psps

sFpssFrez==

−= )]()[()( .

Dacă polul p are ordinul de multiplicitate m, atunci

ps

mmps

sFpsmsFrez=

−=

−−

= )1()]()[()!1(1)( .


55

iik

ii

ikikik

TyCyCyCy −−− −+++− )1(...2

21

1. (63)

Metoda de discretizare aproximativă este eficientă în cazul utilizării unei perioade de discretizare a timpului cu valoarea relativ mică.

Datorită formei recursive a ecuaţiei intrare-ieşire, discretizatul propriu-zis sau discretizatul aproximativ al unui sistem continuu poate fi utilizat în calculul numeric al răspunsului sistemului de timp continuu la o intrare de timp continuu

)(tu . In acest scop, perioada de discretizare T se alege suficient de mică (dar nu

foarte mică, pentru evitarea volumului mare de calcul şi a acumulării erorilor de rotunjire şi trunchiere), iar intrarea de timp discret ku a discretizatului se alege T-echivalentă cu intrarea )(tu a sistemului continuu, adică )(kTuuk = . Dacă )(tu

este de tip T-scară, atunci răspunsurile sistemului continuu şi discretizatului propriu-zis sunt T-echivalente.

In Matlab, modelul I-E al discretizatului de ordinul zero sisd al sistemului continuu sis se obţine cu funcţia

• sisd = c2d(sis,T);

unde T reprezintă perioada de discretizare.

3.4. APLICAŢII

♦ Aplicaţia 3.1. Fie conexiunea serie de mai jos, formată din subsistemele:

Să se afle răspunsul indicial, răspunsul pondere şi răspunsul la intrare rampă unitară ale subsistemului S1 şi ale conexiunii serie.

Soluţie. Calculul răspunsului indicial )(1 th al subsistemului S1 se face pe baza modelului secundar al acestuia, cu ecuaţiile

0=(0) , 12 www =+ , wwh +=1 .

Prin rezolvarea ecuaţiei diferenţiale în w , obţinem:

2/e1)( ttw −−= ,

(S1) uu +=+vv2 , (S2) v24 =+ yy .

TEORIA SISTEMELOR

56

apoi 2/

1 e5,01)( tth −−= , 0≥t .

Subsistemul S1 are răspunsul pondere

2/0

11 e25,0)(5,0

d)(d

)( tttth

tg −+== δ .

Deoarece funcţia rampă unitară )(1 tt ⋅ se obţine prin integrarea funcţiei treaptă unitară )(1 t , răspunsul )(1 ts la intrare rampă unitară poate fi obţinut prin integrarea răspun-

sului )(1 th la intrare treaptă unitară. Aşadar,

∫ −+−==t tthts0

2/11 e1d)()( ττ .

Pentru calculul răspunsului indicial )(th al conexiunii serie, pe baza modelului subsistemului S2 şi a intrării )(tv determinate, egală cu )(1 th , formăm ecuaţia

diferenţială

0=(0) , e24 2/ yyy t−−=+ .

Condiţia iniţială (0)y este nulă, deoarece pentru subsistemul S2 avem 1=− rn . Prin rezolvare, obţinem:

4/2/ e3e2)( ttth −− −+= .

De obicei, răspunsul sistemelor compuse se determină pe baza modelului sistemului compus, obţinut mai întâi în forma primară, apoi adus la forma secundară.. Astfel, prin eliminarea variabilei v între ecuaţiile celor două subsisteme, obţinem modelul primar al conexiunii serie

uuyyy 2268 +=++ .

In vederea determinării răspunsului indicial al conexiunii, din modelul secundar formăm ecuaţiile: 0=(0)=(0) , 168 wwwww =++ ,

wwh 22 += . Prin rezolvare, obţinem: 4/2/ e2e1)( tttw −− −+= ,

4/2/ e3e2)( ttth −− −+= .

Conexiunea serie are răspunsul pondere

4/2/ e75,0e5,0d)(d)( tt

tthtg −− +−==

şi răspunsul la intrare rampă unitară


57

4/0

2/ e12e2102d)()( tt tthts −− +−−== ∫ ττ .

Răspunsul )(ts la intrare rampă unitară poate fi obţinut şi direct, cu ecuaţiile:

0=(0)=(0) , 68 wwtwww =++ ,

wws 2+2= . Rezultă: 4/2/ e8e26)( ttttw −− +−−= ,

4/2/ e12e2102)( tttts −− +−−= .

Graficele din figura 3.5 ale celor trei răspunsuri ale conexiunii serie au fost obţinute în Matlab, cu programul:

sis1=tf([1 1],[2 1]); sis2=tf(2,[4 1]); sis=sis1*sis2; t=0:0.1:16; h=step(sis,t); g=impulse(sis,t); u=t; s=lsim(sis,u,t); plot(t,h,t,g,t,s/10); grid on;

Fig. 3.5. Răspunsul indicial )(th , răspunsul pondere )(tg

şi răspunsul )(ts la intrare rampă unitară.

♦ Aplicaţia 3.2. Considerăm conexiunea cu reacţie de mai jos, în care:

(S1) keyy =+5 , 0>k

(S2) y=+vv .

TEORIA SISTEMELOR

58

Pentru )(1 tu = , să se afle )(ty şi )(te în cazurile: a) 6,0=k ; b) 8,0=k ; c) 4=k .

Soluţie. Prin eliminarea variabilelor e şi v , obţinem ecuaţia conexiunii cu intrarea u şi ieşirea y : )(1)(65 uuyykyy +=+++ .

Similar, prin eliminarea variabilelor y şi v , obţinem ecuaţia conexiunii cu intrarea u şi ieşirea e : uuuekee ++=+++ 651)(65 .

Pentru )(1 tu= , funcţiile )(ty şi )(te sunt date de ecuaţiile

⎩⎨⎧

+=

===+++

)(0)0()0(,1)1(65

wwkywwwkww

,

respectiv,

⎩⎨⎧

++=

===+++

wwwewwwkww

650)0()0(,1)1(65

.

Prin rezolvare se obţin următoarele rezultate.

a) pentru 6,0=k : tttw 8,04,0 e625,0250,1625,0)( e −− +−= ,

ttty 8,04,0 e075,0e450,0375,0)( −− +−= ,

ttte 8,04,0 e375,0e750,0625,0)( −− −+= . b) pentru 8,0=k :

tttw 6,0e)53(5)(9 −+−= ,

ttty 6,0e)496,0(4)(9 −+−= ,

ttte 6,0e)44,2(5)(9 −++= . c) pentru 4=k :

)8,0sin15,08,0cos2,0(e2,0)( 6,0 tttw t +−= − ,

)8,0sin4,08,0cos8,0(e8,0)( 6,0 ttty t +−+= − ,

)8,0sin9,08,0cos8,0(e2,0)( 6,0 ttte t ++= − .

Graficele din figura 3.6 cu cele trei răspunsuri )(ty ale conexiunii cu reacţie au fost obţinute în Matlab, cu programul:

k=[0.6 0.8 4]; t=0:0.1:10; sis2=tf(1,[1 1]); for i=1:3

sis1=tf(k(i),[5 1]); sis=feedback(sis1,sis2);


59

Y(:,i)=step(sis,t); end

plot(t,Y); grid on;

Fig. 3.6. Răspunsul indicial )(ty al conexiunii cu reacţie pentru diferite valori

ale parametrului k .

Observaţie. Conexiunea cu reacţie, cu intrarea u şi ieşirea e , are modelul staţionar

uek =+ )1( .

Rezultă că pentru )(1 tu= , eroarea e se va stabiliza la valoarea staţionară

11+=

kste .

Prin urmare, eroarea staţionară este nenulă, cu atât mai mică cu cât factorul de proporţionalitate k al subsistemului de pe calea directă este mai mare.

♦ Aplicaţia 3.3. Subsistemele conexiunii cu reacţie din problema precedentă au ecuaţiile:

(S1) ,ey = (S2) y=+ vv 65 .

Să se afle: a) )(te pentru )(1 tu = ; b) )(ty pentru )(1sin ttu ⋅= .

Soluţie. a) Sistemul cu intrarea u şi ieşirea e are ecuaţia

uueee 6565 +=++ .

Pentru )(1 tu = , răspunsul )(te este dat de ecuaţiile

TEORIA SISTEMELOR

60

⎩⎨⎧

+=

===++

wwe

wwwww

65

0)0()0(,1265.

Prin rezolvare se obţine: ttte −− −= e52,0e521,)( 2,0 .

Deoarece 0)(lim =∞→

tet

, sistemul reuşeşte în final să elimine eroarea produsă prin

modificarea treaptă a intrării u . Acest rezultat se datorează acţiunii persistente, de tip integral, a subsistemului S1. In realitate, sistemul elimină eroarea staţionară (finală) pentru orice funcţie de intrare care se stabilizează la o valoare finită. Intr-adevăr, din ecuaţia dinamică a sistemului cu reacţie, uueee 6565 +=++ , rezultă că în regim staţionar (caracterizat prin 0==uu şi 0==ee ), avem 0=ste .

b) Sistemul cu intrarea u şi ieşirea y are ecuaţia

uuyyy 6565 +=++ .

Răspunsul sistemului la intrarea tu sin= se obţine prin rezolvarea ecuaţiei diferenţiale

ttyyy sin6cos565 +=++ ,

în condiţiile iniţiale 0(0))( == yty . Ambele condiţii iniţiale sunt nule deoarece funcţia de intrare )(1sin)( tttu ⋅= este continuă în origine, iar numărul condiţiilor iniţiale nule este 21=+− rn . Rezultă

ttty tt cos1314sin

263e

81e

104125)( 2,0 −+−= −− .

Componenta sinusoidală a răspunsului are amplitudinea 5261)13

14()263( 22 =+=A .

Graficele din figura 3.7 cu cele două răspunsuri ale conexiunii cu reacţie au fost obţinute în Matlab, cu programul:

t=0:0.1:50; sis1=tf(1,[1 0]); sis2=tf(1,[5 6]); sis3=series(sis1,sis2); sis=feedback(1,sis3); e=step(sis,t); sis= feedback(sis1,sis2); u=sin(t); y=lsim(sis,u,t); plot(t,e,t,y); grid on;


61

Fig. 3.7. Răspunsul )(te la intrarea )(1 tu = şi răspunsul )(ty la intrarea tu sin= .

♦ Aplicaţia 3.4. Se consideră sistemul discret cu modelul

)()1()( tbutayty =−− .

Să se calculeze: a) funcţia indicială; b) funcţia pondere;

Soluţie. a) Scriem modelul sub forma secundară echivalentă

⎩⎨⎧

=

=−−

)()()()1()(

tbwtytutawtw

.

Pentru )(1)( o ttu = , răspunsul )(tw pentru 0≥t este soluţia ecuaţiei cu diferenţe

1)1()( =−− tawtw ,

corespunzătoare condiţiei iniţiale 1)0( =w .

In cazul 1≠a , soluţia particulară are forma atwp −=11)( , iar soluţia ecuaţiei

omogene 0)1()( =−− tawtw

are forma taCw 1om = . Rezultă

taCa

tw 111)( +−

= , 1≥t ,

iar din condiţia iniţială 1)0( =w , obţinem aaC−−

=11 ; prin urmare,

a

awt

t−

−=

+

11)(

1, 0≥t ,

TEORIA SISTEMELOR

62

a

abtbwtyt

−−

==+

1)1()()(

1, 0≥t .

In cazul 1=a , avem ttwp =)( şi 1om Cw = , deci 1)( Cttw += , 1≥t . Din 1)0( =w ,

obţinem: 1)( += ttw , 0≥t , deci )1()()( +== tbtbwty , 0≥t .

La acelaşi rezultat se ajunge scriind soluţia obţinută în cazul 1≠a sub forma

)1()( 2 taaabty ++++=

şi înlocuind apoi pe a cu 1.

Metoda inducţiei. In ecuaţia sistemului se înlocuieşte t succesiv cu valorile 0, 1, 2 etc. Avem: bbayy =+−= )1()0( , )1()0()1( +=+= abbayy ,

)1()1()2( 2 ++=+= aabbayy ,

care sugerează faptul că )1()( 1 ++++= − aaabty tt pentru orice t număr natural. In conformitate cu principiul inducţiei, considerăm relaţia adevărată pentru t şi arătăm că rămâne adevărată şi pentru 1+t , adică )1()1( 1 ++++=+ + aaabty tt . Intr-adevăr,

)1()1()()1( 11 ++++=+++++=+=+ +− aaabbaaaabbtayty tttt .

b) Metoda directă. Pentru )(0 tu δ= , avem by =)0( . Pentru 1≥t , ecuaţia sistemului are forma omogenă 0)1()( =−− tayty şi soluţia taCty 1)( = . Din condiţia iniţială

by =)0( se obţine bC =1 . Prin urmare, funcţia pondere a sistemului are expresia

btaty =)( , 0≥t .

Metoda inducţiei. Avem:

bbuayy =+−= )0()1()0( , abbuayy =+= )1()0()1( ,

babuayy 2)2()1()2( =+= , babuayy 3)3()2()3( =+= ,

deci baty t=)( , 0≥t .

Metoda indirectă. Cu relaţia )1()()( −−= ththtg , obţinem

baaab

aabtg t

tt=

−−

−−−

=+

1)1(

1)1()(

1, 0≥t .

Graficele din figura 3.8, reprezentând răspunsurile sistemului pentru 8,0=a şi 1=b , au fost obţinute în Matlab, cu programul:


63

t=0:1:18; sisd=tf([1 0],[1 -0.8],1); h=step(sisd,t); g=impulse(sisd,t); y1=lsim(sisd,sin(pi*t/6),t);

hold on; plot(t,h,'.-'); plot(t,g,'.-'); plot(t,y1,'.-'); grid on;

Fig. 3.8. Răspunsul indicial )(th , răspunsul pondere )(tg şi răspunsul )(1 ty

la intrarea 6πsin)( ttu = pentru sistemul cu ecuaţia )()1(8,0)( tutyty =−− .

♦ Aplicaţia 3.5. Pentru sistemul

)2()1()1()( 21 −+−=−− tubtubtayty ,

să se calculeze: a) funcţia indicială; b) funcţia pondere.

Soluţie. (a) Scriem modelul sub forma secundară

⎩⎨⎧

−+=

−=−−

)1()()()1()1()(

21 twbtwbtytutawtw

.

Pentru )(1)( 0 ttu = , răspunsul )(tw pentru 0≥t este soluţia ecuaţiei cu diferenţe

1)1()( =−− tawtw ,

corespunzătoare condiţiei iniţiale 0)0( =w .

TEORIA SISTEMELOR

64

In cazul 1≠a , avem taCa

tw 111)( +−

= , 1≥t . Din condiţia iniţială 0)0( =w , rezultă

aatw

t

−−

=11)( , 0≥t .

Prin urmare

)1(11

1)(111)( 00

1

21 −⋅−

−+⋅

−−

=−

ta

abtaabty

tt,

şi de aici 0)0( =y ,

1,1

111)(

1

21 ≥−

−+

−−

=−

ta

abaabty

tt.

In cazul 1=a , avem 1)( Cttw += , 1≥t , iar din condiţia iniţială 0)0( =w obţinem ttw =)( , 0≥t . Rezultă )1(1)1()(1)( 00

21 −⋅−+⋅= ttbttbty , deci

0)0( =y ,

221 )()( btbbty −+= , 1≥t .

b) Pentru )(0 tu δ= , din ecuaţia sistemului rezultă 0)0( =y şi 1)1( by = . Pentru 2≥t , utilizând relaţia )1()()( −−= ththtg , obţinem

221

22

11

121 )(

11

11

11

11)( −

−−−+=

−−

−−

−−

−−

+−−

= ttttt

ababa

aba

aba

abaabtg .

♦ Aplicaţia 3.6. Fie sistemul discret

)1(4)2()1()(10 −=−+−− tutytayty .

Să se calculeze răspunsul indicial şi răspunsul pondere în cazurile: a) 7=a ; b) 2=a .

Soluţie. a) Sistemul are ecuaţia cu diferenţe

)1(4)2()1(7)(10 −=−+−− tutytyty .

Pentru )(10 tu = , rezultă imediat 0)0( =y şi 5/2)1( =y . In plus, pentru 1≥t , avem

4)2()1(7)(10 =−+−− tytyty .

Această ecuaţie cu diferenţe are soluţia generală

tt CCty 2,05,01)( 21 ⋅+⋅+= , 2≥t .

Din condiţiile iniţiale 0)0( =y şi 5/2)1( =y , rezultă

ttty 2,0315,0

341)( ⋅+⋅−= , 0≥t .

Prin urmare, răspunsul indicial este


65

ttth 2,0315,0

341)( ⋅+⋅−= , 0≥t ,

iar răspunsul pondere este

)2,05,0(34)1()()( ttththtg −=−−= , 0≥t .

b) Sistemul are ecuaţia cu diferenţe

)1(4)2()1(2)(10 −=−+−− tutytyty .

Pentru )(10 tu = , rezultă imediat 0)0( =y şi 5/2)1( =y . In plus, pentru 1≥t , avem

4)2()1(2)(10 =−+−− tytyty .

Ecuaţia caracteristică 01210 2 =+− zz are rădăcinile

)sin(cos1031

2,1 ααρ jjz ±=±= ,

unde 10/1=ρ , 10/1cos =α , 10/3sin =α . Prin urmare, ecuaţia cu diferenţe are soluţia generală

)sincos(1091)( 21

2/ tCtCty t αα ++= − , 2≥t .

Din condiţiile iniţiale 0)0( =y şi 5/2)1( =y , rezultă funcţia indicială

)cos101(94)( 2/ tth t α−−= , 0≥t .

Răspunsul pondere se obţine astfel

tththtg t αsin1034)1()()( 2/−⋅=−−= , 0≥t .

Graficele din figura 3.10, reprezentând răspunsurile sistemului pentru cazurile 7=a şi 2=a au fost obţinute în Matlab, cu programul:

t=0:1:8; a=7; sisd=tf([0 4 0],[10 -a 1],1); h1=step(sisd,t); g1=impulse(sisd,t); a=2; sisd=tf([0 4 0],[10 -a 1],1); h2=step(sisd,t); g2=impulse(sisd,t); hold on; plot(t,h1,'.-'); plot(t,g1,'.-'); plot(t,h2,'.-'); plot(t,g2,'.-'); grid on;

TEORIA SISTEMELOR

66

Fig. 3.10. Funcţia indicială h şi funcţia pondere g ale sistemului cu ecuaţia

)1(4)2()1()(10 −=−+−− tutytayty .

♦ Aplicaţia 3.7. Considerăm conexiunea cu reacţie de mai jos, în care:

(S1) kkk eKcc =− −1 ,

(S2) 118,0 −− =− kkk cyy .

Să se afle răspunsul indicial al sistemului pentru 01,0=K .

Soluţie. Prin eliminarea variabilei c între ecuaţiile

)(1 kkkk yuKcc −=− − , 118,0 −− =− kkk cyy ,

obţinem modelul conexiunii:

121 8,0)8,1( −−− =+−− kkkk KuyyKy .

In cazul 01,0=K , scriem modelul sub forma secundară

1 2 2

1

1,79 0,8 0,01k k k k

k k

w w w uy w

− − −

+

− + =⎧⎨

=⎩.

Pentru )(10 kuk = , răspunsul kw pentru 0≥k este soluţia ecuaţiei cu diferenţe

01,08,079,1 21 =+− −− kkk www ,

corespunzătoare condiţiilor iniţiale 00 =w şi 01=w . Rezultă

kkk bCaCw ⋅+⋅+= 211 , 2≥k ,

unde 927,0≅a şi 863,0≅b sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice 08,079,12 =+− zz .


67

Din condiţiile iniţiale obţinem

14,211 −≅−

−= babC , 14,11

2 ≅−−= ab

aC ,

deci kk

k baw 14,114,21 +−≅ , 0≥k .

Aşadar, kk

kk bawy 98,098,111 +−≅= + , 0≥k .

Graficele din figura 3.11, cu răspunsurile indiciale ale sistemului pentru trei valori diferite ale parametrului K , au fost obţinute în Matlab cu programul:

t=0:1:60; K=[0.01 0.03 0.1]; sisd2=tf([0 1],[1 -0.8],1); for i=1:3; sisd1=tf([K(i) 0],[1 -1],1); sisd3=sisd1*sisd2; sisd=feedback(sisd3,1,-1); Y(:,i)=step(sisd,t); end plot(t,Y, '.-'); grid on;

Fig. 3.11. Funcţiile indiciale ale sistemului închis pentru 01,0=K ; 03,0=K ; 1,0=K .

♦ Aplicaţia 3.8. Să se afle discretizatul cu perioada T a sistemului continuu de avans-întârziere )( 11 uuKyyT +=+ τ ,

TEORIA SISTEMELOR

68

unde K este factorul de proporţionalitate, 1T - constanta de timp de întârziere, iar

1τ - constanta de timp de avans.

Soluţie. Sistemul continuu are funcţia de transfer

1)1(

)(1

1++

= sTsK

sGτ

.

Deoarece funcţia ssG /)( are polii 01 =s şi 12 /1 Ts −= , calculăm funcţia de transfer a sistemului discret, astfel:

])1(

)(rez)1(

)(rez)[1()( 1/110

1

1

0−−=−=

−

−+

−−=

zssG

zssGzzG TsTsTss ee

]e1

1/1

1)[1(11/

111

1−−−

−

−

−+

−−=

zT

zzK TT

τ,

adică

11

110

1)(0

−

−

+

+=

zazbb

zG ,

unde

1/1 e TTa −−= ,

1

10 T

τKb = , )e(1 1/

1

11

TTTτ

Kb −−−= .

In consecinţă, discretizatul are modelul intrare-ieşire

11011 −− +=+ kkkk ububyay .

Observaţie. Prin înlocuirea mărimilor y , y , u şi u din ecuaţia sistemului continuu respectiv cu

Tyy kk /)( 1−− , 1−ky , Tuu kk /)( 1−− , 1−ku ,

obţinem discretizatul aproximativ, tot sub forma 11011 −− +=+ kkkk ububyay , unde

11

1 −=TTa ,

1

10 T

τKb = ,

1

11 T

TKb

τ−= .


♦ C3.1. Să se calculeze răspunsul indicial al sistemului

uyy 25 =+ .

♦ C3.2. Să se calculeze răspunsurile indicial şi pondere ale sistemului


69

uuyy +−=+ 25 .


uyyy 256 =++ .


uuyyy +=++ 556 .


uyyy 556 =++ .


uyy =+6 .

♦ C3.7. Pentru ce valori ale parametrului real m , sistemul

umyyy 265 =++

are răspunsul indicial mărginit ? Pentru 2=m , să se determine răspunsul indicial.


uuyyy 24265 +=++ .

♦ C3.9. Să se calculeze răspunsul sistemului

uyy =+ 212 la intrarea )(1e tu t ⋅= − .

♦ C3.10. Să se calculeze răspunsul sistemului

uyy 103 =+ la intrarea

)(1sin ttu ⋅= .

♦ C3.11. Fie conexiunea serie de mai jos, formată din subsistemele:

1Σ : u34 =+vv , 2Σ : v25 =+ yy .

a) Pentru )(1 tu = , să se afle )(tv ;

b) Pentru )(1 tu = , să se afle )(ty .

TEORIA SISTEMELOR

70

♦ C3.12. Fie conexiunea cu reacţie, formată din subsistemele:

1Σ : eyy =+5 , 2Σ : y=+vv .

a) Să se determine ecuaţia sistemului cu intrarea u şi ieşirea y ; b) Pentru )(1 tu = , să se afle )(ty ; c) Să se determine ecuaţia sistemului cu intrarea u şi ieşirea e ; d) Pentru )(1 tu = , să se afle )(te ;

♦ C3.13. Pentru ce valori ale parametrului real m , răspunsul indicial al sistemului discret )1(8)2()1()2()(2 −=−+−+− tutytymtmy .

este mărginit ? Pentru 5=m , să se calculeze răspunsul indicial şi răspunsul pondere.

♦ C3.14. Fie sistemul discret

)2(8)2()(4 −=−+ tutyty .

Să se calculeze răspunsul indicial şi răspunsul pondere.

♦ C3.15. Fie sistemul discret

)1(6)3()( −=−+ tutyty .


♦ C3.16. Fie sistemul discret )5(2)1()(2 −=−− tutyty .


♦ C3.17. Să se afle discretizatul sistemului continuu de tip integral

KuyyT =+1 .

♦ C3.18. Să se afle discretizatul sistemului continuu de ordinul doi

uyyTTyTT =+++ )( 2121 .

4 METODA OPERAŢIONALA

LAPLACE

Acest capitol este axat pe analiza de tip intrare-ieşire (I-E) a sistemelor liniare continue (netede) cu ajutorul formalismului operaţional Laplace.

Caracteristica principală a metodei operaţionale Laplace este forma simplă de descriere matematică a corelaţiei dinamice între intrarea şi ieşirea unui sistem liniar. Anticipând, modelul operaţional dinamic al sistemului va avea o formă similară celei a modelului staţionar, la care ieşirea y se obţine prin multiplicarea intrării u cu un factor constant de proporţionalitate K :

uKy = .

Forma simplă a modelului operaţional dinamic are consecinţe pozitive în special în analiza şi sinteza sistemelor compuse, cu una sau mai multe legături de reacţie. Simplificarea formalismului matematic se realizează însă cu preţul creşterii gradului de abstractizare. Aceasta presupune, în primul rând, trecerea de la studiul sistemelor în domeniul timpului la studiul în domeniul complex şi, în particular, în domeniul frecvenţei.

Reamintim că modelul primar de tip I-E al unui sistem liniar continuu monovariabil de ordinul n are forma:

ububububyayayaya rr

rr

nn

nn 01

)1(1

)(01

)1(1

)( +′+++=+′+++ −−

−− .

Prin eliminarea derivatelor mărimilor de intrare şi de ieşire se obţine modelul staţionar

uKy = , 00 /abK = .

De asemenea, reamintim modelul de convoluţie

)(*)()()()( 0 tutgdutgty t =τττ−= ∫ ,

TEORIA SISTEMELOR

72

care exprimă răspunsul )(ty la o intrare )(tu dată, de tip original (nulă pentru 0<t ), atunci când se cunoaşte funcţia pondere )(tg a sistemului (definită ca fiind răspunsul sistemului la intrarea impuls Dirac )(0 tδu = ). Forma modelului de convoluţie evidenţiază faptul că funcţia pondere g conţine toate caracteristicile dinamice ale sistemului sub aspectul corelaţiei intrare-ieşire. Modelul de convoluţie are o mare importanţă teoretică, deoarece forma sa simplă sugerează posibilitatea găsirii unui model dinamic cu forma şi mai simplă, prin înlocuirea produsului de convoluţie cu unul algebric. Acest lucru este realizabil cu ajutorul transformării Laplace.

In cadrul metodei operaţionale Laplace, modelul de convoluţie ugy *= va căpăta forma operaţională de tip algebric

)()()( sUsGsY ⋅= ,

unde s este variabila complexă Laplace, iar )(sY , )(sG şi )(sU sunt transformatele Laplace ale funcţiilor de timp )(ty , )(tg şi )(tu . Modelul operaţional este deci un model abstract (în domeniul complex), dar care exprimă, într-o formă algebrică simplă, faptul că ieşirea complexă )(sY este produsul dintre funcţia complexă )(sG asociată caracteristicilor dinamice ale sistemului şi intrarea complexă )(sU .

Aşa cum vom vedea în continuare, determinarea modelului operaţional al unui sistem liniar compus din modelele operaţionale ale subsistemelor componente este o operaţie mult mai simplă decât aceea de obţinere, în domeniul timpului, a ecuaţiei diferenţiale a sistemului din ecuaţiile diferenţiale ale subsistemelor. Modelul operaţional poate fi dedus pe cale algebrică, printr-o metodologie similară celei utilizate la studiul sistemului în regim staţionar sau la studiul unui sistem format numai din subsisteme statice (de ordinul zero). In plus, metodologia analitică de calculul al răspunsului unui sistem pe baza funcţiei de transfer este mai simplă decât cea din domeniul timpului, prin rezolvarea ecuaţiei diferenţiale a sistemului.

4.1. TRANSFORMAREA LAPLACE

Variabilele de intrare, de stare şi de ieşire ale sistemelor liniare continue, aflate în regim staţionar pentru 0<t , sunt funcţii de timp de tip original, care admit transformate Laplace. O funcţie original )(tf este nulă pentru 0<t , este continuă şi derivabilă pe porţiuni şi are o rată de creştere cel mult exponenţială, adică există

0>A şi 0>B astfel încât

METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE

73

BtAtf e)( ≤ .

Pentru a fi satisfăcută prima proprietate, vom considera (aşa cum am procedat şi în analiza în domeniul timpului) că variabilele unui sistem reprezintă variaţiile mărimilor fizice respective faţă de valorile lor iniţiale (la momentele de timp negativ, când sistemul se află în regim staţionar). In cazul sistemelor liniare, răspunsul stare )(tX şi răspunsul ieşire )(tY la orice semnal de intrare de tip original sunt răspunsuri forţate de tip original.

Transformata Laplace sau imaginea Laplace a funcţiei original f este dată de relaţia

∫∞−

−Δ==

0e)()]([)( dttftfsF stL , C∈s .

In mod natural, limita inferioară a integralei s-a ales −0 pentru a include în rezultatul transformării şi efectul funcţiilor original generalizate (tip distribuţie), aşa cum este funcţia impuls Dirac )(0 tδ . In plus, această alegere simplifică formula transformatei Laplace a derivatei )(kf a funcţiei original f , deoarece derivatele iniţiale )0( −f , )0( −′f , … , )0()1(

−−kf ,

sunt nule şi nu mai intervin în expresia transformatei Laplace (vezi proprietatea derivării de mai jos).

In continuare, prezentăm câteva proprietăţi uzuale ale transformării Laplace: • proprietatea de liniaritate

)]([)]([)]()([ 22112211 tfktfktfktfk LLL +=+ , (1)

valabilă oricare ar fi funcţiile original 1f , 2f şi constantele reale 1k , 2k ;

• proprietatea de derivare (integrare) în domeniul real1

)()]([ )( sFstf kk =L , Z∈k ; (2)

• proprietatea de derivare în domeniul complex

)()]([ sFttf ′−=L ; (3)

• proprietatea de translaţie în complex

1 In relaţia (2), derivata )()( tf k poate fi şi funcţie de tip distribuţie, definită inclusiv în punctele de discontinuitate ale functiei f(t). Astfel, prima derivată a funcţiei discontinue )(1)( e ttf at⋅= − este

distribuţia )(1e)()( 0 tattf at ⋅−=′ −δ , unde )(0 tδ este funcţia impuls Dirac.

TEORIA SISTEMELOR

74

)()]([ asFtfe at +=−L , C∈a ; (4)

• proprietatea de translaţie în real

)()]([ sFetf sττ −=−L ; (5)

• proprietatea valorii finale )(lim)(lim

0ssFtf

st →∞→= , (6)

valabilă în condiţiile în care toţi polii funcţiei )(ssF au partea reală negativă, deci sunt situaţi în stânga axei imaginare;

• proprietatea valorii iniţiale )(lim)(lim

0ssFtf

st ∞→→=

+, (7)

valabilă atunci când limita din dreapta există şi este finită;

• proprietatea produsului de convoluţie

)()(])()([0

sUsGdutgt =−∫ τττL . (8)

Transformarea Laplace inversă este operaţia de obţinere a funcţiei original )(tf din imaginea Laplace )(sF . Transformata Laplace inversă a imaginii )(sF este

dată de relaţia

∫∞+

∞−=

j

je)(

πj21)(

σ

σdssFtf ts , (9)

în care integrala se calculează de-a lungul dreptei cu abcisa constantă σ suficient de mică pentru a asigura convergenţa integralei. In majoritatea aplicaţiilor, pentru determinarea transformatei Laplace inverse se utilizează metoda descompunerii imaginii )(sF în fracţii simple, pentru care se cunosc transformatele Laplace inverse (funcţiile original).

Dintre transformatele Laplace mai frecvent utilizate, menţionăm următoarele:

1)]([ 0 =tδL , st 1)](1[ =L , 21)](1[s

tt =⋅L , 1!)](1[+

=⋅ kk

skttL ,

astat+=⋅− 1)](1[eL , 2)(

1)](1e[as

tt at+

=⋅−L ,

22)(

)](1cos[ebas

astbtat++

+=⋅−L , 22)(

)](1sin[ebas

btbtat++

=⋅−L ,

22)](1[cosbs

stbt+

=⋅L , 22)](1[sinbs

btbt+

=⋅L .


75

4.2. FUNCŢIA DE TRANSFER

Prin definiţie, funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu şi monovariabil este transformata Laplace )(sG a funcţiei pondere )(tg a sistemului. Aplicând transformarea Laplace modelului de convoluţie

τττ dutgty t )()()(0

−= ∫ , (10)

şi ţinând seama de proprietatea produsului de convoluţie (8), se obţine modelul operaţional dinamic intrare-ieşire

)()()( sUsGsY = , (11)

unde )(sU este transformata Laplace a funcţiei de intrare )(tu , iar )(sY este transformata Laplace a funcţiei de ieşire )(ty . Scriind modelul (11) sub forma

)()()(

sUsYsG = ,

rezultă Teorema funcţiei de transfer. Funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu

monovariabil este egală cu raportul dintre transformata Laplace a răspunsului sistemului la o funcţie de intrare de tip original dată şi transformata Laplace a funcţiei de intrare.

Modelul operaţional (11) este modelul dinamic cu cea mai simplă formă posibilă, similară celei a modelului staţionar

uKy = ,

unde K reprezintă factorul static de proporţionalitate al sistemului. Modelul operaţional este însă un model abstract, deoarece nu realizează o corelare directă a mărimile fizice reale ale sistemului, ci o corelare a transformatelor Laplace ale acestor mărimi, care sunt funcţii de variabilă complexă.

Să considerăm acum forma primară a modelului de tip I-E al unui sistem liniar continuu monovariabil:

ububububyayayaya rr

rr

nn

nn 01

)1(1

)(01

)1(1

)( +′+++=+′+++ −−

−− , 0≠na .

Aplicând transformarea Laplace ambilor membri ai ecuaţiei diferenţiale a sistemului şi ţinând seama de proprietatea de liniaritate şi de proprietatea derivării în domeniul real, obţinem forma primară a funcţiei de transfer

TEORIA SISTEMELOR

76

01

11

011

1)(asassabsbsbsb

sG ... a ...

nn

nn

rr

rr

++++

++++−

−

−−= . (12)

care are la numitor chiar polinomul caracteristic al sistemului. La sistemele proprii (fizic realizabile), polinomul de la numărătorul funcţiei de

transfer are gradul mai mic sau cel mult egal cu gradul polinomului de la numitorul funcţiei de transfer )( nr ≤ .

In ecuaţia diferenţială de tip I-E a sistemului, dacă 0a şi 0b sunt coeficienţi adimensionali, atunci toţi coeficienţii ia şi ib sunt, din punct de vedere dimensional,

constante de timp la puterea i . Prin urmare, putem considera că variabila s din expresia funcţiei de transfer )(sG are, formal, dimensiunea inversului timpului.

Prin definiţie, ordinul funcţiei de transfer este egal cu gradul numitorului funcţiei de transfer simplificate (aduse la forma ireductibilă), adică este egal cu numărul total de poli sau cu gradul polinomului polilor funcţiei de transfer. In consecinţă, dacă polinoamele de la numărător şi numitor sunt coprime (nu au rădăcini comune), atunci )(sG are ordinul n . Diferenţa rn− dintre gradul polinoa-melor de la numitorul şi numărătorul funcţiei de transfer reprezintă ordinul relativ al funcţiei de transfer sau excesul poli-zerouri.

Inerţia unui sistem (caracterizată prin numărul condiţiilor iniţiale nule ale răspunsului la aplicarea unui semnal treaptă la intrare) este cu atât mai mare cu cât ordinul relativ al acestuia este mai mare. Mai exact, conform teoremei condiţiilor iniţiale nule, numărul condiţiilor iniţiale nule ale răspunsului indicial )(th al sistemului este egal cu ordinul relativ rn− al funcţiei de transfer, adică

0)0()0()0( )1( ===′= ++−

++rnhhh .

In general, funcţia de transfer )(sG este un factor de proporţionalitate complex ce caracterizează corelaţia între transformatele Laplace (complexe) ale mărimilor de intrare şi de ieşire. In cazul particular 0=s , funcţia de transfer coincide cu factorul static de proporţionalitate al sistemului:

Kab

G ==0

0)0( . (13)

La sistemele de tip proporţional, caracterizate prin 00 ≠a şi 00 ≠b , funcţia de transfer )(sG nu are pe s factor comun la numărător sau numitor, deci nu are zerou sau pol în origine. La sistemele de tip integral, caracterizate prin 00 =a şi 00 ≠b , funcţia de transfer )(sG are variabila s factor comun la numitor, iar la sistemele de


77

tip derivativ, caracterizate prin 00 ≠a şi 00 =b , funcţia de transfer )(sG are pe s

factor comun la numărător.

Observaţii. 1°. Din relaţia operaţională intrare-ieşire )()()( sUsGsY = , rezultă că transformata Laplace )(sH a răspunsului indicial )(th al sistemului are expresia

ssGsH )()( = .

Din proprietatea valorii iniţiale rezultă

n

n

abGsGssHh

ss=∞===

∞→∞→+ )()(lim)(lim)0( . (14)

2°. Din proprietatea valorii finale rezultă că dacă răspunsul indicial )(th al unui sistem tinde la o valoare finită pentru ∞→t , atunci această valoare este egală cu factorul static de proporţionalitate al sistemului:

KabGsGssHhss

=====∞→→

00 /)0()(lim)(lim)(00

. (15)

Acest rezultat era cunoscut de la analiza în domeniul timpului, din faptul că pentru orice răspuns indicial )(th care se stabilizează la o valoare finită, deosebim două regimuri staţionare, unul trivial, pentru )0,(−∞∈t , şi unul final, la încheierea

regimului tranzitoriu (teoretic, pentru ∞→t ), iar în condiţiile celui de-al doilea regim staţionar, din ecuaţia modelului staţionar ( Kuy= ), rezultă

KKuy =∞=∞ )()( .

Prin urmare, la sistemele de tip proporţional (cu factorul static de proporţionalitate K finit şi nenul), răspunsul indicial )(th tinde la o valoare finită şi nenulă, în timp ce la sistemele de tip derivativ (cu factorul static de proporţionalitate egal cu zero), răspunsul indicial )(th tinde la valoarea zero (fiind deci sub formă de “impuls”).

La sistemele de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1

)(1 +

=sTKsG , 01 >T ,

răspunsul indicial )(th poate fi reprezentat grafic pe baza relaţiilor

0)()0( =∞=+ Gh , KGh ==∞ )0()( , 1)4...3( TTtr ≅ ,

unde trT este durata regimului tranzitoriu.

3°. Regulatoarele continue de tip PID, cu ecuaţia improprie

TEORIA SISTEMELOR

78

0)ddd

0

1( c

tTt

TKc d

iR

t+++= ∫

εεε , (16)

au funcţia de transfer

)11()( sTsT

KsG di

RR ++= . (17)

Această funcţie de transfer este improprie (are gradul numărătorului mai mare decât cel al numitorului) datorită componentei derivative. Caracterul impropriu al acestei componente reiese şi din faptul că la intrare treaptă, componenta derivativă este de tip impuls Dirac. Sub această formă, proprietăţile şi rolul componentei derivative sunt relativ uşor de înţeles şi de interpretat, inclusiv de către personalul din domeniu fără studii superioare.

In realitate, funcţia de transfer a regulatorului PID are forma semiproprie

)1

11()(1 +

++=sT

sTsT

KsG d

iRR , (18)

unde 1T este constanta de timp de întârziere a componentei derivative (cu valoarea, de regulă, mult mai mică decât cea a constantei de timp derivative dT ).

4.3. MATRICEA DE TRANSFER

In conformitate cu principiul superpoziţiei, pentru un sistem continuu liniar multivariabil cu m intrări şi p ieşiri, dependenţa ieşirii )(sYi în raport cu intrările

)(1 sU , )(2 sU , … , )(sUm , este dată de relaţia

)()()()()()()( 2211 sUsGsUsGsUsGsY mimiii +++= ,

unde )(sGij este funcţia de transfer a canalului cu intrarea jU şi ieşirea iY . Relaţiile

pot fi scrise pentru toate ieşirile sub forma vectorial-matriceală

)()()( sss UGY = , (19)

echivalentă cu

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mpmpp

m

m

p U

U

U

GGG

GGG

GGG

Y

Y

Y

2

1

21

22221

11211

2

1

.


79

Funcţia matriceală de tipul mp×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

pmpp

m

m

GGG

GGG

GGG

21

22221

11211

G (20)

reprezintă matricea de transfer a sistemului. Relaţia )()()( sUssY G= exprimă faptul că în complex, vectorul Y al mărimilor de ieşire este egal cu produsul dintre matricea de transfer G a sistemului şi vectorul U al mărimilor de intrare. Intre intrarea )(sU j şi ieşirea )(sYi există relaţia operaţională

)()()( sUsGsY jiji = . (21)

Fie ),,,( DCBAΣ un sistem liniar, continuu, de ordinul n , monovariabil sau multivariabil. Aplicând transformarea Laplace ecuaţiilor de stare şi de ieşire

⎩⎨⎧

)()()(

)()()(

t+DUtCX=t Y

t+BUtAX=tX ,

obţinem

⎩⎨⎧

+=

−= −

)()()(

)()I()( 1

sDUsCXs Y

sBUAss X.

Mai departe, înlocuind vectorul de stare )(sX din ecuaţia stării în ecuaţia ieşirii, rezultă matricea de transfer a sistemului (de tipul mp× ), sub forma

DBAsCs +−= −1)I()(G . (22)

In toolbox-ul CONTROL din MATLAB, sistemul cu funcţia de transfer (12) se construieşte cu funcţia tf, care are ca argumente de intrare vectorii linie

][ 011 bbbbnum nn −= şi ][ 011 aaaaden nn −= ,

formaţi cu coeficienţii de la numărătorul şi respectiv numitorul funcţiei de transfer:

stf = tf (num,den) ;

In cazul nr < , vectorul num poate fi scris şi sub forma ][ 011 bbbbnum rr −= .

TEORIA SISTEMELOR

80

Alt mod de a construi un sistem în MATLAB constă în definirea prealabilă a variabilei Laplace s , urmată de scrierea expresiei funcţiei de transfer cu ajutorul operatorilor uzuali.

De exemplu, sistemul stf cu funcţia de transfer 245

13)( 2 +++=ss

ssG poate fi construit astfel:

s=tf(‘s’), stf=(3*s+1)/(5*s^2+4*s+2);

In cazul sistemelor multivariabile, construcţia se face prin concatenarea subsistemelor monovariabile. De exemplu, sistemul stf cu matricea de transfer

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++

+++

=

21

215

312

21

)(2

22

sss

sss

sss

sG ,

se construieşte astfel: s11=tf([1 1], [1 1 2]); s12=tf([2 1], [1 3 0]); s21=tf([5 1], [1 2]); s22=tf(1, [1 0 2]); stf=[s11 s12;s21 s22]; sau s=tf('s ');

s11=(s+1)/(s^2+s+2); s12=(2s+1)/(s^2+3*s); s21=(5s+1)/(s+2); s22=1/(s^2+2); stf=[s11 s12;s21 s22];

4.4. FUNCŢIA DE TRANSFER A SISTEMELOR COMPUSE

La sistemelor compuse, alcătuite din subsisteme liniare continue, obţinerea modelului matematic pe baza ecuaţiilor diferenţiale ale subsistemelor componente este o operaţie complicată, care presupune eliminarea tuturor variabilelor intermediare şi a derivatelor acestora. In cazul metodei operaţionale, determinarea modelului unui sistem liniar compus este echivalentă cu determinarea funcţiilor de transfer ale acestuia, operaţie care se realizează pe cale algebrică, ca în cazul studiului unui sistem în regim staţionar sau al unui sistem format numai din subsisteme statice (de ordinul zero).

In cazul conexiunii serie din figura 4.1, formată din subsistemul 1Σ cu funcţia de transfer 1G şi subsistemul 2Σ cu funcţia de transfer 2G , din modelele operaţionale


81

)()()( 2 sVsGsY = şi

)()()( 1 sUsGsV = ,

rezultă )()()()( 12 sUsGsGsY = . Prin urmare, sistemul compus are funcţia de transfer )()()( 12 sGsGsG = . In general, funcţia de transfer a unei conexiuni serie de n

subsisteme monovariabile este egală cu produsul funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente, adică:

nGGGG 21= . (23)

Fig. 4.1. Conexiune serie.

Toţi polii conexiunii serie sunt poli ai subsistemelor componente. In consecinţă, comportamentul dinamic al unei conexiuni serie nu diferă radical de cel al subsistemelor componente.

La conectarea în serie a sistemelor multivariabile trebuie îndeplinită condiţia ca numărul de ieşiri ale unui subsistem să fie egal cu numărul de intrări ale subsistemului următor. Matricea de transfer a conexiunii este egală cu produsul matricelor de transfer ale subsistemelor componente, în ordine inversă, adică

11 GGGG −= nn . (24)

In cazul conexiunii paralel din figura 4.2, avem

)()()()()()()( 212121 sUGGsUGsUGsVsVsY +=+=+= ,

deci 21 GGG += . In general, funcţia de transfer a unei conexiuni paralel de n

subsisteme monovariabile este egală cu suma algebrică a funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente, adică

nGGGG +++= 21 . (25)

Ca şi în cazul conexiunii serie, toţi polii conexiunii serie sunt poli ai subsistemelor componente. In plus, dacă funcţiile de transfer ale subsistemelor n-au niciun pol comun, atunci ordinul funcţiei de transfer a conexiunii este egal cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.

TEORIA SISTEMELOR

82

Fig. 4.2. Conexiune paralel.

Sistemele multivariabile pot fi conectate în paralel numai dacă au acelaşi număr de intrări m şi acelaşi număr de ieşiri p . Matricea de transfer a conexiunii este egală cu suma algebrică a matricelor de transfer ale elementelor componente – relaţia (25).

In cazul conexiunii cu reacţie negativă din figura 4.3, notând cu 1G şi 2G

funcţiile de transfer ale subsistemelor 1Σ şi 2Σ , avem

)()( 2111 YGUGVUGEGY −=−== ,

deci )1/( 211 GGUGY += . Prin urmare, funcţia de transfer a sistemului cu intrarea U

şi ieşirea Y este

21

11 GG

GG

+= . (26)

Dacă produsul )()( 21 sGsG este o funcţie raţională ireductibilă, atunci toţi polii conexiunii închise (cu reacţie) sunt diferiţi de polii subsistemelor componente. In consecinţă, sistemele închise, spre deosebire de sistemele deschise, pot avea un comportament dinamic radical diferit de cel al subsistemelor componente. Ordinul funcţiei de transfer a conexiunii este egal cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.

Fig. 4.3. Conexiune cu reacţie.

Să considerăm acum sistemul de reglare automată după eroare (abatere) din figura 4.4, având ca mărimi de intrare referinţa R şi perturbaţia V (aditivă la ieşirea procesului).


83

Fig. 4.4. Sistem de reglare automată.

Toate celelalte mărimi ale sistemului (Y , E , C , U şi M ) pot fi considerate mărimi de ieşire. Formula funcţiei de transfer a unuia din cele zece canale intrare-ieşire ale sistemului de reglare poate fi obţinută după următoarea regulă:

- numărătorul este produsul funcţiilor de transfer ale elementelor (canalelor) de pe traseul direct intrare-ieşire;

- numitorul este acelaşi, egal cu suma )(1 sGd+ , unde

TPERd GGGGG = (27)

reprezintă funcţia de transfer a sistemului deschis (a conexiunii serie cu intrarea R şi ieşirea M , obţinută prin întreruperea buclei închise, după traductor). Aplicând această regulă, avem

d

PERYR G

GGGG += 1 ,

dYV G

G+

=1

GV , (28)

d

ER GG +=11 ,

d

TVEV G

GGG+

−=

1)1( , (29)

d

CR GGG+

=1

R , d

RTVCV G

GGGG+

−=

1)1( . (30)

Formulele (28) ale funcţiilor de transfer YRG şi YVG pot fi deduse procedând astfel: se scriu succesiv relaţiile de dependenţă cauzală ale mărimii )(sY , până se ajunge la mărimile de intrare )(sV şi )(sR , şi din nou la mărimea )(sY , adică

)()()()()()()( sVGsEGGGsVGsCGGsVGsUGsY VREPVEPVP +=+=+=

)()]()([)()]()([ sVGsYGsRGGGsVGsMsRGGG VTREPVREP +−=+−= .

Rezultă )()()()1( sVGsRGGGsYGGGG VREPTREP +=+ ,

adică )()()( sVGsRGsY YVYR += , unde YRG şi YVG au expresiile (28).

TEORIA SISTEMELOR

84

Deoarece toate funcţiile de transfer ale sistemului au acelaşi numitor, sistemul de reglare are ecuaţia polilor

01 =+ TPER GGGG , (31)

echivalentă cu 01 =+ FRGG , (32)

unde TPEF GGGG =

este funcţia de transfer a părţii fixate.

In MATLAB, pentru construirea conexiunilor serie, paralel şi cu reacţie se utilizează funcţiile: s = series(sis1,sis2) ; p = parallel(sis1,sis2) ; f = feedback(sis1,sis2,sign);

sau operatorii “+”, “*” şi “/”: s=sis1*sis2*sis3;

p=sis1+sis2+sis3; f=sis1/(1+sis1*sis2);

4.5. CALCULUL RASPUNSULUI SISTEMELOR COMPUSE

Metoda operaţională Laplace permite determinarea pe cale algebrică a răspunsului forţat al unui sistem liniar continuu compus la funcţii de intrare analitice de tip original, atunci când se cunosc ecuaţiile diferenţiale ale fiecărui subsistem.

Calculul analitic al răspunsului )(tyi al sistemului compus la o funcţie de intrare )(tu j dată (tip impuls Dirac, treaptă, rampă, sinusoidal etc.) se face după

următoarea metodologie: • se determină transformata Laplace )(sU j a funcţiei de intrare )(tu j ;

• se determină funcţiile de transfer ale subsistemelor componente; • se calculează funcţia de transfer )(sGij a sistemului compus, corespunzătoare

intrării )(sU j şi ieşirii )(sYi , în raport cu funcţiile de transfer ale subsistemelor;

• se calculează transformata Laplace )(sYi a răspunsului sistemului, cu relaţia )()()( sUsGsY jiji = ;


85

• se calculează răspunsul sistemului )]([)( 1 sYty ii−=L , prin metoda dezvoltării

funcţiei )(sYi în fracţii simple. Calculul funcţiei pondere )(tgij şi al funcţiei indiciale )(thij se face cu relaţiile

)]([)( 1 sGtg ijij−=L , )](1[)( 1 sG

sth ijij

−=L .

Dacă )(sGij are toţi polii situaţi în stânga axei imaginare, atunci răspunsul

indicial are valorile iniţială şi finală

)()0( ∞=+ ijij Gh , )0()( ijij Gh =∞ .

In general, răspunsul indicial )(thij satisface un număr de condiţii iniţiale nule egal cu ordinul relativ al funcţiei de transfer )(sGij . Prima condiţie iniţială nenulă a

răspunsului indicial este egală cu raportul coeficienţilor termenilor de grad maxim de la numărătorul şi numitorul funcţiei de transfer )(sGij . Astfel, dacă )(sGij este strict proprie ( 0=nb ), atunci

0)0( =+ijh , n

nij a

bh 1)0( −=′ + , )0()( ijij Gh =∞ . (33)

Dacă )(sGij este de ordinul unu, cu constanta de timp de întârziere (de la numitor) 01 >T şi constanta de timp de avans (de la numărător) 1τ , 110 T<≤τ , adică

11

)(1

1++

=sTsτ

KsGij ,

atunci durata regimului tranzitoriu al răspunsului indicial este aproximativ

))(4...3( 11 τTTtr −≅ . (34)

Pe baza acestor relaţii putem construi calitativ graficul răspunsului indicial al sistemelor de ordinul unu direct din funcţia de transfer, fără a mai efectua calculul analitic al acestuia.

In MATLAB, pentru calculul şi reprezentarea grafică a răspunsului indicial, a răspunsului pondere şi a răspunsului la o intrare arbitrară de tip original U , în formă de scară, se utilizează funcţiile: • [Y,t] = step (sis,t) ; • [Y,t] = impulse (sis,t) ; • [Y,t] = lsim (sis,U,t) ;

TEORIA SISTEMELOR

86

Argumentul de intrare t , reprezentând vectorul timp, poate fi introdus printr-o comandă de forma

• t=t0:T:t1,

unde t0 este valoarea iniţială (de regulă egală cu 0), T este pasul de calcul, iar t1 - valoarea finală. Argumentul de intrare t poate fi omis la funcţiile step şi impulse, caz în care acesta este generat automat de funcţia respectivă. Argumentele de intrare U şi t ale funcţiei lsim sunt vectori cu aceeaşi dimensiune. Componentele vectorilor U şi Y reprezintă respectiv valorile mărimilor de intrare şi de ieşire la momentele de timp specificate de vectorul t .

Dacă funcţiile sunt apelate fără specificarea vreunui argument de ieşire, atunci se efectuează numai reprezentarea grafică a răspunsului. In cazul contrar, se efectuează evaluarea acestor argumente, fără reprezentarea grafică a răspunsului.

4.6. RASPUNSUL SISTEMELOR ELEMENTARE

In cele ce urmează vor fi calculate, interpretate şi analizate răspunsurile sistemelor liniare elementare de tip pur integral, de întârziere de ordinul unu, derivativ de ordinul unu, de avans-întârziere de ordinul unu, de întârziere de ordinul doi, derivativ de ordinul doi şi de avans-întârziere de ordinul doi.

4.6.1. Răspunsul sistemului pur integral

Sistemul pur integral (integrator) de ordinul unu, cu factorul de amplificare K şi constanta de timp integrală iT , are modelul I-E de forma

KutyTi =

dd (35)

şi funcţia de transfer

sTKsGi

=)( . (36)

Sistemul are funcţia pondere

ii T

KsT

Ktg == − ][)( 1L ,

funcţia indicială

ii TtK

sTKth == − ][)( 2

1L

şi răspunsul la intrare rampă unitară, )(1 ttu ⋅= ,

ii T

tKsT

th K2][)(

2

31

1 == −L .


87

Se observă că sistemul pur integral de ordinul unu are funcţia pondere sub formă de treaptă, funcţia indicială sub formă de rampă şi răspunsul la intrare rampă unitară sub formă parabolică (fig. 4.5).

Fig. 4.5. Răspunsul sistemului pur integral de ordinul unu.

4.6.2. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul unu

Sistemul de întârziere de ordinul unu este cel mai simplu sistem dinamic liniar de tip proporţional. Acesta are modelul dinamic

KuytyT =+d

d1 , 01 >T , (37)

modelul staţionar uKy = ,

funcţia de transfer

1)(1 += sTKsG , (38)

unde K este factorul static de proporţionalitate, iar 1T - constanta de timp. Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi (fig. 4.6):

0)()0( =∞=+ Gh , 1

)(lim)0( TKssGh

s==′

∞→+ , KGh ==∞ )0()( ,

1)4...3( TTtr ≅ .

Funcţia pondere, funcţia indicială şi răspunsul la intrare rampă unitară se calculează astfel:

1/

11

1 e]1[)( TtTK

sTKtg −− ⋅=+=L ,

TEORIA SISTEMELOR

88

)e1(]11[])1([)( 1/

1

11

1

1 TtKsTT

sKsTsKth −−− −=+−=+= LL , (39)

)]e1([]11[]

)1([)( 1/

11

1

211

21

12

11

TtTtKTsT

TsT

sK

sTsKth −−− −−=+−=+

= +LL .

Fig. 4.6. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul unu.

Funcţia indicială )(th tinde simplu exponenţial şi concav spre valoarea finală K , atingând valorile K95,0 şi K98,0 respectiv la momentele de timp 195 3TTtr ≅ şi

198 4TTtr ≅ . Mărimile 95trT şi 98trT caracterizează durata regimului tranzitoriu

(timpul de răspuns) şi permit o interpretare geometrică simplă a constantei de timp 1T .

In cazul 01<T , răspunsul sistemului la orice tip de intrare nenulă este nemărginit

(sistemul este instabil).

4.6.3. Răspunsul sistemului derivativ de ordinul unu

Sistemul derivativ de ordinul unu are modelul dinamic

uTKyyT d=+1 , 01 >T , (40)

modelul staţionar 0=y , funcţia de transfer

1

)(1 +

=sT

sTKsG d , (41)


89

unde K este factorul de proporţionalitate, dT constanta de timp derivativă şi 1T

constanta de timp de întârziere. Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi (fig. 4.7):

1

)()0(TTKGh d=∞=+ , 0)0()( ==∞ Gh , 1)43( TTtr ≅ .

Sistemul are funcţia pondere

]e1)([]1

11[]1)[)( 1/

10

11

1

11

1 Ttddd

Tt

TTK

sTTTK

sTsTKtg −−− −=

+−=

+= δLL ,

şi funcţia indicială

1/

11

1 e]1

[)( Ttdd

TTK

sTTKth −− =+

=L . (42)

Sistemul derivativ de ordinul unu este frecvent utilizat în generarea semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece răspunsul indicial este de tip „impuls”,

cu valoarea iniţială 1T

TK d şi valoarea finală zero. Timpul de răspuns, în care )(th are

o variaţie de 95 % din valoarea iniţială (exponenţiala 1/e Tt− scade de la valoarea iniţială 1 la valoarea 05,0e 3 ≅− ), este 195 3TTtr ≅ .

Fig. 4.7. Răspunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul unu.

Scriind funcţia de transfer sub forma

)1

11()(11 +

−=sTT

TKsG d ,

rezultă că sistemul derivativ de ordinul unu poate fi obţinut prin conectarea paralel-opusă a unui sistem de tip static şi a unui sistem de întârziere de ordinul unu, ambele având acelaşi factor static de proporţionalitate.

TEORIA SISTEMELOR

90

4.6.4. Răspunsul sistemului de avans-întârziere de ordinul unu

Sistemul de avans-întârziere de ordinul unu are modelul dinamic

)( 11 uuKyyT +=+ τ , 01 >T , (43)

modelul staţionar uKy = ,

funcţia de transfer

1)1(

)(1

1++

= sTsK

sGτ

, (44)

unde K este factorul static de proporţionalitate, 1T - constanta de timp de întârziere, iar 1τ - constanta de timp de avans. Efectul de avans este dominant în cazul 11 T>τ , iar efectul de întârziere este dominant în cazul 110 T<<τ .

Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi (fig. 4.8):

1

1)()0( TKGhτ

=∞=+ , KGh ==∞ )0()( , 1)43( TTtr ≅ .

Pentru 11 20 T<<τ , durata regimului tranzitoriu a răspunsului indicial poate fi exprimată prin relaţia mai precisă ||)43( 11 τ−≅ TTtr .

Funcţia pondere şi funcţia indicială se calculează astfel:

]e)1()([]1[]1)1(

[)( 1/

1

101

11

111

1

11

11 TtTtTT

KsT

TTK

sTsK

tg −−− −+=+−

+=++

=τ

δτ

ττ LL ,

]e)1(1[]11[])1(

)1([)( 1/

1

1

1

111

1

11 TtTKsT

TsKsTs

sKth −−− −−=+

−−=+

+=

τττ LL . (45)

In cazul 01<τ , din 0/)0( 11 <=+ TKh τ şi Kh =∞)( , rezultă că răspunsul indicial

are la început o variaţie bruscă de sens opus faţă de valoarea finală. Sistemul de avans de ordinul unu (cu 11 T>τ ) este frecvent utilizat în generarea

semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece răspunsul indicial are o valoare iniţială de 11 /Tτ ori mai mare decât valoarea finală. Raportul 11 /Tτ dintre

valoarea iniţială (maximă) şi cea finală a răspunsului indicial reprezintă factorul de magnitudine. Scriind funcţia de transfer sub forma

]1)(

1[)(1

11+

−+= sT

sTKsG

τ, (46)


91

am obţinut funcţia de transfer a unui regulator de tip PD cu constanta de timp derivativă 11 TTd −=τ .

Fig. 4.8. Răspunsul indicial al sistemului de avans-întârziere de ordinul unu.

Scriind funcţia de transfer sub forma

)11/

()(1

11

1

1+−

−= sTT

TKsGττ

,

rezultă că sistemul de avans-întârziere de ordinul unu poate fi obţinut prin conectarea paralel-opusă a unui sistem de tip static şi a unui sistem de întârziere de ordinul unu.

4.6.5. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul doi

Sistemul de întârziere de ordinul doi are ecuaţia diferenţială

uKyyy nnn222 ωωωξ =++ , 0>nω , (47)

modelul staţionar uKy =


22

2

2)(

nn

n

ssK

sGωξω

ω++

= , (48)

unde K este factorul static de proporţionalitate, ξ factorul de amortizare, iar nω

pulsaţia naturală. Deoarece excesul poli-zerouri este egal cu doi, funcţia indicială )(th este

continuă în origine şi tangentă la axa timpului, adică 0)0()0( =′= ++ hh . In plus, pentru 0>ξ , avem 1)0()( ==∞ Gh .

TEORIA SISTEMELOR

92

Funcţia de transfer a sistemului poate fi scrisă şi sub forma

1

)(1

222 ++

=sTsT

KsG ,

unde 1T şi 2T sunt constante de timp pozitive. In continuare, vom considera 1=K .

Cazul 10 <<ξ (regim oscilant amortizat). La intrare treaptă unitară, transfor-mata Laplace a răspunsului sistemului are forma

2222222

2

)1()()(1

221

)2()(

ξξ

ξ

ξ

ξ

ξ ωω

ξωωωω

ωωω

ω

−++

++−=

+++

−=++

=nn

nn

nn

n

nn

n

ss

ssss

ssss sY .

Cu notaţiile

ωω ξ =− 21n , αξ cos= , )2π,0(∈α ,

răspunsul indicial are expresia

)sin(1

e1)sin1

(cose1)(22

αωωωξξ

ξ ξωξω +⋅

−−=

−+−=

−− tttty

tntn , (49)

fiind de tip oscilant amortizat (fig. 4.9), cu pulsaţia nωω < .

Prin anularea derivatei răspunsului indicial

tty tnn ωωω ξω sine)(

2−⋅= ,

se obţin momentele de extrem

π/kt k= ω , N∈k , şi valorile de extrem

αξω ctgπe)1(1e)1(1)( kktnkk

kty −− −−=−−= .

Fig. 4.9. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi,

pentru 0<ξ<1.


93

Pulsul maxim

21πctg1 ee ξ

πξ

ασ −

−

− == , (50)

se numeşte suprareglaj sau supradepăşire, iar

21

1

3 11 σσσ

δ −=−= .

reprezintă gradul de amortizare a oscilaţiilor .

Cazul 0=ξ (regim oscilant întreţinut). Sistemul are răspunsul indicial

ts

ssss

ty nnn

n ωωω

ωcos1]1[]

)([)( 22

122

21 −=

+−=

+= −− LL . (51)

Răspunsul indicial este sinusoidal, cu amplitudinea constantă (egală cu 1) şi cu pulsaţia egală cu pulsaţia naturală nω (fig. 4.10).

Fig. 4.10. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi,

pentru 0=ξ şi 1=ξ .

Cazul 1=ξ (regim critic). Sistemul are răspunsul indicial

)1(e1])(

11[])(

[)( 21

2

21 t

sssssty n

t

n

n

nn

n n ωωω

ωωω ω +−=

+−

+−=

+= −−− LL .

Răspunsul indicial este strict crescător pentru 0≥t (fig. 4.10).

TEORIA SISTEMELOR

94

Cazul 1>ξ (regim supraamortizat). Funcţia de transfer a sistemului poate fi crisă sub forma

)1)(1(1)(

21 ++= sTsTsG , 021 >≥TT , (52)

Forma convex-concavă crescătoare şi cu punct de inflexiune a răspunsului indicial (fig. 4.11) rezultă intuitiv din observaţia că sistemul poate fi descompus în două subsisteme de întârziere de ordinul unu, conectate în serie, cu funcţiile de transfer

1

1)(1

1 +=

sTsG ,

11)(

22 +

=sT

sG .

Prin eliminarea termenului de gradul doi de la numitorul funcţiei de transfer obţinem funcţia de transfer a unui sistem de întârziere de ordinul unu, cu constanta de timp

21 TT + . In consecinţă, durata regimului tranzitoriu este

))(43( 21 TTTtr +≅

Fig. 4.11. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi, pentru ξ >1.

Cazul 01 <<− ξ (regim oscilant instabil). Răspunsul indicial al sistemului este dat de relaţiile (81), în care ),2/( ππα∈ . Răspunsul indicial se caracterizează prin

oscilaţii exponenţial crescătoare (fig. 4.12).

Cazul 1−<ξ (regim supraamortizat instabil). Funcţia de transfer poate fi scrisă sub forma

)1)(1(1)(

21 ++= sTsTsG , 021 <<TT .

Răspunsul indicial, dat de relaţia (63), este crescător şi nemărginit (fig. 4.12).


95

Fig. 4.12. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi pentru 0<ξ .

4.6.6. Răspunsul sistemului derivativ de ordinul doi

Sistemul derivativ de ordinul doi are ecuaţia

uTKyyTTyTT d=+++ )( 2121 , 120 TT ≤< , (56)


1)1)((

)(21 ++

=sTsT

sKTsG d , (57)

unde dT este constanta de timp derivativă, iar 1T şi 2T sunt constantele de timp de întârziere. De remarcat faptul că pentru 02 =T , sistemul devine derivativ de ordinul

unu. Ca şi acesta, sistemul derivativ de ordinul doi este utilizat în generarea semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, răspunsul indicial fiind de tip „impuls” (creşte în primele momente la o valoare maximă, după care tinde spre zero, creşterea fiind însă mai lentă decât la sistemul derivativ de ordinul unu, unde creşterea este bruscă). Acest comportament mai puţin agresiv rezultă şi din faptul că sistemul derivativ de ordinul doi poate fi obţinut prin conectarea în serie a sistemului derivativ de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1

)(1

1 +=

sTsTK

sG d ,

cu sistemul de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

11)(

22 += sTsG .

Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi:

0)()0( =∞=+ Gh , 21

)(lim)0(TT

KTssGh d

s==′

∞→+ ,

TEORIA SISTEMELOR

96

0)0()( ==∞ Gh .

In cazul 21 TT ≠ şi 1=K , răspunsul indicial este dat de relaţia:

)ee(]1)1)((

[)( 21

2121

1 Tt

Tt

dd

TTT

sTsTTth

−−− −⋅

−=

++=L . (58)

Pentru 21 TT = , răspunsul indicial are expresia (fig. 4.13)

1e]1)(

[)( 21

21

1 Tt

dd

TtT

sTTth

−− ⋅=

+=L . (59)

Valoarea maximă, atinsă la momentul 1Tt = , este dată de formula

1

max eTTh d= . (60)

Fig. 4.13. Răspunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul doi cu 121 ==TT , pentru diferite valori ale constantei de timp derivative dT .

4.7. APLICAŢII

♦ Aplicaţia 4.1. Să se calculeze funcţia de transfer, răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului cu modelul uuyyy 2868 +=++ .

Soluţie. Sistemul are funcţia de transfer


97

12

2)14)(12(

)14(2168

)14(2)( 2 +=

+++

=++

+=

ssss

ssssG ,

transformata Laplace a funcţiei indiciale

)2/1

11(2)12

21(2)12(

2)(1)(+

−=+

−=+

==ssssss

sGs

sH ,

funcţia indicială )e1(2)( 2/tth −−= , 0≥t

şi funcţia pondere

2/e)]([)( 1 tsGtg −== −L , 0≥t .

♦ Aplicaţia 4.2. Să se calculeze funcţia de transfer, răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului cu modelul uuyyy +=++68 .


)14)(12(

1168

1)( 2 +++

=++

+=

sss

ssssG ,


)14

612

11(2)14)(12(

)1(2)(1)(+

−+

+=++

+==

ssssssssG

ssH ,

funcţia indicială 4/2/ e3e2)( ttth −− −+= , 0≥t ,

transformata Laplace a funcţiei pondere

)4/1(8

3)2/1(4

1)14

312

1(21)(

++

+−

=+

++−

=ssss

sG ,

funcţia pondere

4/2/ e83e

41)( tttg −− +

−= , 0≥t .

♦ Aplicaţia 4.3. Să se calculeze funcţia de transfer, răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului cu modelul uuyyy +=++45 .


145

1)( 2 +++

=ss

ssG ,


TEORIA SISTEMELOR

98

2222 )5/1()5/2(5/31

145351

)145(1)(1)(

+++

−=++

+−=

+++

==s

ssss

sssss

ssGs

sH

22 )5/1()5/2(5/1)5/2(1

++++

−=s

ss

,

funcţia indicială )5/sin5/(cose1)( 5/2 ttth t +−= − , 0≥t ,

transformata Laplace a funcţiei pondere

222 )5/1()5/2(1

51

5/15/41

51)(

+++

⋅=++

+⋅=

ss

ssssG

2222 )5/1()5/2()5/1(3)5/2(

51

)5/1()5/2()5/21()5/2(

51

++⋅++

⋅=++−++

⋅=ss

ss ,

funcţia pondere

)5/sin35/(cose51)( 5/2 tttg t += − , 0≥t .

♦ Aplicaţia 4.4. Fie conexiunea serie de mai jos, formată din subsistemele:

Să se afle răspunsul sistemului pentru: a) )(0 tu δ= ; b) )(1 tu = ; c) )(1 ttu ⋅= ; d) )(1sin ttu ⋅= .

Soluţie. Avem

121)(1 +

+= sssG , 14

2)(2 += ssG , )14)(12(

)1(2)()()( 21 +++== ss

ssGsGsG .

a) 143

121

)14)(12()1(2)(

++

+−=

+++= ssss

ssY , 4/2/ e75,0e5,0)( ttty −− +−= ;

b) 1412

1222

)14)(12()1(2)(

+−

++=

+++= ssssss

ssY , 4/2/ e3e2)( ttty −− −+= ;

c) 14

4812

4102)14)(12(

)1(2)( 22 ++

+−−=

+++

=sssssss

ssY ,

4/2/ e12e2102)( tttty −− +−−= ;

d) )1(85

226)14(17

48)12(5

4)1)(14)(12(

)1(2)( 22 ++

−+

++

−=

++++

=ss

sssssssY ,

ttty tt sin852cos

8526e

1712e

52)( 4/2/ −−+−= −− .

(Σ1) uu +=+vv2 , (Σ2) v24 =+ yy .


99

♦ Aplicaţia 4.5. Elementele sistemului de reglare automată de mai jos au următoarele funcţii de transfer:

kGR = ; 2=EG ; 155,0+

= sGP ; 1

1+

=s

GT .

Pentru 1=k , să se afle răspunsul y(t) pentru: a) )(0 tr δ= , b) )(1 tr = , c) )(1 ttr ⋅= , şi răspunsul )(te pentru: d) )(0 tδ=v , e) )(1 t=v , f) )(1 tt ⋅=v .

Soluţie. Deoarece perturbaţia V este aditivă la ieşirea procesului, funcţia de transfer a canalului perturbator al procesului este 1)( =sGV . In conformitate cu (36) şi (37), obţinem:

165

1)(2 +++

+=

kssskGYR ,

1651)1)(5(

2 +++++

=kss

ssGYV ,

165

1)1)(5(2 +++

++=

kssssGER ,

1651)(5

2 ++++−

=kss

sGEV .

a) Avem

]0,20,6)5[(

0,220,6)(265

1)()( 222 ++⋅++

=++

+==

ss

ssssGsY YR ,

)2,0sin22,0(cose2,0)( 6,0 ttty t += − .

b) Avem

2)62(5

4521

2)6(51)(1)( 22 ++

+−=

+++

==ss

sssss

ssGs

sY YR

22 0,20,6)(0,20,50,6)0,5(5,0

++⋅++−=

ss

s ,

)2,0sin2,0(cose5,05,0)( 6,0 ttty t +−= − .

c) Avem

2)62(5

710121

2)6(51)(1)( 22222 ++

++−=

+++

==ss

ssssss

ssGs

sY YR

222 0,20,6)(0,20,50,6)(15,0

++⋅++

+−=ss

ss,

)2,0sin5,02,0(cose15,0)( 6,0 tttty t ++−= − .

TEORIA SISTEMELOR

100

d) Avem

222 0,20,6)(0,220,6)(

2651)(5)()(

++⋅−+−=

+++−==

ss

ssssGsE EV ,

)2,0sin22,0(cose)( 6,0 ttte t −−= − .

e) Avem

)265

451(21

2)6(51)(5)(1)( 22 ++

−−−=

+++−

==ss

sssss

ssGs

sE EV

]0,20,6)(0,270,6)(1[2

122 ++

⋅−+−−=ss

s ,

)2,0sin72,0(cose5,05,0)( 6,0 ttte t −+−= − .

f) Avem

)265

171021(21

2)6(51)(5)(1)( 22222 ++

+−+−=

+++−

==ss

ssssss

ssGs

sE EV

222 0,20,6)(0,25,50,6)(15,0

++⋅++

+−−

=ss

ss,

)2,0sin5,52,0(cose15,0)( 6,0 tttte t ++−−= − .

Remarcă. Ţinând seama de proprietatea valorii finale, eroarea staţionară (finală) pentru )(1 t=v şi 0>k este

1

1)(lim)()(lim)(lim)(lim000

pvf

+−

=====→→→∞→

Δ

ksGsVssGssEtee EVEVst

ssst.

De asemenea, pentru )(1 tr = , avem

11)(lim)(lim

0 +===

→∞→ ksGtee ERstst .

In ambele cazuri, eroarea staţionară este nenulă, dar cu atât mai mică, cu cât factorul de proporţionalitate al regulatorului este mai mare.


♦ C4.1. Să se calculeze funcţia de transfer şi răspunsul sistemului

uuyy +=+ 27

la următoarele intrări: a) )(1 tu = ; b) )(0 tu δ= ; c) )(1 ttu ⋅= ; d) )(12sin ttu ⋅= .

♦ C4.2. Să se calculeze răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului

uuyyy 2656 +=++ .


101

Să se scrie apoi ecuaţia sistemului echivalent minimal.

♦ C4.3. Să se calculeze răspunsul indicial al sistemului continuu

uuyyy +=++ 3243 .

♦ C4.4. Fie )(th răspunsul indicial al sistemului continuu

uuuyyyy ++=+++ 342544 .

Să se afle: a) )0( +h ; b) )0( +′h ; c) )(∞h .

♦ C4.5. Fie conexiunea serie formată din subsistemele:

1Σ : uu +=+ 34 vv , 2Σ : v25 =+ yy .

a) Să se calculeze funcţia de transfer )(sG a sistemului; b) Pentru )(1 tu = , să se afle )(tv ; c) Pentru )(1 tu = , să se afle )(ty ;

♦ C4.6. Fie conexiunea cu reacţie formată din subsistemele:

1Σ : eyy =+4 , 2Σ : y=+vv2 .

a) Să se afle funcţia de transfer )(sG şi ecuaţia sistemului; b) Pentru )(1 tu = , să se calculeze )(sY , apoi )(ty .

♦ C4.7. Fie sistemul ),,,( DCBAΣ cu

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=12

32A , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=11

B , [ ]pC −= 2 , 0=D ,

unde R∈p .

(a) Să se afle funcţia de transfer )(sG şi funcţia indicială )(th ; (b) Să se arate că sistemul nu este minimal.

5 STABILITATEA

SISTEMELOR LINIARE

Conceptul de stabilitate este asociat sistemelor liniare pentru a ilustra caracterul mărginit sau nemărginit al mărimilor de stare şi de ieşire, în condiţiile în care mărimile de intrare sunt mărginite.

In domeniul stabilităţii sistemelor se utilizează două concepte: conceptul de stabilitate internă (referitoare la starea sistemului) şi conceptul de stabilitate externă (referitoare la ieşirea sistemului). Deoarece starea curentă a unui sistem determină ieşirea acestuia, dacă starea este mărginită (sistemul este intern stabil), atunci şi ieşirea este mărginită (sistemul este extern stabil). Reciproca acestei afirmaţii nu este adevărată, deoarece un sistem cu ieşirea mărginită nu are obligatoriu şi starea mărginită. Un exemplu în acest sens este sistemul monovariabil de ordinul doi cu variabila de stare 1x mărginită şi variabila de stare 2x nemărginită, având mărimea de ieşire identică cu starea 1x .

Sistemele fizice sunt liniare cel mult într-un domeniu de variaţie mărginit al mărimilor de stare şi de ieşire. In consecinţă, la sistemele fizice instabile, variabilele de stare şi de ieşire evoluează în afara domeniului de liniaritate. Deoarece orice sistem fizic prezintă în exteriorul domeniului de liniaritate caracteristici neliniare de tip saturaţie sau blocare, mărimile de stare şi de ieşire ale unui sistem fizic instabil rămân finite. In cele ce urmează, vom considera cazul teoretic al sistemelor cu domeniu de liniaritate nemărginit.

5.1. STABILITATEA INTERNA

Prin definiţie, un sistem este intern strict stabil dacă, oricare ar fi starea iniţială, starea sistemului evoluează în regim liber spre origine, adică

0)(lim =∞→

tXlt, 0X∀ . (1)

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE

103

Un sistem este intern stabil dacă, în regim liber, starea sistemului rămâne finită (evoluează într-un domeniu mărginit al spaţiului stărilor), oricare ar fi starea iniţială. Un sistem stabil poate fi deci strict stabil sau semistabil (stabil la limită), iar un sistem care nu este stabil se numeşte instabil.

In regim liber, traiectoriile de stare pot fi convergente spre origine - la sistemele liniare strict stabile, convergente spre o curbă închisă - la sistemele semistabile, sau divergente - la sistemele instabile.

Tinând seama că

0)()( XttXl Φ= , (2)

unde )(tΦ este matricea fundamentală sau de tranziţie a stării, egală cu Ate ( +∈Rt ) la sistemele liniare continue şi cu tA ( N∈t ) la sistemele liniare discrete. Din (1) şi (2) obţinem

Lema stabilităţii interne. a) Un sistem liniar este intern strict stabil dacă şi numai dacă matricea de tranziţie a stării tinde spre zero, adică

0)(lim =∞→

tt

Φ ; (3)

b) Un sistem liniar este intern stabil dacă şi numai dacă matricea de tranziţie a stării este finită, adică există 0>M astfel încât

. t Mt 0,)( ≥∀≤Φ (4)

Din lema stabilităţii interne reiese că stabilitatea internă a unui sistem liniar (continuu sau discret) este o proprietate asociată exclusiv matricei A , deci o proprietate internă a sistemului.

Teorema stabilităţii interne stricte. a) Un sistem continuu este intern strict stabil dacă şi numai dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic au partea reală negativă (sunt situate în semiplanul complex stâng);

b) Un sistem discret este intern strict stabil dacă şi numai dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar (sunt situate în interiorul discului unitar cu centrul în originea planului complex).

Teorema poate fi extinsă la sistemele stabile (nu neaparat strict stabile) astfel: (a) Un sistem continuu este intern stabil dacă toate rădăcinile polinomului

caracteristic au partea reală negativă sau nulă, cele cu partea reală nulă fiind rădăcini simple;

TEORIA SISTEMELOR

104

(b) Un sistem discret este intern stabil dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar sau unitar, cele cu modulul unitar fiind rădăcini simple.

5.2. STABILITATEA EXTERNA

Prin definiţie, un sistem liniar este extern strict stabil dacă, la orice intrare de tip original mărginită pentru 0>t , ieşirea sistemului este, de asemenea, mărginită. Matematic, un sistem este extern strict stabil dacă oricare ar fi intrarea de tip original cu proprietatea 01)( >∀≤ t tU ,

există 0>M astfel încât

0 )( ≥∀≤ t MtY .

La sistemele monovariabile continue cu funcţia pondere )(tg , din relaţia de convoluţie

u-tgtyt∫= 0

)d()()( τττ , (5)

rezultă Prima lemă a stabilităţii interne stricte. (a) Un sistem monovariabil continuu

este extern strict stabil dacă şi numai dacă integrala

ttg∫∞

=0

d)(I (6)

este finită. (b) Un sistem liniar monovariabil discret este extern strict stabil dacă şi numai

dacă suma

∑∞

=

=0

)(k

kgS (7)

este finită. La sistemele continue, pentru a demonstra necesitatea, vom arăta că integrala

I este finită pentru un sistem extern strict stabil. Avem

∫∫ ∫ −===∞→

∞

∞→

T

T

T

TTg ttgttg

00 0d)(limd)(limd)( ττI

)(limd))sgn(g()(lim0

TyTTgtT

T

∞→=−⋅−= ∫

∞→τττ ,


105

unde )(Ty este valoarea ieşirii la momentul T pentru intrarea mărginită ))(sgn()( ττ −= Tgu . Deoarece sistemul este extern strict stabil, ieşirea y este

mărginită, deci integrala I este finită. Pentru a demonstra suficienţa, vom considera integrala I finită şi vom arăta că

pentru orice intrare )(tu cu 1≤)(tu , ieşirea )(ty este mărginită. Intr-adevăr, avem

=−≤−≤−= ∫∫∫ttt

tgutgutgty000

)()()( )()( ττττττττ ddd)(

I=≤= ∫∫∞

00)()( xxgxxg

tdd .

La sistemele discrete, demonstraţia este similară, pe baza relaţiei de convoluţie

∑=

−=t

kkuktgty

0)()()( .

O condiţie necesară ca integrala I şi suma S să fie finite este ca funcţia pondere g să tindă la 0 pentru ∞→t . La sistemele liniare de ordin finit, această condiţie este şi suficientă, ca urmare a caracterului exponenţial al funcţiei pondere. Rezultă astfel

A doua lemă a stabilităţii interne stricte. Un sistem liniar monovariabil (continuu sau discret) este extern strict stabil dacă şi numai dacă

0)(lim =∞→

tgt

. (8)

Deoarece funcţia pondere a unui sistem I-S-E strict propriu este dependentă de matricele A , B şi C , rezultă că stabilitatea externă constituie o proprietate asociată tuturor acestor matrice, spre deosebire de stabilitatea internă, care este asociată numai matricei A .

Prin relaxarea condiţiei de stabilitatea strictă (8), se consideră că un sistem liniar monovariabil este extern stabil dacă funcţia pondere g este mărginită pentru 0>t , adică există 0>M astfel încât

. tMtg 0,)( >≤ ∀ (9)

Funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu cu polii simpli kppp ,,, 21

poate fi scrisă sub forma

k2

2

1

1)(ps

Cps

Cps

CdsG k

−−+

−+= ++ , (10)

unde d este o constantă reală. Din expresia funcţiei pondere,

tptptp kkCCCtdtg eee)()( 210 21 ++++= δ , (11)

TEORIA SISTEMELOR

106

reiese că 0)(lim =∞→

tgt

dacă şi numai dacă 0<ipRe pentru orice },,2,1{ ki∈ .

Acest rezultat este valabil şi la sistemele cu poli multipli. Teorema stabilităţii externe stricte a sistemelor continue. Un sistem liniar

monovariabil continuu este extern strict stabil dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului au partea reală negativă.

Rezultatul poate fi extins la sistemele stabile (nu neaparat strict stabile) astfel: Un sistem continuu este extern stabil dacă şi numai dacă polii funcţiei de transfer a sistemului au partea reală negativă sau nulă, polii cu partea reală nulă fiind poli simpli.

Oricărui sistem liniar discret Σ i se poate asocia o funcţie de transfer ireductibilă, de forma

nn

rrzazazbzbb

zG −−

−−

++++++

= 11

110

0 1)( , C∈z .

Dacă rădăcinile nzzz ,,, 21 ale numitorului au valori distincte, atunci funcţia

pondere are următoarea formă pentru t suficient de mare:

tnn

tt zCzCzCtg +++= 2211)( . (12)

Dacă rădăcinile 1z şi 2z sunt reale şi egale, atunci suma tt zCzC 2211 + trebuie înlocuită

cu tzCtC 121 )( + . In ambele cazuri, funcţia pondere )(tg tinde la 0 pentru ∞→t dacă

şi numai dacă toţi polii au modulul subunitar. Am obţinut astfel Teorema stabilităţii externe stricte a sistemelor discrete. Un sistem liniar

monovariabil discret este extern strict stabil dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului au modulul subunitar.

In ceea ce priveşte stabilitatea simplă, se poate arăta că funcţia pondere )(tg este mărginită dacă şi numai dacă toţii polii au modulul unitar sau subunitar, polii cu modulul unitar fiind poli simpli. Prin urmare, un sistem liniar monovariabil discret este extern stabil dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului au modulul subunitar sau unitar, polii cu modulul unitar fiind poli simpli.

Observaţii. 1°. Problema stabilităţii unui sistem liniar se reduce la problema poziţionării în planul complex a rădăcinilor polinomului caracteristic - în cazul stabilităţii interne, respectiv a rădăcinilor polinomului polilor - în cazul stabilităţii externe. In cazul unui sistem monovariabil minimal, polinomul caracteristic coincide cu polinomul polilor şi, în consecinţă, sistemul este intern stabil dacă şi numai dacă


107

este extern stabil. In general, un sistem intern stabil este şi extern stabil, dar implicaţia inversă nu este întotdeauna valabilă.

2°. In cazul sistemului de reglare automată din figura 1.4, dacă elementele componente sunt de tip minimal (cu forma primară a funcţiilor de transfer ireductibilă) şi, în plus, produsul TPER GGGG este ireductibil, atunci polinomul

caracteristic şi polinomul polilor coincid, fiind egale cu numărătorul raţionalei

TPER GGGG+1 . (13)

In acest caz, sistemul este intern stabil dacă şi numai dacă este extern stabil. Această proprietate se păstrează şi în cazul mai general în care elementele componente sunt de tip minimal şi produsul raţional TPER GGGG se simplifică printr-un polinom

hurwitzian (care are toate rădăcinile cu partea reală negativă), precum şi atunci când toate elementele componente sunt stabile. In proiectarea regulatorului unui sistem de reglare a unui proces instabil trebuie evitată soluţia simplificării polului instabil al procesului printr-un zerou egal al regulatorului (în cadrul produsului PRGG ),

deoarece o simplificare perfectă nu este posibilă decât din punct de vedere teoretic.

5.3. CRITERIUL DE STABILITATE HURWITZ

Criteriul lui Hurwitz permite rezolvarea efectivă a problemei stabilităţii pe baza condiţiilor formulate în cadrul teoremelor de stabilitate internă şi externă. Criteriul are la bază ideea conform căreia rezolvarea problemei locaţiei rădăcinilor unui polinom în raport cu axa imaginară sau cu cercul unitar cu centrul în origine nu necesită calculul rădăcinilor polinomului.

Criteriul lui Hurwitz. Polinomul 01

11)( asasasasp n

nn

nn ++++= −− , 0>na

este hurwitzian, adică are toate rădăcinile cu partea reală negativă, dacă şi numai dacă toţi coeficienţii polinomului şi minorii principali

11 −=Δ na , 3212

312 −−−

−

−− −==Δ nnnnnn

nn aaaaaaaa

, … , 10 −Δ=Δ nn a

ai matricei Hurwitz

TEORIA SISTEMELOR

108

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

−−

02

1

2

31

*00**

0000

a a a

aaaa

Hnn

nn

n (14)

sunt pozitivi. Tinând seama de expresiile minorilor 1Δ şi nΔ , condiţia de pozitivitate a

acestor minori este evident superflue. Construcţia matricei Hurwitz se face astfel: se completează mai întâi diagonala

principală şi apoi coloanele, ţinând seama de faptul că indicii coeficienţilor cresc la deplasarea, de sus în jos, pe fiecare coloană.

Pentru 2=n , din criteriul lui Hurwitz rezultă că ambele rădăcini ale polinomului

012

22 )( asasasp ++= , 02 >a ,

au partea reală negativă dacă şi numai dacă toţi coeficienţii sunt strict pozitivi. Pentru 3=n , matricea Hurwitz are forma

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

02

13

02

3

000

aaaaaa

H .

Polinomul 012

23

33 )( asasasasp +++= (cu 03 >a ) are rădăcinile cu partea reală

negativă dacă şi numai dacă toţi coeficienţii sunt strict pozitivi şi, în plus, 030212 >−=Δ aaaa . (15)

Pentru 4=n , matricea Hurwitz are forma

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

02

13

024

13

00 00 00

4

4

aaaaaaaa

aa

H .

Rădăcinile polinomului

012

23

34

44 )( asasasasasp ++++= , 04 >a ,

au partea reală negativă dacă şi numai dacă toţi coeficienţii sunt strict pozitivi şi, în plus, 02

30213 >−Δ=Δ aaa , unde 41322 aaaa −=Δ . In mod evident, condiţia 02 >Δ rezultă implicit din condiţia 03 >Δ .


109

Observaţie. In analiza stabilităţii sistemelor discrete se ţine seama de faptul că transformarea omografică

11

−+= s

sz , (16)

echivalentă cu zzs 1

1−+= , aplică biunivoc interiorul cercului unitar cu centrul în

origine din planul variabilei z în semiplanul 0<sRe din planul variabilei s . In consecinţă, polinomul

011

1)( azazazaz nn

nnn ++++= −

−P , 0>na ,

are toate rădăcinile cu modulul subunitar dacă şi numai dacă ecuaţia

0)11( =

−+

ss

nP (17)

are toate rădăcinile cu partea reală negativă, ceea ce poate fi analizat cu criteriul Hurwitz.

5.4. APLICAŢII

♦ Aplicaţia 5.1. Să se studieze stabilitatea sistemului cu ecuaţia

uuyyy 2232 −=−− .

Soluţie. Sistemul are polinomul caracteristic

)12)(2(232)( 2 +−=−−= sssssP şi funcţia de transfer 12

1232

2)( 2 +=

−−−= sss

ssG .

Deoarece polinomul caracteristic are rădăcina 21 =s strict pozitivă, sistemul este intern

instabil. Deoarece polinomul polilor 12)( += ssP

are o singură rădăcină şi aceasta este negativă (egală cu 2/1− ), sistemul este extern strict stabil.

♦ Aplicaţia 5.2. Să se studieze stabilitatea sistemului cu ecuaţia

0 , )(168 2 ≥+−=−++ kuuykyy .

Soluţie. Formăm polinomul caracteristic

)4)(4(168)( 22 ksksksss −+++=−++=P

TEORIA SISTEMELOR

110


)4)(4(1)(

k1681)( 22 ksks

sssssG −+++

−−=−++

+−= .

Polinomul caracteristic are rădăcina ks −−= 41 negativă şi rădăcina ks +−= 42 negativă

pentru 4<k , nulă pentru 4=k şi pozitivă pentru 4>k . In consecinţă, sistemul este intern strict stabil pentru 4<k , intern semistabil pentru 4=k şi intern instabil pentru 4>k .

Sistemul are doi poli pentru 5≠k şi un singur pol pentru 5=k , anume 91 −=s . Rezultă că sistemul este extern strict stabil pentru 4<k şi 5=k , extern semistabil pentru 4=k şi extern instabil pentru 4>k , 5≠k .

♦ Aplicaţia 5.3. Să se studieze stabilitatea sistemului continuu ),,,( DCBAΣ cu

[ ] . 0= , 001= , 100

= , 4561 00110

DCBA −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

Soluţie. Polinomul caracteristic al sistemului

)3)(2)(1(64)Idet()( 23 ++−=−++=−= ssssssAssP

are o rădăcină pozitivă ( 11 =s ) şi, prin urmare, sistemul este intern instabil.

Funcţia de transfer a sistemului

3)2)((1

641)I()( 23

1++

=−++

−=+−= −sssss

sDBAsCsG ,

are polii 21 −=s şi 32 −=s , ambii negativi; în consecinţă, sistemul este extern strict stabil.

♦ Aplicaţia 5.4. Elementele componente ale sistemului de reglare automată de mai jos au următoarele modele dinamice: R: εkc = , mr −=ε ; E: cuu 22 =+ ; P: v25,05 −=+ uyy ; T: ymm =+ .

a) Să se studieze stabilitatea sistemului.


111

b) Să se determine parametrul real k astfel încât polii sistemului de reglare să fie situaţi în stânga dreptei 3,0−=s .

Soluţie. Elementele sistemului de reglare au următoarele funcţii de transfer

kGR = , 122+= sGE , 15

1+= sGP ,

1525,0+

−=

sGV , 1

1+= sGT .

a) Deoarece funcţiile de transfer ale elementelor componente şi funcţia de transfer a sistemului deschis

)1)(15)(12(2

+++== ssskGGGGG TPERd

sunt ireductibile, studiul sistemului din punctul de vedere al stabilităţii interne şi externe conduce la acelaşi rezultat. Polinomul caracteristic şi polinomul polilor sistemului coincid cu numărătorul raţionalei )(1 sGd+ , adică

kssskssssP 21817102)1)(15)(12()( 23 ++++=++++= .

Coeficienţii lui )(sP sunt pozitivi pentru 21−>k , iar minorul Hurwitz

)1063(2)21(1017803212 kkaaaa −=+−⋅=−=Δ

este pozitiv pentru 1063<k . Prin urmare, sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai

dacă factorul de proporţionalitate al regulatorului aparţine intervalului )1063,2

1(− .

In figura 5.1 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale factorului de proporţionalitate k al regulatorului.

Fig. 5.1. Răspunsul )(ty la referinţă treaptă unitară.

TEORIA SISTEMELOR

112

Răspunsul a fost obţinut în MATLAB, cu următorul program:

k=[-0.1 0.5 2 6.3]; t=0:0.1:30; s=tf('s'); sis_E=2/(2*s+1);

sis_P=1/(5*s+1); sis_T=1/(s+1);

hold on; for i=1:4

sis1=k(i)*sis_E*sis_P; sis=sis1/(1+sis1*sis_T); step(sis,t); end; grid on

b) Impunem condiţia ca polinomul

kssssP 21)3,0(8)3,0(17)3,0(10)3,0( 23 ++−+−+−=−

14,025,0810 23 −+++= ksss

să fie hurwitzian. Din condiţia de pozitivitate a coeficienţilor rezultă 07,0>k , iar din condiţia 02 >Δ , unde kkaaaa 204,5)14,02(1085,003212 −=−−⋅=−=Δ ,

rezultă 27,0<k . In concluzie, sistemul de reglare are toţi polii cu partea reală mai mică decât 3,0− pentru 27,007,0 <<k .

♦ Aplicaţia 5.5. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu funcţiile de transfer

)411( skGR += , 12

2+= sGE , 15

1+= sGP , 1

1+= sGT .

Soluţie. Avem

1)1)(1)(5(221)(4

++++= ssss

skGd .

Deoarece funcţiile de transfer ale elementelor componente şi ale sistemului deschis sunt ireductibile, polinomul polilor şi polinomul caracteristic coincid:

kskssssP +++++= )12(2163420)( 234 . Avem

)1063(814322 kaaaa −=−=Δ ,

)25217580(4 2230213 ++−=−Δ=Δ kkaaa .

Coeficienţii polinomului )(sP şi 3Δ sunt pozitivi pentru 00 kk << , unde 178,30 ≅k . Conform criteriului Hurwitz, sistemul de reglare este strict stabil (intern şi extern) dacă şi numai dacă 00 kk << .


113

In figura 5.2 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale factorului de proporţionalitate k al regulatorului. Răspunsul a fost obţinut în MATLAB, cu următorul program:

k=[0.2 0.4 1 3.17]; t=0:0.1:40; s=tf('s'); sis_E=2/(2*s+1);

sis_P=1/(5*s+1); sis_T=1/(s+1);

hold on; for i=1:4

sis1=k(i)*(1+1/4/s)*sis_E*sis_P; sis=sis1/(1+sis1*sis_T); step(sis,t); end; grid on


♦ Aplicaţia 5.6. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu funcţiile de transfer

sTGi

R11+= , 13

1+= sGE , 16

1+= sGP , 1

1+= sGT .

Soluţie. Avem

1)1)(61)(3(/1

++++

= ssssTs

G id .

Pentru }6,3,1{∉iT , polinomul polilor coincide cu polinomul caracteristic:

iTsssssP 12102718)( 234 ++++= .

Avem 23414322 =−=Δ aaaa

şi

TEORIA SISTEMELOR

114

)8152(9230213

iTaaa −=−Δ=Δ .

Coeficienţii polinomului )(sP şi 3Δ sunt pozitivi pentru 5281>iT . Conform criteriului

Hurwitz, sistemul de reglare este strict stabil (intern şi extern) dacă şi numai dacă 55,152

81 ≅>iT . Acest rezultat este valabil şi în cazul }6,3,1{∈iT , când polinomul

caracteristic diferă de polinomul polilor, deoarece funcţia )(sGd se simplifică printr-un

polinom hurwitzian.

In figura 5.3 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale constantei de timp integrale a regulatorului.


♦ Aplicaţia 5.7. Fie sistemul de reglare automată ale cărui elemente au funcţiile de transfer

)11(sT

kGi

R += , 0>k ,

1=EG , )14(1++= ss

sGP , 1=TG .

Să se studieze stabilitatea sistemului pentru: (a) 1=iT ; (b) 3=iT .

Soluţie. (a) Avem

)14(

)1()( 2

2

++=ss

sksGd ,

iar polinomul polilor şi cel caracteristic coincid:

kksskssP ++++= 2)1(4)( 23 .


115

Deoarece coeficienţii lui )(sP sunt pozitivi, sistemul este stabil numai atunci când

0)1(230212 >−=−=Δ kkaaaa ,

adică pentru 1>k . In marea majoritate a aplicaţiilor practice, sistemele de reglare sunt stabile pentru valori mici ale factorului de proporţionalitate al regulatorului, când comanda generată de regulator este relativ slabă. Sistemul de reglare studiat este însă unul de excepţie, în care sistemul deschis este dublu integral, iar componenta integrală a regulatorului este foarte puternică.

In figura 5.4 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale factorului de proporţionalitate k regulatorului.

Fig. 5.4. Răspunsul la referinţă treaptă unitară pentru )11( skGR += .

(b) In cazul regulatorului )311( skGR += cu componenta integrală mai slabă, avem

)14(3

)1)(13()( 2 +++=

ssssksGd ,

iar polinomul polilor are expresia

kksskssP ++++= 4)1(312)( 23 .

Deoarece coeficienţii lui )(sP sunt pozitivi şi 012 230212 >=−=Δ kaaaa , sistemul este

stabil pentru orice 0>k (fig. 5.5).

TEORIA SISTEMELOR

116

Fig. 5.5. Răspunsul la referinţă treaptă unitară pentru )311( skGR += .

♦ Aplicaţia 5.8. Să se studieze stabilitatea sistemului discret cu ecuaţia

)(2)1()2(2)1()(3 tututytkyty −−=−+−+ , R∈k

Soluţie. Sistemul are polinomul caracteristic

23)( 2 ++= kzzzP .

Rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar atunci când ecuaţia

0)11( =−

+ssP ,

echivalentă cu 052)5( 2 =−+++ kssk ,

are rădăcinile cu partea reală negativă, adică atunci când are toţi coeficienţii pozitivi. Prin urmare, sistemul este intern strict stabil pentru )5,5(−∈k , intern semistabil pentru

}5,5{−∈k şi intern instabil pentru ),5()5,( ∞∪−−∞∈k .

Pentru 5−=k avem )23)(1()( −−= zzzP , iar pentru 5=k avem )23)(1()( ++= zzzP . In

ambele cazuri sistemul este semistabil, deoarece ecuaţia caracteristică are o rădăcină cu modulul subunitar şi o rădăcină cu modulul unitar.

Pentru studiul stabilităţii externe formăm funcţia de transfer

23

223

2)( 221

21

++−=

++−= −−

−−

kzzz

zkzzzzG .

Pentru 7−≠k , funcţia de transfer este ireductibilă, iar polinomul polilor coincide cu polinomul caracteristic. Pentru 7−=k , rezultă


117

131)( −= zzG ,

iar sistemul este extern strict stabil deoarece polul 31

1=z are modulul subunitar. In

concluzie, sistemul este extern strict stabil pentru }7{)5,5( −∪−∈k , extern semistabil pentru }5,5{−∈k şi extern instabil pentru ),5()5,7()7,( ∞∪−−∪−−∞∈k .

Pentru 7−=k , sistemul este intern instabil, dar extern strict stabil. In figurile 5.6 şi 5.7 sunt reprezentate grafic răspunsurile indiciale ale sistemului pentru cazurile de semistabilitate 5−=k şi 5=k , respectiv pentru cazurile de stabilitate externă 7−=k şi

0=k .

Fig. 5.6. Răspunsul indicial al sistemului semistabil.

Fig. 5.7. Răspunsul indicial al sistemului stabil.

TEORIA SISTEMELOR

118


♦ C5.1. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului cu ecuaţia

uuukyyyy −−=+++ 2 ,

unde k este un parametru real.

♦ C5.2. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului cu ecuaţia

uuyykykyk +−=+++++ 3)13()1( ,


♦ C5.3. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului continuu ),,,( DCBAΣ cu

[ ] , = , 001= ,

1

0

0

= ,

465

1 01

100

DkCBA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=


♦ C5.4. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+=

+=

−=

uxxxx

ukxx

xxx

3213

22

321

52

,

321 22 xxxy ++−= ,


♦ C5.5. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu

kGR = , 122+= sGE ,

1815

22 +++

=ss

sGP , 1=TG ,



)411( skGR += , 12

1+== sGG TE ,

142+= sGP ,


119

pentru 0>k .


sTGi

R11+= , 1== TE GG ,

)18)(12(1

++= ssGP ,

pentru 0>iT .

♦ C5.8. Fie sistemul de reglare automată caracterizat prin

KGR = , 0>K , 1)s(24

1+

=EG , 1s41+=PG , 1=TG .

Să se determine K astfel încât polii sistemului să fie situaţi în stânga dreptei 31−

=s .

♦ C5.9. Pentru ce valori ale parametrului real k , sistemul discret cu ecuaţia

)2()1()3()2(8)1(17)(10 −+−=−+−+−+ tututkytytyty

este strict intern stabil ?

6 FUNCŢIA DE FRECVENŢĂ

6.1. DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI

Considerăm un sistem liniar neted cu funcţia de transfer )(sG . Prin definiţie, funcţia de frecvenţă (sau de pulsaţie) a sistemului este funcţia complexă )( ωjG , unde R∈ω sau, mai restrictiv, +∈Rω .

Funcţia de frecvenţă poate fi scrisă sub forma

)(e)()( ωωω jΦMjG = , (1)

unde )(ωM reprezintă modulul funcţiei de frecvenţă, iar )(ωΦ faza sau argumentul funcţiei de frecvenţă.

De asemenea, funcţia de frecvenţă poate fi scrisă sub forma

)()()( ωωω jVUjG += , (2)

unde )(ωU este partea reală a funcţiei de frecvenţă, iar )(ωV partea imaginară a funcţiei de frecvenţă.

Deoarece funcţia de transfer este o funcţie raţională, ea satisface următoarea proprietate:

)()( sGsG = ,

oricare ar fi variabila complexă s . Prin urmare,

)()( ωω jGjG =− ,

iar din )()()( ωωω −+−=− jVUjG şi )()()( ωωω jVUjG −= , rezultă

)()( ωω UU =− , )()( ωω VV −=− , (3)

adică )(ωU este funcţie pară, iar )(ωV funcţie impară. Din relaţiile

)()()( 22 ωVωUM +=ω (4)

FUNCŢIA DE FRECVENŢA

121

şi )(/)()( ωωω UVΦtg = , (5)

rezultă că )(ωM este pară şi )(ωΦ impară. Dacă funcţiile impare )(ωV şi )(ωΦ sunt continue în punctul 0=ω , atunci 0)0( =V şi 0)0( =Φ .

6.2. INTERPRETARE FIZICĂ

Interpretarea fizică a funcţiei de frecvenţă a unui sistem liniar continuu rezultă imediat din teorema filtrării, enunţată şi demonstrată în cele ce urmează.

Teorema filtrării. Pentru un sistem liniar continuu propriu extern strict stabil aflat în regim sinusoidal permanent cu pulsaţia ω , modulul şi argumentul funcţiei de frecvenţă )( ωjG reprezintă factorul de amplificare şi, respectiv, defazajul ieşirii în raport cu intrarea.

Demonstraţie. Considerăm că la intrarea sistemului cu funcţia de transfer )(sG se aplică semnalul sinusoidal ttu ωsin)( = . Transformata Laplace a răspunsului sistemului este

)()()( 2222 sY s

B+AssGs

sY tr++

=+

=ωω

ω ,

unde )(sYtr este o raţională strict proprie având aceiaşi poli ca )(sG , deci cu partea

reală negativă. In relaţia de identificare )()()( 22 sGsBAssG trωω +++= , înlocuim pe s cu ωj pentru a elimina termenul cu )(sGtr . Rezultă

BAjjG += ωωω )( , BAjM jΦ += ωωω ω)(e)( , deci )(sin)( ωω ΦMA= , )(cos)( ωωω ΦMB = .

Prin urmare, răspunsul )(ty al sistemului are componenta armonică permanentă

[ ] =+=+

= − tBtAs

B+Asyp ωωωω

sincos221L(t)

)](sin[)(]sin)(coscos)()[sin( ωωωωωωωω ΦtMtΦtΦM +=+=

şi componenta tranzitorie

[ ])()( 1 sYty trtr−=L ,

TEORIA SISTEMELOR

122

care se anulează în timp, adică 0)(lim =∞→

tytrt, deoarece toţi polii funcţiei )(sYtr au

partea reală negativă. Pentru intrarea sinusoidală ttu ωsin)( = , răspunsul permanent

al sistemului )](sin[)()( ωωω ΦtMtyp += , (6)

evidenţiază faptul că funcţia de frecvenţă

)(e)()( ωωω jΦMjG =

este factorul complex de amplificare în regim armonic permanent.

6.3. CARACTERISTICI DE FRECVENŢĂ

Caracteristicile de frecvenţă cele mai utilizate sunt caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM şi caracteristica fază-pulsaţie )(ωΦ . Caracteristica amplificare-pulsaţie este frecvent cunoscută în literatura de specialitate şi sub denumirea, oarecum improprie, de caracteristică amplitudine-pulsaţie.

In reprezentarea grafică a celor două caracteristici, pulsaţia ω este exprimată de obicei în scară logaritmică, amplificarea M în decibeli ( MM lg20][ dB = , unde lg

este logaritmul zecimal), iar faza Φ în radiani. Sub această formă, caracteristicile de frecvenţă sunt cunoscute şi sub denumirea de caracteristici Bode.

In cazul sistemelor strict proprii (cu exces pozitiv poli-zerouri), din relaţia evidentă 0)(lim =

∞→sG

s rezultă condiţia

0)(lim =→∞

ωω

M ,

care exprimă faptul că factorul de amplificare în regim sinusoidal permanent al sistemelor strict proprii tinde la zero atunci când frecvenţa de oscilaţie tinde la infinit. Deoarece această proprietate caracterizează practic toate sistemele reale (fizice), rezultă că sistemele reale sunt strict proprii, cel puţin în domeniul frecvenţelor foarte înalte.

Un filtru ideal de tip trece-jos, trece-bandă sau trece-sus (caracterizat printr-o amplificare nulă în afara benzii de trecere) nu este fizic realizabil. Se pot obţine însă caracteristici amplificare-pulsaţie oricât de apropiate de cele ale unui filtru ideal. O metodă de obţinere a acestor caracteristici este aproximaţia tip Taylor de un anumit ordin n , care în cazul filtrului trece-jos cu pulsaţia de bandă (de tăiere) bω (fig. 6.1),

presupune satisfacerea următoarelor condiţii:


123

1)0( =M , 2

1)( =bM ω , 0)0()( =iM , ni ,1= . (8)

Banda de trecere sau lărgimea de bandă a unui filtru trece-jos reprezintă intervalul ),0( bω în care factorul de amplificare în regim sinusoidal permanent

)(ωM nu scade mai mult de 2 ori (cu mai mult de 3 dB) faţă de valoarea sa

maximă.

Fig. 6.1. Caracteristica amplificare-pulsaţie a unui filtru trece- jos.

Aproximaţia tip Taylor de ordinul n are forma

)( ))(( 21

1)(n

bbb

npspspssG

+++=

ωωω

, (9)

unde

ni

nipi 2

π1)(2jcos2π1)(2sin −−−

= , ni ,,2,1= . (10)

Pentru 1=n , 2=n şi 3=n , avem respectiv

b

bssG ωω+=)(1 , (11)

22

2

22

)(bb

b

sssG

ωωω

++= , (12)

)

)(22

3

3)((

bbb

b

ssssG

ωωωω

+++= . (13)

TEORIA SISTEMELOR

124

Fig. 6.2. Caracteristicile amplificare-pulsaţie ale filtrelor de ordinul 1, 2 şi 3.

Graficul funcţiei de frecvenţă construit pentru 0≥ω se numeşte locul de transfer, iar graficul funcţiei de frecvenţă construit pentru R∈ω se numeşte locul lui Nyquist.

Locul de transfer mai poate fi definit ca fiind graficul funcţiei de transfer )(sG atunci când variabila complexă s parcurge semiaxa imaginară pozitivă. Dacă

)(sG are un pol în origine, atunci locul de transfer este construit pentru ωjs = , 0>ω , iar dacă )(sG are poli complex-conjugaţi pe axa imaginară, atunci variabila

s ocoleşte prin partea dreaptă polul de pe axa imaginară pozitivă, pe un semicerc de rază 0→r (parcurs în sens pozitiv, trigonometric). Unui asemenea pol îi corespunde în planul funcţiei de transfer un semicerc de rază ∞→R parcurs în sens negativ, orar. De regulă, trasarea analitică a locului de transfer se face pe baza tabelelor de variaţie ale funcţiilor )(ωU şi )(ωV .

Locul lui Nyquist mai poate fi definit ca fiind graficul funcţiei de transfer )(sG atunci când variabila complexă s parcurge întreaga axă imaginară. Toţi polii complex-conjugaţi de pe axa imaginară ai funcţiei de transfer sunt ocoliţi de variabila s prin semicercuri de rază 0→r , parcurse prin dreapta, în sens pozitiv. Din relaţiile )()( ωω UU =− şi )()( ωω VV −=− rezultă că locul lui Nyquist este simetric faţă de axa reală şi poate fi obţinut din locul de transfer prin adăugarea simetricului locului de transfer faţă de axa reală. Deoarece axa imaginară este un contur deschis, locul lui Nyquist va fi o curbă deschisă.

Sistemul simplu integral, cu funcţia de transfer sKsG =)( , 0>K , are funcţia

de frecvenţă jωKjωG /)( = , deci

0)( =ωU , ωKV −=)(ω ,


125

ωω KM =)( , 2π)( −=ωΦ .

In regim sinusoidal permanent, faza sistemului )(ωΦ este negativă şi constantă în raport cu pulsaţia ω , iar factorul de amplificare )(ωM tinde la ∞ pentru 0→ω şi este strict descrescător în raport cu ω . Prima proprietate a factorului de amplificare este irelevantă sub aspect practic, deoarece pulsaţia ω tinde la zero atunci când perioada de oscilaţie tinde la infinit. Locul de transfer coincide cu semiaxa imaginară negativă, parcursă de jos în sus (fig. 6.3).

Fig. 6.3. Locul lui Nyquist al sistemelor simplu integral şi dublu integral.

Sistemul dublu integral, cu funcţia de transfer 2)(sKsG = , 0>K , are funcţia de

frecvenţă 2/)( ωKjωG −= , deci

2)(ω

KU −=ω , 0)( =ωV ,

2)(ωKM =ω , π)( −=ωΦ .

Locul de transfer coincide cu semiaxa reală negativă, parcursă de la stânga spre dreapta (fig. 6.3).

Sistemul de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1)(1 += sTKsG , 0, >TK ,

are funcţia de frecvenţă

1)(1 += ωω jT

KjG ,

deci

1

)( 221 +

=ω

ωT

KU , 1

)( 221

1+

−=

ωω

ωT

KTV , (14)

TEORIA SISTEMELOR

126

1

)(22

1 +=

ωω

TKM , ωω 1arctg)( TΦ −= . (15)

Amplificarea M este strict descrescătoare cu ω (de la valoarea K la zero). Din caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM reprezentată în figura 6.4, rezultă că sistemul este un filtru trece-jos cu pulsaţia de bandă 1/1 Tb =ω .

Fig. 6.4. Caracteristica amplificare-pulsaţie a sistemului de întârziere de ordinul unu.

Faza Φ este negativă şi strict descrescătoare în raport cu pulsaţia ω (de la

valoarea 0 la valoarea 2π− ), având valoarea

4π− pentru pulsaţia de bandă bω .

Prin eliminarea produsului ωT1 între )(ωU şi )(ωV , obţinem următoarea

ecuaţie a locului de transfer şi locului lui Nyquist:

222 )2/()2/( KVKU =+− . (16)

Locul de transfer al sistemului este semicercul inferior (din cadranul IV), cu centrul în punctul )0,2/( K şi care trece prin origine, reprezentat cu linie continuă (fig. 6.5). Locul lui Nyquist cuprinde şi semicercul superior (din cadranul I), dar este o curbă deschisă care nu conţine originea.

Fig. 6.5. Locul lui Nyquist al sistemului de întârziere de ordinul unu.


127

Sistemul de întârziere de ordinul doi de tip oscilant, cu funcţia de transfer

22

2

2)(

nn

nss

sGωξω

ω++

= , 10 <<ξ , 0>nω ,

are funcţia de frecvenţă

)(2

)( 22

2

ωξωωωω

ωj

jGnn

n+−

= ,

deci

2222

2

4)(11)(

xxxxU

ξ+−−= , 2222 4)(1

x2)(xx

xVξ

ξ+−

−= , (17)

2222 4)1(

1)(xx

Mξ

ω+−

= , 1

2)(tg 2 −=

xxΦ ξω , (18)

unde nx ωω /= este pulsaţia relativă.

In cazul 12

1≤≤ξ , amplificarea M este descrescătoare cu x , deci cu pulsaţia

ω . In cazul 2

10 <<ξ , amplificarea M atinge valoarea maximă 212

1ξξ −

pentru

221 ξ−=x , adică pentru 221 ξωω −= n . In cazul 0=ξ , amplificarea M tinde la ∞ atunci când pulsaţia ω tinde spre valoarea nω (fenomen de rezonanţă).

In figurile 6.6 şi 6.7 sunt reprezentate caracteristicile amplificare-pulsaţie şi locul de transfer pentru ξ = 0,4; 0,6; 0,8; 1,0.

Fig. 6.6. Caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului oscilant de ordinul doi.

TEORIA SISTEMELOR

128

Fig. 6.7. Locul de transfer al sistemului de întârziere de ordinul doi.

6.4. SISTEME CU TIMP MORT

Sistemul continuu pur proporţional cu timp mort are modelul

)()( τ−= tKuty , (19)

şi funcţia de transfer sKsG τ−= e)( , (20)

unde K este factorul de proporţionalitate şi τ timpul mort ( 0>τ ). Similar, sistemul continuu de întârziere de ordinul unu cu timp mort are modelul

)()()(1 τ−=+ tKutytyT , (21)


1e)(

1 +=−

sTK sG

sτ . (22)

Sistemele continue cu timp mort sunt sisteme infinit dimensionale, funcţia de transfer a unui sistem cu timp mort putând fi doar aproximată printr-o funcţie raţională de un anumit ordin.

Tinând seama că

+ s + s + 2!1!1e22s τττ = ,

funcţia de transfer a elementului pur timp mort, anume

se)( ττ

−=sG , (23)

poate fi aproximată cu următoarea funcţie raţională de tipul 0+n (cu numitorul de gradul n şi numărătorul de gradul 0 )


129

!2!1!1

1)( 220

ns + + s + s +

sG nnn

ττττ =+ . (24)

In general, funcţia raţională de ordinul n care poate aproxima cel mai bine funcţia de transfer se)( τ

τ−=sG este una semiproprie, de forma

nn

nnnn

sa + + sa+ sa + sb + + sb+ sb +

sG 221

221

11

)( =+τ . (25)

In particular, avem

2121

)(11s

ssG τ

τ

τ+

−=+ ,

12211221

)( 22

22

22

ss

sssG

ττ

ττ

τ++

+−=+ , (26)

12010211201021

)( 3322

3322

33

sss

ssssG

τττ

τττ

τ+++

−+−=+ , (27)

In majoritatea aplicaţiilor, ordinul n al aproximaţiei Padé se alege în gama 3….10. Precizia de aproximare a timpului mort este cu atât mai ridicată cu cât ordinul n este mai mare (fig. 6.8 şi 6.9). O valoare prea mare a lui n măreşte însă considerabil dimensiunea sistemului.

In zona timpului mort ( τ<< t0 ), răspunsul indicial oscilează în jurul valorii zero, intersectând de n ori axa timpului. La sistemele dinamice cu timp mort aproximat prin metoda Padé, aceste oscilaţii sunt puternic atenuate, cu atât mai mult cu cât ordinul de aproximaţie Padé şi constanta de timp de întârziere dominantă a sistemului au valori mai ridicate (fig. 6.10 şi 6.11) .

Fig. 6.8. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer s5e)( −=sG ,

aproximată prin metoda Padé de ordinul 5=n .

TEORIA SISTEMELOR

130

Fig. 6.9. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer s5e)( −=sG ,


Fig. 6.10. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer

15e)(

5

+=

−

ssG

s,


Fig. 6.11. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer

15e)(

5

+=

−

ssG

s,



131

Funcţia de frecvenţă a elementului timp mort, ωττ ω jjG −= e)( , are modulul

unitar şi faza liniar descrescătoare cu ω :

1)( =ωτM , τωωτ −=)(Φ . (28)

Prin urmare, în cazul sistemului cu timp mort cu funcţia de transfer

sesGsGmτ−= )()( , (29)

unde )(sG este funcţia de transfer a sistemului fără timp mort, avem

)()( ωω MMm = , τωωω −= )()( ΦΦm . (30)

Rezultă că locul de transfer al sistemului cu timp mort poate fi obţinut prin „spiralizarea” în sens orar a locului de transfer al sistemului fără timp mort, adică prin rotirea în sens orar în jurul originii, cu unghiul τω (exprimat în radiani), a fiecărui punct al locului de transfer fără timp mort.

♦ In MATLAB, atribuirea unei valori T timpului mort al unui sistem sis se face astfel:

sis.iodelay=T;

Coeficienţii numărătorului şi numitorului raţionalei Padé )(sG nnT+ de ordinul nn+ pot fi

determinaţi cu funcţia pade, apelată sub forma

[num, den] = pade(T,n); Apelată sub forma sis1 = pade(sis,n);

funcţia returnează sistemul fără timp mort sis1 (cu funcţia de transfer raţională) care aproximează sistemul cu timp mort sis, prin înlocuirea timpului mort al sistemului sis cu aproximaţia Padé de ordinul nn+ .

Pentru sistemul pur integral cu timp mort, descris prin funcţia de transfer

sssGm

τ−= e1)( , (31)

avem

ωω 1)( =mM , τωω −−= 2π)(mΦ (32)

şi

ωτωω sin)( −

=mU , ωτωω cos)( −

=mV . (33)

TEORIA SISTEMELOR

132

Din ecuaţia π)12()( +−= kΦm ω , obţinem pulsaţiile punctelor de intersecţie a locului

de transfer cu semiaxa reală negativă (fig. 6.12):

τω 2π1)(4 += k

k , ,2,1,0=k (34)

Punctele de intersecţie cu semiaxa reală negativă au partea reală

π1)(42+−= kUkτ , (35)

deci

π2

0τ−=U ,

π52

1τ−=U etc.

Fig. 6.12. Locul de transfer al sistemului pur integral cu timp mort.

6.6. APLICAŢII

♦ C6.1. Se dă sistemul cu ecuaţia

uyyT 11 4τ=+ ,

unde sT 101 = şi s31 =τ . Să se afle: (a) valoarea maximă a amplificării în regim sinusoidal permanent; (b) pulsaţia inferioară de bandă bω ;

(c) amplitudinea A şi defazajul α ce caracterizează răspunsul permanent al sistemului

)2

sin( α+=tAy p la intrarea

2sin3 tu = .

Soluţie. (a) Sistemul are funcţia de transfer


133

110

121

4)(

1

1+

=+

=s

ssT

ssG

τ

şi funcţia de frecvenţă

110

12)(+

=ωωω

jjjG .

Modulul funcţiei de frecvenţă este egal cu raportul dintre modulul numărătorului şi cel al numitorului, adică

1100

1156

1100

12)( 22 +−=

+=

ωω

ωωM .

Deoarece funcţia )(ωM este crescătoare, sistemul este un filtru trece sus, cu amplificarea maximă

56)(limmax ==

∞→ω

ωMM .

(b) Pulsaţia inferioară de bandă este dată de relaţia

2

)( maxMM b =ω .

Rezultă ecuaţia

25

6

1100

122

=+b

b

ω

ω,

din care obţinem 1,0=bω rad/s.

(c) Avem

633)21( =⋅=MA ,

Argumentul funcţiei de frecvenţă este egal cu diferenţa dintre argumentul numărătorului şi cel al numitorului, adică

)10(arctg2

)( ωπω −=Φ .

Prin urmare,

05arctg2

>−=πα .

6.2. APLCAŢII DE AUTOCONTROL

♦ C6.1. Se dă sistemul cu ecuaţia uyyT =+1 , unde sT 101= . Să se afle: (a) pulsaţia de bandă bω ;

TEORIA SISTEMELOR

134

(b) amplitudinea A şi defazajul α al răspunsului )4/sin( α+= tAy p al sistemului în regim sinusoidal permanent, pentru 4/sin2 tu = .

♦ C6.2. Fie conexiunea serie formată din subsistemele:

1Σ : uu +=+ 34 vv , 2Σ : v25 =+ yy .

a) Pentru 3sin2 tu = , să se afle răspunsul permanent )3sin()( α+= tAtpv ;

b) Pentru 2sin tu = , să se afle răspunsul permanent )2sin()( α+= tAtyp .

♦ C6.3. Se dă sistemul

⎩⎨⎧

+−−=

=

uxxx

xx

212

21

322

2, 13xy = .

Să se afle banda de trecere şi amplificarea în regim permanent sinusoidal cu pulsaţia 1=ω rad/sec.

♦ C4.6. Utiliând mediul MATLAB, să se studieze stabilitatea sistemului cu reacţie negativă având

)12(10

e )(2

+=

−

ssksG

s

d , 0>k .

7 CALITATEA REGLĂRII

In aplicaţiile practice, sistemele de reglare automată trebuie să fie stabile şi să

satisfacă unele performanţe de regim staţionar şi dinamic, astfel încât abaterea (eroarea) produsă ca urmare a variaţiei în timp a referinţei, a unor perturbaţii externe sau a unor factori perturbatori interni să aibă o valoare cât mai redusă, atât în timpul regimului tranzitoriu, cât şi la sfârşitul acestuia.

7.1. CALITATEA REGLĂRII IN REGIM STAŢIONAR

In regim staţionar, calitatea reglării unui sistem de reglare stabil este dată de valoarea erorii staţionare )(lim t

tst εε

→∞= , (1)

la referinţă sau perturbaţie tip treaptă unitară sau rampă unitară. Sistemul este cu atât mai precis, cu cât eroarea staţionară (numită uneori offset) are valoarea în modul mai mică. Interpretarea geometrică a erorii staţionare la referinţă şi perturbaţie treaptă este ilustrată în figura 7.1.

Fig. 7.1. Interpretarea erorii staţionare pentru referinţă şi perturbaţie treaptă.

TEORIA SISTEMELOR

136

Lema care urmează evidenţiază relaţiile de calcul al erorii staţionare, atunci când se cunosc funcţiile de transfer ale sistemului automat de reglare, cu schema din figura 7.2.

Lema erorii staţionare. Dacă un sistem de reglare automată strict stabil are funcţia de transfer a sistemului deschis TPERd GGGGG = , atunci

a) ds

ERst GsG

s +==

→→ 11lim)(lim

00ε , pentru )(1)( ttr = ;

b) d

TVEVst G

GGsGss +

−==→→ 1lim)(lim

00ε , pentru )(1)( tt =v ;

c) )

11(lim)(1lim

00 dERst GssG

s ss +==

→→ε , pentru )(1)( tttr ⋅= ;

d) )1(

lim)(1lim00 d

TVEVst Gs

GGsGs ss +

−==→→

ε , pentru )(1)( ttt ⋅=v .

Formulele de calcul al erorii staţionare se obţin imediat pe baza proprietăţii valorii finale a transformării Laplace:

)(lim)(lim0

ssEtstst →∞→

== εε ,

ţinând seama şi de formulele transformatelor Laplace ale funcţiilor treaptă unitară şi rampă unitară:

s

t 1)](1[ =L , 21)](1[s

tt =⋅L .

Fig. 7.2. Sistem de reglare automată.

Observaţii. 1°. Toate relaţiile de calcul al erorii staţionare sunt valabile numai dacă sistemul de reglare este stabil, relaţia

0lim ( )sts

sE s→

ε = fiind validă numai atunci

când transformata Laplace )(sE are toţi polii cu partea reală negativă. Prin urmare, obţinerea unei valori finite a erorii staţionare nu implică faptul că sistemul este stabil.

CALITATEA REGLĂRII

137

2°. Un sistem de reglare automată se consideră a fi precis în raport cu un semnal treaptă sau rampă aplicat la intrare (ca referinţă sau perturbaţie) atunci când eroarea staţionară este zero.

3°. Eroarea staţionară la referinţă sau perturbaţie tip rampă este de infinit ori mai mare decât eroarea staţionară la intrare tip treaptă. Prin urmare, dacă eroarea staţionară este nenulă la intrare treaptă, atunci ea este infinită la intrare rampă. Desigur, la sistemele fizice de reglare nu întâlnim niciodată erori staţionare infinite, deoarece domeniul de liniaritate este în toate cazurile mărginit. Astfel, în cazul exprimării procentuale a mărimilor unui sistem de reglare, valorile acestora sunt cuprinse între 0 şi 100 %.

Teorema preciziei reglării. Fie un sistem de reglare automată strict stabil, cu ambele canale ale părţii fixate (de execuţie şi perturbator) de tip proporţional.

(a) Dacă regulatorul este de tip proporţional, atunci eroarea staţionară este nenulă şi finită la intrare treaptă (cu atât mai mică în modul cu cât factorul de proporţionalitate al regulatorului este mai mare), respectiv infinită la referinţă rampă.

(b) Dacă regulatorul conţine o componentă integrală simplă, atunci eroarea staţionară este nulă la intrare treaptă, dar finită şi nenulă la referinţă rampă.

(c) Dacă regulatorul conţine o componentă integrală dublă, atunci eroarea staţionară este nulă la intrare rampă, deci şi la intrare treaptă.

Teorema preciziei reglării poate fi uşor demonstrată pe baza relaţiilor date de lema erorii staţionare, în care funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd este produsul dintre funcţia de transfer a regulatorului )(sGR şi funcţia de transfer a părţii fixate )(sGF :

)()()( sGsGsG FRd = .

In cazul (a), pentru )(1 tr = , avem

FRFR

st KKsGsGs ++==

→ 11

)()(11lim

0ε ,

unde RK şi FK sunt factorii statici de proporţionalitate ai regulatorului şi părţii

fixate. Prin urmare, eroarea staţionară este nenulă, dar cu atât mai mică cu cât factorul de proporţionalitate RK al regulatorului este mai mare. In majoritatea

aplicaţiile industriale (de reglare a debitului, presiunii, temperaturii etc.), factorul de proporţionalitate al regulatorului nu poate fi însă mărit prea mult, deoarece sistemul

TEORIA SISTEMELOR

138

de reglare tinde să devină oscilant sau chiar instabil. Totuşi, în domeniul electronicii, întâlnim dispozitive analogice cu buclă închisă (cu legătură de reacţie negativă), având deci structura unui sistem de reglare automată, în care “regulatorul” este un amplificator de tensiune cu factorul de amplificare de ordinul sutelor sau miilor. Aceste dispozitive electronice cu buclă închisă funcţionează practic cu eroare staţionară nulă la intrare treaptă.

In cazul (b), considerând un regulator de tip PI cu funcţia de transfer

)11()(sT

KsGi

RR += ,

pentru )(1 tr = , avem

0)10(0

0)()1(

lim)()11(1

1lim00

=++

=++

=++

=→→ FRFiRi

i

Fi

R

st KKsGsTKsTsT

sGsT

K ssε ,

iar pentru )(1)( tttr ⋅= , avem

FR

i

FiRi

i

Fi

R

st KKT

sGsTKsTT

sGsT

Ks ss=

++=

++⋅=

→→ )()1(lim

)()11(1

11lim00

ε .

Prin urmare, eroarea staţionară la referinţă treaptă este nulă, iar la referinţă rampă este finită şi nenulă, cu atât mai mică cu cât factorul de proporţionalitate RK al regulatorului este mai mare şi constanta de timp integrală iT mai mică.

In cazul (c), în care

)(1)( *2 sG

ssG RR = , 0)0(* ≠RG , FF KG =)0( ,

pentru referinţă rampă unitară avem

0)0(*0

0)()(

lim)1(

1lim *200=

+===

++ →→ FKRGsGsGss

GGs FRFRst

ssε .

Prin urmare, eroarea staţionară este nulă la referinţă rampă, deci şi la referinţă treaptă.

Observaţie. Atunci când partea fixată a sistemului de reglare este de tip integral, eroarea staţionară la referinţă sau perturbaţie treaptă este nulă chiar şi în cazul unui regulator de tip proporţional. Pentru a avea eroare staţionară nulă şi la referinţă sau perturbaţie de tip rampă se recomandă totuşi utilizarea unui regulator cu

CALITATEA REGLĂRII

139

componentă integrală simplă, dar având intensitatea redusă, pentru a se evita apariţia regimului oscilant.

7.2. CALITATEA REGLĂRII IN REGIM DINAMIC

In regim dinamic, calitatea reglării sistemelor automate este descrisă cu ajutorul unor indici de performanţă asociaţi de obicei răspunsului sistemului la referinţă sau perturbaţie tip treaptă. Unele aspecte ale calităţii regimului dinamic pot fi descrise şi cu ajutorul caracteristicilor de frecvenţă, care permit aprecierea comportării sistemului la semnale de intrare sinusoidale de frecvenţe diverse.

In continuare sunt prezentaţi principalii indici de calitate asociaţi răspunsului indicial )(ty al sistemului de reglare la o variaţie de tip treaptă a mărimii de referinţă.

Banda de alocare a polilor unui sistem de reglare dat este intervalul ],( α−∞ ,

unde α este valoarea maximă a părţii reale a polilor sistemului de reglare. In cazul unui sistem care are numai poli simpli de forma iii jbap += cu 0<ia , ni ,,2,1= ,

variabila timp t apare în componenta tranzitorie a răspunsului indicial numai prin intermediul exponenţialelor

)sin(cosee tbjtb iitatp ii += .

Presupunând că sistemul este strict stabil şi are toţi polii situaţi în stânga dreptei α=s ( 0<α ), adică α≤ia pentru orice i , cu cât valoarea lui α este mai mică, cu

atât este eliminată mai rapid componenta tranzitorie a răspunsului sistemului, obţinându-se astfel un timp tranzitoriu mai scurt. Condiţia ca toţi polii să aibă partea reală mai mică sau egală cu α este echivalentă cu condiţia ca polinomul

)( α+sP

să fie hurwitzian în raport cu variabila s , unde )(sP este polinomul polilor sistemului de reglare. In proiectare se impune limitarea capătului superior al benzii de alocare a polilor la o valoare negativă dată, printr-o condiţie de forma

impusα≤α ( 0impus <α ).

Minimizarea indicelui de calitate α în raport cu parametrii de acordare ai regulatorului asigură de regulă un răspuns indicial rapid, dar oscilant amortizat.

TEORIA SISTEMELOR

140

Durata regimului tranzitoriu ( trT ) reprezintă intervalul de timp cuprins între

momentul 0=t în care referinţa se modifică sub formă de treaptă şi momentul trTt = în care mărimea reglată )(ty atinge pentru ultima dată una din limitele Δ±sty , fără a mai ieşi din zona cuprinsă între cele două limite, unde sty este

valoarea staţionară (finală) a ieşirii, iar Δ este sty05,0 sau sty02,0 – figura 7.3.

Matematic, durata regimului tranzitoriu este cea mai mică valoare a parametrului trT astfel încât

Δ≤− styty )( trTt ≥∀ . (3)

Reamintim că la sistemele de întârziere de ordinul unu cu constanta de timp 1T , durata regimului tranzitoriu este 13TTtr ≅ pentru sty05,0=Δ , respectiv 14TTtr ≅ pentru sty02,0=Δ . De asemenea, la sistemele de întârziere de ordinul doi cu constantele de timp 1T şi 2T , durata regimului tranzitoriu este

)(3 21 TTTtr +≅ ,

respectiv )(4 21 TTTtr +≅ .

Fig. 7.3. Indicatori de calitate asociaţi răspunsului indicial.

Un sistem de reglare automată este cu atât mai performant sub aspect dinamic cu cât durata regimului tranzitoriu este mai mică. La sistemele de ordinul doi sau mai mare nu există formule analitice pentru exprimarea acestui indicator.

Suprareglajul (σ ) se defineşte ca fiind depăşirea relativă maximă a valorii staţionare a ieşirii, adică

%1001 ⋅σ

=σsty

. (4)

Sistemele cu răspuns indicial crescător au suprareglajul nul. In proiectarea sistemelor de reglare se impune limitarea superioară a suprareglajului σ la o

CALITATEA REGLĂRII

141

valoare cuprinsă între 1 şi 15 %, în funcţie de specificul sistemului şi de performanţele dorite.

Gradul de amortizare (δ ) este caracteristic numai sistemelor de reglare cu răspuns indicial oscilant, fiind o măsură a raportului subunitar al primelor două depăşiri pozitive ale valorii staţionare,

1

31 σσ

δ −= . (5)

In cazul sistemelor cu răspuns oscilant amortizat, gradul de amortizare ia valori cuprinse între 0 si 1. Pentru limitarea duratei regimului tranzitoriu, δ trebuie să aibă o valoare cât mai apropiată de 1.

Indicii integrali, atunci când sunt aleşi convenabil, pot asigura o caracterizare mai completă a calităţii regimului dinamic şi o proiectare optimală a regulatorului, prin minimizarea valorii indicelui integral ales în raport cu structura şi parametrii regulatorului.

La sistemele de reglare cu eroare staţionară nulă la referinţă sau perturbaţie treaptă unitară, printre cei mai utilizaţi indici de tip integral, menţionăm următorii:

∫∞

=01 )( dttεI , (6)

∫∞

=0

22 )( dttεI , (7)

∫∞

+=0

2223 )]()([ dttετtεI , (8)

∫∞

−+=0

224 ]))(()([ dtctcktε stI , (9)

unde ε este eroarea (abaterea), c - mărimea de comandă, stc - valoarea staţionară a

mărimii de comandă, iar τ şi k - constante pozitive de ponderare. Indicele 1I este rar utilizat în analiza şi sinteza analitică a sistemelor, din cauza

operatorului de tip "modul", care ridică probleme în calculul analitic al integralei. Indicele integral pătratic 2I poate fi calculat analitic, iar sinteza regulatorului prin

minimizarea acestui indice asigură performanţe dinamice de bună calitate, fără a garanta însă obţinerea unui suprareglaj suficient de mic şi un consum energetic redus.

Minimizarea indicelui 3I asigură, prin comparaţie cu 2I , o reducere a vitezei de variaţie a mărimii reglate y şi, prin aceasta, o reducere a suprareglajului, în timp ce minimizarea indicelui 4I asigură, tot prin comparaţie cu 2I , o reducere a

consumului de energie în procesul de schimbare a valorii mărimii reglate.

TEORIA SISTEMELOR

142

7.3. APLICAŢII

♦ Aplicaţia 7.1. Elementele unui sistem de reglare automată au următoarele ecuaţii:

R: εkc = , mr −=ε , 0>k , E: cuu 22 =+ ; P: v25,05 −=+ uyy ; T: ymm =+ .

Să se calculeze eroarea staţionară la referinţă şi perturbaţie treaptă unitară, respectiv rampă unitară. Care este valoarea minimă posibil a erorii staţionare la referinţă treaptă ?

Soluţie. Avem

kGR = , 1s2

2+

=EG , 15

1+

=s

GP , 1)s5(4

1+

−=VG ,

1s1+

=TG ,

)1)(15)(12(

2+++

==sss

kGGGGG TPERd ,

kG

sGds

ERsts 21

11

1lim)(lim00 +

=+

==ε→→

, pentru )(1)( ttr = ,

)21(4

11

lim)(lim00 kd

TVEVst G

GGsGss +

−=

+−==ε

→→, pentru )(1)( tt =v .

Deoarece eroarea staţionară la referinţă şi perturbaţie treaptă unitară nu este nulă, la referinţă şi perturbaţie rampă unitară ea va fi ∞ , respectiv ∞− .

Scriind ecuaţia polilor 01 =+ dG sub forma

02181710 23 =++++ ksss ,

din criteriul de stabilitate Hurwitz rezultă că sistemul de reglare este strict stabil atunci când 02 >Δ , unde )1063(2)21(101782 kk −=+−⋅=Δ . Aşadar, valorile erorii staţionare obţinute anterior sunt valabile numai atunci când sistemul de reglare este strict stabil, adică pentru 3,60 << k . Prin urmare, eroarea staţionară minimă posibil la referinţă treaptă unitară este

%35,70735,03,621

1211)(

maxmin =≈

⋅+=

+=ε

kst .

♦ Aplicaţia 7.2. Fie sistemul de reglare automată caracterizat prin

)s411( +=KGR , 0>K , 1s2

4+

=EG , 1s41+=PG , 1s

1+

=TG .

Să se determine K astfel încât

(a) polii sistemului să fie situaţi în stânga dreptei 2,0−=s ; (b) banda de alocare a polilor sistemului să fie cât mai la stânga posibil.

Soluţie. Sistemul de reglare are

CALITATEA REGLĂRII

143

1)1)(sss(2 ++

=KGd ,

şi polinomul polilor

KssssP +++= 23 32)( .

Din criteriul Hurwitz rezultă că sistemul este stabil pentru 230 <<K .

(a) Polii sistemului de reglare sunt situaţi în stânga dreptei 2,0−=s dacă polinomul )(sp are toate rădăcinile cu partea reală negativă, unde

KsssKssssPsp +−++=+−+−+−=−= 096,004,08,12)2,0()2,0(3)2,0(2)2,0()( 2323 .

Conform criteriului Hurwitz, este necesar şi suficient ca toţi coeficienţii ia şi minorul

principal )132,0(230212 Kaaaa −=−=Δ

să fie pozitivi. In concluzie, sistemul de reglare are toţi polii situaţi în stânga dreptei 2,0−=s pentru 132,0096,0 <<K .

In figura 7.4 sunt prezentate răspunsurile indiciale )(ty ale sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru cele două valori extreme ale factorului de proporţionalitate K .

Fig. 7.4. Răspunsuri ale sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară.

(b) Trebuie să găsim cea mai mică valoare a lui α astfel încât polinomul

=+α++α++α+=α+ KssssP )()(3)(2)( 23

Ksss +α+α+α++α+α+α++= 23223 32)166()21(32

TEORIA SISTEMELOR

144

să fie hurwitzian. Coeficienţii 166 21 +α+α=a şi )21(32 α+=a sunt pozitivi pentru

2113,06

33−≅

+−>α , iar coeficientul Ka +α+α+α= 23

0 32 este pozitiv pentru

α−α+α−> 23 32K . Cea mai la stânga alocare a polilor corespunde lui 6

33+−=α şi se

obţine pentru 0962,0183 ≅=K , dat de relaţia α−α+α−= 23 32K .


♦ C7.1. Să se calculeze eroarea staţionară la perturbaţie treaptă unitară a sistemului de reglare automată caracterizat prin:

KGR = , 1s31+=EG ,

19202

2 ++=

ssGP ,

11220

12 ++−

=ss

GV , 1=TG .

Care este valoarea minimă posibil a erorii staţionare ?

♦ C7.2. Să se calculeze eroarea staţionară la referinţă rampă unitară a sistemului de reglare automată caracterizat prin:

)11(2 sTGi

R += , 1s21+=EG ,

191+= sGP , 1=TG .

♦ C 7.3. Pentru sistemul de reglare automată caracterizat prin

)s411( +=KGR , 1s2

1+=EG ,

1s81+=PG , 1s4

1+=TG ,

să se determine K astfel încât polii sistemului să fie situaţi în stânga dreptei 20

1−=s .

♦ C7.4. Procesul P din componenţa sistemului de reglare după perturbaţie din figura de mai jos are modelul

P: v-v4231220 −+=++ uuyyy .

CALITATEA REGLĂRII

145

Să se determine funcţia de transfer )(sGC a compensatorului C pe canalul UV − , astfel

încât compensarea efectului perturbator să fie perfectă.

introducere teoria sistemelor - profs.info.uaic.rofliacob/an2/2016-2017/modelare matematica... ·...

Documents