Bazele electrotehnicii - (2014-2015) – TEMA 2 (CIRCUITE) –

1) Obiectivele temei, mod de predare și notare

1. Modelarea elementelor multipolare liniare rezistive cu elemente ideale (5p);

2. Modelarea elementelor dipolare neliniare rezistive. Metoda dreptei de sarcină (15p);

3. Reprezentarea în complex a circuitelor în regim sinusoidal. Funcții de transfer. Caracteristici de frecvență (10p);

4. Analiza circuitelor de curent alternativ prin metoda nodală. Rezonanța. (10p);

5. Analiza circuitelor de ordinul 1 în regim tranzitoriu (10p). Suma acestor puncte împărțită la 10 intră în calculul punctajului H.

Observații:

• Este recomandat ca pentru rezolvarea temei să folosiți instrumente software numerice (de exemplu http://octave-online.net/) și/sau simbolice (de exemplu https://www.wolframalpha.com).

• Este obligatorie redactarea electronică a rezolvării temei. • Pe platforma moodle încărcați numai un fișier pdf. Orice alt fel de fișier

nu este luat în considerare. • Netlist-urile care contribuie la rezolvare temei vor fi incluse în raport.

IMPORTANT! Nu vor fi luate în considerare decât temele încărcate pe platforma moodle.

2) Enunț Considerați un element cuadripolar de tip diport, rezistiv, controlat în curent (Fig. 1).

Figura 1: Element cuadripolar de tip diport (curentul care intră în terminalul unui port iese prin celălalt terminal al aceluiași port). Pentru ambele porturi mărimile sunt reprezentate în regula de la receptoare.

Alegeți în mod arbitrar o matrice a rezistențelor 𝑅 ∈ ℝ2×2, simetrică, diagonal dominantă. Matricea rezistențelor face legătura între vectorul curenților porturilor i și vectorul tensiunilor porturilor u:

𝒖 = 𝑅 ⋅ 𝒊 (1) unde:

𝒊 = �𝑖1𝑖2�, 𝒖 = �

𝑢1𝑢2� (2)

Cerințe: 2.1. Modelarea elementelor multipolare liniare rezistive cu elemente ideale

• Modelați rezistorul cu ajutorul unei scheme în T alcătuită numai din rezistoare ideale. (2p)

• Descrieți modelul ca un netlist SPICE. (1p) • Explicați ce simulări trebuie să faceți ca să verificați corectitudinea modelului.

Efectuați aceste simulări în Spice. (2p) 2.2. Modelarea elementelor dipolare neliniare rezistive. Metoda dreptei de sarcină. La bornele unuia din porturile elementului de la punctul anterior conectați o sursă ideală de tensiune sau o sursă ideală de curent.

• Alegeți o valoare constantă pentru sursă și determinați generatorul echivalent de tensiune față de bornele portului al doilea, considerat în gol. (1p)

• La bornele celui de al doilea port conectați o diodă. Alegeți pentru diodă un model analitic. Reprezentați grafic caracteristica diodei peste care suprapuneți caracteristica dreptei de sarcină (caracteristica generatorului echivalent de tensiune). Estimați (prin inspecția graficului) valorile punctului static de funcționare (PSF). (2p)

• Scrieți ecuația algebrică neliniară prin rezolvarea căreia ați putea afla PSF. Rezolvați această ecuație cu o metodă numerică potrivită. (8p)

• Aproximați caracteristica neliniară a diodei cu o caracteristică liniară pe porțiuni. Identificați segmentul pe care se află PSF și deduceți o schemă echivalentă a diodei, valabilă pentru acest segment al caracteristicii. Rezolvați circuitul liniar echivalent și comparați eroarea dintre această valoare aproximativă și valoarea numerică de la punctul anterior, considerată ca referință (4p)

2.3. Reprezentarea în complex a circuitelor în regim sinusoidal. Funcții de transfer. Caracteristici de frecvență. Înlocuiți valoarea constantă a sursei de la punctul anterior cu o mărime variabilă sinusoidal în timp, iar în locul diodei conectați o bobină liniară ideală sau un condensator liniar ideal.

• Reprezentați circuitul în complex și calculați impedanța echivalentă față de bornele sursei. (3p)

• Dacă ați folosit o excitație (mărime de intrare) în tensiune atunci considerați ca răspuns (mărime de ieșire) curentul prin sursă, iar dacă ați folosit o excitație în

curent considerați ca mărime de ieșire tensiunea la bornele sursei. Calculați expresia funcției de transfer și identificați polii și zerourile. (2p)

• Calculați modulul funcției de transfer, modulul exprimat în decibeli și argumentul funcției de transfer și reprezentați-le grafic în funcție de frecvență, alegând convenabil o plajă de frecvențe. (3p)

• Verificați în Spice corectitudinea rezultatelor obținute. (2p) 2.4. Analiza circuitelor de curent alternativ prin metoda nodală. Rezonanța.

• Pentru circuitul de la punctul anterior, în paralel cu elementul reactiv, conectați un element reactiv dual. Calculați frecvența de rezonanță. (3p)

• Scrieți ecuațiile metodei nodale, rezolvați-le. (3p) • Reprezentați grafic modulul și argumentul funcției de transfer pe o plajă de

frecvențe convenabil aleasă. (2p) • Verificați în Spice corectitudinea rezultatelor obținute. (2p)

2.5. Analiza circuitelor de ordinul 1 în regim tranzitoriu. • Modificați circuitul de la punctul 3, înlocuind sursa de c.a cu o sursă cu

variație treaptă. Estimați constanta de timp a fenomenelor tranzitorii. Remarcați legătura dintre constanta de timp și polul funcției de transfer. (6p)

• Simulați circuitul în Spice pe un interval de timp convenabil ales. (4p)

3) Pentru bonus Observații:

• Bonusul acestei teme este dublu față de bonusurile temelor 1 și 3 deoarece tema 4 nu va mai avea cerințe pentru bonus.

• Rezolvarea bonusului acestei teme presupune rezolvarea bonsului temei 1.

Cerințe: 3.1. Analiza numerică a circuitelor de curent continuu fără surse comandate.

• Concepeți și implementați un program care permite analiza circuitelor de c.c., cu laturi de tip E, R, J, folosind metoda nodală (vedeți sugestiile din paragraful următor). Verificați programul pe problemele pe care le-ați inventat la prima temă. (10p)

• Analizați teoretic complexitatea (necesarul de memorie și efortul de calcul) pentru asamblarea ecuațiilor și a rezolvării sistemului pentru un circuit cu structură oarecare, considerând că parametrii ce descriu complexitatea unui circuit sunt numărul de noduri N și numărul de laturi L. Ce structură are matricea coeficienților sistemului de ecuații algebrice liniare asamblat? (5p)

• Analizați teoretic complexitatea (necesarul de memorie și efortul de calcul) asamblării ecuațiilor și a rezolvării sistemului pentru un circuit cu o structură particulară ca cea din Fig. 2. Comentați structura matricei coeficienților sistemului de ecuații algebrice liniare asamblat. Analizați experimental complexitatea și comparați cu rezultatele teoretice. (10p)

3.2. Analiza numerică a circuitelor de curent alternativ • Extindeți structura de date concepută la prima temă pentru a putea include și

laturi de tip L sau C. Concepeți și implementați un program care permite

analiza circuitelor de c.a., cu laturi de tip E, R, J, L, C folosind metoda nodală. Soluția va fi afișată în domeniul timp (ca dependență sinusoidală de timp). (20p)

• Verificați programul pe problemele relevante din această temă. (5p)

Figura 2: Circuit pentru analiza complexității algoritmului implementat. În acest caz circuitul

este descris de un singur parametru, de exemplu N - numărul de noduri.

Suma acestor puncte împărțită la 10 intră în calculul punctajului B2. Observații:

• Folderul care conține fișierele pentru rezolvarea bonusului se împachetează într-o arhivă de tip zip cu numele Grupa NumePrenume Tema2 BE2014.zip

• Arhiva trebuie să conțină un fișier text Readme.txt în care se precizează modul în care pot fi verificate sursele (ce limbaj de programare ați folosit, sub ce sistem de operare ați lucrat).

• În raportul temei (fișierul pdf încărcat separat), adăugați o secțiune numită Bonus în care explicați pe scurt modul de rezolvare al cerințelor și modul în care ați testat programele scrise. Adăugați 1-2 capturi de ecran ilustrative.

4) Metoda Nodală Vom considera pentru început cazul circuitelor de c.c. cu laturi de tip R, E, J (rezistor ideal, sursă ideală de tensiune și sursă ideală de curent).

Pentru că deja ați citit fișiere .cir descrise în limbaj Spice (la rezolvarea bonusului temei 1), vom presupune că laturile de tip E și J sunt orientate ca în Spice (Fig. 3).

Figura 3: Sensuri de referință pentru curent alese în mod sistematic pentru surse. Sensurile de referință pentru tensiuni sunt

conform regulii de la receptoare.

Sa presupunem ca tensiunile si curentii din laturile din circuit se afla ın regula de la receptoare.

Acest lucru are avantajul ca matricea incidentelor laturi-noduri este aceeasi atat pentru graful de

curenti cat si pentru graful de tensiuni.

Reamintim ca matricea (redusa) a incidentelor laturi-noduri A ∈ ZZ(N−1)×L asociata grafului

unui circuit se defineste ca

A = (aij) unde aij =

0 daca j /∈ (i)

1 daca j ∈ (i) si iese din nod,

−1 daca j ∈ (i) si intra ın nod,

(3)

unde N este numarul de noduri din circuit, iar L este numarul de laturi.

Conform celor prezentate la curs, daca se definesc marimile vectoriale asociate grafului de

curenti si, respectiv, grafului de tensiuni:

• vectorul curentilor i ∈ IRL×1,

• vectorul tensiunilor u ∈ IRL×1,

atunci legea lui Kirchhoff pentru curenti (KCL) se scrie compact ca

Ai = 0, (4)

iar legea lui Kirchhoff pentru tensiuni (KVL) se scrie compact ca

u = ATv. (5)

KVL scrisa ın aceasta forma ınseamna de fapt enumerarea tuturor relatiilor de tip tensiunea unei

laturi este potentialul nodului initial minus potentialul nodului final al laturii, si a fost justificat

faptul ca, daca se lucreaza cu potentiale ale nodurilor ın loc de tensiuni ale laturilor, enuntul

”clasic” 1 este satisfacut ın mod implicit.

Numai scrierea relatiilor Kirchhoff nu este suficienta pentru rezolvarea problemei, trebuie

adaugate relatiile constitutive ale laturilor. Pentru a putea scrie compact aceste relatii, vom

presupune ca numerotarea laturilor circuitului a fost facuta ın ordine astfel: mai ıntai laturile de

tip R (sa notam numarul lor cu nR), apoi nE laturi de tip E si apoi nJ laturi de tip J (unde

L = nR + nE + nJ). In consecinta, putem partitiona vectorii curentilor si tensiunilor astfel:

i =

iR

iE

iJ

, u =

uR

uE

uJ

, (6)

unde iR,uR ∈ IRnR×1, iE ,uE ∈ IR

nE×1, iJ ,uJ ∈ IRnJ×1.

Relatiile constitutive se scriu compact, astfel:

uR = RuR, (7)

uE = E, (8)

iJ = J, (9)

unde R ∈ IRnR×nR este o matrice patrata, diagonala, avand pe diagonala valorile rezistentelor

(presupune nenule), E ∈ IRnE×1 este vectorul tensiunilor electromotoare, iar J ∈ IR

nJ×1 este

vectorul curentilor electromotori.

Cea mai potrivita metoda de rezolvare a circuitelor cu ajutorul calculatorului este metoda

nodala2 Aceasta ınseamna ca dorim sa ajungem la un sistem de ecuatii de rezolvat ın care ne-

cunoscutele sa reprezinte potentialele nodurilor. In consecinta, trebuie sa substituim curentii din

KVL cu expresiile lor ın functie de potentiale.

1KVL clasic: ”Suma algebrica a tensiunilor ın orice bucla este zero.”.2Care sunt argumentele acestei afirmatii?

Partitionarea curentilor si tensiunilor ın trei parti, atrage dupa sine, partitionarea naturala a

matricei incidentelor laturi-noduri ın trei blocuri astfel:

A =[

AR AE AJ

]

, (10)

unde AR ∈ IR(N−1)×nR semnifica incidenta laturilor de tip R la noduri, etc.

In consecinta, KCL se poate scrie ca

[

AR AE AJ

]

iR

iE

iJ

= 0, (11)

echivalent cu

ARiR +AEiE +AJ iJ = 0. (12)

Similar, KVL este echivalent cu relatiile matriceale

uR = ATRv, (13)

uE = ATEv, (14)

uJ = ATJ v. (15)

Inlocuind relatiile constitutive ın relatiile Kirchhoff obtinem:

ARiR +AEiE +AJJ = 0, (16)

RiR = ATRv, (17)

E = ATEv, (18)

uJ = ATJ v. (19)

Din relatia (17) se pot exprima ın mod explicit curentii prin rezistoare ca fiind

iR = R−1ATRv, (20)

matricea diagonala a rezistentelor fiind inversabila deoarece toate rezistoarele au fost presupuse

nenule3. Sa notam cu

G = R−1 (21)

matricea conductantelor laturilor de tip R. Este o matrice diagonala, avand pe diagonala conductantele

laturilor de tip R.

Rearanjand relatiile si trecand ın membrul drept marimile cunoscute, obtinem urmatorul sistem

de ecuatii algebrice liniare de rezolvat

{

ARGATRv + AEiE = −AJJ,

ATEv = E

(22)

Intr-o scriere clasica de tip

Mx = p, (23)

matricea coeficientilor sistemului de rezolvat este

M =

[

G(nodal) AE

ATE 0

]

(24)

unde G(nodal) = ARGATR este matricea conductantelor nodale, care este simetrica, diagonal domi-

nanta si pozitiv definita. Elementele de pe diagonala sunt pozitive, iar elementele nediagonale sunt

3Nu este nicio limitare aici, un rezistor nul poate fi tratat ca o sursa ideala de tensiune si considerat ca o latura

de tip E.

negative4. Un element Gii reprezinta suma conductantelor laturilor de tip R care sunt incidente

nodului i, iar elementele nediagonale reprezinta suma conductantelor laturilor de tip R care unesc

direct un nod i cu un nod j luata cu semn schimbat.

Termenul liber al sistemului de rezolvat este

p =

[

−AJJ

E

]

. (25)

Necunoscutele sistemului sunt componentele vectorului

x =

[

v

iE

]

(26)

adica potentialele nodurilor si curentii prin sursele ideale de tensiune.

Algoritm

Exista doua variante de concepere a algoritmului pentru rezolvarea primului punct (partea

numita etapa de preprocesare) din bonusul acestei teme:

• fie orientati algoritmul pe laturi, parcurgand laturile si punand contributiile lor ın matricea

M si vectorul termenilor liberi p

• fie asamblati matricele de incidenta si apoi construiti sistemul lipind blocuri de matrice

calculate ın mod corespunzator.

Rezolvarea propriu-zisa a sistemului de ecuatii asamblat reprezinta etapa de rezolvare si sunteti

liberi sa alegeti ce metoda numerica doriti. Justificati alegerea facuta.

Dupa rezolvarea sistemului, sunt cunoscute valorile potentialelor si curentii prin sursele ideale

de tensiune. Din aceste valori puteti calcula toate tensiunile si toti curentii din circuit, si eventual,

puterea consumata de rezistoare si puterea generata de surse. Aceasta este etapa de postprocesare.

Observatie

Dat fiind timpul relativ scurt de rezolvare al temei, obiectivul principal este sa ıntelegeti cum

se ajunge de la circuit la sistemul de rezolvat. Este recomandat sa analizati structurile de date si

algoritmii pe care i-ati folosit si sa sugera moduri ın care i-ati putea face mai eficienti.

Succes!

It does not matter how slowly you go so long as you do not stop. Confucius

4Demonstrati!