teoria masurii

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 5 MASURA LEBESGUE

Cursul 4

5 Masura Lebesgue

I^n continuare consideram X = R, multimea numerelor reale.

Lema 5.1 Daca [a; b] n[i=1

(ai; bi), atunci b a nXi=1

(bi ai).

Demonstratie. Deoarece a 2n[i=1

(ai; bi), exista i0 2 1; n asa ^nca^t a 2 (ai0 ; bi0). Consideram algoritmul:

pasul 0: k = 0;pasul 1:

Daca b 2 (aik ; bik), atunci STOP;Deoarece a < bi0 < ::: < bik b, avem bik 2 [a; b]

n[i=1

(ai; bi) si deci, 9ik+1 2 1; n asa ^nca^t bik 2 (aik+1 ; bik+1);k k + 1;Executa pasul 1.

Deoarece b 2n[i=1

(ai; bi), exista j 2 1; n asa ^nca^t b 2 (aj ; bj) si, prin urmare, algoritmul se va opri dupa m + 1

pasi, unde 0 m n. I^n consecinta avem bik 2 (aik+1 ; bik+1); 8k 2 0;m 1 si deci

ai0 < a < bi0 < bi1 < ::: < bim1 b < bim :

De aici obtinem:

b a bim ai0 = (bi0 ai0) +m1Xk=0

(bik+1 bik) (bi0 ai0) +m1Xk=0

(bik+1 aik+1) nXi=1

(bi ai):

Fie S semiinelul f(a; b] j a; b 2 R; a < bg [ f?g. Denim functia de multime : S ![0;1] prin:

(A) =

b a; A = (a; b]

0; A = ? :

Teorema 5.2 Functia este numarabil aditiva pe S.

Demonstratie. Fie un sir de multimi (An)n2N S astfel ^nca^t Am\An = ?, pentrum 6= n si[n2N

Annot.= A 2 S.

Cum A;An 2 S; 8n 2 N, rezulta ca A = (a; b] si An = (an; bn]; 8n 2 N. Deoarece An A;8n 2 N, avem:

a an < bn b;8n 2 N: (48)

Fie un n 2 N. Fara a restra^nge generalitatea putem presupune ca a0 < a1 < :::: < an (^n caz contrar, redenumimmultimile A0; A1; :::; An astfel ^nca^t sa avem ordinea dorita). Atunci, pentru orice i 2 0; n 1 avem:

(ai; bi] [ (ai+1; bi+1] = ?ai < ai+1

) bi ai+1

si deci

nXi=0

(Ai) =

nXi=0

(bi ai) nXi=0

(bi ai) +n1Xi=0

(ai+1 bi) =n1Xi=0

(bi ai + ai+1 bi) + bn an =

= an a0 + bn an = bn a0(48)

b a = (A).

27


Deci, 8n 2 N;nXi=0

(Ai) (A) si atunci obtinem:1Xn=0

(An) (A): (49)

Fie acum un " > 0 si e c 2 R astfel ^nca^t 0 < c < minfb a; "g. Pentru orice n 2 N, e un ebn astfel ^nca^tbn ebn < bn + "

2n+1:

Atunci avem[a+ c; b] (a; b] = A =

[n2N

An =[n2N

(an; bn] [n2N

(an;ebn):I^ntruca^t multimea [a+ c; b] este compacta, 9n1; :::; nk astfel ^nca^t

[a+ c; b] k[

j=1

anj ;

ebnj :Din Lema 5.1 obtinem atunci:

b (a+ c) kX

j=1

ebnj anj 1Xn=0

ebn an < 1Xn=0

bn +

"

2n+1 an

=

1Xn=0

(bn an) +1Xn=0

"

2n+1=

1Xn=0

(bn an) + ":

Mai mult, c < ") b a " < b a c si deci

b a " 0, exista (An)n2N S astfel ^nca^t

A [n2N

An si1Xn=0

(An) < (A) +

"

2: (55)

Pentru ecare n 2 N, cum An 2 S, presupunem An = (an; bn] si e ebn 2 R astfel ^nca^tbn < ebn < bn + "

2n+2:

Notam cu D multimea[n2N

(an;ebn). Atunci D 2 0 si A [n2N

An =[n2N

(an; bn] [n2N

(an;ebn) = D. Deci A D.Astfel, deducem:

(D) =

[n2N

an;ebn! 1X

n=0

an;ebn = 1Xn=0

ebn an < 1Xn=0

bn +

"

2n+2 an

=

1Xn=0

(bn an) +1Xn=0

"

2n+2=

1Xn=0

(An) +"

2

(55)< (A) + ".

Am aratat ca8" > 0; 9D 2 0 astfel ^nca^t A D si (D) < (A) + ";

care stabileste ca (A) este cel mai mare minorant al lui E. Prin urmare (A) = inf E.

Teorema 5.14 O multime A R este masurabila Lebesgue daca si numai daca8" > 0; 9F 2 F0 ; 9D 2 0 astfel ^nca^t F A D si (DnF ) < ".

Demonstratie.")":

Fie A 2 M si presupunem mai ^nta^i ca (A) 0; 9D 2 0; astfel ^nca^t A D si (DnA) < ": (56)Fie acum A 2 M astfel ^nca^t (A) =1. Deoarece este -nita, exista (An)n2N M asa ^nca^t A =

[n2N

An si

(An)


Deci,8A 2M cu (A) =1 si 8" > 0; 9D 2 0 astfel ^nca^t A D si (DnA) < ": (57)

Prin urmare, din (56) si (57) avem:

8A 2M si 8" > 0; 9D 2 0 astfel ^nca^t A D si (DnA) < ": (58)Fie acum A 2M si e " > 0. Din (58), 9D 2 0 astfel ^nca^t

A D si (DnA) < "2: (59)

Deoarece cA 2M, din (58), 9G 2 0 astfel ^nca^t

cA G si (GncA) < "2: (60)

Fie F = cG. Atunci avem F 2 F0 , F A si (GncA) = (G \A) = (A \ c (cG)) = (A \ cF ) = (AnF ).Prin urmare

9F 2 F0 astfel ^nca^t F A si (AnF ) 0, exista F 2 F0 si D 2 0 astfel ^nca^t F A Dsi (DnF ) < ". Cum A n F D n F , rezulta (AnF ) (DnF ) < ". Deoarece A = F [ (A n F ), obtinem(A) = (F ) + (A n F ).Daca (A) =1, cum (A n F ) < ", rezulta (A) =1 = (F ) si atunci (A) 2 E. Deci, ^n acest caz, (A) estecel mai mare element al multimii E si atunci (A) = supE.Daca (A) < 1, rezulta (A) = (F ) + (A n F ) < (F ) + " si deci (A) este cel mai mic majorant al lui E,adica (A) = supE.

Observatia 5.16 Din Propozitia 5.13 obtinem (A) = (A) = inff(D) j D 2 0 si A Dg; 8A 2 M si deci este 0-regulata exterior. De asemenea, din corolarul anterior, este 0-regulata interior. I^n consecinta avem:

31


Teorema 5.17 (proprietatea de regularitate a masurii Lebesgue) Masura Lebesgue este 0-regulata.

Observatia 5.18 Deoarece este 0-regulata, masura unei multimi masurabile Lebesgue poate aproximata cumasuri ale multimilor deschise ce contin multimea sau cu masuri ale multimilor ^nchise continute ^n multimearespectiva.

Denitia 5.19 Fie A R si x 2 R. Se numeste translata lui A de pas x multimea

x+A = fx+ aj a 2 Ag = fy 2 R j y x 2 Ag:

Exercitiul 5.20 Fie A 2 P(R) si x 2 R.

1. Daca A 2 S, atunci x+A 2 S si (x+A) = (A).2. c(x+A) = x+ cA.

3. Pentru orice T 2 P(R), T \ (x+A) = x+A \ (x+ T ).

Teorema 5.21 (proprietatea de invarianta la translatii a masurii Lebesgue) Fie x 2 R.

1. Daca A 2 P(R), atunci (x+A) = (A).2. Daca A 2M, atunci x+A 2M si (x+A) = (A).

Demonstratie. 1. Fie A 2 P(R) si x 2 R. Aratam mai ^nta^i ca (x+A) (A).Daca (A) = 1, inegalitatea este evidenta. Presupunem ^n continuare ca (A) < 1. Atunci, pentru " > 0,exista (An)n2N S astfel ^nca^t

A [n2N

An si1Xn=0

(An) < (A) + ": (63)

Deoarece An 2 S, obtinem x+An 2 S si atunci (x+An) = (x+An) = (An). De asemenea, avem:

A [n2N

An ) x+A x+[n2N

An =[n2N

(x+An):

De aici rezulta ca

(x+A) ([n2N

(x+An)) 1Xn=0

(x+An) =1Xn=0

(An)(63)< (A) + ":

Prin urmare (x+A) < (A) + " si cum " > 0 a fost luat arbitrar, obtinem (x+A) (A).Deci,

8A 2 P(R), 8x 2 R; (x+A) (A): (64)Fie din nou A 2 P(R) si x 2 R. Din (64), pentru A si x obtinem (x+A) (A). Din (64), pentru x+A six obtinem (A) = (x+ x+A) (x+A). Prin urmare (x+A) = (A).

2. Fie A 2M. Atunci avem:

8T 2 P(R); (T ) = (T \A) + (T \ cA): (65)

Fie T 2 P(R). Din Exercitiul 5.20 obtinem

T \ (x+A) = x+A \ (x+ T ) si T \ c(x+A) = T \ (x+ cA) = x+ cA \ (x+ T ):

Atunci rezulta

(T \ (x+A)) + (T \ c(x+A)) = (x+A \ (x+ T )) + (x+ cA \ (x+ T )).Dar, din prima parte a teoremei, (x+A\(x+T )) = (A\(x+T )), (x+cA\(x+T )) = (cA\(x+T ))si (x+ T ) = (T ). Prin urmare obtinem:

(T \ (x+A)) + (T \ c(x+A)) = (A \ (x+ T )) + (cA \ (x+ T )) (65)= (x+ T ) = (T )

32


Am demonstrat ca8T 2 P(R), (T ) = (T \ (x+A)) + (T \ c(x+A));

adica x+A este o multime masurabila Lebesgue. Atunci, (x+A) = (x+A) = (A) = (A).

Observatia 5.22 Toate rezultatele de pa^na acum pot generalizate la Rn.

Observatia 5.23 Cum am vazut ^n Exercitiul 5.11, orice submultime numarabila de numere reale este neglijabilaLebesgue. Vom arata ^n continuare ca exista si multimi nenumarabile care sa e neglijabile Lebesgue. Un exemplu^n acest sens este multimea lui Cantor.

Consideram functiile f; g : R! R denite prin

f(x) =x

3si g(x) =

2

3+ f(x); 8x 2 R:

Deoarece jf(x) f(y)j = jg(x) g(y)j = 13jx yj; 8x; y 2 R, functiile f si g sunt contractii pe (R; jj).

Denim functia F : P(R)! P(R) prin

F (A) = f(A) [ g(A); 8A 2 P(R):

Din denitia lui g obtinem ca F (A) = f(A) [2

3+ f(A)

. De asemenea, daca A B, atunci f(A) f(B), de

unde rezulta ca F este monoton crescatoare, adica A B ) F (A) F (B).Denim sirul (Cn)n2N prin: C0 = [0; 1] si Cn = F (Cn1); 8n 2 N.Atunci avem:

C0 = [0; 1] si este reuniunea a 20 intervale compacte de lungime

1

30.

C1 = F (C0) = f ([0; 1])[2

3+ f([0; 1])

=

0;1

3

[2

3;3

3

si este reuniunea a 21 intervale compacte disjuncte

de lungime1

31.

C2 = F (C1) = f (C1) [2

3+ f(C1)

= f

0;1

3

[2

3; 1

[2

3+ f

0;1

3

[2

3; 1

=

0;1

32

[2

32;1

3

[2

3;7

32

[8

32; 1

=

0;

1

32

[2

32;3

32

[6

32;7

32

[8

32;9

32

si este reuniunea a 22

intervale compacte disjuncte de lungime1

32.

s.a.m.d.

I^n general, Cn este reuniunea a 2n intervale compacte disjuncte de lungime

1

3n.

Deoarece f si g sunt contractii, rezulta C1 C0 si cum F este monoton crescatoare, obtinem:

C2 = F (C1) F (C0) = C1 ) C3 = F (C2) F (C1) = C2 ) :::

Prin urmare (Cn)n2N este un sir descendent.

Denitia 5.24 Limita sirului (Cn) se numeste multimea lui Cantor si se noteaza cu C. Deci

C = limCn =\n2N

Cn.

Exercitiul 5.25 Multimea lui Cantor are urmatoarele proprietati:1. C 2 F0 ,2. (C) = 0,3. Multimea [0; 1]nC este densa ^n [0; 1],4. Cardinalul multimii C este puterea continuului, c.

Observatia 5.26 Cum am vazut ^n Teorema 5.9, are loc incluziunea B0 M. Vom arata ^n continuare caaceasta incluziune este stricta, adica:

Teorema 5.27 Exista multimi masurabile Lebesgue care nu sunt boreliene.

33


Demonstratie. Deoarece B0 M, rezulta card(B0) card(M). Din Teorema 1.38 avem card(B0) = c.Determinam ^n continuare cardinalul lui M.Deoarece multimea C este neglijabila Lebesgue, iar masura Lebesgue este completa, obtinem ca P(C) M.Cum P(C) M P(R), rezulta card(P(C)) card(M) card(P(R)). Dar card(P(C)) = 2card(C) = 2c, iarcard(P(R)) = 2card(R) = 2c. Deci card(M) = 2c.I^ntruca^t c 2c, rezulta card(B0) 6= card(M) si deci B0 6=M. I^n consecinta, B0 (M.

34

teoria masurii

Documents