teme_de_casa_mecanica.doc

7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc

1/48

DUMITRU DELEANU

MECANICATeme de casa si teste recapitulative

E d i t u r a

N A U T I C A

Elaborat n conformitate cu manualele autorizate de Ministerul Educaiei i Cercetrii din anii 1999,2000, 2001, 2002, 2003 i 2004

Referent tiinific!


2/48

Mecanic teme de cas i teste de examen

"""""""""""""

Culegere i tehnoredactare!#n$ Elena %o$dan

Editura NAUTICA, 200&'tr Mircea cel %tr(n nr104

)*00 Constana, +om(niatel! 40-241-..4*40fa/!40-241-.1*2.0

e-mail! nauticalimcro

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei!

Carp DoinaElemente de algebr, geometrie i calcul tensorialoina Car, asilica Mneanu 5 Constanta! 6autica, 200&

ISBN

2


3/48


Introducere

3


4/48


CuprinsPRE!"#"$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ %

C&PRINS$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '

($ #E)E DE C"S"$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *

7ema nr 1! +educerea sistemelor de fore &7ema nr 2! Centre de mas 107ema nr 3! Ec8ilibrul sistemelor de solide ri$ide 1&7ema nr 4! Cinematica micrii absolute a unctului material 19

7ema nr &! Cinematica micrii relatie a unctului material 247ema nr .! inamica micrii absolute a unctului material 2)

+$ #ES#E DE E")EN $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ %%

7estul nr 1 337estul nr 2 337estul nr 3 3&7estul nr 4 3&7estul nr & 3.7estul nr . 3*7estul nr * 3)7estul nr ) 397estul nr 9 407estul nr 10 417estul nr 11 417estul nr 12 427estul nr 13 437estul nr 14 447estul nr 1& 4&7estul nr 1. 4.

BIB-I./R"!IE $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '0

4


5/48


#eme de cas

Tema r. 1

Reducerea sistemelor de fore

I (1:sura unui araleliied dretun$8ic ;:%CE ' se determine ecuaiile a/ei centrale?d> ' se determine torsorul de reducere ntr-un unct al a/ei centrale

;bseraie! @unctele c> i d> or fi arcurse doar dac cazul de reducere o imune

Bre2iar teoretic3

B ($ #orsorul unui sistem de 4ore 5n raport cu un punct$#orsor minimal$ "6 central$

Aiind dat sistemul de fore niF i ,1, =

, care acioneaz n unctele niA i ,1, = , de ectori de

oziie nir i ,1, =

, n raort cu unctul ;, elementele torsorului de reduceresunt!

- fora rezultant =

=n

iiFR

1

?

- momentul rezultant =

=

n

iiiO FrM

1

om folosi notaia!

O

O

M

R

Momentul rezultant are aloarea minim e$al cu roiecia ectorului moment rezultant e direciaforei rezultante!

== R

R

MRMM OR 2min

7orsorul alctuit din rezultanta R i momentul minim minM se numete torsorminimal!

min

min

M

R

&


6/48


====== ""FF##FFiiFF ),.,4 332211 ,

== ""MM 10

Ai$ura # 11 Ai$ura # 12

.


7/48


+=

==

#"

#"i

FO$FMO 120)0

004

2030.011 ?

===

"

#"i

FOAFMO 3.0

.00

00.022 ?

=

==

#

#"i

FO%FMO 4)0

0)0

030.033

=

+

+

+=

+=++=

#"FMFMFMMM

#"iFFFR

OOOO

O

3.0430

.)4

321

321

+erezentarea torsorului O este dat n fi$ura # 12

b>

0,0 OMR , ( ) ( ) ( ) ( ) 012)03.0.430)04 =++=

OMR

'istemul de fore este ec8ialent cu torsorul minimal Dezi unctul d>

c> Ecuaiile a/ei centrale se articularizeaz du cum urmeaz!

.

4)3.0

)

.4430

4

).0 yxxzzy +=

++

=

@relucr(nd aceste ecuaii se obine a/a central ca intersecie de dou lane!

=

=++03.01213)

021&10.3

zyx

zyx

d> 7orsorul ntr-un unct al a/ei centrale coincide cu torsorul minimal!

+==

=

+=

#"iRRR

MRM

#"iR

O

29

1920

29

2&.0

29

12)0

29

320

.)4

2min

min

I +1:sura rismei triun$8iulare drete din fi$ura # 21 acioneaz un sistem de atru fore, mrimea,direcia i sensul lor fiind date n tabelul 7 12 'e cere!

a> 7orsorul de reducere n unctul ;?b> Cu ce este ec8ialent sistemul de forec> Ecuaiile a/ei centrale?d> 7orsorul minimal

;bseraii ! i> @unctele c> i d> or fi arcurse doar dac cazul de reducere o imune?ii> @unctele A, F, G sunt alese astfel nc(t &A&'(O()F%FE === ,,

*


8/48



Re7ol2are3

8arianta nr$ 9 :4igura I +$+1

a>( )

+=+=

+

+== #i#i

#i

A(

A(FF 44),3494,11

109

3.

109

120

1&&0

1&&012

2211

?

==== ##FF""FF 2&,1. 3322 ?

( ) ( ) ==++ ==

#"i#"i

EAEAFF

&02*

&03.

&04&

3040&03040&09

22244

= #"i )1),3091,&3.4,. ?

=

==

""

#"i

FOAFMO 409,1*2109

1)00

109

3.0

109

12000&011 ?

===

i

#"i

FO)FMO 4)0

01.0

300022 ?

=

==

"

#"i

FO'FMO 12&0

2&00

300&033 ?

=

==

#"#"

#"i

FOEFMO &&),2&4919,19021)0213&

&0

2*

&0

3.

&0

4&3040044

b> ( ) ( ) ++=

&1,12.)909,104)0130,&,0,0 OO MRMR

( ) ( ) 0*12,22*&)&&),2&43*0,2& =+'istemul de fore este ec8ialent cu torsorul minimal Dezi unctul d>?

)


9/48


c> @rin nlocuirea elementelor torsorului de reducere n ecuaiile a/ei centrale se obine!

3*0,2&

13,&909,10&&),2&4

909,10

3*,2&13,&&1,12.)

130,&

909,103*,2&4)0

=+

=

++ yxxzzy

sau, du relucrare!

=++=

0*1*,10)*1*.1,2*.9&4,..99.3,&&013.,14.3323,14&*.1,2*.14),130

zyxzyx

d>

+==

=

+=

#"iRRR

MRM

#"iR

O***,*32091,31&1*3,14)))3,2)

3*0,2&909,10130,&

2min

min

Tabelul T 1.1

6rariant

imensiunilearaleliieduluidretun$8icDcm>

1F 2F 3F M

a b c ModulD6>

ireciei sens

ModulD6>

ireciei sens

ModulD6>

ireciei sens

ModulD6 >

ireciei sens

0 .0 30 20 4

ireciei sens

0 &0 40 30 12 :G 1. CE 2& : 9 E:1 40 1& 20 10 C; 1) % 20 C 1& %:2 *0 30 10 1& ; 10 %E 14 E; 1) :%3 2& 40 .0 14 F% 2& EC 10 :; . AC4 .0 .0 10 12 ;A ) : 2* G% 11 %;& )0 .0 100 4 %E 22 C: 1) AG 1* ;:. 2& 1& 40 2& G% 10 CE 1. %: 4 ;E* 20 30 40 10 C% 12 ;F 10 EC 9 :) 30 4& 20 11 A: 10 %E 30 ;C 14 C9 &0 20 )0 ) EC . :G 2& :E 10 A

10 30 40 &0 14 ;C 9 C 11 % 2) :%11 .0 &0 &0 10 C: 10 %E 1* ;: . GA12 3& 4& 2& 10 GF & F% 3& : 12 C%13 10 )0 4& 9 %G 1. A; 20 %; 14 C

9


10/48


14 40 1& .0 1) CE 20 %: 4 % 1& :1& 90 3& 20 4 F; ) %E . C% 30 ;A

Tema nr. 2

Centre de mas

II (1'e consider laca omo$en din fi$ura ## 11 entru care se dau!

+==+=+=

101,02,0?*,0?

210?320

nn*na ,

unde H+n este un numr fi/at iar I/J rerezint artea ntrea$ a numrului realx@oriunea %C face arte dintr-o elis cu centrul n ;K i de semia/e ;K% i ;KC @entru aloarea

imus a numrului n, s se determine coordonatele centrului de mas al lcii imensiunile lcii sunt daten cm

Ai$ura ## 11

Bre2iar teoretic3

@entru o lac omo$en de seciune constant centrul de mas este dat rin ectorul su de oziie

( )

( )

=A

A)

dA

dArr

unde inte$ralele se calculeaz e ariaAa corului ac se realizeaz o mrire a lcii n lci elementare

i se noteaz cu !ir i ,1, =

, ectorul de oziie al centrului de mas nr Li i cu !iA i ,1, = , aria sa, atunci

ectorul de oziie al centrului de mas al lcii se determin cu relaia!

=

=

=!

i

i

!

i

ii

)

A

rA

r

1

1

iar coordonatele centrului de mas rezult rin roiecie e a/ele reerului cartezian ;/Nz!

10


11/48


=

==!

ii

!

iii

)

A

xA

x

1

1 ,

=

==!

ii

!

iii

)

A

yA

y

1

1 ,

=

==!

ii

!

iii

)

A

zA

z

1

1 DH>

unde

++= #z"yixr iiii On cele ce urmeaz se rezint modul de calcul al ariei i oziiei centrului de mas entru lcileelementare care comun laca din fi$ura ## 11

Placa dreptung;iular Placa triung;iular

Ai$ura ## 12 Ai$ura ## 13

2

,2

,*

ya

x*aA )) === 2

=A , unde

1

1

1

33

22

11

yx

yx

yx

=

3

321 xxxx )

++= ,

3

321 yyyy )

++=

Placa form! de sector de cerc

Ai$ura ## 14

sin

3

2,2 RO)xRA ) === D in radiani>

Placa form! de sfert de eli"s!

Coordonatele centrului de mas al lcii lane omo$ene, mr$init de curbele yf-x.i y /-x.idretele erticale 21, xxxx == Dfi$ura ## 1&> sunt date de relaiile!

11


12/48


( )

( )

=2

1

2

1

>D>D

>D>D

x

x

x

x

)

dxx/xf

dxx/xfx

x ,

( )

( )

=2

1

2

1

>D>D

>D>D

2

1

22

x

x

x

x

)

dxx/xf

dxx/xf

y

iar aria sa de relaia ( ) =2

1

>D>Dx

x

dxx/xfA On cazul sfertului de elis din fi$ura ## 1., roenind din

elisa de ecuaie 12

2

2

2

=+*

y

a

x, aem 0>D,>D 22 == x/xa

a

*xf , axx == 21 ,0 , astfel nc(t

3

4,

3

4,

4

*y

ax

*aA )) ===

Ai$ura ## 1& Ai$ura ## 1.

Re7ol2are3

@laca omo$en dat se marte n & elemente, dintre care elementele 3, 4 i & se scad din elementele1 i 2 @entru elementele care se scad Dne8aurate> aria se consider cu semnul L-L iar entru cele 8aurate cusemnul L

Elementul nr$ ( 3 Placa dreptung;iular .".1

12

1C

;

a

b: ;

/

N


13/48


*R

RF) === 2232

.

.sin

3

2 , 22223 24.

*RA

== ,

====

2

3,

2,0 3333 *F)zz

*yx F

Elementul nr$ ' 3 Placa 5n 4orm de semicerc cu centrul 5n E :4igura II ($(91

1&

4

3

4

2

2sin

3

2 114

*RRE) === , 22214 &02

*RA

== ,

1&

4,,0 4444

*E)z*yyx E =====

Ai$ura ## 110 Ai$ura ## 111

Elementul nr$ * 3 Placa 5n 4orm de s4ert de elips

0,3

41,

3

41,

4 &&&& =

=

== z*yax

*aA

Coordonatele centrului de mas entru laca lan omo$en din fi$ura ## 11 sunt date de relaiile!

=

==&

1

&

1

ii

iii

)

A

xA

x ,

=

==&

1

&

1

ii

iii

)

A

yA

y ,

=

==&

1

&

1

ii

iii

)

A

zA

z

#a$ "articular % & 2'

4,0,3,0?*,0?20?)0 ===== cm*cma ?

cmzcmycmxcmA 0?10?40?1.00 1112

1 ==== ?

cmzcmycmxcmA **3,&?10?0?20&,1*3 1222

2 ==== ?

cmzcmycmxcmA **2,14?10?0?3**,) 3332

3 ==== ?

cmzcmycmxcmA .*9,0?)?0?021,4 4442

4 ==== ?

cmzcmycmxcmA 0?0&),14?)14,.9?)94,2.3 &&&2

& ==== ?

cmzcmycmx ))) &)3,0?2)9,9?44*,30 ===

13

4C

A

E

b2,0+1

=

z

;N

&)%

Ca

bb

a

;

;

/

N

:


14/48


II +1'e consider laca din fi$ura ## 2, alctuit din trei lci de densiti diferite Dsituate n cele trei lane

de coordonate> entru care se dau! na &2&+= ? n* 4100= ?

+=

&3,01,0

n ?

=

=

+=10

&,0?2&

4,0?100

1,0nnn

, unde H+n este un numr fi/at, I/J rerezint artea

ntrea$ a numrului realx iar P/Q artea sa fracionar { }( )JIxxx = @oriunea C face arte dintr-oelis cu centrul n F i de semia/e FC i F @entru aloarea imus a numrului n, s se determinecoordonatele centrului de mas

;bseraii? i> imensiunile sunt date n cmii> : se arcur$e breiarul teoretic rezentat la rezolarea roblemei recedente ensitile celor trei lcifiind diferite, relaiile DH> se nlocuiesc rin!

=

==!

i

ii

!

iiii

)

A

xA

x

1

1

,

=

==!

i

ii

!

iiii

)

A

yA

y

1

1

,

=

==!

i

ii

!

iiii

)

A

zA

z

1

1

Ai$ura ## 2

14


15/48


Tema nr. 3

Ec;ilibrul sistemelor de solide rigide

III$(1'e consider sistemul de bare articulate din fi$ura ### 11, acionat de un sistem de fore concentrate i

distribuite Cunosc(nd lun$imile nl += 1,021 , nl += 0&,0&,32 ,

+=

102,0&,23

nl , un$8iul

+=204

n

, forele concentrate

=4

10001n

0 ,

=3

30002n

0 , fora uniform distribuit e

lun$ime

=&

2000n

1 i culul

=.

.000n

M , s se determine reaciunile din reazemele simle : i %,

articulaiile C i i ncastrarea E

;bseraii ! i> H+n este o aloare imus fiecrui student, I/J rerezint artea ntrea$ a numrului real

xiar P/Q artea sa fracionarii> 'e or folosi urmtoarele uniti de msur! m5 entru lun$ime, da+entru fore concentrate, da+ 2 m

entru fora distribuit i mda+ entru culu

Ai$ura ### 11

Bre2iar teoretic3

@entru rezolarea unei robleme de ec8ilibru a unui sistem de solide ri$ide se oate folosi metodaizolrii cor!urilor3Ea resuune arcur$erea urmtoarelor etae!

a> 'e elibereaz fiecare cor al sistemului de le$turile sale De/terioare sau interioare>, nlocuindfiecare le$tur cu reaciunile coresunztoare ei?

b> 'e scriu ecuaiile de ec8ilibru i, eentual, condiiile de ec8ilibru entru fiecare ri$id n arte?

c> 'e rezol sistemul de ecuaii i inecuaii obinut 6ecunoscutele acestui sistem ot fi arametri cedefinesc oziia de ec8ilibru Dun$8iuri, distane> i sau reaciuni e/terioare i interioare sistemului de solideri$ide

@entru le$turile Dfr frecare> e/istente n alicaia rous forele de le$tur cu care acestea senlocuiesc sunt!

Rea7emul simplu :4igura III ($+1

+eazemul simlu obli$ un unct ; al solidului ri$id D C > s rm(n n ermanen e o surafasau e o curb datAceast le/tur su!rim solidului ri/id un /rad deli*ertate i !oate fi 4nlocuit cu o

reaciune normal+ diri"at du! normala comun 4n !unctul de contact3 'imbolul folosit entru

reazemul simlu este!

1&

sau


16/48


Ai$ura ### 12 Ai$ura ### 13

"rticulaia plan :4igura III ($%1

#mobilizeaz un unct al ri$iduluiAceast le/tur su!rim solidului ri/id dou /rade de li*ertatei !oate fi 4nlocuit cu o reaciune de direcie necunoscut al crui su!ort este situat 4n !lanul forelor3

Comonentele reaciunii e a/ele reerului ;/N D RxR iRyR > se noteaz uneori cu O( , resecti O5

?ncastrarea plan :4igura III ($'1

Este le$tura rin care solidul ri$id D C > este fi/at Dneenit> n alt cor astfel nc(t nu i se maiermite acestuia nici o delasare6n cazul forelor !lane 4ncastrarea se 4nlocuiete cu o reaciune 4n !lanul

forelor i cu un moment diri"at du! normala !e !lanul forelor :t(t reaciunea R c(t i momentul ROM

ot fi date rin roieciile lor D RRR ,, Oyx MRR sau R,, OOO M5( > e a/ele unui sistem de coordonate

cartezian

Ai$ura ### 14 Ai$ura ### 1&

Re7ol2are3

'e izoleaz barele :C, C i E i se scriu ecuaiile de ec8ilibru!

Bara "C :4igura III ($*1

== 0)i (7 D1> =++= 01 )%Ai 5+0+8 D2> =++++= 01321321 Ml+ll0lll+M %A)i D3>

Bara CD:4igura III ($@1

1.


17/48


=+= 0cos2 )'i (0(7 D4> == 0sin2 )'i 5058 D&>

0sin2 121 == l0l5M )'i D.>

Ai$ura ### 1. Ai$ura ### 1*

Bara DE :4igura III ($01

== 0'Ei ((7 D*> =+= 03 E'i 5l158 D)>

02

333 =+= E'Ei Ml

l1l5M D9>

+ezol(nd sistemul format din ecuaiile D1- 9> obinem!

On : !21

3221 sin&,0

ll

l0Ml0+A +

=

?

On % !

21

321211 sin&,0

ll

Mlll0l0+%

+

++++=

?

On C ! sin2

?0 20

5( )) == ?

On ! sin2

,cos 2

2

050( '' == ?

On E ! sin22

,sin2

,cos 32

232

32

l0l1M

0l150( EEE +=+==

Ca7 particular 3 n A ((

4,*,2,0&,4,1,3 321 ==== mlmlml ?

mda+Mmda+1da+0da+0 ==== &000?400,2000,*&0 21

+ezult!

da+5da+(da++da++ ))%A 10.,*0*,0,&13,2000?49&,&41 ====da+5da+( '' 10.,*0*,212,1414 == ?

mda+Mda+5da+( EEE === 1)),33.*,10.,1*)*,212,1414

III$+1'e consider sistemul de bare articulate din fi$ura ### 2, acionat de un sistem de fore concentrate i

distribuite Cunosc(nd lun$imile

+=&

2,0&,11n

l ,

+=3

1,022n

l ,

+=1&

3,0&,23n

l , un$8iurile

1*


18/48


+=

)124

n ,

+=2032.

n , forele concentrate

=

=.

3000,&

2000 21n

0n

0 ,

=*

*0003n

0 , fora uniform distribuit e lun$ime

=10

2&00n

1 i culul

=&

10000n

M , s se

determine reaciunile din reazemele simle :, C i i articulaiile %, E i A

;bseraie! : se arcur$e breiarul teoretic rezentat la rezolarea roblemei recedente ;bseraiile dinenunul roblemei ###1 rm(n alabile i n acest caz

Ai$ura ###2

1)


19/48


Tema nr. 4

Cinematica micrii absolute a punctului material

I8$(1On tabelul 7 3 se dau ecuaiile arametrice ale micrii unui unct material n coordonate carteziene!( ) ( )tyytxx == ,

'e cere!a> ' se determine i s se rerezinte traiectoria unctului?

b> ' se determine comonentele itezei i acceleraiei unctului la un moment de tim arbitrarrecum i modulele lor?

c> ' se determine raza de curbur a traiectoriei i comonentele acceleraiei n coordonateintrinseci la momentul de tim 0t indicat

Tabelul T(

Nr$2ar$ ( ) >Dmtxx= ( ) ( )mtyy= >D0 st

0 t4cos2

34

sin& +t

1 ? 2

132 2+ t t&

0,& ? 1

2 3cos4 2 +t

t

3sin4 2 1 ? 3

3 t3

+

3sin2

t

.

4 22 t 12

+ t 3 ? .& tt + 233 tt &&4 2+ 1 ? 2

. ( )tch . t3 0 ? 1*

.sin.

2t

3.

cos. 2+t

0 ? 2

) 14 + t 44 +t 0 ? 2

9

2.32 tt 23

2

33 tt 1 ? 4

10 3cos4 t

t

3sin4

1 ? 3

11 3* 2t & t 0,2 ? 2

12 &.sin* 2 t

t

.cos* 2 1 ? 2

13 t4 232 +t 2 ? 4

14 23 +t 3t . 1 ? 31& 14 2+ t - 3 t 0 ? 2

Bre2iar teoretic3

B ($ Noiuni 4undamentaleMicarea unui unct material M este cunoscut dac n orice moment de tim se oate reciza

oziia lui n raort cu un sistem de referin fi/ @oziia unctului material oate fi dat!

19


20/48


1> rin ectorul de oziie ( )trr

= Dezi fi$ura % 41> ?

2> rin curba D C > e care se mic unctul material i le$ea orar a micrii >Dtss= Dezi fi$ura% 42> ?

Ai$ura % 41 Ai$ura % 42

Ecuaia ectorial ( )trr

= se roiecteaz e a/ele unui sistem de coordonate conenabil ales fiind

ec8ialent cu trei ecuaii scalare ce se e/rim de obicei sub form arametric Dezi % 2> @arametrul celmai utilizat entru descrierea micrii este timul t

9raiectoriaeste, rin definiie, locul /eometric al !oziiilor succesive ocu!ate de!unctul material 4nmicarea sa3Ea se obine elimin(nd arametrul ntre ecuaiile arametriceiteza instantanee Dla un moment dat> se definete rin!

==

= rtd

rd

t

rv

not

t

def

0lim D41>

iteza v este un ector tan$ent la traiectorie i are sensul micrii e traiectorie 'e e/rim n

m 2s:cceleraia instantanee Dla un moment dat> se definete rin!

===

= rrtd

vd

t

va

not

t

def

0lim D42>

:cceleraia a este un ector ndretat sre interiorul Dconcaitatea> curbei ce rerezint traiectoria

'e e/rim n 2sm

B +$ Studiul micrii punctului material diferite sisteme de coordoate

B +$($ Sistemul de coordonate carte7ieneDfi$ura % 43>ectorul de oziie are e/resia

++= #z"yixr , astfel nc(t ecuaiile arametrice ale traiectoriei

sunt! ( ) ( ) ( )tzztyytxx === ,, D43>

@roieciile itezei e a/ele acestui sistem de coordonate sunt!

=== zvyvxv zyx ,, D44>

iar modulul su!

222

+

+

=zyxv D4&>

@entru acceleraie aceleai mrimi sunt!

20


21/48


222,,, ++==== zyxazayaxa

zyx

D4.>

Ai$ura % 43 Ai$ura % 44

B +$+$ Sistemul de coordonate !renetDfi$ura % 44>

'istemul de coordonate Arenet Dnaturale, intrinseci> este un sistem de referin mobil a(nd ori$inean unctul M Dcare efectueaz micarea> i a/ele!

- tan$enta la traiectorie Dde ersor > ?

- normala rincial Dde ersor > ?

- binormala D de ersor >

Micarea unctului este cunoscuta cu autorul le/ii orare s s-t.3

Comonentele itezei i acceleraiei e a/ele triedrului Arenet sunt!

0,0, ===

vvsv D4*>

0,,

2

===

a

sasa D4)>

iar modulele lor!

21


22/48


2

22

,

+

==

ssasv D49>

Re7ol2are 3 8arianta nr$ 9

( ) ( ) ststttyttx 2,1,34

sin&,4

cos2 RR0R0 ==+==

a> Elimin(nd timul ntre cele dou ecuaii arametrice obinem ecuaia traiectoriei!

( )1

2&

3

4

22

=+ yx

care este ecuaia unei elise cu a/ele aralele cu ;/ i ;N, centrul n :D0, 3> i de semia/e 2 i & Dfi$ura #11> Mobilul leac din unctul %D2, 3> i arcur$e elisa n sens tri$onometric

Ai$ura # 11 Ai$ura # 12 Ai$ura # 13

b> Comonentele itezei i acceleraiei n sistemul de coordonate carteziene sunt!

txv x 4sin

2

==

, tyv y

4cos

4

& ==

txax

4

cos

)

2 ==

, tyay

4

sin

1.

& 2

==

iar modulele lor!

tv4

cos2144

2 += , ta4

sin2141.

22

+=

c>


23/48


On fine, comonenta normal a acceleraiei este dat de relaia!

2va =

)omente particulare de timp!

st 1R0= Dfi$ura # 12>

= 2x 1,414 m , += 32

2&y .,&3& m , =

4

2xv

1,111 ms ,

=)

2&yv

2,*.. ms , =2

29

4

v 2,990 ms, 2

2

)*2,01.

2smax =

,

22

22

349,22

29

1.,1)1,2

32

2&smasma y ==

, m&&4,&= ,

222

.2,1,*01,129

2

32

21smasma ==

st 2RR0= Dfi$ura # 13>

20,&*1,1,0,&*1,1

2,),0 smasmvsmvsmvmymx xyx ======

,

22222

0)4,3,),0,0,0)4,3,0)4,31.

&smamsmasmasma y =====

I8$+1'e consider mecanismul din fi$ura # 2, format din culisele : i % le$ate rin tia :%M 7ia esteantrenat rin maniela ;C Stiind c!

1)010.&,

42,010,

31,020

2

+=

+=

+=== t

nt

nAM

n%)A)O) ,

s se determine itezele i acceleraiile unctelor :, % i M entru momentul de tim 20=t

;bseraii! #> 'e or folosi urmtoarele uniti de msur! cm5 entru lun$ime, radiani5 entru un$8iuri isecunde5 entru timii> I/J simbolizeaz artea ntrea$ a numrului realx

Ai$ura # 2

23


24/48


Re7ol2are!

Mecanismul se raorteaz la sistemul de coordonate carteziene ;/N Coordonatele unctelor :, % iM sunt!

0,cos2,sin2,0 ==== %%AA yO)xO)yx

( ) sin2,cos AMO)yAMx MM +==

eri(nd succesi de dou ori n raort cu timul obinem itezele, resecti acceleraiile unctelor:, % i M e a/ele reerului ;/N!

== cos2,0 O)vv yAxA ,

= sin2O)v x% , 0=y%v ,

( )

+== cos2,sin AMO)vAMv yMxM ,

+==

cossin2,0

2

O)aa yAxA,

0,sincos2 2 =

=

y%x% aO)a ,

+=

sincos

2AMa

xM

,

++=

cossin>2D

2

AMO)a yM

#a$ "articular % & )'

cm%)A)O) 3,21=== , ( ) radttcmAM1)0

24&,12 2 +== ,

( ) sradt 90

12&

+=

, 21)

srad

=

@entru st 20= se obine!

:/ B 0 cms, :N B 12,2& cms, 2&,122:/2:/: =+= cms1..,1&

%/ = cms, 0%N = cms, 1..,1&2%N

2%/% =+= cms

&44,)M/

= cms, *0*,1&MN = cms, ))0,1*2MN2M/M =+= cms

:/a B 0 2scm , :/a B-20,&09 2scm , :a B

2:N

2:/

aa + B 20,&09 2scm

%/a B-1.,30& 2scm , %Na B 0 2scm , %a B

2%N

2%/

aa + B1.,30& 2scm

M/a B4,&93 2scm , MNa B -1*,*93 2scm , 3**,1)aaa 2MN

2M/M =+= 2scm

Tema r. 5

24


25/48


#iematica mi*c!rii relati+e a "uctului material

8I (1@laca triun$8iular ;:% se rotete n urul laturii ;% du le$ea ( ) 32 99,0 ttt = Drad> @e latura;: se delaseaz un mobil M du le$ea ( ) >3cosD)1. tOMts == Dcm>

' se determine iteza i acceleraia absolut a unctului M du st

9

21= Dfi$ura 11>

Ai$ura 11 Ai$ura % &1

Bre2iar teoretic3

'e consider un sistem de referin fi/ 1111 zyxO , un sistem de referin mobil Oxyzcare e/ecuto micare oarecare fa de sistemul fi/ i un unct M care se afl, la r(ndul su, n micare fa de cele dousisteme de referin considerate Dfi$ura % &1>

Micarea unctului material M n raort cu sistemul fi/ se numete micare a*solut itezaDresecti acceleraia> unctului n aceast micare se numete vitez a*solut Dresecti acceleraie

a*solut> i se noteaz cuav

Dresecti

aa

>

Micarea unctului material M n raort cu sistemul mobil se numete micare relativ itezaDresecti acceleraia> unctului n aceast micare se numete vitez relativDresecti acceleraie relativ>

i se noteaz curv

Dresecti

ra

>

'e numete micare de trans!ortmicarea n raort cu sistemul fi/ a unctului solidar cu reerulmobil i care n momentul considerat coincide cu unctul a crei micare se studiaz iteza Dresectiacceleraia> unctului M n aceast micare se numete vitez de trans!ort Dresecti acceleraie de

trans!ort> i se noteaz cutv

Dresecti

ta

>

Compunerea 2ite7elorse face n conformitate cu relaia ectorial !

tra vvv

+= D&1>

unde iteza relati este dat de formula !

t

rv r

=

D&2>

iar iteza de transort se obine cu relaia lui Euler !

+= rvv Ot D&3>

Modulul itezei absolute este !

2&

030

s

M

% A

O

1z

1N

1/

NM

r

1r

0r

z

;

1;

/


26/48


++=

trtrtra vvvvvvv ,cos222 D&4>

Compunerea acceleraiilorse face n conformitate cu relaia ectorial !

)tra aaaa

++= D&&>

unde !

2

2

t

r

t

va

rr

=

=

D&.>

++=

rraa Ot D&*>

r) va

= 2 D&)>

Comonenta)a

a acceleraiei absolute

aa

se numete acceleraie )oriolis sau acceleraie

com!lementar

Re7ol2are3

Micarea relati a mobilului M este o micare rectilinie, e ;%, n conformitate cu le$ea( ) tts 3cos)1. = Micarea de transort se obine solidariz(nd mobilul cu laca Dadic fc(nd s

nceteze micarea relati> Mobilul M a e/ecuta n acest caz o micare circular, e cercul cu centru n M T

Dfi$ura 12>, de raz2

30sinR 0 s

sMM == , aflat ntr-un lan erendicular e ;%, du le$ea

( ) 32 99,0 ttt =

Studiul 2ite7elor Dfi$ura 12>

iteza absolutav

a mobilului M se obine din relaia ectorial!

tra vvv

+=

ectorul itez relati,rv

, este diriat n lun$ul dretei ;:, de la ; sre :, i are modulul

tsv r 3sin24==

ectorul itez de transort,tv

, este erendicular e Lraza MKM, sensul su

este determinat de ectorul itez un$8iular Dadic sensul de rotaie al lcii> iar modulul se obine cu

relaia = RMMv t ar 22*),1,2

R tts

MM === , astfel nc(t

( ) ( )22*),13cos)1.

21 tttv t =

ectorul itez absolut,av

, rezult rin comunerea itezelor relati i de transort i are

modulul 22 tra vvv += @entru st9

2= se obine!

sradcms 1&

4,20 == , 2,.&312 = rv cms, scmvscmv at 9,.&,3,9 ==

2.

A

030

O

M

%

M

s

rv

tv

tv

rv

av

030

O

M

% A

M

ra

ta

ta

ca

aa


27/48


Ai$ura 12 Ai$ura 13

Studiul acceleraiilorDfi$ura 13>

:cceleraia absolut,a

a

, se obine din relaia!

)tra aaaa

++=

ectorul acceleraie relati,ra

, este diriat n lun$ul dretei ;:, de la : sre ; i are scalarul

223cos*2 scmtsa r ==

Micarea de transort fiind o micare circular caracterizat rin ectorul itez

un$8iular i acceleraie un$8iular nenuli, rezult c ectorul acceleraie de transort, ta

, se obine

din relaia!ttt aaa

+=

:cceleraia de transort normal, ta

, are direcia MM T, sensul de la M la M T i modulul

( ) 2222 2*),12

R scmtts

MMa t == eoarece 0&4),1


28/48


8 +1 Mobilul M se delaseaz la eriferia semidiscului ' de raz R du le$ea

( ) 210

1 tn

AMts

+== Dfi$ura 2> iscul este articulat n : i % cu manielele AO 1 i %O 2 care

se rotesc n urul unctelor 1O , resecti 2O , du le$ea ( )

+=&

1

4)

& nt

' se determine iteza i

acceleraia absolut a unctului M la momentul de tim 21=t 'e mai dau!

+=

+==)

20,12

3021n

Rn

%OAO

;bseraii! i> I/J simbolizeaz artea ntrea$ a numrului realxiar P/Q artea sa fracionarii> 'e or folosi urmtoarele uniti de msur! cm5 entru lun$ime, radiani5 entru un$8iuri,secunde5

entru tim

Ai$ura 2

Tema r. 6

Diamica mi*c!rii absolute a "uctului material

8I (1 On interiorul unui tub de sticl subire Dfi$ura # 11>, a(nd forma unei arabole de ecuaie

=

!

xxy

21 , se arunc o bil de mas m cu iteza iniial

0

v Dtan$ent la a/a tubului n ;>

Consider(nd datele fixe!

0002

,!0,2*,93*,0,)1,9

===== vvOMtsmv#/msm/ ,

i datele varia*ile!

+=

+= nn

!xn

! cos3

1,)

.2,1 1 Dm>

2)

O

%

A s

R

M

( )'

1O

2O


29/48


i resuun(nd c micarea are loc fr frecare, se cer!

a> @roieciile itezei1

v i acceleraiei 1

a n unctul de abscis 1x e a/ele reerului cartezian

;/N i e a/ele triedrului Arenet?b> +eaciunea normal n unctul de abscis 1x


Bre2iar teoretic3

B 1. Legea fundamental a dinamicii micrii asolute a punctului material

:ceast le$e e/rim le$tura dintre fora care solicit unctul aflat n micare i acceleraia micriiacestuia, i anume!

= Fam D.1>

unde meste masa unctului materialOn cazul unui unct material liber, acionat de mai multe fore actie niF i ,1, =

, ecuaia

fundamental a dinamicii D*1> cat forma!

=

=

n

iiFam

1

D.2>

ac e l(n$ sistemul forelor actie niF i ,1, =

, asura unctului mai acioneaz i un sistem de

fore de le$tur !"F " ,1,R =

, atunci le$ea fundamental a dinamicii unctului material se e/rim rin

relaia ectorial!

=

=

+=

!

""

n

ii FFam

1

R

1 D.3>

6ot(nd cu ( )tr

ectorul de oziie al unctului aflat n micare fa de un unct fi/ ; i obser(nd

c forele care acioneaz asura unctului material deind, n $eneral, de tim, oziia i iteza acestuia, seobine urmtoarea form a ecuaiei fundamentale!

=

rrtRrm ,, D.4>

unde R rerezint rezultanta tuturor forelor care acioneaz asura unctului material

B 2. !rolemele generale ale dinamicii punctului material

On dinamica unctului material se studiaz dou cate$orii de robleme!

29

( )yxM ,

=

!

xxy

21

v

a

0v

0

MO

/m

+

a

0 x

yy

0

MO

x0

0v

!x =1( )0,2!% %

( )11,yxA

11 aa y=

11 vv x=


30/48


a. 0ro*lema direct

'e cunosc forele care acioneaz asura unctului material ca natur, direcie, sens i mrime i secere s se stabileasc micarea unctului material

@roblema se rezol rin inte$rarea ecuaiei D*4> i $sirea soluiei $enerale sub forma!

=

21,, ))trr D.&>

unde21,

)) sunt constante ectoriale de inte$rare care se determin cu autorul condiiilor iniiale!

=

=

=

210

210

,,0

,,0

!0

))rv

))rr

t D..>

adic e baza oziiei i itezei unctului material din momentul nceerii micrii

*. 0ro*lema invers

Cunosc(ndu-se micarea unctului material dat rin relaia!

( )trr

= D.*>

i masa ma acestuia, se cere s se determine fora sau rezultanta forelor care acioneaz asura unctului'oluia acestei robleme, de forma

( )trmF

= D.)>

este unic din unct de edere matematic, dar n $eneral roblema nu este unioc determinat n sensul c sedetermin direcia, sensul i modulul forei nu ns i natura ei

B 3. "cua#iile diferen#iale scalare ale micrii punctului material

$n diferite sisteme de coordonate

@roiect(nd ecuaia ectorial D*4> e a/ele unui sistem de referin conenabil ales se obin ecuaiiledifereniale scalare ale micrii unctului material du cum urmeaz!

a> On coordonate carteziene

=

zyxzyxtFxm x ,,,,,,

=

zyxzyxtFym y ,,,,,, D.9>

=

zyxzyxtFzm z ,,,,,,

b> On coordonate cilindrice

30


31/48


zr FzmFrrmFrrm ==

+=

,2,

2

D.10>

On sistemul de coordonate olare ( ),r se utilizeaz rimele dou relaii D.10>

c> On coordonate Arenet

FF

vmFvm ===

0,,

2

D.11>

Re7ol2are3

a> 'e a considera, entru nceut, un studiu $eneral al roblemei i aoi rezultatele se orarticulariza entru nB 3

On unctul de abscis 1x ordonata este

=!

xxy

21

111 iar iteza Dtan$ent la a/a tubului> fc(nd

un$8iul ( )

==

!

xarct/xyarct/ 1

11 1R cu orizontala

@entru determinarea scalarului itezei se alic teorema ener$iei cinetice i a lucrului mecanic ntre

oziiile ( )00 =tM i 11 ttM = !

1

20

21

22 y/m

vmvm= D1>

+ezult 1201 2 y/vv = eoarece 11, =

Oxvmas , se obin roieciile!

111111 sin,cos vvvv yx == D2>

@e a/ele triedrului Arenet! 0, 111 == vvv D3>

Ecuaia fundamental a dinamicii,

+= +/mam , roiectat e a/ele triedrului Arenet conduce la

ecuaiile scalare! 11 sin /mam = , 111 cos /m+am += D4>

in rima ecuaie D4> se determin comonenta tan$enial a acceleraiei mobilului!

11 sin /a = D&>

Comonenta normal a acceleraiei este dat de formula( )11

21

1 x

va

= , unde raza de curbur are

e/resia ( ) ( )[ ]{ }

( )!

!

x

xy

xyx

1

2321

1

2321

11

11

RR

R1

+

=+

= ;bser(nd c 1111

+=+= aaaaa yx i

roiect(nd aceast relaie e a/ele reerului ;/N $sim comonentele carteziene ale acceleraiei!

11111 sincos aaa x += , 11111 cossin aaa y = D.>

31


32/48


b> +eaciunea normal1

+ se determin din a doua relaie D2> !

111 cos /am+ = D*>

Ca7 particular 3 n A %Dfi$ura # 12>

0,)1,0,.2,1,.2,1 111 ==== mymxm! ,2

12

111 121,43,0,0,3&),) smasmasmvsmv yxyx ==== ,2

12

111 121,43,0,0,3&),) smasmasmvsmv ==== , ++ 32&,121=

8I +1@e un cilindru fi/ de razRse delaseaz fr frecare un unct material de mas mDfi$ura # 2> D&

100 smn

v

+= ,

+=

41,0&,0

nR Dm>, se

cere!

a> ' se determine le$ile de ariaie( ) ( )

aavv == , i( ) aa = entru interalul de tim ncare mobilul se afl n contact cu cilindrul?

b> Un$8iul not

= la care se roduce desrinderea mobilului de e surafaa cilindrului?

c> ' se determine distana not

O) = , unctul C fiind unctul n care mobilul loete solul

;bseraie ! I/J simbolizeaz artea ntrea$ a numrului realx

Ai$ura # 2

32

( )0t: = 0 6

>tDM

F

;

; C /

N


33/48


#este de e6amen

#estul nr$ (

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Momentul unei fore n raort cu un unct efiniie i rorieti+$ :( pct$1Ce se nele$e rintr-o le$tur i c(te tiuri de le$turi Dfr frecare> cunoatei la un ri$id

%$ :( pct$1efinii micarea de rotaie a solidului ri$id'$ :( pct$1Enunai teorema ener$iei cinetice i a lucrului mecanic n micarea unui sistem de unctemateriale sau solid ri$id fa de un unct fi/

II$ :@ pct$1

*$ :( pct$1' se determine coordonatele centrului de mas entru laca lan i omo$en din fi$ura 11Dn funcie de a>

33


34/48


N

/

a2

a4 a2

030

aa@

a2

a

:

%

C

M

;

Ai$ura 11 Ai$ura 12 Ai$ura 13

@$ :+ pct$1'e consider bara din fi$ura 12, articulat n : i simlu rezemat n % Ea este acionat elatura :C de fora liniar distribuit de intensitate ma/im ! -+2m.i de fora concentrat0 -+.n unctul E

imensiunile barei fiind cele din fi$ur, s se determine reaciunile din articulaia : i reazemul %0$ :( pct$1Un mobil lec(nd din reaus se delaseaz e o dreat ntr-o micare uniform acceleratStiind c du st 101= el atin$e iteza smv &1= , ce saiu strbtuse el du st 10=

=$ :+ pct$1Un unct M ornete din (rful ; al unui con cu un$8iul la (rf 2 i se mic e o

$eneratoare a conului cu iteza u constant On acelai tim, conul se rotete n urul a/ei sale de simetrie cu

iteza un$8iular constant Dfi$ura 13> Care este iteza absolut a unctului M du tsecunde de la

nceutul micrii

#estul nr$ +

I$ :@ pct$1

($ :% pct$17orsorul unui sistem de fore oarecare efiniie i rorieti+$ :( pct$1Ce se nele$e rin reazem simlu C(te $rade de libertate are un ri$id cu un reazem

simlu Cu ce se nlocuiete un reazem simlu Dn cazul fr frecare> %$ :( pct$1efinii micarea de translaie a solidului ri$id'$ :( pct$1Enunai teorema imulsului n micarea unui sistem de uncte materiale sau a unui solid

ri$id

II$ :@ pct$1

*$ :( pct$1' se determine coordonatele centrului de mas entru laca lan i omo$en din fi$ura 21Ddimensiunile sunt date n cm>

@$ :+ pct$1:sura unei bare cotite :%C acioneaz fora F , de modul 100 6 ' se determine

momentul forei F fa de unctul : Dfi$ura 22> imensiunile sunt date n cm

34


35/48


/

%C

44

4

)A

10

8

:

N

z

E

Ai$ura 21 Ai$ura 22

0$:( pct$1:cul unui ceas care indic minutele este de 1,& ori mai lun$ dec(t acul care indic orele ' secalculeze raortul dintre iteza liniar a (rfului acului care indic minutele i iteza liniar a (rfului aculuicare indic orele

=$ :+ pct$1Un crucior se delaseaz e un drum rectiliniu cu iteza constant uv =

1 @e crucior este

montat un tub ;: a(nd forma unei arabole de ecuaie 221 xy= Dfi$ura 23> On interiorul tubului se

mic cu iteza constant uv 22 =

un unct material M ' se determine iteza absolut a unctului M la

momentul de tim la care acesta trece rin unctul de abscisx :

M

2

/

N

1

2/.

1N=

;

:

Ai$ura 23 Ai$ura 31

#estul nr$ %

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1+educerea unui sistem de fore oarecare! 7orsor minimal, a/ central+$ :( pct$1Ce nele$ei rin ncastrare C(te $rade de libertate are un solid ri$id ncastrat Cu ce se

nlocuiete o ncastrare%$ :( pct$1efinii micarea rectilinie a unctului material'$ :( pct$1Enunai teorema momentului cinetic n micarea unui sistem de uncte materiale sau solid

ri$id n raort cu un reer fi/

II$ :@ pct$1

3&


36/48


*$ :( pct$1' se determine oziia centrului de mas entru bara omo$en din fi$ura 31 imensiunilesunt date n cm @$ :+ pct$1:sura lcii lane i omo$ene din fi$ura 32 , de $reutate F B 2000 da6, acioneaz foraconcentrat @ B &00 da6 i fora uniform distribuit V B 2&0 danm imensiunile sunt date n metri ' sedetermine reaciunile n articulaia : i reazemul %

Ai$ura 32 Ai$ura 41

0$ :( pct$1'e dau ecuaiile arametrice ale micrii unui unct material n coordonate carteziene!

14,*33 2 +=+= tyttx

unde timul teste dat n secunde iar coordonatelexiyn metri ' se determine iteza unctului material lamomentul de tim tB 1s =$ :+ pct$1; iatr este aruncat e ertical, de la nielul solului, cu iteza smv 100= u c(ttim a atin$e din nou m(ntul

#estul nr$ '

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Cazuri de reducere ale unui sistem de fore oarecare+$ :( pct$1Ce nele$ei rin articulaie sferic C(te $rade de libertate are un solid ri$id ce are ca

le$tur o articulaie sferic Cu ce se nlocuiete o astfel de le$tur%$ :( pct$1efinii micarea circular a unctului material'$ :( pct$1efinii noiunea de imuls n cazul unui unct material, al unui sistem de uncte materiale

i al unuisolid ri$id @recizai i unitatea de msur entru imuls Din '#>

II$ :@ pct$1

*$ :+ pct$1' se determine coordonatele centrului de mas entru laca lan i omo$en din fi$ura 41imensiunile sunt date n cm @$ :( pct$1Aorele care alctuiesc culul ( )FF , au modululF ;< da+ i se $sesc la distana

dmd 3= una de alta ' se determine momentul acestui culu Dn m+ > 0$D( pct$1 Un cilindru, a(nd dimensiunile din fi$ura 42 i $reutatea F B &000 6, este aezat e un lanorizontal ' se determine lucrul mecanic necesar rsturnarii cilindrului n urul unctului : de intersecie aunei $eneratoare cu lanul orizontal

3.


37/48


:

;

F18

C %

m21

1.6m

s

;

M

Ai$ura 42 Ai$ura 43

=$ :+ pct$1Un disc de razRse rotete cu iteza un$8iular constant n urul unei a/e care trece rincentrul su i este erendicular e lanul discului Dfi$ura 43> @e un diametru al discului se mic, lec(nddin centrul su, un unct M du le$ea tRs sin= 'a se determine iteza absolut a unctului M la

momentul de tim

2=t

#estul nr$ *

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Centrul de mas al unui sistem de uncte materiale i al unui solid ri$id+$ :( pct$1efinii noiunea de moment al unei fore n raort cu un unct%$ :( pct$1Ce comonente are iteza i acceleraia unui unct material ntr-un sistem de coordonate

carteziene ;/Nz'$ :( pct$1Enunai teorema de conserare a momentului cinetic a unui sistem de uncte materiale sau a

unui solid ri$id

Ai$ura &1 Ai$ura &2 Ai$ura &3

II$ :@ pct$1

*$ :+ pct$1:sura cubului ;:%CEAF de latur a B 10 cm din fi$ura &1 acioneaz un sistem de doufore, a(nd unctele de alicaie, direciile i sensurile din fi$ur i modulele +F &1= , +F 2102= ' se determine momentul rezultant al sistemului celor dou fore n raort cu unctul ;

@$ :+ pct$1 :sura barei :%, de lun$ime ml 3= i $reutate da+& .00= , acioneaz forada+F 400= , alicat n % erendicular e bar, i momentul mda+M =&00 %ara este ncastrat n

: Dfi$ura &2> 'tiind c 0.0= , s se determine reaciunile ( )AA MR , n ncastrarea : 0$ :( pct$1Un mobil, lec(nd din reaus, se delaseaz e o dreat i n .0 s atin$e iteza de 1) ms ntr-o micare uniform accelerat Ce saiu a strbtut n acest tim

3*


38/48


=$ :( pct$1@laca dretun$8iular ;:%C D;: B 3 dm, ;C B 4 dm> se rotete n lanul su, n urulunctului ; cu iteza un$8iular constant srad2= Dfi$ura &3> Care este iteza unctului %

#estul nr$ @

I$ :@ pct$1($ :% pct$1Ec8ilibrul solidului ri$id liber Decuaii de ec8ilibru, numr de $rade de libertate>

Ec8ilibrul solidului ri$id suus la le$turi D$eneraliti>+$ :( pct$1Enunai rinciiile mecanicii clasice Drinciiul ineriei, rinciiul aciunii forei, rinciiul

aciunii i reaciunii>%$ :( pct$1Ce comonente are iteza i acceleraia unui unct material ntr-un sistem de coordonate

Arenet Dnaturale> '$ :( pct$1efinii noiunea de moment cinetic n cazul unui unct material, al unui sistem de uncte

materiale i al unui solid ri$id @recizai i unitatea de msur entru moment cinetic Dn '#>

II$ :@ pct$1

*$ :+ pct$1; sfer de $reutate0este rezemat e o surafa cilindric de raz r, fiind susendat rintr-un fir de unctul fi/ : Dfi$ura .1> Cunosc(nd lun$imea la firului i un$8iurile i , s se determinetensiunea din fir i reaciunea surafeei cilindrice @$ :+ pct$17rei fore de module 0FFF === 321 sunt alicate asura (rfurilor , ; i E ale unui

araleliied dretun$8ic Dfi$ura .2> ' se reduc sistemul de fore n raort cu unctul ; dacaOAaA'A% 2, ===

Ai$ura .1 Ai$ura .2

0$ :( pct$1Ecuaiile arametrice ale micrii unui unct material n coordonate carteziene sunt!

3.

cos&,.

sin& 22

=

= tytx

' se determine traiectoria mobilului i iteza sa la momentul de tim st 21= =$ :( pct$1Un cor de mas #/m 2= este aruncat de e o cldire nalt de 2& m ' se determine

lucrul mecanic efectuat de fora de $reutate a corului (n n momentul atin$erii solului

#estul nr$ 0

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1 Ec8ilibrul solidului ri$id suus la le$turi fr frecare +eazemul simlu, articulaia,ncastrarea

3)


39/48


+$ :( pct$1Ce tiuri de fore acioneaz e un cor izolat dintr-un sistem de coruri i ce rinciiu almecanicii clasice trebuie resectat obli$atoriu la izolarea lui

%$ :( pct$1efinii noiunea de traiectorie a unui unct material'$ :( pct$1efinii noiunea de ener$ie cinetic n cazul unui unct material, al unui sistem de uncte

materiale i al unui solid ri$id

II$ :@ pct$1 *$ :+ pct$1:sura cubului ri$id de latur aB 20 cm din fi$ura *1 acioneaz cinci fore de module

da+FFF 1321 === i da+FF 2&4 == ' se determine momentul rezultant n raort cuunctul ;

Ai$ura *1 Ai$ura *2

@$ :( pct$1' se determine oziia centrului de mas entru laca lan i omo$en din fi$ura *2imensiunile sunt date n cm

0$ :+ pct$1@araleliiedul dretun$8ic ;:%CEAF de laturi ;: B 3 dm, ;% B 4 dm, ;C B & dm serotete uniform n urul dia$onalei sale ;A, cu iteza un$8iular constant srad2= ' se determineitezele (rfurilor A i : =$ :( pct$1'e consider un disc omo$en de mas M B 2 W$ i raz + B 10 cm ' se determine momentulde inerie fa de centrul ; i fa de un unct : de e eriferie

#estul nr$ =

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Ec8ilibrul sistemelor de uncte materiale i de solide ri$ide Condiii de ec8ilibru 7eoremei metode utilizate entru rezolarea roblemelor de statica sistemelor

+$ :( pct$1efinii noiunile de culu de fore i de moment al unui culu de fore%$ :( pct$1Ce comonente are iteza absolut i acceleraia absolut n micarea relati a unui unct

material'$ :( pct$1ai relaiile de calcul a ener$iei cinetice a unui solid ri$id n cazul micrilor de translaie i

rotaieII$ :@ pct$1

39


40/48


*$ :+ pct$1'e consider risma ri$id din fi$ura )1, asura creia acioneaz forele .21 ,,, FFF

orientate ca n fi$ur i e$ale n mrime, 0FFF ==== .21 ' se determine fora rezultant

=

=.

1i

iFR

Ai$ura )1 Ai$ura )2

@$ :( pct$1intr-o s(rm $roas se construiete corul din fi$ura )2 ' se determine oziia centrului demas dac r B 10 cm, + B 20 cm, a B 3 cm i b B 10 cm 0$ :+ pct$1; bar ;< se rotete n urul unui unct fi/ ; cu iteza un$8iular constant srad2= imic inelul M e o s(rm fi/ aflat la distana lB 10 cm de unctul ; Dfi$ura )3> ' se e/rime iteza iacceleraia inelului M n funcie de distana ;KM B s

Ai$ura )3 Ai$ura 91

=$ :( pct$1Cu ce itez trebuie lansat un mobil e un lan nclinat cu un$8iul 030= fa de orizontalentru a urca e lan (n la nlimea 8 B 1 m 'e consider 210 sm/= i se ne$lieaz frecrile

#estul nr$ >

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1 Cinematica micrii absolute a unctului material 6oiunile de traiectorie, itez iacceleraie

+$ :( pct$1ai relaia de calcul a ectorului de oziie al centrului de mas al unui sistem de unctemateriale i al unui solid ri$id

%$ :( pct$1'criei formulele lui Euler entru distribuia de iteze i acceleraii n micarea $eneral asolidului ri$id

'$ :( pct$1efinii noiunea de lucru mecanic elementar i lucru mecanic finit al unei fore

II$ :@ pct$1

40


41/48


*$ :( pct$1; lam de $reutate & este susendat ntr-un unct ; situat n acelai lan ertical cuunctele : i % e dou fire fi/e le$ate de ; i trecute este doi scriei mici Ddin : i %>, at(rn $reutile

1= i 2= @oziia unctului ; este determinat rin un$8iurile i Dfi$ura 91> ' se determinealorile $reutilor 1= i 2= astfel ca lama s rm(n n reaus n oziia din fi$ur @$ :+ pct$1 'e consider bara omo$en de $reutate ne$liabil din fi$ura 92 imensiunile sunt date nmetri 'e dau! mda+M =200 , da+0 100= , mda+1 &0= ' se determine reaciunile narticulaia : i reazemul %

Ai$ura 92 Ai$ura 93

0$ :+ pct$1ou osele se intersecteaz n unctul ; sub un un$8i dret Dfi$ura 93> @e cele dou oselese delaseaz dou autoturisme sre unctul ;, lec(nd simultan din : i %, cu itezele constante

smvsmv 20,10 21 == ' se afle momentul de tim 1t c(nd distana :K%K dintre autoturisme esteminim 'e mai cunosc :; B 20 Wm i %0 B 30 Wm

=$ :( pct$1Un cor de mas M B 10 W$ se delaseaz astfel nc(t iteza centrului su de mas rm(neconstant i e$al cu & smv)= Care este imulsul sau

#estul nr$ (9

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Cinematica micrii absolute a solidului ri$id Micarea $eneral Darametrii de oziie,formulele lui @oisson i ale lui Euler>

+$ :( pct$1Enunai trei rorieti ale centrului de mas al unui sistem de uncte materiale sau al unuisolid ri$id

%$ :( pct$1Ce tii desre iteza i acceleraia unui unct material ntr-o micare circular a acestuia'$ :( pct$1ai relaiile de calcul a momentului cinetic al unui solid ri$id n cazul micrilor de

translaie i rotaie

II$ :@ pct$1

*$ :+ pct$1'e consider sistemul de fore 321 ,, FFF i4

F concurente n : Dfi$ura 101> ' sedetermine rezultanta lor, dac!

0003241 .0,10&,4&,)0,120,100 ======= +F+F+FF

41


42/48


Ai$ura 101 Ai$ura 102 Ai$ura 103

@$ :+ pct$1%ara omo$en din fi$ura 102, de $reutate da+& 200= , este articulat n : i simlurezemat n % :sura barei acioneaz fora da+F 100= nclinat cu un$8iul 0.0= ' se determinereaciunile din : i % dac 030=

0$ :( pct$1%ara :%, de lun$ime l, alunec cu e/tremitile sale : i % du direciile ;/ i ;N, astfelnc(t unctul : se delaseaz cu iteza constant v ' se determine iteza unctului % la momentul de tim

la care2

lOA = Dfi$ura 103>

=$ :( pct$1+oata de curea a unui electromotor se rotete cu 1&00 rotmin u 1t B 2 min curentul a

fost ntrerut i roata, rotindu-se ntr-o micare uniform ncetinit, s-a orit du =2t . s ' se determinenumrul de rotaii efectuat de roat n tot timul micrii

#estul nr$ ((

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Micarea de translaie a solidului ri$id! definiie, distribuia de iteze iacceleraii

+$ :( pct$1 Cum aare i cum se manifest Dce introduce> frecarea de alunecare%$ :( pct$1Ce e/resii au ectorii ,, OO av i n micarea de translaie a solidului ri$id'$ :( pct$1Care este ecuaia fundamental a micrii relatie a unctului material

II$ :@ pct$1

*$ :( pct$1 Un sistem de fore oarecare se reduce la o for unic, e$al cu rezultanta R , i care

acioneaz e a/a central a sistemului dac elementele torsorului de reducere

OO MR, n raort cuunctul arbitrar ; erific condiiile!

a>

= 0,0 OMR ? b> 0,0,0 =

OO MRMR? c> 0,0,0

OO MRMR

?

d>OMR

@$ :+ pct$1'e consider o bar omo$en :%, de lun$ime lB & m i $reutate F B 1)0 6, articulat n : isimlu rezemat n Dfi$ura 111> e catul %, rin intermediul unui fir, at(rn $reutatea @ B 3.0 6, firulfc(nd cu direcia barei un$8iul 030= ' se determine reaciunile din articulaia : i reazemul , dac

030= i &,10==lE' m

42


43/48


Ai$ura 111

0$ :+ pct$1; lac trat :%C de latur lB 1 m se rotete n lanul ei n urul centrului ; ' sedetermine i s se rerezinte itezele i acceleraiile (rfurilor :, %, C i , tiind c iteza un$8iular este

constant i e$al cu srad4= =$ :( pct$1Masa unei lci lane i omo$ene de form circular este M B 1 W$ iar raza sa + B 30 cm 'se determine momentul de inerie olar fa de centrul ; al lcii

#estul nr$ (+

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Micarea de rotaie a solidului ri$id! definiie, distribuia de iteze i acceleraii, rorieti+$ :( pct$1 Ce teoreme i metode entru rezolarea roblemelor de statica sistemelor cunoatei

%$ :( pct$1efinii micarea absolut, micarea relati i micarea de transort n cazul unui unctmaterial'$ :( pct$1efinii momentele de inerie olar, a/iale, lanare i centrifu$ale n cazul unui sistem de

uncte materiale

II$ :@ pct$1

*$ :+ pct$1:sura unui araleliied dretun$8ic de laturi ;: B 30 cm, ;C B &0 cm i ;;K B 40 cm

acioneaz un sistem de trei fore ca n fi$ura 121 Cunosc(nd c da+Fda+F 34&,10 21 == ida+F 2203= , s se determine momentul rezultant n raort cu unctul ;

43


44/48


Ai$ura 121 Ai$ura 122

@$ :+ pct$1 'e consider bara de $reutate ne$liabil din fi$ura 122, solicitat de momentulm#+M = 1&0 , fora #+0 100= i sarcina uniform distribuit &0 m#n1= 'tiind c 0.0= i c

dimensiunile sunt date n metri, s se determine reaciunile n reazemul % i articulaia : 0$ :( pct$1 @unctul M se delaseaz n lanul ;/N du le$ile

= tx3

sin2

, 43

cos3 +

= ty

,

unde coordonatele x i y sunt date n metri iar timul t n secunde ' se determine iteza unctului lamomentul de tim st 31= =$ :( pct$1Un roiectil este lansat oblic din (rful unui turn Ce ti de traiectorie arcur$e roiectilul

#estul nr$ (%

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Cinematica micrii relatie a unctului material eterminarea distribuiei de iteze iacceleraii

+$ :( pct$1 Enunai a/ioma le$turilor%$ :( pct$1ai trei e/emle de coruri care efectueaz o micare de rotaie'$ :( pct$1Care este ecuaia fundamental a micrii absolute a unctului material

II$ :@ pct$1

*$ :( pct$1' se determine modulul forei 3F astfel nc(t sistemul de fore 321 ,, FFF din fi$ura 131

s fie n ec8ilibru 'e cunosc +FF 31021 == @$ :+ pct$1'e consider sistemul de trei bare din fi$ura 132, ncastrate n :, articulate n % i i simlurezemate n C i A 'e cunosc! m#+1M#+M#+0#+0 2,&0,12,12 21 ==== ' se determinereaciunile n :, %, C, i E imensiunile e fi$ur sunt date n metri


44


45/48


0$ :( pct$1@unctul M se delaseaz n lanul ;/N du le$ile 14,3 2 +== tytx ' se determinetraiectoria unctului, recum i comonentele ectorilor itez i acceleraie la un moment oarecare de timt =$ :+ pct$1Mobilul M se delaseaz la eriferia discului de raza Rdu le$ea 2tMAs == Dfi$ura133> iscul este articulat n : i % cu manielele AO1 i %O2 care se rotesc n urul unctelor 1O ,

resecti 2O du le$ea 4)& 3

2 t = Dradiani> 'e cunosc! cmRcm%OAO 1.,2021 === ' sedetermine iteza absolut a unctului M la momentul de tim st 2=


#estul nr$ ('

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Ener$ia cinetic a unui sistem de uncte materiale i a unui solid ri$id! definiii, teorema

ener$iei cinetice i a lucrului mecanic n micarea unui sistem de uncte materiale sau a unui solidri$id fa de un reer fi/+$ :( pct$1 C(te $rade de libertate are un unct material liber n saiu Care ar utea fi arametrii

scalari indeendeni care s fi/eze, la un moment dat, oziia unctului n saiu%$ :( pct$1ai trei e/emle de coruri care efectueaz o micare de translaie'$ :( pct$1C(te dintre cele 10 momente de inerie mecanice Dolar, a/iale, lanare, centrifu$ale> sunt

indeendente Ce relaii e/ist ntre ele

II$ :@ pct$1

*$ :+ pct$1' se determine coordonate centrului de mas al lcii lane omo$ene din fi$ura 141 'ecunosc! :% B 20 cm, % B 24 cm, E B 10 cm, :6 B 2 cm, 6< B 1) cm,

4&


46/48


0$ :( pct$1Un mobil ornete din unctul : fr itez iniial i se mic uniform accelerat e anta :%Dfi$ura 143>, aoi uniform ncetinit e lan orizontal (n la orirea n unctul C Cunosc(nd lun$imea

1xA%= , distana 2x%)= i timul tn care mobilul arcur$e tot arcursul :%C, s se afle acceleraiile

1a i 2a e oriunile :%, resecti %C =$ :( pct$1:rborele unei maini se rotete uniform la turaia nB 900 rotmin Care este iteza un$8iularn micarea de rotaie a arborelui Dn rads>

#estul nr$ (*

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1Momentul cinetic al unui sistem de uncte materiale i al unui solid ri$id! definiii, teoremamomentului cinetic n micarea unui sistem de uncte materiale sau a unui solid ri$id n raort cu unreer fi/

+$ :( pct$1 C(te $rade de libertate are un solid ri$id liber n saiu Care ar utea fi arametrii scalariindeendeni care s fi/eze, la un moment dat, oziia ri$idului n saiu

%$ :( pct$1ai e/resia acceleraiei Coriolis din micarea relati a unctului material'$ :( pct$1@recizai, e scurt, n ce constau cele dou robleme $enerale ale dinamicii i anume

roblema direct i roblema iners

II$ :@ pct$1

*$ :( pct$1Un cor de $reutate F B 100 da6 este susendat rin intermediul a dou fire ine/tensibile,orientate ca n fi$ura 1&1 ' se determine tensiunile din fire @$ :+ pct$1Un mobil se delaseaz n linie dreat du le$ea 1104 23 ++= tttx , unde coordonataxeste e/rimat n metri iar timul tn secunde ' se afle iteza i acceleraia mobilului la momentele detim st 11= i st 22= ' se construiasc dia$rama itezei D$raficul v v-t. Care este iteza minim

Ai$ura 1&1 Ai$ura 1&2

0$ :+ pct$1'a se determine coordonatele centrului de mas entru bara omo$en din fi$ura 1&2 dac

2,

a%'aA% == iar oriunea semircircular =; are razaR a3

=$ : (pct$1Un cor de reoluie, a(nd momentul de inerie fa de a/a de simetrie 22000 m#/> = ,efectueaz o micare de rotaie cu turaia constant min10rotn= n urul acestei a/e Care este aloareamomentului cinetic

#estul nr$ (@

I$ :@ pct$1

($ :% pct$1#mulsul unui sistem de uncte materiale i al unui solid ri$id! efiniii, teorema imulsului,teorema micrii centrului de mas

4.


47/48


+$ :( pct$1 'criei ecuaiile a/ei centrale n cazul cel mai $eneral%$ :( pct$1'criei le$ile micrii rectilinii i uniforme i rectilinii uniform ariate a unctului material

Dle$ea saiului, a itezei i a acceleraiei>'$ :( pct$1Ce nele$ei rin sistem de referin inerial

II$ :@ pct$1

*$ :( pct$1' se determine coordonatele centrului de mas entru laca lan omo$en din fi$ura 1.1imensiunile sunt date n cm @$ : + pct$1'e consider bara :% B lB 4 m de $reutate F B 0,4 W6, ncastrat n :


48/48


>$#acob C,Mecanic teoretic, Editura idactic i @eda$o$ic, %ucureti, 19)0(9$

teme_de_casa_mecanica.doc

Documents