Probleme de teoria probabilităţilor aplicate în domeniul medical

Exerciţiul 1.Fie evenimentele:

A = {TAD pentru mamă ≥ 95}B = {TAD pentru tată ≥ 95}

şi fie Pr(A) = 0.1, iar Pr(B) = 0.2Se presupune că evenimentele A şi B sunt independente.Se consideră că o familie “hipertensivă” este definită ca una în care sau mama sau tata este hipertensiv. Care este probabilitatea ca să avem o familie “hipertensiva”?

Rezolvare:

Pr(familiei “hipertensive”) = Pr(AUB) = =Pr(A) + Pr(B) - Pr(A∩B).

Insă deoarece A şi B sunt independente Pr(A∩B) = Pr(A) · Pr(B)

rezultaPr(AUB) = 0.1 + 0.2 - 0.2 · 0.1 = 0.28

Exerciţiul 2.

Se consideră evenimentele obţinute prin măsurarea TAD la mamă şi la primul copil.

Fie A = {TAD mamă ≥ 95} şi B = {TAD primul copil ≥ 95} şi Pr(A) = 0.1, Pr(B) = 0.2 şi Pr(A∩B) = 0.05.

Precizaţi cum sunt evenimentele A şi B (independente sau dependente).

Rezolvare:

Deoarece Pr(A∩B) = 0.5 > Pr(A)·Pr(B) = 0.02

rezultă că evenimentele A şi B sunt dependente.

DefiniţiiFie B evenimentul prin prezenţa unei boli A

eveniment ce se manifestă prin prezenţa unui factor de risc.

Riscul relativ (RR) al lui B dat de A

RR =

Dacă A şi B sunt independente atunci RR = 1Dacă A şi B sunt dependente atunci RR ≠ 1

)|Pr()|Pr(

ΑBAB

ExempluFie SKT+, SKT- evenimentul că testul IDRT este pozitiv

respectiv negativ. Fie TB+, TB- prezenţa sau absenţa tuberculozei. Presupunem că o persoană din 10.000 dintre cele cu testul IDRT negativ are TBC, adică Pr(TB+ ⎢SKT-) = 0.0001, în timp ce o persoană din 100 cu testul pozitiv are tuberculoză, adică Pr(TB+ ⎢SKT+) = 0.01

RR =

RR=100 arată că evenimentele SKT+ şi TB+ sunt puternic dependente şi că e raţional să se utilizeze testul IDRT ca test de screening pentru detectarea tuberculozei.

1000001.0

01.0)|Pr()|Pr(

==−+

++

SKTTBSKTTB

Exerciţiul 3.

Pentru orice două evenimente A şi B are loc:

Pr(B)=Pr(B ⎢A) · Pr(A) + Pr(B ⎢ ) · Pr( )A A

Rezolvare:

Avem B= (B∩A) U (B∩ )

şi (B∩A) ∩ (B∩ ) = Ø

AtunciPr(B) = Pr(B∩A) + Pr(B∩ ) = Pr(A) · Pr(B ⎢A) +

Pr( ) · Pr(B ⎢ )AA

A

A

A

Exerciţiul 4.

Presupunem că 1% din populaţie au testul IDRT pozitiv şi că

Pr(TB+ ⎢SKT-) = 0.0001,iar Pr(TB+ ⎢SKT+) = 0.01Care este probabilitatea de apariţie a

tuberculozei în populaţie?

Rezolvare:

Pr(TB) = Pr(TB ⎢SKT+) · Pr(SKT+) + Pr(TB ⎢SKT-) · Pr(SKT-)

Avem:Pr(SKT+) = 0.01 şi Pr(SKT-) = 1 -

Pr(SKT+) = 1 - 0.01 = 0.99Deci:Pr(TB) = 0.1 · 0.1 + 0.0001 · 0.99 =

0.00014

Exerciţiul 5. Legea probabilităţii totale

Fie A1, A2, ..., An un sistem complet de evenimente, adică A1UA2U ... UAn = E (evenimentul cert) şi Ai∩Aj = Ø, ∀i ≠ j.

Să se arate că:

oricare ar fi un eveniment B.

∑=

=n

iii AABB

1)Pr( · )|Pr()Pr(

Rezolvare:

Avem:B = (B∩A1) U (B∩A2) U ... U(B∩An)şi (B∩Ai) ∩ (B∩Aj) = Ø, ∀i ≠ jAtunci:

∑∑=

===

n

iiij

n

iABAABB

11

)|Pr( · )Pr()(Pr)Pr( I

Exerciţiul 6.Este planificat un studiu al cataractei într-o

populatie de 5000 persoane, având vârsta ≥ 60 ani. Din datele de recensământ se cunoaşte că 45% din această populaţie este între 60-64 ani, 28% între 65-69 ani, 20% între 70-74 ani, 7% are ≥ 75 ani. Din alte studii medicale se ştie că 2.4%, 4.6%, 8.8% şi 15.3% din populaţie vor face cataractă pe parcursul a 5 ani în fiecare dintre grupele de vârstă. Ce procent din populaţie va avea cataractă în următorii 5 ani şi câte persoane vor fi afectate.

Rezolvare:Fie A1 = {vârsta între 60-64 ani}

A2 = {vârsta între 65-69 ani}A3 = {vârsta între 70-74 ani}A4 = { vârsta ≥ 75 ani}

Acest sistem de evenimente este complet.Se cunosc:

Pr(A1) = 0.45, Pr(A2) = 0.28, Pr(A3) = 0.20, Pr(A4) = 0.07Fie B evenimentul ca o persoană să facă cataractă:

Pr(B ⎢A1) = 0.24, Pr(B ⎢A2) = 0.046Pr(B ⎢A3) = 0.088, Pr(B ⎢A4) = 0.153

utilizând formula probabilităţii totale rezultă:Pr(B) = Pr(B ⎢A1) · Pr(A1) + Pr(B ⎢A2) · Pr(A2) + Pr(B ⎢A3) · Pr(A3) + Pr(B ⎢A4) · Pr(A4) = 0.024 x 0.45 + ... = 0.052

Deci 5,2% din populaţie va avea cataractă în următorii 5 ani, ceea ce reprezintă 5000 x 0.052 = 260 persoane

Regula lui Bayes

Valoarea predictivă pozitivă a unui test este probabilitatea ca o persoană să aibă boala dacă testul e pozitiv.

PV+ = Pr (boală+ ⎢Test+)Valoarea predictivă negativă a unui

test este ca o persoană să nu aibă boala dacă testul e negativ.

PV- = Pr (boală- ⎢Test- )

Exerciţiul 7.

Determinaţi valorile predictive pentru testul IDRT a tuberculozei din

Exercitiul 2

Rezolvare:

Avem:PV+ = Pr (TB+ ⎢SKT+) = 0.01

şi PV - = Pr (TB - ⎢SKT - ) = 1 - Pr(TB +⎢SKT - ) = 1 - 0.0001 = 0.9999

Definitii:Senzitivitatea unui simptom (sau test) este

probabilitatea ca simptomul să fie prezent dacă persoana are boala:Se = P (S+ ⎢boală+)

Specificitatea unui simptom (test) este probabilitatea ca simptomul să nu fie prezent dacă persoana nu este bolnavă:Sp = P (S- ⎢boală-)

Un fals negativ este o persoană a cărui test este negativ dar în realitate ea este bolnavă. Un fals pozitiv este definit ca o persoană a cărui test e pozitiv însă ea este sănătoasă (nu are boala).

Regula lui Bayes

A = simptom, B = boală PV+ = Pr(B ⎢A ), PV- = Pr( ⎢ )Se = Pr(A ⎢B), Sp = Pr( ⎢ )p = Pr(B) = prevalenţa

)Pr()|Pr()Pr(·)|Pr()Pr(·)|Pr()|Pr(

BBABBABBAAB

++=

Β Α

)1(·)1(··

SppSepSepPV

−−+=+

)1(··)1(·)1(_

SepSppSppPV

−+−−

=

ΒΑ

Exerciţiul 8.

Presupunem că un aparat automat de măsurare a tensiunii arteriale clasifică ca hipertensivi 84% dintre hipertensivi şi 23% normotensivi. Care este valoarea predictivă pozitivă şi respectiv negativă a acestui aparat?

T - evenimentul de testare cu aparatul a unei hipertensiuni

B - evenimentul ca o persoană să fie hipertensivă

Rezolvare:

Avem:Se = Pr(T ⎢B) = 0.84Sp = Pr( ⎢ ) = 1 - Pr(T ⎢ ) = 1 - 0.23 =

0.77P(B) = 0.2Atunci prin regula lui Bayes avem:

48.023.0·8.084.0·2.0

84.0·2.0=

+=+PV

Τ Β Β

95.016.0·2.077.0·8.0

77.0·8.0=

+=−PV

Regula generalizată a lui Bayes

Fie B1, B2 ... Bk un sistem de evenimente complet (de stări ale unei boli care respectă condiţia ca cel puţin una dintre stări trebuie să aibă loc şi două stări nu pot fi simultan prezente).Fie A evenimentul reprezentând un simptom (sau un set de simptome)Atunci:

∑=

= n

jjj

iii

BBA

BBAAB

1)Pr(·)|Pr(

)Pr(·)|Pr()|Pr(

Exerciţiul 9.Considerăm că X este o variabilă aleatoare

reprezentând numărul de episoade de otită în primii doi ani de viaţă. Presupunem că această variabilă aleatoare are distribuţia:

a) Care este numărul aşteptat (mediu) de episoade de otită în primii doi ani de viaţă?b) Care este abaterea standard şi variaţia acestei variabile aleatoare?

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

017.0039.0095.0185.0271.0264.0129.06543210

X

Rezolvare:

M(X) = = 0 x

0.129 + 1 x 0.264 + 2 x 0.271 + ... + 6 x 0.017 = 2.038

V(X) = =1.967

∑=

n

iii xpx

1)(·

)()]([1

2i

n

ii xpXMx∑

=

−

402.1)()( == XVXσ

Exerciţiul 10.Un cercetător a observat că un copil va avea

bronşită cronică în primul an de viaţă în 3 din 20 de familii în care ambii părinţi au bronşită cronică, în comparaţie cu rata de incidenţă a bronşitei cronice naţionale, care este de 5% în primul an de viaţă.

Există o diferenţă între incidenţa la nivel naţional şi observaţiile facute de observator? (Sau care este probabilitatea ca un copil din cel puţin 3 din 20 familii să facă bronşită cronică, ştiind că probabilitatea de a face boala în orice familie este de 0.05 ?)

Rezolvare:Numărul de familii în care copii au bronşită cronică este

de 3 şi respectă o distribuţie binomială cu parametrii n = 20 şi p = 0.05

Probabilitatea ca să se observe cel puţin 3 cazuri din 20 este:

= 1 - (0.3585 + 0.3774 + 0.1887) = 0.0754( = 0.15) Există o diferenţă între 15% şi 7.54%

∑∑=

−−

=

=−==≥2

0

2020

2020

320 )95.0()05.0(1)95.0()05.0()3Pr(

K

KKkKK

K

k CCX

Exerciţiul 11

Presupunem că de regulă un anumit Presupunem că de regulă un anumit vaccin contra pojarului produce o vaccin contra pojarului produce o reacreacţţie (fie (febrăebră) cu o probabilitate ) cu o probabilitate p=0.15 . Care este probabilitatea ca p=0.15 . Care este probabilitatea ca din 6 copii vaccinadin 6 copii vaccinaţţi 4i 4 să aibă o să aibă o reacreacţţie ie îîn urma vaccinăriin urma vaccinării? ?

Rezolvare:

n = 6, k = 4, p =0.15, n = 6, k = 4, p =0.15, q = 1q = 1--p = 0.85 . Atunci p = 0.85 . Atunci

Această probabilitate fiind mai mică Această probabilitate fiind mai mică de 1%de 1% se poate considera că această se poate considera că această situasituaţţie apare cu o ie apare cu o şşansă foarte micăansă foarte mică..

0054,0)85,0()15,0()4( 2446 === CXP

Exerciţiul 12

Presupunem că de regulă un anumit Presupunem că de regulă un anumit vaccin contra pojarului produce o vaccin contra pojarului produce o reacreacţţie (fie (febrăebră) cu o probabilitate ) cu o probabilitate p=0.5 . Care este probabilitatea ca p=0.5 . Care este probabilitatea ca din 600 copii vaccinadin 600 copii vaccinaţţi cel putin 4i cel putin 4 să să aibă o reacaibă o reacţţie ie îîn urma vaccinăriin urma vaccinării??

59644600 )5,0()5,0()4( CXP ==