teoria probabilitatilor

1. ELEMENTE DE TEORIA

PROBABILITĂŢILOR

1.1. Evenimente

Definiţie 1.1.1. Realizarea practică a unui

ansamblu de condiţii bine precizat poartă numele de

experienţă sau probă.

Definiţie 1.1.2. Prin eveniment vom înţelege

orice rezultat al unei experienţe despre care putem spune

că s-a realizat sau că nu s-a realizat, după efectuarea

experimentului considerat. Evenimentele se pot clasifica

în: evenimente sigure; evenimente imposibile,

evenimente aleatoare.

Definiţie 1.1.3. Evenimentul sigur este

evenimentul care se produce în mod obligatoriu la

efectuarea unei probe şi se notează cu E.

Definiţie 1.1.4. Evenimentul imposibil este

evenimentul care în mod obligatoriu nu se produce la

efectuarea unei probe şi se notează cu .

Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică

Definiţie 1.1.5. Evenimentul aleator este

evenimentul care poate sau nu să se realizeze la

efectuarea unei probe şi se notează prin litere mari A, B,

C, …, sau prin litere mari urmate de indici Ai, Bi,….

Definiţie 1.1.6. Evenimentul contrar

evenimentului A se notează Ā şi este evenimentul ce se

realizează numai atunci când nu se realizează

evenimentul A.

Definiţie 1.1.7. Un eveniment se numeşte:

1) elementar dacă se realizează ca rezultat al

unei singure probe; se notează cu e.

2) compus dacă acesta apare cu două sau mai

multe rezultate ale probei considerate.

Definiţie 1.1.8. Mulţimea tuturor evenimentelor

elementare generate de un experiment aleator se numeşte

spaţiul evenimentelor elementare şi se notează cu E. E

poate fi finit sau infinit.

Observaţie 1.1.9. O analogie între evenimente

şi mulţimi permite o scriere şi în general o exprimare mai

comode ale unor idei şi rezultate legate de conceptul de

6

Elemente de teoria probabilităţilor

eveniment. Astfel, vom înţelege evenimentul sigur ca

mulţime a tuturor evenimentelor elementare, adică:

şi orice eveniment compus ca o

submulţime a lui E. De asemenea, putem vorbi despre

mulţimea tuturor părţilor lui E pe care o notăm prin P(E),

astfel că pentru un eveniment compus A putem scrie, în

contextul analogiei dintre evenimente şi mulţimi, că

sau .

Exemplul 1.1.10. Fie un zar, care are cele şase

feţe marcate prin puncte de la 1 la 6. Se aruncă zarul pe o

suprafaţă plană netedă. Dacă notăm cu ei = evenimentul

"apariţia feţei cu i puncte", , atunci spaţiul

evenimentelor elementare ataşat experimentului cu un zar

este dat prin E={e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 }.

Evenimentul sigur E este "apariţia feţei cu un

număr de puncte 6".

Evenimentul imposibil este "apariţia feţei cu 7

puncte".

1.2. Relaţii între evenimente

7


Definiţie 1.2.1. Spunem că evenimentul A

implică evenimentul B şi scriem , dacă realizarea

evenimentului A atrage după sine şi realizarea

evenimentului B.

Observaţie 1.2.2. şi rezultă

- proprietatea de tranzitivitate a relaţiei de implicare.

Dacă A, B, C sunt evenimente aleatoare asociate

unei experienţe, au loc relaţiile:

i)

ii)

iii)

Definiţie 1.2.3. Spunem că evenimentele A şi B

sunt echivalente (egale) dacă avem simultan şi

.

Definiţie 1.2.4. Prin reunirea evenimentelor A şi

B vom înţelege evenimentul notat care se

realizează odată cu realizarea a cel puţin unuia dintre

evenimentele A şi B.

Observaţie 1.2.5. Dacă notăm prin K mulţimea

evenimentelor asociate unui experiment aleator avem:

8


1.

(comutativitatea);

2.

(asociativitatea);

3. Dacă şi (evident

, , şi ).

Definiţie 1.2.6. Prin intersecţia evenimentelor A

şi B vom înţelege evenimentul notat care se

realizează dacă ambele evenimente se realizează.

Observaţie 1.2.7. Au loc relaţiile următoare:

1.

(comutativitatea)

2.

(asociativitatea)

3. Dacă şi atunci

(evident , , şi ).

4. .

Definiţie 1.2.8. Spunem că evenimentele A şi B

sunt incompatibile dacă , adică realizarea lor

simultană este imposibilă, şi spunem că sunt compatibile

9


dacă , adică este posibilă realizarea lor

simultană. Evenimentele A şi B sunt contrare unul altuia

dacă şi , adică realizarea unuia constă

din nerealizarea celuilalt.

Definiţie 1.2.9. Se numeşte diferenţa

evenimentelor A şi B, evenimentul notat A-B care se

realizează atunci când se realizează evenimentul A şi nu

se realizează evenimentul B.

Observaţie 1.2.10. Evident avem

şi .

Au loc relaţiile lui De Morgan: şi

şi respectiv generalizările

; .

Teorema 1.2.11. Dacă evenimentele A, B, C, D

K, atunci sunt adevărate următoarele afirmaţii:

i) A – B = A – (A B)

ii) A – B = (A B) – B

iii) A = (A – B) (A B)

iv) (A – B) (B – A) =

v) A B = A [B - (A B)]

10


vi) A (B – C) = (A B) - (A C)

vii) (A – B) (C – D) = (A C) – (B

D)

Definiţie 1.2.12. Evenimentele A şi B sunt

dependente dacă realizarea unuia depinde de realizarea

celuilalt şi sunt independente dacă realizarea unuia nu

depinde de realizarea celuilalt.

O mulţime de evenimente sunt independente în

totalitatea lor dacă sunt independente câte două, câte trei

etc.

Pentru evenimentele independente în totalitatea

lor vom folosi şi denumirea de evenimente independente.

Dacă sunt evenimentele elementare

corespunzătoare unei experienţe atunci mulţimea

poartă numele de eveniment total (este

echivalentă cu evenimentul sigur).

1.3. Câmp de evenimente

11


Definiţie 1.3.1. O mulţime K de evenimente

formează un câmp de evenimente dacă satisface

axiomele:

i)

ii) şi .

Observaţie 1.3.2.

1. Notăm câmpul de evenimente [E,K].

2. Evident şi .

3. Dacă atunci .

4. Dacă într-o probă mulţimea evenimentelor

este infinită atunci câmpul de evenimente corespunzător

[E,K] are proprietatea:

şi

Definiţie 1.3.3. Într-un câmp de evenimente

[E,K], evenimentele , , formează un sistem

complet de evenimente (sau o partiţie a câmpului) dacă:

i)

ii)

12


Observaţie 1.3.4. Evenimentele elementare ,

corespunzătoare unei probe formează un sistem

complet de evenimente care se mai numeşte sistem

complet elementar.

Propoziţie 1.3.5. Dacă atunci

câmpul de evenimente corespunzător conţine 2n

evenimente.

Demonstraţie:

Pentru un experiment de n rezultate elementare

şi prin urmare pentru un eveniment sigur E compus din n

evenimente elementare, vom avea diverse evenimente

compuse din acestea după cum urmează:

– evenimente compuse din câte zero

evenimente elementare

– evenimente compuse din câte un eveniment

elementar

– evenimente compuse din câte două

evenimente elementare

– - - - - - - - - - - - - - - - -

13


– evenimente compuse din câte k evenimente

elementare

– evenimente compuse din câte n evenimente

elementare

şi prin urmare, numărul total de evenimente ale lui K este

egal cu

1.4. Câmp de probabilitate

Definiţia axiomatică a probabilităţii 1.4.1. Fie

[E,K] un câmp de evenimente. Se numeşte probabilitate

pe mulţimea K o funcţie care satisface

axiomele:

i)

ii) P(E)=1

iii) A, B şi

.

Definiţie 1.4.2. Se numeşte câmp de

probabilitate tripletul {E, K, P} unde E este evenimentul

total, K=P(E) iar P o probabilitate pe K.

14


Observaţie 1.4.3. În cazul în care câmpul de

evenimente [E,K] este infinit (K este infinită)

probabilitatea P definită pe K satisface axiomele:

i)

ii) P(E)=1

iii) dacă

I-o mulţime de indici cel mult

numărabilă.

Propoziţie 1.4.4. Au loc relaţiile:

1.

2.

3. dacă

Demonstraţie:

1) Din relaţiile E = E şi E = aplicând

axioma iii) din definiţia probabilităţii avem P(E) = P(

E) = P() + P(E) şi rezultă P() = 0

2) Din relaţiile şi aplicând

axioma iii) din definiţia probabilităţii avem

15


adică şi

rezultă

3) Demonstrăm prin inducţie matematică

Pentru n = 2 P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) relaţia

este adevărată conform axiomei iii) din definiţia

probabilităţii.

Presupunem relaţia adevărată pentru n – 1

evenimente, adică

şi demonstrăm pentru n

evenimente

dacă s-a folosit ipoteza de inducţie şi s-a ţinut seama că

Definiţia clasică a probabilităţii 1.4.5.

Probabilitatea unui eveniment A este egală cu raportul

dintre numărul evenimentelor egal probabile favorabile

evenimentului A şi numărul total al evenimentelor egal

probabile.

16


Altă formulare: probabilitatea unui eveniment

este raportul între numărul cazurilor favorabile

evenimentului şi numărul cazurilor posibile.

Observaţie 1.4.6.

1) Conform acestei definiţii nu putem stabili

probabilitatea unui eveniment ce aparţine unui câmp

infinit de evenimente.

2) Definiţia clasică se aplică numai atunci când

evenimentele elementare sunt egal posibile.

Exemplul 1.4.7. Considerăm experienţa de

aruncare a unui zar. Evenimentele elementare sunt egal

posibile şi avem 6 cazuri posibile. Notăm cu A

evenimentul "apariţia unei feţe cu număr par de puncte

" numărul cazurilor favorabile evenimentului A este 3.

Deci .

Exemplul 1.4.8. Dintr-o urnă cu 15 bile

numerotate de la 1 la 15 se extrage o bilă la întâmplare.

Se consideră evenimentele:

A = obţinerea unui număr prim;

B = obţinerea unui număr par;

17


C =obţinerea unui număr divizibil prin

3.

Să calculăm probabilităţile acestor evenimente.

Rezolvare:

În această experienţă aleatoare numărul total al

cazurilor posibile este 15.

Pentru A numărul cazurilor favorabile este 6,

adică {2, 3, 5, 7, 11, 13}, deci .

Pentru B numărul cazurilor favorabile este 7,

adică {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, deci .

Pentru C, numărul cazurilor favorabile este 5,

adică { 3, 6, 9, 12, 15}, deci .

1.5. Reguli de calcul cu probabilităţi

P1) Probabilitatea diferenţei: Dacă şi

atunci

P(B-A)=P(B)-P(A)

Demonstraţie:

18


Din relaţiile B = A (B - A) şi A (B - A) =

aplicând axioma iii) avem

P2) Probabilitatea reunirii (formula lui

Poincaré):

Dacă atunci

.

Demonstraţie:

Din relaţiile şi

aplicând axioma iii) avem

dacă s-a folosit P1.

Generalizare:

Dacă A1,A2,…An sunt evenimente compatibile

atunci

19


P3) Probabilităţi condiţionate: Dacă

atunci raportul îl numim probabilitatea lui A

condiţionată de B şi notăm PB(A) sau .

Demonstraţie:

Arătăm că satisface axiomele

probabilităţii:

i) deoarece şi

ii)

iii) Fie A1 şi A2 K şi . Avem

, dacă .

Observaţie 1.5.1.

1) Oricărui câmp de evenimente [E,K] îi putem

ataşa un câmp de probabilitate condiţionat {E, K, PB}.

20


2) - formula de calcul a

intersecţiei a două evenimente dependente. Are loc o

generalizare: dacă A1, A2, …An sunt evenimente

dependente atunci

3) Dacă evenimentele A şi B sunt independente

atunci PB(A)=P(A) şi - formula

de calcul a intersecţiei a două evenimente independente.

Generalizare:

Dacă A1, A2, …An sunt evenimente

independente atunci .

4) Dacă evenimentele A şi B se condiţionează

reciproc şi atunci

.

P4) Probabilitatea reunirii evenimentelor

independente. Dacă A1, A2, …An sunt evenimente

independente, atunci:

21


Demonstraţie:

Folosind relaţiile lui De Morgan

şi faptul că Ai sunt evenimente

independente implică

P5) Inegalitatea lui Boole: A1, A2, …An, sunt

evenimente dependente atunci

Demonstraţie:

Verificăm inegalitatea din enunţ prin inducţie

matematică.

Pentru n = 2 avem

dacă

şi rezultă

relaţia este adevărată.

22


Presupunem inegalitatea adevărată pentru n-1

adică

şi

demonstrăm pentru n.

Avem succesiv

dacă s-a ţinut seama de ipoteza de inducţie.

P6) Formula probabilităţii totale: Dacă A1¸A2, …

An este un sistem complet de evenimente [E, K] şi X

atunci P(X)=

Demonstraţie:

Din ipoteza că Ai, este un sistem complet

de evenimente rezultă că

Deoarece avem că

23


Avem succesiv

P7) Formula lui Bayes: Dacă A1, A2, …An este

un sistem complet de evenimente al câmpului [E, K] şi

atunci:

PX(Ai)= ,

Demonstraţie:

Deoarece şi

avem

, deci

dacă s-a

folosit formula probabilităţii totale.

24


Exemplul 1.5.2. Cele 26 de litere ale

alfabetului, scrise fiecare pe un cartonaş, sunt introduse

într-o urnă. Se cere probabilitatea ca extrăgând la

întâmplare de 5 ori câte un cartonaş şi aşezându-le în

ordinea extragerii să obţinem cuvântul LUCIA.

Rezolvare:

Notăm prin X evenimentul căutat, deci de a

obţine prin extrageri succesive cuvântul LUCIA, de

asemenea notăm prin A1 = evenimentul ca la prima

extragere să obţinem litera L; A2 = evenimentul ca la a

doua extragere să obţinem litera U; A3 = evenimentul ca

la a treia extragere să obţinem litera C; A4 = evenimentul

ca la a patra extragere să obţinem litera I; A5 =

evenimentul ca la a cincea extragere să obţinem litera A.

Atunci evenimentul X are loc dacă avem

.

Rezultă:

Exemplul 1.5.3. Dacă probabilitatea ca un

automobil să plece în cursă într-o dimineaţă friguroasă

25


este de 0,6 şi dispunem de două automobile de acest fel,

care este probabilitatea ca cel puţin unul din automobile

să plece în cursă într-o dimineaţă friguroasă?

Rezolvare:

Dacă notăm prin A1 şi A2 evenimentele ca

primul respectiv, al doilea automobil să plece în cursă şi

prin X evenimentul căutat, deci ca cel puţin unul dintre

automobile să plece în cursă, avem: , iar

),

deoarece evenimentele şi sunt compatibile (cele

două automobile pot să plece în cursă deodată). Cum P(

) = P( ) = 0,6, iar evenimentele şi sunt

independente între ele (plecarea unui automobil nu

depinde de plecarea sau neplecarea celuilalt), deci P(

) = P( = . Se obţine că P(X) = 0,6

+ 0,6 - = 0,84.

Exemplul 1.5.4. Trei secţii ale unei întreprinderi

depăşesc planul zilnic de producţie cu

26


probabilităţile de respectiv 0,7; 0,8 şi 0,6. Să se calculeze

probabilităţile evenimentelor:

A - cel puţin o secţie să depăşească planul

de producţie.

B - toate secţiile să depăşească planul de

producţie.

Rezolvare:

Fie evenimentul ca secţia să depăşească

planul de producţie.

Avem: A = , deci

P(A) = P =

= 1- (1-0,7)(1-0,8)(1-0,6) =

.

B = şi ţinând seama de independenţa

evenimentelor, avem:

P(B) =

.

Exemplul 1.5.5. O presă este considerată că

satisface standardul de fabricaţie dacă trei caracteristici

27


sunt satisfăcute. Dacă aceste caracteristici A, B şi C sunt

satisfăcute cu probabilităţile P(A) = , P(B) = şi

P(C) = , atunci probabilitatea ca să fie satisfăcute toate

trei caracteristicile se poate evalua cu formula lui Boole.

Astfel se poate scrie:

P( adică P(

.

Exemplul 1.5.6. Un sortiment de marfă dintr-o

unitate comercială provine de la trei fabrici diferite în

proporţii, respectiv de la prima fabrică, de la a doua

fabrică şi restul de la fabrica a treia. Produsele de la cele

trei fabrici satisfac standardele de fabricaţie în proporţie

de 90%, 95% şi respectiv 92%. Un client ia la întâmplare

o bucată din sortimentul de marfă respectiv.

a) Care este probabilitatea ca produsul să

satisfacă standardele de fabricaţie?

28


b) Care este probabilitatea ca produsul să fie

defect şi să provină de la prima fabrică?

Rezolvare:

a) Notăm cu şi evenimentele ca

produsul cumpărat să fie de la prima, a doua, respectiv a

treia fabrică. Aceste trei evenimente formează un sistem

complet de evenimente şi au probabilităţile P(

şi . Dacă A este

evenimentul că produsul cumpărat de client satisface

standardele de fabricaţie, atunci P(A P(

şi P( . Folosind formula

probabilităţii totale se obţine:

b) Folosind formula lui Bayes, avem:

P(

29


=

1.6. Scheme clasice de probabilitate

Sub această denumire se pot întâlni câteva

experimente-model care conduc la calculul rapid al

probabilităţilor unor evenimente care se produc sau apar

în condiţii analoage celor ce definesc experimentele-

model. Cu alte cuvinte, pot fi calculate anumite

probabilităţi pe baza unor formule sau scheme de calcul,

indiferent de natura experimentului considerat, fără a mai

recurge de fiecare dată la procedeele greoaie sugerate de

formula dată de definiţia clasică.

Schema lui Bernoulli cu bila întoarsă

(binomială) 1.6.1.

Se aplică în cazul în care se fac repetări

independente ale unui experiment şi la fiecare repetare se

are în vedere apariţia unui eveniment bine precizat. Se

30


cere determinarea probabilităţii ca din n repetări ale

experimentului, evenimentul considerat să apară de k ori.

Modelul probabilistic se realizează printr-o urnă

ce conţine bile de două culori (albe şi negre). Se extrag

bile din urnă una câte una, fiecare bilă se reintroduce în

urnă după constatarea culorii. Se cere determinarea

probabilităţii ca din n bile extrase, k să fie de culoare

albă.

Fie evenimentul ca la extragerea de rang i să

se obţină o bilă albă şi evenimentul ca la extragerea de

rang i să se obţină o bilă neagră. Dacă în urnă se află N

bile, din care a = bile albe şi b = bile negre, avem p =

P( şi P( , evident p+q=1. Notăm cu

evenimentul ca după n extrageri să obţinem de k

ori bilă albă şi apoi de n-k ori bilă neagră, avem:

P(

.

31


Dacă X este evenimentul ca din cele n bile

extrase exact k să fie albe, avem: P(X) =

.

Această probabilitate se mai notează P(n,k) =

, p+q=1.

Observaţie 1.6.2.

1) Dacă se consideră formula binomului lui

Newton:

, deci P(n,k)

este coeficientul lui din dezvoltarea binomială

, de aici şi denumirea de schema binomială.

2)

Schema multinomială 1.6.3.

Este o generalizare a schemei binomiale. Fie o

urnă ce conţine N bile de s culori, şi numărul

bilelor de culoare , i = , iar . Se fac n

32


extrageri succesive cu revenirea bilei în urnă. Fie X

evenimentul ca în cele n extrageri să obţinem bile de

culoare . Se cere P(X) = .

Notăm evenimentul ca la o extragere să obţinem bila

de culoare , atunci:

,

unde

Schema lui Bernoulli cu bila neîntoarsă

(hipergeometrică) 1.6.4.

Se consideră o urnă care conţine bile de două

culori: a bile albe şi b bile negre. Se extrag bile din urnă,

una câte una, fără întoarcerea bilelor extrase înapoi în

urnă. Se cere să se determine probabilitatea ca din n bile

extrase k să fie de culoare albă şi n-k de culoare neagră.

Există posibilităţi de a lua n bile din totalul

de a+b bile câte sunt în urnă la început. Numărul

posibilităţilor de a lua k bile albe din cele a existente la

33


început în urnă este , iar pentru a lua n-k bile negre din

cele b bile negre ce se află în urnă la început este ,

deci P(n,k) = , unde şi .

Generalizare:

În urnă se află bile de r culori, adică bile de

culoarea 1, bile de culoarea 2 etc. bile de culoarea r

şi se extrag n bile fără întoarcerea bilei extrase în urnă.

Se cere probabilitatea P(n; ca din cele n bile

extrase să se obţină bile de culoarea 1, bile de

culoarea 2 etc. Avem:

, cu

Schema lui Poisson 1.6.5.


independente ale unui experiment şi la fiecare repetare se

are în vedere un anumit eveniment, eveniment ce apare,

în general, cu probabilităţi diferite la repetări de rang

34


diferit. Se cere să se determine probabilitatea ca din n

repetări ale experimentului, evenimentul considerat să

apară de k ori.

Modelul probabilistic se obţine cu ajutorul unui

sistem de n urne care conţin bile de două culori, albe şi

negre, în proporţii diferite, în general. Se ia câte o bilă

din fiecare urnă şi se cere probabilitatea P(n,k) de a

obţine k bile albe din cele n extrase.

Notăm cu probabilitatea de a extrage bilă albă

din urna de rang i şi cu probabilitatea de a extrage bilă

neagră din urna de rang i, unde

Avem că P(n,k) este coeficientul lui din dezvoltarea

polinomului: .

Schema lui Pascal (binomială cu exponent

negativ) 1.6.6.


independente ale unui experiment şi la fiecare repetare

evenimentul considerat apare cu aceeaşi probabilitate.

Vrem să determinăm probabilitatea ca până la cea de-a n-

35


a apariţie a evenimentului considerat să se fi realizat

contrarul evenimentului considerat de k ori.

Modelul probabilistic se realizează printr-o urnă

cu bile de două culori, albe şi negre. Se extrag bile din

urnă cu întoarcerea bilei extrase după ce s-a notat

culoarea ei. Vom spune că avem "succes", dacă s-a

obţinut bila albă şi "insucces", dacă s-a obţinut bila

neagră. La fiecare repetare, "succes" apare cu

probabilitatea p şi "insucces" apare cu probabilitatea q=1-

p. Vrem să determinăm probabilitatea P(n,k) ca la

apariţia celui de-al n-lea "succes" să se fi obţinut k

"insuccese". Notăm evenimentul că la apariţia celui

de-al n-lea "succes" s-au obţinut k "insuccese". Atunci

, unde = evenimentul ca în

primele n+k-1 repetări să se obţină n-1 "succese" şi k

"insuccese", iar = evenimentul ca la repetarea de

rang n+k să avem "succes". Avem P(

, dar P( iar P(

se calculează conform schemei binomiale, adică

36


. Rezultă că: P(n,k) =

.

Observaţie 1.6.7.

1) Din proprietatea de complementaritate a

combinărilor, avem: .

2) P(n,k) se obţine ca şi coeficientul lui din

dezvoltarea lui

, deci seria binomială; de aici şi denumirea de schema

binomială cu exponent negativ.

3) Dacă n=1, adică dacă se cere probabilitatea ca

la apariţia primului "succes" să se fi produs k

"insuccese", avem P(1,k) = . În acest caz particular,

se obţine schema geometrică, deoarece P(1,k) este

coeficientul lui

din seria geometrică, adică

37


Exemplul 1.6.8. O unitate hotelieră se consideră

că este normal ocupată dacă cel puţin 80% din

capacitatea sa este utilizată. Dintr-un studiu statistic s-a

obţinut că probabilitatea ca hotelul să fie normal ocupat

într-o zi este p = . Vrem să calculăm probabilitatea ca

unitatea hotelieră să fie normal ocupată în cinci zile din

cele şapte zile ale unei săptămâni.

Rezolvare:

Calculul acestei probabilităţi se face cu schema

lui Bernoulli cu bila întoarsă, unde n=7, k=5; p= şi q =

1-p = . Astfel se obţine că:

P(7,5) =

Exemplul 1.6.9. Piesele produse de o maşină

sunt supuse la două teste independente. Probabilităţile ca

o piesă să treacă aceste teste sunt respectiv şi . Să se

calculeze probabilitatea ca din 5 piese luate la întâmplare,

38


2 să treacă ambele teste, 1 numai primul test, 1 numai al

doilea test, iar una să nu treacă nici un test.

Rezolvare:

Această probabilitate se calculează cu schema

multinomială, unde n=5, s=4, , iar

întrucât testele sunt independente, avem că:

Astfel, putem scrie: P(5; 2,1,1,1) =

.

Exemplul 1.6.10. Într-un lot de 50 de piese, 10

sunt defecte. Se iau la întâmplare 5 piese. Vrem să

calculăm probabilitatea ca trei piese din cele cinci să nu

fie defecte.

Rezolvare:

Această probabilitate se calculează cu schema

lui Bernoulli cu bila neîntoarsă, unde a+b=50; a=40,

b=10, n=5 şi k=3. Avem P(5;3) = .

39


Exemplul 1.6.11. Patru trăgători trag asupra

unei ţinte. Primul atinge ţinta cu probabilitatea , al

doilea cu probabilitatea , al treilea cu probabilitatea ,

iar al patrulea cu probabilitatea . Care este

probabilitatea ca ţinta să fie atinsă exact de 3 ori?

Rezolvare:

Evenimentele = trăgătorul "i" atinge ţinta; i =

1,2,3,4 sunt independente şi:

.

Probabilitatea ca din aceste patru evenimente să se

realizeze trei şi unul nu, este coeficientul lui din

dezvoltarea polinomului: Q(x) =

, adică:

40


Exemplul 1.6.12. Doi jucători sunt angrenaţi

într-un joc format din mai multe partide. Primul jucător

câştigă o partidă cu probabilitatea p = şi o pierde cu

probabilitatea q = 1-p = . Să se calculeze probabilitatea

că:

a) prima partidă câştigată de primul jucător să se

producă după cinci partide pierdute;

b) a treia partidă câştigată de primul jucător să

se producă după un total de şase partide pierdute.

Rezolvare:

a) Se aplică schema geometrică. Prin urmare,

probabilitatea cerută este dată de P(1,5) = p =

.

b) Se utilizează schema lui Pascal, unde n=3,

k=6, p= , q= . Astfel, probabilitatea cerută este:

41


P(3,6) =

Exemplul 1.6.13. Într-o cutie sunt 12 bile

marcate cu 1; 8 sunt marcate cu 3 şi şase sunt marcate cu

5. O persoană extrage la întâmplare din cutie 4 bile. Să se

calculeze probabilitatea ca suma obţinută să fie cel mult

13.

Rezolvare:

Dacă notăm cu A evenimentul ca suma obţinută

de cele patru bile să fie cel mult 13, atunci evenimentul

contrar este evenimentul ca suma să fie cel puţin 14.

Se vede că suma maximă ce se poate obţine este =

20.

De asemenea, avem că

Alte posibilităţi de a obţine suma cel puţin 14

din patru bile nu există. Aşadar, pentru a obţine suma 14,

trebuie luate două bile marcate cu 5 din cele şase

existente, una marcată cu 3 din cele opt şi una marcată cu

1 din cele 12, respectiv una marcată cu 5 şi 3 marcate cu

3.

42


Folosind schema lui Bernoulli cu bila neîntoarsă

cu 3 stări se obţine că:

.

Analog, avem că:

;

.

Avem că:

P( ) = , de unde

P(A) = 1-P( = 1- = .

1.7. Variabile aleatoare discrete

43


În ciuda faptului că după repetarea unui

experiment de un număr mare de ori intervine o anumită

regularitate în privinţa apariţiei unor rezultate ale

acestuia, nu se poate preciza niciodată cu certitudine care

anume dintre rezultate va apare într-o anumită probă. Din

acest motiv cuvântul sau conceptul „aleator” trebuie

înţeles sau gândit în sensul că avem de-a face cu

experimente sau fenomene care sunt guvernate de legi

statistice (atunci când există un anumit grad de

incertitudine privind apariţia unui rezultat sau reapariţia

lui) şi nu de legi deterministe (când ştim cu certitudine ce

rezultat va apare sau nu). Pentru ca astfel de experimente

sau fenomene să fie cunoscute şi prin urmare studiate,

sunt importante şi necesare două lucruri şi anume:

1. rezultatele posibile ale experimentului,

care pot constitui o mulţime finită, infinită

sau numărabilă sau infinită şi nenumărabilă;

2. legea statistică sau probabilităţile cu care

este posibilă apariţia rezultatelor

experimentului considerat.

44


În linii mari şi într-un înţeles mai larg, o mărime

care ia valori la întâmplare sau aleatoriu dintr-o mulţime

oarecare posibilă se numeşte variabilă aleatoare (sau

întâmplătoare). Se poate da şi o definiţie riguroasă.

Definiţie 1.7.1. Fie câmpul de probabilitate {E,

K, P}. Numim variabilă aleatoare de tip discret o

aplicaţie X:ER care verifică condiţiile:

i) are o mulţime cel mult numărabilă de valori;

ii)

Observaţii 1.7.2.

1) Dacă K=P(E) atunci ii) este automat

îndeplinită;

2) Dacă o variabilă ia un număr finit de valori

vom spune că este variabilă aleatoare simplă.

Definiţie 1.7.3. Numim distribuţia sau repartiţia

variabilei aleatoare X de tip discret, tabloul

unde xi, sunt valorile pe care le ia

X iar pi este probabilitatea cu care X ia valoarea x i adică

pi = P(X = xi ), mulţimea I putând fi finită sau cel

mult numărabilă.

45


Observaţii 1.7.4.

1) Evenimentele (X = xi ) formează un sistem

complet de evenimente şi .

2) Se obişnuieşte ca valorile variabilei să se

noteze în ordine crescătoare adică

3) Variabila aleatoare pentru care mulţimea

valorilor este un interval finit sau infinit pe axa

numerelor reale este variabilă aleatoare continuă.

4) Forma cea mai generală a unei variabile

aleatoare aparţinând unei clase de variabile aleatoare de

tip discret se numeşte lege de probabilitate discretă.

Definiţie 1.7.5. Spunem că variabilele aleatoare

X şi Y care au respectiv distribuţiile şi

sunt independente dacă

P(X = xi , Y = yj) = P(X = xi ) P(Y = yj),

Definiţie 1.7.6. Fie variabilele aleatoare X, Y

care au respectiv distribuţiile şi

46


atunci variabila aleatoare sumă X+Y,

produs şi cât (dacă ) vor avea

distribuţiile

, unde

pij = P(X = xi, Y = yj) (i,j)

Definiţie 1.7.7. Se numeşte

a) produs al variabilei aleatoare X cu

constanta a variabila aleatoare

b) putere a variabilei aleatoare X de

exponent k, k Z , variabila aleatoare

cu condiţia ca operaţiile ,

, să aibă sens.

Observaţie 1.7.8. Au loc relaţiile

şi

47


Dacă variabilele X,Y sunt independente atunci

Definiţie 1.7.9. Numim funcţie de repartiţie

ataşată variabilei aleatoare X funcţia F:RR, definită

prin F(x)=P(X<x), adică F(x)= .

Proprietăţi ale funcţiei de repartiţie 1.7.10.

1.

2. avem:

Demonstraţie:

Avem succesiv

dacă s-a ţinut seama de relaţia şi s-a

folosit probabilitatea diferenţei.

48


dacă s-a folosit relaţia demonstrată anterior.

3.

Demonstraţie:

4.

Demonstraţie:

5. (F este continuă la

stânga)

Exemplul 1.7.11. Se consideră variabila

aleatoare discretă . Care este

probabilitatea ca X să ia o valoare mai mică sau egală cu

3?

49


Rezolvare:

Pentru ca X să fie o variabilă aleatoare trebuie

ca şi . Se obţine soluţia

acceptabilă Se calculează probabilitatea cerută

prin intermediul evenimentului contrar şi anume

sau

.

Exemplul 1.7.12. Se dau variabilele aleatoare

independente:

; .

a) Să se scrie distribuţia variabilei 2XY.

b) Pentru ce valori ale lui c avem:

Rezolvare:

50


Pentru ca X şi Y să fie variabile aleatoare se

impun condiţiile:

şi apoi :

, rezultă valorile acceptabile

şi q = 0. Deci variabilele aleatoare au repartiţiile:

; . Avem :

a)

b) , deci P(X + Y

= c)> corespunde situaţiei P(X + Y = 0) = adică c

= 0.

Exemplul 1.7.13. Variabila aleatoare X cu

distribuţia următoare:

51


, are funcţia de repartiţie:

Graficul funcţiei de repartiţie este:

1.8. Vector aleator bidimensional de tip

discret

Definiţie 1.8.1. Fie câmpul de probabilitate

{E,K,P}. Spunem că U=(X,Y) este vector aleator

52

F(x)

x211/2

1

2/3

1/6

YX


bidimensional de tip discret dacă aplicaţia U:E

verifică condiţiile:

i) are o mulţime cel mult numărabilă de valori;

ii) .

Definiţie 1.8.2. Numim distribuţia sau repartiţia

vectorului aleator (X,Y) de tip discret tabloul:

unde

(

sunt

valori

le pe

care

le ia

vecto

rul

aleat

or

53

y1……………yj……………

p11……………p1j……………

pi1……………pij……………

………………………………

x1

xi

….

……

……

...

…..

.

…..

.

……

…

……

…


(X,Y)

, iar

).

Definiţie 1.8.3. Numim funcţie de repartiţie

ataşată vectorului aleator bidimensional funcţia F: ,

definită prin:

F(x,y) = P(X<x, Y<y), .

Proprietăţile funcţiei de repartiţie a unui

vector aleator bidimensional de tip discret 1.8.4.

1. .

2. dacă a<b şi c<d, atunci

.

3. F(x,y) este nedescrescătoare în raport cu

fiecare argument.

54


4.

.

5. F(x,y) este continuă la stânga în raport cu

fiecare argument.

Observaţie 1.8.5. Dacă (X,Y) are funcţia de

repartiţie F, iar variabilele X şi Y au funcţiile de repartiţie

şi respectiv , atunci:

şi .

Exemplul 1.8.6. Se consideră vectorul aleator

discret (X,Y) cu repartiţia dată în tabelul:

55

YX 2 6

0,20 0,10

0,05 0,15

0,45 0,05

1

3

4


a) să se determine repartiţia variabilelor X,Y,

X+Y;

b) să se stabilească dacă X şi Y sunt

independente sau nu;

c) să se calculeze .

Rezolvare:

a) Variabila X are repartiţia:

X: , unde

, adică

X: .

Analog, variabila Y are repartiţia Y: ,

unde

56


, adică Y:

.

Avem: X+Y:

.

b) Pentru verificarea independenţei variabilelor

X,Y, efectuăm un control, de exemplu:

P(X=1) P(Y=2) = , iar

P[(X=1) (Y=2)] = . Cum 0,21 0,20, deducem

că X şi Y sunt dependente.

c) F(

=P(X=1,Y=2) +P(X=3,Y=2) = 0,20+0,05 = 0,25.

1.9. Variabile aleatoare de tip continuu

Definiţie 1.9.1. Fie variabila aleatoare X având

funcţia de repartiţie , vom spune că X este variabilă

57


aleatoare de tip continuu dacă funcţia de repartiţie se

poate reprezenta sub forma:

F(x) = .

Funcţia se numeşte densitate de

probabilitate a variabilei aleatoare X.

Propoziţie 1.9.2. Au loc afirmaţiile:

1) .

2) F'(x) = a.p.t. pe R.

3) P(a X<b) = .

4) .

Observaţie 1.9.3.

1. Pentru o variabilă de tip continuu P(X=a)= 0,

deci P(a X<b) = P(a<X<b) = P(a = P(a<X<b) =

.

2.

, deci când este mic avem P(x .

58


Definiţie 1.9.4. Fie vectorul aleator (X,Y) având

funcţia de repartiţie F, spunem că (X,Y) este un vector

aleator de tip continuu, dacă funcţia de repartiţie F se

poate pune sub forma:

F(x,y) = ,

iar funcţia se numeşte densitate de probabilitate

a vectorului aleator (X,Y).

Observaţie 1.9.5. Dacă este densitate de

probabilitate pentru (X,Y), iar şi densităţi de

probabilitate pentru X, respectiv Y au loc:

1) .

2) a.p.t. pe .

3) P((X,Y) .

4) .

5) ;

.

59


Definiţie 1.9.6. Spunem că variabilele aleatoare

de tip continuu X şi Y sunt independente dacă F(x,y) =

, .

Aplicaţie 1.9.7. Funcţia

este densitate de

probabilitate dacă şi

ceea ce implică ecuaţia în k, ,

verificată pentru .

În acest caz funcţia de repartiţie va fi

şi deducem de asemenea că funcţiile de repartiţie

marginale sunt, respectiv,

60


;

1.10. Exemple de legi de probabilitate de

tip continuu

Teorema 1.10.1. X şi Y sunt independente

Demonstraţie:

Presupunem că variabilele aleatoare X şi Y sunt

independente, atunci F(x, y) = FX(x) FY(y). Derivăm

această relaţie în raport cu x şi respectiv y, rezultă că

Afirmaţia inversă rezultă din:

61


Obţinem că X, Y sunt variabile aleatoare independente.

Teorema 1.10.2. Fie vectorul aleator (X, Y)

cu densitatea de probabilitate şi densitatea de

probabilitate a variabilei aleatoare

Z=X+Y, atunci , .

Demonstraţie:

Scriem funcţia de rapartiţie FZ a variabilei

aleatoare Z.

Domeniul de integrare pe care se ia integrala

dublă este . Avem

care prin derivare conduce

la:

Observaţie 1.10.3.

1) Dacă X,Y sunt independente, atunci:

.

62


2) Dacă U= , atunci

.

3) Dacă , atunci

.

Teorema 1.10.4. Fie variabila aleatoare X cu

densitatea de probabilitate şi funcţia monotonă

g:R→R. Atunci variabila aleatoare Y=g(X) are densitatea

de probabilitate dată prin:

.

Demonstraţie:

Presupunem că g este strict crescătoare şi avem:

Prin derivare se obţine că:

Deoarece g este crescătoare, avem g/>0, deci

63



aleatoare X de tip continuu, care are densitatea de

probabilitate unde . Să se

determine:

a) parametrul real a;

b) funcţia de repartiţie a variabilei

aleatoare X;

c) probabilităţile

Rezolvare:

a) Deoarece funcţia este o densitate de

probabilitate, rezultă că

.

Avem:

Rezultă: 2a=1, de unde .

b) folosind densitatea de probabilitate avem:

64


Dacă

.

Dacă x>0, atunci F(x) =

.

c) Folosind funcţia de repartiţie avem:

.

A doua probabilitate este o probabilitate

condiţionată, deci

unde

65


Se obţine: .

Exemplul 1.10.6. Se consideră funcţia

.

a) să se arate că f(x) nu este o densitate de

probabilitate.

b) să se modifice f(x) astfel încât noua funcţie

să fie o densitate de probabilitate.

c) să se calculeze probabilitatea şi

Rezolvare:

a) Analizând cele două condiţii ale unei densităţi

de probabilitate se obţine:

1)

2) , deci f(x)

nu este o densitate de probabilitate.

66


b) Dacă modificăm funcţia f(x), mai precis,

definim , atunci

obţinem care este o densitate de probabilitate.

c) Pentru a calcula probabilităţile cerute se poate

proceda în două moduri:

1) folosind funcţia de repartiţie F(x). Această

funcţie este:

De aici

2) folosind densitatea de probabilitate adică

67


1.11. Caracteristici numerice asociate

variabilelor aleatoare

Fie un câmp de probabilitate şi

o variabilă aleatoare. În afara informaţiilor

furnizate de funcţia de repartiţie sau chiar de

repartiţia probabilistă (discretă sau continuă

ale unei variabile aleatoare X, de un real folos teoretic şi

practic sunt şi informaţiile pe care le conţin anumite

caracteristici numerice (valoarea medie, dispersia,

abaterea medie pătratică sau diverse alte momente) ale lui

X despre această variabilă aleatoare.

Valoarea medie (speranţa matematică)

Definiţie 1.11.1.Fie variabila aleatoare X cu

distribuţia . Se numeşte valoare medie,

caracteristica numerică .

Observaţii 1.11.2.

1) Dacă I este finită, valoarea medie există.

2) Dacă I este infinit numărabilă, M(X) există

când seria care o defineşte este absolut convergentă.

68


Definiţie 1.11.3. Fie variabila aleatoare X de tip

continuu , . Se numeşte valoarea

medie a variabilei X, caracteristica numerică

. Valoarea medie există atunci

când integrala improprie care o defineşte este

convergentă.

Proprietăţile valorii medii 1.11.4. Au loc

afirmaţiile :

1)

2) M(X + Y) = M(X) + M(Y)

3) X,Y independente M(X Y) = M(X) M(Y)

Demonstraţie:

a) Fie variabilele aleatoare de tip discret X, Y

având repartiţiile

1. Avem

69


dacă variabila are repartiţia şi

.

2. Variabila X+Y are repartiţia

,

Rezultă

dacă s-au folosit relaţiile şi

3. Variabila XY are repartiţia

dacă X şi Y sunt independente.

Avem

70


b) Presupunem ca X şi Y sunt variabile aleatoare

de tip continuu.

1. Dacă notăm prin Y = aX + b, a 0, atunci

conform teoremei 3.10.4. în cazul particular Y = aX + b,

a 0, se obţine că

, pentru orice x R.

Avem:

de unde prin schimbarea de variabilă u = (x – b)/a, dx =

adu, obţinem

2. Dacă notăm prin Z = X + Y, variabila care are

densitatea de probabilitate , iar densitatea de

probabilitate a vectorului (X, Y) o notăm prin , atunci:

Schimbăm ordinea de integrare, apoi schimbarea

de variabilă

71


x – u = t, dx = dt, şi obţinem

3. Dacă notăm prin V =X Y, care are densitatea

de probabilitate , iar densitatea de probabilitate a

vectorului (X, Y) o notam prin , atunci

Schimbăm ordinea de integrare, apoi facem

schimbarea de variabilă x / u = t, dx = udt, şi

obţinem:

Dispersia

Definiţie 1.11.5. Se numeşte dispersia (varianţa)

variabilei aleatoare X, caracteristica numerică

iar se

numeşte abatere medie pătratică.

72


În mod explicit, dispersia are expresia

, , dacă X este o

variabilă aleatoare discretă sau

, dacă X este o variabilă

aleatoare continuă.

Dispersia este un indicator numeric al gradului

de împrăştiere (sau de dispersare) a valorilor unei

variabile aleatoare în jurul valorii medii a acesteia.

Proprietăţile dispersiei 1.11.6.

a)

b)

c) X,Y independente

Demonstraţie:

a)

dacă s-a făcut un calcul formal.

73


b) Folosind proprietăţile valorii medii şi definiţia

dispersiei avem:

c) Dacă X, Y independente avem

. Calculăm

dacă s-a ţinut seama că

Aplicaţia 1.11.7. Dacă X este o variabilă

aleatoare discretă

atunci deducem că:

74


Aplicaţia 1.11.8. Dacă X este variabilă aleatoare

continuă

,

atunci deducem că:

,

Momente

Definiţie 1.11.9. Se numeşte moment iniţial

(obişnuit) de ordin k al variabilei aleatoare X,

caracteristica numerică

75


Observaţie 1.11.10. Pentru k=1 avem

iar pentru k=2,

Dacă X este variabilă de tip discret având

repartiţia , atunci

Dacă X este variabilă de tip continuu

atunci

Definiţie 1.11.11. Se numeşte moment centrat

de ordin k al variabilei aleatoare X, caracteristica

numerică , adică

Observaţie 1.11.12. Pentru k=1 avem , iar

pentru k=2,

76


Teorema1.11.13. Între momentele centrate şi

momentele iniţiale există următoarea relaţie:

.

Demonstraţie:

Avem

Observaţie 1.11.14. În statistica matematică se

utilizează de regulă primele patru momente centrate:

.

Definiţie 1.11.15. Se numeşte momentul iniţial

de ordinul (r,s) al vectorului aleator (X,Y) caracteristica

numerică , adică

77


Definiţie 1.11.16. Se numeşte moment centrat

de ordin (r,s) al vectorului aleator (X,Y), caracteristica

numerică

, adică

Observaţie 1.11.17.

Corelaţie sau covarianţă

Definiţie 1.11.18. Se numeşte corelaţia sau

covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y, caracteristica

numerică


1)

78


Dacă X, Y independente , dar nu

şi reciproc.

,

oricare ar fi variabilele aleatoare Xi şi Yj şi oricare ar fi

constantele reale ai şi bj, ,

, oricare ar fi X şi Y.

Definiţie 1.11.20. Se numeşte coeficient de

corelaţie relativ la variabilele aleatoare X şi Y

caracteristica numerică

r(X, Y)=


1) X, Y independente reciproc nu

este adevărat;

2) Spunem că X,Y sunt necorelate dacă r(X,Y)

=0

Proprietăţi:

a)

79


b)

c)

Observaţie 1.11.21. În practică se mai spune că:

1) X şi Y sunt pozitiv perfect corelate dacă

;

2) X şi Y sunt negativ perfect corelate dacă

;

3) X şi Y sunt puternic pozitiv (sau negativ)

corelate dacă

(sau

);

4) X şi Y sunt slab pozitiv (sau negativ) corelate

dacă (sau );

Marginile valorice decizionale fiind alese convenţional.

Aplicaţie 1.11.22. Fie (X,Y) un vector aleator

discret a cărui repartiţie probabilistă este dată de tabelul

de mai jos.

Calculaţi coeficientul de corelaţie r(X,Y).

Y

X-1 0 1 2 pi

80


-1 1/6 1/12 1/12 1/24 9/24

0 1/24 1/6 1/12 1/24 8/24

1 1/24 1/24 1/6 1/24 7/24

qj 6/24 7/24 8/24 3/24 1

Rezolvare:

Pe baza formulelor corespunzătoare, deducem

imediat:

81


Observaţie 1.11.23. Coeficientul de corelaţie

reprezintă prima măsură a corelaţiei sau

gradului de dependenţă în sens clasic. Introdusă de către

statisticianul englez K. Pearson în anul 1901 ca rod al

colaborării acestuia cu antropologul englez F. Galton

(care a avut prima idee de măsurare a corelaţiei sub

denumirea de variaţie legată), această măsură a gradului

de dependenţă a fost criticată încă de la apariţiei ei pentru

diverse motive, printre care şi aceea că:

1) este dependentă de valorile

vectorului aleator şi ca urmare nu este

82


aplicabilă pentru cazul variabilelor aleatoare

necantitative;

2) nu este precisă în cazul

independenţei şi al necorelării deoarece dacă

nu există un răspuns categoric (în

sensul independenţei sau necorelării);

3) nu poate fi extinsă la mai mult de

două variabile aleatoare sau chiar la doi sau

mai mulţi vectori aleatori, fapte cerute de

practică.

Dacă la prima obiecţie a dat chiar K. Pearson un

răspuns, pentru celelalte două obiecţii nu s-au dat

răspunsuri clare decât după apariţia în 1948 a teoriei

matematice a informaţiei, rezultate remarcabile în acest

sens obţinând şcoala românească de matematică sub

conducerea lui Silviu Guiaşu introducând măsurile

entropice ale dependenţei dintre variabile aleatoare şi

vectori aleatori (în anii 1974-1978) cu o largă

aplicabilitate teoretică şi practică.

83


În ciuda tuturor criticilor ce i s-au adus,

coeficientul de corelaţie clasic (sau coeficientul Galton-

Pearson) este cel mai frecvent utilizat în practică şi,

pentru că este cel mai simplu în utilizare.

Definiţie 1.11.24. Fiind dat vectorul aleator

, se numeşte valoare medie

a acestuia şi se notează cu , dacă există, vectorul n-

dimensional ale cărui componente sunt valorile medii ale

componentelor lui Z adică:

.

Se numeşte matrice de covarianţă (sau de

corelaţie) a vectorului Z şi se notează prin , dacă

există, matricea


a) Pentru cazul unui vector aleator

bidimensional, a nu se face confuzie între

media produsului componentelor X şi Y, care

84


este şi media vectorului care

este .

b) Uneori matricea de corelaţie

se mai notează şi cu .

c) Desfăşurat matricea de covarianţă

are forma:

şi ca urmare a proprietăţilor corelaţiei, constatăm că

matricea este simetrică.

d) Pornind de la definiţia coeficientului de

corelaţie şi de la matricea de corelaţie, dacă

toate componentele lui Z sunt neconstante,

atunci putem introduce matricea

coeficienţilor de corelaţie a cărei formă

dezvoltată este:

85


Ambele forme ale matricei de corelaţie a

vectorului aleatoriu Z reprezintă de fapt tabele ale

măsurării gradului de dependenţă dintre componentele lui

Z, considerate două câte două.

Aplicaţie 1.11.26. Fie variabilele aleatoare:

; ;

a căror repartiţie comună notată , , este:

; ; ; ;

; ; ; .

Să se determine repartiţiile bidimensionale şi

unidimensionale ale vectorului aleator tridimensional

şi matricele de corelaţie şi .

Rezolvare:

Avem imediat repartiţiile bidimensionale

86


; pentru

;

pentru

;

pentru

şi ca urmare putem scrie următoarele tabele de repartiţie

bidimensionale:

X2

X1

1 3 pi

X3

X1

2 4 pi

X3

X2

2 4 qi

-1 1/8 1/8 ¼ -1 3/32 5/32 1/4 1 3/16 5/16 1/2

1 3/8 3/8 ¾ 1 3/16 9/16 3/4 3 3/32 13/32 1/2

qj 1/2 1/2 1 rk 9/32 23/32 1 rk 9/32 21/32 1

87


din care se observă şi repartiţiile unidimensionale

(repartiţiile variabilelor aleatoare considerate X1, X2, X3).

Din aceste tabele deducem prin calcul imediat:

; ;

; ;

; ;

; ; ;

; ; ;

; ;

;

şi ca urmare putem scrie matricele de corelaţie:

88


şi

constatând că X1 şi X2 sunt independente în timp ce între

X3 şi X1 sau X3 şi X2 există o anumită dependenţă chiar

dacă nu este puternică.

Alte caracteristici numerice

Definiţie 1.11.27. Se numeşte mediana unei

variabile aleatoare X, caracteristica numerică Me care

verifică relaţia:


1. Dacă F este funcţia de repartiţie şi este

continuă atunci se determină din ecuaţia F(Me) .

2. Dacă atunci se ia

89


Definiţie 1.11.29. Se numeşte valoare modală

sau modul a variabilei aleatoare X orice punct de maxim

local al distribuţiei lui X (în cazul discret) respectiv al

densităţii de probabilitate (în cazul continuu).

Observaţie 1.11.30. Dacă există un singur punct

de maxim local spunem că legea lui X este unimodală

altfel o numim plurimodală.

Definiţie 1.11.31. Se numeşte asimetria

(coeficientul lui Fischer) variabilei aleatoare X

caracteristica numerică definită prin .

Definiţie 1.11.32. Se numeşte exces al variabilei

aleatoare X, caracteristica numerică definită prin

.


1) Dacă e<0 atunci graficul distribuţiei are un

aspect turtit şi legea se numeşte platicurtică.

2) Dacă e>0 atunci graficul distribuţiei are un

aspect ascuţit şi legea va fi numită leptocurtică.

90


3) Dacă e = 0 atunci repartiţiile sunt

mezocurtice.

Definiţia 1.11.34. Dacă X este o variabilă

aleatoare cu funcţia de repartiţie , se numesc

cuartile (în număr de trei) ale lui X (sau ale repartiţiei lui

X) numerele , şi cu proprietăţile:

Observăm că .


aleatoare .

Să se calculeze: M(X), M(3X), M(4X-2),

.

Rezolvare:

91


;

;

;

Exemplul 1.11.36. Să se calculeze valoarea

medie şi dispersia variabilei aleatoare care are densitatea

de probabilitate

Rezolvare:

Observăm că:

Ţinând seama de definiţie avem:

92


Exemplul 1.11.37. Fie vectorul aleator (X,Y) cu

densitatea de probabilitate

Se cere:

a) să se determine constanta k;

b) să se determine densităţile marginale;

c) să se cerceteze dacă X şi Y sunt independente

sau nu;

d) să se calculeze coeficientul de corelaţie între

X şi Y.

Rezolvare:

a) din condiţiile

.

Deci

b)

93


c) X şi Y nu sunt independente deoarece:

d)

Deci

94


.

Se obţine:

Exemplul 1.11.38. Se ştie că, dacă două

variabile aleatoare X şi Y sunt independente, atunci

coeficientul lor de corelaţie este nul. Reciproca nu este

adevărată. Iată un vector aleator discret (X,Y), în care X

şi Y sunt dependente şi totuşi .

95

Y -1 1 2X

0

1

2


0

Rezolvare:

Calculăm repartiţiile marginale:

;

Avem:

, M(XY)=1

96


Exemplul 1.11.39. Fie X o variabilă aleatoare

care are densitatea de probabilitate definită prin:

.

a) Să se determine modulul şi mediana

b) Să se calculeze momentul de ordin k, ..

Rezolvare:

a) Conform definiţiei, M0 este valoarea pentru

care adică adică există o

infinitate de valori modale situate pe segmentul (0,2). Me

se determină din ecuaţia .

Cum

.

b) .

1.12. Funcţia caracteristică. Funcţia

generatoare de momente

Definiţie 1.12.1. Fie câmpul de probabilitate

şi variabilele aleatoare X şi Y definite pe E cu

97


valori reale. Se numeşte variabilă aleatoare complexă

, , iar valoarea medie a acesteia notată

cu este dată de relaţia dacă

mediile şi există.

Observaţie 1.12.2. Dacă X este o variabilă

aleatoare expresia , defineşte

de asemenea o variabilă aleatoare şi

Definiţie 1.12.3. Fie X o variabilă aleatoare

reală. Se numeşte funcţia caracteristică a lui X o funcţie

dată de relaţia , care

explicit poate fi scrisă sub forma

Propoziţia 1.12.4. Funcţia caracteristică are

următoarele proprietăţi:

1) şi

2) Dacă Xj, sunt variabile aleatoare

independente în totalitate cu funcţiile caracteristice

98


, atunci funcţia caracteristică a

variabilei aleatoare sumă este

3) Dacă , a şi b R, atunci

4) Dacă X admite momente iniţiale de orice

ordine atunci funcţia caracteristică admite derivate de

orice ordin şi are loc relaţia

Demonstraţie:

1) şi

dacă X este

de tip discret şi

dacă X este de tip continuu.

2) Având în vedere proprietăţile valorii medii,

putem scrie că

99


3) Tot ca urmare a proprietăţilor mediei avem:

4) Observăm că

şi rezultă

Observaţie 1.12.5. Folosirea relaţiei de la

punctul 4) este recomandabilă doar atunci când

calcularea momentelor este mai comodă prin această

relaţie decât pornind direct de la definiţia acestora.

Aplicaţie 1.12.6.

1) Dacă atunci

2) Dacă , atunci

100


3) Dacă , atunci

Definiţie 1.12.7. Fie X o variabilă aleatoare

reală definită pe câmpul de probabilitate . Se

numeşte funcţie generatoare de momente, dacă există,

funcţia , dată de relaţia

care explicit poate fi scrisă sub forma

cu condiţia existenţei expresiilor corespunzătoare.

Propoziţia 1.12.8. Funcţia generatoare de

momente are următoarele proprietăţi:

1)

2) Dacă Xj, , sunt independente în

totalitate şi au funcţiile generatoare , ,

atunci funcţia generatoare a variabilei aleatoare

este

101


3) Dacă , a şi b R, atunci

4) Dacă X admite momente iniţiale de orice

ordin, atunci funcţia generatoare admite derivate de orice

ordin în punctul zero şi ,

Aplicaţie 1.12.9.

1) Dacă atunci

2) Dacă , , atunci

, dacă

iar în caz contrar nu există.

3) Dacă , , ,

atunci

102


;

;

1.13. Repartiţii clasice

În teoria probabilităţilor şi în aplicaţiile acesteia

se întâlnesc clase de variabile aleatoare de tip discret.

Forma cea mai generală a unei variabile aleatoare

aparţinând unei clase se numeşte lege de probabilitate de

tip discret.

Repartiţii clasice discrete

Repartiţia binomială (Bernoulli) 1.13.1.

Spunem că variabila aleatoare discretă X

urmează legea binomială dacă repartiţia asociată ei are

forma

, unde , iar

103


Într-adevăr sunt îndeplinite condiţiile din definiţia unei

funcţii de probabilitate, adică avem:

1)

2)

Observaţie 1.13.2. Repartiţia binomială este

generată de schema urnei cu două stări şi cu bila revenită

(schema urnei lui Bernoulli).

Teorema 1.13.3. Dacă X este o variabilă

aleatoare discretă ce urmează legea binomială, atunci:

M(X) = np şi D2(X) = npq.

Demonstraţie:

Din definiţia valorii medii avem:

Considerăm relaţia:

pe care o derivăm în raport cu t şi obţinem:

104


iar pentru

t=1

avem

Pentru a calcula dispersia folosim formula de calcul:

Derivăm în raport cu t relaţia (*)şi obţinem

iar pentru t = 1, rezultă n (n - 1) p2 = M(X2) - M(X),

adică M(X2) = n2p2 - np2 + np = n2p2 + npq, iar dispersia

este D2(X) = n2p2 + npq - (np)2 = npq.

Observaţia 1.13.4. Funcţia caracteristică a unei

variabile aleatoare discrete X ce urmează legea binomială

este: .Într-adevăr din calcul avem că:

Observaţia 1.13.5. Calculul momentelor

105


se poate face prin intermediul

funcţiei caracteristice astfel:

Repartiţia hipergeometrică 1.13.6.

Spunem că variabila aleatoare X de tip discret

urmează urmează

legea hipergeometrică, dacă are distribuţia

Verificarea condiţiilor unei funcţii de

probabilitate este imediată şi avem:

1)P(n,k)=

2)

dacă s-a avut în vedere relaţia lui Vandermonde şi anume

.

106



aleatoare discretă ce urmează legea hipergeometrică

atunci:

unde N=a+b , p= .

Demonstraţie:

Conform relaţiei de definiţie a valorii medii

avem

M(X)=

=

dacă s-a avut în vedere relaţia lui Vandermonde şi relaţia

Pentru a calcula dispersia, folosim formula de

calcul unde

107


=

dar k(k-1) iar k

deci M

=

dacă s-a avut în vedere relaţia lui Vandermonde. Se

obţine

D

=

Repartiţia Poisson 1.13.8.


urmează legea lui Poisson, dacă are distribuţia

108


X:

Funcţia satisface condiţiile unei funcţii de

probabilitate şi anume:

1)P

2)

dacă s-a avut în vedere dezvoltarea , x R

Teorema 1.13.9. Valoarea medie şi dispersia

variabilei aleatoare X ce urmează legea lui Poisson sunt

egale cu ,adică M(X)=D2(X)= .

Demonsraţie:

Avem

M(X)

Calculăm

109


M(X 2)=

=

=

Obţinem

Observaţia 1.13.10. Funcţia caracteristică

asociată unei variabile aleatoare X ce urmează legea lui

Poisson este

Într-adevăr avem

110


Teorema 1.13.11. Dacă variabila aleatoare X

urmează legea binomială, adică are distribuţia

X:

şi dacă p=p ,astfel încăt np atunci pentru n ,X

urmează legea lui Poisson, adică

=

Observaţia 1.13.12. Legea lui Poisson mai este

cunoscută şi sub numele de legea evenimentelor rare,

deoarece se întâlneşte în cazul evenimentelor cu

probabilitate de apariţie mică .

Repartiţia geometrică 1.13.13.

Spunem că variabilă aleatoare X urmează legea geometrică, dacă are distribuţia:

111


X: k=1,2,3,… unde p(k)=pq

,k=1,2,3,…

Probabilitatea P(k) satisface condiţiile:

1) P(k)=pq , k=1,2,…

2)

unde am avut în vedere seria geometrică convergentă


urmează legea geometrică atunci M(X)= şi D2(X)=

.

Demonstraţie:

Avem

M(X)=

=

.

112


Calculăm

M(X

=

=

= p(q = .

Obţinem D

.


asociată unei variabile aleatoare X ce urmează legea

geometrică este:

.

Într-adevăr avem

113


=

.

Repartiţia binomială cu exponent negativ

1.13.16.


urmează legea binomială cu exponent negativ , dacă are

distribuţia

.

Sunt îndeplinite condiţiile unei funcţii de

probabilitate

1) P(-n,k)=C

2)

dacă s-a ţinut seama de dezvoltarea lui Abel şi anume

114


(1+q)

.


aleatoare discretă care urmează legea binomială cu

exponent negativ atunci M(X)= şi

Demonstraţie:

Avem M(X)=

=p .

Pentru calculul dispersiei folosim formula de calcul

Avem

115


Obţinem

.



binomială cu exponent negativ este:

.

Într-adevăr

116


Repartiţii continue

Repartiţia uniformă(rectangulară) 1.13.19.

Spunem că variabila aleatoare X urmează legea

uniformă pe intervalul [a,b],dacă are densitatea de

probabilitate

Observaţia 1.13.20. Din graficul funcţiei

densitate de probabilitate se constată că într-adevăr

, astfel definită, satisface condiţiile unei funcţii densitate

de probabilitate

1)

2)

117


Observaţia 1.13.21. Funcţia de repartiţie a

variabilei aleatoare ce urmează legea uniformă are

expresia:

F(x)=

Într-adevăr:

- dacă

- dacă

118

0 a b x


- dacă

Graficul funcţiei de repartiţie are forma:


aleatoare uniform repartizată pe intervalul [a,b]

Atunci:

Demonstraţie:

Avem

Dispersia o calculăm folosind formula de calcul

119

0 a b x


Avem

, avem valoarea mediană egală cu

valoarea medie .

Observaţia 1.13.23.

a)Din simetria graficului funcţiei densitate de

probabilitate, în raport cu valoarea medie

, avem valoarea mediană egală cu

valoarea medie.

b)Tot cu ajutorul graficului se observă că

valoarea modală nu există.

Repartiţia exponenţială negativă 1.13.24.


exponenţială de parametru , dacă are densitatea de

probabilitate:

120


Evident această funcţie satisface condiţiile:

1)

2)

Observaţia 1.13.25. Funcţia de repartiţie pentru

variabila aleatoare X ce urmează legea exponenţială de

parametru este:


urmează legea exponenţială de parametru ,atunci:

Demonstraţie:

Avem

.

Calculăm:

121


Obţinem

.

Observaţia 1.13.27.

a)Funcţia caracteristică asociată unei variabile

aleatoare X ce urmează legea exponenţială are expresia

Într-adevăr avem

b)Deoarece avem

folosind relaţia

Repartiţia normală 1.13.28.


normală (legea lui Gauss)de parametri

dacă are densitatea de

probabilitate

122


În mod evident avem:

1)

2)

dacă s-a făcut schimbarea de variabilă

.


aleatoare ce urmează legea normală de parametri

şi

Demonstraţie:Avem

.

123


Se face schimbarea de variabilă

.

Rezultă

Deci cei doi parametri de care depinde

distribuţia normală sunt valoarea medie şi abaterea medie

pătrată asociată variabilei aleatoare X ce urmează legea

normală.

Observaţia 1.13.30. Curba ce reprezintă

graficul densităţii de probabilitate se numeşte curba lui

Gauss(sau clopotul lui Gauss).

124


Analiza acestui grafic ne conduce la concluziile:

funcţia este simetrică faţă de dreapta de

ecuaţie x=m

în x=m funcţia admite un maxim egal cu

punctele de abscisă

sunt puncte de inflexiune.

Observaţia 1.13.31. Dacă variabila aleatoare X

urmează legea normală ,atunci funcţia de

repartiţie F este dată de relaţia

şi are graficul

125

0 m x


Dacă se face schimbarea de variabilă

se obţine

este funcţia lui Laplace. Funcţia lui Laplace are valorile

tabelate pentru argumente pozitive .Dacă x<0 atunci

126

0

1

xm


Observaţia 1.13.32. Dacă parametrii m şi au

valorile 0 respectiv 1, atunci spunem că X urmează legea

normală şi normată sau legea normală redusă.


aleatoare ce urmează legea normală ,

Demonstraţie:

Avem

Repartiţia gamma 1.13.34.


gamma cu parametri a,b>0 dacă are densitatea de

probabilitate

127


unde este funcţia lui Euler de speţa a doua, adică

.

Evident sunt îndeplinite condiţiile:

1)

2)

În cazul particular

Observaţia 1.13.35. Funcţia de repartiţie a unei

variabile aleatoare ce urmează legea gamma are expresia

cunoscută sub denumirea de funcţia gamma incompletă.


asociată unei variabile aleatoare ce urmează legea gamma

are expresia

Într-adevăr

128



Momentele de ordin k, se obţin

folosind relaţia

În particular , găsim

Repariţia beta 1.13.37.


beta cu parametri a,b>0, dacă are densitatea de

probabilitate

unde B(a,b)este funcţia lui Euler de speţa întâi, adică

129


cunoscută sub numele de funcţia beta incompletă.

Evident sunt îndeplinite condiţiile:

1)

2)

Observaţia 1.13.38. Funcţia de repartiţie

asociată unei variabile ce urmează legea beta are

expresia:

Observaţia 1.13.39. Expresia momentelor de

ordin k pentru o variabilă aleatoare cu repartiţia beta, se

obţine prin calcul direct şi anume:

130


În particular se obţine

Repartiţia (hi-pătrat) 1.13.40


(hi-pătrat), dacă are densitatea de probabilitate:

unde ,iar şi poartă numele de numărul

gradelor de libertate.

În mod evident avem:

1)

131


2)


.

Observaţia 1.13.41. Legea numită şi legea

Helmert-Pearson este un caz particular al legii gamma,

anume, pentru .

Observaţia 1.13.42. Expresia momentelor de

ordin k pentru o variabilă aleatoare X având repartiţia

(hi-pătrat) se obţine astfel:

În particular se obţine

132


Observaţia 1.13.43. Funcţia de repartiţie


(hi-pătrat)este de forma

unde q sunt probabilităţi de forma

şi ele au semnificaţia prezentată în desenul

133


Karl Pearson a editat tabele pentru funcţia de

repartiţie corespunzătoare unei variabile aleatoare ce

urmează distribuţia .

Repartiţia Student(Gosset) 1.13.44.


Student cu n grade de libertate, dacă are densitatea de

probabilitate

Sunt verificate condiţiile unei densităţi de

probabilitate, adică

1) în mod evident

2)

134

0


dacă s-a făcut schimbarea de variabilă şi

s-au folosit relaţiile

Observaţia 1.13.45. Dacă n=1, atunci densitatea

de probabilitate capătă forma ,

adică se obţine densitatea de probabilitate

corespunzătoare repartiţiei Cauchy standard.

Observaţia 1.13.46. Întrucât densitatea de

probabilitate este o funcţie pară, valoarea medie a unei

variabile aleatoare ce urmează legea Student este nulă.

De asemenea momentele obişnuite de ordin impar sunt

nule.

Pentru momentele obişnuite de ordin par avem:

135


unde s-a făcut schimbarea de variabilă

De aici pentru p=1 avem

Repartiţia Fisher-Snedecor(repartiţia Fs)

1.13.47.


Fisher-Snedecor dacă are densitatea de probabilitate

136


unde s,r>0.

Sunt verificate condiţiile unei densităţi de

probabilitate adică

1) în mod evident

2)

unde s-a făcut schimbarea de variabilă

Observaţia 1.13.48. Pornind de la definiţia

momentului de ordin k, avem:

137


Particularizând pe k se obţine

1.14. Şiruri de variabile aleatoare.

Legea numerelor mari. Teoreme limită.

Definind noţiunea de variabilă aleatoare, se

constată fără dificultate că nu se poate şti înaintea

efectuării unei experienţe care vor fi valorile pe care le

poate lua variabila aleatoare asociată experienţei. Cu o

anumită probabilitate se poate spune dacă va apare sau nu

una dintre valorile acestei variabile aleatoare. Cu toate

acestea, aşa cum se poate vedea pe baza unor teoreme

138


devenite deja celebre, se demonstrează că în condiţii

puţin restrictive media aritmetică a unui număr suficient

de mare de variabile aleatoare îşi pierde caracterul

aleator. În practica statistică un astfel de rezultat teoretic

este remarcabil. Acesta este reprezentat de câteva

teoreme ale calculului probabilităţilor cunoscute

împreună sub denumirea de lege a numerelor mari.

Termenul de lege a numerelor mari a fost folosit

prima dată de către matematicianul francez D. Poisson în

1837 deşi, cu mai bine de un secol mai devreme,

matematicianul elveţian J. Bernoulli, unul dintre

fondatorii calculului probabilităţilor, pusese în evidenţă

acţiunea legii numerelor mari cu o referire la repartiţia

normală. În anul 1867 matematicianul rus P. Cebîşev a

prezentat riguros matematic legea numerelor mari în

condiţii generale, ocazie cu care inegalitatea lui Cebîşev

s-a dovedit un rezultat remarcabil şi extrem de util.

Inegalitatea lui Cebîşev 1.14.1. Dacă variabila

aleatoare X are o valoare medie şi dispersie atunci

are loc inegalitatea

139


sau inegalitatea

echivalentă cu aceasta .

Demonstraţie:

Presupunem că X este o variabilă aleatoare de

tip continuu, având densitatea de probabilitate .

Atunci

unde , deoarece ,

avem că . Deci, avem

Am obţinut că , rezultă

Folosind probabilitatea evenimentului contrar se obţine şi

cealaltă formă a inegalităţii:

140


Definiţie 1.14.2. Spunem că şirul de variabile

aleatoare converge în probabilitate la variabila

aleatoare X şi notăm avem

.


aleatoare converge în medie de ordin k la

variabila aleatoare X şi notăm

.


aleatoare converge în repartiţie la variabila

aleatoare X şi notăm unde

Fn şi F sunt funcţiile de repartiţie ale variabilelor

aleatoare Xn şi X, iar convergenţa are loc pentru orice

punct de continuitate al funcţiei F.

Observaţie 1.14.5.

1)

2)

141



aleatoare urmează legea numerelor mari dacă

pentru orice avem

adică

.

Teorema lui Markov 1.14.7. Dacă şirul

de variabile aleatoare verifică condiţia

atunci acesta urmează legea

numerelor mari.

Demonstraţie:

Folosind inegalitatea lui Cebîşev pentru

variabila avem pentru > 0,

142


şi prin trecere la limită se obţine că > 0

.

Teorema lui Cebîşev 1.14.8. Dacă şirul

de variabile aleatoare independente două câte

două, au dispersiile egal mărginite (adică -

finit) atunci şirul urmează legea numerelor mari.

Demonstraţie:

Avem

când

n şi conform teoremei lui Markov rezultă că

urmează legea numerelor mari.

Observaţie 1.14.9.Dacă

.

143


Acest rezultat explică de ce, în practică, putem

face afirmaţii asupra unei populaţii statistice pe baza unei

selecţii sau a unui sondaj având un volum de observaţii

mic în raport cu acela al întregii populaţii. Explicaţia are

la bază faptul că selecţia implică un număr de măsurători

suficient prin el însuşi. Din acest punct de vedere se

apreciază că teorema lui Cebîşev se află la baza teoriei

selecţiei şi afirmaţia nu este exagerată.

De asemenea, rezultă că între comportarea

fiecărei variabilei aleatoare şi a mediei aritmetice a

acestora există o mare deosebire în sensul că deşi nu

putem preciza ce valoare va lua fiecare dintre variabilele

aleatoare considerate, suntem în măsură să afirmăm cu o

probabilitate apropiată de unu ce valoare va lua media

aritmetică a acestor variabile aleatore. Aşadar, media

aritmetică a unui număr suficient de mare de variabile

aleatoare cu dispersii mărginite îşi pierde caracterul de

variabilă aleatoare.

Teorema lui Poisson 1.14.10. Dacă într-un şir

de repetări independente ale unui experiment

144


probabilitatea apariţiei unui eveniment A la repetarea de

rang n este pn atunci

şi unde m este numărul apariţiilor lui A în primele n

repetări.

Demonstraţie:

Considerăm Xk variabila care indică apariţia

evenimentului A la repetarea de rang k a experimentului

unde ,

Variabilele Xk sunt independente două câte două

şi au dispersiile egal mărginite.

, iar şi conform teoremei lui Cebîşev rezultă că

şirul urmează legea numerelor mari.

Teorema lui Bernoulli 1.14.11. Dacă într-un şir

de repetări independente ale unui experiment

probabilitatea apariţiei unui eveniment A este p la fiecare

145


repetare, atunci unde m

reprezintă numărul apariţiilor lui A în primele n repetări

ale experimentului.

Teorema lui Liapunov 1.14.12. Fie şirul de

variabile aleatoare independente pentru care

există momentele centrate de ordinul trei şi

, atunci şirul de

variabile aleatoare unde

converge în repartiţie la o

variabilă aleatoare ce urmează legea normală N(0,1)

adică .


146


1) Problema limită este problema determinării

legii de probabilitate a variabilei aleatoare Zn, când

.

2) Teorema limită este teorema care rezolvă o

problemă limită.

3) Dacă legea de probabilitate limită este legea

normală atunci avem teorema limită centrală.

Teorema Lindeberg-Levy 1.14.14. Dacă şirul

de variabile aleatoare independente sunt identic

repartizate (urmează aceeaşi lege de probabilitate) şi

există

atunci şirul de variabile aleatoare

, converge

147


în repartiţie la o variabilă aleatoare ce urmează legea

normală redusă N(0,1) adică

.

Teorema Moivre – Laplace 1.14.15. Dacă

variabila aleatoare X urmează legea binomială, adică

P(n,k)=P(X=k)= p+q=1, atunci pentru

a<b avem sau

.

Demonstraţie:

Fie variabilele aleatoare Xk,

independente şi identic repartizate atunci

, , şi conform

teoremei 3.15.14 avem că variabila

148


urmează legea

N(0,1)dacă n .

Avem şi

prin urmare


1) Deoarece X=k, k=1,2,…,n se obişnuieşte să

se scrie

.

149


2) Folosind funcţia lui Laplace

avem

.

3)

Exemplul 1.14.17. Fie variabila aleatoare X

având repartiţia

. Să se

determine valoarea exactă a probabilităţii

precum şi o margine inferioară a

acesteia.

Rezolvare:

Valoarea exactă se obţine astfel:

150


Pentru marginea inferioară se aplică inegalitatea lui

Cebîşev cu .

Deci

Exemplul 1.14.18. Se efectuează 800 de probe

independente. În 200 din ele probabilitatea apariţiei unui

rezultat aşteptat a fost 0,5; în 400 de probe această

probabilitate a fost 0,4; iar în restul probelor a fost 0,3.

Să se determine marginea inferioară a probabilităţii ca

abaterea absolută a frecvenţei relative de apariţie a

evenimentului de la media probabilităţilor să nu

depăşească 0,04.

Rezolvare:

Se aplică teorema lui Poisson pentru n=800 şi

.

adică

151


Exemplul 1.14.19. Se cunoaşte că o unitate de

desfacere a produselor alimentare poate deservi zilnic un

număr de 3000 clienţi. Ştiind că un client care intră în

unitate devine cumpărător cu probabilitatea p=0,7 să se

calculeze probabilitatea ca:

a) numărul cumpărătorilor să fie

cuprins între 1800 şi 2400;

b) numărul cumpărătorilor să fie mai

mic decât 2150;

c) ce stoc zilnic trebuie asigurat astfel

încât riscul de a rămâne clienţi fără produs să fie de 3 ‰.

Rezolvare:

a)Numărul cumpărătorilor X este o variabilă

aleatoare ce urmează legea binomială cu parametrii

n=3000 şi p=0,7. Se cunoaşte că M(X)=np=2100 iar

Folosind inegalitatea lui Cebîşev obţinem:

sau

152


Dacă se ia rezultă

De asemenea, se poate folosi teorema Moivre-Laplace

adică:

b) Folosim din nou teorema Moivre-Laplace şi

avem:

c) Fie s stocul zilnic. Vor rămâne clienţi fără

produse dacă X>s, adică P(X>s)=0,003;

dar

153


deci s=2170.

Exemplul 1.14.20.Se consideră şirul de

variabile aleatoare , unde

.

Să se verifice dacă şirul de variabile aleatoare se

supune legii numerelor mari.

Rezolvare:

Calculăm

154


şi conform teoremei lui Markov şirul urmează legea

numerelor mari.

Exemplul 1.14.21. Fie şirul de variabile

aleatoare independente, care au distribuţiile

, atunci şirul urmează legea

numerelor mari.

Rezolvare:

Avem iar

dacă

iar . Prin urmare

adică dispersiile sunt egal mărginite şi conform teoremei

lui Cebîşev avem că şirul considerat urmează legea

numerelor mari.

155


1.15. Exerciţii rezolvate

1.Un student solicită o bursă de studii la 3

universităţi. După trimiterea actelor necesare, acesta

poate obţine bursă de la universitatea i (Ui) sau nu ,

1 ≤ i ≤ 3 . Scrieţi evenimentele ce corespund

următoarelor situaţii :

a)primeşte o bursă ;

b)primeşte cel mult o bursă ;

c)primeşte cel puţin o bursă ;

d)primeşte cel puţin două burse.

Rezolvare:

a) Bursa primită poate fi de la prima universitate,

caz în care celelalte nu-i acordă bursă, sau de la a doua,

caz în care prima şi a treia nu-i acordă bursă, sau de la a

treia, caz în care primele două nu-i acordă bursă. Avem

astfel evenimentul

.

156


b)Avem două variante : studentul nu primeşte

nici o bursă sau studentul primeşte o bursă. Obţinem

evenimentul

.

c) Evenimentul poate fi scris ca reuniunea a trei

evenimente : studentul primeşte o bursă, două burse, trei

burse. Astfel , unde

,

iar .

d)Avem . Altfel, evenimentul D este

contrar evenimentului B, deci

.

2.Într-un grup de studenţi aflaţi în excursie se

găsesc 6 fete şi 9 băieţi. Se aleg la întâmplare doi studenţi

pentru a cerceta traseul. Care este probabilitatea ca cei

doi să fie :

a)băieţi ;

b)fete ;

c)un băiat şi o fată ;

d)cel puţin un băiat ;

157


e)primul băiat şi a doua fată ;

f)de acelaşi sex.

Rezolvare:

Notăm cu A1 şi A2 evenimentele alegerii unui

băiat la prima, respectiv a doua alegere. La primul punct

avem de calculat probabilitatea . Întrucât a

doua alegere depinde de prima avem :

,

deoarece alegând un băiat mai rămân în grup 14 studenţi

între care 8 băieţi. Evenimentul de la punctul b) se scrie

astfel : . Deci

.

Evenimentul de la punctul c) este

aşadar

, sunt

incompatibile)

Dar ,

158


iar

de unde .

Am obţinut şi probabilitatea evenimentului de la

punctul e) . Evenimentul de la punctul d) se

exprimă astfel : .

El este contrar evenimentului : , prin

urmare

. Evenimentul de la

ultimul punct f) este

. Cum

cele două evenimente sunt

incompatibile şi deci

.

3.La un examen de licenţă participă mai mulţi

absolvenţi, între care numai trei din străinătate.

Probabilitatea ca primul student să promoveze este ¾,

159


probabilitatea ca al doilea să promoveze este 4/5, iar

pentru al treilea 5/6. Să se determine probabilităţile ca :

a)toţi cei trei studenţi să promoveze;

b)cel puţin unul să promoveze examenul.

Rezolvare:

Fie Ai evenimentul promovării examenului de

către studentul i, i=1,2,3. Evenimentul de la punctul a)

este , iar de la punctul b) este

. Evenimentele Ai sunt independente

(rezultatele celor 3 studenţi nedepinzând unul de

celelalte), deci

.

Folosind proprietăţile probabilităţii avem :

160


Ţinând seama de independenţa evenimentelor Ai

, i=1,2,3, avem:

4.Din mai multe controale asupra activităţilor

a trei magazine se apreciază că în proporţie de 90%,

80%, 70%, cele trei magazine au declarat marfa vândută.

La un nou control, comisia de control solicită 50 de

documente privind activitatea comercială: 20 de la primul

magazin, 15 de la al doilea, 15 de la al treilea. Dintre

acestea se alege unul la întâmplare pentru a fi verificat:

a)Cu ce probabilitate documentul ales este

corect (înregistrat)?

b)Constatând că este corect, cu ce

probabilitate el aparţine primului magazin?

Rezolvare:

a) Notăm cu A1, A2, A3 evenimentul ca

documentul controlat să provină de la primul, al doilea şi

161


respectiv al treilea magazin. Avem astfel

.

Fie A evenimentul ca documentul controlat să

fie corect. Atunci A / A1, A / A2, A / A3 reprezintă

evenimentul ca documentul controlat să fie corect ştiind

că el provine de la primul, al doilea, al treilea magazin.

Prin urmare : P(A/A1)=0,90; P(A/A2)=0,80;

P(A/A3)=0,70 . Cum {A1, A2, A3} este un sistem complet

de evenimente

aplicând formula probabilităţii totale avem :

b)Aplicând formula lui Bayes avem :

.

162


(A1/A reprezintă evenimentul ca documentul

controlat să provină de la primul magazin ştiind că a fost

corect).

5.La un supermarket s-a făcut un sondaj

printre clienţii acestuia, punându-li-se trei întrebări la

care să răspundă prin DA sau NU. S-a constatat că

răspunsul DA la prima, a doua respectiv a treia întrebare

a fost de 60%, 80% respectiv 70%. Care este

probabilitatea ca un client să dea :

a)trei răspunsuri DA?

b)trei răspunsuri NU?

c)două răspunsuri DA şi unul NU?

d)cel mult două răspunsuri DA?

e)primele două răspunsuri NU?

f)primul răspuns DA şi încă unul DA?

Rezolvare:

a) Suntem în condiţiile schemei lui Poisson

(presupunând că răspunsurile sunt independente unul de

celălalt) cu 3 urne şi cu probabilităţile : p1 = 0,6; q1 = 0,4;

p2 = 0,8; q2 = 0,2; p3 = 0,7; q3 = 0,3. Astfel probabilitatea

163


ca să avem 3 răspunsuri DA este coeficientul lui x3 din

polinomul (p1x + q1)(p2x + q2)(p3x + q3) adică

pa = p1p2p3 = 0,6 ∙0,8∙0,7 = 0,336.

b) Probabilitatea să avem trei răspunsuri NU

este coeficientul lui x0 (termenul liber) din polinomul de

mai sus, adică

q1q2q3 = 0,4 ∙0,2∙0,3 = 0,024.

c) În acest caz probabilitatea este coeficientul lui

x2 din acelaşi polinom, adică p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 =

0,6∙0,8∙0,3 +

+ 0,6∙0,2∙0,7 + 0,4∙0,8∙0,7 = 0,452.

d)Evenimentul dat este reuniunea a trei

evenimente incompatibile două câte două, respectiv de a

da 0, 1, 2 răspunsuri DA, deci probabilitatea sa este suma

coeficienţilor lui x0, x1, x2 din polinomul de la punctul a).

Avem

pd = q1q2q3 + (p1q2q3 +q1p2q3 + q1q2p3) + (p1p2q3 +

p1q2p3 + q1p2p3) = = 0,024 + 0,188 + 0,452 = 0,664.

164


Astfel, evenimentul nostru este contrar

evenimentului de la punctul a), deci pd = 1 – pa = 1 –

0,336 = 0,664.

e) Putem reduce schema lui Poisson la 2 urne cu

probabilităţile :

p1 = 0,6; q1 = 0,4; p2 = 0,8; q2 = 0,2.

Probabilitatea cerută este coeficientul lui x0 din

polinomul (p1x + q1)(p2x + q2), adică

q1q2 = 0,08. Astfel, evenimentul dat este

intersecţia a două evenimente independente cu

probabilităţile q1 respectiv q2, de unde probabilitatea

cerută este produsul q1q2.

f) Evenimentul este reuniunea evenimentelor

“numai primul şi al doilea răspuns DA ” şi “numai

primul şi al treilea răspuns DA”, care sunt incompatibile,

deci probabilitatea evenimentului dat este suma

probabilităţilor celor două, adică pf = p1p2q3 + p1q2p3 =

0,228.

165


6.La o bancă s-a constatat că din 100 de credite

acordate, 10 sunt neperformante. Dacă se acordă 5

credite, care este probabilitatea ca:

a) toate să fie neperformante?

b) toate să fie performante?

c) numai 4 să fie performante?

d) cel puţin 4 să fie performante?

Rezolvare:

Suntem în condiţiile schemei lui Bernoulli cu

două culori, unde

p = 0,9 şi q = 1-p =0,1 considerând bile albe

creditele performante, iar bile negre cele neperformante.

Vom obţine astfel:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

7.Într-un partid parlamentar sunt 10 deputaţi şi 5

senatori. Se ia la întâmplare un grup de 5 parlamentari ai

166


partidului respectiv, pentru a forma o comisie. Cu ce

probabilitate grupul conţine:

a) 3 deputaţi şi 2 senatori;

b) numai deputaţi;

c) numai senatori;

d) cel mult 2 senatori;

e) cel puţin un deputat.

Rezolvare:

Suntem în condiţiile schemei hipergeometrice cu

2 culori, unde

a = 10, b = 5 şi n = 5. Vom avea:

a) ;

b) ;

c) ;

167


d)

;

e) sau altfel

.

8.Probabilitatea ca un agent comercial să vândă

un anumit produs este 0,3. Dacă acesta oferă produsul

spre vânzare pe rând la 4 magazine cu ce probabilitate el

vinde produsul:

a) la primul magazin;

b) la al doilea magazin;

c) la ultimul magazin;

d) cel mult la al treilea magazin.

Rezolvare:

Suntem în condiţiile schemei geometrice cu p =

0,3 ( se presupune că agentul poate vinde produsul unui

singur magazin). Prin urmare avem:

168


a) P1 = pq1-1 = 0,3 ;

b) P2 = pq2-1 = pq = 0,3 ∙0,7 = 0,21 ;

c) P4 = pq4-1 = pq3 = 0,3 ∙(0,7)3 = 0,1029 ;

d)Pd =P1+P2+P3=p + pq + pq2 = p(1+q+q2) =

0,3(1+0,7+0,49)=0,657

9.Fie variabilele aleatoare independente :

şi .

Să se scrie variabilele aleatoare : 2X, Y2, X+Y,

XY, 2X+3Y, X/Y, max(X,Y), .

Rezolvare:

Probabilităţile corespunzătoare valorilor lui 2X,

Y2, sunt aceleaşi cu cele corespunzătoare lui X şi

respectiv Y. Avem:

,

, .

.

169


Deoarece X şi Y sunt independente avem că pij = piqj,1 ≤

i, j ≤ 3 .

De exemplu

.

Obţinem

adică

.

Analog

de unde

.

Cum 2X şi 3Y au repartiţiile

170


,

,

obţinem repartiţia lui 2X + 3Y :

.

La fel obţinem:

,

.

10.Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete

ale căror repartiţii probabiliste comună (pij ) şi marginale

(pi) şi (qj) sunt date în tabelul următor :

X \ Y -1 0 1 pi

-1 1/8 1/12 1/6 3/8

1 1/24 1/4 1/3 5/8

qj 1/6 1/3 1/2 1

171


a)Să se scrie variabilele aleatoare X şi Y.

b)Să se precizeze dacă X şi Y sunt

independente.

c)Să se scrie variabilele X + Y , X ∙ Y, X2, Y2,

Y/X .

Rezolvare:

a)Din tabelul de repartiţie de mai sus deducem

că

şi .

b)Dacă X şi Y ar fi independente atunci

,

ceea ce nu are loc întrucât .

c)Deoarece

,

obţinem

172


,

,

.

Repartiţiile lui X2 şi Y2 rezultă imediat din cele

ale lui X şi Y:

, .

11.Fie variabila aleatoare discretă

.

a)Să se determine p.

b)Să se calculeze funcţia de repartiţie a lui X.

c)Să se calculeze probabilităţile:

Rezolvare:

a)Trebuie să avem p + p2 + p + p2 + p2 = 1 şi p ≥

0. Rezultă

173


3p2 + 2p = 1 şi p ≥ 0, adică p = 1/3.

b)Cum F(x) = P(X<x) rezultă că F(x) = 0 dacă x

≤ 1,

F(x) = p = 1/3 dacă x ,

F(x) = P(X=1) + P(X=2) = p + p2 = 4/9 dacă x

,

F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = p + p2 + p

= 7/9 dacă x ,

F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = p

+ p2 + p + p2 = 8/9 dacă x şi F(x) = 1 dacă x > 5 .

Deci :

c)Avem

174


P(X<1) = P(Φ) = 0,

P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=4/9,

P(X>4)=P(X=5)=1/9,

P(1,5<X<3,2)=P(X=2)+P(X=3)=4/9,

P(X≥2,1)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=5/9,

P(1,5<X≤3/2<X<4)=P(X=2 sau X=3 / X=3) =

P(X=3/X=3) =1.

12.Determinaţi constanta a pentru ca funcţia

f dată mai jos să fie densitate de repartiţie şi apoi să se

determine funcţia de repartiţie corespunzătoare. Să se

calculeze mediana, cuantilele şi valoarea modală a

variabilei aleatoare X având densitatea de probabilitate

ρ(x):

Rezolvare:

175


Avem , de unde

sau

. Rezultă a = 4/3 şi deci

Întrucât F este continuă vom avea F(x) =

F(x+0) , , deci

şi , adică

. Aceasta se realizează pentru

, de unde .

Aşadar . Se observă că

F(1/2)=1/4 deci

176


rezultă din F(x)=3/4, adică , de

unde .

Deoarece ρ este crescătoare pe [0,1/2] şi

descrescătoare pe (1/2,2], x=1/2 este punct de maxim

(singurul), prin urmare .

13.Să se determine variabilele aleatoare

independente

şi

,

ştiind că M(X)=2 şi M(Y)=7. Să se calculeze

apoi M(2X+3Y), D2(X), D2(Y) şi D2(2X+3Y).

Rezolvare:

Deoarece X este o variabilă aleatoare trebuie să

avem p+2p+3p+4p=1, adică p=1/10. Atunci

M(X)=x∙p+(x+1)∙2p+(x+2)∙3p+

(x+3)∙4p=10px+20p=x+2.

177


Cum M(X)=2 rezultă că x = 0.

Analog q+q2+q2=1, adică 2q2+q-1=0, de unde

q=1/2. Rezultă că

M(Y)=y∙q+2y∙q2+3y∙q2= . Cum M(Y)=7

avem că y=4. Tablourile de repartiţie ale lui X şi Y vor fi

, .

Folosind proprietăţile mediei avem

M(2X+3Y)=M(2X)+M(3Y)=2M(X)

+3M(Y)=2∙2+3∙7=25.

Pentru calcularea dispersiilor avem nevoie să

calculăm mediile lui X2 şi Y2. Acestea au tablourile de

repartiţie

, ,

astfel că

şi

178


. Atunci

D2(X)=M(X2)-M(X)2=5-4=1 şi D2(Y)=M(Y2)-

M(Y)2=60-49=11.

Cum X şi Y sunt independente, rezultă că şi 2X

şi 3Y sunt independente şi avem

D2(2X+3Y)=D2(2X)+D2(3Y)=4D2(X)

+9D2(Y)=4∙1+9∙11=103.

14.Să se determine variabilele aleatoare X şi Y

ale căror repartiţii sunt date incomplet în tabelul de mai

jos, ştiind că M(X)=17 şi D2(Y)=1. Să se calculeze apoi

M(XY) şi D2(X-Y).

X \ Y -b 0 b pi

a 1/5 1/10

a2 2/5 3/5

qj 1/5

Rezolvare:

179


Deoarece p1+p2=1 rezultă că . Mai

departe

p11+p12+p13=p1, adică , deci

. Cum

p13+p23=q3 rezultă că . Dar

p21+p22+p23=p2, adică . Din

p11+p21=q1 şi p22+p12=q2, rezultă că şi .

Obţinem astfel

, . Astfel

, adică 3a2+2a-85=0, de unde

a1=5, a2=-17/3. Deoarece

şi

180


, rezultă că

.

Din ipoteză D2(Y)=1, astfel că , adică .

Din tabloul repartiţiei comune (pij) avem

şi

Astfel

.

Dacă a=5 M(XY)=-5/7, iar dacă a=-17/3

M(XY)=17/21. Pentru calcularea dispersiei lui X-Y,

avem nevoie de:

181


Pentru a=5, b=10/7 avem M(X-Y)= şi

,

deci .

15.Să se determine parametrii care apar în

repartiţiile următoare şi să se calculeze apoi M(X) şi

D2(X), X fiind o variabilă aleatoare, având repartiţia

respectivă:

a) ;

b) ;

182


c)

Rezolvare:

a)Din condiţia rezultă că

Atunci

Astfel D2(X)=M(X2)-M(X)2=24-9=15.

b) Din condiţia rezultă că

183


. Atunci

,

.

Astfel

.

c)Din condiţia rezultă că

Cum numai a=1 convine, astfel că :

,

184


.

16.Fie vectorul aleator (X,Y) cu X, Y variabile

aleatoare independente, a cărui densitate de probabilitate

este

. Să se determine:

a)funcţia de repartiţie corespunzătoare;

b) .

Rezolvare:

a) Avem , deci

. Rezultă că

.

Atunci

185


b)

17.Fie vectorul aleator (X,Y) cu densitatea de

probabilitate

a) Să se determine constanta a.

b) Să se calculeze funcţia de repartiţie F(x,y) şi

funcţiile marginale FX(x) şi FY(y).

Rezolvare:

a) Avem , adică

, rezultă că de unde .

b) Avem .

Dacă x < 0 sau y < 0, atunci f(x,y)=0 şi deci

F(x,y)=0.

Dacă x > 1 şi y > 2, atunci F(x,y)=1.

Dacă (x,y) avem

186


.

Dacă x şi y > 2 avem

.

Dacă x > 1 şi y obţinem

.

Astfel

Funcţiile de repartiţie marginale sunt

187


18.Fie vectorul aleator (X,Y) având densitatea

de probabilitate

Să se calculeze:

a) P(X<1,Y<1), P(X+Y<1), P(X+Y≥2),

P(X≥1/Y≥1), P(X<2Y), P(X=n) ;

b) Funcţia de repartiţie F(x,y) şi funcţiile de

repartiţie marginale FX(x), FY(y);

c) Densităţile de repartiţie marginale ρX(x),

ρY(y);

d) Momentele obişnuite de ordin (k,s) ;

e) Corelaţia variabilelor X şi Y.

Rezolvare :

a)

188


,

, P(X=Y)=0.

b) Avem .

189


Dacă x > 0 sau y < 0 ρ(x,y)=0, deci F(x,y)=0.

Dacă x ≥0 şi y ≥0 avem

.

Funcţiile de repartiţie marginale sunt

şi

.

c) Densităţile de probabilitate marginale

şi sunt derivatele funcţiilor de repartiţie

marginale:

,

.

d)

,

190


unde este funcţia gama a

lui Euler şi are proprietatea că pentru

.

e) Avem

.

19.Fie (X,Y) un vector aleator discret a cărui

repartiţie probabilistă este dată în tabelul de mai jos. Să

se calculeze coeficientul de corelaţie r(X,Y) şi să se scrie

ecuaţiile dreptelor de regresie.

X \ Y -1 0 1 2 pi

-1 1/10 1/5 1/10 0 2/5

0 1/20 0 1/10 1/20 1/5

1 1/10 1/10 1/20 3/20 2/5

qj 1/4 3/10 1/4 1/5 1

Rezolvare:

Pe baza formulelor corespunzătoare, deducem

imediat:

191


,

,

,

,

.

Ecuaţiile dreptelor de regresie sunt :

192


, .

20.Să se determine funcţia caracteristică şi

funcţia generatoare de momente şi apoi să se calculeze,

pornind de la acestea, momentele şi , pentru

următoarele variabile aleatoare :

a) ;

b) .

Rezolvare :

a) Avem

şi

.

Primele două derivate ale acestor funcţii sunt :

, )4(4

1)( 2" itit

X eet ,

193


,

.

Obţinem

,

, de unde

şi

.

b)

,

194


.

Obţinem A = 1 - t2A , adică A = şi B =

.

Astfel .

Apoi

.

Primele două derivate sunt

,

52

23"

)1(

210146)(

t

ittittX

,

,

.

Obţinem

195


şi

.

1.16. Probleme propuse

1. Se aruncă o monedă de patru ori. Fie A

evenimentul ca marca să apară de două ori, B

evenimentul ca marca să apară cel puţin o dată, C

evenimentul ca marca să apară la aruncarea a doua. Să se

determine:

a) spaţiul E al probelor;

b) probele care favorizează respectiv

apariţiile evenimentelor A, B, C;

c) evenimentele

A-B, B-A, A-C,;

d) probabilităţile evenimentelor de la

punctele precedente.

196


2. Un client cumpără dintr-un magazin patru

articole de îmbrăcăminte. Fie A1, A2, A3, A4 respectiv

evenimentele ca primul, al doilea, al treilea şi al patrulea

articol să nu conţină defecţiuni. Să se exprime cu ajutorul

acestor evenimente, următoarele evenimente:

a) nici un articol nu prezintă defecţiuni;

b) cel puţin un articol prezintă defecţiuni;

c) exact un aricol prezintă defecţiuni;

d) exact două articole prezintă defecţiuni;

e) cel mult două articole prezintă defecţiuni.

3. Un lacăt are un cifru din patru cifre. Să se

calculeze probabilitatea de a ghici cifrul lacătului dacă:

a) lacătul funcţionează perfect;

b) ultima cifră, din cauza unei defecţiuni nu

trebuie să coincidă cu ultima cifră a

combinaţiei considerate;

c) prima şi ultima cifră nu trebuie să coincidă

cu prima şi respectiv ultima cifră a

combinaţiei considerate.

197


4. La o conferinţă de presă participă 7 ziarişti

străini şi 17 ziarişti autohtoni (8 femei şi 9 bărbaţi).

Ştiind că la conferinţa de presă vor pune întrebări 6

ziarişti luaţi la întâmplare din cei 24 prezenţi, se cere

probabilitatea ca întrebările să fie puse de:

a) 2 ziarişti străini şi 4 autohtoni;

b) 2 ziarişti străini şi 4 autohtoni (2 femei şi

2 bărbaţi);

c) 1 ziarist străin şi 5 autohtoni (2 femei şi 3

bărbaţi).

5. Piesele produse de o maşină prezintă rebut în

procente 2%. Pentru controlul calităţii produselor, se iau

la întâmplare 10 piese.

Să se calculeze probabilitatea ca:

a) nici o piesă să nu fie defectă;

b) cel mult două piese să fie defecte.

6. Se ştie că un magazin de cosmetice are acelaşi

număr de clienţi bărbaţi, respectiv femei. Se consideră

primii 12 clienţi ai magazinului dintr-o zi fixată. Să se

calculeze probabilitatea ca dintre cei 12 clienţi:

198


a) patru să fie femei;

b) să fie cel mult patru femei.

7. Se aruncă un zar de 15 ori. Să se calculeze

probabilitatea ca de 5 ori să apară un număr prim, de 8

ori să apară un număr compus şi de 2 ori apară faţa cu un

punct.

8. La o loterie s-au vândut 85 de bilete loto, din

care o persoană a cumpărat 10 bilete. Ştiind că din 85

bilete 3 sunt câştigătoare, să se calculeze probabilitatea

ca persoana care a cumpărat cele 10 bilete:

a) să nu fi câştigat;

b) să aibă un bilet câştigător;

c) să aibă cel puţin un bilet câştigător.

9. Într-un magazin de autoservire, pe un raft se

află 10 ciocolate care costă respectiv 1 mie de lei, 3 mii

de lei, 5 mii de lei şi 10 mii de lei. O persoană ia la

întâmplare 5 ciocolate. Să se determine probabilitatea ca

suma plătită să fie de 25 mii de lei.

10. Se aruncă 5 zaruri, din care unul are o faţă

colorată în alb şi celelalte în negru, altul are două feţe

199


colorate în alb şi celelalte în negru, altul are trei feţe

colorate în alb şi celelalte în negru, altul are patru feţe

colorate în alb şi celelalte în negru, iar altul are cinci feţe

colorate în alb şi celelalte în negru. Să se calculeze

probabilitatea ca :

a) să se obţină pe trei din cele cinci zaruri

culoarea albă;

b) să se obţină cel puţin pe două zaruri

culoarea albă.

11. Se ştie că trei din patru clienţi care intră într-

o unitate alimentară fac cumpărături de la unitatea

respectivă. Să se calculeze probabilitatea ca:

a) primul cumpărător să apară după trei

clienţi care au părăsit magazinul fără să

cumpere nimic din unitatea respectivă;

b) până la al doilea cumpărător doi clienţi să

nu fi efectuat cumpărături.

12. Zece aparate de acelaşi tip sunt date în

folosinţă, trei provenind de la unitatea U1, cinci de la

unitatea U2, iar duoă de la unitatea U3. Se supun aceste

200


aparate unei probe de verificare. Cele care provin de la

unitatea U1 trec proba cu probabilitatea 0.9, cele de la U2

cu probabilitatea 0.75 iar cele de la U3 cu probabilitatea

0.85. Se ia un aparat la întâmplare şi se cere

probabilitatea ca:

a) aparatul să treacă proba de verificare;

b) aparatul să provină de la U1 dacă se ştie că

a trecut proba de verificare.

13. Consumul zilnic de energie electrică într-o

unitate comercială este normal cu probabilitatea p=0.8.

Fie X numărul zilelor din săptămână când consumul este

normal. Să se scrie distribuţia varialbilei aleatoare X.

14. Se aruncă o monedă de trei ori. Se notează

cu X şi Y respectiv numărul apariţiilor mărcii în cele trei

aruncări şi numărul maxim de mărci consecutive apărute

în cele trei aruncări. Să se scrie distribuţiile:

a) variabilelor aleatoare X şi Y;

b) vectorului aleator (X,Y);

c) variabilelor aleatoare X+Y, XY.

201


15. La o librărie s-au primit 10 exemplare dintr-

o carte, din care 4 prezintă mici defecţiuni. Trei

cumpărători iau la întâmplare câte o carte din cele 10. Fie

X numărul cărţilor cu defecţiuni vândute celor trei

cumpărători. Să se scrie distribuţia variabilei aleatoare X

şi funcţia de repartiţie corespunzătoare variabilei

aleatoare X, iar apoi să se reprezinte grafic funcţia de

reprtiţie.

16. O persoană cumpără pe rând bilete de loz în

plic până când obţine un bilet câştigător. Ştiind că un

bilet este câştigător cu probabilitatea p=0.1 şi notând cu

X numărul biletelor necâştigătoare cumpărate, să se scrie

distribuţia variabilei aleatoare X şi funcţia de repartiţie

ataşată variabilei aleatoare X.

17. Variabila aleatoare X de tip continuu are

densitatea de probabilitate: ,

unde A este o constantă reală. Să se determine:

a) constanta reală A;

b) funcţia de repartiţie corespunzătoare;

202


c) probabilităţile P( ) şi P(0X

X ).

18. Variabila aleatoare X urmează legea normală

N(0,1). Să se determine densităţile de probabilitate

respectiv pentru variabilele aleatoare Y = X3 şi Z = X.

19. O persoană doreşte să deschidă un lacăt şi

are n chei, dintre care numai una se potriveşte. Pentru

aceasta, încearcă la întâmplare deschiderea lacătului cu

aceste chei. Fie X numărul de încercări pentru

deschiderea lacătului. Să se scrie distribuţia variabilei

aleatoare X, iar apoi să se calculeze valoarea medie şi

dispersia variabilei aleatoare X, dacă:

a) cheile încercate se pun împreună cu

celelalte;

b) cheile încercate se înlătură.

20. Se consideră vectorul aleator (X,Y) cu

densitatea de probabilitate: . Să se determine:

a) constanta reală A;

203


b) densităţile de probabilitate X, Y pentru

variabilele aleatoare X, Y;

c) probabilităţile P(0 X , 0 Y ) şi

P(X Y ).

21. La patru unităţi alimentare din oraş se poate

găsi zilnic pâine proaspătă cu probabilităţile p1=0.8,

p2=0.9, p3=0.95 şi respectiv p4=0.85. Fie X numărul

unităţilor alimentare din cele patru la care se găseşte

pâine proaspătă într-o zi fixată. Să se determine:

a) distribuţia variabilei aleatoare X;

b) valoarea medie, dispersia, abaterea medie

pătratică, mediana şi modul variabilei

aleatoare X.

22. Fie (X,Y) coordonatele unui punct luminos

ce reprezintă o ţintă pe un ecran radar circular şi care

urmează legea uniformă pe domeniul D =

(x,y)R2x2+y2 r2. Să se determine valoarea medie şi

dispersia distanţei Z = de la centrul ecranului

până la punctul luminos.

204


23. Variabila aleatoare X urmează legea beta. Să

se calculeze momentele iniţiale, iar apoi valoarea medie,

dispersia şi abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare

X.

24. Fie punctul a = (0,1) fixat şi punctul aleator

X = (0,1), care urmează legea uniformă pe intervalul

(0,1). Să se determine corelaţia dintre X şi distanţa Z =

X-a de la X la a, iar apoi să se determine valoarea lui a

pentru care variabilele aleatoare X şi Z sunt necorelate.

25. Folosind inegalitatea lui Cebîşev, să se arate

că

P(0X2(m+1)) ,

dacă variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate

.

26. Probabilitatea ca o persoană să găsească loc

la un hotel este p = 0.8. În decursul unei luni de zile, la

hotelul respectiv s-au prezentat 4000 de persoane. Fie X

numărul persoanelor care au găsit loc la hotel din totalul

de 4000. Să se determine probabilitatea ca:

205


a) numărul persoanelor care au găsit loc la

hotel să fie cuprins între 3000 şi 3400;

b) numărul persoanelor care au găsit loc la

hotel să nu depăşească 3000;

c) numărul persoanelor care nu au găsit loc

la hotel să fie mai mic decât 500.

27. Probabilitatea ca o persoană să fie admisă la

examenul de şofer amator este p=0.75. Într-o lună se

prezintă un număr de n candidaţi la acest examen. Să se

determine numărul n astfel încât să putem afirma cu o

probabilitate cel puţin 0.95 că frecvenţa relativă a

promovaţilor să se abată de la probabilitatea p = 0.75 mai

puţin de 0.01 utilizând atât inegalitatea lui Cebîşev cât şi

teorema Moivre-Laplace.

28. Probabilitatea ca o piesă luată la întâmplare

să fie defectă este p = 0.01. Sunt testate 100 de piese. Să

se evalueze probabilitatea ca:

a) cel puţin 5 piese să fie defecte;

b) mai puţin de 5 piese să fie defecte;

206


c) numărul pieselor defecte să fie cuprins

între 5 şi 10.

29. Probabilitatea ca o piesă luată la întâmplare

să fie defectă este p = 0.1. Un lot de piese este respins

dacă conţine cel puţin 10 piese defecte. Să se determine

numărul de piese ce trebuie testate pentru ca un lot să fie

respins cu probabilitatea 0.87.

30. Să se arate că şirul (Xn)n1 de variabile

aleatoare independente, care au distribuţiile X :

urmează legea numerelor mari.

31. Fie variabilele aleatoare independente:

şi

Să determine variabilele aleatoare: X+Y; X-Y; XY; X2;

Y2; X3; Y3; 2X; 3Y; 2X+3Y; 3Y-2X; .

32. Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete

ale căror repartiţii probabiliste comune şi

unidimensionale şi sunt date în tabelul de mai

jos:

207


Y

X-1 0 1 2 pi

-1 1/12 1/24 1/24 1/48 3/16

1 1/48 1/24 1/48 1/24 1/8

2 1/48 1/3 1/6 1/6 11/16

qj 1/8 5/12 11/48 11/48 1

a) Scrieţi variabilele aleatoare X şi Y;

b) Precizaţi dacă variabilele aleatore X şi Y

sunt independente sau nu şi justificaţi

răspunsul;

c) Scrieţi variabilele aleatoare: X+Y; X-Y;

XY; ; X2; Y3;

3X-2Y;

33. Fie variabilele aleatoare independente:

208


şi

a) Calculaţi M(X), M(X2), D2(X), M(Y),

M(Y2) şi D2(Y);

b) Care dintre următoarele mărimi pot fi

calculate şi care nu şi de ce?

M(2X+3Y); D2(2X+3Y); M(X2+Y);

D2(X2+Y);

M(X2+Y2); D2(X2+Y2); M(XY).

c) Calculaţi mărimile de la punctul b) pentru

care răspunsul este favorabil.

34. Să se determine, în fiecare caz, variabila

aleatoare X şi apoi să se calculeze M(X) şi D2(X).

a) , xN, p > 0, q > 0

b) , xN, a > 0, b > 0

209


c) , x[0,1], aR

d) , x[0,1], aR

e) , aR, xR

f) , xR,

, aR

35. Fie variabilele aleatoare discrete:

şi

Dacă şi , să se

determine repartiţia comună a vectorului aleatoriu (X,Y)

în funcţie de . Calculaţi apoi coeficientul de

corelaţie şi precizaţi dacă există valori ale lui

pentru care X şi Y să fie independente.

210


36. Fie un vector aleatoriu continuu cu

densitatea de repartiţie

, a > 0

a) Determinaţi densitatea de repartiţie

şi densităţile de repartiţie

marginale corespunzătoare şi

;

b) Calculaţi coeficientul de corelaţie

.

37. Calculaţi funcţia caracteristică şi funcţia

generatoare de momente pentru fiecare dintre variabilele

aleatoare:

a)

b)

c)

211


d) ,

şi apoi verificaţi dacă momentele obţinute pe cale directă

coincid cu cele obţinute cu ajutorul acestor funcţii.

38. Verificaţi dacă funcţiile următoare definesc

repartiţii ale unor variabile aleatoare discrete şi apoi

calculaţi M(X) şi D2(X) pentru fiecare dintre ele.

a)

b)

c)

39. Să se afle funcţia caracteristică a variabilei

aleatoare X caracterizată prin densitatea de probabilitate

.

212

Elemente de teoria probabilităţilor 213

teoria probabilitatilor

Documents